Tiet 71 dao ham cap 2

§5 ĐẠO HÀM CẤP HAI


Kiểm tra bài cũ
Bài 2 Tìm

Bài 1

d (s inx)
d (cos x )

Tìm vi phân của hàm số
y = sinx - xcosx
Giải
Ta có
y’= cosx-coxs + xsinx
xsinx
Do đó dy=(xsinx)dx

Giải
Ta có

=

d (s inx) (s inx) ' dx

d (cos x) (cos x) ' dx

cos x

  c otx

 s inx


§5 ĐẠO HÀM CẤP HAI
I. ĐỊNH NGHĨA
Tính y’ và đạo hàm của y’ biết
3
2
x

5
x
 4x
a. y =

Giải
Ta có
2
3
x
 10 x  4
y’ =
(y’)’= 6x - 10

b. y = sinx
Giải
Ta có
y’ = cos x
(y’)’ = - sinx

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểmx � a, b 
. Khi đó hệ thức y’ = f’(x) xác định một hàm số
mới trên khoảng (a, b). Nếu hàm số y’ = f’(x)lại có
đạo hàm tại mọi x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo
hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x
Kí hiệu y’’ hoặc f’’(x)
Chú ý
Đạo hàm cấp ba kí hiệu là y’’’hoặc f’’’(x) hoặc f(3)(x)
Đạo hàm cấp n – 1 kí hiệu là f(n- 1)(x) (n �, n �4)
Đạo hàm cầp n của f(x) kí hiệu là y(n) hoặc f(n)(x)

f

 n

 x  

f

( n 1)

 x 

'


Ví dụ: Cho y = x5

a. Hãy điền vào bảng sau

y’

y’’

5x

4

20x3

y’’’

y(4)

y(5)

60x2

120x

120

b. Tính y100
c. Bắt đầu từ n bằng bao nhiêu thì yn bằng 0
Giải
y100 = 0;

n=6

y(6)

0


Câu hỏi trắc nghiệm
Hãy điền đúng sai vào ô trống
a) y = sinx có y’’ = sinx

S

b) y = sinx có y’’ = -sinx

Đ

c) y = sinx có y(3) = cosx

S

d) y = sinx có y(3) = -cosx

Đ


II. Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI

Hđ 2: Ta có: v(t) = s’ = gt
Với t0 = 4s thì v(4) = 4.g = 4.9,8 = 39,2 m/s
Với t1 = 4,1s thì v(4,1) = 4.g = 4,1.9,8 = 40,18 m/s

1 2 1

g (t  t )
v v(t1 )  v(t2 ) 2 1 0 1


 g  t1  t0  �39,69
t
t1  t0
t1  t0
2


Xét chuyển động xác định bởi phương trình s = f(t),
trong đó s = f(t) là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai
Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là v(t) = f ’(t)
Lấy số gia t tại t thì v(t) có số gia tương ứng là v
Tỉ số

v
t

được gọi là gia tốc trung bình

của chuyển động trong khoảng thời gian
Nếu tồn tại

v
v '(t )  lim
  (t )
t �0 t

t

Ta gọi v '(t )   (t )

là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t
Vì v(t) =

Nên  (t )  f ''(t )


1. Ý nghĩa cơ học
Đạo hàm cấp hai f ’’(t) là gia tốc tức thời của
chuyển động s = f(t) tại thời điểm t
HĐ 3 Tính gia tốc tức thời của sự rơi tự do
1 2
s  gt
2

Giải
Vì đạo hàm cấp hai f ’’(t) là gia tốc tức thời của
chuyển động s = f(t) tại thời điểm t
Nên ta có s’ = gt suy ra s’’ = g


2. Ví dụ:
Xét chuyển động có phương trình

S(t) = Asin  t    (A;   là những hằng số)

Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động

Giải
Gọi v(t) là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời
điểm t, ta có
'
 A cos(t   )
�
A
sin

t




v(t) = s’(t) = �
�
�
Vậy gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là

 (t )  s (t )  v (t )   A sin  t   
''

'

2


Tóm tắt bài học
1. Đạo hàm cấp 1, 2, 3,
4, …, n

Kí hiệu
y’, y’’,y’’’,y4 , .... , y(n)
2. Phương trình chuyển động
Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là
v(t) = f ’(t)
Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là
 (t )  f ''(t )


Bài tập
Bài tập 1 Tính f ’’(x) biết
a. f(x) = (2x – 3)5
b. f(x) = 3x2 + 3x
Giải
a. f ’(x) = 5.2(2x-3)4 = 10 (2x-3)4
Suy ra f ’’(x) = 80(2x – 3)3
b. f ’(x) = 6x +3
Suy ra f ’’(x) = 6
Bài tập 2 Tính f ’’(3) của bài 1a
Ta có: f ’’(x) = 80(2x – 3)3
Suy ra f’’(3) = 80.(2.3- 3)3 = 80.27 = 2160