Tiet 28 vecto trong khong gian

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN

Bài giảng Hình học 12
Tiết 33

VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TỐN VECTƠ
TRONG KHƠNG GIAN
NGƯỜI SoẠN: PHẠM THỊ ÁNH HỒNG
TỔ TOÁN -TIN


CHƯƠNG II

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
KHƠNG GIAN
§1. VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TỐN VECTƠ
TRONG KHƠNG GIAN


1.Vectơ trong không gian
ĐỊNH NGHĨA VECTƠ

V
E
C
T
Ơ

2 VECTƠ CÙNG PHƯƠNG

2 VECTƠ BẰNG NHAU

VEC TƠ-KHÔNG


PHÉP CỘNG CÁC VEC TƠ

CÁC
PHÉP
TOÁN
VECTƠ

PHÉP TRỪ HAI VECTƠ

PHÉP NHÂN VÉC TƠ
VỚI MỘT SỐ
TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA
HAIVÉC TƠ


MỘT SỐ TÍNH CHẤT QUAN TRỌNG
• Qui tắc 3 điểm.

uuur uuur uuur
Với ba điểm A,B,C bất kì ln có: AB + BC = AC
uuu
r uuu
r uuur
BC − BA = AC
• Qui tắc hình bình hành.
uuur uuur uuur

Nếu ABCD là hình bình hành thì: AB + AD = AC

• Tính chất trung điểm đoạn thẳng:
uuu
r uuu
r r
GA + GB = 0
G là trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ 
uuur 1 uuu
r uuu
r
 Với O bất kì: OG = OA + OB
• Tính chất trọng tâm tamuu
giác:
2
u
r uuu
r uuur r
GA + GB + GC = 0
G là trọng tâm ∆ ABC ⇔ 
uuur 1 uuur uuu
r uuur
 Với O bất kì: OG
= (OA + OB + OC )

(

)

3

uuu
r uuu
r uuur uuur r
0
G là trọng tâm tứ diện ABCD ⇔ GA + GB + GCu+uurGD =uu
r uuu
r uuur uuur
1 u
Với O bất kì: OG = 4 OA + OB + OC + OD

• Tính chất trọng tâm tứ diện.

(

)


• Chứng minh tính chất trọng tâm tứ diện.

uuu
r uuu
r uuur uuur r
GA + GB + GC + GD = 0
G là trọng tâm tứ diện ABCD ⇔ 
uuur 1 uuu
r uuu
r uuur uuur
Với O bất kì: OG
= ( OA + OB + OC + OD )
4

A

•Nếu gọi P,Q lần lượt là trung
điểm của hai cạnh AB và CD thì:

uuur uuur uuur
GA + GB = 2GP
uuur uuur uuur
GC + GD = 2GQ

P
B

G
D

Q
Khi đó:
C
uuur uuur r
uuur uuur r
uuur uuur uuur uuur r
GA + GB + GC + GD = 0 ⇔ 2GP + 2GQ = 0 ⇔ GP + GQ = 0
⇔ G là trung điểm đoạn thẳng PQ
⇔ G là trọng tâm của tứ diện ABCD


• Chứng minh tính chất trọng tâm tứ diện.

uuu
r uuu
r uuur uuur r
GA + GB + GC + GD = 0
G là trọng tâm tứ diện ABCD ⇔ 
uuur 1 uuu
r uuu
r uuur uuur
Với O bất kì: OG
= ( OA + OB + OC + OD )
4

ãVới điểm O bất k× ta
uuur uuur uuur
cã: GA = OA − OG

uuur uuur uuur
GB = OB − OG
uuur uuur uuur
GC = OC − OG
uuur uuur uuur
GD = OD − OG

A
P
B

G

D

Q

C
r
uuur uuur uuur uuur uuur r
GA + GB + GC + GD = 0 ⇔ −4OG + OA + OB + OC + OD = 0
uuur 1 uuu
r uuu
r uuur uuur
⇔ OG = (OA + OB + OC + OD )
4

Bëi
uvËy:
uur uuur uuur uuur


2.Cỏc vộc t ng phng
Định
nghĩa
Ba vectơ gọi là đồng phẳng
nếu ba đờng thẳng chứa
chúng cùng song song với một
mặt phẳng
Nhn xét:
B
Nếu ta vẽ:

uuu
r r uuu

r r uuur r
OA = a; OB = b; OC = c

α

C

r
a
r
c

r
b

r r A
r b a
c
O

r r r
Thì: Ba véc tơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi
bốn điểm O,A,B,C cùng nằm trên một mặt phẳng


Ví dụ1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
Hãy xác định rõ ba véc tơ nào sau đây đồng
phẳng hoặc không đồng phẳng.
uuur uuuuruuuur
1) DA, DC , DD ' (Không đồng phẳng)

uuur uuuuruuuuur
D
2) DA, DC , D ' B ' (Đồng phẳng)
uuuu
r uuuuruuuur
3) BC ' , CB ' , D 'C ' (Không đồng phẳng)
uuur uuuuruuuu
r
4) AA ', CC ', DB ' ( đồng phẳng)
D’

B

A
C

A’

B’
C’


§Þnh lÝ
r r r
r r
1.
a, b, c trong a, b
Cho ba vectơ
r r r
đó

khụng cựng phng.Khi ú ba vộc t a , b, c
đồng phẳng nếu và chỉ nếu có các số k và l
r
r
sao cho r

c = k a + lb

r
b
O

r
c

B

r
a

A

C


r r r
Định lí Nếu ba vectơa , b, c không đồng phẳng
r
r
r

r
r
2.
thì với mọi vectơ
x ta đềux = k a + lb + mc
cã: ®ã bé 3 sè k,l, m lµ duy nhÊt.
Trong

Chøng minh:

r
c

Tõ O vÏ

uuu
r r uuu
r r uuur r uuur r
OA = a, OB = b, OC = c, OX = x

Vẽ XX’ song song (hoặc trùng)
với OC cắt mp(OAB) tại X’
uuur uuuur uuuuur
Ta có: OX = OX ' + X ' X ( 1)

uuuuur
r
X ' X = mc ( 2 )

Vì

C

O
A

r
a

r
xr
b

r
r
r
r r uuuu
a, b, OX ' đồng phẳng, a, b không cùng phương

uuuu
r
r
r
⇒ OX ' = k a + lb ( 3)
r uuur
r
r
r
Từ (1),(2),(3) ta có:
x = OX = k a + lb + mc

X

B
X’


Chứng minh bộ ba số k,l,m là duy nhất.
Nếu còn có bộ ba số k’, l’ , m’ sao cho:

r
r
r
r
x = k ' a + l ' b + m' c
r
r
r
r
r
r
'
'
'
Thì: k a + lb + mc = k a + l b + m c

r
r
r r
⇔ ( k − k ')a + (l − l ')b + (m − m ')c = 0(*)

r
l ' − l r m' − m r
b+
c
NÕu k’ ≠ thì
k (*) ⇔ a =
k −k'
k k'
r r r
Suy ra a, b, c đồng
( trái với giả thiết)
phẳng
Vy : k = k

Chng minh tng t ta cũng có l’ = l, m’ = m
Vậy bộ ba số k,l,m là duy nhất.


Ví dụ
2. hình lập phơng ABCD.ABCD cnha. Gọi M, N
Cho
uuur r uuur r uuuur' r
lần lợt là trung điểm của AD vµ BB’.Đặt
AB = a, AD = b, AA = c

r r r
uuuu
r uu'ur
a)Biểu diễn MN , A C theo a , b, c
b)Chứng minh: MN⊥A’C

uuuur uuur uuur uuur
Gi¶i: a) MN = MA + AB + BN

−1 r r 1 r
= b+a+ c
uuuur u2uuur uuur 2 uuur
A ' C = A ' A + AB + BC

r r r
= −c + a + b

rM
b
D r
c

A

r
a

B
C

A’

D’
C’
rr

rr
rr
b)Ta có: a.b = 0, b.c = 0, c.a = 0
r r r
uuuur uuuur
r2 r 2 1 r2
−1 r r 1 r
1
MN . A ' C = ( b + a + c) (−c + a + b) = − b + a − c

2

2

2

2

2
2
a
a
=−
+a 2 −
= 0 .Nh vËy: MN⊥A’C
2

2

N

B’


BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 1, 2, 4, 6, 7 (SGK trang 59)


Xin chân thành cảm ơn sự chú ý theo dõi của
các thày giáo, cô giáo và các em học sinh!