Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 12 cách giải các dạng toán về tính tích phân cơ bản ở bậc Trung học phổ thông

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12
CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TỐN VỀ TÍNH TÍCH PHÂN CƠ BẢN
Ở BẬC THPT

Người thực hiện:
Mai Huy Sáu
Chức vụ:
Giáo Viên
SKKN thuộc mơn: Tốn

THANH HĨA NĂM 2016
0


MỤC LỤC

Trang
1. Mở đầu
- Lý do chọn đề tài..................................................................................1
- Mục đích nghiên cứu........................................................................... 2
- Đối tượng nghiên cứu.......................................................................... 2
- Phương pháp nghiên cứu..................................................................... 2
2. Nội dung sáng kiến.
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm ...................................... 2
2.2. Thực trạng vấn đề .......................................................................... 3

2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã được sử dụng
2.3.1. Một số tích phân cơ bản của hàm số phân thức hữu tỷ................ 4
2.3.2. Một số tích phân cơ bản của hàm số vơ tỷ .................................. 6
2.3.3. Một số tích phân cơ bản của hàm số lượng giác ......................... 12
2.3.4. Một số tích phân cơ bản của hàm số mũ và lơgarit..................... 15
2.4. Hiệu quả SKKN ............................................................................ 19
3. Kết luận, kiến nghị............................................................................. 19

1


1. Mở đầu
- Lý do chọn đề tài.
+ Tính tích phân là bài toán thường gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT và kỳ
thi tuyển sinh vào đại học. Rèn luyện cho học sinh có kỹ năng tính tích phân là
nhiệm vụ đặc biệt quan trọng. Trong quá trình dạy học mơn Tốn nói chung và dạy
bài tập về tính tích phân trong chương trình trung học phổ thơng học sinh thường
lung túng khơng biết hướng suy nghĩ tìm tịi lời giải, học sinh khơng biết bài này
thì đổi biến hay dùng phương pháp tích phân từng phần.
+ Đối với những bài toán như vậy, giáo viên cần hướng dẫn học sinh tìm tịi để
phát hiện ra lời giải, nhằm trang bị cho học sinh tri thức suy luận, tư duy sáng tạo
trong giải tốn. Chúng ta có thể thơng qua những hướng dẫn giải bài tốn “bài tốn
gốc” có trong sách giáo khoa dần truyền thụ cho học sinh suy nghĩ phát hiện lời
giải. Xuất phát từ bài toán “bài toán gốc” định hướng cho học sinh “suy luận” từ đó
“quy bài tốn lạ” về “bài tốn quen” củng cố lịng tin cho học sinh học tốn, say mê
với tốn và giải tốn có hiệu quả. Dạy và hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân ở
cấp THPT, tôi đặt câu hỏi: “Làm thế nào để giúp học sinh chủ động giải tốn tích
phân, học sinh tin tưởng là giải được bài tốn tích phân có trong sách giáo khoa,
các bài tốn tích phân trong kỳ thi THPT Quốc gia?”.
+ Trong khoảng thời gian giảng dạy và nghiên cứu về tích phân, tơi nhận thấy

hiện chưa có các tài liệu nghiên cứu nào bàn sâu và chi tiết về cách giải bài tập tích
phân cơ bản thường gặp.
+ Qua giảng dạy, tôi đúc rút kinh nghiệm và mong muốn trao đổi với đồng nghiệp
một số hướng suy nghĩ để giải quyết một số bài tập tích phân cơ bản - dạng quen
thuộc (khơng có ý tìm ra hay đưa ra cách giải tổng quát cho một dạng toán tích
phân cụ thể, hay nêu bài tốn tổng qt và lời giải tổng qt cho tích phân ấy, mà
tơi chỉ nêu các hướng giúp học sinh “biết định hướng cách giải”, suy luận được khi
giải tốn tích phân)
- Mục đích nghiên cứu:
+ Nghiên cứu đề tài nhằm tổng hợp các bước hướng dẫn học sinh giải bài tập tích
phân cơ bản một cách hợp lý và đạt hiệu quả nhanh nhất.
+ Trên cơ sở những kinh nghiệm của bản thân, cùng với những trao đổi với đồng
nghiệp để tìm ra các giải pháp hữu hiệu vận dụng trong quá trình hướng dẫn học
sinh giải bài tập tích phân cơ bản. Góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn
Tốn ở lớp 12.
- Đối tượng nghiên cứu: Các bài tốn tích phân cơ bản thường gặp trong chương
trình giải tích lớp 12.
- Phương pháp nghiên cứu:
+ Xây dựng cơ sở lí thuyết.
+ Khảo sát thực tế.
+ Phương pháp phân tích, suy luận, tổng hợp, so sánh…
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2


2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
1) Bảng các nguyên hàm cơ bản, các tính chất của nguyên hàm, các tính chất của
tích phân (SGK giải tích lớp 12)
2) Để giải tốn tích phân học sinh phải nắm được các vi phân “cơ bản” thường gặp,
1

dx
 d (ln x) ;
Chẳng hạn: dx  d ( x  b)  d (ax  b) với a �0 ; d (e x )  d (e x  c)  e x dx ;
a

x
1
1
sin xdx   d (cos x)   d (cos x  b) ; sin kxdx   d (cos kx)   d (cos kx  b) , với k �0
k
k
x
sin x
1
dx  d ( x 2  a 2 )
dx

d
(
)
Các vi phân phức tạp hơn:
;
2
2
2
cos x
cos x
x a
dx
x

d�
ln( x  x 2  k ) �; (1  1 )dx  d ( x  1 ) ...
dx  d ( a 2  x 2 ) ;
�
�
x
x2  k
x2
a2  x2

3) Ngoài ra học sinh phải nắm được các vấn đề cốt yếu sau đây:
a) Sử dụng thành thạo định lý Niu tơn – Leibnitz(SGK GT 12):
Nếu hàm số y  f ( x ) liên tục trên  a ; b  và F  x  là một nguyên hàm của hàm số
f  x  thì

b

f ( x)dx  F  x 
�
a

b
 F  b  F  a
a

Chú ý: Giả thiết f  x  liên tục trên  a ; b  là điều kiện bắt buộc phải có để được sử
dụng định lý. Một số học sinh cứ tưởng có được F  x  là tính được tích phân,
3
4

3
dx
chẳng hạn nếu viết I  � 2  tanx 4 1 ? 
0 cos x
0

Ta đã biết f  x  

1
không
cos 2 x

 � 3 �
� 0; �nên I không tồn tại.
2 �
� 4 �
b) Phương pháp đổi biến số.
Cơ sở của nó là định lý sau: Nếu t =  ( x) đơn điệu trên đoạn  a ; b  thì

xác định tại x =

b

,

 (b )

f ( ( x)) ( x) dx  �f (t )dt .
�
a

 ( a)

(SGK giải tích lớp 12)

c) Phương pháp tích phân từng phần.
b
b b
udv  uv  �
vdu .
Ta có: �
(SGK giải tích lớp 12)
a a
a
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Qua giảng dạy bài tốn tính tích phân, học sinh thường lúng túng gặp nhiều khó
khăn. Khơng biết bài này dùng phương pháp tính nào đổi biến hay tích phân từng
phần), nếu đổi biến số thì đổi như thế nào(đặt x    t  hay t  u  x  ), còn nếu dùng
phương pháp tích phân từng phần thì khơng biết chọn u và dv sao cho thích hợp…
3


Kết quả khảo sát khi tơi dạy phần tích phân cho học sinh lớp 12 năm học 20132014 khi chưa áp dụng sáng kiến này:
Điểm < 5
Điểm 5 � < 8
Điểm �8
Lớp
Sĩ số
số lượng
%

số lượng
%
số lượng
%
12D

38

13

34,21

23

60,52

2

5,27

12P

47

17

36,17

24

51,06

6

12,77

Từ kết quả trên tôi nhận thấy tỉ lệ học sinh có số điểm dưới trung bình là q
cao, trong khi đó học sinh đạt điểm giỏi lại quá thấp. Điều này khiến bản thân tơi
phải trăn trở tìm ra phương pháp hướng dẫn học sinh biết cách giải các dạng tốn
tích phân cơ bản một cách dễ dàng và hiệu quả nhất.
2.3 Các giải pháp được sử dụng trong việc hướng dẫn học sinh giải các tích
phân cơ bản.
Thơng qua một số dạng tích phân cơ bản tôi hướng dẫn cho học sinh các cách tiếp
cận khác nhau, áp dụng vào giải các tích phân đơn giản khác:
Các tích phân “cơ bản” và các cách tính phổ biến (với giả thiết hàm số dưới dấu
tích phân liên tục trong đoạn đang xét):
2.3.1. Một số tích phân cơ bản của hàm số phân thức hữu tỷ:
 '

f ( x)
a) Tích phân I1  � dx  ln f ( x)

f ( x)

Ví dụ 1: Tinh tích phân I 

x3
dx
�
2

0 x 1
1

1

1
x
1 2 1 1 1 2x
1 1
( x  2 )dx = x
 �2 (*) =
 ln x 2  1
Ta c ó: I  �
0
2 0 2 0 x 1
x 1
2 2
0
Chú ý: Tích phân (*) có dạng I1
1

 x 1 2 dx

Bài tập tương tự: Tính I  � 2
0

b)

- Tích phân I 2 



f ( x)

�
( x  x )( x  x



Ta viết

(Trích ĐH khối D năm 2013)

x 1

2)

1

dx

(với bậc của f  x  nhỏ hơn hai)

f ( x)
A
B

=
( x  x1 )( x  x2 )
( x  x1 ) ( x  x2 )



- Tích phân

f ( x)

�
( x  x )( x  x



1

2
0)

dx với bậc của f  x  nhỏ hơn ba

4


Ta tìm các hệ số A, B, C sao cho:
Ví dụ 2: Tính tích phân I 

1

f ( x)
C
A
B



2 =
( x  x1 ) ( x  x0 ) ( x  x0 )2
( x  x1 )( x  x0 )

4x  5

dx
�
x 2  3x  2
0

Mẫu số là tam thức bậc hai có hai nghiệm: x   1; x   2 , nên ta tìm A, B sao cho:
4x  5
A
B

=
x 1 x  2
x  3x  2
2

Bằng phương pháp hệ số bất định ta tìm được: A 1; B  3
Vậy: I 

1

4x  5
dx =

�
2
x

3
x

2
0

1

1
1
1
1
dx
dx = ( ln x  1  3 ln x  2 ) = 3 ln 3  2 ln 2
+ 3
�
0
x 1
x 2
0
0

2 2
x  3 x 1
I


Bài tập tương tự: Tính
�x2  x dx (Trích ĐH khối B năm 2014)
1
1

Ví dụ 3. Tính tích phân I 
1

Ta có: I 

�2
0

x

1
 3x  2



�2
0

x

dx =
2

1
 3x  2



2

dx

1

1
1 2
(

) dx =
�
x

1
x

2
0

1

1

dx

dx

�
2
0  x  2

�x 1 2
0





1
�
x  1 �1
1
1
1
1
2
3
  x  1   x  2   2ln
2 �
(

)dx = �
� =  2ln
x  2 �0 3
x 1 x  2
4
�

0

Ví dụ 4. Tính tích phân I 

2

x 2

dx
�
( x  1)( x 2  2 x  4)
0

x2
A
Bx  C
=
+ 2
,
2
x 1
( x  1)( x  2 x  4)
x  2x  4
1
1
2
Theo phương pháp hệ số bất định ta có A = ; B =  ; C = . Khi đó:
3
3
3

Ta tìm A; B; C sao cho:

2
2
1 2 dx
1 ( x  2)dx = 1 dx
I  �  �2

3 0 x 1 3 0 x  2 x  4
x 1
3�
0
2

Tính

�
0

dx

( x  1) 2  3

2

1
6

2

2 x  2 dx +
�
2
0 x  2x  4

2

�
0

dx
2

( x  1)  3

2

.

ta đổi biến: x + 1 = 3 tant. Từ đó tính được tích phân I


dx
x  a2

Chú ý : Khi gặp tích phân dạng : I 4  �2


ta có thể đặt : x  a tan t hoặc x  a tan t

5


1

x3
dx (Trích ĐH khối B năm 2012)
Bài tập tương tự: Tính I =  4
2
0 x  3x  2

c) Việc sử dụng thành thạo các vi phân cơ bản giúp ta định hướng cách giải, chẳng
hạn: (1 

1
1
1
) dx  ( x  ) ' dx  d ( x  ) .
2
x
x
x
2

Ví dụ 5. Tính tích phân sau I =

1 x

2

2

1 x 4 dx

Ta có:

1

Nên ta đặt t = x 
 I

1 x
1 x 4

1
x2
=
.
1
2
x  2
x
1

1
1
 dt = (1  2 )dx
x
x

3
2

3
2

1
2 1
dt = 1
1
1
ln(
)
= ... =
(

)
dt
t 2  2 2 2 �t  2 t  2
2 2
2 1
1
1
2

1 x 2
x  x 3 dx .
1
1

1
1
d ( x  )
2
2
1 x
1
4
x
dx  x
dx 
x   I  ln
Ta có:
,
nên
ta
đặt
t
=
3
1
1
xx
x
5
x2  2
x2  2
x
x

Ví dụ 6. Tính tích phân: I 

2.3.2. Một số tích phân cơ bản của hàm số vơ tỷ:
a) Tích phân J1 






dx
2

x  a2

Ta có thể thực hiên theo các cách giải sau:
a
sin t
a
+) Cách 2: Đổi biến số x 
cos t

+) Cách 1: Đổi biến số x 

+) Cách 3: Đổi biến số t  x  x 2  a 2
+) Cách 4: Đổi biến số t ln( x  x 2  a 2 )
1

+) Cách 5: Ta viết

x2  a2



1
x  a và đặt t =
( x  a)
xa

x a
xa

Nhận xét: Trong mỗi bài tập ta chọn cách nào là cịn tuỳ vào tình huống đổi cận.

6


4



Ví dụ 7. Tính các tích phân sau : I 

J
x2  4 ;


. Vậy I 
6


3

dt

sin t

dt

�t

= ln t

1 2

b)

- Tích phân J 2 



�

2

dx
x2  1

(Ta sẽ nói kỹ về tích phân này ở phần sau).

Đối với tích phân J ta đặt t = x  x  1 thì ta được :
Tích phân J =




6

2

3 2 2

3

4
 2 cos tdt
2

 dx 
.
Đổi
cận
khi
x
=
thì t =
2
sin t
3
3

sin t

Đối với tích phân I ta đặt x =
cịn khi x = 4 thì t =

4
3

dx

3 2 2
1 2

dx

dt
 .
x2  1 t

= ln(1 2) .

dx

x2  a2



Ta có thể thực hiện theo các cách giải sau:
+) Cách 1: Đổi biến số x  a tan t
+) Cách 2: Đổi biến số x  cot t

+) Cách 3: Đổi biến số t  x  x 2  a 2
+) Cách 4: Đổi biến số t  ln( x  x 2  a 2 )
+) Cách 5: Đổi biến số

x 2  a 2  a  tx

Nhận xét: Trong mỗi bài tập ta chọn cách nào là còn tuỳ vào tình huống đổi cận
- Tích phân J 3 



�x

2

 a 2 dx



+) Cách 1: Đổi biến số x  a tan t
+) Cách 2: Đổi biến số x  a cot t
x
�
du 
dx
�
�
�
u  x2  a2
2

2
�
+) Cách 3: Tích phân từng phần �
�
x a
�
�dv  dx
vx
�

 2
x 2 dx
x  a2  a2
2
2 
2
2 

x x a

dx =
Khi đó J = J  x x  a
 �a 2  b 2
 � a 2  b 2

  2 2
dx
2
 �a  b dx  a �
= x a b

2
2
 
 a b
2

2

� J3 = x x 2  a 2 + a 2 J 2 (đã có)
7


+) Cách 4: Đổi biến số t  x  x 2  a 2
Nhận xét: Trong mỗi bài tập ta chọn cách nào là cịn tuỳ vào tình huống đổi cận
Ví dụ 8. Tính tích phân sau: I 

2 3

�2
2

Đặt x  2 tan t � dx 
I


3

dx

x

x2  4

2


dt và khi x = 2 thì t = , khi x = 2 3 thì t = .
2
4
3
cos t

cos tdt (tích phân này có thể chuyển về tích phân hàm hữu tỷ khi đặt
u  sin t )

�
4sin 2 t


4

3

Ví dụ 9. Tính tích phân: I =

�x

2

1dx ta dùng phương pháp tích phân từng phần:

2

�
�
u  x 2 1

Do biểu thức trong dấu tích phân có chứa căn bậc hai , nên ta đặt: �

dv  dx
�

xdx
�
3
du

dx
3 3 x 2 dx
3 3 2
�
2
2
2


I

� �
�


x

1
dx
x 1
=
x x 1
x
x

1
�
�
2
2 2 x 2 1
2 �
2 x 1
�
2
vx
�
3 3 2
hay 2I = x x 1  �x 1dx (Đây là tích phân đã đề cập phần a) tích phân J1)
2 2
2



c) Tích phân J 4  �



dx

a2  x2

Đổi biến số x  a sin t hoặc x  acos t
1


2

x 1  x dx . Ta đặt x  a sin t thì I = 1 sin 2 t cos 2 tdt =..
Ví dụ 9: Tính tích phân I  �
�
2

2

80

0

1

Bài tập tương tự:

a)

�

0



d) Tích phân: J 5  �


x 2 dx

1

2 3

( 4 x )

;

dx
2

(ax  b) mx  nx  p

x 2 4  3x 2 dx
b) �
0

với mx 2  nx  p  0 ,  x �R

1
Đổi biến số: ax  b  ta sẽ đưa tích phân J 5 về dạng

t






dx
2

x  a2

(Tích phân J2).

8


Ví dụ 10: Tính tích phân I 

2 3

1
t

,(ĐH khối A - 2003)

x x2  4

5

ta đặt x  ta có dx  

dx

�

1
5

dt
. Khi đó I 
t2

�
1

dt
4t 2  1

(tích phân J2)

2 3

Nhận xét: Trong ví dụ 10 nhiều học sinh nghĩ là đặt x  2 tan t , nhưng vấp phải
việc đổi cận tích phân.
Bài tập tương tự. Tính tích phân I 

4

�

7



e) Tích phân J 6  �

mx  n

x x2  9

2
dx
J

J=
�4 2
x 1
1 x

;

(với a  0, m �0 )

dx

2

dx

ax  bx  c



mx  n
d (ax 2  bx  c)
dx
dx  A.�
 B.�
Cách tính: J 6  � 2
2
ax 2  bx  c
 ax  bx  c

 ax  bx  c




Tìm A, B bằng phương pháp hệ số bất định

3
5x  3
I

dx
Ví dụ 11. Tính tích phân:
� 2
2 2x  8x  1
5x  3
(2 x 2  8 x  1) '
1

Ta tìm A ; B sao cho
 A.
B
2 x2  8x  1
2 x2  8 x  1
2 x2  8 x  1
3
3
2
Khi đó I  5 d (2 x  8 x  1)  13
�
�

5
� A  ; B   13
4
3

=

42

5
2 2 x 2  8 x 1
4



1


2d

 2 x

3

Với J  �
2

2

2

2 x  8x  1

2x2  8x  1

2x  8x  1



đưa về dạng

�



dx

x2  k

(quen thuộc)

f) Khi gặp tích phân dạng: x ax 2  b hoặc dạng
còn khi gặp dạng

=

2

 8 x 1 13J


dx

2

dx

ax 2  b
thì đặt t  ax 2  b
x

a
b

a 2  b 2 x 2 ta đặt x  sin t sint.
1

Ví dụ 12. Tính tích phân:

x
I �
dx .
2
0 4x

+) Cách 1:Đặt t  4  x 2 � t 2  4  x 2 � tdt   xdx và x  0 thì t  2 ; x  1 thì t  3
9


Vậy: I 

2

�dt  t

2

3

3

2 3

+) Cách 2: Nhận thấy trong căn có dạng a 2  x 2 nên ta đặt x  2sin t � dx  2costdt .

6

khi đó: I  2 sin tdt .

�
0

1

x 2  x 2 dx (ĐH khối B – 2013)
Ví dụ 13. Tính tích phân : I  �
0
2

+)Cách 1: Đặt t  2  x 2 � t  2  x 2 � tdt   xdx và x  0 thì t  2 ; khi x  1 thì
t 3.

t3 2
2 2 1
t dt =
Vậy: I  �
=
.
31
3
1
2

2

+) Cách 2: Nhận thấy trong căn có dạng a 2  x 2 nên ta đặt x  2 sin t �


1

2
dx  2costdt . khi đó: I  sin 2tdt =  cos2t 2 1

�

2

0

0

1

x 4  3x 2 dx ;
Bài tập tương tự. Tính tích phân I  �
0

g) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có chứa

n

ax  b thi ta thường đặt t  n ax  b

2

xdx
(ĐH. A-2004)
1 1  x 1

Ví dụ 14: Tính tích phân I  �

Đổi biến số dạng 1: Đặt t  x  1  t 2  x 1  dx  2tdt ;
Đổi cận : khi x  1 thì t  0 ; khi x  2 thì t 1
1

 1  t  .2tdt

I�
0

2

1 t

1
t  t3
2
= � dt (đây là tích phân hàm hữu tỉ, từ đó tính được I ).
1 t
0
7
3

Ví dụ 15. Tính tích phân I  x  1 dx
�
0

7
3

3

3x  1
7

3
2
1
 3x 1  2 �
�
�dx = 1 �3x 1 3  2 3 x 1  3 �d 3 x 1
Ta có I  1 �





�
�
�
3 3x 1
3�
9
�
�
0
0
5
2 �7
1�

3
= �  3x  1 3  3  3 x  1 3 �3
9�
5
�0

=

46
15

10


9

1

x 1  xdx ; J  �
 x  1
Bài tập tương tự: I  �
3

2

xdx

0

1

2.3.3. Một số tích phân cơ bản của hàm số lượng giác:
b

dx
sin x
a

a) Tích phân K1  �

Ta có thể tính bằng các cách đổi biến sau:

b
x
dx
dt
� dt 
� K1  �
+) Cách 1: Đặt
x
2
t
a
2.cos 2
2
b
b
b
dx
sin xdx

d (cosx )


+) Cách 2: K1  �  �
(Đặt t  cosx , đưa về cách tính tích
�
2
2
sin
x
1

cos
x
1

cos
x
a
a
a

t  tan

phân hàm phân thức hữu tỷ)
b

dx
cosx
a

b) Tích phân K 2  �

b
dt
x
1 t2
� K2  � 2
- Cách 1: Đặt t  tan thay cos x 
2
2
1 t
a 1 t
b
dx b d (sin x)
cosx
K

- Cách 2: Nhân tử và mẫu với
, ta có 2 �  � 2 (Đặt t  sin x , đưa
cosx a 1  sin x
a

về cách tính tích phân hàm phân thức hữu tỷ quen thuộc)
x

2 

x
b 1  tan (  )

b d (tan(  ))
dx
4 2 dx  
4 2
�
- Cách 3: K 2  � �
�

x

x
�
a sin
a tan(  )
�  x � a 2 tan( 4  x )
4 2
�2
�
b

�x  �b
  ln tan �  �
�2 4 �a
b

R  sin x ;cos x  dx (trong đó R là hàm số phân thức hữu tỉ)
c) Tích phân dang: K3  �
a

Thơng thường ta đưa về tích phân của hàm hữu tỉ bằng phép đổi biến đặt t  tan

x
2

i)Trường hợp đặc biệt:
+) Nếu R  sin x; cosx  là hàm số lẻ đối với sin x thì đặt t  cosx
+) Nếu R  sin x; cosx  là hàm số lẻ đối với cosx thì đặt t  sin x
+) Nếu R  sin x; cosx  là hàm số đều chẵn đối với sin x và cosx thì ta đặt t  tan x
ii) Trường hợp tổng quát: Ta hướng dẫn học sinh áp dụng mệnh đề sau:
11


b

R  sin x ;cos x  dx , ( trong đó R là hàm số phân thức hữu tỉ)
Giả sử phải tính �
a

Ta kí hiệu  ( x )  R  sin x,cos x  dx gọi là vi phân của hàm phải tính.
+) Nếu    x  =   x  thì ta đổi biến số: u  cosx
+) Nếu     x  =   x  thì ta đổi biến số: u  sin x .
+) Nếu     x  =   x  thì ta đổi biếnsố: u  tan x .

2

Ví dụ 16. Tính tích phân: I  sin 2 x dx ( Đề thi TN năm 2006)
� 2
0

4  cos x

sin 2 x
dx . Ta có    x  =   x  nên đổi biến số u  cosx ,
4  cos 2 x
1
t
đưa tích phân I  � 2 dt , đây là tích phân quen thuộc.
0 4t

Đặt   x  =


3

sin 3 x
J �
dx ;
2  cos x

sin 3 xdx ;
Bài tập tương tự: Tính các tích phân I 
�
3
0 cos x. cos x

2

Ví dụ 17. Tính tích phân sau: I = cos3 x sin 4 xdx .
�
0

Biểu thức trong tích phân cosx có bậc lẻ (    x  =   x  ) nên đặt u  sin x , đưa
1

(1  u 2 )u 4 du , áp dụng bảng nguyên hàm ta được I 
tích phân về dạng: I  �
0


6


2


2

0

2

0

2

2
35

Bài tập tương tự: I  sin x dx ; J  sin 2 x.cos3 x.dx ; K  (cos3 x 1)cos 2 x.dx
�

�
�
0

cos x

4
Ví dụ 18. Tính tích phân sau: I  tan x dx ( Trích ĐH A – 2008)
�
0

Đặt   x  

2

4

cos 2 x

tan 4 x
dx thì có     x     x  nên ta đổi biến số u  tan x ,
cos 2 x

tan x =
I�
dx
cos
2
x
0


2

4

tan x
dx =
�
2
2
0 cos x  sin x

4


2

1 4
t dt
tan 4 x
= � 2 (Tích phân htỷ)
dx
�
2
2
0 1 t
0 cos x (1  tan x)



sin 2 xdx
6
dx
I

Bài tập tương tự: Tính
�cos4 x(tan 2 x  2 t anx  5) ; J  �

cos x  sin x  cos x 

0
4

12



6

Ví dụ 19. Tích phân: I  dx
� 3
0

cos x


6



6

Cách 1: Ta có I  cos xdx =
� 4
0

Cách 2: Đặt u 

(Đề thi HSG tỉnh năm 2005)
d (sin x)

=

�
(1  sin 2 x) 2

cos x

0

1
2

dt

�
(1  t 2 )2

(Tích phân hàm hữu tỷ)

0

dx
sin xdx
1
và dv  2 ta có du 
và v  tan x .
2
cosx
cos x
cos x


 6
1
dx
Vậy 2 I 
(Đưa về tích phân cơ bản K2, đã trình bày cách giải)
tan x 6  �
cos x
cosx
0 0

2

dx
,
4sin x  3cos x  5

Ví dụ 20. Tính tích phân: I 

�
0

Ta nhận thấy biểu thức dưới dấu tích phân là bậc nhất đối với sin x và cosx , nên
1
dt
1
2dt
1 1 1
I

.
thông thường ta sẽ đặt t  tan x � dx 
và
= 
�
2 = 
2
2 t2 0
1 t
6
0 (t  2)

2


2

sinxdx
Bài tập tương tự: I 

�
0

2sin x  cos x

dx
; J
�
0

2  cos x

2.3.4. Tích phân chứa hàm số mũ và lơgarít.
a) Sử dụng thành thạo các vi phân cơ bản.
1
dx
 d  ln x  ,
Chẳng hạn: dx  d ( x  b)  d (ax  b) với a �0 ; d (e x )  d (e x  c)  e x dx ;
a

x

1
1
sin xdx   d (cos x)   d (cos x  b) ; sin kxdx   d (cos kx)   d (cos kx  b) , với k �0
k
k
ln 3
x
e

dx .
Ví dụ 21. Tính tích phân I  �
x 3
(1

e
)
0

Ta thấy: e dx  d (e 1) nên I 
x

x

ln 3

d (1  e x )

�
0

x 3

(1  e )

, từ đó đặt t  1  e x � e x = t 2  1 �

2

2

2tdt
dt
22
e dx 2tdt . Vậy I  � 3 = 2  2 = 
=
t
t
2
t
2
2
x

1
e2 x
I

Bài tập tương tự:
� x dx ;
0 e 1

J

ln 5

(1  e x )e x

�

ln 2

21

x

e 1

dx ( Đề thi TN năm 2006)

13


e 3

3ln x 1.ln x
dx .
x

Ví dụ 22. Tính tích phân: I  �
1

(ĐH khối B - 2004) Vì

e

dx
3 3ln x  1ln xd (ln x )
 d (ln x) nên I  �
. Biểu thức dưới dấu tích phân chứa hàm
x

1
số ln x . Khi đó đặt t = lnx thì bài tốn được giải quyết
e3

Bài tập tương tự: Tính:

ln 2 x
I�
dx ;
1 x ln x  1

J

e

3  2ln x
dx
2ln x 1

�x
1

1 2
x  e x  2 x 2e x
I

Ví dụ 23. Tính tích phân I =
� 1 2e x dx (ĐH. A - 2010)
0

x 2  e x  2 x 2e x
Ta có:
=
1  2e x
1

I�
x 2 dx +
0

ex
x 2 (1  2e x )  e x
2
x

=
. Do đó:
1  2e x
1  2e x

1

1
ex
ex
1
dx
J

dx . Vì: e x dx  d (2e x  1) nên J tính được.

1  2e x . Đặt
�
x
2
0
0 1  2e
e

x 2e

Tính I  �

Bài tập tương tự:

1

ln x

x


2

3

Ví dụ 24. Tính I  (esin x  cos x)cos xdx
�

1
dx

(Đề thi ĐH khối D năm 2005)

0


2


2

0

0

Ta viết I  esin x cos xdx + cos 2 xdx .
�


2

Vì cosxdx  d (sin x) nên đối với tích phân e sin x cos xdx , ta đặt sin x  t

0

b) Sử dụng thành thạo quy tắc chọn u và dv trong phương pháp tích phân từng
b

b b
udv


uv
�
vdu .
phần: Ta có: �
a
a
a

Chú ý : Nguyên tắc chung để chọn u, dv như sau: Ta chọn sao cho dv dễ tìm được
nguyên hàm của dv .
Đặc biệt: Giả sử f ( x) dx  f1 ( x). f 2 ( x) dx với f1 ( x) là đa thức thì việc lựa chọn u và
dv phụ thuộc vào f 2 ( x) , cụ thể:
+) Nếu f 2 ( x) là các hàm số lôgarit, các hàm số vô tỷ... thì đặt u  f 2 ( x) .
+) Nếu f 2 ( x) là các hàm số lượng giác, hàm số mũ, ... thì đặt u  f1 ( x)
Tuy nhiên đó chỉ là gợi ý chính, trong từng bài cụ thể và tình huống phức tạp các
bạn phải thử vận dụng theo nhiều cách để chọn cách thích hợp.
14


1

(2 x  1)e x dx
Ví dụ 25. Tính tích phân I  �

(Đề thi TN năm 2006)

0

u  2x  1

�
, ta có
dv  e x dx
�

Theo quy tắc chọn u và dv ở trên thì ta đặt : �

 du 2dx

x
 v e

1
1
1
x 1
I

(2
x

1)
e

2
e x dx  (2 x  1)e x  2e x  e  1
Vậy:
�
0 0
0

0
1

( x  3).e x dx (trích : đề thi THPT QG năm 2015)
Bài tập tương tự: Tính I  �
0

2

(2 x3  ln x) dx (đề thi minh họa-THPTQG năm 2015);
Ví dụ 26. Tính tích phân I  �
1

2

2

1

1

2 x3dx + �
(ln x)dx . Theo quy tắc chọn u và dv ở trên thì ta đặt :
Ta có I  �
dx

 u ln x
 du 
x
, ta có 


 dv dx
 v x

2 2
1 42
I

x
x
ln
x
 dx từ đó tính được I.
Khi đó:
+
1 
2 1
1
3

e

(2 x ln x)dx (TN năm 2007); J  �
x3 ln 2 xdx (ĐH-D2007)
Bài tập tương tự: Tính K  �
1

1

e

2

( x  x  1) ln xdx
x( x  1) 2
1

Ví dụ 27. Tính tích phân I  �

( x  1) 2  x �
ln x ln x
( x 2  x  1) ln x �
ln x
�
�
Ta biến đổi như sau :



2
2
x
x( x  1)
x( x  1)
( x  1)2
e

e
ln x
ln x

dx
Vậy : I  � dx  �
2
x
1
1 1 x

Ta nhận thấy:
e

dx
 d (ln x) , với cách nhìn này thì ta dễ dàng tính được tích phân
x

ln x
 x dx . Cịn tích phân :
1

e

ln x
dx , ta đặt :
�
2
1 ( x  1)

u  ln x
�
�
dx và dùng cơng thức tích

�
dv 
2
�
� ( x  1)

phân từng phần ta dễ dàng tính được.
e

x 2 1 ( x3  x ln x  2) ln x
dx
Ví dụ 28. Tính tích phân I = �
(1

x
ln
x
)
1

Ta có tử thức : x 2  1 ( x3  x ln x  2) ln x  ( x ln x  1)( x 2  ln x)  ( x ln x 1) '
15


e

2

( x  ln x )dx +
Do đó : I  �

1

e

e

( x ln x  1) '

�x ln x  1 dx .
1

e

e
( x ln x  1) '
x dx , I 2  �
dx ; I 3  �
ln xdx , ta thấy I1, I2 là các dạng tích phân
Đặt I1  �
x
ln
x

1
1
1
1
2

đã được trình bày ở trên, đối với tích phân I3 theo quy tắc chọn u và dv thì ta đặt

dx

e e
 u ln x
 du 
dx , đến đây hồn tồn tính được
x . Vậy: I 3  x ln x  �
khi đó 

1
 dv dx
 v x
1

Nhận xét: Khi gặp tích phân dạng này ta thường biến đổi như sau:
Giả sử cần tính tích phân có dạng

f ( x)

dx ta biến đổi là:
�
g ( x)

f ( x)  h( x).g ( x)  g '( x)

2

Bài tập tương tự : J =

(ln x 1) x  3 ln x

dx
3
2
x

3
x
1



8
ln x
I

Ví dụ 28. Tính tích phân
�x  1 dx
3

Tích phân từng phần (biểu thức dưới dấu tích phân có chứa hàm số lơgarit)
dx
u  ln x
�
�
8
x 1
�
�du 
3
x

dx
dx � �
+) Đặt �
Khi đó I  2 x  1ln x 1  2�
dv 
x
�
�
3
v  2 x 1
x 1 �
�
8

x 1
dx (là dạng tích phân quen thuộc và đơn giản)
x
3
2
Đặt t  x  1 � t  x  1 � dx  2tdt và x  3 thì t  2 , x  8 thì t  3

+) Quy về tính I  �
3

3
t2
1
dt = 2(1  2 )dt ( tích phân hữu tỉ quen thuộc)
t 1
2

2 t 1

Khi đó I  2 �2

3



1  ln( x  1)
3
dx (ĐH-A 2012) ; J = 1  x sin x dx (ĐH- B 2010)
Bài tập tương tự: I  � 2
�cos2 x
x
1
0

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
- Sau khi tìm tòi và áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tiễn giảng dạy, bản
thân tôi nhận thấy chất lượng giảng dạy được nâng lên rõ rệt. Các em học sinh thực
sự hứng thú với môn học, đa số học sinh giải tốt bài tập trong sách giáo khoa và
làm được các bài tính tích phân của các kỳ thi tuyển sinh vào đại học. Qua kết quả
khảo sát thực hiện trên các lớp học năm 2015-2016(Có cùng điểm đầu vào so với 2
lớp trong năm học 2013-2014), chất lượng bài làm của các em đã đạt kết quả cao
hơn so với các năm trước. Kết quả cụ thể :
16


Lớp

Sĩ số

12G

46

Điểm 5 � < 8

Điểm < 5

Điểm �8

số lượng

%

số lượng

%

số lượng

%

2

4,34

16

34,78

28

60,88

12C
47
4
8,5
19
40,42
24
51,08
- Bản thân khi trao đổi cùng đồng nghiệp thì được đồng nghiệp ủng hộ và cơng
nhận tính hiệu quả của sáng kiến khi đồng nghiệp dạy trực tiếp trên các lớp 12.
3. Kết luận, kiến nghị:
Có thể nói việc hướng dẫn học sinh giải các bài toán về tích phân cơ bản là một
trong những phần quan trọng của chương trình giải tích lớp 12. Để giúp học sinh có
kỹ năng giải tốt các dạng tốn này thì cần:
- Cho học sinh tiếp cận với nhiều bài toán khác nhau, những cách giải khác
nhau.
- Rèn luyện cho học sinh phân tích bài tốn theo chiều hướng khác nhau để tìm
ra lời giải tối ưu nhất.
- Rèn luyện cho học sinh trình bày ngắn gọn, chặt chẽ, hợp logic.
- Phát huy tối đa tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh.
- Tạo điều kiện tối đa để học sinh chủ động giải quyết các bài cơ bản qua mỗi
cách giải tự nhận ra khó khăn(hạn chế), thuận lợi(ưu thế) của mỗi cách giải mà lựa
chọn một cách giải thích hợp nhất cho một bài tốn.
Trên đây là những kinh nghiệm của bản thân tôi đúc rút được trong q trình

giảng dạy. Rất mong được sự góp ý xây dựng của đồng nghiệp để để sáng kiến của
tôi được hoàn thiện hơn, giúp học sinh học tốt hơn về tốn tích phân, nhằm nâng
cao chất lượng giáo dục.
Tơi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 24 tháng 05 năm 2016
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.

Mai Huy Sáu

17


18