chuyen de BDHSG lop 6

GV: Hoàng Dương An



Trường THCS Nghi Đồng

CHỦ ĐỀ 1: PHÉP CỘNG , TRỪ , NHÂN CHIA
VÀ NÂNG LŨY THỪA TRONG N
I.MỤC TIÊU
+ Thực hiện thành thạo các phép toán trên tập hợp N: Cộng trừ,
nhân chia, nâng lên luỹ thừa.
+ Học sinh áp dụng được các tính chất cơ bản vào tính nhanh, tính hợp
lý.
+Giải một số dạng tốn trong tập hợp N
II. TÓMTẮT LÝ THUYẾT
- Trên tập hợp các số tự nhiên có các phép tốn : cộng , trừ , nhân , chia các số tự nhiên và phép lũy
thừa
-Điều kiện để phép trừ hai số tự nhiện luôn thực hiện được trên tập hợp N là số bị trừ phải lớn hơn
hoặc bằng số trừ
-Các tính chất của phép cộng , nhân hai số tự nhiên :
*Giao hoán: a+ b = b + a ; a.b = b.a
*Kết hợp : (a + b) + c = a + (b + c) ; (a . b) . c = a.( b. c)
*Phân phối giữa phép nhân với phép cộng : (a + b).c = ac + bc
*Nhân với 1: a . 1 = 1.a = 1
*Cộng với 0 : a + 0 = 0 + a = a
-Với hai số tự nhiên a và b , trong đó b 0 , nếu có số tự nhiên x sao cho b.x = a thì ta nói a chia hết
cho b và ta có phép chia hết a : b = x
- Cho hai số tự nhiên a và b , trong đó b 0 , ta ln tìm được hai số tự nhiên q và r duy nhất sao
cho : a = b.q + r trong đó 0  r < b
*Nếu r = 0 thì ta có phép chia hết
*Nếu r  0 thì ta có phép chia có dư

Số chia bao giờ cũng khác 0
-Cơng thức nhân , chia lũy thừa cùng cơ số:
am. an = am + n (a  N ; n  0, n  N )
am : an = am - n (a  N , a  0; m, n  N, m ≥ n )
III.BÀI TẬP
Bài 1: Cho một số có 3 chữ số abc ( a, b, c khác nhau và khác 0 ) . Nếu đổi chỗ các chữ số cho
nhau ta được một số mới . Hỏi có tất cả bao nhiêu số có 3 chữ số như vậy ( Kể cả số ban đầu)
HD: Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm; 2 cách chọn chữ số hàng chục; 1 cách chọn chữ số hàng đơn
vị
Vậy có tất cả : 3.2.1 = 6 (số )
Bài 2: Cho 4 chữ số a, b, c và số 0 ( a, b, c khác nhau và khác 0) với cùng cả 4 chữ số này, có
thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số?
HD: Có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn; 3 cách chọn chữ số hàng trăm; 2 cách chọn chữ số hàng
chục; 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị
Vậy có tất cả : 3.3.2.1 = 18 ( số)
Bài 3: Cho 5 chữ số khác nhau. Với cùng cả 5 chữ số này có thể lập được bao nhiêu số có 5
chữ số khác nhau?
HD:Trường hợp khơng có chữ số 0 thì có 5.4.3.2.1 = 120 ( số)
Trường hợp có chữ số 0 thì có 4.4.3.2.1 = 96 ( số)
Bài 4: Tìm hai số biết tổng của chúng là 176; mỗi số đều có hai chữ số khác nhau và số này là
số kia viết theo thứ tự ngược lại.
HD: Gọi số thứ nhất là ab thì số thứ hai là ba ( 0 < a,b  9 ; a  b)
Theo đề ta có :



ab
ba
176
1

GV: Hoàng Dương An



Trường THCS Nghi Đồng

Từ cột hàng chục ta thấy : a + b > 10 , từ cột hàng đơn vị ta suy ra b + a = 16
Vì a  b nên a = 9 ; b = 7 hoặc a = 7 ; b = 9
Vậy hai số cần tìm là 97 và 79
Bài 5: Cho a + c = 9 . Viết tập hợp A các số tự nhiên b sao cho abc  cba là một số có 3 chữ số
Bài 6: Từ 10 chữ số 0; 1; 2 ; …; 9 hãy ghép thành 5 số có 2 chữ số rồi cộng chúng lại.
a)
Tìm giá trị lớn nhất của tổng
b)
Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng
HD: a) Muốn có tổng lớn nhất thì các chữ số hàng chục của 6 số hạng phải lớn nhất. Ta lần lượt
chọn 9; 8; 7; 6; 5 làm chữ số hàng chục , còn 5 chữ số còn lại sẽ là các chữ số hàng đơn vị
Khi đó ta có tổng của 5 số là 90 + 81 +72 + 63 + 54 = 360
Vậy giá trị lớn nhất của tổng là 360 ( các chữ số hàng đơn vị có thể đổi chỗ cho nhau 1 cách tùy ý)
b)Tương tự ta có tổng 5 số là : 19 + 28 + 37 + 4 6 + 50= 180
Bài 7: Cho 4 chữ số khác nhau và khác 0
a)
Chứng tỏ rằng có thể lập được 4! số có 4 chữ số khác nhau
b)
Có thể lập được bao nhiêu số có hai chữ số khác nhau trong 4 chữ số đã cho
HD:a) có 4 cách chọn chữ số hàng nghìn; 3 cách chọn chữ số hàng trăm; 2 cách chọn chữ số hàng
chục; 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị
Vậy có tất cả : 4.3.2.1 = 4! ( số)

b)Có 4 cách chọn chữ số hàng chục; 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị nên có 4.3 = 12 ( số)
Bài 8:Có 5 số tự nhiên nào mà tích của chúng bằng 2003 và tổng của chúng có tận cùng bằng
8 khơng?
HD: Giả sử có 5 số tự nhiên có tích bằng 2003; tích là một số lẻ nên cả 5 số đều là số lẻ, khi đó
tổng của chúng là phải là một số lẻ nên khơng thể có chữ số tận cùng bằng 8 được. Vậy không tồn
tại 5 số tự nhiên nào như vậy
Bài 9:Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất:
a)
38 + 41 + 117 + 159 + 62
b)
73 + 86 + 968 + 914 + 3032
c)
341.67 + 341.16 + 659.83
d)
42.53 + 47.156 - 47.114
ĐS: a) 417 ; b) 5073 ; c) 83000 ; d) 4200
Bài 10:Tính giá trị của biểu thức
a)
A = ( 10 – 1).(100 – 2). (100 – 3) … (100 – n) với n N* và tích trên có đúng 100 thừa số
b)
B = 13a + 19b + 4a – 2b với a + b = 100
ĐS: a) A = ( 10 – 1).(100 – 2). (100 – 3) … (100 – 100) = 99.98….0 = 0
b) B = (13a + 4a )+ (19b – 2b) = 17a + 17b = 17(a + b) = 17. 100 = 1700
Bài 11:Khơng tính giá trị cụ thể hãy so sánh:
a)
A = 199. 201 và B = 200.200
b)
C = 35.53 – 18 và 35 + 53.34
c)
E = 1998.1998 và F = 1996.2000

HD: a) A = 199. 201 = 199.( 200 + 1) = 199.200 + 199 và B = 200.200 (199 + 1).200 = 199.200 +
200
Vì 199.200 + 199 < 199.200 + 200 nên A < B
b)C = D
c)E < F
Bài 12:Hãy viết các số sau dưới dạng một tích của hai số tự nhiên liên tiếp
a) 12
b) 1122
; 111222
HD: a) 12 = 3.4
b)1122 = 1100 + 22 = 11.100 + 2.11 = 11(100 + 2) = 11. 102 = 11. 3. 34 = 33. 34
c)111222 = 111000 + 222 = 111.1000 + 2.111 = 111(1000 + 2) = 111. 1002 = 111.3 . 334 = 333. 334
Bài 13:Tìm các chữ số a, b, c, d biết a. bcd .abc  abcabc
Ta có abcabc  abc.1000  abc  1001.abc  7.143.abc
Vậy a. bcd .abc = 7.143.abc
2


GV: Hoàng Dương An



Trường THCS Nghi Đồng

Suy ra a = 7; b = 1 ; c = 4 ; d = 3
Bài 14: Cho a, b n N* ; a > 2 ; b > 2. Chứng tỏ rằng a + b < a.b
HD: Vì a > 2 ; b >2 nên a = 2 + m ; b = 2 + n ( m, n N* )
Ta có a + b = ( 2 + m ) + ( 2 + n) = 4 + ( m + n) (1)
a.b = (2 + m) .(2 + n) = (2 + m) .2 + (2 + m) .n = 4 + 2m + 2n + mn = 4 + 2(m + n) + m.n (2)
Vì m, n N* nên 2( m + n) > m + n và m.n > 0

Do đó từ (1) và (2) duy ra a + b = a.b
Bài 15:a)Một số có 3 chữ số là 3 số tự nhiên liên tiếp. Nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì
được một số mới hơn số cũ là bao nhiêu?
b)Hai số không chia hết cho 3, khi chia cho 3 được những số dư khác nhau. Chứng tỏ rằng
tổng của hai số đó chia hết cho 3
HD: a) Gọi số có 3 chữ số là abc , trong đó a, b, c là số tự nhiên liên tiếp. Suy ra : c – a = 2.
Số viết theo thứ tự ngược lại là cba .
Ta có cba - abc = (100c + 10b + a) – (100a + 10b + a) = 100c + 10b + a – 100a - 10b – a
= 99c – 99a = 99( c- a) = 99.2 = 198
b)Gọi hai số là a và b
Giả sự a chia 3 dư 1; b chia 3 dư 2
Suy ra a = 3q1 + 1; b = 3q2 + 2
Khi đó a + b = 3q1 + 1+ 3q2 + 2 = 3q1 + 3q2 + 3 = 3(q1 + q2 + 1) M3
Bài 16:Chứng tỏ rằng trong một phép trừ , tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu bao giờ cũng chia
hết cho 2
HD: Gọi a là số bị trừ, b là số trừ ; c là hiệu của a – b
Khi đó ta có : c = a – b
Ta có tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu là a + b + c = a + b + a – b = 2a M2
Bài 17:Cho M = { 1; 13; 21; 29; 52 }. Tìm x, y M biết 30 < x – y < 40
Vì x – y > 30 nên x > 30  x = 52
Từ x – y > 30  52 – y > 30  y < 22 (1)
Từ x – y < 40  52 – y < 40  y > 12 (1)
Từ (1) và (2) suy ra 12 < y < 22 . Do y { 1; 13; 21; 29; 52 } nên y = 13 hoặc y = 22
Bài 18: Tìm x biết:
a)
( x + 74) – 318 = 200
b)
3636 : ( 12x – 91) = 36
c)
(x : 23 + 45).67 = 8911

d)
420 + 65.4 = (x + 175) : 5 + 30
e)
(32.15) : 2 = (x + 70) : 14 – 40
f)
x – 4867 = (175.2 – 50.70) : 25 + 23
Bài 19:Thực hiện phép tính sau bằng cách hợp lý nhất
a)
(44.52.60) : (11.13.15)
b)
123.456456 – 456.123123
c)
(98.7676 – 9898.76) : (2001.2002.2003..1010)
d)
(168.168 – 168.58) : 110
e)
[(456.11 + 912) . 37 ] : (13.74)
f)
(864.48 – 432.96) : (864.48.432)
g)
(16.17 – 5) : (16.16 + 11)
h)
(27.45 + 27.55) : (2 + 4 + 6 + … + 14 + 16 + 18)
i)
(26.108 – 26.12) : (32 – 28 + 24 – 20 + 16 – 12 + 8 – 4)
j)
(27.700 – 24.45.20) : (45 – 40 +35 –30 +25 – 20 +15 – 10 + 5)
k)
1 + 6 + 11 + 16 + … + 46 + 51
l)

2 + 5 + 11 + … + 47 + 65
m)
3 + 12 + 48 + … + 3072 + 12288
n)
2 + 5 + 7 + 12 + … + 81 + 131
Bài 20:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3


GV: Hoàng Dương An



Trường THCS Nghi Đồng

B = 2003 – 1003 : (999 – x) với x N
HD: B có giá trị nhỏ nhất  1003 : (999 – x) có giá trị lớn nhất
 999 – x có giá trị nhỏ nhất
 999 – x = 1 (Vì số chia phải khác 0)
 x = 988; lúc đó B = 1000
Bài 21: Hai số tự nhiên a và b chia cho m có cùng một số dư , a ≥ b Chứng tỏ rằng a – b chia
hết cho m
HD: Gọi số dư là r, ta cò a = mq1 + r; b = mq2 + r
Suy ra a – b = (mq1 + r) – ( mq2 + r) = mq1 + r – mq2 – r = m ( q1 – q2) Mm
Bài 22: Trong một phép chia có số bị chia là 155; số dư là 12. Tìm số chia và thương
HD: Gọi sơ bị chia , số chia và số dư lần lượt là a, b, q, r
Ta có a = b.q + r ( b  0 ; r < b)
Suy ra : b. q = a – r = 155 – 12 = 143 = 143.1 = 13.11
Vì b > 12 nên ta chọn b = 143 , q = 1 hoặc b = 13; q = 11
Bài 23: Viết tập hợp C các số tự nhiên x biết rằng lấy x chia cho 12 ta được thương bằng số

dư.
HD: Ta phải tìm x  N sao cho x = 12.q + q hay x = 13q ( với q <12)
Lần lượt cho q = 0; 1; 2…; 11 ta tìm được c
Vậy C = {0; 13; 26; 39; ….; 143}
Bài 24: Chia 129 cho một số ta được số dư là 10. Chia 61 cho số đó ta cũng được số dư là 10.
Tìm số chia
HD: Gọi số chia là b, theo đầu bài ta có ;
129 = b.q1 + 10  b.q1 = 119 = 119. 1 = 17.7
61 = b.q2  b.q2 = 51 = 51. 1 = 17.3
Vì b > 10 và q1  q2 nên ta chọn b = 17
Bài 25: Cho tổng S = 7 + 10 + 13 + … + 97 + 100
a)Tổng trên có bao nhiêu số hạng
b)Tìm số hạng thứ 22
c)Tính S
HD: a)Số số hạng của tổng là (100 – 7) : 3 + 1 = 32 ( số hạng)
b)Gọi số hạng thứ 22 là x , ta có : (x – 7) : 3 + 1 = 22  70
c)Ta có S = (7 + 100) .32 : 2 = 1712
Bài 26: Cho A là tập hợp các số tự nhiên không vượt quá 150, chia cho 7 dư 3;
A = { x N / x = 7.q + 3 ; q N ; x  150 }
a) Hãy liệt kê các phần tử của A thành một dãy số từ nhỏ đến lớn
b)Tính tổng các phần tử của A
HD:a)A = {3; 10; 17; 24; …; 143; 150}
b)Dễ thấy dãy số 3; 10; 17; 24; …; 143; 150 là một dãy số cộng với u1= 3 ; d = 7
Số hạng của dãy là n = (un – u1) : d + 1 = (150 – 3): 7 + 1 = 22( số hạng)
Tổng các số hạng của dãy là Sn = (u1 + un).n : 2 = (3 + 150).22:2 = 1683
Bài 27:Tìm một số chính phương có 2 chữ số sao cho mỗi chữ số đều là một số chính phương
ĐS : 49
Bài 28: Trong các số sau, những số nào bằng nhau? Số nào nhỏ nhất? Số nào lớn nhất?
24 ; 34 ; 42; 43 ; 990 ; 099 ; 1n
Bài 29: Kiểm tra xem đẳng thức sau đúng hay sai? Nếu sai hãy di chuyển 1 chữ số đến vị trí

khác để được đẳng thức đúng.
152 – 53 = 102
ĐS: 152 - 53 = 102
Bài 30: Chứng tỏ tổng, hiệu sau đây là một số chính phương
a)32 + 42
b)132 - 52
c)13 + 23 + 33 + 43
4


GV: Hoàng Dương An

Trường THCS Nghi Đồng



Bài 31: Viết các tổng hoặc hiệu sau dưới dạng một lũy thừa với số mũ lớn hơn 1
a) 172 - 152
b) 62 + 82
c) 132 - 122
d) 43 – 23 + 52
Bài 32: Viết các tích hoặc thương sau dưới dạng lũy thừa của một số:
a)2.84 ; b)256.1253 ; 6255 : 257 ; d) 123 . 33
e)23.84.163 ; f) 643.43 : 16 ; g) 812 : (32.27)
h) (811.317 ): (2710 . 915)
34

10

89

Bài 33: Tính : 631 ; 232 ;712 ; 200320 ; 200903
Bài 34: Tìm số tự nhiên x biết:
a)
2x – 15 = 17
b)
(7x – 11)3 = 25.52 + 200
c)
x10 = 1x
d)
x10 = x
e)
(x – 1)3 = 27
f)
(2x + 1)2 = 25
g)
5x+2 = 625
h)
(2x – 3)2 = 49
i)
(x – 2)2 = 1
Bài 35: Tìm số tự nhiên n biết:
a)
32 < 2n < 128
b)
2.16 ? 2n > 4
c)
9.27  3n  243
Bài 36: Tính giá trị của biểu thức: A = (11.322.37 – 915) : (2 . 314)2
Bài 37: Hiệu của hai số là 862, chia số lớn cho số nhỏ ta được

thương là 11 và dư 12. Tìm hai số đó.
HD: Gọi hai số cần tìm là a và b. (a,b N, a > b >0 )
Theo đề bài ta có : a – b = 862
Mặt khác , theo định nghóa phép chia có dư, ta có:
a = 11b + 12 � a – 11b = 12 � a – b – 10b = 12 � (a – b) – 10b = 12 � 862 – 10b = 12 � b
= 85
Suy ra : a = 862 + 85 = 947
Bài 38: Một phép chia có tổng của số bị chia và số chia bằng 72. Biết rằng thương là 3 và số dư
là 8. Tìm số bị chia và số chia
HD: Gọi số bị chia và số chia lần lượt là a và b (a,b N,a > b >0)
Theo đề ta có : a + b = 72 và a = b.3 + 8
Suy ra b.3 + 8 + b = 72  4b = 64  b = 16
Do đó a = 72 – 16 = 56
Vậy số bị chia là 56 và số chia là 16
Bài 39: Tìm các số tự nhiên a , biết rằng khi chia a cho 3 thì thương là 15
HD:
Khi chia a cho 3 thì thương là 15 thì ta có hệ thức :
a = 3.15 + r ( 0  r < 3 )
*Nếu r = 0 thì a = 3.15 = 45
*Nếu r = 1 thì a = 3.15 + 1 = 46
*Nếu r = 2 thì a = 3.15 + 2 = 47
Vậy a có thể là các số 45; 46; 47
Bài 40: Tổng của hai số bằng 38570. chia số lớn cho số nhỏ ta
được thương là 3 và dư là 922. Tìm hai số đó.
ĐS: Số lớn : 29158 ; số nhỏ : 9412

5


GV: Hồng Dương An

Trường THCS Nghi Đồng



Bài 41: Hiệu của hai số bằng 8210. chia số lớn cho số nhỏ, ta
được thương là 206 và dư 10.
Tìm hai số đó.
ĐS : Số lớn :8250 ; số nhỏ : 40
Bài 42: Năm nhuận có 366 ngày.Hỏi năm nhuận gồm bao nhiêu tuần và cịn dư mấy ngày ?
ĐS: Năm nhuận có 52 tuần , dư 2 ngày
DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT.
1. Dãy cộng
- Dãy các số tự nhiên: 0; 1;2; 3; …
- Dãy số lẻ; số chẵn; số chia 3 dư 1 như: 1;4;7; 10; ….
Xét dãy: A = 4;7;10;13;16;19;… hiệu giữa hai số liên tiếp là 3. số hạng thứ 6 là 19 = 4 + (6-1).3 Số
hạng thứ 10 là 4 + (10 – 1).3 = 31.
Tổng quát: Nếu một dãy cộng có số hạng đầu là a 1 và hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là d thì số
hạng thứ n của dãy cộng đó bằng: an = a1 + (n – 1).d
Để tính tổng: dãy A = 4 + 7 + 10 +13 + …28 + 31 ta viết:
A = 31 + 28 + … + 10 + 7 + 4
2A = (4+31) + (7 + 28) + …. + (28 + 7) + (31 + 4) = (4 + 31).10
(4  31).10
A
= 175
2
Tổng quát: Nếu một dãy cộng có n số hạng trong đó số hạng đầu là a 1 và số hạng cuối là an thì
(a  a n ).n
tổng của dãy đo bằng: A  1
2

2. Các dãy khác:
Ví dụ: Tìm số hạng thứ 100 của các dãy sau:
B = 3; 8; 15;24;35; …
C = 3; 24; 63; 120; 195; ….
D = 1;3;6;10;15; ….
E = 2;5;10;17;26;….
Giải:
Dãy A: có thể viết dưới dạng: 1.3; 2.4; 3.5; 4.6; 5.7; …. Nên số hạng thứ 100 sẽ là 100.102. Số hạng
thứ n sẽ là n.(n + 2)
Dãy B: 1.3; 4.6; 7.9; 10.12; 13. 15; … Nên số hạng thứ 100 sẽ là 100.103 số hạng thứ n là n(n+ 3)
Dãy C: 1.2:2; 2.3:2; 3.4: 2; 4.5: 2 ………
Dãy D: 1 + 12; 1+ 22; 1+ 32; …….

CHỦ ĐỀ 2: SO SÁNH HAI LŨY THỪA
I.MỤC TIÊU
-HS biết so sánh các lũy thừa cùng cơ số , không cùng cơ số
-Rèn kỹ năng biến đổi các lũy thừa
-Vận dụng tốt các công thức nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số , cùng số mũ, lũy thừa của lũy thừa
II.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Kiến thức cần nhớ:
a
+ a = a .a.a...
; a  N, n  N, n > 1
n

+ am.an = am + n

(am)n = (an)m = am.n

+ (a.b)n = an.bn

am : bm = (a: b) m (b ≠ 0);
+ Quy ước : a1 = a
a0 = 1 a≠ 0
+Nếu m > n thì am > an ( Với m, nN , a > 1)
6

am : an =

am m –n
=a .
an


GV: Hoàng Dương An



Trường THCS Nghi Đồng

+Nếu a > b thì a > b ( Với a, b N, n > 0)
+Nếu a < b thì a.c < b.c ( Với a, b, c N)
n

n

III.BÀI TẬP
Bài 1: So sánh các số sau , số nào lớn hơn?
a)
2711 và 818
b)

6255 và 1257
c)
536 và 1124
d)
32n và 33n ( với n N* )
e)
321 và 231
f)
9920 và 999910
Bài 2: So sánh các số sau , số nào lớn hơn?
a)
523 và 6.522
b)
7.213 và 216
c)
2115 và 275.498
d)
230 + 330 + 430 và 3.202410
Bài 3: So sánh các số sau , số nào lớn hơn?
a)
19920 và 200315
b)
399 và 1121
c)
7245 – 7244 và 7244 - 7243
d)
2300 vaø 3200
e)
51000 và 31500
Bài 4: Tìm tất cả các số tự nhiên n, sao cho:

a) 23.32  2n > 16
b) 25 < 5n < 625
Bài 5: Chứng minh rằng :
a) 76 + 75 – 74 chia heát cho 11; b) 109 + 108 + 107 chia heát cho 222.
Bài 6 : So sánh
a. 85 ;3.47
b. 9920 ;999910
c. 222333 ;333222
d. 321 ; 231
e. 111979 ;371320
Bài 7: So sánh
a. 1010 ; 48. 50 5
b. 199010 +1990 9 ; 199110
c. 5299; 3501
d. 323 ; 515
e. 12723 ; 51318
27
63
28
Bài 8: So sánh :5 ; 2 ; 5
Bài 9: Chứng minh rằng
a. 128.912  1816
b. 7520  4510.530
Bài 10: Tìm số nguyên dương n biết
2
n
a.  2 : 4  .2  32
b. 27  3n �243
c. 125 �5.5n �25 d. 32< 2n< 128
e. 2.16 �2n  4

Bài 11: Cho S = 1 + 2 + 22 + 23 + …. + 29. Hãy so sánh S với 5.28
HD: S = 1 + 2 + 2 2 + 23 + …. + 29  2.S = 2.(1 + 2 + 2 2 + 23 + …. + 29 ) = 2 + 22 + 23 + …. + 29 +
210
 2.S – S = 210 – 1 hay S = 210 – 1 < 210 = 22.28 = 4.28 < 5.28
Bài 11: Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó khơng có chữ số 0.Hãy so sánh
m với 10.98
HD: m = 99 = 9.98 < 10.98
Bài 12: Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng 3 chữ số 1, 2, 3 với điều kiện mỗi chữ số chỉ dùng
một lần
HD:Trường hợp không dùng lũy thừa : Số lớn nhất có thể viết là 321
Trường hợp có dùng lũy thừa :
Ta bỏ qua các lũy thừa có cơ số hoặc số mũ là 1 ; bỏ qua các lũy thừa tầng vì giá trị của các số này
quá nhỏ so với 321
-Xét các lũy thừa mà số mũ có 1 chữ số , ta được 4 số : 132 ; 312 ; 123 và 213
7


GV: Hoàng Dương An



Trường THCS Nghi Đồng

Ta so sánh 213 và 312 . ta có 213 = 9261 ; 312 = 961. Vậy 213 > 312
-Xét các lũy thừa mà số mũ có 2 chữ số , ta được 4 số là 213; 231; 312 ; 321
Ta so sánh 231 và 321 . ta có 231 = 2.230 =2.(23)10 = 2.810 và 321 = 3.320 = 3.(32)10 = 3.910  321 > 231
Ta so sánh 213 và 321 . Ta có 321 > 39 = (33)3 = 273 > 213 , do đó 321 > 213
Vậy số lớn nhất là 321
CHUYÊN ĐỀ 3: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT TÍCH,
MỘT LŨY THỪA

I.MỤC TIÊU
-HS biết cách tìm chữ số tận cùng của một tích , một lũy thừa có bậc cao
-HS có được các PP tìm hai , ba chữ số tận cùng của một lũy thừa bậc cao
II.TÓM TẮT KIN THC
1/Tìm một chữ số tận cùng.
Nhận xét:Để tìm chữ sè tËn cïng cđa mét l thõa,ta chó ý r»ng:
-C¸c số có tận cùng bằng 0;1;5;6 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0)cũng tận cùng
bằng 0;1;5;6
-Các số có tận cùng bằng 2 ;4 ;8 nâng lên luỹ thừa 4 thì đợc số có tận cùng
bằng 6
-Các số có tận cùng bằng 3 ;7;9 nâng lên luỹ thừa 4 thì đợc số có tận cùng
bằng 1
(Riêng đối với các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9,nâng lên luỹ
thừa lẻ đều có chữ số tận cùng bằng chính nó;nâng lên luỹ thừa chẵn có chữ
số tận cùng lần lợt là 6 và 1)
-Mt s chớnh phng thỡ khơng có tận cùng bằng 2; 3; 7; 8
2/T×m hai chữ số tận cùng
Nhận xét: Để tìm hai chữ số tËn cïng cđa mét l thõa , cÇn chó ý đến
những số đặc biệt:
-Các số có tận cùng bằng 01 ; 25 ; 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0)cịng có tËn
cïng b»ng 01 ; 25 ; 76
-C¸c sè 320 ( hc 815) ,74 ,512 ,992 cã tËn cïng b»ng 01
-C¸c sè 220 ,65 ,184 ,242 ,684 ,742 cã tËn cïng b»ng 76
-Sè 26n(n>1) cã tËn cïng b»ng 76
3/T×m ba chữ số tận cùng trở lên.
Nhận xét : Để tìm ba chữ số tận cùng trở lên của một luỹ thừa ,cần chú ý
rằng:
-Các số có tận cùng bằng 001 ,376 ,625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cịng
tËn cïng b»ng 001 ,376 ,625
-C¸c sè cã tËn cïng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tËn cïng

b»ng 0625.
4.Tìm chữ số tận cùng của một tích
Chú ý:
-Tích các số lẻ là một số lẻ
-Tích của một số lẻ có tận cùng bằng 5 với bất kì số lẻ nào cũng có chữ số tận cùng là 5
-Tích của một số chẵn với bất kì một số tự nhiên nào cũng là một số chẵn
-Tích của một số chẵn có tận cùng bằng 9 với bất kì số tự nhiên nào cũng có chữ số tận cùng l 0
III.BI TP
VD1: Tìm chữ số tận cùng của 187324
Ta thấy các số có tận cùng bằng 7 nâng lên luỹ thừa bậc 4 thì đợc số có tận
cùng bằng 1.Các số có tận cùng bằng 1 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận
cùng bằng 1.
Do đó : 187324= (1874)81 =(….1)81 =(…1)
8


GV: Hồng Dương An



Trường THCS Nghi Đồng

VËy ch÷ sè tËn cïng cđa 187324 lµ 1
VÝ dơ2:Chøng minh r»ng 8102- 2102chia hêt cho 10
Ta thấy các số có tận cùng bằng 2 hoặc 8 nâng lên luỹ thừa 4 thì đợc số có
tân cùng là 6. Một số có tận cùng bằng 6 nâng lên luỹ thừa
nào (khác 0) cũng tận cïng b»ng 6 .Do ®ã ta biÕn ®ỉi nh sau:
8102 =(84)25.82 = (….6)25.64=(….6).64 = …4
2102 =( 24)25.22 =1625.4 =(…6).4 = …4
VËy 8102 -2102 tËn cïng b»ng 0 nªn chia hÕt cho 10

Ví dụ 3:Tìm hai chữ số tận cùng của 71991
Ta thấy : 74 = 2401 ,sè cã tËn cïng bằng 01 nâng lên luỹ thừa nào cũng tận cùng
bằng 01.
Do ®ã :
71991 = 71988.73 = (74)497.343 = (…01)497.343
= (….01).343 =.43
Vậy 71991 có hai chữ số tân cùng bằng 43
Ví dụ 4:Tìm hai chữ số tận cùng của 2100
Chú ý rằng : 210=1024 ,bình phơng của số có tận cùng bằng 24 luỹ thừa nào
(khác 0) cũng tận cùng bằng 76. Do ®ã
( 2)100 = (210)10 = (1024)10 = (10242)5 = (….76)5 =….76
(Số có tận cùng là 76 khi nâng lên lũy thừa bất kì cũng có tận cùng là 76)
Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76
Ví dụ 5:Tìm bốn chữ số tận cùng của 51992
Ta cú :
51992 =(54)498 = 625498 = 0625498 = (...0625)
VËy bèn ch÷ sè tËn cïng cđa 51992 lµ 0625
VÝ dơ 6 : Chøng minh r»ng 261570 chia hÕt cho 8
Ta thÊy :265= 11881376 ,số có tận cùng bằng 376 nâng lên luỹ thừa nào(khác
0) cũng có tận cùng bằng 376.Do đó:
261570= (265)314 = (…376)314 = (…376)
Mµ 376 chia hÕt cho 8
Mét sè cã ba ch÷ sè tËn cïng chia hÕt cho 8 th× chia hÕt cho 8
VËy 261570 chia hÕt cho 8
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
7430 ; 4931 ; 8732 ; 5833 ; 2335
Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
7
5
a) 23456 ; b) 57967

Bµi 3 :Chứng tỏ rằng 175+244-1321 chia hết cho 10
Bi 4: Tìm hai chữ số tận cùng của 5n (n>1)
Bµi 5: Chứng tỏ rằng các tổng , hiệu sau không chia hết cho 10
a)
A = 51n + 47102 (n  N)
b)
B = 405n + 2405 + m2 ( m,n  N và n khác 0)
c)
C = 98.96.94.92 – 91.95.95.97
Bµi 6: Tìm chữ số tận cùng của các tổng, hiệu sau:
a/ 132001 - 82001
b/7552 - 218
c/12591 + 12692
d/116 + 126 + 136 + 146 + 156 + 166
Bµi 7: Chøng tá r»ng víi mäi n N* (n > 1) th× (22)n + 1 có chữ số tận cùng
là 7
Bài 8: Chøng tá r»ng vãi mäi sè tù nhiªn n:
a/ 74n - 1 chia hết cho 5
b/ 34n+1 + 2 chia hết cho 5
9


GV: Hoàng Dương An



Trường THCS Nghi Đồng

c/ 24n+1 + 3 chia hết cho 5
d/ 24n+2 + 1 chia hết cho 5

e/ 92n+1 + 1 chia ht cho 10
Bài 9:Tìm hai ch÷ sè tËn cïng của các số sau:
a/ 5151
b/ (9999)99
c/ 6666
d/ 14101 .16101
Bài 10:Tích A = 2.22.23…. 210 x 52.54.56….514 tận cùng có bao nhiêu chữ số 0?
Bài 11:Cho S = 1 + 31 + 32 + 33 + … + 330
Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S khơng phải số chính phương
Bài 12:Cho A = 2 + 22 + 23 + … + 220. Tìm chữ số tận cùng của A
Bài 13:Các tích sau có bao nhiêu chữ số 0 ở tận cùng :
a)A = 10.11.12…..19.20 ( ĐS: có 3 chữ số 0 ở tận cùng)
b)B=1.2.3…19.20 ( ĐS: có 4 chữ số 0 ở tận cùng)
Bài 14:Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
a)11! ( ĐS: tận cùng là chữ số 0)
b)17! ( ĐS: tận cùng là chữ số 0)
c)(2.4.6…98) + (1.3.5…99) ( ĐS: tận cùng là chữ số 5)
Bài 15: Tìm n N để 1! + 2! + 3! + … + n! là số chính phương
Với n ≥ 5 thì n! có tận cùng là 0. do đó 1! + 2! + 3! + … + n! có tận cùng bằng 3 nên A khơng là số
chính phương
Thử lại với n < 5  n = 1 thì A = 1 = 11
N = 3 thì A = 9 = 32
Bài 16:Tìm chữ số tận cùng của các số sau :
a)21000
b)31993
c)4161
HD:
a)21000 = (24)250 = 16250 = ….6
b)31993 = (34)498 . 3 = 81998. 3 = …1 . 3 = …..3
c)4161 (42)80.4 = 1680 . 4 = …6 . 4 = ….4

Bài 17: Tìm tất cả những số tự nhiên có hai chữ số sao cho số đó cộng với số viết theo thứ tự
ngược lại cho ta một số chính phương
HD: ab  ba  k 2 � 11( a  b)  k 2 � a  b  11
Vậy các số cần tìm là : 29; 38; 47; 56; 92; 83; 74; 65
Bài 18: Cho 4 chữ số 0; 2; 3; 4 . Tìm số chính phương có 4 chữ số gồm cả 4 chữ số trên
HD: Số chính phương khơng có tận cùng bằng 2 ; hặc 3.
Nếu số chính phương có tận cùng bằng 0 thì phải có tận cùng là 2 chữ số 0 , suy ra số cần tìm phải
có tận cùng bằng 4 nên phải có tận cùng bằng 04 hoặc 24
Xét các số 2304; 3204; 3024 thì suy ra số 2304 là số chớnh phng cn tỡm
4
Bi 19: Tìm chữ số cuối cùng cña sè: 23
HD: Sè d khi chia 23 cho 10 là 2 . Vậy chữ số cuối cùng của số 23 là 2
4

4

Bi 20 : Tìm hai chữ số cuối cïng cña sè: A = 21999 + 22000 + 22001
HD: Ta cã: 21999 + 22000 + 22001 = 21999(1 + 2 + 22) = 7 x 29 x 210 x 21980 = 7 x 29
x 210 x (220)99
Ta cã : 29 = 512 ; 210 = 1024 ; 220 = 1048576
Nhận xét: số có 2 chữ số tận cùng là 76, l thõa bËc bÊt kú cịng cã 2 ch÷ sè
tËn cïng lµ 76. VËy (220)99 cịng cã 2 sè tËn cïng lµ 76.
 21999 + 22000 + 22001 = 7 x 512 x 1024 x (...76) = .....16.
10


GV: Hồng Dương An

Trường THCS Nghi Đồng



VËy 2 ch÷ sè cuối cùng của A là 16
Bi 21 : Tìm bốn ch÷ sè tËn cïng cđa 51994
HD:
- Ta cã: 54 = 625
- NhËn thÊy sè cã tËn cïng lµ 625 luü thõa bËc bÊt kú vÉn cã tËn cïng lµ 625
- Do ®ã: 51994 = 54k + 2 = 25.(54)k = 25.(625)k = 25(...625) = ...5625.
VËy bèn ch÷ sè tËn cïng của số 51994 là 5625.
Bi 22: a)Tìm ba chữ số tận cùng của 2100.
b)Tìm ba chữ số tận cùng của 3100.
100
HD: b)Ta ph©n tÝch nh sau: 3  10  1

50

1050  ... 

50.49 2
.10  50.10  1
2

= BS 1000 + ...500 - 500 + 1 = BS 1000 + 1.
Vậy 3 tận cùng là 001.
Tổng quát: Nếu n là số tự nhiên lẻ không chia hết cho 5 thì ba chữ số tận
cùng của n100 là 001.
100

Bi 23: Tìm 2 chữ số tận cùng của số 32

5

CHỦ ĐỀ 4: TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRONG N .
A.MỤC TIÊU:
Học xong bài này,học sinh có khả năng:
+Biết cách ứng dụng các tính chất chia hết của tổng của hiệu,của tích vào giải bài tập,nhận dạng để
giải các bài toán liên quan
+Biết vận dụng cách tìm ước và bội,cách xác định số lượng các ước của một số vào giải bài tập
+Hiểu sâu thêm các tính chất chia hết,cách tính sộ các ước của một số
+Rèn luyện cho học sinh tính chính xác khi vận dụng các tính chất chia hết và các cách tìm ước và
bội
+Rèn luyện khả năng tư duy,vận dụng kiến thức vào thực tế
B. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
I.Tính chất chia hết của tổng ,của hiệu,của tích
*Kiến thức cơ bản:
-Tính chất 1: a M
m, bMm � a  bMm; a  bMm(a �b)
-Tính chất 2: a Mm, b Mm � a  b Mm; a  b Mm  a �b 
-Tính chất 3: a M
m � k .a Mm( k �N )
-Tính chất 4:

a Mm, b Mm � a.b Mm

-Đặc biệt: a M
b � an M
bn
*Nâng cao:
(1)
Các tính chất 1 và 2 cũng đúng nếu tổng có nhiếu số hạng

a Mm, bMm � k1.a  k 2 .bMm
(2)
(3)

a Mm, b Mm; a  b  c Mm � c Mm
11


GV: Hoàng Dương An

Trường THCS Nghi Đồng



a Mm, bMm; a  b  c Mm � c Mm
(4)Nếu tích ab chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc

a Mp hoặc b Mp

-Đặc biệt: a n Mp � a Mp
II.ƯỚC VÀ BỘI:
*Kiến thức cơ bản:
aM
b � a là bội của b � b là ước của a
*Cách tìm:
+ Muốn tìm bội của một số ta nhân số đó lấn lượt với 0;1;2;3;…..Bội của b có dạng tổng quát là b.k
với k �N
+ Muốn tìm ước của một số a ta lần lượt chia số a cho 1;2;3;….;a để xét xem a chia hết cho những
số nào,khi đó các số ấy là ước của a
*

a Mx 
*Cách viết:
+Tập hợp các ước của a là: Ư(a)=  x �N
+Tập hợp các bội của b là:B ( b )=
Hoặc



B ( b ) = b.n n �N



 x �N

xM
b



hoặc B ( b)=  0; b; 2b;3b;.........

*Nâng cao:Xác định số lượng các ước của một số m ( m> 1)
Phân tích số m ra thừa số nguyên tố chẳng hạn: m = a x .b y .c z thì m có ( x + 1).(y + 1).(z + 1)
ước tự nhiên
III.MỘT SỐ DẤU HIỆU CHIA HẾT
Cho n  N
1) n M2  chữ số tận cùng là 0 hoặc 2 hoặc 4 hoặc 6 hoặc 8
2) n M5  chữ số tận cùng là 0 hoặc 5
3) n M3  tổng các chữ số của n chia hết cho 3
4) n M9  tổng các chữ số của n chia hết cho 9

5) n M4  Số tạo bởi 2 chữ số tận cùng chia hết cho 4
6) n M25  Số tạo bởi 2 chữ số tận cùng chia hết cho 25
7) n M8  Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8
8) n M125  Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 125
9) n M11  tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn của n có hiệu chia hết cho 11
C. BI TP
1: Điền dấu '' X '' vào ô thích hợp trong các câu sau:
CÂU
a) Nếu mỗi số hạng của tổng chia hết cho 6 thì tổng chia hết cho
6
b)Nếu mỗi số hạng của tổng không chia hết cho 6 thì tổng không
chia hết cho 6.
c) Nếu tổng cđa hai sè chia hÕt cho 5 vµ mét trong hai số đó chia
hết cho 5 thì số còn lại chia hÕt cho 5.
d) NÕu hiƯu cđa hai sè chia hết cho 7 và một trong hai số đó chia
hết cho 7 thì số còn lại chia hết cho 7.
2. Khoanh tròn trớc câu trả lời đúng
1.Xét biểu thức 864 + 14
a)
Giá trị của biểu thức chia hết cho 2
12

Đúng

Sai


GV: Hong Dng An

Trng THCS Nghi ng

b)
Giá trị của biểu thức chia hết cho 3
c)
Giá trị của biểu thức chia hết cho 6
d)
Giá trị của biểu thức chia hết cho 7
2.NÕu a chia hÕt cho 6 vµ b chia hÕt cho 8 th× (a + b) chia hÕt cho?
a)
2, 3, 6
b)
3, 6
c)
6, 9
d)
6, 18
3.NÕu a chia hÕt cho b, b chia hÕt cho c th×:
a)
a = c.
b)
a chia hÕt cho c.
c)
không kết luận đợc gì.
d)
a không chia hết cho c.
3. p dụng tính chất chia hết xét xem mỗi tổng (hiƯu) sau cã chia hÕt cho 8
kh«ng?
a)

48 + 56 + 112
b)
160 – 47
Gi¶i
a)Áp dơng tÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng (hiƯu) ta cã:
48M
8 �
�
56M
8 �� 48  56  112M
8
112M
8�
�
b)Áp dơng tÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng (hiƯu) ta cã:
160M
8�
8
�� 160  47M
8 �
47 M
3. Kh«ng thùc hiƯn phÐp tÝnh h·y chøng tá r»ng:
a)
34.1991 chia hÕt cho 17.
b)
2004. 2007 chia hÕt cho 9.
c)
1245. 2002 chia hÕt cho15.
d)
1540. 2005 chia hÕt cho 14.

Híng dÉn:
Ta cã tÝnh chÊt sau:

a c; a, b, c  N (c 0)  a.b c
ChØ cÇn cã mét thõa sè trong tÝch chia hÕt cho một số thì cả tích chia hết
cho số đó.
4. Tổng (hiƯu) sau cã chia hÕt cho 5 kh«ng?
a)
1.2.3.4.5.6 + 42
b)
1.2.3.4.5.6 - 32
Híng dÉn:
* NhËn xÐt r»ng tÝch 1.2.3.4.5.6 cã chøa thừa số 5 do đó tích này chia hết
cho 5. Từ đó xét thừa số còn lại xem có chia hết cho 5 không?
5. Tổng (hiệu) sau là số nguyên tè hay hỵp sè:
a)
3.4.5 + 6.7
b)
7.9.11.13 – 2.3.4.7
c)
3.5.7 + 11.13.17
d)
164354 + 67541
13


GV: Hồng Dương An



Trường THCS Nghi Đồng

*NhËn xÐt: §Ĩ chøng tỏ một tổng (hiệu) là hợp số ta chỉ cần chØ ra r»ng tỉng
(hiƯu) ®ã chia hÕt cho mét sè khác 1 và chính nó.
Giải:

3.4.53
a)
(3.4.5 6.7 ) 3
5.6 3
Mà tổng này lớn hơn 3 nên suy ra tổng này là hợp số
Gợi ý:
b) Hiệu chia hết cho 7 và hiệu lớn hơn 7
c)
Tích 3.5.7 là một số lẻ, tích 11.13.17 là một số lẻ, mà tổng
hai số lẻ là một số chẵn nên suy ra tổng chia hết cho 2 và tổng lớn hơn 2
d) Tổng này có chữ số tận cùng là 5. Vậy nó chia hết cho 5 và nó lớn hơn 5.
6. Chứng tá r»ng : (49.a + 72 ) M7 , a  N
Gi¶i:
49a M7, a �N �
2
Ta cã: 2
�� (49a  7 )M7 , a  N
7 M7
�
7.Cho tæng A = (12 + 14 + 16 + x) víi x thuéc N. Tìm x để:
a)
A chia hết cho 2
b)
A không chia hết cho 2

*Nhận xét: 3 số hạng đầu tiên trong tỉng A ®Ịu chia hÕt cho 2. Mn tỉng A
chia hết cho 2 thì x phải là một số chia hÕt cho 2. Mn tỉng A kh«ng chia
hÕt cho 2 thì x phải là một số không chia hết cho 2.
8. Tìm chữ số x để: (3x 4 12)M3
*Nhận xét: Hiệu trên phải chia hết cho 3 mà 12 ®· chia hÕt cho 3  3 x 4M3 . Vy
từ đó dựa vào du hiệu chia hết cho 3 để tìm chữ số x.
*Giải:
(3x 4 12) M3
Ta có:
3 x 4M3
12M3
�
 3 + x + 4 = 7 + x M3 và 0  x  9
Suy ra x {2; 5; 8}
[21  13.( x  2)]M7
�
9. T×m số tự nhiên x thoả mÃn:
32 x 49

Giải:
7  ( x  2) 7
13 

  x  2   35;42;49
32  x 49  34  x  2 51
[21  13( x  2)]M7 �
Ta cã:
�� 13.( x  2)M7
21M7
�

Mà 13 M
7
nên
x
+
2
7

M
Do 32  x  49 nên x = 33; 40; 47
10. T×m sè tù nhiªn x sao cho:
Híng dÉn

(x + 260) M(148 – x)

( x  260) (148  x)
(148  x)M(148  x) �
�� ([148  x)  ( x  26)]M(148  x )
( x  26) M(148  x) �

14


GV: Hoàng Dương An



Trường THCS Nghi Đồng

174M(148  x) �

�� x  61;90;119;142;145;146;147
0 �x  148 �
11 .T×m sè tù nhiªn x sao cho (2x + 7) M(x + 2)
Híng dÉn
2.( x  2)M( x  2) �
�� ([2 x  7)  2.( x  2)]M( x  2)
(2 x  7)M( x  2) �
Suy ra : 3M( x  2) � x  2 �{1;3}  x + 2 = 3  x = 1
12.T×m sè tù nhiªn x sao cho : (5x+ 7 ) M(3x + 1)
Hớng dẫn
Muốn biến đổi các hệ số của x ở số bị chia và số chia giống nhau ta cần
tìm béi chung nhá nhÊt cđa hai hƯ sè
Ta cã:
Suy ra :

(3 x  1) (3x  1)  5.(3 x  1) (3x  1)  (15 x  5) (3 x  1)(*)
(5 x  7) (3 x  1)  3.(5 x  7) (3 x  1)  (15 x  21) (3 x  1)(**)
Tõ (*) vµ (**) suy ra

 (15x  21)  (15 x  5) M(3x  1) � 16M(3x  1)
 3x + 1 { 1; 2; 4; 8; 16}  3x { 0; 1; 3; 7; 15}  x { 0; 1; 5}
13. Tìm các số tự nhiên x để [(x+ 15)2 - 42] M(x + 15)
14 .Tìm số tự nhiên n sao cho: (18n + 3) chia hết cho 7.
Giải
Cách1:

18n  37
 14n  4n  37
 
 14n 7

 4n  37
 4n  3  7 7
 4n  4 7
 4.( n  1) 7
V× (4,7) =1 nªn (n - 1) chia hÕt cho 7.
VËy n = 7k +1 (k thuéc N)
C¸ch 2:
18n  37
 18n  3  217
 18n  187
 18.( n  1) 7

Vì (18,7) =1 nên (n-1) chia hết cho 7
Vậy n = 7k +1 (k thc N)
* NhËn xÐt: ViƯc thªm bớt các bội của 7 trong hai cách giải trên nhằm đi đến
một biểu thức chia hết cho 7 mà ở đó các hệ số của n là 1.
15. Cho biÕt (a + 4b) chia hÕt cho 13, ( a; b thuéc N) .Chøng minh
r»ng (10a + b) chia hÕt cho 13.
Giải
Đặt : a + 4b = x
15


GV: Hoàng Dương An

Trường THCS Nghi Đồng



10a + b = y

Ta biÕt x chia hÕt cho 13 cÇn chøng minh y chia hÕt cho 13
+ C¸ch 1:
XÐt biĨu thøc : 10x – y = 10 ( a + 4b ) – ( 10a + b ) = 10a + 40b – 10a – b = 39b M13
13
VËy 10 x  y M
Do x M13 10x M13  y M13
Hay 10a + b M13
+ C¸ch 2 :
XÐt biĨu thøc : 4y – x = 4 ( 10a + b ) – ( a + 4b ) = 40a + 4b – a – 4b = 39a M13
Vậy 4x – y M13
Do x M13  4y M13  y M13
Hay 10a + b M13
+ C¸ch 3 :
XÐt biĨu thøc : 3x + y = 3 ( a + 4b ) + ( 10a + 4b ) = 3a + 12b +10a + 4b = 13a + 13b M13
Vậy 3x + y M13
Do x M13  3x M13  y M13
Hay 10a + b M13
+ C¸ch 4:
XÐt biĨu thøc : x + 9y = a + 4b + 9 ( 10a + b ) = a + 4b + 90a + 9b = 91a + 13b M13
Suy ra x + 9y M13
Do x M13  9 y M13  y M13
Hay 10a + b M13
* Nhận xét: Trong các cách giải trên ta đà đa ra các biểu thức mà sau khi rút
gọn có một số hạng chia hết cho 13. Khi đó số hạng thứ hai (nếu có) cũng là
bội của 13. HƯ sè cđa a ë x lµ 1, hƯ sè của a ở y là 10 nên xét biểu thức
(10x – y) nh»m khư a tøc lµ lµm cho hƯ sè cđa a b»ng 0. XÐt biĨu thøc (3x –
y) nh»m t¹o ra hƯ sè cđa a b»ng 13.
HƯ sè cđa b ë x lµ 4, hƯ sè cđa b ở y là 1. Nên xét biểu thức (4x y) nh»m khư
b . XÐt biĨu thøc (x + 9y) nhằm tạo ra hệ số của b bằng 13.
16. Tìm sè tù nhiªn nhá nhÊt khi chia cho 5 d 1, chia cho 7 d 5.

Giải
Gọi n là số chia cho 5 d 1 vµ chia cho 7 d 5
+ Cách 1: Vì n không chia hết cho 35 nên n có dạng 35k + r (k, n là số tự
nhiên, r < 35 ). Trong đó r chia cho 5 d 1, r chia cho 7 d 5. Sè nhỏ hơn 35 chia
cho 7 d 5 là 5, 12, 19, 26, 33 trong ®ã chØ cã 26 chia cho 5 d 1. VËy r = 26.
Sè nhá nhÊt cã dạng 35k + 26 là 26.
+ Cách 2: Ta có

n  1 5 

n  1  10 5 

n  5 7

n  5  14 7





n  9 5
n 9 7

Số nhỏ nhất thoả mÃn hai điều kiện trên là số 26.
+ Cách 3:
n = 5x + 1 = 7y + 5 suy ra 5x = 5y + 2y + 4 suy ra
2 ( y + 2 ) chia hÕt cho 5 suy ra y + 2 chia hết cho 5
Giá trị nhỏ nhất của y bằng 3 suy ra giá trị nhỏ nhất của n bằng
7.3 + 5 = 26.
17. Tìm số tự nhiên n có bèn ch÷ sè sao cho khi chia n cho 131 thì

d 112, chia n cho 132 thì d 98.
Giải
+ Cách 1: Ta cã
16


GV: Hoàng Dương An



Trường THCS Nghi Đồng

131x + 112 = 132y + 98 suy ra
131x = 131y + y – 14
suy ra
y – 14 chia hÕt cho 131 suy ra
y = 131k + 14 (k thuéc N ) suy ra
n = 132. (131k + 14 ) + 98 suy ra
n = 132. 131k + 1946
Do n cã bèn ch÷ sè nên k bằng 0. Vậy n = 1946.
+ Cách 2: Tõ 131x = 131y + y – 14 suy ra
131. ( x – y ) = y – 14
NÕu x > y th× y – 14 131 suy ra y 145
Suy ra n cã nhiỊu h¬n bèn cchwx sè
VËy x = y do ®ã y = 14 ; n = 1946
+ C¸ch 3: Ta cã n = 131x + 112 nên
132n = 131.132x + 14784 (1)
mà n = 132y + 98 nên
131n = 131.132y + 12838 (2)
Từ (1) và (2) suy ra

132n – 131n = 131.132 ( x – y ) + 1946
Hay n = 131.132 (x – y ) + 1946
Vì n có bốn chữ số nên n = 1946
18.
a)
Chøng tá r»ng hiƯu sau kh«ng chia hÕt cho 2
( 10k + 8k + 6k ) - ( 9k + 7k + 5k )
( k  N* )
b)
Chøng tá r»ng tæng sau chia hÕt cho 2
2001k + 2002k + 2003k ( k  N* )
c)
XÐt xem hiÖu sau cã chia hÕt cho 10 kh«ng ?
200012010 - 19172000
Híng dÉn
a)
10k, 8k, 6k là những số chẵn nên ( 10k + 8k + 6k ) là số chẵn chia hết cho 2
9k, 7k, 5k là những số lẻ nên ( 9k + 7k + 5k ) là số lẻ không chia hết cho 2.
VËy ( 10k + 8k + 6k ) – ( 9k + 7k + 5k ) kh«ng chia hÕt cho 2
b)2001k là số lẻ; 2003k là số lẻ nên 2001k + 2003k là số chẵn chia hết cho 2.
2002k là số chẵn nên chia hết cho 2. Vậy
2001k + 2002k + 2003k chia hÕt cho 2
c) 20012010 cã ch÷ sè tận cùng là 1
19172000 = (19174 )500 cũng có chữ số tận cùng là 1
Vậy 200012010 - 19172000 có chữ số tận cùng là 0 do đó
200012010 - 19172000 chia hÕt cho 10
19)Cho A = 2 + 22 + 23 + ....+ 260 . Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7 và 15
HD: Ta có :
A  2(1  2)  23 (1  2)  ...  259 (1  2) M
3

A  2(1  2  4)  24 (1  2  4)  ...  258 (1  2  4) M7
A  2(1  2  4  8)  25 (1  2  4  8)  ...  257 (1  2  4  8) M
15
BÀI TẬP NÂNG CAO :
Bài 1: Tìm số tự nhiên n,để:
a) n + 4 M
n+ 1
b) n2 + n M
n2 + 1
Hướng dẫn :
a) n + 4 M
n + 1 � ( n + 1) +3 M
(n + 1) � 3 M
(n + 1)
�
�
Vì n N nên n + 1 1,do đó:
+nếu n + 1 = 1 thì n = 0
+nếu n + 1 = 3 thì n = 2
17


GV: Hoàng Dương An



Trường THCS Nghi Đồng

b) n + n M
n + 1 � n2 + 1 + n - 1 M

n2 + 1 � n - 1 M
n2 + 1
2
2
2
� (n - 1)(n + 1) M
n + 1 � n - 1 Mn + 1
2
2
� n + 1 -2 Mn + 1 � 2 Mn2 + 1
Vì n �N ,nên n + 1 �1,do đó:
+Nếu n2 + 1 = 1 thì n2 = 0 � n = 0
+Nếu n2 + 1 =2 thì n2 = 1 � n = 1
Bài 2:Chứng tỏ rằng:
a) (5 + 52 + 53 + 54+…+ 529 + 530) M
6
2
3
4
8
b) (5 + 5 + 5 + 5 +…+ 5 ) M
30
2
3
c) ( 1 + 5 + 5 + 5 +………..+ 5403 + 5404) M
31
2
3
4
29

30
d) (a + a + a + a +…+ a + a ) M(a + 1) (với a �N)
e) (3 + 32 + 33 + 34 +…+ 32n-1 + 32n) M
4
HD:
a) (5 + 52) + (53 + 54) +…+ (529 + 530) = 5(1 + 5) + 53( 1+ 5) +…+ 529(1+ 5) M
6
2
2
2
4
2
6
2
2
4
6
b) (5 + 5 ) + 5 (5 + 5 ) + 5 (5 + 5 )+5 (5 + 5 ) = 30 + 5 .30 + 5 .30 + 5 .30 = 30(1 + 52 + 54 + 56) M
30
c)(1 + 5 + 52) + (53 + 54 + 55) +……+ (5402 + 5403 + 5404) = 31+53(1 + 5 + 52) +………+ 5402(1 +5 + 52
)
=31+53.31+…….+5402.31 = 31.(1+53+…..+5402) M
31
d)a(a + 1) + a3(1+ a) +…+a29(1+ a) M(a + 1)
e)3(1 + 3) + 33(1 + 3) +…+ 32n-1(1 + 3) M
4
2
3
11
Bài 3:Cho C =1+ 3 + 3 + 3 +…+ 3 .Chứng minh rằng:

a) C M
13
b) C M
40
HD:
a)C = (1 + 3 + 32) + (33 + 34 + 35) +….+ (39 + 310 + 311) = (1+ 3 + 32) + 33(1 + 3 + 32) +…+ 39 (1 +3
+ 32)
= 13.(1+33+…+39) M
13
2
3
b)C = (1+ 3 + 3 + 3 ) + ( 34 + 35 + 36 + 37) + (38 + 39 + 310 + 311)
= ( 1+ 3 + 32 + 33) +34(1+3 + 32 + 33) + 38(1+ 3 + 32 + 33) = 40. ( 1 + 3 + 32 + 33) M
40
Bài 5: Chứng minh rằng:nếu số abcd M99 thì ab  cd M99 và ngược lại
HD:
abcd  100ab  cd  99ab  ab  cd  99ab  (ab  cd )
Suy ra +nếu abcd M99 thì ab  cd M99
+ ngược lại,nếu ab  cd M99 thì abcd M99
2

2

Bài 6: Cho biểu thức A=1494.1495.1496
Khơng thực hiện phép tính,hãy giải thích vì sao:
a) A M
180
; b) A M
495
HD:

a)Có 1494 M
9 ;1495 M
5 ;1496 M
4 =>A M
9.5.4=180
b) Có:1494 M
9 ;1495 M
5 ; 1496 M
11 =>A M
9.5.11=495
Bài 7: Tìm n �N sao cho (27 - 5n) M
n
HD:
Vì 5n < 27 => n < 6 (1)
Có 5n M
n nên (27 - 5n) M
n khi 27 M
n
Ta lại có 27 chia hết cho các số 1; 3; 9; 27 (2)
Từ (1) và (2) => n � 1;3
Bài 8: Chứng minh rằng :nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p -1) (p + 1) chia hết cho 24
HD:Ta có (p - 1). p.(p + 1) M
3 ; mà ( p; 3) =1 =>(p -1). (p + 1) M
3 (1)
18


GV: Hồng Dương An



Trường THCS Nghi Đồng

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p là số lẻ => p - 1; p + 1 là số chẵn
(2)
Từ (1) và (2) => (p - 1). p.(p +1 ) chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau 3 và 8.
Vậy (p -1). p.(p + 1) M
24
Bài 9: Một số tự nhiên a và 5 lần số tự nhiên đó có tổng các chữ số như nhau . Cmr: a chia hết
cho 9
HD:
Hai số a và 5a có tổng các chữ số như nhau nên a và 5a chia cho 9 có cùng số dư
=>(5a - a) M9 hay 4a M
9 mà (4; 9) =1 .
Vậy a M
9
Bài 10: Chứng minh rằng: Tích các ước của 50 là 503
HD:
50 = 2.52 ; 50 có 6 ước là:1 , 2 , 5, 10 , 25 ,50
Tích các ước của 50 là:1.2.5.10.25.50 = (1.50). (2.25). (5.10) = 503
Bài 11: Cho a là một hợp số,khi phân tích ra thừa số nguyên tố chỉ chứa hai thừa số nguyên tố khác
nhau là p1 và p2 .Biết a3 có tất cả 40 ước,hỏi a2 có bao nhiêu ước ?
HD:
m

A= p1 . p2

n

� a 3  p13m . p2 3n

Số ước của a là: (3m + 1) (3n + 1)=40
=>m =1 ; n = 3 (hoặc m = 3 ; n =1)
2
2m
2n
Số a = a  p1 . p2 có số ước là (2m + 1) (2n + 1)= 3.7 = 21 (ước)
Bài 12: Một trường có 1015 học sinh,cần phải xếp vào mỗi hàng bao nhiêu học sinh để số học sinh
mỗi hàng là như nhau và không quá 40 hàng nhưng cũng khơng ít hơn 10 hàng
HD:
Gọi x là số hàng xếp được.Theo bài 1025 Mx và 10 �x �40 hay x �Ư(1015) và 10 �x �40
Ư (1015) =  1;5;7; 29;35;145; 203;1015 , mà 10 �x �40 =>x � 29;35
Vậy +nếu xếp 29 hàng thì mỗi hàng có 1025 :29 = 35 (hs)
+Nếu xếp 35 hàng thì mỗi hàng có 1015 :35 = 29 (hs)
Bài 13: Tìm số tự nhiên x,biết rằng trong ba số 36; 45 và x thì bất cứ số nào cũng là ước của tích
hai số kia
HD:
Ta có 36x M45 => 4x M5
45x M36 =>5x M4
Do đó x M20.
Đặt x = 20 a ( Với a =1;2;3;….)
Ta có 36.45 Mx hay 36.45 M(20a)
Do đó 81 Ma � a �Ư (81)
Vậy a � 1;3;9; 27;81 => x � 20;60;180;540;1620
Bài 14:Cho a và b là hai số tự nhiên không nguyên tố cùng nhau ; a = 4n + 3; b =5 n + 1 (n �N).
Tìm (a , b)
HD:
Theo bài,ta có (4n + 3; 5n + 1) = d với d �1
Suy ra (4n + 3) Md =>5(4n + 3) Md
(5n + 1) Md =>4(5n + 1) Md

5  4n  3  4  5n  1 �
Md hay 11 Md ,mà d �1,nên d =11.Do đó (a,b)=11
Vậy �
�
�
Bài 15: Tìm hai số a và b ,biết tích của chúng là 8748 và ƯCLN của chúng là 27
HD:
Giả sử a �b.Vì ƯCLN(a,b) =27 nên a = 27m;b =27n
Trong đó (m, n)=1 và m �n
Ta có a.b =27m.27n = 8748 => m.n =12.
Chọn cặp số m,n nguyên tố cùng nhau có tích là 12 và m �n,ta được:
19


GV: Hồng Dương An



Trường THCS Nghi Đồng

m
n
a
b
1
12
27
324
3
4

81
108
Bài 16:Tìm số tự nhiên a,biết a chia cho 12; 18; 21 đều dư 5 và a xấp xỉ 1000
HD:
a - 5 �BC (12,18,21)
BCNN(12,18,21) = 252.Vậy a – 5 = 252.k (k �N * ) => a = 252k + 5
Với k = 4 thì a = 1023 thỏa đề bài
Bài 17:Tìm số tự nhiên nhỏ nhất a ,sao cho khi chia số đó cho2; 3; 4; 5; 7 đều dư 1
HD:
A -1 là BCNN(2;3;4;5;7)=420 => a=421
Bài 18: Biết ƯCLN của hai số là 45.Số lớn là 270.Tìm số nhỏ
HD:
Gọi số lớn là a,số nhỏ là b
Vì (a,b) = 45 => a = 45m ; b =45n,với (m,n) = 1 và m> n
Ta có 45m = 270 => m = 6
Vậy n � 1;5 . Do đó b � 45; 225
Bài 19: Tìm ƯCLN của 5n + 6 và 8n + 7 (với n �N )
HD:
Gọi x là ƯCLN của 5n + 6 và 8n + 7 (với n �N )
Ta có (5n + 6) Mx và (8n + 7) Mx
=> 8(5n + 6) Mx và 5 (8n + 7) Mx
=> (40 n + 48) Mx và (40 n + 35) Mx
=>[(40 n + 48) - (40 n + 35) ] Mx
=> 13 Mx
=> x �Ư ( 13 )  x =1 hoặc x = 13
Bài 20: Cho biết a + 4b là bội của 13 (a,b �N ).Chứng minh rằng:10 a + b là bội của 13
HD: Đặt a + 4b =x ; 10a + b = y
Xét 4y - x = 4(10a + b) - (a + 4b) = 40a + 4b – a - 4b = 39a => 4y - x là bội của 13
Do x là bội của 13 và (4; 13)=1 => y là bội của 13
BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 1: Cho B = 23! + 19! - 15! . chứng minh rằng :
a)
B chia hết cho 11
b)
B chia hết cho 110
Bài 2: Tìm n N để :
a)
n + 4 Mn
b)
3n + 7 Mn
c)
27 – 5n Mn
d)
n + 6 Mn + 2
e)
2n + 3 Mn – 2
f)
3n + 1 M11 – 2n
Bài 3: Cho 10k - 1 M19 với k > 1. Chứng minh rằng :
a)
102k - 1 M19 ( HD: 102k – 1= 102k – 10k + 10k – 1 = 10k (10k – 1) + (10k – 1) M19)
b)
103k - 1 M19( HD: 103k – 1= 102k – 10k + 10k – 1 = 10k (102k – 1) + (102k – 1) M19)
Bài 4:Chứng tỏ rằng :1 + 5 + 52 + … + 5402 + 5403 + 5405 chia hết cho 31
Bài 5:Tìm số dư khi chia A cho 7 , biết rằng A = 1 + 2 + 22 + … + 22001 + 22002
Bài 6:Thay các chữ số x,y bằng chữ số thích hợp để cho:
a)
Số 275x chia hết cho 5, cho 25; cho 125 ( ĐS : x = 0; 5 ; x = 0 ; x = 0 )
b)
Số 9 xy 4 chia hết cho 2; cho 4; cho 8 ( ĐS: x,y  {0; 1; 2; …; 9} ; x  {0; 1; 2; …; 9}và y

 {0; 2; 4; 6; 8} ; x  {0; 2; 4; 6; 8}và y  {2; 6}hoặc x  {1; 3; 5; 7; 9}và y  {0; 4; 8}
20


GV: Hoàng Dương An



Trường THCS Nghi Đồng

Bài 7: Với cùng cả 4 chữ số 2; 5; 6; 7 . Viết tất cả các số:
a)
Chia hết cho 4 (ĐS: 6752; 7652; 2756; 7256; 5672; 6572; 2576; 5276
b)
Chia hết cho 8 ( ĐS: 6752 ; 2576)
c)
Chia hết cho 25( ĐS: 6725; 7625; 2675; 6275)
d)
Chia hết cho 125 (ĐS: 7625 )
Bài 8: Chứng minh rằng :
a)
94260 – 35137 chia hết cho 5 ( HD: 94260 – 35137 = ….6 - …. 1 = …. 5 M5
b)
995 - 984 + 973 – 962 chia hết cho cả 2 và 5( HD : 99 5 - 984 + 973 – 962 : = ….9 - …. 6+ …3
- … 6 = …. 0 M2 và 5)
Bài 9: Cho a, b N . Hỏi số ab.(a+b) có tận cùng bằng 9 khơng?
HD:Nếu a hoặc b chẵn thì tích a.b (a + b) là số chẵn phải chia hết cho 2 , khơng thể có tận cùng
bằng 9
Nếu a và b đều lẻ thì a + b chẵn thì tích a,.b(a +b ) là một số chẵn, khơng thể có tận cùng bằng 9
Bài 10: Cho n N , chứng minh rằng 5n – 1 chia hết cho 4

HD: Với n = 0 thì 5n – 1 = 0 M4
Với n = 1 thì 5n – 1 = 4 M4
Với n > 1 thì 5n có tận cùng bằng 25 nên 5n – 1 = … 24 M4
Bài 11:Hãy tìm :
a)
Số nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 2 và 3 ( ĐS: 1002)
b)
Số nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 5 và 9 ( ĐS: 1035)
c)
Số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho 9 và 11( ĐS: 990)
Bài 12:Tìm các chữ số a, b sao cho số b851a chia hết cho 3 và 4
ĐS a = 2; b  {2; 5; 8} hoặc a = 6 ; b b  {1; 4; 7}
Bài 13: Chứng minh rằng với n N thì các số sau chia hết cho 9
a)
10n – 1
b)
10n + 8
Bài 14: Tìm điều kiện của n N để cho số 10n – 1 chia hết cho 9 và 11 ( ĐS: n là số chẵn)
CHỦ ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ. HỢP SỐ .
PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ
ƯỚC – ƯỚC CHUNG – ƯCLN . BỘI BI CHUNG BCNN
I. Kiến thức cần nhớ:
1. Dịnh nghĩa:
* Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chØ cã hai íc lµ 1 vµ chÝnh nã.
* Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ớc.
2. Tính chất:
* Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố q thì p = q.
* NÕu tÝch abc chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× Ýt nhÊt mét thõa sè cđa tÝch
abc chia hết cho số nguyên tố p.
* Nếu a và b không chia hết cho số nguyên tố p thì tích ab không chia hết

cho số nguyên tố p .
3. Cách nhận biết một số nguyên tố:
a) Chia số đó lần lợt cho các số nguyên tố đà biết từ nhỏ đến lớn.
- Nếu có một phép chia hết thì số đó không phải là số nguyên tố.
- Nếu chia cho đến lúc số thơng nhỏ hơn số chia mà các phép chia vẫn còn
số d thì ssó đó là sè nguyªn tè.
b) Mét sè cã 2 íc sè lín hơn 1 thì số đó không phải là số nguyên tố.
4. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố:
* Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dới
dạng một tích các thừa số nguyên tố.
- Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của mỗi số nguyên tố là chính số đó.
- Mọi hợp số đều phân tích đợc ra thõa sè nguyªn tè.
21


GV: Hoàng Dương An






Trường THCS Nghi Đồng



A  a .b .....c
V�
i a, b, c l�nh�
ng s�nguy�

n t�
.
, , ...,  �N v�, , ...,  �1
5. Sè c¸c íc sè và tổng các ớc số của một số:
GisA a .b .....c
V�
i a, b, c l�nh�
ng s�nguy�
n t�
.
, , ...,  �N v�, , ...,  �1
1. S�c�
c�
�
c s�c�
a A l�
: (+1)(+1)...( +1).
a +1  1 b1  1 c1  1
.
...
a  1 b 1
c1
6. Sè nguyªn tè cïng nhau:
* Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ƯCLN bằng 1.
Hai số a và b nguyên tố cùng nhau ƯCLN(a, b) = 1.
Các số a, b, c nguyên tố cùng nhau ƯCLN(a, b, c) = 1.
Các số a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau � ¦CLN(a, b) = ¦CLN(b, c) =
¦CLN(c, a) =1.
II. Các ví dụ:
VD1: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số

nguyên tố là số chẵn hay số lẻ.
HD:
Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn duy nhất
là 2, còn 24 số nguyên tố còn lại là số lẻ. Do đó tổng của 25 số nguyên tố là số
chẵn.
VD2: Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nguyên tố nhỏ nhất
trong ba số nguyên tố đó.
HD:
Vì tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012, nên trong 3 số nguyên tố đó tồn tại ít
nhất một số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 và là số
nguyên tố nhỏ nhất. Vậy sè nguyªn tè nhá nhÊt trong 3 sè nguyªn tè đó là 2.
VD3: Tổng của 2 số nguyên tố có thể bằng 2003 hay không? Vì sao?
HD:
Vì tổng của 2 sè nguyªn tè b»ng 2003, nªn trong 2 sè nguyªn tố đó tồn tại 1
số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2. Do đó số nguyên tố
còn lại là 2001. Do 2001 chia hết cho 3 và 2001 > 3. Suy ra 2001 không phải là
số nguyên tố.
VD4: Tìm số nguyên tố p, sao cho p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên
tố.
HD:
Giả sử p là số nguyên tố.
Nếu p = 2 thì p + 2 = 4 và p + 4 = 6 đều không phải là số nguyên tố.
Nếu p 3 thì số nguyên tố p có 1 trong 3 d¹ng: 3k, 3k + 1, 3k + 2 víi k
�N*.
+) NÕu p = 3k � p = 3 � p + 2 = 5 vµ p + 4 = 7 đều là các số nguyên tố.
+) Nếu p = 3k +1 th× p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) � p + 2 M3 vµ p + 2 > 3. Do
đó
p + 2 là hợp sè.
+) NÕu p = 3k + 2 th× p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) � p + 4 M3 vµ p + 4 > 3.
Do đó

p + 4 là hợp số.
Vậy với p = 3 thì p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố.
2. T
ng c
c

c sc
a A l
:

22


GV: Hồng Dương An



Trường THCS Nghi Đồng

VD5: Cho p vµ p + 4 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 8
là hợp số.
HD:
Vì p là số nguyên tố và p > 3, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng: 3k + 1, 3k
+ 2 víi k �N*.
- NÕu p = 3k + 2 th× p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) � p + 4 M3 vµ p + 4 > 3. Do
đó
p + 4 là hợp số ( Trái với đề bài p + 4 là số nguyên tố).
- Nếu p = 3k + 1 thì p + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) � p + 8 M3 vµ p + 8 > 3. Do
đó
p + 8 là hợp số.

Vậy số nguyên tố p có dạng: p = 3k + 1 thì p + 8 là hợp số.
VD6: Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n + 1
hoặc 4n -1.
HD:
Mỗi số tự nhiên n khi chia cho 4 cã thĨ cã 1 trong c¸c sè d: 0; 1; 2; 3. Do đó
mọi số tự nhiên n đều có thể viết đợc dới 1 trong 4 dạng: 4k, 4k + 1, 4k + 2,
4k + 3
víi k N*.
Nếu n = 4k nM4 n là hợp sè.
NÕu n = 4k + 2 � nM2 � n là hợp số.
Vậy mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4k + 1 hoặc 4k 1. Hay mọi số
nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n + 1 hc 4n – 1 víi n �N*.
VD7: Tìm ssó nguyên tố, biết rằng số đó bằng tổng của hai số
nguyên tố và bằng hiệu của hai số nguyªn tè.
HD:
Gi�s�a, b, c, d, e l�c�
c s�nguy�
n t�v�d >e.
Theo b�
i ra: a =b +c =d - e (*).
T�(*) � a >2 � a l�s�nguy�
n t�l�
.
� b +c v�d - e l�s�l�
.
Do b, d l�c�
c s�nguy�
n t�� b, d l�s�l�� c, e l�s�ch�
n.
� c =e =2 (do c, e l�c�

c s�nguy�
n t�
).
� a =b +2 =d - 2 � d =b +4.
V�
y ta c�
n t�
m s�nguy�
n t�b sao cho b +2 vb +4 c
ng lc
c snguy
n t
.
2
2
VD8: Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho: x - 6y = 1.
HD:
Ta c�
: x2  6y2  1� x2  1 6y2 � (x  1)(x  1)  6y2
Do 6y2 M2 � (x  1)(x  1)M
2
M�x - 1 +x +1 =2x � x - 1 v�x +1 c�c�
ng t�
nh ch�
n l�
.
� x - 1 v�x +1 l�hai s�ch�
n li�
n ti�
p

� (x  1)(x  1)M
8 � 6y2 M
8 � 3y2 M4
� y2 M2 � yM2 � y  2 � x  5
VD9: Cho p vµ p + 2 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 1
M6.
HD:
Vì p là số nguyên tố và p > 3, nên số nguyên tố p cã 1 trong 2 d¹ng: 3k + 1, 3k
+ 2 víi k �N*.
- NÕu p = 3k + 1 th× p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) � p + 2 M3 vµ p + 2 > 3. Do
®ã
23


GV: Hồng Dương An



Trường THCS Nghi Đồng

p + 2 lµ hợp số ( Trái với đề bài p + 2 là số nguyên tố).
- Nếu p = 3k + 2 th× p + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1) (1).
Do p là số nguyên tố và p > 3 � p lỴ � k lỴ � k + 1 chẵn k + 1M2 (2)
Từ (1) và (2) � p + 1M6.
III. Bµi tËp vËn dơng:
Bài 1. Tìm các số tự nhiên x sao cho:
a) x  B(5) và 20  x  30
b) x M13 và 13 < x  78
c) x  Ư(12) và 3  x  12
d) 35 Mx và x < 35

Bài 2: a)Tìm tất cả các số tự nhiên x sao cho x  B(7) và x  Ư(70)
b)Cho A = 23.32 . Tìm Ư(A)
Bài 3:a) Tìm tập hợp các ước chung của 12; 26 và 70
b)Tìm tập hợp các bội của 61 có 3 chữ số và nhỏ hơn 400
Bài 4:a)Tìm tập hợp các số vừa là ước của 75 vừa là bội của 5
b)Tìm tập hợp các số vừa là bội của 20 vừa là ước của 36
c)Tìm tập hợp các số tự nhiên vừa là ước của 300 vừa là bội của 25
d)Tìm tập hợp các số tự nhiên vừa là ước của 225 vừa là bội của 9
Bài 5:Cho số ab và số ababab
a)
Chứng tỏ ababab M ab
b)
3 và 10101 có là ước của ababab khơng ? Vì sao?
Bài 6: a)Chứng tỏ rằng biểu thức A = 5 +52 + 53 + 54 + … + 58 là bội của 30
b)Chứng tỏ rằng biểu thức B = 3 +33 + 35 + 37 + … + 329 là bội của 273
Bài 7 :Biết số tự nhiên aaa chỉ có 3 ước khác 1. Tìm số đó
Bài 8:Tổng (hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số:
a)
3150 + 2125
b)
5163 – 2532
c)
19.21.23 + 21.25.27
d)
15.19.37 – 225
Bài 9:Chứng tỏ rằng các tổng sau là hợp số:
a) abcabc  7
b) abcabc  22
c) abcabc  39
Bài 10:a)Thay chữ số vào dấu * để được hợp số: 7 * ; 8*

b)Thay chữ số vào dấu * để được số nguyên tố : 1* ; *1 ; *7 ; *5 ;8* ;9* ;99 *
Bài 11:a)Tìm số tự nhiên k để số 23.k là số nguyên tố
b)tại sao 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất?
Bài 12:Tìm một số nguyên tố, biết rằng số liền sau nó cũng là số nguyên tố
Bài 13: Chỉ ra hai số nguyên tố mà tổng của chúng cũng là số nguyên tố, hiệu của chúng cũng là số
nguyên tố
Bài 14: Biết số xxxx bằng tích của 2 số ngun tố. Tìm hai số đó
Bài 15: Viết tất cả các ước của các số sau:
a)7.13
b)33
c)32.52
d)22.73
Bài 16:a)Tích của hai số bằng 45. Tìm hai số đó
b)Muốn chia đều 39 sinh viên vào các tổ .Hỏi có bao nhiêu tổ và mỗi tổ có bao nhiêu người
Bài 17:Thay số thích hợp vào dấu * :
a)***.*  2463
b)** . *** 1313
Bài 18: a)Tích 3 số lẻ liên tiếp bằng 693. Tìm ba số đó
b)Phân tích 1. 2. 3. 4. ….20 ra thừa số nguyên tố. Có bao nhiêu thừa số 2 ?
Bài 19: a)các số abab ; abcabc ; ababab là số nguyên tố hay hợp số?
b)Bốn số tự nhiên 232323 ; 151515 ; 123123 ; 344344 cùng chia hết cho những số nào?
Bài 20:Một số tự nhiên khi phân tích ra thừa số nguyên tố có dạng 2 2.33 . Hỏi số đó có bao nhiêu
ước?
Tổng quát số A = p1k . p2l . p3m có bao nhiêu ước
24


GV: Hoàng Dương An



Trường THCS Nghi Đồng

Bài 21 : Một số tự nhiên gọi là số hoàn chỉnh nếu tổng các ước của nó nếu tổng tất cả các ước của
nó gấp hai lần số đó. Hãy nêu ra một vi s hon chnh
Bài 22: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố:
a)
p + 2 vµ p + 10.
b)
p + 10 vµ p + 20.
c)
p + 10 vµ p + 14.
d)
p + 14 vµ p + 20.
e)
p + 2vµ p + 8.
f)
p + 2 vµ p + 14.
g)
p + 4 vµ p + 10.
h)
p + 8 và p + 10.
Bài 23: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là sè nguyªn tè:
a)
p + 2, p + 8, p + 12, p + 14.
b)
p + 2, p + 6, p + 8, p + 14.
c)
p + 6, p + 8, p + 12, p + 14.
d)

p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14.
e)
p + 6, p + 12, p + 18, p + 24.
f)
p + 18, p + 24, p + 26, p + 32.
g)
p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p+16.
Bµi 24:
a)
Cho p vµ p + 4 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: p + 8 là hợp
số.
b)
Cho p và 2p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 4p + 1 là
hợp số.
c)
Cho p và 10p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 5p + 1 là
hợp số.
d)
Cho p và p + 8 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: p + 4 là hợp
số.
e)
Cho p và 4p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 2p + 1 là
hợp số.
f)
Cho p và 5p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 10p + 1 là
hợp số.
g)
Cho p và 8p + 1 là các số nguyên tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 8p - 1 là
hợp số.
h)

Cho p và 8p - 1 là các số nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 8p + 1 là
hợp số.
i)
Cho p và 8p2 - 1 là các sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 8p2 + 1 là
hợp số.
j)
Cho p và 8p2 + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p2 - 1 là
hợp số.
Bài 25: Chứng minh rằng:
a)
Nếu p và q là hai số nguyên tố lớn hơn 3 th× p2 – q2 M24.
b)
NÕu a, a + k, a + 2k (a, k N*) là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k M6.
Bài 26:
a)
Một số nguyên tố chia cho 42 có số d r là hợp số. Tìm số d r.
b)
Một số nguyên tố chia cho 30 cã sè d r. T×m sè d r biÕt r»ng r không là
số nguyên tố.
Bài 27: Hai số nguyên tố gọi là sinh đôi nếu chúng là hai số nguyên tố lẻ liên
tiếp. Chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 3 nằm giữa hai số nguyên tố
sinh đôi thì chia hết cho 6.
Bài 28: Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3, trong đó số sau lớn hơn số trớc là d đơn
vị. Chứng minh rằng d chia hÕt cho 6.

25