Hệ Phương Trình

MỘT SỐ KIẾN THỨC
*Phương trình đường tròn :
( ) ( )
2
22
Rbyax
=−+−
Hay :
0cby2ax2yx
22
=+−−+
Cótâm là:
( )
b;aI
và bán kính :
cbaR
22
−+=

≥
0
*Phương trình những điểm trong đường tròn và trên đường tròn là:
( ) ( )
2
22
Rbyax
≤−+−
( là miền gạch hình 2)
*Phương trình những điểm ngoài đường tròn và trên đường tròn là:
( ) ( )
2

22
Rbyax
≥−+−
(là miền gạch hình 3)
*Đường thẳng : ax + by + c = 0 chia mặt phẳng tọa độ thành 2 phần ax + by + c
≥
0
và ax + by + c
≤
0 để biết phần nào lớn hơn 0 hay nhỏ hơn 0, thông thường ta lấy 1
điểm trên miền thế vào. Nếu không thoả ta lấy miền ngược lại .
Xét đường thẳng : -x + y – 2
≤
0 (như hình vẽ).Ta lấy điểm (0;0) thế vào (-x + y – 2) ta
được -2
≤
0 . Nên ta lấy miền chứa (0;0) đó chính là miền gạch như trên hình vẽ
* cho hàm số : y = f(x) có mxđ là D , gtnn = m ,gtln = M ta nói:
Hàm số y = f(x) có nghiệm khi : m
≤
y
≤
M trong mxđ
f(x)
α
≥
có nghiệm khi M
α
≥
trong mxđ

f(x)
α
≥
đúng
∀
x khi m
α
≥
trong mxđ
f(x)
≤
α
có nghiệm khi m
α
≤
trong mxđ
f(x)
≤
α
đúng
∀
x khi M
α
≤
trong mxđ
*Cho A(x
0
, y
0
) và đường thẳng (

∆
) có phương trình : ax + by + c = 0 , khoảng cách từ
A đến đường thẳng là :
d(A;
∆
) =
22
00
ba
cbyax
+
++
*Công thức đổi trục : [ gs I(a;b) ]
Đổi trục oxy
→
IXY



+=
+=
bYy
aXx
phần1 GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm.

( )
*
my2cosx2cos
2

1
ysinxsin





=+
=+
Giải :
Đặt u = sinx , v = siny
Bài toán trơ ûthành tìm m để hệ sau có nghiệm :
(*)
⇔
( )
( )
( )
( )









≤
≤
−

=+
=+
41
31
2
2
2
1
2
1
22
v
u
m
vu
vu
Các điểm thỏa (3)(4) là những điểm nằm trên và trong hình vuông ABCD như hình vẽ ,
(2) là phương trình đường tròn tâm I(0,0) bán kính R =
2
m2
−
, do số giao điểm của
đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có nghiệm
đường tròn phải cắt đường thẳng u + v =
2
1
nằm trong hình vuông. Dễ thấy
M(1 ; -
2
1

) và OM = ON
OM =
4
5
, OH =
2
2
1
−
=
8
1
, suy ra ycbt là
8
1

≤

2
m2
−
≤

4
5
⇔
-
2
1

≤
m
≤

4
7
Cho hệ phương trình.




=−+
=−+
0xyx
0aayx
22
(*)
a) tìm tất cả các giá trò của a để hệ có 2 nghiệm phân biệt.
b)gọi (x
1
; y
1
) , (x
2
; y
2
) là 2 nghiệm của hệ ,chứng minh rằng .
(x
2
– x

1
)
2
+ (y
2
– y
1
)
2

≤
1
Giải :
a) Hệ đã cho có thể viết lại :
(*)
⇔






=+−
=−+
)2(
4
1
y)
2
1

x(
)1(0)1y(ax
22
Ta nhận thấy (1) là phương trình đường thẳng ,luôn qua điểm cố đònh (0;1) . (2) là
phương trình đường tròn có tâm I(
2
1
;0) bán kính R =
2
1
. Do số giao điểm của đường
thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 2 nghiệm khi :
D(I ;d) =
2
m1
m0.m
2
1
+
−+
<
2
1
⇔
0 <m <
3
4
b) ta có AB =
2
12

2
12
)yy()xx(
−+−

≤
2R
(x
2
–x
1
)
2
+ (y
2
– y
1
)
2

≤
4R =1 (đpcm)
Dấu (=) xảy ra khi đường thẳng qua tâm :
Hay :
2
1
- a = 0
⇔
a =
2

1

Cho hệ phương trình.






=−++++
<+−
02aax)1a2(x
04x5x
22
24
(*)
Tìm a sao cho hệ sau đây có nghiệm.
Giải :
Hệ đã cho có thể viết lại :
( )
⇔
*









−<<−
<<
=++−+
)3(1x2
)2(2x1
)1(0)2ax)(1ax(
Các điểm M(x;y) thỏa(1) là những điểm nằm trên 2 đường thẳng như hình vẽ
Các điểm M(x;y) thỏa (2) là những điểm nằm trên 2 miền gạch
Ta có A(-2;0) , B(-2;3) , C(-1;2) , D(1;0) , E(2;-1) , F(-1;-1) , K(1;-3) , M(2;-4) .
Vậy từ đồ thò hệ có nghiệm khi : -4<a<-3 , -1<a<0 , 2<a<3.
Cho hệ phưong trình.






=+
=++−+
222
2
myx
02)yx(3)yx(
(*)
Tìm m sao cho hệ sau đây có 3 nghiệm .
Giải :
Hệ đã cho có thể viết lại :
(*)
⇔




=+
=−+−+
)2(myx
)1(0)1yx)(2yx(
222
Các điểm M(x;y) thỏa (1) là những điểm nằm trên 2 đường thẳng như hình vẽ
Các điểm M(x;y) thỏa (2) là những điểm nằm trên đường tròn tâm I(0;0) bán kính R =
m
, do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ
phương trình có 3 nghiệm thì :
R = ON , mà ON =
2
2
=
2
(áp dụng đktx) do đó :
m
=
2
⇔




−=
=
2m
2m

Biện luận theo a về số nghiệm của phương trình.




=−−
=+
0)ay)(a2x(
2y2x
Giải :
Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận:
Đổi trục oxy
→
0XY



=
=
Y2y
Xx
Hệ đã cho có thể viết lại :
( )
( )



=−−
=+
20)a2Y)(a2X(

12YX
Ta nhận thấy các điểm M(x;y) thoả mãn (1) là hình vuông A,B,C,D trong đó A(-2;0) ,
B(0;2) , C(2;0) , D(0;-2) .Các điểm thỏa mãn (2) nằm trên 2 đường: X = 2a ,Y= 2a , mà
giao điểm I của chúng luôn luôn di động trên Y = X , dễ thấy điểm I
/
(1;1) như hình vẽ ,
do số giao điểm của 2 đường thẳng và hình vuông ABCD chính là số nghiệm .
nên ta có :
Nếu



−<
>
2a2
2a2

⇔



−<
>
1a
1a
hệ vô nghiệm.
Nếu




−=
=
2a2
2a2

⇔



−=
=
1a
1a
hệ có 2 nghiệm.
Nếu





−≠
≠
<<−
1a2
1a2
2a22
⇔










−≠
≠
<<−
2
1
a
2
1
a
1a1
hệ có 4 nghiệm.
Nếu



−=
=
1a2
1a2

⇔






−=
=
2
1
a
2
1
a
hệ có 3 nghiệm.
Tìm a để phương trình sau có 2 nghiệm .
xaxx
2
−=−
(*)
Giải :
Với điều kiện x – x
2

≥
0 , đặt y =
2
xx
−
≥
0
(*) trở thành
( )
( )

( )





≥
=−+
=+
30y
20xxy
1axy
22

⇔
( )
( )
( )





≥
=+−
=+
30y
2
4
1

y)
2
1
x(
1axy
22
(2) và (3) là phương trình nửa đường tròn lấy phần dương như hình vẽ , có tâm I(
2
1
;0)
bán kính R =
2
1
. (1) là phương trình đường thẳng x +y = a , do số giao điểm của đường
thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 2 nghiệm thì đường
thẳng x +y = a phải lớn hơn hoặc bằng x + y = 1 và nhỏ hơn tiếp xúc trên , mà tiếp xúc
trên bằng .







>
=
−
1a
2
1

2
a
2
1

⇔






−
=
+
=
)l(
2
21
a
)n(
2
21
a
hay 1
≤
a <
2
21
+