Bài tập phương trình lương giác

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Phương trình lượng giác cơ bản
2
1) sin sin
2
2)cos cos 2 ,
u v k
u v k
u v k
u v u v k k
π
π π
π
= +

= ⇔ ∈

= − +

= ⇔ = ± + ∈
¢
¢
3) tan tan ,
4) t t ,
u v u v k k
co u co v u v k k
π
π
= ⇔ = + ∈
= ⇔ = + ∈
¢

¢
II. Một số phương tình lượng giác thường gặp
1. Phương trình bậc hai theo một hàm số lương giác
Dạng:
a) asin
2
x + bsinx + c = 0
b) acos
2
x + bcosx + c = 0 (a
≠
0)
c) atan
2
x + btanx + c = 0
d) acot
2
x + bcotx + c = 0
Cách giải
Đặt ẩn số phụ cho HSLG để đưa về phương trình
bậc hai một ẳn.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
1) 2sin
2
x – sinx – 1 = 0
2) 2cos
2
x - 5cosx – 3 = 0
3) 2sin
2

x – 3cosx = 0
4) sin
2
2x – 2cos
2
x +
3
4
= 0
5) 2cos2x + 4sinx + 1 = 0
6) cos4x = cos
2
x
2. Phương trình bậc nhất theo sin và cos có dạng: asinx + bcosx = c
Cách giải: chia 2 vế phương trình cho
2 2
a b+
ta được:
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
sin cos
1
a b c
x x
a b a b a b
a b
do
a b a b
+ =

+ + +
   
+ =
 ÷  ÷
+ +
   
Nên đặt
2 2
2 2
cos
sin
a
a b
b
a b
α
α

=

+



=

+

(hoặc ngược
lại)

Ta được phương trình:
( )
2 2
2 2
os sin sin cos
sin
c
c x x
a b
c
x
a b
α α
α
+ =
+
⇔ + =
+

Ta đươc PT bậc nhất theo 1 hslg.
Ví dụ: Giải các phương trình:
( )
( ) ( )
( )
2
3
1) 3 sin cos 1
2) 2 cos2 2 sin 3
3)2sin 3 sin 2 3
4)3cos2 4sin 2 5

5)1 sin cos sin cos 0
6) 3 cos5 2sin 3 cos2 sin 0 ( 2009)
1 2sin cos
7) 3 ( 2009)
1 2sin 1 sin
8)sin cos sin 2 3 cos3 2 cos4 sin (
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x x x dh D
x x
dh A
x x
x x x x x x
+ =
+ =
+ =
+ =
+ + + =
− − = −
−
= −
+ −
+ + = +
2
2009)
3 1
9) 3 sin cos

2cos
cos 2sin cos
10) 3
2cos sin 1
dh B
x x
x
x x x
x x
−
+
+ =
−
=
+ −
3. Phương trình dạng: asin
2
x + bsinxcosx + ccosx = d
Cách giải:
Cách 1: Dùng công thức hạ bậc để đưa về dạng 2
Cách 2: (biến đổi đưa về phương trình bậc hai
theo tan hoặc cot)
Kiểm tra cosx = 0 có phải là nghiệm của phương trình
hay không.
Khi cosx
≠
0 chia 2 vế phương trình cho cos
2
x ta
được: atan

2
x + btanx + c = d(1 + tan
2
x)
<=> (a – d)tan
2
x +btanx + c – d = 0
Giải phương trình ta được nghiệm của phương tình đã
cho.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
1) 3sin
2
x – 2sin2x – 3cos
2
x = 2
2) cos
3
x + sin
3
x = sinx + cosx
3)
1
4sin 6cos
cos
x x
x
= +
III. Bài tập
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Bài 1: Giải các phương trình sau:

( )
( )
0
0
1 2 3
1)sin 2 2)sin 2 3)sin 30
2 6 2 2
3
4)sin 3 5)sin 2 0 6)sin 3 1
4 2 4 6
3 1 2
7) cos 2 8)cos 2 9)cos 3 1
3 2 3 2 3
3 3
10) tan 2 3 11) tan 45 12) tan
3 3
x x x
x x x
x x x
x x x
π
π π π
π π π
π
 
= + = + =
 ÷
 
     
− = − − = − = −

 ÷  ÷  ÷
     
     
− = − = − + =
 ÷  ÷  ÷
     
 
+ = + = − −
 ÷
 
1
4
π
 
= −
 ÷
 
Bài 2: Giải các phương trình sau:
( )
( )
( ) ( ) ( )
0
1)2sin3 1 0 2) 3 2sin 0 3) 2 sin 2 1 0
3
4)2 os x+30 1 0 5) 2 2cos 0 6)2 os 2 0
4
7) tan 3 0 8) 3 tan 2 1 0 9)cot 2 1 0
4
10) tan 1 cot 2 3 0 11) 2cos 3 3 cot3 1 0
x x x

c x c x
x x x
x x x x
π
π
− = − = + =
 
− = − − = + =
 ÷
 
 
+ = − + = − =
 ÷
 
− + = + + =
Bài 3: Giải các phương trình sau:
( )
0 0
1)sin 2 sin 50 2)sin 2 sin 3)sin 30 sin3
6
4)sin 3 sin 0 5)sin 2 sinx=0 6)cos 3 os2x
4 4 6
2
7) cos 2 cos 8)cos 2 cos3 0 9)cot cot 2
3 6 3 3
10) ta
x x x x x
x x x x c
x x x x x x
π

π π π
π π π π
 
= + = + =
 ÷
 
     
− − = − + − =
 ÷  ÷  ÷
     
       
− = + − + = − =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
( ) ( ) ( )
0 0 0
n 2 tan 11) tan 45 tan 2 0 12) tan 60 tan 2 20 0
3
x x x x x x
π
 
+ = + − = − + + =
 ÷
 

Bài 4: Giải các phương trình sau:
( )
( )
0
0 0

1)sin 2 cos 2)sin 2 cos 0 3)cos 30 sin 2 0
6
4) os 100 2 sin( 30 ) 0 5) tan 2 cot x 6)cot 3 tan 2x
4 6
7) tan .tan 2 1 8)cot 2 .cot 3 1 9) tan 3 .cot 1
x x x x x x
c x x x x
x x x x x x
π
π π
 
= + + = + + =
 ÷
 
   
− + + = − = − =
 ÷  ÷
   
= − = =
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) sin2x – 2cosx = 0 2) 2sin
2
x + cos3x = 1 3) 2cos
2
x + cos2x = 2
4) 8cos2xsin2xcos4x =
2
5) tan2x – tanx = 0 6) cos
2

(x – 30
0
) =
3
4
III.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) sin
2
x + 2sinx – 3 = 0 2) 2sin
2
x + sinx – 1 = 0 3) 2sin
2
2x + 5sin2x + 2 = 0
4) 2cos
2
x – 3cosx – 2 = 0 5) 4cos
2
x + 4cosx – 3 = 0 6) 2cos
2
x – 5cosx – 3 = 0
7) 3tan
2
x – tanx – 4 = 0 8) 5 + 3tanx – tan
2
x = 0 9) -5cot
2
x – 3tanx + 8 = 0
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1) 3sin

2
2x + 7cos2x – 3 = 0 2) 5sin
2
x + 3cosx + 3 = 0 3) 6cos
2
x + 5sinx – 7 = 0
4) 3cos
2
x – 2sinx + 2 = 0 5)
2 4
1
sin cos
4
x x− + =
6) cos2x – 5sinx – 3 = 0
7) cos2x + cosx + 1 = 0 8) 3sin2x – 4cos4x = -1 9) 5cosx – 6cos2x = 2
10) 2cos
2
x – sin
2
x – 4cosx + 2 = 0 11) 9sin
2
x – 5cos
2
x – 5sinx + 4 = 0 12) cos2x + sin
2
x + 2cosx + 1 = 0
13) 3cos2x + 2(1 +
2
+ sinx)sinx – 3 -

2
= 0 14) sin
2
x - cos2x + 4sinx = 6 15) sin
2
2x – 2cos
2
x +
3
4
=
0
16) sin
3
x + 3sin
2
x + 2sinx = 0 17)
2
3
5tan 1 0
cos
x
x
+ − =
18) 3tanx – 4cotx + 1 = 0
IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) sinx -
3
cosx =

2
2)
( )
sin 2 3 sin 2 1
2
x x
π
π
 
+ + − =
 ÷
 
3) 2sin
2
x +
3
sin2x = 3
4) 2cosx – sinx = 2 5) sin5x + cos5x = -1 6) sin
6
x + cos
6
x +
1
2
sin4x = 0
7) 1 + sinx – cosx –sin2x + 2cos2x = 0 8) 8cos
4
x – 4cos2x + sin4x – 4 = 0
V. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
Bài 1: Giải các phương trình sau:

1) sin
2
x – 2sinxcosx – 3cos
2
x = 0 2) 6sin
2
x + sinxcosx – cos
2
x = 2
3) sin2x – 2sin
2
x = 2cos2x 4) 2sin
2
x – 3sin4x + cos
2
2x = 2
5) 4cos
2
x +3sinxcosx - sin
2
x = 3 6) 4sin
2
x – 4sinxcosx + 3cos
2
x = 1
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: giải các phương trình
3 3
3
3 3 2 2

1 2 3 2
1)cos3 2 cos 2)cos3 cos sin 3 sin
2 2
1
3)2 2 cos 3cos sin 0 4)2cos 2 8cos 7
4 cos
5)sin 2 2cos 2 1 sin 4cos 6)2sin (1 cos 2 ) sin 2 1 2cos
7)sin 3 cos sin cos 3 sin cos 8)(1 s
x co x x x x x x
x x x x x
x
x x x x x x x x
x x x x x x
π
+
− + = − =
 
− − − = − + =
 ÷
 
+ = + − + + = +
− = − +
2 2
2
2
in )cos (1 cos )sin 1 sin 2
cos 2 1
9)(2cos 1)(2sin cos ) sin 2 sin 10)cot 1 sin sin 2
1 tan 2
cos2 sin 2

11)3 cot 3 12)2sin 2 4sin 1 0
sin cos 6
2sin 2 2cos 2sin 1
13) cos2
2cos 1
x x x x x
x
x x x x x x x x
x
x x
x x x
x x
x x x
x
π
+ + = +
− + = − − = + −
+
   
+ = + − + + =
 ÷  ÷
   
+ − −
=
−
( ) ( ) ( )
3 3
2 3
2
3

3 sin 1 14) sin cos 1 sin 2 cos sin
2
1 sin
15)tan 16)2sin cos2 cos 0
2 sin
3 cos2
17) 4cot 2 18)cos 2 3sin 2 2 3 sin 2cos 1 0
sin
tan 1 cos cos 2 cos3 2
19) tan 2 20)
cot3 cos cos2 3
x x x x x x x
x
x x x x
x
x
x x x x x
x
x x x x
x
x x x
π
+ + + = + −
+
 
− = + + =
 ÷
 
+
− = − + − + =

+ + +
− = =
+
2 2 2
2
3 2
(3 3 sin )
3 cos2 1
21)4sin 3 cos 2 1 2cos 22) tan 3tan
2 4 2 cos
23)4sin 4sin 3sin 2 6cos 0 24)sin 3 3 cos3 cos2 3sin 2 sin 3 cos
sin sin 2 cos2
25) 3 26)cot 1 si
cos cos2 1 tan
x
x x
x x x x
x
x x x x x x x x x x
x x x
x
x x x
π π
−
−
   
− = + − + − =
 ÷  ÷
   
+ + + = + + − = +

−
= − = +
− +
2
1
n sin 2
2
x x−
Bài 2: Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2
π
) của phương trình:
cos3 sin3
5 sin cos 2 3
1 2sin 2
x x
x x
x
+
 
+ = +
 ÷
+
 

Bài 3: Tìm x
[ ]
0;14∈
nghiệm đúng của phương trình: cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4= 0
Bài 4: Xác định m để phương trình 2(sin
4

x + cos
4
x) + cos4x + 2sin2x + m = 0
có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn
0;
2
π
 
 
 
Bài 5: Cho phương trình:
2sin cos 1
(1)
sin 2cos 3
x x
a
x x
+ +
=
− +
1. Giải phương trình (1) khi a =
1
3
2. Tìm a để phương trình (1) có nghiệm.
Bài 6: Tìm x
3
0;
2
π
 

∈
 
 
thỏa mãn phương trình
2
cos (cos 1)
2(1 sin )
sin cos
x x
x
x x
−
= +
+
Bài 7: Cho phương trình: 4cos
3
x + (m – 3)cosx – 1 = cos2x
1. Giải phương trình khi m = 1
2. Tìm m để phương trình có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc khoảng
;
2
π
π
 
−
 ÷
 
---Hết---
MỘT SỐ ĐỀ THI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: Giải các phương trình:

2 2 2
2
2 2 2
2 2
1) 2 7 4 2) 2 1 2 3 3) 3 4 3 3
5
4) 1 5) 5 1 3 2 2 3 6) 3 15 2 5 1 2
2 1
7) 2 1 2 1 2 8) 4 1 2 2 9
3
9) 2 7 2 1 8 7 1 10) 2 9 ( 5)
3
x x x x x x
x x x x x x x x x
x
x x x x x x x x x x
x
x x x x x x x
x
− + = + = + − + − − =
+ − = − = − − − + + + + =
+
+ − + − − = + + + + + = + +
+
+ − = − + − + − + − = +
−
Bài 2: Giải các phương trình (Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình)
2
3
2

3 3
3
4 4
2
4
3 3 3
3
2
1) 24 12 6 2) 3 10 5
3) 9 ( 3) 6 4) 7 1
5) 5 1 2 6)2 3 2 3 6 5 8 0 ( 2009)
7) 3 2 2 1 8) 17 3
1 1
9) 1 2 1 10) 2
2
x x x x
x x x x
x x x x dh A
x x x x x
x x
x
x
+ + − = + + − =
− = − + − − =
− + − = − + − − = −
+ + − = + + − =
− + + = + =
−
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:
3 3 3 3 4 4 2 2 2 2

2 3 2
4 3 2 2
2 2
2
4 2
12 110 18
1) 2) 3)
0 6 ( 1) ( 1) 72
5
1 7
2 2 9
4
4) ( 08) 5) ( 08) 6)
5
1 13
2 6 6
(1 2 )
4
x x y y x y x y x x y y
x xy y xy x x y y
x x x y xy xy
xy x y
x x y x y x
A B
x y xy y
x xy x
x y xy x
  
+ + = + + + = + + + =
  

+ + = = − + + =
  

+ + + + = −

+ + =

+ + = +
 
− −
 
+ + =
+ = +



+ + + = −


2
2
2 2
2
2 2
2 2 2 2
2
2 2
2
( 09)
( 1) 3 0

8
3 8
7) ( 09) 8) 9)
5
( ) 1 0
2 3 0
2
8
16
2 1 26 1 ( ) 4
10) 11) 12)
( 1)( 2)
1 10
1
B
x x y
x y x y
x y
D
x y
x xy y
y x y
x
xy
x y
y y x x x y x y y
x y
x x y y
y y x
x y x y


−


+ + − =



+ + − =
+ + =
  
−
  
+ − + =
− + =
− =

 





+ + =

+ − = − + + + =
  
+
  
+ + − =


+ − =

 

+ = −

2
2 2
2 2
2
2 2
2
2
2 2
3
2
2 2
1 1
5
30
(3 2 )( 1) 12
3) 14) 15)
1 1
2 4 8
35
9
2
1 1
3

2 3 16
16) ( 03) 17) ( 03) 18)
2
2 8
3
2 1
3 2
19)
x y
x y y x
x x y x
x y
x y x
x x y y
x y
x y
y
y
x y
x xy y
x
x y
B A
x
x xy y
x
y x
y
x xy y


+ + + =


+ =
+ + =

 
  
+ + =
+ =

 

+ + + =



+

=

− = −

+ + =
  
− −
  
+
+ + =



 
=
= +



− +
2
2 2 4 2 2 2
3 4
11 2 0
20) 21)
2 3 17 4 3 0
3 4
y
x y
x xy x y
x
x
x xy y x x y x y
y x
y

− =

 
= − + + =
  
  

+ + = − + + =
 
 

− =

