Học kì 2 toán 10 trần hưng đạo 1819

TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2018-2019

THANH XN

MƠN: TỐN KHỐI 10

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề

Câu 1: (3 điểm) Giải các bất phương trình sau:
a) 2 x 2  3x  5  0

b)

x2  5x  4  3x  2

c)  x 2  3x  x 2  3x  3   10

Câu 2: (1 điểm) Cho f  x   mx2  4 x  m  3, Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương
trình f  x   0 được nghiệm đúng với mọi x 

.

Câu 3: (2 điểm)
1
3
a) sin    ;     . Tính cos  và sin 2a .
2

2

b) Chứng minh rằng

1  cos 2 x  sin 2 x
 cot x
1  cos 2 x  sin 2 x

Câu 4: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x  2 y  11  0 và đường tròn

 C  : x2  y 2  4 x  2 y  20  0 .
a) Tìm tọa độ tâm I và bán kính r của đường trịn  C  . Tính khoảng cách từ I đến d.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của  C  biết tiếp tuyến đó song song với d.
c) Viết phương trình đường trịn  K  đi qua điểm I và hai điểm A  1; 2  ; B  2; 3  .
d) Gọi  là tiếp tuyến của đường tròn  C  tại M  1;3  . Tìm tọa độ H   mà MH  2r

HDedu - Page 1


HƯỚNG DẪN
Hướng dẫn

Câu
Câu 1

Điểm

Giải các bất phương trình sau
2 x 2  3x  5  0

Xét 2 x 2  3x  5  0 . Ta có:   49  0  phương trình có hai nghiệm
a

x1  1; x2 

5
.
2

x  5
Vì a  2  0  2 x  3x  5  0  
2

 x  1
2

x2  5x  4  3x  2
x  2

3
2
 3x  2  0

 x   ; 4    1;  
TH1:  2
x  1
3

 x  5x  4  0



  x  4

b

x  2

3
 3x  2  0

2

  x  1
 
 x    ;0 
TH2:  x 2  5 x  4  0
 3 
 2
  x  4
2
 x  5 x  4   3x  2 
 19
   x  0
8

Kết hợp điều kiện suy ra x   ; 4    1;0 

 x 2  3x  x 2  3x  3   10
a  5
Đặt x 2  3x  a  BPT có dạng: a  a  3   10  a 2  3a  10  0  

 a  2

c

29  3

x

2
Với a  5  x 2  3x  5  
 x   29  3

2

Với a  2  x2  3x  2  2  x  1
 29  3 

 29  3

  2; 1   
;  
Vậy x   ;

2
2





Cho f  x   mx2  4 x  m  3, Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương
Câu 2

trình f  x   0 được nghiệm đúng với mọi x 

HDedu - Page 2


Xét m  0  BPT có dạng: 4 x  3  0  m  0 không thỏa mãn.
Với m  0 . Để BPT đúng với mọi x 
m  0


'  0

thì :

m  0
m  0
 m  4

4  m m  3  0
  m  1


Vậy m >= 4

Câu 3
1
3

sin    ;    
. Tính cos  và sin 2a .
2
2

a

3
3
3
Ta có: cos 2   1  sin 2   . Vì    
 cos   0  cos   
2
2
4
1 
3
3
sin 2a  2sin a.cos a  2.    .  


2
 2  2 

Chứng minh rằng

1  cos 2 x  sin 2 x
 cot x
1  cos 2 x  sin 2 x

Ta có:
b

1  cos 2 x  sin 2 x 2cos 2 x  sin 2 x 2cos 2 x  2sin x.cos x


1  cos 2 x  sin 2 x 2sin 2 x  sin 2 x 2sin 2 x  2sin x.cos x


2cos x.  cos x  sin x 
 cot x
2sin x.  sin x  cos x 

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x  2 y  11  0 và đường tròn
Câu 4

 C  : x2  y 2  4 x  2 y  20  0 .
Tìm tọa độ tâm I và bán kính r của đường trịn  C  . Tính khoảng cách từ I đến
d.

a

Tọa độ tâm I  2; 1  ; r  5 .
Khoảng cách từ I đến d là: d 

2  2.  1   11
3 5
12  22

Viết phương trình tiếp tuyến của  C  biết tiếp tuyến đó song song với d

Vì tiếp tuyến song song d : x  2 y  11  0 nên tiếp tuyến có dạng:
b

d ' : x  2 y  c  0; c  11 .

Để d ' là tiếp tuyến của  C  thì

HDedu - Page 3


d  I;d '   r 

2  2.  1   c
5
5

Vậy phương trình tiếp tuyến là:

Viết phương trình đường trịn  K  đi qua điểm I và hai điểm A  1; 2  ; B  2; 3 
Gọi phương trình đường trịn  K  : x2  y 2  2ax  2by  c  0
Thay tọa độ 3 điểm I  2; 1  ; A  1; 2  ; B  2; 3  ta được:
c

 22   1 2  2a.2  2b.  1   c  0

2
2
  1   2  2a.  1   2b.2  c  0 
 2
2

 2   3   2a.2  2b.  3   c  0

 a  2

 b  2

 c  9

Vậy phương trình đường tròn  K  : x2  y 2  4 x  4 y  9  0
Gọi  là tiếp tuyến của đường tròn  C  tại M  1;3  . Tìm tọa độ H   mà
MH  2r

Phương trình tiếp tuyến tại M  1;3  là:  : 3x  4 y  15  0 ( đây là pttt tại một
điểm, các em tự viết)
d

 x  4t  1
; t
Chuyển  về dạng tham số:  : 
 y  3t  3
2
2
Điểm H    H  4t  1;3t  3   MH   4t    3t 
2
2
Vì MH  2r  2.5  10   4t    3t   10  t  2

 H  7;9 
Với t  2  
 H  9; 3 

HDedu - Page 4