Phân tích phi tuyến đàn hồi dẻo bằng phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp xử lí hàm bong bóng cho bài toán địa kỹ thuật

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
--------------------

VŨ HỒNG TRÂN

PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ĐÀN HỒI-DẺO BẰNG
PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN KẾT HỢP
XỬ LÍ HÀM BONG BĨNG CHO BÀI TOÁN ĐỊA
KỸ THUẬT

Chuyên ngành : Kỹ Thuật Xây Dựng Cơng Trình Ngầm
Mã số: 60 58 02 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH, 2017


CƠNG TRÌNH ĐƢỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐHQG - HCM

Cán bộ hƣớng dẫn khoa học: PGS. TS. CHÂU NGỌC ẨN

Cán bộ chấm nhận xét 1:…………………………………………………………

Cán bộ chấm nhận xét 2:…………………………………………………………

Luận văn thạc sĩ đƣợc bảo vệ tại Trƣờng Đại học Bách Khoa - ĐHQG - HCM
ngày………tháng………năm………
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:

1. …………………………………………………………………………………
2. …………………………………………………………………………………
3. …………………………………………………………………………………
4. …………………………………………………………………………………
5. …………………………………………………………………………………
Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trƣởng Khoa quản lý chuyên ngành sau
khi luận văn đã đƣợc sửa chữa (nếu có).
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TRƢỞNGKHOA


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên: VŨ HOÀNG TRÂN ...................................... MSHV: 13091325 ...........
Ngày, tháng, năm sinh: 15/11/1989 ........................................... Nơi sinh: Lâm Đồng ........
Chuyên ngành: Kỹ Thuật Xây Dựng Cơng Trình Ngầm ........... Mã số : 60 58 02 04
I. TÊN ĐỀ TÀI:
PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ĐÀN HỒI-DẺO BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN KẾT
HỢP XỬ LÍ HÀM BONG BĨNG CHO BÀI TỐN ĐỊA KỸ THUẬT .................................

II. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

NHIỆM VỤ:

Nội dung của luận văn tập trung vào việc xây dựng một phương pháp số mới - phương pháp phần tử
kết hợp xử lí hàm bong bóng cho bài tốn phân tích phi tuyến dẻo trên để xác định thông số thiết kế
như biến dạng, ứng suât, chuyển vị và cơ chế phá hủy cho một số bài toán địa kỹ thuật xây dựng.
Đồng thời đánh giá hiệu quả tính tốn của phương pháp nghiên cứu so với phương pháp số khác.

NỘI DUNG:
-

Phần 1. Mở đầu
Phần 2. Tổng quan lí thuyết phân tích phi tuyến
Phần 3. Phân tích phi tuyến dẻo theo phương pháp Backward Euler
Phần 4. Phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp hàm làm giàu bong bóng Qi6
Phần 5. Ví dụ áp dụng cho bài toán địa kỹ thuật
Phần 6: Kết luận chung
Phần 7: Kiến nghị
Danh mục các bài báo đã viết
Tài liệu tham khảo

III. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 06/07/2015 ....................................................................
IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 04/12/2016 ....................................................
V. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : PGS.TS.CHÂU NGỌC ẨN. ...............................................
PGS TS.NGUYỄN XUÂN HÙNG

Tp. HCM, ngày . . . . tháng .. . . năm 20....

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN
(Họ tên và chữ ký)

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO
(Họ tên và chữ ký)

PGS. TS. CHÂU NGỌC ẨN PGS.TS NGUYỄN XUÂN HÙNG PGS. TS. LÊ BÁ VINH


TRƯỞNG KHOA….………
(Họ tên và chữ ký)

PGS. TS. NGUYỄN MINH TÂM


LỜI CÁM ƠN
Đầu tiên, tôi xin gửi lời cám ơn chân thành đến thầy PGS.TS. Châu Ngọc Ẩn, và
thầy PGS.TS. Nguyễn Xuân Hùng đã nhiệt tình chỉ bảo và hƣớng dẫn trong thời gian
thực hiện luận văn. Thầy là ngƣời gợi ý, định hƣớng tôi theo đƣờng nghiên cứu
phƣơng pháp số, đó là tiền đề để luận văn này đƣợc hình thành. Cám ơn các thầy về
những kiến thức cơ học đất, những buổi báo cáo nghiên cứu và những chia sẻ về cách
viết một bài báo khoa học. Đó là những bài học và những hành trang cho tƣơng lai vô
cùng quý giá.
Tôi xin gửi lời cám ơn sâu sắc đến ngƣời anh, ngƣời thầy –Ths. Nguyễn Chánh
Hoàng. Anh đã giúp tôi giữ ngọn lửa đam mê phƣơng pháp số từ ngày đầu tiên gặp
nhau cho đến hiện tại bây giờ. Anh đã giúp tôi phát huy khả năng sáng tạo và từng
bƣớc hƣớng dẫn nghiên cứu phƣơng pháp số.
Kính gửi lời cám ơn đến q thầy cơ trong bộ mơn Địa Cơ Nền Móng Trƣờng Đại
học Bách Khoa - ĐHQG - HCM: thầy PGS. TS. Võ Phán, thầy, thầy PGS.TS.
Nguyễn Minh Tâm, thầy PGS.TS. Lê Bá Vinh, Thầy TS. Lê Trọng Nghĩa. Những
ngƣời thầy đã dạy chúng tôi những bài học với rất nhiều tâm huyết.
Cám ơn anh NCS. Võ Minh Thiện, bạn Ths. Nguyễn Minh Toãn đã ủng hộ và
giúp đỡ tôi rất nhiều về mặt tinh thần và kiến thức.
Và cuối cùng, niềm động viên lớn nhất để giúp con hoàn thành luận văn này là Bố
Mẹ, em Vân. Cám ơn gia đình đã ni dạy, ủng hộ, động viên để con hồn thành

chƣơng trình nghiên cứu.
Tp. HCM, ngày 05 tháng 12 năm 2016
Học Viên Cao Học

Vũ Hoàng Trân


TĨM TẮT LUẬN VĂN
TÊN ĐỀ TÀI:
PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ĐÀN HỒI-DẺO BẰNG PHƢƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN KẾT HỢP XỬ LÍ HÀM BONG BĨNG CHO
BÀI TỐN ĐỊA KỸ THUẬT
Trong luận văn này học viên trình bày một phƣơng pháp phân tích số hồn tồn
mới và linh hoạt cho bài tốn phân tích biến dạng của nền đất theo lý thuyết phân tích
phi tuyến mối quan hệ đàn hồi-dẻo kết hợp (Elasto- Plastic). Đất nền đƣợc mô phỏng
làm việc theo mô hình tƣơng thích của Mohr-Coulomb. Ban đầu một hệ lƣới phần tử
của bài tốn đƣợc hình thành sử dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn trên hệ lƣới phần
tử tứ giác. Phần tử tứ giác này đƣợc cải tiến dựa trên bộ khung của phần tử tứ giác 4
nút và kết hợp với xử lí hàm bong bóng (Bubble function). Mục đích của việc đƣa xử lí
trên nhằm hình thành một hệ lƣới chỉ sử dụng những phần tử cơ bản (tứ giác bậc thấp)
giúp giảm thiểu tài nguyên máy tính nhƣng vẫn đảm bảo sai số xuất hiện khi hệ lƣới bị
thay đổi và biến dạng trong suốt quá trình phân tích là thấp nhất. Bài tốn địa kỹ thuật
sau đó đƣợc phân tích theo từng bƣớc dựa trên lý thuyết phân tích phi tuyến đàn hồidẻo theo phƣơng pháp lặp Newton-Rapshon theo Backward Euler. Kết quả lấy từ
phƣơng pháp rời rạc hóa dựa theo phần tử tứ giác làm giàu bởi hàm bong bóng này
đƣợc đem ra so sánh với một số phần từ tứ giác cổ điển khác nhằm chứng tỏ ƣu thế của
phƣơng pháp này. Kết quả áp dụng phƣơng pháp phân tích số trong nghiên cứu này sẽ
đƣợc đƣa ra so sánh với kết quả nghiên cứu của nhiều tác giả và phần mềm phân tích
địa kỹ thuật thƣơng mại.

4

SUMMARY OF THESIS
TITLE OF THESIS
A BUBBLE BASED FINITE ELEMENT METHOD FOR
NONLINEAR ANALYSIS OF GEOTECHNICAL PROBLEMS.
In this thesis, the author is going to introduce a new finite element discretization
method which is robust and simple for material nonlinear analysis of cohesivefrictional soil (Elasto- Plastic). The soil body is modeled as Mohr-Coulumb material.
At first, the problem domain is discretized as a mesh of quadrilateral elements. This
quadrilateral element is developed based on the classic 4 node quadrilateral element
using Larange polynominals in combination with an enriched bubble treatment. The
purpose of this treatment is creating a numerical stable discretization of problem based
on the simplicity of low order quadrilateral element mesh. This helps preserving
computational resource while discretization error and computational error are kept at
minimum. The geotechnical model is then solved based on nonlinear analysis with
tangent stiffness and implicit Backward Euler scheme. The performance of the
presented discretization method using enriched bubble quadrilateral element is
comparing with other quadrilateral element (low order and high order). Solution of the
presented method is then comparing with researches in the literature and with
commercial software.

5


LỜI CAM ĐOAN
Tơi Vũ Hồng Trân làm đề tài luận văn thạc sĩ: ―Phân Tích Phi Tuyến Đàn HồiDẻo Bằng Phƣơng Pháp Phần Tử Hữu Hạn Kết Hợp Xử Lí Hàm Bong Bóng Cho Bài
Tốn Địa Kỹ Thuật‖. Tơi xin cam đoan:
- Toàn bộ nội dung của luận văn hoàn tồn dựa vào nỗ lực nghiên cứu của bản
thân tơi, dƣới sự hƣớng dẫn khoa học của PGS.TS. Châu Ngọc Ẩn, và thầy PGS.TS.
Nguyễn Xuân Hùng.

- Tôi xác định rõ ràng rằng luận văn có sự kế thừa một số kết quả nghiên cứu
trƣớc, cũng nhƣ những đóng góp mới của cá nhân tôi.

6


MỤC LỤC
1 MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... 11
1.1

Tình hình nghiên cứu trên thế giới và trong nƣớc đối với ngành địa kỹ thuật
12

1.2

Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................. 14

2 TỔNG QUAN LÝ THUYẾT: ..................................................................................... 16
2.1

Tổng quan về phân tích phi tuyến: ................................................................. 16

2.2

Phân tích phi tuyến cho bài tốn đàn hồi-dẻo kết hợp: (Elasto-Plastic). ........ 19

3 PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH PHI TUYẾN DẺO THEO BACKWARD EULER: 31
3.1
Phƣơng pháp tìm lời giải của hệ phƣơng trình chủ đao của quan hệ tải trọngchuyển vị tổng thể: ....................................................................................................... 31
3.2

Lời giải cho hệ phƣơng trình phi tuyến chủ đạo bằng phƣơng pháp NewtonRapshon: ....................................................................................................................... 36
3.3
Phƣơng pháp tìm lời giải cho phƣơng trình chủ đạo của mối quan hệ ứng suất
biên dạng: ..................................................................................................................... 39
3.4

Lời giải của bài tốn phân tích phi tuyến dẻo từ phƣơng pháp rời rạc Euler: 42

3.5
Lời giải sử dụng biến thử nghiệm đàn hồi(elastic predictor) và biến chỉnh sửa
dẻo(plastic corrector algorithm): .................................................................................. 44
3.6

Tiêu chuẩn chảy dẻo của Mohr-Coulomb: ..................................................... 54

3.7

Qui luật chảy dẻo kết hợp và không kết hợp theo tiêu chuẩn Mohr-Coulomb:
57

3.8
Thuật tốn phân tích phi tuyến dẻo theo backward Euler cho tiêu chuẩn dẻo
Mohr-Coulomb: ............................................................................................................ 59
3.9

Thuật tốn tìm biến dạng dẻo cho tiêu chuẩn Mohr-Coulomb: ..................... 62

4 PHƢƠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN KẾT HỢP XỬ HÀM BONG BÓNG Qi6
(BUBBLE FUNCTION): ............................................................................................ 69
5 ỨNG DỤNG TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐỊA KỸ THUẬT: ..................................... 75

5.1

Bài toán khả năng chịu tải của móng băng: .................................................... 75

5.2

Bài tốn ổn định mái dốc:............................................................................... 85

5.3

Bài toán áp lực bị động tƣờng chắn:............................................................... 90

6 KẾT LUẬN CHUNG: ................................................................................................. 97
7 KIẾN NGHỊ: ............................................................................................................... 98
DANH MỤC CÁC BÀI BÁO ĐÃ VIẾT ....................................................................... 98
7


TÀI LIỆU THAM KHẢO: ............................................................................................. 99
LÝ LỊCH TRÍCH NGANG .......................................................................................... 106

8


DANH MỤC HÌNH ẢNH.
Hình: 1 Minh họa bài tốn sử dụng ma trận độ cứng là hằng số. Smith et al (2014) ........ 20
Hình: 2 Minh họa bài tốn độ cứng thay đổi. Smith et al (2014) ...................................... 21
Hình: 3 Minh họa các bƣớc của phƣơng pháp độ cứng tiếp tuyến. Potts, & Zdravkovic.
(1999) ................................................................................................................................ 22
Hình: 4: Mơ hình dẻo nhớt. Potts, & Zdravkovic. (1999) ................................................. 24

Hình: 5 Minh họa các bƣớc giải bài toán dẻo nhớt. Potts, & Zdravkovic. (1999) ............. 25
Hình: 6: Minh họa các bƣớc của phƣơng pháp NR và MNR. Potts, & Zdravkovic. (1999)
........................................................................................................................................... 28
Hình: 7 Mình họa phƣơng pháp điều chỉnh trạng thái ứng suất về mặt dẻo. Potts, &
Zdravkovic. (1999) ............................................................................................................ 30
Hình: 9:Phƣơng pháp New-ton Rapshon ........................................................................... 37
Hình: 10 Minh họa cho bƣớc return mapping. ................................................................... 45
Hình: 11 Minh họa phƣơng pháp return mapping phép chiếu điểm gần nhất. .................. 48
Hình: 12 Minh họa phƣơng pháp return mapping hình thang tổng quát. .......................... 50
Hình: 13 Minh họa phƣơng pháp return mapping mặt phẳng trung gian. ......................... 54
Hình: 14 Tiêu chuẩn dẻo Mohr- Coulomb. ........................................................................ 56
Hình: 15 Tiêu chuẩn dẻo Mohr-Coulomb trong hệ tọa độ ứng suất chính. ....................... 56
Hình: 16: Return mapping về mặt phẳng chính. ................................................................ 60
Hình: 17 Return mapping về các cạnh. .............................................................................. 61
Hình: 18 Return mapping về điểm đỉnh. ............................................................................ 61
Hình: 19 Bài test hiện tƣợng ―locking‖ cho phần tử .......................................................... 71
Hình: 21 Thơng số bài tốn sức chịu tải móng băng. ....................................................... 77
Hình 22: Hệ lƣới khơng đồng nhất với 539 phần tử .......................................................... 78
Hình 23: Đƣờng cong tải trọng chuyển vị. ........................................................................ 81
Hình 24: Trƣờng chuyển vị đối với trƣờng hợp =10 ....................................................... 82
Hình 25: Trƣờng chuyển vị đối với trƣờng hợp =20 ....................................................... 82
Hình 26: Trƣờng chuyển vị đối với trƣờng hợp =35 ....................................................... 82
Hình 27: Trƣờng chuyển vị đối với trƣờng hợp =45 ....................................................... 83
Hình 28: Hệ lƣới đồng nhất với 400 phần tử. ................................................................... 83
Hình 29: So sánh kết quả Nc giữa các phần tử đối với hệ lƣới 400 phần tử ...................... 84
9


Hình 30) So sánh kết quả Nc giữa các phần tử đối với hệ lƣới 2500 phần tử .................... 85
Hình 31: Thơng số bài tốn ổn đinh mái dốc. .................................................................... 86

Hình 32: Hệ lƣới bài tốn ổn định mái dốc với 1030 phần tử. .......................................... 88
Hình 33: Đƣờng cong tải trọng- chuyển vị cho bài toán ổn đinh mái dốc ......................... 88
Hình: 34: Cơ chế trƣợt của mái dốc với =70, =35. ........................................................ 89
Hình 35: Trƣờng chuyển vị mái dốc với =70, =35. ....................................................... 90
Hình 37: Hệ lƣới bài tốn tƣờng chắn với 1045 phần tử ................................................... 92
Hình 38: Đƣờng cong áp lực bị động-chuyển vị tƣờng, .................................................... 93
Hình 39: Thơng số bài tốn tƣờng chắn tổng qt. ............................................................ 94
Hình 40: Trƣờng chuyển vị của bài toán áp lực bị động tƣờng chắn................................. 96

10


1

MỞ ĐẦU
Với sự phát triển của máy tính cá nhân, phƣơng pháp thực nghiệm trong địa kỹ

thuật dần đƣợc thay thế bằng các mơ hình số thực hiện thơng qua các phần mềm máy
tính. Trong ngành địa kỹ thuật, cơng việc của các kỹ sƣ thiết kế chủ yếu dựa trên mơ
hình tính tốn kết hợp một số thí nghiệm trong phịng và hiện trƣờng cần thiết. Do đó
dẫn đến tính cấp thiết cần phải xây dựng đƣợc mơt mơ hình số học ổn định dễ kiểm
sốt và linh hoạt đối với nhiều bài toán khác nhau: bài toán phân tích ổn định mái dốc,
áp lực đất bị động lên tƣờng chắn, phân tích ổn định cống ngầm, móng nơng, móng
sâu.
Đối với nền đồng nhất sức chịu tải của nền có thể phỏng đốn theo cơng thức đƣợc
đề xuất bởi Terzaghi (1948), Meyerhof, Hansen, Vesic…. Tuy nhiên, đối với nền đất
khơng đồng nhất và có điều kiện phức tạp thì các cơng thức này sẽ khơng cịn phù hợp.
Ứng xử phi tuyến và phân tích dẻo đƣợc đƣa vào để xấp xỉ các bài toán địa kỹ thuật.
Trong các giải thuật số này, trƣờng chuyển vị sẽ đƣợc xấp xỉ rời rạc bằng phƣơng pháp
phần tử hữu hạn (PTHH) vẫn là công cụ mạnh mẽ nhất để giải quyết các bài toán đặt

ra. Ứng dụng của phƣơng pháp PTHH cho ngành địa kỹ thuật phát sinh vấn đề cần
nhiều giải thuật phức tạp địi hỏi sự hiểu biết về khơng những kiến thức địa kỹ thuật
nhƣ trạng thái tới hạn, phƣơng pháp phân tích dẻo lẫn kiến thức về phƣơng pháp số.
Điều này dẫn đến nhu cầu phát triển một phƣơng pháp PTHH linh hoạt, hiệu quả để kỹ
sƣ địa kỹ thuật dễ dàng tiếp cận sử dụng và hiện là ƣu tiên hàng đầu của các nhà phát
triển phần mềm địa kỹ thuật.Về mặt học thuật, đối với các bài toán địa kỹ thuật các kỹ
sƣ và nhà phát triển phần mềm vẫn ƣu tiên sử dụng các hệ lƣới phần tử sử dụng các
phần tử đơn giản nhƣ tam giác tuyến tinh T3 , tứ giác tuyến tính Q4 do sự đơn giản và
linh hoạt khi đƣa các giải thuật phức tạp vào. Tuy nhiên, việc sử dụng các phần tử bậc
thấp sẽ mắc phải hiện tƣợng ―locking‖, kết quả tính tốn số khơng hội tụ hoặc hội tụ
chậm.
Các giải pháp để khử hiện tƣợng locking đã đƣợc đề xuất nhƣ là (i) dùng phần tử
chuyển vị bậc cao; (ii) dùng các phần tử bất liên tục trên biên. Điểm chính của các
phƣơng pháp này là nhằm tăng số bậc tự do tổng thể của bài tốn, vì vậy sẽ giải quyết
11


đƣợc vấn đề locking. Tuy nhiên, chi phí tính tốn tăng lên nhiều và việc tạo lƣới trong
các phƣơng pháp này là tƣơng đối phức tạp. Trong nghiên cứu này, phƣơng pháp
PTHH trơn dựa trên cạnh đƣợc dùng để xấp xỉ trƣờng chuyển vị. Khác với phƣơng
pháp PTHH truyền thống, ở đây trƣờng biến dạng đƣợc dùng là trƣờng biến dạng trung
bình đƣợc tính tốn trên miền làm trơn dựa trên cạnh. Vì trƣờng biến dạng trơn này là
hằng số trên miền làm trơn, nên chúng ta chỉ cần áp đặt điều kiện chảy dẻo tại một
điểm bất kỳ trong các miền trơn, trong khi đảm bảo điều kiện này thỏa mãn mọi nơi.
Do đó, hiện tƣợng locking đƣợc khử, và chi phí tính tốn đƣợc tối ƣu.
1.1

Tình hình nghiên cứu trên thế giới và trong nước đối với ngành địa kỹ
thuật

1.1.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới đối với ngành địa kỹ thuật
Phƣơng pháp PTHH đã trở thành một cơng cụ rất mạnh cho việc phân tích các bài
toán ổn định trong kết cấu lẫn địa kỹ thuật. Do vậy, nghiên cứu phân tích giới hạn
đƣợc đẩy mạnh và đạt nhiều thành tựu trong vài thập kỷ vừa qua. Nhiều phƣơng thức
số cũng nhƣ kỹ thuật tối ƣu đƣợc phát triển cho bài tốn phân tích phi tuyến và đạt
đƣợc nhiều thành quả, đặc biệt trong suốt 2 thập kỷ vừa qua nhờ vào sự phát triển hệ
thống máy tính phân tích.
Phân tích PTHH phi tuyến đƣợc phát triển cho địa kỹ thuật đầu tiên dựa trên mơ
hình đàn hồi dẻo của Zienkiewicz et al (1975). Theo sau là đó là các mơ hình và kết
quả kiểm chứng của các bài toán địa kỹ thuật sử dụng PTHH cho nền đồng nhất trong
các nghiên cứu của Griffiths et al (1999). Potts et al (1999) tổng hợp những nghiên cứu
của ông và đồng nghiệp ở trƣờng Imperial College. Cho đến thời điểm hiện tại có
nhiều phần mềm phân tích địa kỹ thuật dựa trên phƣơng pháp PTHH. Các nghiên cứu
gần đây chủ yếu đi sâu vào các xử lí và mô phỏng các ứng xử của đất nền lẫn kết cấu
dựa trên khung sƣờn của phƣơng pháp PTHH truyền thống.
Phƣơng pháp PTHH truyền thống trong địa kỹ thuật gặp nhiều hạn chế, nhiều
phƣơng pháp rời rạc khác ra đời nhằm giải quyết các vấn đề của phƣơng pháp PTHH
nhƣ phƣơng pháp không lƣới (mesh free) hay phƣơng pháp phần tử rời rạc (DEM).
Tuy nhiên ứng dụng vào thực tế các bài toán địa kỹ thuật của các phƣơng pháp này còn
nhiều hạn chế do nhiều nguyên nhân. Phƣơng pháp PTHH trơn ra đời trong những năm
12


gần đây là sự kết hợp của phƣơng pháp PTHH truyền thống và phƣơng pháp không
lƣới đƣợc chứng minh là một phƣơng pháp linh hoạt vì kế thừa sự đơn giản của PTHH
mà vẫn giải quyết đƣợc nhiều hạn chế của PTHH (G.R.Liu et al 2010). Một phƣơng
pháp đơn giản hơn sử dung bộ khung của phƣơng pháp PTHH hiện đang nghiên cứu
đƣợc trình bày trong luận văn này.
1.1.2 Tình hình nghiên cứu trong nước đối với ngành địa kỹ thuật
Phân tích sự làm việc của đất nền trong các bài toán địa kỹ thuật bằng phƣơng

pháp số và phân tích phi tuyến hiện đã và đang nhận đƣợc quan tâm nhiều ở Việt Nam.
Các kỹ sƣ thƣờng sử dụng các phần mềm thƣơng mại nhƣ PLAXIS, ABAQUS nhƣng
chƣa kiểm soát đƣợc kết quả bài toán nguyên nhân do sự hạn chế về kiến thức chuyên
ngành về phƣơng pháp số lẫn các hạn chế của chính phần mềm dựa trên phƣơng pháp
PTHH truyền thống. Mục đích của học viên trong luận văn này một phần nhằm trình
bày lại những gì đã đạt đƣợc trong ứng dụng của phƣơng pháp số trong địa kỹ thuật
đồng thời đƣa ra một phƣơng pháp hồn tồn mới nhằm mục đích nâng cao hiệu quả
của phƣơng pháp số trong các bài toán địa kỹ thuật.
1.1.3 Ý nghĩa khoa học của đề tài
Thiết lập một phƣơng thức phân tích phi tuyến mới cho các bài tốn địa kỹ thuật
xây dựng. Phƣơng pháp phần tử hữu hạn dựa trên phần tử tứ giác 4 nút kết hợp xử lí
hàm bong bóng đƣợc dùng để xấp xỉ và tìm kết quả trƣờng chuyển vị. Phân tích phi
tuyến đàn hồi-dẻo ứng dụng các phƣơng pháp lặp Newton-Rapshon và tích phân toán
học thực hiện trực tiếp trên miền biến dạng hằng đƣợc làm giàu bằng hàm bong bóng
của bài tốn trên hệ lƣới của các phần tử cơ bản nhằm mục đích đơn giản hóa việc rời
rạc hóa bài tốn nhƣng vẫn đảm tránh khỏi những hạn chế của hệ lƣới này nhƣ hiện
tƣợng ―Locking‖.Ngồi ra phƣơng pháp trình bày giúp giải quyết tốt bài tốn khơng
thốt nƣớc với sai số tối thiểu khi mô đun đàn hồi của nền đất là rất lớn.
1.1.4 Tính thực tiễn đề tài
Phƣơng pháp nghiên cứu đƣợc trình bày trong luận văn này là một nhánh của
phƣơng pháp phân tích phi tuyến vật liệu. Đóng góp chủ yếu của tác giả dựa trên việc
cải tiến phƣơng pháp phần tử hữu hạn sử dụng các phần tử cổ điển với nhiều bất lợi
13


trong việc rời rạc hóa mơ hình tính tốn lẫn sai số hình thành trong q trình tính tốn
do ảnh hƣởng của hệ lƣới và sự mất tập trung ứng suất cục bộ dẫn đến hiện tƣợng
locking trong bài toán phân tích dẻo cho nền đất.
Sự đơn giản của hệ lƣới là động lực phát triển các phƣơng pháp tối ƣu hóa q
trình phân tích dẻo. Qua đó mở ra các nghiên cứu liên quan đến phân tích phi tuyến

dẻo cho hệ bài tốn kích cỡ lớn với số lƣợng bậc tự do lên đến nhiều triệu bậc.
Các bài toán Phân tích ổn định mái dốc và bài tốn áp lực bị động của tƣờng chắn
đất cũng là những vấn đề cũng đƣợc quan tâm nhiều trong thực tiễn. Bằng cách áp
dụng lý thuyết phân tích phi tuyến, cơ chế trƣợt cũng nhƣ biến dạng của mái dốc sẽ tìm
đƣợc trực tiếp.
Bên cạnh đó, các bƣớc phân tích đánh giá sai số của phƣơng pháp đƣợc thực hiện
tự động và dễ dàng đƣa vào các gói chƣơng trình phân tích địa kỹ thuật thƣơng mại.
1.2

Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu

1.2.1 Mục tiêu
Vận dụng lý thuyết phân tích phi tuyến dẻo theo phƣơng pháp backward Euler và
phƣơng pháp PTHH kết hợp hàm xử lí bong bóng để xác định cơ cấu trƣợt cũng nhƣ
tải phá hủy của một số bài tốn: (i) sức chịu tải, biến dạng của móng băng trên nền đất,
(ii) xác định biến dạng, chuyển vị, mặt trƣợt và hệ số an toàn của mái dốc, (iii) xác
đinh áp lực tƣờng chắn đất.
1.2.2 Nhiệm vụ của đề tài
Bên cạnh việc giới thiệu về phƣơng pháp phân tích phi tuyến bài toán địa kỹ thuật
xây dựng, nội dung chủ yếu của luận văn tập trung vào việc xây dựng một tiến trình
mới cho phƣơng pháp phân tích phi tuyến giải quyết linh hoạt các bài toán địa kỹ thuật
xây dựng. Nhiệm vụ chủ yếu của luận văn đƣợc thực hiện thơng qua các bƣớc:
Rời rạc hóa trƣờng biến dạng bằng phƣơng pháp PTHH đƣợc làm giàu bằng hàm
bong bóng.
Phân tích phi tuyến bài tốn đàn dẻo kết hợp bằng các phân tích phi tuyến Newton
Rapshon theo phƣơng pháp Backward Euler.
14


Phân tích, đánh giá về sự hội tụ và chính xác của phƣơng pháp. Kết luận về các kết

quả đạt đƣợc xung quanh việc sử phƣơng pháp PTHH tứ giác làm giàu bong bóng so
sánh với các phần tử truyền thống.

15


2

TỔNG QUAN LÝ THUYẾT:
2.1 Tổng quan về phân tích phi tuyến:
Bài tốn phân tích phi tuyến đƣợc phân biệt làm hai yếu tố đó là phi tuyến về vật

liệu lúc đó mối quan hệ ứng suất- biến dạng sẽ là một hàm phụ thuộc nhiều yếu tố
phức tạp. Yếu tố thứ hai là phi tuyến hình học thƣờng đƣợc nói xét đến trong bài toán
biến dạng lớn. Trong luận văn này chỉ xét đến phi tuyến về vật liệu.
Dạng cơ bản của ứng xử tƣơng thích của đất:
{ }=[D]{ }

Trong đó Δζ và Δε là gia tăng ứng suất và gia tăng biến dạng D là ma trận quan hệ
của chúng. Trong phƣơng pháp phần tử hữu hạn khi vật liệu ứng xử đàn hồi tuyến tính
đẳng hƣớng thì ma trận D đƣợc coi là hằng số.
Dựa trên quan hệ bên trên thì đối với bài tốn địa kỹ thuật có hai dạng cơ bản
đƣợc xét đến:
- Bài tốn thốt nƣớc (drained) khi đó khơng có sự thay đổi trong áp lực nƣớc lỗ
rỗng. Điều này có nghĩa ứng suất hữu hiệu và ứng suất tổng là nhƣ nhau. Khi đó ma
trận vật liệu tƣơng thích là hữu hiệu. Khi đó các thơng số của ma trận vật liệu là
Module đàn hồi thoát nƣớc và hệ số poisson thoát nƣớc.
- Bài tốn khơng thốt nƣớc (undrained), lúc này ma trận vật liệu tƣơng thích D
đƣợc phụ thuộc bộ thơng số tƣơng ứng với ứng suất tổng. Khi đó các thơng số của ma
trận vật liệu là Module đàn hồi không thốt nƣớc và hệ số poisson khơng thốt nƣớc.

Trong trƣờng hợp bài tốn thứ hai, nếu đất là bão hịa hồn tồn (saturated) khi đó
sẽ khơng có sự thay đổi về mặt thể tích, đất nền lúc này đƣơc coi là vật liệu đàn hồi
đảng hƣớng với hệ số poisson undrained bằng 0,5. Có thể rõ lúc này ma trận vật liệu
D bằng vô cùng. Để tránh việc này hệ số poisson đƣợc khai báo lớn hơn 0.49 và nhỏ
hơn 0.5 chẳng hạn nhƣ 0.49999. Tuy nhiên, hệ số poisson càng tiến đến 0.5 thì sai số
của ứng suất trung bình p ngày càng lớn Potts (1999), dẫn đến kết quả của bài toán bị
ảnh hƣởng nghiêm trọng nhất là khi hệ lƣới phần tử có tập trung biến dạng dẻo lớn.

16


Về phƣơng pháp phân tích phi tuyến trong địa kỹ thuật, theo Potts (1999) có ba
phƣơng pháp cơ bản đƣợc sử dụng đó là phƣơng pháp ma trận độ cứng tiếp tuyến (
tangent stiffness method), phƣơng pháp phân tích mơ hình dẻo nhớt (viscoplasticity) ,
phƣơng pháp lặp Newton-Raphson và Newton-Raphson cải tiến. Chi tiết về ƣu nhƣợc
điểm của từng phƣơng pháp sẽ đƣợc phân tích ở phần sau của luận văn.
Phƣơng pháp PTHH đã đƣợc chứng mình là một trong những phƣơng pháp linh
hoạt nhất để phân tích các bài toán kỹ thuật vật rắn. Một nhánh của PTHH đƣợc
nghiên cứu rất nhiều để giải quyết những bài toán phân tích dẻo là phƣơng pháp
phân tích phi tuyến vật liệu hay còn gọi là elasto-plastic. Lịch sử phát triển của
phƣơng pháp phân tích phi tuyến vật liệu có thể đƣợc tham khảo ở nhiều nguồn
(Owen et al, 1980; Chen & Mizuno,1990; Belytschko T., Bachrach W.E, 1986;
Belytschko et al,2001), trong các phần tiếp theo của tác giả sẽ trình bày các phƣơng
pháp phân tích phi tuyến dẻo cho nền đất, xem them Potts & Zdravkovic (1999) để
tham khảo thêm nhiều ứng dụng của phƣơng pháp phân tích phi tuyến dẻo cho địa
kỹ thuật.
Trong nghiên cứu này tác giả sử dụng phƣơng pháp lặp Newton-Raphson kết
hợp phƣơng pháp Backward Euler để giải quyết quan hệ ứng suất biến dạng trong
các vòng lặp. Sự kết hợp này đã đƣợc chứng minh trong nhiều nghiên cứu rằng cho
ra kết quả tốt với sai số thấp. Xem thêm De Souza Neto (2008), Simo J.C & Taylor

R.L (1985).
Mặc dù phƣơng pháp PTHH có thể giải các bái tốn phân tích phi tuyến dẻo vật
liệu với độ chính xác cao, tuy nhiên để vận dụng đƣợc phƣơng pháp này địi hỏi
ngƣời kỹ sƣ cần có một sự hiều biết sâu và kinh nghiệm về nguyên lí phân tích, sự
lựa chọn phần tử sử dụng, sai số của hệ lƣới PTHH đang sử dụng.
Hiệu quả của một phƣơng pháp phần từ hữu hạn phụ thuộc nhiều vào loại phần tử
và số lƣợng của điểm tích phân và bậc của phần tử đƣợc sử dụng, theo Potts (1999)
phần tử tứ giác 8 nút hoặc một phần tử có bậc tích phân gauss là hai hoặc ba nên đƣợc
sử dụng để giảm thiểu vấn đề sai số trong tích phân và hạn chế số lƣợng phần tử cần
thiết. Cũng vì lợi thế đó mà trong những phần mềm thƣơng mai về PTHH trong địa kỹ
thuật nhƣ PLAXIS, ABAQUS, các phần tử bậc cao đƣợc sử dụng rộng rãi nhƣ phần tử
tam giác 6 nút (T6) , tứ giác 8 nút (Q8) vì cho ra kết quả với độ hội và tính chính xác
17


tƣơng đối cao. Tuy nhiên theo phân tích phi tuyến dẻo dựa trên các phần tử bậc cao
này không thể cho ra đƣợc kết quả hội tụ chính xác (Hjiaj M et al,2005) với lí do để có
một kết quả chặt chẽ cho bài toán cận trên ( là bài tốn ẩn số là chuyển vị) thì u cầu
kèm theo là quy luật chảy dẻo phải thỏa mãn ở bất kì điểm nào trong một phần tử rời
rạc tƣơng đƣơng với phần tử rời rạc phải có tính chất của phần tử biến dạng hằng nhƣ
các phần bậc thấp nhƣ tam giác 3 nút (T3) hoặc tứ giác 4 nút (Q4). Đối với các phần tử
bậc cao quy luật chảy dẻo chỉ đƣợc thõa mãn ở điểm gauss. Tuy nhiên các phần tử biến
dạng hằng T3, Q4 lại có độ chính xác thấp cộng với nhƣợc điểm ứng xử rất kém với
vật liệu không nén đƣợc do hiện tƣợng ―Volumetric Locking‖ (Nagtegaal J.C et
al,1974). Những nghiên cứu gần đây liên quan đến các giải thuật xử lí hiện tƣợng này
có thể tìm thấy ở nghiên cứu của Nguyen Xuan H et al (2008,2009,2013,2015).
Trong phân tích phi tuyến dẻo vật liệu cho các bài toán địa kỹ thuật, bản chất của
ứng xử phi tuyến nằm ở tính chất của đất nền. Khi biến dạng xảy ra, đƣờng quan hệ
tải trọng-chuyển vị sẽ đạt đến một giá trị tải trong giới hạn nào đó. Tuy nhiên một
bài tốn đƣợc rời rạc hóa theo PTHH thƣờng không cho ra đƣợc kết quả tải giới hạn

này hoặc cho ra kết quả tải giới hạn cao hơn so với kết quả chính xác. Nguyên nhân
của vấn đề này nằm ở việc sử dụng các mô hình tƣơng thích dẻo tuyệt đối (nhƣ mơ
hình chảy dẻo của Mohr-Coulomb) dẫn đến những ràng buộc không nén đƣợc khi
tải trọng tác dụng tiến tới giá trị tới hạn (Nagtegaal J.C et al,1974). Do đó để giải bài
tốn đƣợc kết quả mong muốn, phần tử đƣợc sử dụng trong phƣơng pháp rời rạc
phải làm việc hiệu quả dƣới điều kiện bài tốn khơng nén đƣợc. Điều này giải thích
lí do các phần tử bậc cao (T6, Q8) đƣợc sử dụng rộng rãi thay cho các phần tử biến
dạng hằng-bậc thấp.
Trong thực tế việc sử dụng các phần tử biến dạng hằng bậc-thấp (T3,Q4) đƣợc
ƣu tiên trong các bài toán có kích thƣớc lớn với nhiều triệu bậc tự do (DOF) và các
bài tốn có kích thƣớc hình học phức tạp (hệ lƣới phần tử phải đƣợc chia mịn). Hơn
thế nữa, việc sử dụng hệ lƣới phần tử bậc thấp tạo điều kiện thuận lợi cho các ứng
dụng chia lƣới mịn hơn hệ lƣới với các phần tử bậc cao.
Mục đích chính của đề tài luận văn này nhằm đƣa một phƣơng pháp rời rạc hóa
theo PTHH mới. Phƣơng pháp này tận dụng đƣợc các lợi thế về số học và sự đơn
giản của hệ lƣới phần tử biến dạng hằng tứ giác bậc thấp nhƣng vẫn làm việc tốt khi
18


xuất hiện các ràng buộc không nén đƣợc trong trƣờng hợp xuất hiện hiện tƣờng
―Locking‖. Loại phần tử này với cùng số lƣợng nút và cạnh của phần tử Q4 tạo điệu
kiện cho việc ứng dụng các phƣơng pháp chia lƣới mịn nhằm tối ƣu hóa tài ngun
tính tốn. Lịch sử nghiên cứu nhằm cải thiện sự làm việc của phần tử Q4 có thể xem
thêm ở nghiên cứu của Fredriksson M., Ottosen N.S (2004)
Sự đóng góp chủ yếu của nghiên cứu này bắt nguồn tử việc đƣa vào các hàm làm
bong bóng làm giàu cho phần tử Q4. Để thuận tiện cho việc tham khảo, phần tử rời
rạc này đƣợc đặt tên là Qi6. Những nghiên cứu gần đây về phƣơng pháp đƣa các
hàm làm giàu vào phần tử tam giác T3 có thể xem thêm ở báo cáo của NguyenXuan H et al (2015). Trong nghiên cứu của họ, nhóm tác giả đã sử dụng phần tử T3
đƣợc làm giàu kết hợp phƣơng pháp PTHH trơn trên cạnh để giải quyết các bài tốn
phân tích giới hạn. Nghiên cứu đƣợc trình bày trong luận văn này đƣợc truyền cảm

hứng từ báo cáo của César De Sá J.M.A. & Natal Jorge R.M, 1999. Ở nghiên cứu
này, nhóm tác giả thử nghiệm một số hàm bong bóng đối với phần tử Q4 nhằm giải
quyết hiện tƣợng locking cho các bài toán cơ học vật rắn, tuy nhiên ứng xử của các
phần tử này trong các bài tốn phân tích phi tuyến dẻo chƣa đƣợc đề cập đến.
2.2 Phân tích phi tuyến cho bài toán đàn hồi-dẻo kết hợp: (Elasto-Plastic).
2.2.1 Giới thiệu chung về lý thuyết phân tích phần tử hữu hạn phi tuyến:
Các phƣơng pháp số tiếp cận nhằm giải quyết bài toán này đều bắt đầ tử việc chia
nhỏ điều kiện biên lực thành những bƣớc gia tải nhỏ. Trên nguyên tắc, nếu nhƣ kết quả
hình thành từ những gia tăng biên lực đủ nhỏ thì kết quả xấp xỉ bằng phƣơng pháp số
sẽ gần bằng nhƣ kết quả chính xác của bài tốn. Tuy nhiên, độ lớn bƣớc gia tăng biên
lực càng lớn thì sai số hình thành sẽ xuất hiện dẫn đến kết quả xấp xỉ không chính xác.
Khi sử dụng mơ hình tƣơng thích là đàn hồi tuyến tính, ma trận tƣơng thích hay
ma trân vật liệu D đƣợc giả định là hằng số. Nếu sử dụng mơ hình tƣơng thích đàn hồi
– dẻo kết hợp hay mơ hình phi tuyến. Ma trận vật liệu D khơng cịn là hằng số mà thay
đổi phụ thuộc vào ứng suất và biến dạng. Vì vậy cần phải có phƣơng pháp xử lí sự thay
đổi của ma trận tƣơng thích của vật liệu.
Thơng thƣờng sẽ có hai hƣớng tiếp cận bài toán phi tuyến. Một là phƣơng pháp sử
dụng ma trân độ cứng là hằng số ( constant stiffness), phƣơng pháp này dựa trên cách
19


giải lặp, thay đổi dần vế bên phải – vector lực của phƣơng trình cân bằng phần tử hữu
hạn, trong suốt q trình lặp của bài tốn ma trận độ cứng chỉ hình thành một lần duy
nhất. Lúc này mỗi bƣớc lặp tƣơng tƣ nhƣ một bƣớc phân tích đàn hồi-dẻo thông
thƣờng. Nghiệm sẽ hội tụ nếu nhƣ ứng suất hình thành bởi vector lực thỏa điều kiện về
quan hệ ứng suất- biến dạng dƣới một sai số cho phép nào đó. Vector tải phần tử lúc
này bao gồm một phần do ngoại lực một phần hình thành dƣới tác dụng của sự phân
phối lại ứng suất của miền bài tốn. Lực này mang tính chất tự triệt tiêu khơng gây ảnh
hƣởng đến cân bằng tĩnh của bài tốn. Hình dƣới đây minh họa hai cách tiếp cận.
Ứng Suất

Mũi tên biểu diễn số vòng lặp



Quan hệ ứng suất - biến dạng



  

Biến dạng

Hình: 1 Minh họa bài tốn sử dụng ma trận độ cứng là hằng số. Smith et al (2014)

20


Ứng Suất

Mũi tên biểu diễn số vòng lặp



Quan hệ ứng suất - biến dạng



  

Biến dạng

Hình: 2 Minh họa bài toán độ cứng thay đổi. Smith et al (2014)

Dựa trên ngun lí vửa trình bày, Potts, & Zdravkovic.(1999) phân loại thành ba
phƣơng pháp thơng dụng đó là: phƣơng pháp độ cứng tiếp tuyến (tangent stiffness
method), phƣơng pháp dẻo-nhớt kết hợp (Visco-plastic method), phƣơng pháp
Newton-Raphson cải tiến (Modified Newton-Raphson method). Mỗi phƣơng pháp đều
có điểm mạnh riêng và có thể áp dụng hiệu quả trong một số trƣờng hợp cụ thể. Cần
phải nói thêm sự phân loại trên chỉ dựa trên quan điểm của Potts, &
Zdravkovic.(1999), các nhóm nghiên cứu khác nhau sẽ có những tên gọi khác nhau
dành cho các phƣơng pháp.
Tính chất phi tuyến đƣợc thể hiện qua mơ hình ứng xử tƣơng thích của đất nền
(constitutive behavior), phƣơng trình chủ đạo đƣợc thể hiện theo từng bƣớc gia tăng
lực.

Kd  {f }i
i
ext

(1)

K là ma trận độ cứng tổng thể, Δd là vector gia tăng của chuyển vị nút, Δfext là
vector gia tăng lực nút trong đó t số thứ tự của lần gia tăng. Nghiệm của bài toán là
tổng kết quả của từng bƣớc giă tăng áp lực. Theo đúng các mơ hình ứng xử tƣơng
thích, ma trận độ cứng tổng thể phụ thuộc vào ứng suất của biến dạng của bƣớc gia
tăng, do đó ma trận độ cứng tổng thể không phải là hằng số mà thay đổi theo từng
bƣớc áp lực.
21

2.2.2 Phương pháp độ cứng tiếp tuyến (Tangent stiffness method):
Phƣơng pháp độ cứng tiếp tuyến (Tangent Stiffness) hay còn gọi là phƣơng pháp
độ cứng thay đổi (variable stiffness method) là một phƣơng pháp đơn giản nhất.
Phƣơng pháp này đƣợc sử dụng trong phần mềm CRISP (Britto & Gunn 1987) và đã
đƣợc ứng dụng rộng rãi trong các bài toán thực tế. Lƣu ý là phƣơng pháp này khác với
các phƣơng pháp Newton Rapshon sử dụng ma trận độ cứng tiếp tuyến thay đổi trong
từng bƣớc lặp của nó.
Trong cách tiếp cận này, ma trận độ cứng gia tăng KG trong phƣơng trình cân bằng
phần tử hữu hạn đƣợc giả đinh là hằng số trong mỗi bƣớc gia tăng áp lực và đƣợc tính
tốn trong ở trạng thái ứng suất ở đầu mỗi bƣớc gia tăng áp lực. Về bản chất, phƣơng
pháp này là phƣơng pháp tuyến tính hịa mơ hình phi tuyến.

Tải Trọng

d'

 G3

f ext-3
f ext-2

 G2

c'

d

Nghiệm chính xác

c

b' b

 G1
f ext-1
a

d d d

Chuyển vị

Hình: 3 Minh họa các bƣớc của phƣơng pháp độ cứng tiếp tuyến. Potts, &
Zdravkovic. (1999)

Trong phƣơng pháp độ cứng tiếp tuyến, tải tác dụng đƣợc chia ra thành một bộ tải.
trong hình dƣới đây có ba bƣớc gia tăng tải là Δfext1,Δfext2,Δfext3. Ma trận gia tăng độ
cứng tổng thể K for bƣớc gia tăng này đƣợc hình thành ở trạng thái ban đầu tƣơng
đƣơng với điểm a. phƣơng trình cân bằng phần tử hữu hạn đƣợc giải và nghiệm của bài
toán là chuyển vị nút Δd1. Khi độ cứng vật liệu vẫn liệu là hằng số, đƣờng tải-chuyển
vị là đƣờng thằng ab’. Trong thực tế độ cứng vật liệu không là hằng số trong suốt bƣớc
gia tăng tải vậy nên đƣờng tải-chuyển vị sẽ là đƣờng cong ab. Do đó sai số của bài tốn
22


sẽ là b b’. Trong phƣơng pháp độ cứng tiếp tuyến sai số này bị bỏ qua. Qua bƣớc gia
tải thứ hai ma trận độ cứng vật liệu đƣợc hình thành dựa trên ứng suất và biến dạng
của điểm b’. vector chuyển bị nút lúc này là Δd2, đƣờng quan hệ tải-chuyển vị là
đƣờng b’ c’ ngày càng lệch xa ra nghiệm chính xác bc. Phân tích tƣơng tự cho q
trình gia tải cuối cùng ta có thể thấy điểm d ngày càng lệch xa ra nghiệm chính xác.

Hiển nhiên, độ chính xác của nghiệm bài tốn dựa trên độ lớn của bƣớc gia tải, nếu
bƣớc tải càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ của phƣơng pháp sẽ tiếp cận với nghiệm chính
xác.
Trên thực tế nghiên cứu, phƣơng pháp độ cứng tiếp tuyến cho ra lời giải khơng
chính xác khi ứng xử đất nền chuyển đổi từ đàn hồi qua dẻo hoặc ngƣợc lại. Ví dụ, nếu
ứng xử của đất nền là đàn hồi ở đầu bƣớc gia tải, thì sẽ đƣợc giả định là ứng xử hoàn
toàn đàn hồi trong tồn bộ bƣớc gia tải. Điều này khơng chính xác bởi khi đất nền đạt
đến ngƣỡng dẻo dẫn đến trạng thái ứng suất bị vi phạm mơ hình vật liệu tƣơng thích (
nằm ngồi mặt dẻo). Lấy ví dụ, sai lệch sẽ gây ra ứng suất kéo trong mơ hình khơng
cho phép xảy ra ứng suất kéo ( ví dụ nhƣ mơ hình Camclay khi đó ứng suất hữu hiệu
tổng p’ khơng thể hình thành). Trong trƣờng hợp này cần điều chỉnh lại trạng thái ứng
suất theo một cách nào đó dẫn đến vi phạm điều kiện cân bằng hoặc điều kiện tƣơng
thích. Potts(1999) có minh họa rõ hạn chế này của mơ hình độ cứng tiếp tuyến.
2.2.3 Phương pháp phân tích dẻo nhớt (Visco plastic method):
Phƣơng pháp này sử dụng mơ hình ứng xử dẻo nhớt và biến thời gian để mô phỏng
ứng xử phi tuyến, đàn dẻo, theo thời gian của Owen và Hilton (1980), Zienkiewicz và
Cormeau (1974).
Mô hình dẻo nhớt có thể đƣợc giải thích dựa trên nhƣ hình dƣới đây:

23