Phát triển mô hình tính toán ô nhiễm bụi cho điều kiện biên hỗn hợp

Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
------------

TRẦN ANH DŨNG

PHÁT TRIỂN MƠ HÌNH TÍNH TỐN Ô NHIỄM
BỤI CHO ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP
Chuyên ngành:

TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số:

60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP . HỒ CHÍ MINH, tháng 6 năm 2015


CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA –ĐHQG -HCM
Cán bộ hướng dẫn khoa học : PGS. TSKH. Bùi Tá Long ........................
Cán bộ chấm nhận xét 1 : TS. Nguyễn Bá Thi ..........................................
Cán bộ chấm nhận xét 2 : PGS. TS Nguyễn Bích Huy ..............................
Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp.
HCM ngày . . . . . tháng . . . . năm . . . . .
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ)

1. PGS. TS Nguyễn Đình Huy .................
2. TS. Nguyễn Quốc Lân..........................
3. TS. Lê Xuân Đại...................................
4. TS. Nguyễn Bá Thi ..............................
5. PGS. TS Nguyễn Bích Huy ..................
Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn và Trưởng Khoa quản lý
chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có).
.......................................................................................................................
.......................................................................................................................
TRƯỞNG KHOA
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

PGS. TS. Nguyễn Đình Huy

PGS.TS. Huỳnh Quang Linh


CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH

ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

Tp. HCM, ngày 15 tháng 6 năm 2015.

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên: TRẦN ANH DŨNG
Phái
: Nam
Ngày, tháng, năm sinh: 17/07/1984
Nơi sinh : Thái Bình

Chun ngành: Tốn ứng dụng
MSHV : 13241374
I- TÊN ĐỀ TÀI:
PHÁT TRIỂN MƠ HÌNH TÍNH TỐN Ơ NHIỄM BỤI CHO ĐIỀU KIỆN
BIÊN HỖN HỢP.
II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
- Phát triển mơ hình tính tốn ơ nhiễm trong khí quyển.
-

Xây dựng cơng thức nghiệm tính tốn cho trường hợp ơ nhiễm bụi trong khí
quyển gây ra bởi nguồn thải điểm trên cao và có hiện tượng chất ô nhiễm bị
hấp thụ một phần ở mặt đất.

-

Xây dựng ví dụ số cho mơ hình.

III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : tháng 12/2014
IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 14/6/2015
V- CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS. TSKH. Bùi Tá Long
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CN BỘ MÔN
QL CHUYÊN NGÀNH

PGS.TSKH Bùi Tá Long

PGS TS Nguyễn Đình Huy

TRƯỞNG KHOA

PGS. TS Huỳnh Quang Linh


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả các thầy cơ trong khoa Tốn Ứng
Dụng, đặc biệt, tơi cảm ơn các thầy cô trực tiếp giảng dạy và hướng
dẫn đã tận tình truyền đạt cho tơi trong q trình học tập và thực hiện
luận văn Thạc sỹ. Hơn hết, tôi chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn là
PGS.TSKH Bùi Tá Long đã tận tình hướng dẫn tơi. Thầy đã xây dựng
và định hướng cho tôi con đường nghiên cứu khoa học bằng niềm đam
mê và mong muốn đóng góp một phần sức lực của mình cho Đất nước,
cho Xã hội. Thầy luôn là tấm gương về tri thức và nhân cách để tơi
học tập theo. Bên cạnh đó tôi xin được gửi lời cảm ơn tới thầy PGS.TS
Nguyễn Đình Huy, thầy TS. Lê Xuân Đại, thầy TS. Nguyễn Bá Thi và
thầy PGS.TS Nguyễn Bích Huy đã có những hướng dẫn, phản biện, xem
xét, góp ý và động viên, khích lệ tơi trong q trình nghiên cứu khoa
học và hồn chỉnh luận văn Thạc sỹ này. Tơi cũng cảm ơn bạn Chu
Thị Hằng và các bạn trong lớp Cao học Tốn Ứng Dụng khóa 2013 đã
giúp đỡ tơi rất nhiều trong quá trình thực hiện và chỉnh sửa luận văn này.
Trần Anh Dũng

Tp. HCM, tháng 6 năm 2015.

Trần Anh Dũng, MS 13241374

Trang 1


Tóm tắt

Nhiều năm qua, một số mơ hình đánh giá sự lan truyền ơ nhiễm khơng
khí đã được thực hiện bởi nhóm nghiên cứu ENVIM đã tìm thấy sự ứng
dụng trong thực tế kiểm sốt ơ nhiễm khơng khí. Tuy nhiên mơ hình tốn
hiện có chưa lưu ý tới sự tương tác giữa luồng khí thải với bề mặt lót,
điều này sẽ làm giảm mức độ tin cậy của kết quả tính tốn. Bên cạnh
đó, thực tiễn của đất nước đang rất cần mơ hình tốn đánh giá được ảnh
hưởng của bề mặt lót lên mức độ ơ nhiễm khơng khí. Các kết quả nghiên
cứu trước đây chưa đáp ứng được yêu cầu này. Nghiên cứu này đặt ra
mục tiêu giải bài tốn lan tryền ơ nhiễm đối với nguồn thải cao trong
điều kiện biên hỗn hơp.

Abstract
Over the years, a number of models to assess the spread of air pollution
have been made by the ENVIM team. These models have applied in air
pollution control. However, the mathematical model is not pay attention
to the interaction between the gas flow to the surface lining, this reduce
the reliability of the calculated results. Besides, the country need mathematical model to evaluate the influence of surface lining up air pollution
levels. The results of previous studies did not meet this requirement. This
study aims to solve the advection diffusion equation for the height point
source on the mixed condiction of boundary.

Trần Anh Dũng, MS 13241374

Trang 2


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu,
kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai cơng bố
trong bất kỳ cơng trình nào khác.

Trần Anh Dũng, MS 13241374

Trang 3


Mục lục
LỜI CẢM ƠN

1

Tóm tắt

2

Lời cam đoan

3

MỤC LỤC

4

MỞ ĐẦU

6

1 MƠ HÌNH HĨA Q TRÌNH LAN TRUYỀN Ơ NHIỄM
TRONG KHÍ QUYỂN
1.1

9

Cơ sở lý thuyết của bài toán toán lan truyền chất trong
khí quyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1

Xây dựng phương trình lan truyền chất trong khí
quyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2

13

Ứng dụng phương pháp hàm Green trong giải bài
toán lan truyền vật chất . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

9

Xác định mô hình giải bài tốn lan truyền ơ nhiễm
trong khí quyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.3

9

14

Phương pháp giải bài tốn lan truyền trong khí quyển với
điều kiện biên trung gian . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.2.1

Đơn giản hóa bài tốn . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.2.2

Điều kiện biên trung gian . . . . . . . . . . . . . .

24

4


MỤC LỤC

1.2.3

Lời giải bài tốn lan truyền ơ nhiễm với điều kiện
biên trung gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3

Bài tốn khuếch tán chất ơ nhiễm từ nguồn thải cao trong

điều kiện lặng gió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN
2.1

26
40
42

Ví dụ số của mơ hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.1.1

Trường hợp khí và bụi nhẹ . . . . . . . . . . . . .

42

2.1.2

Trường hợp bụi nặng, w = 0 . . . . . . . . . . . .

45

2.2

Mã lập trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.3

Thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

ĐỀ XUẤT VÀ KẾT LUẬN

59

TÀI LIỆU THAM KHẢO

59

PHỤ LỤC

62

A Các ký hiệu trong luận văn

63

B Tính tốn cho chuỗi hội tụ trong công thức nghiệm

65

C Các hàm khoa học trong luận văn

66

C.1 Hàm Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

C.1.1 Hàm Bessel loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

C.1.2 Hàm Bessel loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

C.1.3 Hàm Bessel chỉnh sửa loại 1

. . . . . . . . . . . .

67

C.1.4 Hàm Bessel chỉnh sửa loại 2

. . . . . . . . . . . .

68

C.2 Hàm Confluent Hypergeometric . . . . . . . . . . . . . .

68

D LÝ LỊCH TRÍCH NGANG

Trần Anh Dũng, MS 13241374

70

Trang 5


MỞ ĐẦU
Hiện nay cùng với sự phát triển công nghiệp hóa vấn đề ơ nhiễm khí
thải đã trở nên rất cấp thiết tại hầu hết các quốc gia và Việt Nam cũng
không ngoại lệ. Theo kết quả nghiên cứu của nhóm tác giả do giáo sư
David Pimentel dựa trên phân tích gần 120 cơng trình liên quan đến ảnh
hưởng của gia tăng dân số và yếu tố môi trường lên sự phát bệnh thì
hàng năm trên thế giới có tới 40 % số ca tử vong có nguyên nhân từ ô
nhiễm môi trường sống. Theo tác giả này các chất độc hại phát thải vào
khí quyển là nguyên nhân gây chết 3 triệu người mỗi năm. Nguyên nhân
tử vong là ung thư do hít phải bụi PM10 phát sinh trực tiếp từ xe cộ,
nhà máy. . . hoặc hình thành trong khơng khí qua các phản ứng hóa học
của các loại khí thải với nhau. Với kích thước nhỏ hơn 10 µm, bụi PM10
dễ dàng xâm nhập vào phổi, hệ tuần hoàn và gây bệnh về tim mạch,
ung thư phổi, hen suyễn và các bệnh hô hấp. Theo chuẩn của WHO thì
trung bình lắng đọng bụi PM10 hàng năm là 20 µg/m3 , tuy nhiên trong
thực tế một số thành phố có mật độ bụi lên đến 300 µg/m3 . Vấn đề ơ
nhiễm khơng khí đè gánh nặng lên y tế và gây tổn thất cho nền kinh tế
rất lớn, do đó việc xây dựng mơ hình tính tốn ơ nhiễm khơng khí là
rất cần thiết. Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của cơng nghệ thơng tin,
cơng việc tính tốn ơ nhiễm mơi trường khơng khí cần được thực hiện
bằng phần mềm chuyên dụng. Để đi đến ứng dụng thực tiễn, tác giả đưa
ra lời giải các trường hợp của bài tốn truyền tải - khuếch tán ơ nhiễm

bụi, từ đó đi xây dựng mơ hình tin học để phát triển hệ thống thơng tin
tính tốn lan truyền và lắng đọng ô nhiễm bụi trong điều kiện biên xảy
6


MỤC LỤC

ra hiện tượng hấp thụ một phần tại mặt đất. Điều kiện này rất gần với
thực tế và là thách thức cho tác giả với độ phức tạp của phương trình
tải - khuếch tán, bù lại nghiên cứu này có tính mới hơn so với các nghiên
cứu trước đây vốn chủ yếu tập trung vào giải bài toán với điều kiện biên
phản xạ hoàn toàn tại mặt đất.
Trong quá trình lan truyền ơ nhiễm trong khí quyển khơng thể bỏ qua
yếu tố hấp thụ ô nhiễm ở mặt đất gây ra do sự lắng đọng khô. Sự hấp thụ
chất ô nhiễm trên bề mặt Trái Đất bởi đất, nước hoặc thực vật làm giảm
mức nồng độ trong khơng khí tại các vị trí xa nguồi thải theo hướng gió,
trong khi đó mức độ ơ nhiễm tăng gần vị trí nguồn thải tùy theo những
vật chất ơ nhiễm.
Các mơ hình tốn về sự truyền tải các chất ơ nhiễm trong khơng khí
với sự lắng đọng khơ đầu tiên được thực hiện thơng qua việc hiệu chỉnh
phương trình cột khói Gauss. Những cách hiệu chỉnh này bao gồm các
mơ hình xả nguồn và xả mặt [1], [2], [3]. Một hướng tiếp cận mang tính lý
thuyết hơn để mơ hình hóa q trình lan truyền chất có tính đến yếu tố
lắng đọng khơ là tập trung vào việc giải phương trình khuếch tán trong
khí quyển với điều kiện biên bức xạ tại mặt mặt đất [4]. Những nghiệm
giải tích trước đây [5], [6], [7] dùng hướng tiếp cận là mơ hình vệt khói
Gauss, trong đó vận tốc gió và khuếch tán rối là không phụ thuộc độ
cao. Trong những nghiên cứu gần đây về giải phương trình lan truyền,
thì vận tốc gió và hệ số khuếch tán rối được biểu diễn phụ thuộc độ cao
[1], [8]. Tuy nhiên, những công thức nghiệm của các mơ hình này chứa

đại lượng chưa biết trong phương trình tích phân. Ngồi ra, các hướng
tiếp cận này đều hạn chế lời giải của bài toán lan truyền ô nhiễm trong
khí quyển trong trường hợp đặc biệt: khi nguồn được đặt tại mặt đất.
Theo tác giả, chưa có nghiệm giải tích nào được cơng bố cho trường hợp
tổng quát, đó là nguồn thải điểm cao (như là các ống khói nhà máy) và
Trần Anh Dũng, MS 13241374

Trang 7


MỤC LỤC

xảy ra hiện tượng hấp thụ một phần tại mặt đất.
Trong nghiên cứu này tác giả sử dụng phương pháp hàm Green [9],
[10], [11] , chia bài toán thành từng khối tương ứng với các điều kiện biên
khác nhau. Cùng với đó, tác giả cũng sử dụng mơ hình tính tốn vận tốc
gió và khuếch tán rối trong khí quyển theo độ cao tuân theo quy tắc hàm
số mũ của Berliand. Ngoài ra, trong nghiên cứu này, tác giả cịn sử dụng
các tính chất quan trọng của các hàm khoa học bao gồm hàm Dirac delta,
các hàm Bessel hiệu chỉnh, và các hàm Hypergeometric (WhittakerW và
KummerU). Kết quả của mơ hình nghiên cứu đang từng bước được tích
hợp thành các module tính tốn trong phần mềm thương mại ENVIM
(dùng tính tốn các bài tốn về ơ nhiễm khơng khí) của nhóm nghiên
cứu EMSLAB do PGS.TSKH Bùi Tá Long chủ nhiệm. Trong nội dung
của nghiên cứu này, tác giả trình bày kết quả bằng ví dụ số, tính tốn
dựa trên phần mềm Matlab. Bên cạnh đó, một phần kết quả của nghiên
cứu này đã được tác giả báo cáo tại hội nghị Quốc tế Cơ học và tự động
hóa (ICMA3) tại Đại học Công Nghệ, Đại học Quốc Gia Hà Nội [12].

Trần Anh Dũng, MS 13241374

Trang 8


Chương 1
MƠ HÌNH HĨA Q TRÌNH
LAN TRUYỀN Ơ NHIỄM
TRONG KHÍ QUYỂN
Trong nghiên cứu của mình, tác giả tập trung vào xác định nồng độ chất
ô nhiễm gây ra bởi một nguồn thải điểm. Nguồn thải điểm bao gồm ống
khói, ống xả khí, chất ơ nhiễm thốt ra từ một điểm là miệng ống khói,
ống xả khí.
Bài tốn thực tiễn được đặt ra như sau: Cho một ống khói xả thải vào khí
quyển tại điểm A với cường độ xả thải ở trạng thái dừng là Q(mg/m3 ).
Hãy xây dựng công thức phân bố nồng độ ơ nhiễm trong khí quyển và
nồng độ ô nhiễm tại mặt đất ở điểm B bất kỳ cách xa nguồn thải trong
trường hợp xảy ra hiện tượng hấp thụ một phần ô nhiễm tại mặt đất.

1.1

Cơ sở lý thuyết của bài toán toán lan truyền
chất trong khí quyển

1.1.1

Xây dựng phương trình lan truyền chất trong khí quyển

Xét nguồn thải ống khói như hình 1.1. Đặt hệ trục tọa độ với gốc tọa
độ đặt tại chân ống khói, trục Ox nằm trên mặt đất và có hướng trùng
với hướng gió, trục Oy trên mặt đất và vng góc với trục Ox, trục Oz

9


1.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA BÀI TOÁN TOÁN LAN TRUYỀN CHẤT
TRONG KHÍ QUYỂN

hướng lên theo phương của ống khói. Chọn điểm quan sát là phần tử vi
phân nằm cố định tại một vị trí x theo trục của luồng khói 1.1. Xét phần

z

∆x

y

h+∆h

∆z
∆y

h
Trục 0x trùng với hướng gió

x

0

x+∆x

x

Hình 1.1: Mơ hình vệt khói lan truyền từ nguồn thải ống khói (nguồn thải điểm cao)

tử vi phân hình hộp có các cạnh ∆x, ∆y, ∆z như trong hình 1.1, ta có

∆V = ∆x∆y∆z . Giả sử chất ơ nhiễm khơng bị tự triệt tiêu cũng như
không tự sản sinh ra thêm, trong thực tiễn điều này có nghĩa là bỏ qua
phản ứng hóa học của vật chất với nhau hoặc với mơi trường, khi đó ta
có thể phát biểu định luật bảo toàn khối lượng cho phần tử vi phân này
như sau.
Định luật 1.1. (Định luật bảo toàn khối lượng)
Tổng khối lượng vật chất đi qua phần tử vi phân bằng sự thay đổi giảm
khối lượng trong phần tử vi phân theo thời gian.

m
˙ =−

∂C
∂
(C∆V ) = −∆x∆y∆z
∂t
∂t

(1.1)

Lượng vật chất đi qua phần tử vi phân theo thời gian bao gồm lượng
vật chất đi qua 6 mặt của phần tử vi phân do tác động của luồng gió và
lượng vật chất đi qua 6 mặt ấy do tác động của hiện tượng khuếch tán.
Do vậy phương trình lan truyền chất thường được gọi là phương trình tải
- khuếch tán.

Trước hết, chúng ta xét sự thay đổi khối lượng của phần tử vi phân do
Trần Anh Dũng, MS 13241374

Trang 10


1.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA BÀI TOÁN TOÁN LAN TRUYỀN CHẤT
TRONG KHÍ QUYỂN

tác động của dịng gió. Gọi u, v, w là vận tốc gió thổi theo các phương

Ox, Oy, Oz . Xét trên phương Ox, lượng vật chất đi vào từ mặt bên phải
là

ρ∆S = Cu∆x∆y
và khối lượng vật chất đi ra từ mặt bên trái là

Cu +

∂Cu
∆x ∆y∆z
∂x

suy ra, khối lượng vật chất ra khỏi phần thử vi phân theo phương Ox là

∂Cu
∆x∆y∆z
∂x
Tương tự với hai phương Oy, Oz , ta có tổng khối lượng vật chất đi ra
khỏi phần tử vi phân do tác động của dịng gió là

m
˙ = −∆x∆y∆z
⇔

∂C
∂Cu ∂Cu ∂Cu
=
+
+
∆x∆y∆z
∂t
∂x
∂y
∂z

∂C
∂C
∂C
∂C
= −u
−v
−w
∂t
∂x
∂y
∂z

(1.2)

Phương trình (1.2) gọi là phương trình truyền tải.
Ta xét đến sự thay đổi khối lượng do khuếch tán rối. Ngoài sự thay đổi
khối lượng do dịng gió thì theo các phương Ox, Oy, Oz có sự khuếch tán
của vật chất ở 6 mặt của khối vi phân hình hộp. Điều này được thể hiện
trong định luật Fick 1.
Định luật 1.2. (Định luật Fick 1)
Khối lượng vật chất khuếch tán trên đơn vị diện tích thiết diện của phần
tử vi phân theo thời gian tỷ lệ với Gradient của nồng độ, tức là

m
˙ = −K

∂C
∆S
∂n

(1.3)

trong đó,

• m là khối lượng vật chất,
Trần Anh Dũng, MS 13241374

Trang 11


1.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA BÀI TOÁN TOÁN LAN TRUYỀN CHẤT
TRONG KHÍ QUYỂN

• C là nồng độ vật chất, K hệ số tỷ lệ,

• n là khoảng cách theo phương vng góc với thiết diện được khảo sát,
• ∆S là vi phân diện tích trên mặt thiết diện,
• dấu "-" thể hiện dịng vật chất đi từ phía nồng độ cao sang phía
nồng độ thấp.
Từ định luật Fick 1, ta có

∂C
∂C
= −K
∆S
∂t
∂n
Xét theo phương Ox phương trình (1.4) trở thành
−∆x∆y∆z

(1.4)

∂C
∂C
∂C
= −Kx
∆y∆z
∆y∆z
− −Kx
∂t
∂x
∂x
x+∆x
∂C
∂C

Kx
∆y∆z
∆y∆z
− Kx
∂x
∂x
∂C
x+∆x
x
⇔
=
∂t
∆x
Tính gới hạn với ∆x → 0, ta có
∂C
∂C
∆y∆z
∆y∆z
− Kx
Kx
∂x
∂x
∂ ∂Kx
x+∆x
x
=
lim
∆x→0
∆x
∂x ∂x

−∆x∆y∆z

x

suy ra, theo phương Ox ta có

∂C
∂
=
∂t
∂x

∂Kx
∂x

Tính tương tự với hai phương Oy, Oz ta nhận được phương trình khuếch
tán

∂C
∂ ∂Kx
∂ ∂Ky
∂ ∂Kz
=
+
+
(1.5)
∂t
∂x ∂x
∂y ∂y
∂z ∂z

Từ hai phương trình truyền tải (1.2) và khuếch tán (1.5) ta suy ra phương
trình lan truyền ơ nhiễm trong khí quyển, thường gọi là phương trình tải
- khuếch tán là
∂C
∂C
∂C
∂C
∂
∂C
∂
+u
+v
+w
=
Kx
+
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
∂x
∂y
Trần Anh Dũng, MS 13241374

Ky

∂C
∂
+

∂y
∂z

Kz

∂C
∂z
(1.6)

Trang 12


1.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA BÀI TOÁN TOÁN LAN TRUYỀN CHẤT
TRONG KHÍ QUYỂN

Đối với bài tốn này, tác giả xét cho trường hợp nguồn thải điểm nên vế
phải của phương trình (1.6) có thêm hàm s(x, y, z) mơ tả cho nguồn thải
như sau Trong đó S là hàm mô tả nguồn thải:

s(x, y, z) = Qδ(x − xs )δ(y − ys )δ(z − zs )

(1.7)

trong đó, Q là công suất nguồn thải, δ là hàm Delta Dirac [13]
Ý nghĩa của hàm mô tả nguồn thải là tại vị trí nguồn thải thì nồng độ ơ
nhiễm bằng Q, ngồi ra thì nồng độ ơ nhiễm bằng 0. Vậy phương trình
lan truyền chất được viết lại là

∂C
∂C

∂C
∂C
∂C
∂
∂
∂C
+u
+v
+w
=
Kx
+
Ky
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
∂x
∂y
∂y
∂C
∂
+
Kz
+ s(x, y, z)
∂z
∂z
1.1.2

(1.8)

Xác định mơ hình giải bài tốn lan truyền ơ nhiễm
trong khí quyển

Các mơ hình tính tốn về lan truyền ơ nhiễm trong khí quyển chia thành
2 nhóm chính bao gồm: mơ hình Berliand, mơ hình Gauss.

Mơ hình Berliand
Mơ hình Berliand [14] rất phổ biến ở các nước thuộc Liên Xô cũ, Đơng
Âu và Trung Quốc, thường gọi là mơ hình K. Mơ hình Berliand mang
tính tổng qt, vì vậy có ưu điểm là mô tả được gần như đầy đủ các
yếu tố có tính quyết định của q trình lan truyền ơ nhiễm trong khơng
khí bao gồm các điều kiện địa hình, khí quyển, sự tương tác giữa chất
ơ nhiễm và mặt đất... Chính vì có tính chất tổng qt cao nên việc giải
phương trình lan truyền ơ nhiễm khơng khí theo mơ hình Berliand rất
phức tạp, u cầu sử dụng các biến đổi phức tạp và các hàm khoa học
như các hàm Bessel, hàm Confluent Hypergeometric, ...

Trần Anh Dũng, MS 13241374

Trang 13


1.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA BÀI TOÁN TOÁN LAN TRUYỀN CHẤT
TRONG KHÍ QUYỂN

Mơ hình Gauss
Mơ hình Gauss được áp dụng rất nhiều ở các nước phương Tây và có
nhiều sản phẩm thương mại sử dụng mơ hình này. Việc xây dựng mơ

hình Gauss cũng tương tự như mơ hình Berliand, tuy nhiên vận tốc gió
theo phương x và hệ số khuếch tán rối theo phương z được coi là các
hằng số. Phương trình lan truyền chất trong trường hợp này được viết
như sau

∂C
∂C
∂C
∂C
+u
+v
+u
=K
∂t
∂x
∂y
∂z

∂ 2C ∂ 2C ∂ 2C
+
+
+ s(x, y, z) (1.9)
∂x
∂y
∂z

trong đó K là hằng số.
Mơ hình Gauss rất thuận tiện trong tính tốn và ứng dụng vì dạng phương
trình đơn giản hơn so với mơ hình Berliand, nghiệm thường sử dụng các
dạng hàm Bessel hiện đã được lập trình ứng dụng. Tuy nhiên điểm yếu

của mơ hình Gauss là việc xác định vận tốc gió u(z) và hệ số khuếch tán
rối K(z) thường dựa nhiều vào yếu tố kinh nghiệm và các quan trắc tại
các khu vực tính tốn ơ nhiễm.

1.1.3

Ứng dụng phương pháp hàm Green trong giải bài toán
lan truyền vật chất

Phương pháp hàm Green lần đầu được đưa ra bởi George Green vào
những năm 1830 và sau đó được đặt theo tên của ơng. Phương pháp này
được biết đến như là một công cụ mạnh mẽ để giải các phương trình vi
phân đạo hàm riêng tổng quát hoặc với điều kiện biên. Theo đó, việc giải
phương trình đạo hàm riêng khơng thực hiện trực tiếp mà ta tìm hàm
Green bằng việc giải phương trình thuần nhất, sau đó biểu diễn nghiệm
cần tìm qua hàm Green. Phương pháp hàm Green là một phương pháp
khó, nhưng được áp dụng hiệu quả vào việc giải các bài toán biên nhiều
chiều. Trong nghiên cứu của mình, tác giả cũng sử dụng phương pháp
hàm Green để tìm nghiệm của bài toán lan truyền chất với điều kiện biên
Trần Anh Dũng, MS 13241374

Trang 14


1.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA BÀI TOÁN TOÁN LAN TRUYỀN CHẤT
TRONG KHÍ QUYỂN

hấp thụ một phần ở mặt đất. Trong phần này của luận văn, tác giả giới
thiệu những kiến thức cơ bản về phương pháp hàm Green bao gồm cơ sở
toán học (toán tử liên hợp, hàm Dirac delta, phép biến đổi Fourier, phép

biến đổi Laplace), cách vận dụng phương pháp hàm Green, và ví dụ vận
dụng phương pháp hàm Green cho phương trình lan truyền chất 1 chiều.

Toán tử liên hợp
Ta ký hiệu X , Y là các khơng gian tuyến tính định chuẩn, A : X → Y
là một tốn tử tuyến tính.
Định nghĩa 1.1. Tốn tử tuyến tính A gọi là bị chặn nếu tồn tại số

c > 0 sao cho
||Ax|| ≤ c||x|| , ∀x ∈ X
Số c nhỏ nhất được gọi là chuẩn của A

||Ax||
x=0 ||x||

||Ax|| = sup

Định lý 1.1. Cho X, Y là các không gian Hilbert A : X → Y là tốn
tử tuyến tính bị chặn. Khi đó tồn tại duy nhất một toán tử bị chặn A∗ :

Y → X sao cho:
Ax, y = x, A∗ y , ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y
A∗ gọi là toán tử liên hợp của A.
Toán tử A∗ bị chặn và ||A∗ || = ||A||
Khi X = Y , toán tử A gọi là tự liên hợp nếu A∗ = A
Ví dụ 1.1. Cho X = L2 (a, b), Y = L2 (c, d) và k ∈ L2 ((c, d) × (a, b)).
Xét tốn tử tuyến tính bị chặn
b

Ax(t) =

k(t, s)x(s)ds,

t ∈ (c, d), x ∈ X

a

Trần Anh Dũng, MS 13241374

Trang 15


1.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA BÀI TOÁN TOÁN LAN TRUYỀN CHẤT
TRONG KHÍ QUYỂN

Khi đó, ∀x ∈ X, y ∈ Y , ta có
d

Ax, y =

b

y(t)dt
c

b

k(t, s)x(s)ds =
a

d

k(t, s)y(t)dt = x, A∗ y

x(s)ds
a

c

suy ra
d

A∗ y(t) =

k(t, s)y(t)dt

t ∈ (a, b), y ∈ L2 (c, d)

c

Hàm Dirac delta
Định nghĩa 1.2. [13] Hàm Dirac delta được định nghĩa như sau


δ(x) = 0, với x = 0,



δ(0) = 0,
+∞





δ(x) = 1

(1.10)

−∞

Ta lưu ý đến các tính chất cần nhớ sau đây [15], [13] của hàm Dirac
delta
Định lý 1.2. [13] Hàm Dirac delta có các tính chất sau

δ(x − a) = 0 với x = a

(1.11)

f (x)δ(x − a)dx = f (a)

(1.12)

+∞

−∞

Một vài tính chất khác của hàm Dirac delta
i. δ(ac) =

1

δ(x), đặc biệt δ(−x) = δ(x),
|a|

ii. f (x)δ(x − a) = f (a)δ(x − a),
iii. δ(x) = −xδ (−x),
iv. xn δ m (x) = 0 với 0
Trần Anh Dũng, MS 13241374

m < n,
Trang 16


1.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA BÀI TOÁN TOÁN LAN TRUYỀN CHẤT
TRONG KHÍ QUYỂN

v. δ(x, y, z) = δ(x)δ(y)δ(z),
vi.
+∞ +∞ +∞

f (x, y, z)δ(x − a, y − b, z − c)dxdydz = f (a, b, c).
−∞ −∞ −∞

Phép biến đổi Fourier
Phép biến đổi Fourier chuyển chuỗi Fourier thành hàm số f (x).
Định nghĩa 1.3. [13] Phép biến đổi Fourier được định nghĩa bởi cặp tích
phân như sau
+∞

f (x)e−iξx dx

F (ξ) = F[f (x)] = a2

(1.13)

−∞

và

+∞

f (x) = F −1 [F (ξ)] = a1

F (ξ)eiξx dξ,

(1.14)

−∞

Biểu thức (1.13) là biến đổi Fourier của hàm số f (x) còn biểu thức (1.14)
là biến đổi Fourier ngược.

1
trong đó a1 và a2 là các hằng số Fourier. Thường chọn a1 = 1, a2 =
2π
1
1
hoặc a1 =
, az = 1 (sử dụng trong luận văn này) hoặc a1 = √ , a2 =
2π
2π

1
√ .
2π
Các tính chất sau của biến đổi Fourier được sử dụng trong luận văn
i.

F [f (x)] = iξF (ξ),

(1.15)

F [δ(x − a)] = e−iaξ .

(1.16)

ii.

Trần Anh Dũng, MS 13241374

Trang 17


1.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA BÀI TOÁN TOÁN LAN TRUYỀN CHẤT
TRONG KHÍ QUYỂN

Định lý 1.3. (Định lý tích chập) Cho hai hàm số f (t) và g(t) xác
định trên R, tích chập (f ∗ g)(t) cho bởi
∞

(f ∗ g)(t) =

f (t − s)g(s)ds

(1.17)

−∞

Nếu f (t) và g(t) khả tích trên R thì (f ∗ g)(t) cũng khả tích và biến đổi
Fourier của nó là F (x)G(x), trong đó F (x) và G(x) lần lượt là biến đổi
Fourier của f (t) và g(t).

Phép biến đổi Laplace
Định nghĩa 1.4. [15] Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (x) = 0, ∀x < 0.
Biến đổi Laplace của hàm số f (x) là
∞

f (x)esx dx

L[f (x)] = F (s) =

(1.18)

0

Một vài tính chất quan trọng của phép biến đổi Laplace

L[δ(x − a)] = e−as ,
1
L[eax ] =
, s > a,
s−a

L[f (x)] = sF (s) − f (0).

(1.19)
(1.20)
(1.21)

Phương pháp hàm Green
Xét phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai tổng quát sau

∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
∂u
∂ 2u
Lu = A 2 + 2B
+C 2 +D
+E
+ Fu = φ
∂x
∂x∂y
∂y
∂x
∂y

(1.22)

trong đó, L là tốn tử đạo hàm riêng, A, B, C, D, E, F, φ là những hàm
số của x, y . Phương trình (1.22) xác định trong miền R với điều kiện biên
tuyến tính như sau

B(u) = αu + β
Trần Anh Dũng, MS 13241374

∂u
∂n

(1.23)
Trang 18


where L is the original differential operator, A,...F, φ are given functions of x and
y . Equation (3-1-1) holds over a prescribed region R with general linear boundary
conditions,
B(u ) = αu + β u n = f ,

(3-1-2)

1.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA BÀI TOÁN TOÁN LAN TRUYỀN CHẤT
on the boundary curve B of the domain R, where u n denotes the outward normal
TRONG KHÍ QUYỂN
derivative

∂u
, and α,β, f may be functions defined on B, as shown in Figure 3-1-1.
∂n

y

j

n
i

R

Lu = φ

B

x

Figure 3-1-1 General boundary value problem

Hình
1.2:when
Bài tốn
biên tổng
qtsatisfies superposition
The GFM is applicable
only
differential
operator
principle. In fact, most operators encountered in engineering can meet the basic
requirement, e.g., the diffusion equation, wave equation, Laplace equation, actually
all the
second
partialhàm
differential
equations
on. Thetrên

general
second
trong
đó,linear
α, β,
f làorder
những
số của
(x, y)and
xácsođịnh
biên
B như
order equation (3-1-1) is taken as an example to explain how the GFM works. First,
by an arbitrary function v , and make integration by parts,
multiply
trong
hình Lu
1.1.3
(3-1-3)
= ∫ (Mihàm
+ Nj) ⋅Green
nds + ∫∫ uL
Phương
chỉ* vd
ápσ ,dụng khi toán tử đạo hàm
riêng thỏa
∫∫ vLudσpháp
R

B

R

mãn định lý chồng chất nghiệm. Tuy nhiên hầu hết các toán tử đạo hàm
where

riêngdσchúng
ta gặp trong
is the differential
area on các
R, bài toán kỹ thuật đều thỏa mãn điều kiện
này, ví dụ như các bài tốn lan truyền, bài tốn truyền sóng, hay phương
trình Laplace và các phương trình
đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai.
- 5 Trong phần này, tác giả sử dụng phương trình đạo hàm riêng cấp hai
tổng quát (1.22) làm ví dụ cho việc sử dụng phương pháp hàm Green.
Đầu tiên ta lấy tích của Lu với hàm v tùy ý và tính tích phân từng phần,

vLudσ =
R

uL∗ vdσ

(M i + N j)nds +
B

(1.24)

R

trong đó dσ là vi phân diện tích trên R,

ds là vi phân đường trên biên B , dy = nids, dx = njds,
L∗ là toán tử liên hợp của toán tử L, tức là
∂ 2v
∂ 2v
∂ 2v
∂v
∂ 2v
L v = A 2 + 2B
+C 2 −D
−E
+ F v.
∂x
∂x∂y
∂y
∂x
∂y
∗

Trần Anh Dũng, MS 13241374

(1.25)

Trang 19


1.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA BÀI TOÁN TOÁN LAN TRUYỀN CHẤT
TRONG KHÍ QUYỂN

Các hàm số M, N biểu diễn bởi

∂v
∂u
∂u
− Au
+ 2Bv
+ Duv
∂x
∂x
∂y
.
∂v
∂u
∂v
N = −2Bu
+ Cv
− uC
+ Euv
∂x
∂y
∂y
M = Av

(1.26)

Nếu chọn v = v(ξ, η) sao cho

L∗ v = δ(ξ − x, η − y)

(1.27)

thì tích phân nằm ở số hạng thứ 2 của biểu thức (1.24) được tính như
sau

uL∗ vdσ =
R

uδ(ξ − x, η − y)dξdη = u(x, y)

(1.28)

R

Đây chính là nghiệm của phương trình (1.22), trong bước tính cuối, tính
chất "shift" của hàm δ được áp dụng (định lý 1.2). Hàm số v(x, y, ξ, η)
được gọi là hàm Green, ký hiệu lại là G(x, y, ξ, η) và được xác đinh bởi

L∗ G = δ(ξ − x, η − y).

(1.29)

Thay biểu thức (1.28) và Lu = φ vào biểu thức (1.24) ta nhận được
nghiệm cần tìm

u(x, y) =

GLudσ− (M i+N j)nds =
R

B

Gφdσ−
R

(M i+N j)nds.
B

(1.30)
Ta thấy rằng, nếu xác định được hàm Green G trong biểu thức (1.29) thì
nghiệm của phương trình (1.22) sẽ được biểu diễn bởi biểu thức (1.30).
Vậy nếu biết được hàm Green và cùng một số tính tốn ta tìm được
nghiệm mà khơng cần phải giải phương trình đạo hàm riêng. Tùy vào
điều kiện biên của phương trình gốc (1.22) mà ta chọn điều kiện biên
tương ứng cho phương trình (1.29) đối với hàm Green G(x, y, ξ, η).
Ví dụ 1.2. Giải phương trình lan truyền chất một chiều bằng
phương pháp hàm Green.
Trần Anh Dũng, MS 13241374

Trang 20


1.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA BÀI TOÁN TOÁN LAN TRUYỀN CHẤT
TRONG KHÍ QUYỂN

Ta xét bài tốn lan truyền chất một chiều sau đây

∂u
∂ 2u
∂u

+V
−D 2 =φ
(1.31)
Lu =
∂t
∂x
∂x
trong đó, V là vận tốc truyền tải theo phương x, D là hệ số khuếch tán.
Trong ví dụ này, ta chọn miền chữ nhật x1 < x < x2 , t1 < t < t2 như
hình 1.2 làm miền xác định cho bài tốn.

vLudσ

Tính tích phân từng phần cho
R

t

n=j

t2

n=-i

n=i

R

t1

n=-j
x1

x2

x

Figure 3-2-1 Rectangular region for advection

Hình diffusion
1.3: Miền
chữ nhật của bài tốn lan truyền chất
problem

Tính
ta có

]dt

∫

,
σ ∫∫
vLudInt
eg R
t2rat
x
x2 t 2
σ
ve=

vLud
)dtdx .
t + Vvu x − Dvu xx
∫tby
∫∫
∂u
∂ 2u
∂u (3-2-3)
xR
1
1u
vLudσpa
+Vv
− Dv 2 dtdx
v
∫=
∂t
∂x
The three ets are calculated
one∂x
by one,
rts
(termsxin
R
1 t1
t2
x
x2
for t 2 t 2
2

the
brack
(
−
uvt − ∫∫ uv
(vu
=
=
)dt
vu
( vu tt)dx
dσt
,
t1 ∫
t∫ ∫ lượt
∫
∫
1 trong
tích phân lần
từng
số
hạng
ngoặc
của biểu
t
x
t
x
R
dx1 1 dt)dx 1

1
1
t2 t 2
x

x2

(1.32)
thức (1.32)

t2

x 2
x
2
(x 
−
dx)dt
− ∫∫ Vuv
)Vvu
,
x=
∫xt ∫t (vu
∫
x2 t2
t2= ∫ ( Vvuuvx)dt
xd2σx
1x
2 x1 ∫
x

t
R
dt1V1 1
1
1
∂u
∂v 
 t2
u
dt dx = vu|tt21
v dtdxd=
t2
x
t 2 vu|t −
x2
1
∂t
−( = − D [( vu x − v x u ) xx12 + ∂t
uv xx dx
xx
∫ x∫)Dvu
x1 t
x1
x1 t1
t1
t
x
x
d 11
1

1


x2 t2
t2
t2
t
t2
∂u
∂v Duvd
x
x
2 u ) 2]dt −
vu
x − v x−
x1
V v dtdxd= V= −D([
vu|
u
∫
∫∫R dx xxσ dt.
x
1
x
t1
∂x
∂x
x1 t1
t1
t1

The ree
ation
equalities is
t2
summ
of
x the
t2
2
∂v
t2
x22
2
th
σ
+
− vu − v x uV) xxu
+dσ
(v=
)dx
Lud
VvuxD(
]dt
=
V
∫xRt∫1
∫t [vu|
∫∫ (−uv t − V
1
xx11 dx − x

∂x R
u1
u
1
x
t1 t 2
R
2
v
x2
*
2
+
σ
vd
)t2tvu
(1=
vu x − v x u ) xx]dt
uL
.
x1 −
∫x + ∫t [Vvu D(
∫∫
1
R
dx113241374
(31
Trần Anh Dũng, MS
2-4
*

*
=Vv x − Dv xx , and L is the adjoint diff erential
LvHer
t
et−
)
opera
o
L
to
inthe
as,
r

dx −

u

∂v
dσ
∂t

R

x

− Duv dxxσ)

Trang 21
ted

1.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA BÀI TOÁN TOÁN LAN TRUYỀN CHẤT
TRONG KHÍ QUYỂN
x2 t2

−

x2

2

Dv

∂ u
dtdx = −D
∂x2

x1 t1


 v ∂u − u ∂v
∂x
∂x

x1
x2

=−

∂v
∂u
D v
−u
∂x
∂x

x1

t2

x2

+
x1



2

u

∂ v 
dx dt
∂x2

t1

x2

∂ 2v
Du 2 dσ
∂x

dt −
x1

R

Vậy biểu thức (1.32) trở thành
x2

∂v
u dσ
∂t

vu|tt21 dx −

vLudσ =
x1
x2

R

−

∂u
∂v
D v
−u

∂x
∂x

dt −
x1

dx +

x1

V

Du

vu|xx21

t2

vu|tt21

=

∂ 2v
dσ
∂x2

∂v
∂u
−u
−D v

∂x
∂x

t1

R
x2

dx +

x1

V

∂v
dσ
∂x

R

∂v
∂ 2v
∂v
− Du 2
−u − V u
∂t
∂x
∂x

+

Vu
R

x2

t2

vu|tt21

=

V vu|xx21 dx −
t1

R

x1
x2

t2

vu|xx21

x2

dt
x1

dσ

∂v
∂u
−u
−D v
∂x
∂x

t1

x2

dt
x1

uL∗ vdσ

+
R

(1.33)
Ở đây, L∗ là toán tử liên hợp của toán tử L. Ta chọn hàm v = G(ξ, τ, x, t)
là hàm Green thỏa mãn L∗ G = δ(ξ − x, τ − t) với điều kiện biên tương
ứng của G. Thay hàm Green vào biểu thức (1.33) được
x2

t2

vu|tt21

GLudσ =

dx +

x1

R

V
t1

vu|xx21

∂v
∂u
−D v
−u
∂x
∂x

x2

dt
x1

uL∗ Gdσ

+
R

(1.34)
Trần Anh Dũng, MS 13241374

Trang 22