2019

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (5.33 MB, 17 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Thầy Phúc Toán Đồng Nai

THCS ARCHIMEDES ACADEMY 
TỔ TOÁN

Đề số 1

ĐỀ KIỂM TRA THÁNG 9 
Toán 9 (Năm học: 2019 – 2020)

Thời gian làm bài: 90 phút

Bài 1. (1,5 điểm)

1) Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A =(3 − 5) 14 −6 5;

b) 2 28 2

3 7

B = + −

+ .

2) Thu gọn biểu thức C = x + 2 x − +1 x −2 x − với 1

1≤ ≤x 2.

Bài 2. (2,0 điểm)

Giải các phương trình sau:
a) 9x −18 + x − =2 16;

b) (2x − 3)(x −1) − x − = . 1 0
Bài 3. (2,5 điểm)

Cho biểu thức P x 2
x

−

= và 1 7 3 3

3 3

x x x x

Q

x

x x

− − −

= + −

−

+ − với

x > , x ≠ 9.

a) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 16.

b) Rút gọn biểu thức Q .

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Thầy Phúc Toán Đồng Nai

Bài 4. (3,5 điểm)

Cho đường tròn ( ; )O R , đường kính AB. Gọi M là trung

điểm của OB, C là một điểm di động trên nửa đường tròn tâm
( )O (C khác A và B), tia CM cắt ( )O tại D. Gọi H là trung

điểm của CD.

a) Chứng minh H thuộc đường trịn đường kính OM .

b) Giả sử COD = 120°, tính độ dài CD và OH theo R .

c) Gọi I là trực tâm của tam giác ACD. Chứng minh B , H ,
I thẳng hàng.

d) Chứng minh điểm I luôn nằm trên một đường tròn cố

định khi C di động trên đường tròn tâm ( )O .

Bài 5. (0,5 điểm)

Cho x , y , z là các số thực không âm thỏa mãn x + + = . y z 6
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Thầy Phúc Toán Đồng Nai

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1. (1,5 điểm)

1) Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A =(3 − 5) 14 −6 5;

b) 2 28 2

3 7

B = + −

+ .

Lời giải

a) A =(3 − 5) 14 −6 5

2 2

(3 5) 3 2.3 5 ( 5)

A = −  − + 

 

(3 5) (3 5)

A = − −

(3 5) 3 5

A = − −

(3 5)(3 5)

A = − − (vì 3 − 5 > 0)

(3 5)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Thầy Phúc Toán Đồng Nai

b) 2 28 2

3 7

B = + −

2(3 7) 2 .7

2
2

(3 7)(3 7)

B = − + −

+ −

2 2

2(3 7) 2 7

2
2

3 ( 7)

B = − + −

−

2(3 7)

7 2

B = − + −

3 7 7 2 1

B = − + − = .

2) Thu gọn biểu thức C = x + 2 x − +1 x −2 x − với 1

1≤ ≤x 2.

Lời giải

2 1 2 1

C = x + x − + x − x −

1 2 1 1 1 2 1 1

C = x − + x − + + x − − x − +

2 2 2 2

( 1) 2 1 1 ( 1) 2 1 1

C = x − + x − + + x − − x − +

2 2

( 1 1) ( 1 1)

C = x − + + x − −

1 1 1 1

C = x − + + x − −

1 1 1 1

C = x − + − x − +

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Thầy Phúc Toán Đồng Nai

Bài 2. (2,0 điểm)

Giải các phương trình sau:
a) 9x −18 + x − =2 16;

b) (2x − 3)(x −1) − x − = . 1 0

Lời giải

a) 9x −18 + x − =2 16

Điều kiện: 9 18 0

2 0

x
x

 − ≥



 − ≥


9( 2) 0

2 0

x

 − ≥



⇔  − ≥

 ⇔ − ≥x 2 0⇔ ≥ x 2

9x −18 + x − =2 16 ⇔ 3 .(x −2) + x − =2 16

3 x 2 x 2 16

⇔ − + − =

(3 1) x 2 16

⇔ + − =

4 x 2 16

⇔ − =

2 16 : 4
x

⇔ − =

2 4

x

⇔ − =

2 2

( x 2) 4

⇔ − =

2 16

x

⇔ − =
16 2

x

⇔ = +

x

⇔ = (thỏa điều kiện).

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Thầy Phúc Toán Đồng Nai

b) (2x − 3)(x −1) − x − = 1 0

Điều kiện 1 0

(2 3)( 1) 0

x
x x
 − ≥

 − − ≥

1 0

2 3 0

x
x
 − ≥

⇔  − ≥

1
2 3
x
x
 ≥


⇔  ≥

1
3
2
x
x
 =

⇔
 ≥

(2x − 3)(x −1) − x − = 1 0

2x 3. x 1 x 1 0

⇔ − − − − =

1.( 2 3 1) 0

x x

⇔ − − − =

1 0

2 3 1 0

x

x
 − =

⇔
 − − =


① x − =1 0 ⇔ − = x 1 0
1

x

⇔ = (thỏa điều kiện).

② 2x − − =3 1 0⇔ 2x − =3 1

2x 3 1

⇔ − =

2x 3 1

⇔ = +

2x 4

⇔ =

4 : 2

x

⇔ =

x

⇔ = (thỏa điều kiện).

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Thầy Phúc Toán Đồng Nai

Bài 3. (2,5 điểm)

Cho biểu thức P x 2
x

−

= và 1 7 3 3

3 3

x x x x

Q

x
x x
− − −
= + −
−

+ − với

x > , x ≠ 9.

a) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 16.

b) Rút gọn biểu thức Q .

c) Cho M = P Q. . Tìm các giá trị của x để M ≥ 0.
Lời giải

a) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 16.

Thay x = 16 (thỏa điều kiện xác định) vào biểu thức P x 2
x

−

= ,

ta được: 16 2 4 2 1

4 2

P = − = − = .

b) Rút gọn biểu thức Q .

1 7 3 3

3 3

x x x x

Q
x
x x
− − −
= + −
−
+ −

( 1)( 3) 7 3 (3 )( 3)

9 9 9

x x x x x x

Q

x x x

− − − − +

= + −

− − −

3 3 7 3 3 9 3

9 9 9

x x x x x x x x x

Q

x x x

− − + − + − −

= + −

− − −

4 3 7 3 9

9 9 9

x x x x x x

Q

x x x

− + − −

= + −

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Thầy Phúc Toán Đồng Nai

4 3 7 3 9

x x x x x x

Q
x
− + + − − +
=
−
6
9

x x x x

Q

x

− +

−

.( 6 )

x x x

Q

x

− +
=

−

.( 2 3 6)

x x x x

Q

x

− + −

−

. ( 2) 3( 2)

x x x x

Q
x
 − + − 
 
=
−

( 2)( 3)

x x x

Q

x

− +

−

( 2)( 3)

( 3)( 3)

x x x

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Thầy Phúc Toán Đồng Nai

c) Cho M = P Q. . Tìm các giá trị của x để M ≥ 0.

2 ( 2) ( 2)

3 3

x x x x

M P Q

x x x

− − −
= = ⋅ =
− −
2
( 2)
0
3
x
M
x
−
= ≥

− khi

( 2) 0

3 0
x
x
 − =


− ≠

 hoặc

0
3 0
x
x
 ≥


− >

①
2

( 2) 0

3 0
x
x
 − =


− ≠

2 0
3
x
x
 − =


⇔ 
≠

2
9
x
x
 =

⇔ 
≠

4
9
x
x
 =

⇔  ≠

 ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện). 4

② 0

3 0
x
x
 ≥



− >

0
3
x
x
 ≥

⇔ 
>

0
9
x
x
 ≥

⇔  >

 ⇔ x > (thỏa mãn điều kiện). 9

Vậy x = 4 hoặc x > 9 thì M ≥ 0.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Thầy Phúc Toán Đồng Nai

Bài 4. (3,5 điểm)

Cho đường tròn ( ; )O R , đường kính AB. Gọi M là trung

điểm của CD.

a) Chứng minh H thuộc đường trịn đường kính OM .

b) Giả sử COD = 120°, tính độ dài CD và OH theo R .

c) Gọi I là trực tâm của tam giác ACD. Chứng minh B , H ,
I thẳng hàng.

d) Chứng minh điểm I luôn nằm trên một đường tròn cố

định khi C di động trên đường tròn tâm ( )O .
Lời giải

a) Chứng minh H thuộc đường trịn đường kính OM .

Ta có: OC =OD = (vì R C , D nằm trên đường tròn ( ; )O R )

OCD

⇒ ∆ cân tại O.

K
H

D

M
O

B
A

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Thầy Phúc Toán Đồng Nai

Mà OH là đường trung tuyến của ∆OCD (vì H là trung điểm của
CD).

Suy ra: OH là đường cao của ∆OCD.

Gọi K là trung điểm của OM .

Xét ∆OHM vuông tại H có HK là đường trung tuyến ứng với

cạnh huyền OM .

OM

HK OK MK

⇒ = = =

Suy ra: H thuộc đường tròn tâm K , bán kính MK hay H thuộc

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Thầy Phúc Toán Đồng Nai

b) Giả sử COD = 120°, tính độ dài CD và OH theo R .

Vì ∆OCD cân tại O, có OH là đường trung tuyến nên OH cũng

là đường phân giác.
120

2 2

COD

COH °

⇒ = = = °

Xét ∆OHC vng tại H có:

1
.cos 60

2 2

R

OH =OC ° = R ⋅ = .

3 3

.sin 60

2 2

R

HC =OC ° = R ⋅ = .

2 2 3

2
R

CD HC R

⇒ = = ⋅ = .

K
H

D
M
O

B

A

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Thầy Phúc Toán Đồng Nai

c) Gọi I là trực tâm của tam giác ACD. Chứng minh B, H , I

thẳng hàng.

Xét ∆ABC có: OC là đường trung tuyến ứng với cạnh AB.

Và

AB
OC =OA =OB = R =

ABC

⇒ ∆ vuông tại C .

AC BC

⇒ ⊥ .

Xét ∆ABD có: OD là đường trung tuyến ứng với cạnh AB.

Và

AB
OD =OA =OB = R =

ABD

⇒ ∆ vuông tại D.

AD BD

⇒ ⊥ .

Ta có:

( )

//
( )

BC AC cmt

BC ID

ID AC gt



⊥ 

⇒


⊥  (1)

I

K
H

D
M
O

B
A

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Thầy Phúc Toán Đồng Nai

Tương tự:

( )

//
( )

BD AD cmt

BD IC

IC AD gt



⊥ 

⇒


⊥  (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ICBD là hình bình hành.

Mà H là trung điểm của đường chéo CD.

Suy ra: H là trung điểm của đường chéo IB.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Thầy Phúc Toán Đồng Nai

d) Chứng minh điểm I luôn nằm trên một đường tròn cố định khi
C di động trên đường tròn tâm ( )O .

Gọi N là chân đường vng góc kẻ từ A xuống cạnh CD.

Gọi O′ là trung điểm của cạnh ID.

Xét ∆IND có: NO′ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ID.

2 2

ID BC

O N′ O I′ O D′

⇒ = = = = .

Suy ra: I thuộc đường trịn tâm O′, bán kính

BC
O I′ = .

Vậy điểm I luôn nằm trên một đường tròn cố định khi C di động

trên đường tròn tâm ( )O .

H
N

O'
I

P

D
M
O

B
A

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Thầy Phúc Toán Đồng Nai

Bài 5. (0,5 điểm)

Cho x , y , z là các số thực không âm thỏa mãn x + + = . y z 6
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

N = x + +y y + +z z + x
Lời giải

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức N .

Ta có: 0 ≤ + ≤ x y 6 ⇒ ≤0 x + ≤y 6

x y x y

x y

+ +

⇒ ≥

+ hay 6

x y

x y +

⇒ + ≥

Tương tự:

y z

y + ≥z + ;

z x

z + ≥x + .

6 6 6

x y y z z x

x y y z z x + + +

⇒ + + + + + ≥ + +

x y y z z x

x y y z z x + + + + +

⇒ + + + + + ≥

2( ) 2.6

2 6

6 6

x y z

x y y z z x + +

⇒ + + + + + ≥ = =

Dấu “=” xảy ra khi ( ; ; )x y z = (6; 0; 0) và các hoán vị của bộ 3 số
này.

Suy ra MinN = 2 6 khi ( ; ; )x y z = (6; 0; 0) và các hoán vị của bộ 3

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Thầy Phúc Toán Đồng Nai

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N .

Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có:

2 2 2

(1 1 1 )( )

N = x + +y y + +z z + ≤x + + x + + + + +y y z z x

3.12

N x y y z z x

⇒ = + + + + + ≤

N x y y z z x

⇒ = + + + + + ≤

Dấu “=” xảy ra khi

x y y z z x

x y z

 + = + = +


 + + =

 ⇔ x = = = . y z 2

Suy ra: MaxN = 6 khi x = = = . y z 2

</div>

2019

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về