Dạy học phân hóa trong chủ đề giới hạn- đại số và giải tích lớp 11

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>- ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11</b>

Nguyễn Viết Sơn Tùng1
Nguyễn Đức Huy2
Tóm tắt

Tổ chức dạy học phân hóa đối tượng, nhằm bảo đảm yêu cầu giáo dục phù hợp với
đặc điểm tâm - sinh lý, nhịp độ, khả năng, nhu cầu và hứng thú khác nhau của người
học sẽ phát triển tiềm năng vốn có của mỗi học sinh. Chúng tơi trình bày quan niệm
về dạy học phân hóa, định hướng dạy học phân hóa ở trường phổ thơng và đề xuất
quy trình thiết kế bài giảng cho dạy học phân hóa. Từ đó, nghiên cứu vận dụng thiết
kế bài giảng “Luyện tập dãy số có giới hạn là 0” cho dạy học phân hóa.

<b>Từ khóa: Dạy học phân hóa; giới hạn dãy số; thiết kế bài giảng.</b>
1. Mở đầu

Hiện nay, trước đà phát triển mạnh mẽ của xã hội, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục cần phải
có những thay đổi tích cực, nhất là với vấn đề dạy và học nhằm phù hợp với mọi đối tượng
học sinh, giúp các em có được kết quả học tập tốt nhất cho tương lai của mình. Một trong
những yếu tố quan trọng trong việc đổi mới giáo dục là cần thay đổi định hướng dạy học
theo tiếp cận năng lực trong đó dạy học theo tiếp cận cá nhân hóa là điều kiện để thực hiện.
Muốn vậy bên cạnh triển khai dạy học tích hợp cần tiến hành đồng thời dạy học phân hóa
cho học sinh.

Từ năm học 2006-2007, Bộ Giáo dục và Đào tạo (GD&ĐT) đã bắt đầu chỉ đạo tổ chức
dạy học phân hóa theo hình thức phân ban kết hợp với tự chọn ở cấp trung học phổ thông.
Hiện nay, Bộ Giáo dục và Đào tạo đang triển khai thực hiện Chiến lược phát triển giáo dục
và đào tạo giai đoạn 2011 - 2020, trong đó có việc xây dựng chương trình giáo dục phổ thơng
giai đoạn sau 2015. Chương trình giáo dục phổ thơng mới hiện nay sẽ đặc biệt quan tâm đến
dạy học phân hóa ở cấp trung học phổ thông nhằm định hướng tốt hơn việc phân luồng,
định hướng nghề nghiệp cho học sinh.

1 Trường Đại học Giáo dục, ĐHQG Hà Nội; Điện thoại: 0965747734;
Email:

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Thực tế hiện nay các trường THPT chưa thực sự quan tâm đúng mức đến dạy học phân
hóa, cũng như chưa trang bị đầy đủ kỹ năng để triển khai được dạy học phân hóa. Đa số
những tiết học hiện nay vẫn diễn ra một cách đồng loạt cho mọi đối tượng học sinh với mức
khó – dễ như nhau trên cả những đối tượng học sinh có lực học khơng tương đồng với nhau.
Lý do này khiến cho những em học sinh có lực học giỏi chưa thể phát huy được hết năng lực
của bản thân, cũng như những em học sinh yếu kém có thể sẽ khơng theo kịp chương trình.
Điều này dẫn đến việc hiệu quả tiết học mang lại sẽ không cao và không đáp ứng được mục
tiêu của giáo dục.

Vậy câu hỏi được đặt ra ở đây là làm thế nào để trong một tiết học của một lớp học mà
có thể vừa bồi dưỡng, nâng cao kiến thức, tư duy cho học sinh khá giỏi, vừa trang bị kiến
thức cho học sinh trung bình mà vẫn có thể bồi dưỡng phụ đạo, lấp chỗ hổng kiến thức cho
học sinh yếu kém? Dạy học phân hóa có thể giải quyết được bài tốn đó.

Ở bài viết này chúng tơi sẽ đề cập đến việc dạy học phân hóa cho học sinh lớp 11 trong
chủ đề “Giới hạn” (thuộc bộ mơn Tốn). Cụ thể, tác giả sẽ đưa ra những cơ sở lý luận và hệ
thống bài tập, bài giảng thực tiễn để minh họa cho những lí luận được nêu trước đó.
2. Nội dung nghiên cứu

<b>2.1 Cơ sở lý luận</b>

<i><b>2.1.1. Quan niệm về dạy học phân hóa</b></i>

Carol Ahn Tomlinson là một trong những chuyên gia hàng đầu nghiên cứu về dạy
học phân hóa xác định: “Dạy học phân hóa là q trình đảm bảo rằng nội dung và phương
pháp học tập cũng như kiểm tra đánh giá phải phù hợp với trình độ, sở thích và phong

cách học tập của từng người học”. Theo ơng: “Trong các lớp học phân hóa, GV đưa ra
những hình thức học tập cụ thể cho từng cá nhân để đảm bảo các em có thể học được
nhiều và nhanh nhất có thể, họ khơng cho rằng một lộ trình học tập của HS này có thể
đúng với HS khác”[4, tr4].

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Theo Nguyễn Bá Kim: “Dạy học phân hóa xuất phát từ yêu cầu đảm bảo thực hiện tốt
các mục tiêu dạy học đối với mọi học sinh, đồng thời khuyến khích phát triển tối đa và tối
ưu những khả năng của từng cá nhân”[3].

Trong Dạy học phân hóa, GV có thể “chia” lớp học thành nhiều “bộ phận” khác
nhau để có phương pháp dạy học phù hợp hơn với từng “bộ phận”. Có nhiều tiêu chí
để chia lớp học, chẳng hạn như chia theo lứa tuổi, theo giới tính, theo dân tộc hoặc theo
địa bàn cư trú,... Ở đây, chúng tôi chỉ giới hạn trong việc chia theo năng lực và nhu cầu
của người học.

Như vậy, Dạy học phân hóa là cách thức dạy học đòi hỏi phải tổ chức, tiến hành các
hoạt động dạy học dựa trên những khác biệt của người học về năng lực, nhu cầu nhận thức,
các điều kiện học tập nhằm phát triển tốt nhất cho từng người học, đảm bảo công bằng trong
giáo dục, nghĩa là đảm bảo quyền bình đẳng về cơ hội học tập cho người học.

<i><b>2.1.2. Định hướng về dạy học phân hóa mơn Tốn ở trường phổ thơng</b></i>

Ra bài tập phân hóa là để cho các đối tượng học sinh khác nhau có thể tiến hành các
hoạt động khác nhau với trình độ khác nhau, giáo viên có thể phân hóa yêu cầu bằng cách
sử dụng mạch bài tập phân bậc, giao cho học sinh giỏi những bài tập có hoạt động ở bậc cao
hơn so với các đối tượng học sinh khác. Hoặc ngay trong một bài tập, ta có thể tiến hành dạy
học phân hóa nếu bài tập đó bảo đảm yêu cầu hoạt động cho cả 3 nhóm đối tượng học sinh
và bài tập phân hố nhằm mục đích:

- Đối với học sinh trung bình, yếu kém thường biểu hiện khơng nắm được kiến thức và

kỹ năng cơ bản thì bộc lộ những sai lầm nghiêm trọng và lỗ hổng kiến thức.

- Đối với bản thân học sinh khá, giỏi có năng lực học tập tốn; các em có khả năng học
tốn thường có xu hướng thích giải nhiều bài tốn, thích giải các bài tốn khó, các bài tốn
đòi hỏi tư duy sáng tạo, nhưng lại coi nhẹ việc học lý thuyết, coi nhẹ các bài tốn thơng
thường và chủ quan, lơ là, dẫn đến sai lầm trong khi giải tốn.

Từ đó bồi dưỡng lấp lỗ hổng cho học sinh yếu kém, trang bị kiến thức chuẩn cho học
sinh trung bình và nâng cao kiến thức cho học sinh khá, giỏi.

Ví dụ: Khi học về giải giới hạn của hàm số, ta có thể đưa ra hệ thống bài tập như sau:
a, Tìm giới hạn sau:

(

2

)

2

lim 3 7 11

<i>x</i>→ <i>x</i> + <i>x</i>+ .
b, Tìm giới hạn sau: 3₂

2

8
lim

4
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

→

−

− .

c, Cho giới hạn ₂

1

3 1

lim

1
<i>x</i>

<i>x a</i> <i>_b</i>

<i>x</i>

→

+ − ₌

− . Tính giá trị của biểu thức <i>T a b</i>= + .

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>- Học sinh yếu kém, trung bình giải được ý (a), kiến thức cơ bản SGK và có thể giải </b>
được câu (b) dưới sự hướng dẫn của giáo viên.

- Học sinh khá giải ý (b), mức độ vận dụng và có thể làm câu (c) dưới sự định hướng
của giáo viên.

- Học sinh giỏi thực hiện giải ý (c) trên cơ sở vận dụng cao kiến thức.

Việc xây dựng và áp dụng những bài tập kiểu phân hoá này trong giờ học không
những giúp cho học sinh hoạt động học tập phù hợp với trình độ của mình mà cịn khơi dậy
niềm tin ở khả năng bản thân. Bên cạnh đó, kiến thức của mỗi đối tượng học sinh khám phá
đều liền mạch, do đó học sinh yếu vừa được quan tâm bồi dưỡng kiến thức cơ bản vững
chắc, vẫn có thể theo dõi tiếp thu các kiến thức từ hoạt động của đối tượng học sinh trung
bình hay khá giỏi, đồng thời học sinh khá giỏi vẫn phát huy hết khả năng tư duy của mình
và được tập luyện đào sâu lý thuyết thông qua hoạt động của học sinh trung bình hay yếu
kém. Mặt khác, thời gian mà giáo viên sử dụng dạy học bài tập phân hóa này cho tất cả các
đối tượng học sinh trong giờ học vẫn được đảm bảo hợp lý, đây là một yếu tố quan trọng
góp phần thành cơng của giờ học. Tuy nhiên, để có những bài tập đảm bảo yêu cầu trên,
người giáo viên cần nắm chắc kiến thức trọng tâm của từng bài và chuẩn bị tài liệu, đầu tư
công sức, thời gian cho bài soạn một cách chu đáo, kỹ lưỡng. Tránh tư tưởng đồng nhất trình
độ dẫn đến đồng nhất nội dung học tập cho mọi đối tượng học sinh.

<b>2.2. Quy trình thiết kế bài giảng dạy học phân hóa</b>
<i><b>2.2.1. Câu hỏi và bài tập phân hóa</b></i>

Ý đồ ra bài tập phân hóa để cho học sinh khác nhau có thể tiến hành các hoạt động phù
hợp với trình độ khác nhau của họ. Giáo viên dựa vào đặc điểm và sự phân loại học sinh
trong lớp để giáo viên lựa chọn bài tập thích hợp. Có thể phân hóa về yêu cầu bằng cách
cho sử dụng mạch bài tập phân bậc, giao cho học sinh giỏi những bài tập có hoạt động ở
bậc cao hơn so với các đối tượng học sinh khác. Đối với học sinh yếu kém, có thể giao cho
các bài tập phân bậc “mịn”. Cụ thể là khoảng cách giữa hai bậc liên tiếp không quá cao,
quá xa. Nhiều bậc học sinh yếu kém gộp lại thành một bậc của học sinh trung bình hoặc

khá giỏi. Hoặc ngay trong một bài tập, giáo viên cũng có thể tiến hành dạy phân hóa nếu
như bài tập đó đảm bảo yêu cầu cho cả ba nhóm đối tượng học sinh: bồi dưỡng lấp lỗ hổng
cho học sinh yếu kém, trang bị kiến thức chuẩn bị cho học sinh trung bình và nâng cao cho
học sinh khá, giỏi.

<i><b>2.2.2. Kế hoạch bài dạy phân hóa</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

dụng vào từng tình huống cụ thể cho hiệu quả, đạt được mục đích dạy học của mình. Giáo
viên cần làm cẩn thận và xem xét nhiều khía cạnh khác nhau của các bài tập trong sách giáo
khoa và những bài tập cho học sinh làm thêm.

Trong thiết kế các pha dạy học đồng loạt nên sử dụng kết hợp phương pháp dạy học
phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy học chương trình phân hóa với các câu hỏi phân hóa.
Khi đưa các yếu tố phát hiện và giải quyết vấn đề kết hợp cùng hệ thống câu hỏi phân hóa
vào bài học các tri thức khái niệm, các định lý,… sẽ góp phần phát triển tư duy, tăng cường
tính tự giác, chủ động, sáng tạo cho các đối tượng học sinh. Những tri thức mới được kiến
tạo nhờ quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề, học sinh được khám phá, phân tích vấn đề,
để đề xuất và thực hiện được phương pháp giải quyết.

<i><b>2.2.3. Phân Hóa học sinh</b></i>

Sự giống và khác nhau về yêu cầu xã hội, về trình độ phát triển nhân cách của mỗi cá
thể học sinh địi hỏi một q trình dạy học thống nhất với những biện pháp phân hóa nội
tại. Nhiệm vụ của giáo viên là nghiên cứu tìm hiểu những mặt mạnh và yếu trong năng lực,
trình độ phát triển của học sinh để có biện pháp cụ thể tác động đến từng đối tượng học
sinh. Có như vậy mới giúp cho tất cả học sinh đều tiếp thu được những kiến thức và kỹ năng
tối thiểu. Đồng thời, phát hiện và đào tạo nhân tài ngay từ trong nhà trường.

Trong quá trình dạy học, giáo viên thường xuyên theo dõi, tìm hiểu, kiểm tra để phân
loại học sinh trong lớp thành các nhóm đối tượng học sinh: Nhóm có nhịp độ nhận thức

nhanh (nhóm khá giỏi), nhóm có nhịp độ nhận thức chậm (nhóm yếu kém), và nhóm có nhịp
độ nhận thức trung bình. Từ đó, giáo viên đề ra các yêu cầu sao cho phù hợp với từng đối
tượng gồm các câu hỏi đàm thoại, phương pháp học tập, số lượng và yêu cầu của các bài tập
làm ở lớp, ở nhà. Giáo viên nên tìm hiểu những biểu hiện giúp phân biệt học sinh khá giỏi,
học sinh yếu kém.

Đối với học sinh yếu kém, biểu hiện thường thấy: không nắm được kiến thức và kỹ
năng cơ bản, có những sai lầm nghiêm trọng trong giải bài tập, kết quả kiểm tra thường dưới
mức trung bình… Song giáo viên cần tìm ra nguyên nhân học kém mơn Tốn: có em học
kém vì năng lực tốn yếu, có em học yếu vì ngun nhân khác (gia đình khó khăn, khơng
có điều kiện thời gian học tập, có vướng mắc về tư tưởng nên chưa tập trung…), để từ đó có
biện pháp giáo dục, giúp đỡ như: xây dựng lòng tự tin ở bản thân, thường xuyên theo dõi,
động viên kịp thời, tranh thủ sự quan tâm của gia đình và xã hội.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i><b>2.2.4. Thiết kế nội dung bài dạy</b></i>

Thiết kế bài giảng: Cần nghiên cứu nắm vững nội dung và yêu cầu bài học, thiết kế các
pha dạy học đồng loạt, cần sử dụng hệ thống câu hỏi phân hóa để giúp tất cả các đối tượng
học sinh trong lớp cùng tham gia tìm hiểu nội dung bài học. Khi ra các bài tập phân hóa, cần
phải dựa vào trình độ nhận thức của học sinh mà lựa chọn các bài tập thích hợp nhằm bồi
dưỡng cho học sinh yếu kém “lấp những lỗ hổng”, kiến thức cơ bản cho học sinh trung bình,
kiến thức nâng cao cho học sinh khá, giỏi.

Xét các yếu tố ảnh hưởng tới quá trình dạy học như môi trường, phương tiện, điều kiện
dạy học, cần quan tâm đến các phương tiện dạy học và phối hợp sử dụng chúng sao cho có
hiệu quả nhằm phát huy tối đa sức mạnh của phương tiện dạy học khi tổ chức các pha dạy
học phân hóa.

Tổ chức các pha dạy học đồng loạt ngay trong những giờ lên lớp gồm tất cả các phương
pháp dạy học nhưng địi hỏi phải có sự vận dụng linh hoạt, kết hợp, sử dụng các phương

pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy học chương trình hóa, phương pháp vấn
đáp… Cần xây dựng các câu hỏi phân hóa làm phương tiện để thực hiện bài giảng cho tất cả
các đối tượng học sinh dựa vào nhịp độ nhận thức. Ta có thể kết hợp giữa nhóm phân hóa
với các nhóm hỗn hợp về trình độ tùy theo yêu cầu của mỗi hoạt động. Thơng qua các hình
thức này, các thành viên trong nhóm đều rèn luyện cách thức làm việc để cùng tiến hành
những hoạt động chung, cùng thực hiện một nhiệm vụ chung, trong đó có sự phân cơng
nhiệm vụ, có sự trao đổi ý kiến, có diễn đạt, lý giải, thuyết phục để tìm ra con đường hoặc
phương án giải quyết.

<b>2.3. Bài giảng dạy học phân hóa trong chủ đề Giới hạn</b>
- Thiết kế bài giảng: “Luyện tập dãy số có giới hạn 0”.

+ Phân Hóa học sinh trong lớp theo từng mức độ yếu, trung bình, khá, giỏi.

+ Thiết kế hệ thống câu hỏi phân hóa trong bài “Luyện tập dãy số có giới hạn 0” phù
hợp với từng mức độ của học sinh nhằm giúp tất cả học sinh trong lớp cùng tham gia vào
bài học.

+ Thiết kế những tình huống sư phạm nhằm tạo sự hứng thú cho học sinh.

<i>Bài giảng: “Luyện tập dãy số có giới hạn 0”</i>

- Mục tiêu:

+ Kiến thức, kỹ năng:

Sau khi học xong bài học thì học sinh yếu, trung bình có khả năng nhận biết dãy số có giới
hạn 0; học sinh khá có khả năng làm các bài tập về dãy số có giới hạn 0 ở mức độ vận dụng; học
sinh giỏi có khả năng làm các bài tập về dãy số có giới hạn 0 ở mức độ vận dụng cao.

<b>+ Thái độ:</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Cẩn thận, chính xác trong tính tốn.

Có tinh thần nghiêm túc, tự giác, hứng thú với bài học.
<b>+ Định hướng phát triển năng lực:</b>

Năng lực tính tốn, tư duy, suy luận tốn học.
Năng lực giao tiếp, tự đánh giá bản thân.
- Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:

+ Chuẩn bị của giáo viên: Kế hoạch bài giảng, hệ thống câu hỏi phân hóa, dụng cụ
dạy học.

+ Chuẩn bị của học sinh: Chuẩn bị kiến thức về phần Dãy số có giới hạn 0.
- Tiến trình lên lớp:

Chia lớp thành 3 nhóm:

Nhóm 1: gồm các bạn học sinh Giỏi.
Nhóm 2: gồm các bạn học sinh Khá.

Nhóm 3: gồm các bạn học sinh Trung bình, Yếu.
Tiến trình bài học:

<b>Hoạt động </b>
<b>của giáo viên</b>

<b>Hoạt động </b>

<b>của học sinh</b> <b>Nội dung bài dạy</b>

<b>Hoạt động 1: Nhắc lại lý thuyết</b>

Giáo viên đề nghị:
Nhóm 3: Nhắc lại định
nghĩa về dãy số có giới
hạn 0.

Nhóm 2: Trình bày một
số dãy số có giới hạn 0.
Nhóm 1: Nhận xét câu
trả lời của Nhóm 2 và
Nhóm 3.

Nhóm 3, Nhóm 2:
Trình bày câu trả lời.
Nhóm 1: Nhận xét và
sửa chữa câu trả lời.

<b>Nhóm 1: Định nghĩa</b>

Ta nói rằng dãy số

( )

<i>un</i> <i><b>có giới hạn là 0 nếu với số dương </b></i>
nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một
số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số
dương đó.

Kí hiệu: _lim <i>_n</i> ₀

<i>n</i>→∞<i>u</i> = hay lim<i>u =n</i> 0 hay <i>u →n</i> 0 khi

<i>n → +∞</i>.

<b>Nhóm 2: Một số dãy số có giới hạn 0</b>
<b>a)</b>lim<i>un</i>= ⇔0 lim<i>un</i> =0; hay lim0 0= ;

<b>b)</b>lim1 0

<i>n</i>= ; lim<i>_n</i>1<i>k</i> =0,

(

<i>k</i>>0,<i>k</i>∈ *

)

;

1
lim 0

<i>n</i>= ;
3

1
lim 0

<i>n</i>= ;

<b>c)</b>lim<i>_{q =}n</i> 0_nếu<i>_{q <}</i>₁_;

<b>d) Cho hai dãy số </b>( )<i>un</i> và ( )<i>vn</i>

Nếu <i>un</i> ≤<i>vn</i> với mọi <i>n</i>và lim<i>v =n</i> 0 thì lim<i>u =n</i> 0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>Hoạt động 2: Luyện tập Dạng Chứng minh dãy số có giới hạn 0</b>

Giáo viên đề nghị:

Nhóm 1: Trình bày
phương pháp giải

Giáo viên cho bài tập
số 1 với 3 mức độ
thông hiểu, vận dụng,
vận dụng cao đề nghị
cả 3 nhóm chuẩn bị:
Bài 1: Chứng minh rằng

2

1

a,lim 0

1

<i>n</i> + =

(Nhóm 3 – mức độ
thơng hiểu)
2
sin
b,lim 0
2
<i>n</i>

<i>n</i>+ =

(Nhóm 2 – mức độ vận
dụng)

c,lim ( )1₁ 1₁ 0

2 3

<i>n</i>

<i>n</i>+ <i>n</i>+

 − 

− =

 

 

 

(Nhóm 1 – mức độ vận
dụng cao)

Chú ý: Giáo viên hỗ trợ
cả 3 nhóm đặc biệt là
Nhóm 2 và Nhóm 3,
định hướng cách làm
cho Nhóm 1.

Nhận thấy ở Bài 1 câu a,
học sinh nhóm 3 hồn
tồn có thể làm được; ở
câu b, phù hợp với học
sinh nhóm 2 tuy nhiên

Nhóm 1 trình bày
phương pháp giải.
Nhóm 2, 3 theo dõi
và nhận xét.

Các nhóm thảo luận
trao đổi cùng GV rồi
cử đại diện lên bảng
trình bày. Các nhóm
còn lại theo dõi và
nhận xét.

<i><b>Phương pháp giải: Để chứng minh </b></i>

lim

<i>u =</i>

<i>_n</i>

0

ta
chứng minh với mỗi số

<i>a ></i>

0

nhỏ tùy ý luôn tồn tại
một số

<i>n</i>

<i>_o</i> sao cho

<i>u</i>

<i>_n</i>

< ∀ >

<i>a n n</i>

<i>_o</i>.

Bài 1:

a, Chứng minh rằng

2

1

lim 0

1

<i>n</i> + =

<b>Lời giải</b>

Với <i>a ></i>0 nhỏ tùy ý, ta có <i>_n</i>21₊₁=<i>_n</i>21₊₁< ⇔ ><i>a</i> <i>n</i> <i>_a</i>1 1− .

Chọn <i>no</i> 1 1<i>_a</i>

 

=_ − _

 . Do đó∀ ><i>a</i> 0, ∃<i>n n n</i>0: > <i>o</i> ta ln

có

2

1
1 <i>a</i>

<i>n</i> + < 2

1
lim 0
1

<i>n</i>
⇒ =
+ .

Chú ý: Kí hiệu

[ ]

<i>a</i> là lấy phần nguyên của <i>a</i>.
b, Chứng minh rằng limsin2 0

2
<i>n</i>
<i>n</i>+ =
<b>Lời giải</b>

Với <i>a ></i>0 nhỏ tùy ý, ta có

2 2

sin sin 1 _{1 2}

2 2 2

<i>n</i> <i>n</i> <i>_a</i> <i>_n</i>

<i>n</i>+ = <i>n</i>+ <<i>n</i>+ < ⇔ > −<i>a</i> .

Chọn <i>no</i>=1 2<i>_a</i>− 

 . Do đó∀ ><i>a</i> 0, ∃<i>n n n</i>0: > <i>o</i> ta ln có

2
sin

2<i>n a</i>
<i>n</i>+ <

2
sin
lim 0
2
<i>n</i>
<i>n</i>
⇒ =
+ .

Chú ý: Kí hiệu

[ ]

<i>a</i> là lấy phần nguyên của <i>a</i>.
c, Chứng minh rằng ( )1 1

1 1

lim 0

2 3

<i>n</i>
<i>n</i>+ <i>n</i>+

 ₋ 
− =
 
 
 

<b>Lời giải</b>

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được

* 1 1 *

2 , ,

2

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>Hoạt động 3: Luyện tập dạng Tìm giới hạn 0 của dãy số</b>

GV đề nghị nhóm 2
trình bày phương pháp
giải.

Giáo viên cho bài tập
số 2 với 3 mức độ nhận
biết, thông hiểu, vận
dụng, đề nghị cả 3
nhóm chuẩn bị:

Bài 2:

a, Cho dãy số

( )

<i>un</i>

với ( 0,97)<i>n</i>

<i>n</i>

<i>u = −</i> . Tính

lim<i>un</i>

(Nhóm 3 – Mức độ
nhận biết)

b, Cho dãy số

( )

<i>un</i>

với 1

2
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i>
+
=

+ . Tính

lim<i>un</i>

(Nhóm 2 – Mức độ
thơng hiểu)

c, Cho dãy số

( )

<i>un</i> với
2 ₁

<i>n</i>

<i>u</i> = <i>n</i> + −<i>n</i>. Tính

lim<i>un</i>

(Nhóm 1 – Mức độ vận
dụng)

Chú ý: Giáo viên hỗ trợ
cả 3 nhóm đặc biệt là

Nhóm 2 trình bày
phương pháp giải.
Nhóm 1,3 theo dõi và
nhận xét.

Các nhóm thảo luận
trao đổi cùng GV rồi
cử đại diện lên bảng
trình bày. Các nhóm
cịn lại theo dõi và
nhận xét

<i><b>Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩagiới hạn </b>0và các </i>
<i>giới hạn đặc biệt để giải quyết bài toán.</i>

Bài 2:

a, Cho dãy số

( )

<i>u_n</i> với ( 0,97)<i>n</i>
<i>n</i>

<i>u = −</i> . Tính lim<i>u_n</i>

<b>Lời giải</b>

Theo cơng thức giới hạn đặc biệt, ta có: −0,97 1< nên
lim<i>u =n</i> 0.

b, Cho dãy số

( )

<i>un</i> với 1
2
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i>
<i>n</i>
+
=

+ . Tính lim<i>un</i>
<b>Lời giải</b>

Ta có: 1 1 1 1 , .

2 1 1

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>u</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

+ +

= < = < ∀ ∈

+ + + 

Vì lim 1 0

<i>n</i>= nên lim<i>u =n</i> 0.

c, Cho dãy số

( )

<i>un</i> với <i>un</i>= <i>n</i>2+ −1 <i>n</i>. Tính lim<i>un</i>
<b>Lời giải</b>

Ta có:

(

)(

)

2 2
2
2
1 1
1
1
<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>u</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>
+ − + +
= + − =
+ +
2
2

1 1_. 1

1

1 ₁ ₁

1 1 <i>n</i>

<i>n</i> <i>_n</i>
<i>n</i>
= =
 
+ +
+ +
 
 

Vì lim1 0,
<i>n</i>=
2

1 1
lim
2
1
1 1
<i>n</i>
=
+ +

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>Hoạt động 3: Luyện tập các câu hỏi trắc nghiệm</b>

GV phát phiếu bài tập
với 6 câu hỏi trắc
ng-hiệm

Trong đó có:

+ 2 câu mức độ nhận
biết, thơng hiểu dành
cho Nhóm 3 với những
học sinh Trung bình,
yếu.

+ 2 câu mức độ vận
dụng dành cho Nhóm
2 với những học sinh
Khá.

+ 2 câu mức độ vận
dụng cao dành cho

Nhóm 1 với những học
sinh Giỏi.

-GV đề nghị:

+Nhóm 3 trình bày kết
quả và cách giải câu
1,2 (đây là 2 câu thơng
hiểu). Nhóm 1,2 nhận
xét và chỉ ra các cách
giải khác.

+Nhóm 2 trình bày kết
quả và cách giải câu 3,4
(đây là 2 câu vận dụng).
Nhóm 3 kiểm tra kết
quả bằng máy tính.
Nhóm 1 chỉ ra các cách
giải khác.

+Nhóm 1 trình bày kết
quả và cách giải câu 5,6
(đây là 2 câu vận dụng
cao). Nhóm 2,3 kiểm
tra kết quả bằng máy
tính

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Phiếu bài tập:

<b>Câu 1: Dãy số nào sau </b>

đây có giới hạn bằng 0?

<b>A. </b>  _{ }4₃ <i>n</i><b>.B. </b> 4
3

<i>n</i>

₋ 
 
 .

<b>C. </b>₋5₃<i>n</i>
 
 <b>.D. </b> 1₃

<i>n</i>

 
 
 .

<b>Câu 2: Dãy số nào sau </b>

đây có giới hạn bằng 0?

<b>A. </b>(0,999)<i>n</i><b>_.B.</b>

(₋1,01)<i>n</i>_.

<b>C. </b>(1,01)<i>n</i><b>_.D.</b>₍₋_2,001₎<i>n</i>

<b>Câu 3:</b>lim4 1 6 2
5 8

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

+₊ +

+ bằng:

<b>A. </b>0<b>.B. </b>6

8.

<b>C. </b>36<b>.D. </b>4
5.

<b>Câu 4: Cho dãy số </b><i>un</i>

với <i>un</i> (<i>n</i> 1) <i>_n</i>42<i>n_n</i>22₁

+
= −

+ − .

Chọn kết quả đúng của

lim<i>un</i> là:

<b>A.</b>−1<b>. B. </b>0.

<b>C. </b>1<b>. D. </b>2.

<b>Câu 5: Cho dãy số </b>( )<i>un</i>

với

( )

1 1 _.... 1
1.2 2.3 1

<i>n</i>

<i>u</i>

<i>n n</i>

= + + +
+ .

Khi đó lim(<i>u −n</i> 1) bằng
<b>A.</b>0<b>B.</b>1.

<b>C.</b>3

2<b>. D. Khơng có giới hạn.</b>

<b>Câu 6  : Kết quả đúng </b>

của lim cos 2₂
1

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n +</i> là:

<b>A. 4. B. 0. </b>
<b>C. –4. D. </b>

4
1_.

<b>Câu 1:</b>
<b>Chọn D.</b>

<i>Cách 1: Ta có </i>lim 1 0
3

<i>n</i>

  =
 

  vì <i>q =</i>1 13< .

<i>Cách 2: (phương pháp loại trừ). Các dãy số ở các phương </i>
án A, B, C đều có dạng limq<i>n</i>_nhưng<i>_{q >}</i>₁_{nên khơng có}

giới hạn 0, do đó loại phương án A, B, C.
<i>Cách 3: Sử dụng MTCT tính </i>lim 1₃

<i>n</i>
<i>n→∞</i>

 
 

 . Nhập vào màn hình.

Bấm CALC, nhập ₁₀10_{. Ấn phím =được kết quả là 0 nên}
chọn đáp án D.

<b>Câu 2:</b>
<b>Chọn A.</b>

<i>Cách 1: Ta có </i>lim 0,999

(

)

<i>n</i>₌0_vì<i>_{q =}</i> _{0,999 1}_< _.
<i>Cách 2: (phương pháp loại trừ). Các dãy số ở các phương </i>
án A, B, C đều có dạng limq<i>n</i>_nhưng<i>_{q >}</i>₁_{nên khơng có}
giới hạn 0, do đó loại phương án B, C, D.

<i>Cách 3: Sử dụng MTCT tính </i>lim 0,999<i>_n→∞</i>( )<i>n</i>. Nhập
vào màn hình.Bấm CALC, nhập ₁₀10_{. Ấn phím =được kết}
quả là 0 nên chọn đáp án A.

<b>Câu 3:</b>

<i><b>Chọn A. Cách 1: </b></i> 1 2

4 6

4. 36.

4 6 8 8

lim lim 0

5 8 5 ₁

8
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
+₊ +   _{ } +   _{ }
= =
+ _{  +}
 
 
.
<i> Cách 2: Sử dụng máy tính </i>
cầm tay tương tự như ví dụ trên. Ta thấy kết quả tính toán
với<i>X =</i>100 là một số dương rất nhỏ. Do đó chọn đáp án
giới hạn bằng 0.

<b>Câu 4</b>

<b>Chọn B. </b>

<i>Cách 1: Ta có </i>lim lim( 1) ₄2 ₂2
1
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
+
= −
+ −

( ) (2 )

4 2

1 2 2

lim
1
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
− +
=
+ −
3 2
4 2

2 2 2 2

lim

1

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

− − +

=

+ −
2 3 4

2 4

2 2 2 2

lim ₁ ₁ 0.

1

<i>n n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

− − +

= =

+ −

<i>Cách 2: Sử dụng MTCT. Nhập vào như </i>
màn hình bên. Bấm CALC, nhập ₁₀10_{. Ấn phím = được kết}

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>Câu 5: </b>
<b>Chọn A. </b>

<i>Cách 1: Đặt </i> 1 1 ....

₍

1

₎

1.2 2.3 1

<i>A</i>

<i>n n</i>

= + + +

+

1 1 1 1 1

1 ...

2 2 3 <i>n n</i> 1

= − + − + + −
+

1

1

1
<i>n</i>
= −

+

<i>Cách 2: Sử dụng MTCT. Nhập vào như màn hình bên.</i>
Bấm CALC, nhập 1010. Ấn phím =
được kết quả là một số dương rất nhỏ
nên chọn đáp án B.

<b>Câu 6: </b>
<b>Chọn B.</b>

<i>Cách 1: </i> 2 2 2

cos 2

1 1 1

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

− ≤ ≤

+ + +

Ta có l ₂ lim 1. 1 ₂ 0

1 1 1

im

/
<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

− = − =

+ + ;

2 ₁

im 0

l −<i>_nn</i> =

+

⇒

2 2

cos 2 cos 2

lim 0 lim 5 5

1 1

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

   

⇒ _ _= ⇒ _ − _=

+ +

    _.

<i>Cách 2: Sử dụng MTCT. Nhập vào </i>
như màn hình bên. Bấm CALC,
nhập ₁₀9_{. Ấn phím = được kết}
quả là một số dương rất nhỏ nên chọn đáp án B.

<b>Hoạt động 4: Tổng kết tiết học</b>

GV tổng kết kiến thức
đã luyện tập trong tiết
học và đề nghị 3 nhóm
học sinh chuẩn bị bài
học tiếp theo.

3. Kết luận

Trong dạy học bộ mơn Tốn học nói chung và ở nhà trường THPT nói riêng, dạy học
phân hóa đã trở thành một cơng cụ hữu ích cho GV nhằm nâng cao kết quả dạy học. Nó

khơng chỉ giúp GV nhận diện được các đối tượng học sinh để thiết kế những bài giảng phù
hợp với từng đối tượng mà còn giúp học sinh phát triển tư duy tốt do tiếp nhận kiến thức
phù hợp với năng lực. Bên cạnh đó, để duy trì được hiệu quả của việc Dạy học phân hóa,

( ) lim 1 lim 1 0

1

1 ₁

lim <i>un</i> 1 <i>_n</i>

<i>n</i>
<i>n</i>

⇒ = − = − =

+  ₊ 

 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

người GV cần phải thường xuyên khảo sát lại để có những điều chỉnh tốt nhất cho q trình
giảng dạy.

Có thể nói,việc dạy học phân hóa là việc cần thiết đối với mỗi một giáo viên. Theo đó,
việc dạy học phân hóa trong chủ đề Giới hạn giúp các em học sinh lớp 11 có được kiến thức
nền tảng vững chắc về chủ đề này để áp dụng trong tương lai. Chúng ta có thể sử dụng quy
trình trên để thiết kế các bài giảng ở các chủ đề khác nhau trong bộ mơn tốn học ở phổ

thông và tiến hành dạy học phân hóa theo các bài giảng đã được thiết kế.

Tài liệu tham khảo

<i>1. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2015), Dự thảo chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể, tháng </i>
8/2015.

<i>2. Jenifer Fox – Whitney Hoffman (2011), The Diferentiated Instruction Book of lit, Published </i>
by Jossey – Bass, A Wiley Imprint, 989 Market Street, San Francisco.

<i>3. Nguyễn Bá Kim (2006), Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB Giáo dục.</i>

</div>

<!--links-->