Phương pháp tương tác lưu chất và kết cấu phân tích hiện tượng vẫy

1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA
VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
I. TÊN ĐỀ TÀI:
PHƯƠNG PHÁP TƯƠNG TÁC LƯU CHẤT VÀ KẾT CẤU - PHÂN TÍCH HIỆN
TƯỢNG VẪY
NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
 Nghiên cứu cơ sở lý thuyết của phương pháp biên nhúng (IBM) và chương trình
tính tốn khí động học DFMIBM.
 Nghiên cứu phương pháp và giải thuật kết nối chương trình ABAQUS với
DFMIBM.
 Các trường hợp kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính tốn tương tác lưu chất
và kết cấu.
II. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 21/01/2013
III. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 20/12/2013
IV. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN:

Tiến sĩ PHẠM MINH VƯƠNG
Tp. HCM, ngày........ tháng........năm 2014

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO

(Họ tên và chữ kí)

(Họ tên và chữ kí)

TS. PHẠM MINH VƯƠNG

TS. VŨ CƠNG HỊA

TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
(Họ tên và chữ kí)


2

LỜI CÁM ƠN
Trước hết, tôi xin chân thành cám ơn công ty DFM-engineering đã hỗ trợ và tạo
điều kiện trong q trình nghiên cứu. Đặc biệt, tơi cũng vơ cùng biết ơn người
hướng dẫn của tôi là Tiến sĩ Phạm Minh Vương về sự giúp đỡ nhiệt tình cũng như
những lời khun rất bổ ích. Tơi cũng muốn cám ơn tất cả mọi người trong công ty
DFM-engineering đã ủng hộ và giúp đỡ trong quá trình nghiên cứu. Bên cạnh đó,
tơi muốn cám ơn đến Tiến sĩ Frédéric Plourde và Tiến sĩ Lê Thị Tuyết Nhung đã
cung cấp tài liệu quý giá cũng như định hướng nghiên cứu trong đề tài này.
Tiếp theo tôi muốn cám ơn đến các thầy cô trong khoa Khoa Học Ứng Dụng, Đại
Học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh về những kiến thức mà tơi đã học được
trong q trình học chương trình cao học tại đây. Những kiến thức đó khơng chỉ
giúp tơi hồn thành tốt luận văn này mà cịn giúp ích công việc của tôi sau này.
Cuối cùng, tôi muốn cám ơn đến gia đình của tơi. Khơng có sự hỗ trợ, động viên
và giúp đỡ của mọi người trong gia đình thì tơi sẽ khơng thể nào hồn thành tốt luận

văn này. Xin chân thành cám ơn tất cả mọi người.

Tp. HCM, ngày

tháng

năm 2014

Tác giả luận văn

ĐÀO DUY TRƯỜNG


3

TĨM TẮT
Nghiên cứu này trình bày một phương pháp mới để mô phỏng tương tác lưu chất
và kết cấu biến đổi theo thời gian. Trong đó, một chương trình giải bài toán kết cấu
bằng phần tử hữu hạn sẽ được kết nối với một chương trình giải bài tốn khí động
học bằng sai phân hữu hạn. Chương trình tính tốn khí động học được tích hợp
phương pháp biên nhúng thay vì sử dụng phương pháp tạo lưới theo biên dạng. Bài
toán động học kết cấu được giải bằng phương pháp ẩn và giải thuật trao đổi dữ liệu
giữa hai chương trình là phương pháp phân chia. Trong luận văn này, hai trường
hợp kiểm tra độ chính xác của phương pháp được trình bày bao gồm kết cấu dầm
cơng xơn và kết cấu ống trụ-tấm. Tất cả các kết quả sẽ được so sánh với số liệu thực
nghiệm và các phương pháp giải số khác.
Từ khóa: Tương tác lưu chất kết cấu, phần tử hữu hạn, thể tích hữu hạn,động học
kết cấu, hiện tượng flutter, phương pháp biên nhúng.
ABSTRACT
This study presents a new numerical approach of time-dependent fluid-structure

coupling using a finite element structural solver and a finite difference aerodynamic
solver. In this approach, an Immerged Boundary Method formulation is used
instead of using body-fitted mesh as interface between fluid and solid. As a result, a
reference system can be defined following the moving boundaries while the
structure is deformed. The structure solution is dynamic implicit solver and the
general algorithm for transferring data between two codes is partitioned approach.
In this thesis, two test cases of beam and cylinder-beam are presented in order to
validate the numerical scheme. The results obtained are in line with previous
experimental and numerical finding.
Keywords: Fluid-structure interaction, Finite volume, Finite element, Dynamic
implicit, Flutter, Immersed Boundary Method.


4

LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan rằng tất cả những nội dung được nêu trong phần đóng góp khoa học
của luận văn này là của chính tơi và chưa từng được cơng bố trong bất kỳ
một cơng trình nghiên cứu của một tác giả nào khác; các ý tưởng tham khảo và các
trích dẫn từ kết quả nghiên cứu cơng bố trong các cơng trình khác đều được nêu rõ
trong luận văn. Các kết quả mô phỏng và thực nghiệm được trình bày trong luận
văn này đều được phản ánh một cách trung thực. Các chương trình phần mềm đều
do tơi thực hiện.

Tp. HCM, ngày

tháng

năm 2014

Tác giả luận văn

ĐÀO DUY TRƯỜNG


5

MỤC LỤC
NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ ....................................................................... 1
LỜI CÁM ƠN ...................................................................................................... 2
TÓM TẮT ............................................................................................................ 3
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................. 4
MỤC LỤC........................................................................................................... 5
DANH SÁCH BẢNG ........................................................................................... 8
DANH SÁCH HÌNH ẢNH ................................................................................... 9
Chương 1: Giới Thiệu ...................................................................................... 11
1.1. Tổng quan ............................................................................................. 11
1.2. Tương tác lưu chất kết cấu và phương pháp biên nhúng........................ 12
1.3. Mục tiêu nghiên cứu .............................................................................. 13
Chương 2: Lý thuyết của tương tác lưu chất và kết cấu .................................. 15
2.1

Các phương trình kết cấu ...................................................................... 15

2.2

Các phương trình dịng và khái niệm trong phương pháp IBM .............. 18

2.3.1

Các phương trình dịng ................................................................... 18

2.3.2

Một số khái niệm trong phương pháp IBM...................................... 19

2.3

Lý thuyết phương pháp IBM .................................................................. 19

2.3.1

Các phương trình liên quan ............................................................ 19

2.3.2

Phương pháp IBM phần tử ảo ........................................................ 20

2.3.3

Điều kiện biên Dirichlet.................................................................. 21

2.3.4

Điều kiện biên Neumann ................................................................. 24

2.4

Phương pháp mô phỏng tương tác lưu chất và kết cấu .......................... 25

2.2.1

Phương pháp nguyên khối .............................................................. 26


6
2.2.2

Phương pháp phân chia .................................................................. 26

Chương 3: Kết nối ABAQUS với chương trình DFM-IBM ............................. 28
3.1

Lập trình tương tác với phần mềm ABAQUS ......................................... 28

3.1.1

ABAQUS/CAE và ABAQUS Scripting Interface .............................. 28

3.1.2

Lập trình tương tác với phần mềm ABAQUS .................................. 29

3.2.2.1

Hàm tính tải trọng DLOAD ......................................................... 30

3.2.2.2

Hàm quản lí dữ liệu URDFIL ...................................................... 30

3.2

Giải thuật trao đổi dữ liệu ..................................................................... 31

3.2.1

Trao đổi tọa độ lưới từ ABAQUS đến chương trình tính tốn CFD . 31

3.2.2

Truyền lực từ chương trình tính tốn CFD đến ABAQUS ............... 32

3.2.3

Vận tốc trên biên của kết cấu trong miền lưu chất .......................... 33

3.3

Giải thuật chính kết nối ABAQUS và chương trình tính tốn CFD ........ 34

Chương 4: Bài tốn kiểm tra 1......................................................................... 37
4.1

Mục tiêu ................................................................................................ 37

4.2

Mơ tả bài toán ....................................................................................... 37

4.3

Thiết lập bài toán .................................................................................. 39

4.4

Kết quả ................................................................................................. 39

Chương 5 Bài toán kiểm tra 2 .......................................................................... 44
5.1

Giới thiệu .............................................................................................. 44

5.2

Định nghĩa ............................................................................................ 44

5.2.1

Tính chất của dịng lưu chất ........................................................... 45

5.2.2

Tính chất của kết cấu ...................................................................... 45

5.2.3

Điều kiện tương tác ........................................................................ 46

5.2.4

Định nghĩa miền lưu chất ............................................................... 46


7
5.2.5
5.3

Điều kiện biên ................................................................................ 47

Các kết quả mô phỏng ........................................................................... 48

5.3.1

Tính tốn và mơ phỏng CFD .......................................................... 48

5.3.2

Kiểm tra và tính tốn động học kết cấu (CSD) ................................ 51

5.3.3

Tính tốn và kiểm tra tương tác lưu chất kết cấu (FSI) ................... 53

Chương 6: Kết luận .......................................................................................... 60
DANH MỤC CƠNG TRÌNH CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ .................................. 62
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................. 63


8

DANH SÁCH BẢNG
Bảng 4.1: Tổng quan thơng số hình học của bài tốn kiểm tra 1................................ 37
Bảng 4.2: Tính chất vật liệu của kết cấu .................................................................... 38
Bảng 5.1: Tổng quan thơng số hình học của bài tốn kiểm tra 2................................ 47
Bảng 5.2: Các thông số thiết lập cho bài kiểm tra CFD ............................................. 48
Bảng 5.3: So sánh kết quả của trường hợp CFD........................................................ 49
Bảng 5.4: Các thông số trong bài toán CSD .............................................................. 51
Bảng 5.5: So sánh kết quả của trường hợp CSD1 ...................................................... 52
Bảng 5.6: So sánh kết quả của trường hợp CSD2 ...................................................... 52
Bảng 5.7: Các thông số thiết lập cho bài kiểm tra FSI ............................................... 54


9
DANH SÁCH HÌNH ẢNH
Hình 1.1: Hai phương pháp tạo lưới khác nhau......................................................... 13
Hình 2.1: Vị trí của các loại điểm trong phương pháp IBM ....................................... 19
Hình 2.2: Phương pháp giảm bất ổn định số. ............................................................ 22
Hình 2.3: Sơ đồ xác định các biến dòng tại điểm ảo G trong miền ba chiều. ............. 24
Hình 2.4: Sơ đồ phương pháp nguyên khối và phương pháp phân chia ..................... 27
Hình 2.5: Phân loại một số phần mềm giải bài toán FSI ............................................ 27
Hình 3.1: ABAQUS/CAE và ABAQUS Scripting Interface ......................................... 29
Hình 3.2: Biểu diễn lực bề mặt của hàm DLOAD ...................................................... 30
Hình 3.3: Lưới tứ giác trên bề mặt kết cấu ............................................................... 31
Hình 3.4: Lưới ở biên kết cấu trong chương trình tính tốn CFD .............................. 32
Hình 3.5: Trao đổi dữ liệu giữa hai tọa độ lưới ......................................................... 32
Hình 3.6: Áp lực trên bề mặt kết cấu trong hai chương trình tính tốn CFD và
ABAQUS ............................................................................................................. 33
Hình 3.7: Áp lực ban đầu và áp lực được quy đổi trên một phần tử ........................... 33
Hình 3.8: Vận tốc tại biên kết cấu trong miền lưu chất .............................................. 34

Hình 3.9: Sơ đồ giải thuật chính kết nối hai chương trình tính tốn CFD và CSD ..... 36
Hình 4.1: Tổng quan hình học trong bài tốn kiểm tra 1 ........................................... 38
Hình 4.2: Lưới của 2 miền lưu chất và kết cấu trong bài toán kiểm tra 1 ................... 39
Hình 4.3: So sánh chuyển vị của dầm tại ρ=1.0 kg/m3 và Re=200 giữa kết quả của
Slone và cơng việc hiện tại .................................................................................. 40
Hình 4.4: So sánh chuyển vị của dầm tại ρ=10.0 kg/m3 và Re=200 giữa kết quả của
Slone và cơng việc hiện tại .................................................................................. 41
Hình 4.5: So sánh chuyển vị của dầm tại ρ=10 kg/m3 với 3 hệ số nhớt khác nhau ..... 41


10
Hình 4.6: Sự phân bố của vận tốc qua một mặt cắt XY .............................................. 42
Hình 4.7: Sự phân bố của vận tốc qua một mặt cắt YZ tại 75% chiều dài của dầm .... 42
Hình 5.1: Kích thước tổng thể miền tính .................................................................... 46
Hình 5.2: Kích thước chi tiết của kết cấu ................................................................... 47
Hình 5.3: Điều kiện biên của miền lưu chất ............................................................... 47
Hình 5.4: Điều kiện biên của miền kết cấu................................................................. 48
Hình 5.5: Biểu đồ lực nâng và lực cản trong tính tốn CFD ...................................... 49
Hình 5.6: Phân bố vận tốc (m/s) tại 4 thời điểm trong một chu kì 2π ......................... 50
Hình 5.7: Dịng xốy tại 4 thời điểm trong một chu kì 2π .......................................... 51
Hình 5.8: So sánh kết quả của trường hợp CSD3 giữa ABAQUS và Turek ................ 53
Hình 5.9: So sánh kết quả của chuyển vị trường hợp FSI.......................................... 55
Hình 5.10: So sánh kết quả lực nâng và lực cản của trường hợp FSI ......................... 56
Hình 5.11: Phân bố áp lực tại 4 thời điểm khác nhau trong một chu kì dao động 2π . 57
Hình 5.12: Phân bố vận tốc (m/s) tại 4 thời điểm khác nhau trong một chu kì dao
động 2π ............................................................................................................... 58
Hình 5.13: Dịng xốy tại 4 thời điểm khác nhau trong một chu kì dao động 2π ........ 59


11

Chương 1
Giới thiệu
Trong chương này, tổng quan về tương tác lưu chất và kết cấu sẽ được giới thiệu.
Trong đó bao gồm các nghiên cứu đã được công bố và tình hình nghiên cứu phát
triển của lĩnh vực này. Bên cạnh đó, tổng quan về tương tác lưu chất kết cấu kết hợp
với phương pháp biên nhúng cũng được giới thiệu. Cuối cùng là mục tiêu nghiên
cứu cũng như các kết quả đạt được trong nghiên cứu này.
1.1. Tổng quan
Hiện tượng tương tác giữa lưu chất và kết cấu (FSI) là kết quả của tương tác giữa
những môi trường liên tục. Lực của lưu chất (khí hoặc chất lỏng) tác dụng trên biên
của kết cấu đàn hồi. Kết cấu này sẽ bị biến dạng và ảnh hưởng đến dòng lưu chất.
FSI có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như: hiện tượng
flutter trên máy bay, turbine, dòng nước trong ống, máu trong các van tim,
v.v…Việc thiếu kiến thức về FSI đã gây ra những tại nạn cực kì nghiêm trọng trong
quá khứ (sự sụp đổ của cây cầu Tay ở Scotland năm 1897, cũng như cây cầu nổi
tiếng Tacoma gần Seattle năm 1948, và tòa nhà cooling ở Anh năm 1965). Một thời
gian sau những sự cố đó, các nhà khoa học đã phát hiện ra nguyên nhân của những
sự cố đó là do hiện tượng flutter. Và hiện tượng này cũng là nội dung được nghiên
cứu và trình bày trong luận văn này.
Với sự phát triển vượt bậc của công nghệ thông tin trong những năm gần đây,
nhiều nghiên cứu và nhiều ứng dụng về tính tốn số đa mơi trường đã được các nhà


12
khoa học xây dựng và phát triển. Với nhiều nghiên cứu ứng dụng trong nhiều lĩnh
vực như: nghiên cứu sự bồi lấp của Mucha [1], khí động học của Haase [2], dòng
rối của Kaligzin [3], dòng phức tạp qua những vật thể bất quy tắc của Fadlun [4],
điện từ trường, cơ sinh học, tương tác máu và tim [5], v.v…Bên cạnh các nghiên
cứu đó, một số cơng ty cũng đã phát triển những phần mềm đa chức năng về tính

tốn đa mơi trường như: giải bài tốn trong cùng một bộ giải (MSC Dytran,
ADINA, ANSYS, v.v…), giải bài tốn thơng qua những bộ giải riêng biệt (MPCCI
coupling library). Ngoài ra, một số mã nguồn mở với những chức năng hạn chế
cũng có thể giải bài tốn tương tác như: OpenFoam, Elmer.
1.2. Tương tác lưu chất kết cấu và phương pháp biên nhúng
Một trong những nhân tố quan trọng nhất của việc tính tốn FSI là giải thuật lưới
động cho chương trình tính tốn động học lưu chất (CFD). Giải thuật này sẽ làm
cho biên của lưu chất di chuyển đến một vị trí mới để đáp ứng theo biến dạng của
kết cấu. Nhiều nghiên cứu về giải lưới động đã được sử dụng cho những vấn đề về
CFD như: sơ đồ Arbitrary Lagrangian Eulerian (ALE), phương pháp tiếp cận spacetime, phương pháp biên nhúng (phương pháp IBM). Trong đó, rất nhiều nghiên cứu
và phần mềm đã phát triển dựa trên phương pháp ALE. Nhưng trong nghiên cứu
này, tôi áp dụng phương pháp IBM cho giải thuật lưới động, và nó sẽ được tích hợp
vào một chương trình tính tốn CFD. Phương pháp IBM được xây dựng bởi nhà
khoa học Peskin năm 1972, phương pháp này ban đầu dùng để mô phỏng sự di
chuyển của máu trong những van tim. Trong mơ phỏng đó, chỉ có một hệ trục tọa
độ lưới Đề Các được sử dụng, và lưới không cần thiết tuân theo hình học biên dạng
của tim. Trong các bài toán về CFD, chúng ta thường phải đối mặt với những hình
học rất phức tạp. Khi đó sử dụng những phương pháp như: sai phân hữu hạn hay thể
tích hữu hạn để giải sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Do đó phương pháp IBM được đề
xuất như một kỹ thuật để tính tốn và mơ phỏng những giá trị xung quanh bề mặt
phức tạp như: vận tốc, áp lực, nhiệt độ, v.v…Ngoài ra, phương pháp IBM sử dụng
lưới Đề Các cố định nên không mất nhiều thời gian tạo lưới so với những phương


13
pháp tạo lưới theo biên dạng. Hình 1.1 chỉ ra sự khác biệt giữa phương pháp IBM
và những phương pháp tạo lưới theo biên dạng (body-fitted).

Biên

Phương pháp tạo lưới theo
biên dạng

Biên

Phương pháp IB

Hình 1.1: Hai phương pháp tạo lưới khác nhau
Phương pháp IBM giải những phương trình lưu chất với một khái niệm bổ sung
là lực FSI, lực này thể hiện ảnh hưởng của biên nhúng tác động lên sự chuyển động
của lưu chất. Lực FSI được tính tốn động từ thiết lập của kết cấu, sau đó được sử
dụng để tính tốn vận tốc của dịng. Điều kiện khơng trượt được đặt lên biên nhúng,
đó cũng là nơi sẽ được cập nhật bởi vận tốc của kết cấu. Những phương trình dịng
sẽ được giải trên tồn miền lưu chất với lưới cố định Eulerian. Sự thuận lợi của
phương pháp IBM là hiệu quả tính tốn trong một miền phức tạp. Một số nghiên
cứu FSI dựa trên phương pháp IBM đã được xây dựng như: cải thiện độ chính xác
trên bề mặt tương tác của Lee và cộng sự [7], phương pháp Lagrange multiplier [8],
v.v…Ngoài ra, một trong những phần mềm tính tốn cơ học và kỹ thuật phổ biến
nhất là ANSYS cũng đã tích hợp mơ đun tính tốn FSI dựa trên phương pháp IBM
năm 2009.
1.3.

Mục tiêu nghiên cứu

Trong nghiên cứu này, tơi sẽ trình bày một mơ hình tính tốn FSI mới. Đó là giải
bài tốn FSI bằng cách kết hợp giữa phần mềm ABAQUS với chương trình DFMIBM (một chương trình để giải bài tốn khí động học, tích hợp phương pháp IBM,
và được phát triển bởi cơng ty DFM-Engineering Việt Nam). Chương trình tính
tốn CFD này ban đầu chỉ là một chương trình giải bài tốn cơ lưu chất. Nhiệm vụ

14
của nghiên cứu này là phải xây dựng thêm những mô đun về truyền lực, vận tốc
biên, và giải thuật để liên kết với phần mềm ABAQUS.
Trong phần kết cấu, tôi sử dụng phương pháp giải động ẩn để giải bài toán động
học kết cấu (CSD), với những bước thời gian cố định, và kiểm soát việc truyền dữ
liệu bằng những hàm được hỗ trợ trong ABAQUS. Tất cả chương trình để giải
CFD, chương trình chính FSI và hàm kiểm sốt dữ liệu đều được viết bằng ngơn
ngữ FORTRAN. Mục tiêu chính trong nghiên cứu này là thiết kế một giải thuật để
thành lập liên kết giữa ABAQUS và CFD code. Do đó tơi phải hồn thành nhiều
cơng việc để đạt được nhiệm vụ đề ra như: lý thuyết phương pháp IBM, nghiên cứu
CFD code, giải thuật lưới động, lực khí động, vận tốc biên và giải thuật tối ưu FSI.
Mục tiêu cuối cùng của nghiên cứu là khảo sát đặc tính dao động của những kết
cấu linh hoạt dưới tải trọng của lưu chất. Một trường hợp kiểm tra được thực hiện
để xác nhận độ chính xác của chương trình dựa trên kết quả của Slone [9,10]. Đó là
một bài toán cơ bản trong cơ học kết cấu, một dầm công xôn dưới tải trọng tại đầu
mút của dầm và được đặt trong miền lưu chất. Một trường hợp kiểm tra khác cũng
được thực hiện để mô phỏng hiện tượng flutter. Đó là kết quả số của Turek và các
cộng sự [11], một tiêu chuẩn phổ biến để kiểm định độ chính xác cho hầu hết các
chương trình tính tốn FSI. Trong thiết lập của bài tốn đó, một dòng chảy tầng qua
một đối tượng kết cấu đàn hồi, và sự dao động của nó sẽ thay đổi theo thời gian.


15

Chương 2

Lý thuyết của tương tác lưu chất và kết cấu

Trong chương này, các lý thuyết và phương trình được được sử dụng trong bài
toán tương tác lưu chất và kết cấu sẽ được trình bày. Trong đó, bao gồm các phương

trình giải bài tốn kết cấu, phương pháp ẩn và các phương trình giải bài tốn lưu
chất kết hợp phương pháp IBM. Ngoài ra, các lý thuyết về phương pháp trao đổi dữ
liệu trong bài toán tương tác cũng sẽ được trình bày.
2.1 Các phương trình kết cấu
Phương trình đáp ứng động của kết cấu có thể viết dưới dạng ma trận như sau:

Md  Cd  Kd  Fs (t ),

(2.1)

Trong đó, d là vector chuyển vị, M là ma trận khối lượng, K là ma trận độ cứng
và Fs(t) là vector tải trọng định nghĩa từ đáp ứng Fs =Fext + Fint. Theo nội dung của
tương tác lưu chất và kết cấu, vector tải ngoại lực Fext là lực tác động của dòng lưu
chất lên biên của kết cấu và một số ngoại lực tác động khác. Fint là nội lực bên trong
của kết cấu.
Trong nghiên cứu này, tôi sử dụng phương pháp ẩn để giải bài toán đáp ứng động
lực học kết cấu. Toán tử ẩn được tích hợp trong phần mềm ABAQUS bao gồm tốn
tử được định nghĩa bởi Hilber, Hughes, Taylor [12] và toán tử Euler ngược chiều.


16
Tốn tử Hilber, Hughes, Taylor được khái qt hóa từ toán tử Newmark với việc
kiểm soát độ giảm chấn. Toán tử này thay thế phương trình cân bằng thực bằng
phương trình cân bằng lực d'Alembert tại cuối mổi bước thời gian và trung bình lực
tĩnh tại đầu và cuối mổi bước thời gian như phương trình 2.2 [13].

ü |

+ (1 + )(I |

∆

Trong đó, L |

∆

∆

−P |

∆

) − (I | − P | ) + L |

∆

=0

(2.2)
là tổng của tất cả các lực Lagrange liên kết với bậc tự do N.

Định nghĩa tốn tử được hồn tất bởi cơng thức Newmark cho tích phân của chuyển
vị và vận tốc:
|

∆

= | +∆

và

với

̇|

∆

̇|

∆

+∆

̈| +

−

= ̇ | + ∆ ((1 − ) ̈ | +

= (1 −

),

= −

̈|

à − ≤

̈|
∆

∆

(2.3)

)

(2.4)

≤0

(2.5)

Hilber, Hughes, Taylor đã trình bày những lập luận thuyết phục về việc sử dụng
phương trình 2.2-2.4 dành cho những vấn đề động học kết cấu. Mục tiêu chính của
tốn tử này là kiểm soát giảm chấn số, giảm chấn gia tăng chậm tại những tần số
thấp và gia tăng nhanh tại những tần số cao. Lượng giảm chấn được cung cấp bởi hệ
số : với

= 0, thì giảm chấn bằng 0 và tốn tử là quy tắc hình thang (Newmark,

= 1/4); trong khi

= −1/3, giảm chấn là đáng kể.

Toán tử Euler giải phương trình 2.1 tại cuối mổi bước thời gian và cập nhật
chuyển vị và vận tốc sử dụng các phương trình 2.6&2.7:

|

∆

= | + ∆ ̇|

∆

(2.6)

̇|

∆

= ̇| + ∆ ̈|

∆

(2.7)

Bước thời gian cho vấn đề đáp ứng động trong ABAQUS được dựa trên giải
thuật thặng dư, được đề xuất lần đầu bởi Hibbitt and Karlsson. Giải thuật này dựa
trên giả thiết rằng gia tốc biến thiên tuyến tính theo khoảng một thời gian (đây là lý
thuyết cơ bản của công thức Newmark), thành phần chuyển vị tại nút :
̈ | = (1 − ) ̈ | +

̈|

∆

0≤

≤1

(2.8)


17
Công thức Newmark bây giờ được viết cho khoảng thời gian từ t đến + ∆t :
∆ | =
̇| =
̈| =
Trong đó: ∆ |

∆

∆ |
∆

+ (1 −

∆

)∆ ̇ | +

∆ | + 1+
∆ | −

∆

= |

∆

(1 − )

̇| + 1 −

∆

̇| + 1 −

∆

̈|

(2.9)

∆ ̈|

(2.10)

̈|

(2.11)

− | là chuyển vị đạt được trong khoảng thời gian

∆t
Với những phương trình này, nó có thể xác định được thặng dư cân bằng tại bất
kì bước thời gian nào. Thặng dư này tại cuối bước thời gian là:
|

∆

ü |

=

+ (1 + )(I |

∆

∆

−P |

∆

) − (I | − P | ) +
L | ∆ (2.12)

Và thặng dư tại đầu của bước thời gian:
̈ | + (1 + )( | −

| =

| )− ( |

−

| )+

|

(2.13)

-

Trong đó, t là điểm bắt đầu thời gian của bước trước đó.
Thặng dư tại + ∆t/2 được định nghĩa như phương trình 2.14 :
|

∆ ⁄

Trong đó, I |

≝

∆ ⁄

ü |

+ (1 + ) I | ∆ ⁄ − P |
P | +I | −P | )+L | ∆ ⁄
∆ ⁄

∆ ⁄

−

(I | −

(2.14)

được tính cho điều kiện tại + ∆t/2 là :
L |

∆ ⁄

≝

(L |

∆

)+L |

(2.15)

Động cơ thúc đẩy việc tính tốn theo giải thuật thặng dư là cung cấp độ chính
xác của giải pháp cho một bước thời gian được đưa ra. Thặng dư là thông số cơ bản
của sơ đồ số gia theo thời gian. Nếu thặng dư này nhỏ thì nó chỉ ra rằng độ chính
xác của giải pháp tính tốn là cao và khi đó bước thời gian có thể được gia tăng một
cách an tồn; ngược lại, nếu tính tốn thặng dư cho thấy giải pháp tính tốn thơ thì
bước thời gian được sử dụng trong bài toán nên được giảm xuống. Điều này là rất
quan trọng để quan sát và đánh giá sự hội tụ cũng như độ chính xác của bài tốn.
Việc nghiên cứu giải thuật của phương pháp ẩn là cần thiết để có thể biết được các
bước thời gian. Từ đó can thiệp và điều khiển chương trình ABAQUS.


18
2.2 Các phương trình dịng và khái niệm trong phương pháp IBM

2.3.1 Các phương trình dịng
Trong nghiên cứu này, tơi phát triển chương trình tính tốn CFD, một chương
trình dùng để giải phương trình Navier-Stoke sử dụng phương pháp IBM. Vì vậy,
việc nghiên cứu phương pháp này để hiểu chương trình tính tốn CFD là cần thiết,
cũng như cách thức để kết hợp nó với phần mềm ABAQUS.
Phương pháp IBM dựa trên lưới tọa độ Đề Các, và liên quan đến phương pháp
sai phân hữu hạn. Một trong những thuận lợi của lưới tọa đồ Đề Các là không mất
nhiều thời gian tạo lưới. Ngoài ra, nhiều phần mềm được phát triển để hỗ trợ
phương pháp lưới tọa độ Đề Các như: Poisson, Clawpack, Armclawpack.
Những phương trình cho dịng nén và dịng khơng nén [14,15].
Phương trình liên tục:

D
 .u  0
Dt

(2.16)

Phương trình bảo tồn mơ men:
Du
 p  f   g  .
Dt
Phương trình bảo tồn năng lượng:



DT
Dp
 q m  .T   T
 .u

Dt
Dt
Phương trình trạng thái khí lí tưởng:

cp

p   RT ,

(2.17)

(2.18)

(2.19)

Trong đó,  là khối lượng riêng của lưu chất, u là vector vận tốc, p là áp suất, g
là gia tốc trọng trường, f là ngoại lực,  là tensor nhớt, c p là nhiệt dung riêng tại
hằng số áp lực, T là nhiệt độ, q m là nguồn nhiệt trên đơn vị khối lượng,  là hệ số
truyền nhiệt,   

1   
1
là hệ số giãn nở nhiệt,  
dành cho khí lí


  T  pconst
T

tưởng, t là thời gian và R là hằng số khí lí tưởng.

19
2.3.2 Một số khái niệm trong phương pháp IBM
Để hiểu rõ hơn phương pháp IBM, những định nghĩa được yêu cầu bao gồm:
điểm marker, điểm forcing và điểm ghost-cell được thể hiện trong hình 2.1.
 Điểm marker là những điểm mà được xây dựng từ bề mặt biên của kết cấu,
phương pháp IBM cần những điểm marker để nội suy ra bề mặt hình học là nơi mà
dịng lưu chất sẽ đi qua.
 Điểm forcing là những điểm nằm gần bề mặt hình học, nó chính là những
điểm của miền lưu chất nhưng giá trị của chúng khơng được tính tốn. Những điểm
này chỉ có nhiệm vụ xác định biên của miền kết cấu.
 Điểm ghost-cell là những điểm của miền kết cấu. Bởi vì những điểm này là
điểm ảo nên chúng được gọi là điểm ghost-cell. Nếu chúng ta có một bề mặt kết
cấu thì những điểm bên trong bề mặt này được gọi là điểm ghost-cell. Giá trị của
những điểm này dựa trên sự rời rạc hóa của điểm forcing. Sự phân biệt ba điểm
marker, forcing và ghost-cell được thể hiện trong hình 2.1
FLUID
LƯU
CHẤT

SOLID
KẾT CẤU

Marker
particles
Điểm maker
Forcing
point
Điểm forcing
Điểmpoint

lưu chất
Fluid
Solid
Điểmpoint
ghost-cell

S

Hình 2.1: Vị trí của các loại điểm trong phương pháp IBM
2.3 Lý thuyết phương pháp IBM
2.3.1 Các phương trình liên quan


20
Các phương trình được xây dựng từ định luật bảo toàn khối lượng và moment
[22]. Một khái niệm lực biên fi được thêm vào phương trình moment.
u j
x j
u j
t

 0,



Fij
x j

(2.20)

 fi ,

(2.21)

 u u j
i

 x
 j x j

Fij  u iu j  P  ij  


.



Trong đó, P là áp lực được suy ra bởi khối lượng riêng của dịng ρ, ν=µ/ρ0 là độ
nhớt động học. Lực biên fi được tính tốn thơng qua phương pháp phần tử ảo sẽ
được trình bày bên dưới và chỉ được tác động tại biên.
2.3.2 Phương pháp IBM dựa trên phần tử ảo
Lực dịng phụ thuộc vào vị trí trong miền lưu chất và vận tốc của dòng, do đó nó
là một hàm phụ thuộc thời gian. Tại vị trí điểm forcing xi khơng trùng với các điểm
lưới nhưng lực dòng phải được ngoại suy đến các điểm này. Lực fi là bằng không
bên trong miền lưu chất và khác khơng trong vùng các phần tử ảo. Phương trình
2.21 được rời rạc như sau [22]:

u in 1  u in
 RHS i  f i ,
t

(2.22)

Trong đó, RHSi chứa các định nghĩa về đối lưu, độ nhớt và građiên áp lực. Điều
kiện biên có thể là kiểu Dirichlet hoặc Neumann được trình bày bên dưới.
Phương pháp này ngoại suy vận tốc V i n 1 và áp lực đến các phần tử ảo dự trên
các điểm lưu chất và các thiết lập điều kiện biên. Nếu uin 1 =V i n 1 theo điều kiện
biên nhúng, ta đạt được lực biên fi như phương trình 2.23.


21

f i  RHS i 

V n 1  u n
.
t

(2.23)

Lực này sinh ra điều kiện cần thiết để thỏa mãn tại mổi bước thời gian.
Phương trình 2.23 đúng với cả trường hợp những điểm không trùng với biên;
điều này yêu cầu biên phải nằm trên đường hoặc mặt. Nhiều kỹ thuật khác nhau đã
được phát triển và chúng có thể được chia làm hai nhóm: (a) sơ đồ hàm lực vượt ra
khỏi mặt biên và (b) sơ đồ xây dựng cục bộ dựa trên các giá trị tại biên. Thực ra, hai
phương pháp là tương đương nhau. Sơ đồ phương pháp số của phương pháp phần tử
ảo được thực hiện như sau :
 Định nghĩa lớp biên và xác định các phần tử ảo liền kề.
 Ngoại suy để tìm giá trị của các phần tử ảo.
 Tính tốn trường vận tốc.

 Giải phương trình áp lực Poisson để thỏa mãn phương trình liên tục.
 Cập nhật trường vận tốc uin 1 đến bước thời gian kế tiếp.
Sau mổi bước giải, chương trình sẽ xác định một mặt giao và nó sẽ chia ra hai
miền tính tốn : miền lưu chất và miền ảo. Như vậy, một miền lưu chất đã được xác
định mà không phải tạo lưới theo biên.
2.3.3 Điều kiện biên Dirichlet
Các biến dòng cục bộ (ϕ) sẽ được định nghĩa trong một đa thức và sử dụng nó để
tính tốn giá trị tại các điểm ảo. Độ chính xác phụ thuộc vào bậc của đa thức. Mặc
dù đa thức bậc cao là chính xác hơn nhưng chúng cũng sinh ra những vấn đề bất ổn
định số. Giá trị của ϕ tại những điểm bên trong bề mặt biên đạt được bằng ngoại suy
từ những giá trị gần đó. Hai phương pháp tiếp cận tuyến tính và bậc hai được xem
xét [22].
a) Đa thức tuyến tính:
Phương pháp đơn giản nhất trong miền hai chiều là xây dựng một tam giác với
một nút ẩn và hai nút lưu chất. Điều này làm giảm xác suất bất ổn định số. Trong


22
hình 2.2b, G là nút ảo, X1 và X2 là hai nút lưu chất lân cận và O là nút tại điều kiện
biên. Một nội suy tuyến tính trong miền hai chiều là:
ϕ=a0+a1x+a2y

(2.24)

Giá trị điềm ảo là sự kết hợp giá trị tại các nút (X1, X2 và O). Những hệ số có thể
được phát biểu trong phạm vi các giá trị nút.
a=B-1 ϕ,

(2.25)

Trong đó, B là ma trận 3x3 chứa những phần tử có thể được tính từ tọa độ của ba
điểm. Khi đó vận tốc tại biên được xác định.

1 x0
B  1 x1
1 x2

y0 
y1  .
y2 

(2.26)

a) Biểu
đồ shost-cell
a) Biểu
đồ phầnsử
tử dụng
ảo sửphương
dụng
pháp ảnh
phương pháp ảnh

Biểuđồ
đồtạo
tạothêm
điểmđiểm
ảo G’ảo G'
b) Biểu

Hình 2.2: Phương pháp giảm bất ổn định số.
Giá trị tuyệt đối tại những điểm ảo lớn hơn những giá trị điểm lưu chất và giải
pháp sẽ không hội tụ. Hai phương pháp được sử dụng để bù đắp những hạn chế lẫn
nhau. Đầu tiên là sử dụng ảnh của điểm ảo bên trong miền lưu chất để đảm bảo
những trọng số dương. Điểm I là ảnh của điểm ảo G thơng qua biên như hình 2.2.


23
Các biến dòng được xác định tại các điểm ảnh sử dụng sơ đồ nội suy. Giá trị tại
điểm ảo là ϕG=2 ϕO- ϕI .
Từ khi biên được xấp xỉ tuyến tính từng phần, độ chính xác hầu như khơng bị
ảnh hưởng khi biên được chia làm hai phần như hình 2.2. Phương pháp này có thể
đạt được độ chính xác bậc hai trong việc giải phương trình Poisson trên miền bất
quy tắc. Biên tuyến tính ban đầu được thể hiện như đường chấm gạch trong hình
2.2. Điều này đảm bảo rằng các trọng số âm sẽ không xảy ra.
b) Đa thức bậc hai:
Hầu hết những bộ giải cơ lưu chất với thể tích hữu hạn độ chính xác bậc hai đều
giả thiết rằng biến phân bậc hai của những biến dòng là gần thành cứng. Trong miền
hai chiều, nếu những biến dòng được giả thiết để thay đổi theo hai hướng x và y thì
giá trị ϕ được biểu thị như sau:
ϕ=a0+a1x+a2y+a3x2+a4xy+a5y2

(2.27)

Sáu hằng số được giả thiết trong đa thức được xác định từ năm nút lưu chất lân
cận và một nút trên thành cứng. Ma trận B trong phương trình 2.25 được thay thế
bởi ma trận 6×6.

1


1
B
...

1

x0

y0

x02

x0 y0

x0
...
x5

y1
...
y5

x12
...
x52

x1 y1
...
x5 y5

y02 

y12 
... 

y52 

(2.28)

Những giá trị nút ảo cũng được ngoại suy hoặc ước lượng sử dụng một điểm ảnh.
Chu trình xây dựng là tương tự như đa thức tuyến tính. Đối với miền ba chiều,
chúng ta cần hiệu chỉnh sơ đồ nội suy trong phương trình 2.24 và 2.27. Nhiều nút
lân cận hơn được sử dụng so với xây dựng tuyến tính, biến ở tâm phần tử được nội
suy sử dụng bốn điểm (ba nút lân cận gần nhất và một điểm biên). Việc chứng minh
đối với kích thước ba chiều được thể hiện trong hình 2.3. Các chấm đen thể hiện ba
nút lân cận tương ứng với điểm biên O.


24

Hình 2.3: Sơ đồ xác định các biến dịng tại điểm ảo G trong miền ba chiều.
Đối với việc xây dựng đa thức bậc hai, 10 điểm (9 điểm lân cận) là cần thiết. Chu
trình giải pháp được mơ tả như ở trên. Một hệ tuyến tính 4×4 sẽ được giải cho đa
thức tuyến tính và một hệ 10×10 sẽ giải cho đa thức bậc hai.
2.3.4 Điều kiện biên Neumann
Phương pháp này tính tốn vận tốc biên sử dụng những điểm lân cận. Với sơ đồ
xây dựng đa thức, không có phương trình nào được giải trên phần tử ảo. Trong
phương pháp điều kiện biên Dirichlet đã mô tả lưới Đề Các khơng song song. Một
sơ đồ tương tự có thể được sử dụng cho điều kiện biên Neumann. Chỉ khác nhau là
việc xây dựng ma trận B trong phương trình 2.25. Điều này làm cho phương pháp

này ứng dụng được trong những điều kiện biên đa dạng [22].
Điều kiện biên áp lực u cầu đạo hàm vng góc với thành cứng tại biên là bằng
khơng.

P
0
n 
Đạo hàm vng góc trên biên có thể được suy biến như sau:

(2.29)


25
P P
P

nˆ x 
nˆ y ,
n n
n

(2.30)

Trong đó nˆ x và nˆ y là những thành phần vector đơn vị vng góc với biên. Từ khi

nˆ x và nˆ y được biết đến, việc tính tốn građiên vng góc tại một điểm bất kì là đơn
giản hơn. Với đa thức tuyến tính yêu cầu hai nút lưu chất và một nút biên. Điều kiện
Neumann tại nút biên được lưu trong phần tử đầu tiên của ϕ của phương trình 2.25
và những biến dòng được biết trên hai nút lưu chất được lưu trong phần tử thứ hai
và thứ ba của ϕ . Việc xây dựng đa thức tuyến tính yêu cầu năm nút lưu chất và một

nút biên.
a) Đa thức tuyến tính

0  sin(0 ) cos(0 ) 
B  1
x1
y1  ,
1
x2
y2 
Trong đó 0 là độ dốc cục bộ tại nút biên.
b) Đa thức bậc hai
 0  sin( 0 ) cos( 0 ) 2sin( 0 ) x0
1
x1
y1
x12

B
...
...
...
...

x5
y5
x52
1

cos( 0 ) x0  sin( 0 ) y0

x1 y1
...
x5 y5

2cos( 0 ) y0 

y12
.

...

y52


Cuối cùng những hệ số có thể đạt được một cách hệ thống từ hai phương pháp:

 a0  P0 / n 
a   P

 1 1
,
...  ...

  

 am   Pm


(2.31)

Trong đó, m là 2 cho đa thức tuyến tính và 5 cho đa thức bậc hai. P0 / n là điều
kiện biên Neumann dành cho áp lực và Pm là trường áp lực lân cận.
2.4 Phương pháp mô phỏng tương tác lưu chất và kết cấu
FSI là một vấn đề phức tạp để giải theo những phương pháp lý thuyết, vì vậy nó
phải được phân tích bằng mơ phỏng phương pháp số. Hai phương pháp tiếp cận