Thông tin tóm tắt về những đóng góp mới của luận văn thạc sĩ: Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ.

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (864.13 KB, 68 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC 
 VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ 
---

Nguyễn Văn Quyết

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN

CHO BƯỚC ĐI NGẪU NHIÊN CĨ TRÍ NHỚ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC 
 VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ 
---

Nguyễn Văn Quyết

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN

CHO BƯỚC ĐI NGẪU NHIÊN CĨ TRÍ NHỚ

Chun ngành: Tốn giải tích 
Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TSKH. ĐỒN THÁI SƠN

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Tơi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tịi, học hỏi của
bản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy Đồn Thái Sơn và thầy Cấn Văn
Hảo. Mọi kết quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều
được trích dẫn cụ thể. Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại
bất kì một hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được cơng bố
trên bất kì một phương tiện nào. Tơi xin chịu trách nhiệm về những lời cam
đoan.

Hà Nội, tháng 10 năm 2020

Học viên

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tơi xin được tỏ lịng biết ơn sâu sắc nhất của mình tới PGS.TSKH.
Đồn Thái Sơn và TS. Cấn Văn Hảo, hai người thầy đã trực tiếp hướng dẫn
và giúp đỡ tơi tìm ra đề tài luận văn cũng như định hình hướng nghiên cứu.
Luận văn này được hồn thành dưới sự hướng dẫn tận tình trong một thời gian
dài của hai thầy. Các thầy đã luôn quan tâm, giúp đỡ, động viên tơi trong suốt
q trình học tập và nghiên cứu.

Tôi xin chân thành cảm ơn Trung tâm Quốc tế Đào tạo và Nghiên cứu Toán
học, Viện Toán học đã hỗ trợ tài chính giúp tơi hồn thành hai năm học thạc
sỹ. Bên cạnh đó, trong q trình học tập, nghiên cứu và thực hiện Luận văn,
tơi cịn nhận được nhiều sự quan tâm, góp ý, hỗ trợ quý báu của các thầy cô,
anh chị và bạn bè trong và ngồi Viện Tốn học.

Tơi cũng xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi về
môi trường học tập của nơi đào tạo là Viện Toán học và cơ sở đào tạo là Học
viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Cơng nghệ Việt
Nam trong suốt q trình thực hiện Luận văn này.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Danh mục các hình vẽ, đồ thị

Hình 3.1: Minh họa hai quá trình X và ˆX được xây dựng từ bước đi ngẫu
nhiên đơn giản Z và tập J với hai thời điểm reset t1, t2...40

Hình 3.2: Đồ thị so sánh kết quả của chúng ta và của bài báo [22]...54
Hình 3.3: Kết quả thực nghiệm dáng điệu của M√n

n và
Xn

√

n với n = 10

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Mục lục

Lời cam đoan 2

Lời cảm ơn 3

Danh mục các hình vẽ, đồ thị 4

Mục lục 6

Mở đầu 7

1 Giới thiệu 10

1.1 Sơ lược một số kết quả chính . . . 10

1.2 Kiến thức chuẩn bị . . . 14

1.2.1 Bước đi ngẫu nhiên dừng . . . 14

1.2.2 Quá trình tái tạo . . . 17

2 Bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ cố định 21
2.1 Mơ hình tốn học . . . 21

2.2 Các định lý giới hạn cho Mn và Xn . . . 25

2.2.1 Tính chất của τ và Kn . . . 25

2.2.2 Các định lý giới hạn cho Mn và Xn . . . 30

3 Bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ suy giảm 34
3.1 Một hiệu chỉnh của (Xn)n≥0 . . . 36

3.2 Dáng điệu tiệm cận của E[Xn] và E[Mn] . . . 40

3.2.1 Pha dưới 0 < a < 1 . . . 44

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

3.2.2 Điểm chuyển pha a = 1 . . . 48

3.2.3 Pha trên a > 1 . . . 55

Kết luận và kiến nghị 62

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

MỞ ĐẦU

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

ngẫu nhiên thường có thể bị rơi vào tắc nghẽn và nó thường phải khởi động
lại thuật toán [9]-[13]. Chiến lược bước đi dài có thể được mơ hình phụ thuộc
vào từng ứng dụng xác định [4], chẳng hạn quay lại Poissonian đến cấu hình
ban đầu, quay lại khơng Poissonian, hay quay lại sử dụng trí nhớ trong quá
khứ. Một phương thức bước đi dài quan trọng đó là quay lại một vị trí xác
định với một xác xuất hữu hạn. Khi ta tìm kiếm khơng thành cơng bởi bước
đi ngắn thì để tốt hơn ta nên khởi động lại quá trình hơn là tiếp tục. Sự ảnh
hưởng của phương thức quay lại ngẫu nhiên được nghiên cứu đa dạng trong
[14]-[17].

Mơ hình đơn giản của tìm kiếm Brownian với quay lại ngẫu nhiên đến vị
trí ban đầu được giới thiệu bởi Evans and Majumdar [19]. Sau đó nó được
mở rộng nghiên cứu theo nhiều cách khác nhau, với nhiều cách quay lại ngẫu
nhiên, đa dạng từ hệ đơn hạt cho đến hệ nhiều hạt. Ví dụ nó có thể quay lại
ngẫu nhiên đến vị trí nào đó tốt hơn vị trí ban đầu (có thể chọn ngẫu nhiên).

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

định khác 0 đến vị trí cực đại hoặc cực tiểu hiện tại. Tuy nhiên, động vật khi
già đi thường có trí nhớ suy giảm theo thời gian, nghĩa là xác suất chúng thăm
lại nơi từng đến sẽ giảm dần theo theo thời gian. Hiện tượng thú vị này yêu
cầu chúng ta cần đưa ra một nghiên cứu mới về mơ hình bước đi ngẫu nhiên

có trí nhớ có thể thay đổi theo thời gian. Đặc biệt, chúng ta cần quan tâm liệu
tốc độ suy giảm trí nhớ ảnh hưởng như thế nào đến hoạt động tìm kiếm này.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

GIỚI THIỆU

1.1 Sơ lược một số kết quả chính

Trong Luận văn này, chúng ta nghiên cứu về mơ hình bước ngẫu nhiên
có trí nhớ. Cụ thể ở Chương 2, chúng ta nghiên cứu mơ hình bước đi ngẫu
nhiên có trí nhớ trên Z1 được đề xuất trước đó vào năm 2015 [22]. Các tác giả
nghiên cứu mơ hình bước đi ngẫu nhiên mà người đi bộ đang khơng ở vị trí
cực đại thì có khả năng reset về vị trí cực đại với xác suất cố định r, sang trái
hoặc phải với cùng xác suất 1−r2 . Ngược lại khi đang ở vị trí cực đại, người đi
bộ chỉ bước sang trái hoặc phải với xác suất 12. Họ chỉ ra rằng khi 0 < r < 1
thì kì vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên vị trí Xn và của biến ngẫu

nhiên vị trí cực đại Mn tăng trưởng tuyến tính theo thời gian với tốc độ lần

lượt là các hằng số v(r) và D(r) (xem trong công thức (2.1.5),(2.1.6)):
v(r) = r(1 − r)

r − 2r2 +√2r − r2,

và

D(r) =
h

(2 − 2r − 5r2 + 3r3) + (2 − r − r2 + 2r3)pr(2 − r)
i

× (1 − r)r

pr(2 − r)[r − 2r2 +pr(2 − r)]3.

Bằng cách tiếp cận từ lý thuyết quá trình tái tạo, đầu tiên chúng ta kiểm chứng
lại ước lượng của kì vọng và phương sai, đồng thời từ đó xây dựng các định lý

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

giới hạn như luật mạnh của số lớn và định lý giới hạn trung tâm thông thường
cho cả Xn và Mn (cụ thể trong Định lý 2.2.1) ta có

Luật mạnh của số lớn và kỳ vọng:
Mn

h.c.c

−−→ v(r) và Xn
n

h.c.c

−−→ v(r),
khi n → ∞, và

lim

n→∞

E[Mn]

n = limn→∞

E[Xn]

n = v(r),
với v(r) cho bởi (2.1.5).

Định lý giới hạn trung tâm và phương sai:
Mn− µ0λn

√
n

−

→ N (0, D(r)) và Xn− µ

0λn

√
n

−

→ N (0, D(r)),
khi n → ∞ và

lim

n→∞

Var[Mn]

n = limn→∞

Var[Xn]

n = D(r),

với D(r) cho bởi (2.1.6).

Ở Chương 3 của Luận văn, ta nghiên cứu mơ hình bước đi ngẫu nhiên có
trí nhớ suy giảm theo thời gian. Lúc này ở thời điểm n, xác suất reset về vị trí
cực đại là rn = min{nra,

2}. Chúng ta chỉ ra rằng dáng điệu tiệm cận kì vọng

của các biến ngẫu nhiên vị trí và vị trí cực đại thay đổi theo giá trị của a. Cụ

thể, trong Định lý 3.0.1 ta có

Dáng điệu tiệm cận của E[Xn] và E[Mn]:

lim

n→∞

E[Xn]

ϕa(n)

= FX(a, r) và lim
n→∞

E[Mn]

ψa(n)

= FM(a, r).

Khi 0 < a < 1:

ϕa(n) = ψa(n) = n1−a/2,

và

FX(a, r) = FM(a, r) =

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Tại a = 1:

ϕa(n) = ψa(n) =

√
n ,
và

FX(a, r) = 2r2

r
2

πB(3/2, r),
và

FM(a, r) = (2r2 + r)

r
2

πB(3/2, r).
Khi a > 1:

ϕa(n) =















2−a khi 1 < a < 3
2,

log n khi a = 32,
1 khi a > 32,
và

ψa(n) =

√
n ,
và

FX(a, r) = λ2(a, r) − λ3(a, r) + λ4(a, r),

và

FM(a, r) = λ1(a, r) + λ5(a, r),

với λ1(a, r), λ2(a, r), . . . , λ5(a, r) là các hằng số trong Bổ đề 3.2.8.

Chúng ta thấy rằng khi 0 < a < 1, dáng điệu tiệm cận kì vọng của Mn và

Xn cùng cỡ, cùng hàm tỷ lệ. Nhưng tại a = 1, chúng cùng cỡ và khác hàm

tỷ lệ. Còn khi a > 1 dáng điệu tiệm cận của E[Xn] nhỏ hơn hẳn của E[Mn].

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

cận của các hàm tỷ lệ:

FM(a, r) ∼































pr

2 ∼ v(r) khi a = 0, r → 0,

pr

2 ∼ v(r) khi a → 0, r → 0,

π khi a = 1, r → 0,

π khi a → 1

+, r → 0,

√

2r khi a = 1, r → ∞,

√

2r khi a → 1−, r → ∞.
và

FX(a, r) =






0 khi a = 1, r → 0,
0 khi a → 1+, r → 0,

FX(a, r) ∼



















pr

2 ∼ v(r) khi a = 0, r → 0,

pr

2 ∼ v(r) khi a → 0, r → 0,

√

2r khi a = 1, r → ∞,

√

2r khi a → 1−, r → ∞.

Bây giờ ta thấy lại rằng trong trường hợp trí nhớ cố định 0 < r < 1,
D(r → 0) = 12. Từ đó suy ra phương sai của Mn và Xn cùng cỡ tuyến tính

nhưng khác hệ số tỷ lệ với trường hợp r = 0 (với hệ số tỷ lệ DM(0) = 1−2/π

và DX(0) = 1), nghĩa là r = 0 là một điểm kỳ dị. Trong bài báo [22], các

tác giả nghiên cứu sự chuyển pha tại điểm kỳ dị r = 0 này thơng qua một mơ
hình tương đương với trường hợp a = 1 và đưa ra các hàm tỷ lệ (xem công
thức (124),(132) của [22]):

FM(r) = lim
n→∞

E[M√ n]

n =

1
√

2r[(r + 1/2)erf(
√

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

và

FX(r) = lim
n→∞

E[X√ n]

n =

1
√

2r[(r − 1/2)erf(
√

r) +pr/π exp(−r)].
Trên đây hàm erf(z) = √2

0 exp(−u
2)du.

Dựa vào dáng điệu tiệm cận của các hàm tỷ lệ trên khi r → 0 và r → ∞
(xem công thức (125) và (133)), các tác giả suy ra các hàm tỷ lệ này nội suy
trơn giữa hai trường hợp rn = r = 0 và rn > 0, r → ∞. Từ nghiên cứu cách

tiếp cận của bài báo cùng các kết quả lý thuyết và thực nghiệm, chúng ta chỉ
ra rằng công thức tường minh của các hàm tỷ lệ trong bài báo đưa ra là chưa
chính xác (cụ thể trong Nhận xét 3.2.7). Bên cạnh đó, cơng thức tường minh
của FM(1, r) và FX(1, r) mà chúng ta xây dựng trong điểm chuyển pha a = 1

được nghiệm đúng bởi mô phỏng.

1.2 Kiến thức chuẩn bị

Trong phần này, chúng ta sẽ giới thiệu một số kiến thức và kết quả cơ
bản cần thiết về lý thuyết bước đi ngẫu nhiên và lý thuyết quá trình tái tạo.
Bên cạnh đó, một số tính chất cần thiết sẽ được sử dụng cho các kết quả ở
những chương tiếp theo cũng sẽ được đề cập đến.

1.2.1 Bước đi ngẫu nhiên dừng

Cho (Xk)k≥1 là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối (i.i.d.).

Chúng ta xét một bước ngẫu nhiên (Sn)n≥0 có gia số (Xk)k≥1 cho bởi S0 = 0

và Sn = Sn−1 + Xn với n ≥ 1.

Trước hết ta có một bổ đề về sự hội tụ của các dãy con ứng với các thời
điểm ngẫu nhiên của một dãy biến ngẫu nhiên hội tụ.

Bổ đề 1.2.1. Cho (Yn)n≥0 là một dãy biến ngẫu nhiên và (Nt)t≥0 là một

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

(i) Giả sử Yn
h.c.c

−−→ Y khi n → ∞ và Nt
h.c.c

−−→ ∞ khi t → ∞. Khi đó
thì

YNt

h.c.c

−−→ Y khi t → ∞.

(ii) Giả sử Yn
h.c.c

−−→ Y khi n → ∞ và Nt
p

−

→ ∞ khi t → ∞. Khi đó,

YNt

−

→ Y khi t → ∞.

Chứng minh. Với (i), ta đặt A = {ω : Yn(ω) 9 Y (ω)}, B = {ω : Nt(ω) 9

∞} and C = {ω : YNt(ω)(ω) 9 Y (ω)}. Khi đó, C ⊆ A ∪ B, và ta thu được

(i).

Để chứng minh (ii), ta sẽ chỉ ra rằng mỗi dãy con của (YNt)t≥0 có một

dãy con hội tụ hầu chắc chắn. Thật vậy, giả sử (Ntk)k≥0 là một dãy con của

(Nt)t≥0. Theo giả thiết ta có Ntk cũng hội tụ theo xác suất đến ∞. Do đó, tồn

tại một dãy con (Ntkj)j≥0 hội tụ hầu chắc chắn. Kết hợp điều này với giả thiết

Yn
h.c.c

−−→ Y khi n → ∞ và (i) suy ra YNtk

h.c.c

−−→ Y khi j → ∞. Do vậy ta kết
luận YNt

−

→ Y khi t → ∞.

Định lý 1.2.2. Xét bước ngẫu nhiên (Sn)n≥0 với gia số i.i.d. (Xk)k≥1. Giả sử

rằng Nt

h.c.c

−−→ ∞ khi t → ∞. Khi đó, nếu E[|X1|] < ∞ và E[X1] = µ, thì

SNt

Nt
h.c.c

−−→ µ khi t → ∞. (1.2.1)

Hơn thế nữa, nếu Nt

t
h.c.c

−−→ θ ∈ (0, ∞) khi t → ∞, thì
SNt

h.c.c

−−→ µθ khi t → ∞. (1.2.2)

Chứng minh. Bởi luật mạnh của số lớn và Bổ đề 1.2.1 ta có phần đầu chứng
minh. Biến đổi đại số, ta có phần thứ hai

SNt

t =

SNt àNt

ì Nt
t + à

h.c.c

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Tip theo, chỳng ta có định lí giới hạn trung tâm của bước ngẫu nhiên với
thời gian ngẫu nhiên.

Định lý 1.2.3. [[25], Định lý Anscombe]. Xét bước ngẫu nhiên (Sn)n≥0 với

gia số i.i.d. (Xk)k≥1. Giả sử rằng E[X] = 0 và Var[X] = σ2 ∈ (0, ∞). Xét

dãy thời điểm ngẫu nhiên (Nt)t≥0 thỏa mãn

−

→ θ khi t → ∞. (1.2.3)

Khi đó,

(i)

SNt

σ√Nt
d

−

→ N (0, 1) khi t → ∞, (1.2.4)

(ii)

SNt

σ√tθ

−

→ N (0, 1) khi t → ∞. (1.2.5)

Chúng ta gọi là N là một thời gian dừng đối với dãy tăng của các σ-đại

số (Fn)n≥1 (chẳng hạn Fn = σ(X1, X2, . . . , Xn), F0 = {∅, Ω}), nếu với mọi

n ≥ 1 thì

{N = n} ∈ Fn.

Bây giờ ta thu được các đẳng thức quan trọng cho moment bậc 1 và moment
bậc 2 của tổng dừng.

Định lý 1.2.4. [[29], Định lý 1.5.3]. Xét bước ngẫu nhiên (Sn)n≥0 với gia số

i.i.d. (Xk)k≥1. Nếu E[X1] = µ và E[N ] < ∞ thì

E[SN] = µE[N ]. (1.2.6)

Hơn nữa, nếu σ2 = Var[X1] < ∞ thì

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

1.2.2 Quá trình tái tạo

Xét bước ngẫu nhiên (Sn)n≥0 với gia số i.i.d. (Xk)k≥1. Nếu (Xi)i≥1 là các

biến ngẫu nhiên khơng âm, thì ta cũng gọi (Sn)n ≥ 0 là một quá trình tái tạo

(renewal process). Chúng ta đặt

Nt = max{n ≥ 1 : Sn ≤ t},

là số lần tái tạo của quá trình trong đoạn [0, t].

Bây giờ ta có một số kết quả cơ bản đầu tiên:

Khẳng định 1. [[29], Định lý 2.3.1]. Nếu X1 ≥ 0 và tồn tại a > 0 sao cho

P(X1 ≥ a) > 0 thì

(i) P(Nt < ∞) = 1 ;

(ii) E[Ntr] < ∞ với mọi r > 0 ;

(iii) Tồn tại s0 > 0 thỏa mãn E[esNt] < ∞ với mọi s < s0.

Một mối liên hệ quan trọng mà một số chứng minh sẽ sử dụng đó là quan
hệ ngược giữa q trình tái tạo và quá trình đếm,

{Nt ≥ n} = {Sn ≤ t}.

Tuy nhiên, Nt không phải là một thời gian dừng (stopping time). Thay vào

đó, chúng ta có thể xét dãy thời gian vượt đầu tiên (νt)t≥0 (first passage time

process), định nghĩa bởi

νt = min{n : Sn > t}.

Khi đó, νt là một thời gian dừng với mọi t > 0. Ngoài ra,

νt = Nt + 1,

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Bây giờ chúng ta sẽ giới thiệu đến các định lý giới hạn quan trọng như luật

mạnh của số lớn, định lý giới hạn trung tâm của cho quá trình đếm tái tạo.
Các định lý này được đưa ra bởi Doob (1948), Feller (1941) và Hatori (1959),
Smith (1954).

Đầu tiên, chúng ta nhận xét rằng khi t → ∞,
Nt

h.c.c

−−→ ∞, νt
h.c.c

−−→ ∞.

Định lý 1.2.5. [Luật mạnh của số lớn cho quá trình đếm]. Giả sử 0 < µ =

E[X1] < ∞. Khi đó, khi t → ∞,

(i)

h.c.c

−−→ 1

µ, (1.2.8)

(ii) và với mọi r > 0,

E
Nt

t
r

→ 1

µr. (1.2.9)

Chứng minh. Bởi định nghĩa, ta có

SNt ≤ t < Sνt

và

SNt

≤ t
Nt

< Sνt

νt

Nt + 1

Sử dụng Định lý 1.2.2, ta chứng minh được cả chặn trên và chặn dưới của Nt

đều hội tụ hầu chắc chắn đến µ khi t → ∞, điều này suy ra
t

Nt
h.c.c

−−→ µ.
Để chứng minh (ii), chúng ta sẽ chỉ ra Nt

t≥1 là khả tích đều với mọi

r > 0. Hơn nữa, νt = Nt + 1, và do đó, ta cần chỉ ra

nνt
t

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Ta sẽ chứng minh tính chất cộng tính dưới của quá trình (νt)t≥1. Trước hết, ta

thấy để đạt được mức (t + s) thì phải đạt đến mức t. Khi điều này hồn thành
thì q trình bắt đầu làm lại. Vì Sνt > t nên khoảng cách cịn lại cần đi nhiều

nhất là s, do vậy thời gian cần đi bị chặn bởi biến ngẫu nhiên đồng phân phối
với νs. Nghĩa là,

νt+s ≤ νt+ min{k − νt : Sk − Sνt > s}

= νt + ν

với νs0 cùng phân phối với νs.

Bây giờ với n ≥ 1 là số nguyên bất kỳ. Bởi lập luận đệ quy chúng ta có
νn ≤ ν1,1 + . . . + ν1,n,

với (ν1,k)k≥1 là đồng phân phối với ν1. Kết hợp với bất đẳng thức Minkowski

thu được

kνnkr ≤ nkν1kr.

Cuối cùng bởi νt ≤ ν[t]+1 nên ta có với mọi t ≥ 1,

νt

t ≤ 2

ν[t]+1

[t] + 1,
và do vậy

kνt

t kr ≤ 2k

ν[t]+1

[t] + 1kr ≤ 2kν1kr < ∞.
Do đó, νt

t≥1 là họ khả tích đều với mọi p < r. Bởi r là bất kì, dương

nên ta suy ra (1.2.10) và (ii).

Nhận xét 1.2.6. Trong chứng minh trên ta sử dụng tính chất nếu một họ biến

ngẫu nhiên bị chặn theo Lp với 1 < p < ∞ thì họ biến ngẫu nhiên đó là khả
tích đều.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Định lý 1.2.7. [[29], Định lý 2.5.2]. Giả sử rằng 0 < µ = E[X1] < ∞ và

σ2 = Var[X1] < ∞. Khi đó, khi t → ∞,

(i)

Nt− t/µ

pσ2t/µ3
d

−

→ N (0, 1),

(ii)

E[Nt] =

t
µ + o(

√
t),
Var[Nt]

t =

σ2t

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

CHƯƠNG 2

BƯỚC ĐI NGẪU NHIÊN CĨ TRÍ NHỚ

CỐ ĐỊNH

Bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ cố định (cụ thể hơn, nó có khả năng reset
đến vị trí cực đại với xác xuất cố định) là một kiểu mơ hình xác suất có trí nhớ
được đề xuất năm 2015 bởi Satya N. Majumdar, S. Sabhapandit và G. Schehr
[22]. Kết quả chính của bài báo là dáng điệu tiệm cận của kì vọng và phương
sai của vị trí và vị trí cực đại thơng qua phương pháp hàm sinh. Trong chương
này, chúng tôi sẽ đưa ra một cách tiếp cận mới, có hệ thống nhằm hướng đến
đạt được các kết quả về một số định lý giới hạn. Cụ thể, ở phần đầu, chúng
tôi sẽ đưa ra một cách viết lại mơ hình sử dụng q trình tái tạo. Ở phần tiếp
theo, sử dụng các kết quả và kĩ thuật cổ điển cho quá trình tái tạo, chúng ta
thu được các định lí giới hạn cho bước ngẫu nhiên có trí nhớ cố định này.

2.1 MƠ HÌNH TOÁN HỌC

Chúng ta xem xét một người đi bộ bước đi trên lưới Z1, xuất phát từ vị
trí ban đầu tại gốc 0. Gọi biến ngẫu nhiên Xn định nghĩa vị trí của người đi

bộ ở bước n và biến ngẫu nhiên Mn định nghĩa vị trí cực đại cho tới bước thứ

n, nghĩa là:

Mn = max{X0, X1, . . . Xn}.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Vị trí Xn theo thời gian thông qua luật ngẫu nhiên sau. Ở bước n nếu vị trí

Xn của người đi bộ nhỏ hơn hẳn vị trí cực đại Mn, thì ở bước tiếp theo, người

đi bộ đang ở vị trí hiện tại có thể reset (quay lại) về vị trí cực đại với xác suất
r cố định. Với xác suất (1 − r) còn lại, người đi bộ có thể bước sang trái hoặc
phải với xác suất 1−r2 như nhau. Ngược lại nếu Xn = Mn thì người đi bộ bước

sang trái hoặc sang phải với xác suất 12 như nhau. Luật tiến hóa ngẫu nhiên
này có thể mơ tả như sau:

nếu Xn < Mn thì

(Xn+1, Mn+1) =














(Xn + 1, Mn), với xác suất (1 − r)/2,

(Xn − 1, Mn), với xác suất (1 − r)/2,

(Mn, Mn), với xác suất r

và ngược lại Xn = Mn thì

(Xn+1, Mn+1) =






(Mn + 1, Mn + 1), với xác suất 1/2,

(Mn − 1, Mn), với xác suất 1/2.

Đầu tiên, chúng ta thấy rằng (Xn)n≥0 không phải là một q trình Markov

bởi luật tiến hóa của nó sử dụng trí nhớ về quá khứ (vị trí cực đại mà nó từng
đạt được). Tuy nhiên (Xn, Mn)n≥0 là một quá trình Markov trong mặt phẳng

hai chiều (X, M ). Các tác giả trong [22] đã sử dụng ý tưởng chìa khóa này
để tìm hiểu các tính chất của mơ hình. Cụ thể, bởi phương pháp hàm sinh và
các kỹ thuật giải tích phức tạp, họ tìm ra dáng diệu tiệm cận của kì vọng và
phương sai của Xn và Mn:

khi r = 0 (nghĩa là trường hợp bước đi ngẫu nhiên đơn giản thơng thường)
thì

E[Xn] = 0, E[Mn] ∼

r
2n

π ; (2.1.1)

V ar[Xn] = n, V ar[Mn] ∼

1 − 2

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

và khi r ∈ (0, 1),

E[Xn] ∼ E[Mn] ∼ v(r)n ; (2.1.3)

Var[Xn] ∼ Var[Mn] ∼ D(r)n, (2.1.4)

với an ∼ bn nghĩa là

→ 1 khi n → ∞, ở đó v(r), D(r) > 0 có cơng thức

tường minh theo r trong phương trình (6) and (10) ở [22] như sau:

v(r) = r(1 − r)

r − 2r2 +√2r − r2, (2.1.5)

D(r) =
h

(2 − 2r − 5r2 + 3r3) + (2 − r − r2 + 2r3)pr(2 − r)
i

× (1 − r)r

pr(2 − r)[r − 2r2 +pr(2 − r)]3. (2.1.6)

Trong trường hợp khi r = 0, dáng điệu tiệm cận của các đặc trưng về kì
vọng và phương sai của vị trí cực đại đã được nghiên cứu hoàn chỉnh [31],
[32], [33]. Trong chương này chúng ta chỉ quan tâm đến trường hợp không
tầm thường 0 < r < 1 và r không thay đổi theo thời gian .

Mặc dù (Xn, Mn)n≥0 là một quá trình Markov nhưng trong mặt phẳng hai

chiều nên sử dụng phương pháp hàm sinh trực tiếp, các tính tốn vẫn rất phức
tạp. Ta quan sát rằng nếu đặt Yn = Mn − Xn thì (Yn)n≥0 là một bước ngẫu

nhiên trên Z≥0 = {0, 1, . . .} bắt đầu từ 0, với luật tiến hóa như dưới đây:

nếu Yn > 0 thì

(Yn+1) =














Yn+ 1, với xác suất (1 − r)/2,

Yn− 1, với xác suất (1 − r)/2,

0, với xác suất r.
và nếu Yn = 0 thì

Yn+1 =






</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Như vậy, (Yn)n≥0 bước sang trái hoặc sang phải với xác suất (1−r)2 và reset lại

về 0 với xác suất r. Khi Yn = 0 thì nó vẫn ở lại 0 với xác suất 12 hoặc bước tới

1 với xác suất cũng là 12.

Quan sát chìa khóa của chúng ta đó là Mi+1 = Mi + 1 nếu Yi = Yi+1 = 0

và Mi+1 = Mi nếu ngược lại. Nói một cách khác, Mn đếm số hai lần bằng 0

liên tiếp của dãy (Yn)n≥0, hay là

Mn =
n−1

i=0

I(Yi = Yi+1 = 0).

Xuất phát từ điều này ta gọi (Ti)i≥0 là dãy của thời gian dừng với T0 = 0 và

với mọi i ≥ 1,

Ti = inf{j ≥ Ti−1 + 1 : Yj = 0}.

Do đó (Ti)i≥0 là một quá trình tái tạo và Ti là thời gian tái tạo thứ i và ta viết

lại Mn như sau:

Mn =
Kn

i=0

I(Yi = Yi+1 = 0),

với

Kn = max{i : Ti ≤ n}.

Hơn nữa, ta định nghĩa khoảng thời gian tái tạo như sau, với mọi i ≥ 1,
τi = Ti− Ti−1.

Rõ ràng (τi)i≥1 là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối (i.i.d.) với

τ = T1 = inf{i ≥ 1 : Yi = 0}

và ta thu được

Mn =
Kn

i=1

I(τi = 1),

với

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

2.2 CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN CHO Mn VÀ Xn

Mục tiêu chính của phần này là chứng minh định lý sau đây:

Định lý 2.2.1. [Các định lý giới hạn cho Mn và Xn]

(i) Luật mạnh của số lớn và kỳ vọng
Mn

h.c.c

−−→ v(r), Xn
n

h.c.c

−−→ v(r),
khi n → ∞, và

lim

n→∞

E[Mn]

n = limn→∞

E[Xn]

n = v(r),
với v(r) cho bởi(2.1.5).

(ii) Định lý giới hạn trung tâm và phương sai
Mn− µ0λn

√
n

−

→ N (0, D(r)), Xn− µ

0λn

√
n

−

→ N (0, D(r)),
khi n → ∞, và

lim

n→∞

Var[Mn]

n = limn→∞

Var[Xn]

n = D(r),

với D(r) cho bởi (2.1.6).

Định lý 2.2.1 sẽ được chứng minh trong phần 2.2.2. Trước hết ta cần nghiên
cứu một số tính chất của các ngẫu nhiên τ và Kn.

2.2.1 Tính chất của τ và Kn

Bổ đề 2.2.2. Với k ≥ 1, ta có

P(τ > k) = 1

2(1 − r)

k−1

P(T1,0 > k − 1), (2.2.7)

ở đó, T1,0 = inf{i ≥ 1 : Zi = 0} là thời gian chạm 0 đầu tiên của bước đi

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Từ đó, ta thu được hàm sinh của τ ,

K(s) := E[sτ] = s + s − 1
1 − r

1 −√1 − a2

(a +√1 − a2 − 1), (2.2.8)

với a = (1 − r)s.

Chứng minh. Trước hết, ta có

{τ > k} = {Y1 = 1, Y2 6= 0, . . . , Yk 6= 0}.

Ta xét

Ak = {Y1 = 1} ∩ {(Yi)i≥2 không reset tại các thời điểm i = 2, . . . , k}.

(2.2.9)
Khi đó,

P(Ak) =

2(1 − r)

k−1.

(2.2.10)
Hơn nữa,

P(τ > k | Ak) = P(Y2 6= 0, . . . , Yk 6= 0 | Ak)

= P(Z1 6= 0, . . . , Zk−1 6= 0 | Z0 = 1). (2.2.11)

Thật vậy, với mỗi bước 2 ≤ i ≤ k, ta thấy

P(Yi = Yi−1± 1 | Yi−1 6= 0 ; i không là điểm reset) =

(1 − r)/2
1 − r =

1
2.
Hay nói cách khác, nếu Yi−1 6= 0 và nếu i khơng là điểm reset thì bước tiếp

theo Yi đi lên hoặc đi xuống theo xác suất 1/2 như bước đi ngẫu nhiên đơn

giản. Do đó ta có phương trình (2.2.11). Kết hợp (2.2.9) và (2.2.11) ta thu
được khẳng định đầu tiên của Bổ đề.

Để tính hàm sinh của τ , ta nhận xét rằng

K(s) = E[sτ] =

∞

k=0

P(τ = k)sk
=

∞

k=1

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

∞

k=1

P(τ > k − 1)sk−

∞

k=1

P(τ > k)sk
= s

∞

k=0

P(τ > k)sk −

∞

k=1

P(τ > k)sk
= s + (s − 1)

∞

k=1

P(τ > k)sk
= s + s(s − 1)

∞

k=0

(1 − r)kP(T1,0 > k)sk

= s + s(s − 1)

2 (1 +

∞

k=1

(1 − r)kP(T1,0 > k)sk).

Theo [37], hàm sinh của T1,0 là

F (s) = E[sT1,0] =

∞

k=0

P(T1,0 = k)sk =

1 −√1 − s2

s ,

từ đó suy ra

∞

k=1

P(T1,0 > k)sk =

F (s) − 1
s − 1 ,
và vì vậy

∞

k=1

P(T1,0 > k)ak =

F (a) − 1
a − 1 ,
với a = (1 − r)s. Cuối cùng ta có hàm sinh

K(s) = s + s(s − 1)
2

1 + F (a) − 1
a − 1

= s + s − 1
(1 − r)

1 −√1 − a2 − a

2(a − 1)
= s + s − 1

(1 − r)

(1 −√1 − a2 − a)(a +√1 − a2 − 1)

2(a − 1)(1 −√1 − a2)

× 1 −

√

1 − a2

(a + √1 − a2 − 1)

= s + s − 1
1 − r

1 −√1 − a2

(a +√1 − a2 − 1), (2.2.12)

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Hệ quả 2.2.3. Khi r ∈ (0, 1), chúng ta có

E[τ ] = 1
2v(r),
với v(r) như trong(2.1.5), và

E[τ2] = E[τ ] + 2

(1 − r)
√

2r − r2 √2r − r2 − r
−1 −p2r − r2

√

2r − r2 + r − 1

√

2r − r2(√2r − r2 − r)2

Chứng minh. Đầu tiên ta có đạo hàm bậc nhất của K(s)

K0(s) = 1 + (1 − r)(s − 1)s

p1 − (1 − r)2s2 p1 − (1 − r)2s2 + (1 − r)s − 1

+ 1 −p1 − (1 − r)

2s2

(1 − r) p1 − (1 − r)2s2 + (1 − r)s − 1

−

(s − 1)

− (1 − r)

2s

p1 − (1 − r)2s2 − r + 1

1 −p1 − (1 − r)2s2

(1 − r) p1 − (1 − r)2s2 + (1 − r)s − 12 ,
và do đó

E[τ ] = K0(1) = 1 −
√

2r − r2

(1 − r)(√2r − r2 − r) + 1

= (1 −

√

2r − r2)(√2r − r2 + r)

(1 − r)(√2r − r2 − r)(√2r − r2 + r) + 1

= r(1 − 2r) +
√

2r − r2

2r(1 − r) =

2v(r). (2.2.13)

Tương tự, chúng ta cũng tính moment bậc hai của τ bởi
E[τ2] = d

sK0(s)

s=1

= K0(1) + K00(1)

= E[τ ] + K00(1), (2.2.14)
với

K00(1) = 2

(1 − r)
√

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

−1 −p2r − r2

√

2r − r2 + r − 1

√

2r − r2(√2r − r2 − r)2

.
Từ đó, ta thu được cơng thức cho E[τ2] như trong phát biểu của Hệ quả.

Các định lý giới hạn như luật mạnh của số lớn và định lý giới hạn trung tâm
của quá trình đếm (Kn)n≥1 được nghiên cứu tường minh trước đó, ta có thể

tìm trong một số tài liệu như khóa học trong [38]. Đặc biệt trong cuốn sách
Stopped Random Walk: Limit Theorems and Applications [29] của Allan Gut
tổng kết nhiều kết quả quan trọng về bước đi ngẫu nhiên và quá trình tái tạo.
Các kết quả này đã được giới thiệu trong phần kiến thức chuẩn bị của Chương
1.

Sử dụng lần lượt Định lý 1.2.5 và Định lý 1.2.7 chúng ta có tương ứng
luật mạnh của số lớn và định lý giới hạn trung tâm cho quá trình đếm tái tạo
(Kn)n≥0 sau đây:

Định lý 2.2.4. [Các định lý giới hạn cho Kn]. Ta đặt

λ := 1
E[τ ]

= 2v(r), στ2 = Var[τ ].
(i) Luật mạnh của số lớn

h.c.c

−−→ λ khi n → ∞. (2.2.15)

(ii) Dáng điệu tiệm cận của kì vọng

E[Kn] = nλ + o(

√

n). (2.2.16)

(iii) Định lý giới hạn trung tâm
Kn − nλ

pσ2
τλ3n

−

→ N (0, 1) khi n → ∞. (2.2.17)

(iv) Dáng điệu tiệm cận của phương sai

lim

n→∞

Var[Kn]

n =

στ2

(E(τ ))3 = σ
2
τλ

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

2.2.2 Các định lý giới hạn cho Mnvà Xn

Trong phần này, chúng ta sẽ chứng minh Định lý 2.2.1.

I. Luật số lớn và kì vọng của Mn. Trước hết, ta nhớ lại rằng,

Mn =
Kn

i=1

I(τi = 1),

với (τi)i≥1 là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với τ (như trong

Bổ đề 2.2.2) và Kn = max{i ≥ 1 : τ1 + . . . + τi ≤ n}.

Áp dụng Định lý 1.2.2 cho bước đi ngẫu nhiên (Mi)(i≥0) với dãy gia số

ngẫu nhiên i.i.d (I(τi = 1))i≥1 thỏa mãn

E[I(τi = 1)] = P(τ = 1) = µ0 =

1
2
và dãy thời gian Kn thỏa mãn

h.c.c

−−→ λ = 2v(r) khi n → ∞,
bởi Định lí 2.2.4, ta thu được luật mạnh của số lớn cho Mn

lim

n→∞

n = limn→∞

PKn

i=1I(τi = 1)

n = µ

0λ = v(r) h.c.c.

(2.2.19)
Để thu được dáng điệu tiệm cận của kì vọng của Mn, chúng ta áp dụng

Định lý 1.2.4 (chú ý E[Kn] là hữu hạn với mỗi n hữu hạn) và thu được

E[Mn] = µ0E[Kn]. (2.2.20)

Kết hợp với (2.2.16) ta có

lim

n→∞

E[Mn]

n = µ

0 lim
n→∞

E[Kn]

n = µ

0λ = v(r).

(2.2.21)

II. Định lí giới hạn trung tâm và phương sai của Mn.

Bởi phần trước, chúng ta biết rằng E[Mn] = (µ0λ + o(1))n. Chúng ta thực

hiện biến đổi

Mn− µ0λn

√

n =

Mn− µ0λ

PKn

i=1τi

√

n + µ

0λ

PKn

i=1√τi − n

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

PKn

i=1Vi

√

n + µ

0λTK√n − n

n
= SKn

√

n + µ

0λTKn − n

√

n ,

với

SKn =

i=1

Vi và Vi = I(τi = 1) − µ0λτi. (2.2.22)

Ta thấy (Vi)i≥1 là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối (i.i.d.) với

V = I(τ = 1) − µ0λτ . Ta dễ dàng tính được
E[Vi] = E[V ] = 0,

và

Var[Vi] = Var[V ] = E[V2] = E[(I(τ = 1) − µ0λτ )2]

= (µ0)2λ2E[τ2] − 2µ0λE[τ I(τ = 1)] + E[(I(τ = 1))2]
= (µ0)2λ2E[τ2] − 2(µ0)2λ + µ0.

Thay µ0 = 12, λ = 1

E[τ ] = 2v(r) và sử dụng Hệ quả 2.2.3 cùng các tính tốn

đại số, chúng ta thu được

λVar[V ] = D(r), (2.2.23)

với D(r) là hằng số trong (2.1.6). Bởi Định lý 1.2.3 (ii) ta có
SKn

pVar[V ]nλ

−

→ N (0, 1),
điều này tương đương với

S√Kn

−

→ N (0, D(r)). (2.2.24)

Bổ đề 2.2.5. Chúng ta có

sup

n≥1 E[Y
4

n] ≤ sup
n≥1 E

(TKn − n)

4 < ∞.

(2.2.25)
Do đó, khi n → ∞,

TK√n − n

h.c.c

−−→ 0, √Yn
n

h.c.c

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Chứng minh. Trước hết, vì 0 ≤ Yn ≤ n − TKn nên chúng ta chỉ cần chứng

minh các khẳng định cho dãy n − TKn. Theo định nghĩa của Kn, ta thấy với

mọi k ≥ 1,

P(n − TKn ≥ k) ≤ P(TKn+1 − TKn ≥ k) = P(τKn+1 ≥ k)

= P(τ ≥ k).
Do đó, bởi Bổ đề 2.2.2,

E[(n − TKn)

] ≤ E[τ4] ≤ 16 +X

k≥1

(k + 1)4P(τ > k)
≤ 16 +X

k≥1

(k + 1)4(1 − r)k =: C < ∞.
Vì vậy, với mọi ε > 0, bởi bất đẳng thức Markov

P n − T√ Kn

n ≥ ε

≤ E[(n − TKn)

4]

ε4n2 ≤

C
ε4n2 ,

và do đó,

n≥1

P n − T√ Kn

n ≥ ε

< ∞.

Từ đó, sử dụng Bổ đề Borel-Cantelli ta thu được điều phải chứng minh.
Kết hợp (2.2.24) và bổ đề trên ta suy ra định lý giới hạn trung tâm cho Mn:

khi n → ∞,

Mn− µ0λn

√

n =

SKn

√

n + µ

0λTKn − n

√
n

−

→ N (0, D(r)). (2.2.27)
Bây giờ, chúng ta xem xét dáng điệu tiệm cận phương sai của Mn. Trước

hết, ta khẳng định rằng dãy biến ngẫu nhiên
Mn − µ0λn

√
n

n≥1

là khả tích đều. (2.2.28)
Thật vậy, đặt νn = min{s : Ts > n}. Khi đó, νn là dãy thời gian dừng và

νn = Kn + 1. Do đó, chúng ta có

Mn− µ0λn

√
n

= Sνn

√
n −

Vνn

√

n − µ

λn − TKn

√
n

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Bởi Định lý 1.6.2 hoặc Định lý 1.6.3 trong [29] về tính khả tích đều và Định
lý 1.2.5, ta suy ra dãy

SKn

√
n

n≥1

là khả tích đều.

Dãy Vνn

√

n≥1

là khả tích đều do moment bậc 4 của Vνn bị chặn và dãy

n − TKn

√
n

n≥1

là khả tích đều vì moment bậc 4 của (n − TKn) bị chặn (Bổ

đề 2.2.5). Sử dụng định lý về sự bị chặn của dãy khả tích đều, ta suy ra điều
phải chứng minh.

Mặt khác, bởi E[Mn] = µ0E[Kn] và E[Kn] = λn + o(

√

n) (xem (2.2.16)),
chúng ta có thể thay thế µ0λn bởi E[Mn] trong (2.2.28) và thu được rằng dãy

Mn− E[Mn]

√
n

n≥1

là khả tích đều.

Ngồi ra, dãy này cũng hội tụ theo phân phối đến Z = N (0, D(r)), từ đó áp
dụng Định lý A.1.1 trong [29] ta thu được

lim

n→∞

Var[Mn]

n = limn→∞E

Mn− E[Mn]

√
n

= D(r). (2.2.29)

III. Các định lí giới hạn cho Xn.

Chúng ta biết rằng Xn = Mn − Yn và bởi Bổ đề 2.2.5, √Ynn → 0 hầu chắc

chắn và supn≥1E[Yn4] là hữu hạn. Do đó, các định lý giới hạn cho Mn cũng

đúng cho Xn.

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

BƯỚC ĐI NGẪU NHIÊN CĨ TRÍ NHỚ

SUY GIẢM

Trong chương trước, chúng ta đã nghiên cứu mơ hình bước đi ngẫu nhiên
có trí nhớ cố định. Trí nhớ thay đổi, cụ thể là trí nhớ giảm dần theo thời gian,
là một hiện tượng thú vị và có thể coi là sự mở rộng của trường hợp trí nhớ
khơng thay đổi. Chúng ta sẽ nghiên cứu sự chuyển pha theo tốc độ suy giảm
trí nhớ của mơ hình này thơng qua dáng điệu tiệm cận của kì vọng.

Bây giờ trong chương này, trí nhớ khơng cịn cố định theo mỗi thời gian n
mà nó sẽ suy giảm. Cụ thể, ta gọi rn = rn−a∧ 12 với a ∧ b = min(a, b) là xác

suất reset về vị trí cực đại của người đi bộ ở thời điểm n. Khi đó ta xét bước
ngẫu nhiên có luật tiến hóa như sau:

nếu Xn−1 < Mn−1 thì

(Xn, Mn) =















(Xn−1+ 1, Mn−1), với xác suất (1 − rn)/2,

(Xn−1− 1, Mn−1), với xác suất (1 − rn)/2,

(Mn−1, Mn−1), với xác suất rn

và nếu Xn−1 = Mn−1 thì

(Xn, Mn) =






(Mn−1 + 1, Mn−1 + 1), với xác suất 1/2,

(Mn−1 − 1, Mn−1), với xác suất 1/2.

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Lưu ý rằng a = 0 là trường hợp trí nhớ cố định mà ta nghiên cứu trong chương
2.

Trong mơ hình bước ngẫu nhiên trí nhớ suy giảm theo thời gian này, kết
quả chính của chúng ta là chứng minh hiện tượng chuyển pha theo a thông
qua định lý sau đây:

Định lý 3.0.1. [Định lý về dáng điệu tiệm cận của E[Xn] và E[Mn]]

lim

n→∞

E[Xn]

ϕa(n)

= FX(r, a) (3.0.1)

và

lim

n→∞

E[Mn]

ψa(n)

= FM(r, a), (3.0.2)

trong đó

ϕa(n) =
























n1−

2 khi 0 < a < 1,

√

n khi a = 1,
n

2−a khi 1 < a < 3
2,

log n khi a = 32,
1 khi a > 32
và

ψa(n) = nmax{1−
a
2,

1
2}

và

FX(a, r) =















√
2r

2 − a, khi 0 < a < 1,
2r2r 2

πB(3/2, r), khi a = 1,

λ2(a, r) − λ3(a, r) + λ4(a, r) khi a > 1

và

FM(a, r) =















√
2r

2 − a, khi 0 < a < 1,
(2r2 + r)r 2

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

với λ1(a, r), λ2(a, r), . . . , λ5(a, r) được định nghĩa trong Bổ đề 3.2.8.

Trước hết chúng ta thấy rằng, khi ở pha dưới 0 < a < 1, dáng điệu tiệm
cận các kì vọng của Mn và Xn là cùng cỡ và cùng hàm tỷ lệ. Tại điểm chuyển

pha a = 1, tuy chúng cùng cỡ nhưng lại khác hàm tỷ lệ. Còn tại pha trên
a > 1, cỡ của E[Xn] nhỏ hơn hẳn cỡ của E[Mn]. Hơn thế nữa, chúng ta dễ

dàng suy ra dáng điệu tiệm cận của các hàm tỷ lệ theo a và r như sau:

FM(a, r) ∼































pr

2 ∼ v(r) khi a = 0, r → 0,

pr

2 ∼ v(r) khi a → 0, r → 0,

π khi a = 1, r → 0,

π khi a → 1

+, r → 0,

√

2r khi a = 1, r → ∞,

√

2r khi a → 1−, r → ∞.

(3.0.3)

và

FX(a, r) =






0 khi a = 1, r → 0,
0 khi a → 1+, r → 0,

(3.0.4)

FX(a, r) ∼



















pr

2 ∼ v(r) khi a = 0, r → 0,

pr

2 ∼ v(r) khi a → 0, r → 0,

√

2r khi a = 1, r → ∞,

√

2r khi a → 1−, r → ∞.

(3.0.5)

3.1 Một hiệu chỉnh của (Xn)n≥0

Trong bước ngẫu nhiên (Xn)n≥0, các điểm reset phụ thuộc vào giá trị tương

quan giữa (Xn, Mn). Bây giờ ta sẽ hiệu chỉnh mô hình trên để thu được một

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

bước ngẫu nhiên ( ˆXn)n≥0 bắt đầu từ 0 (hay là ˆX0 = 0), và có xác suất chuyển

cho bởi

( ˆXn, ˆMn) =














( ˆXn−1 + 1, max{ ˆMn−1, ˆXn−1+ 1}) với x.s 1−r2 n,

( ˆXn−1 − 1, ˆMn−1) với x.s 1−r2 n,

( ˆMn−1, ˆMn−1) với x.s rn,

ở đó, với k ≥ 0

Mk = max{ ˆXi, i = 0, . . . , k}.

Điểm khác biệt duy nhất giữa hai q trình đó là khi ở thời điểm reset n nào
đó, q trình X cần xác nhận rằng Xn−1 < Mn−1 thì mới reset, trong khi đó

q trình ˆX sẽ reset mà khơng quan tâm ˆXn−1 < ˆMn−1 hay không. Điều này

giúp cho các tính tốn trên ˆX đơn giản hơn. Kết quả dưới đây, chỉ ra rằng sai
khác giữa hai quá trình có thể được kiểm sốt qua số lượng điểm reset.

Bổ đề 3.1.1. [Bổ đề coupling] Gọi (Zt)t≥0 là bước đi ngẫu nhiên đơn giản

bắt đầu từ 0. Gọi J là tập con ngẫu nhiên của N = {1, 2, . . .}, độc lập với
(Zt)t≥0, và có luật cho bởi P(j ∈ J ) = rj. Khi đó, ta có thể xây dựng hai

quá trình (Xi)i≥0 và ( ˆXi)i≥0 từ (Zt)t≥0 và J , sao cho

max

0≤i≤n{|Mi − ˆMi|, |Xi− ˆXi|} ≤ |J ∩ [0, n]|, (3.1.6)

với mọi n ≥ 0, và |A| là kí hiệu cho lực lượng của tập A.

Chứng minh. Xác suất chuyển X và ˆX nói rằng, giữa các thời điểm reset hai
quá trình này chuyển động như một bước đi ngẫu nhiên đơn giản. Ngoài ra,
với mỗi thời điểm s, ta có (Zt+s − Zs)t≥0 là một bước ngẫu nhiên đơn giản

bắt đầu từ 0, và độc lập với (Zu)u≤s. Vậy ta xây dựng X, ˆX như sau.

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

• Với 0 ≤ t ≤ t1 − 1, ta xét Xt = ˆXt = Zt. Tại điểm reset t1, ta đặt

Xt1 = ˆMt1−1 = max0≤t≤t1−1Zt. Với X, ta cần xét kĩ hơn. Nếu Xt1−1 < Mt1−1

thì Xt1 = Mt1−1 = max0≤t≤t1−1Zt. Ngược lại, nếu Xt1−1 = Mt1−1 thì

Xt1 = Zt1.

• Với i ≥ 1, ta đặt





ˆ

Xti = ˆXti−1 + max{Zs − Zti−1, ti−1 ≤ s ≤ ti − 1},

Xt = ˆXti + Zt − Zti, với ti+ 1 ≤ t ≤ ti+1− 1.

Trong khi đó, luật xác định của X phức tạp hơn một chút.

(i) Nếu Xti−1 = Mti−1 thì ta đặt Xt = Xti−1 + Zt − Zti−1, với ti ≤ t ≤

ti+1 − 1.

(ii) Nếu Xti−1 < Mti−1 thì















Xti = Xti−1+ maxti−1≤s≤ti−1{Zs − Zti−1}

+ I(Xti−1 = Xti−1−1− 1, maxti−1≤s≤ti−1{Zs− Zti−1} = 0),

Xt = Xti + Zt − Zti, với ti + 1 ≤ t ≤ ti+1 − 1.

Như vậy, nếu cho trước tập các điểm reset J , thì ˆX được xây dựng từ Z
như sau: với các khoảng thời gian t ∈ (ti, ti+1), ˆX là tịnh tiến của Z từ

Zti tới ˆXti, và tại các điểm reset ˆXti là tổng dồn của các giá trị cực đại

maxtj−1≤s≤tj−1{Zs−Ztj−1} với j = 1, . . . , i. Trong khi đó, nếu Xti−1 = Mti−1

thì trong khoảng t ∈ [ti, ti+1), X đơn giản là tịnh tiến của Z từ Zti−1 tới

Xti−1. Ngược lại, nếu Xti−1 < Mti−1, ta tịnh tiến Z từ Zti tới Xti. Ở cơng

thức xác định Xti sẽ có một trường hợp đó là nếu Xti−1 = Xti−1−1 − 1 (tức là

Xti−1−1 = Mti−1, do đó X khơng reset tại đây, và sau đó X đi xuống 1 bước,

Xti−1 = Xti−1−1 − 1), và maxti−1≤s≤ti−1{Zs − Zti−1} = 0, thì giá trị cực đại

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Xti−1−1 = Mti−1−1. Vì vậy, ta cần reset tới vị trí của Xti−1−1 = Mti−1−1 =

Xti−1 + 1, và do đó ta có hàm chỉ tiêu trong xác định của Xti.

Ta nhận xét rằng với t ∈ (ti, ti+1) ta ln có

Xt = Xti + Zt − Zti, Xˆt = ˆXti + Zt − Zti. (3.1.7)

Thật vậy, biểu thức cho ˆX được suy ra trực tiếp từ định nghĩa. Với X, trường
hợp Xti−1 < Mti−1 thì cơng thức trên chính là định nghĩa của Xt. Với trường

hợp Xti−1 = Mti−1, ta thấy

Xt = Xti−1 + Zt − Zti−1 = Xti + Zt − Zti,

bởi vì Xti = Xti−1+ Zti− Zti−1. Bởi nhận xét (3.1.7), để chứng minh (3.1.6),

ta cần chỉ ra với mọi i ≥ 1,

|Xti − ˆXti| ≤ i.

Muốn vậy, ta chỉ cần chứng minh với i ≥ 1,

|(Xti− ˆXti) − (Xti−1− ˆXti−1)| = |(Xti− Xti−1) − ( ˆXti− ˆXti−1)| ≤ 1. (3.1.8)

Trước hết, ta có
ˆ

Xti − ˆXti−1 = max

ti−1≤s≤ti−1

{Zs − Zti−1}. (3.1.9)

Nếu Xti−1 = Mti−1 thì Zti−1 − Zti−1 = maxti−1≤s≤ti−1{Zs − Zti−1} và hơn

nữa,

Xti = Xti−1 + Zti − Zti−1 = Xti−1 + Zti−1− Zti−1+ Zti − Zti−1

= Xti−1 + max

ti−1≤s≤ti−1

{Zs− Zti−1} + Zti − Zti−1.

Do đó,

|(Xti − Xti−1) − ( ˆXti − ˆXti−1)| = |Zti − Zti−1| = 1.

Nếu Xti−1 < Mti−1 thì bởi (ii),

0 ≤ (Xti − Xti−1) − max

ti−1≤s≤ti−1

{Zs− Zti−1} ≤ 1.

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Hình 3.1: Minh họa hai quá trình X và ˆX được xây dựng từ bước đi ngẫu nhiên đơn giản Z (đoạn
màu xanh da trời) và tập J với hai thời điểm reset t1, t2. Ban đầu, X, ˆX và Z đều chuyển động giống

nhau cho tới thời điểm t1− 1. Ở điểm reset t1, hai quá trình X và ˆX cùng reset tới vị trí cực đại và

sau đó chuyển động tịnh tiến (từ Z) giống nhau cho tới thời điểm t2− 1 (đoạn màu đỏ). Tại điểm reset

t2, ˆX reset lại vị trí cực đại và sau đó chuyển động tịnh tiến từ Z (đoạn màu xanh lá mạ), còn X vẫn

tiếp tục chuyển động tính tiến từ Z (đoạn màu tím).

3.2 Dáng điệu tiệm cận của E[Xn] và E[Mn]

Hiện tượng chuyển pha là một hiện tượng phổ biến trong các q trình vật
lý. Ví dụ sự chuyển trạng thái của vật chất theo nhiệt độ, áp suất hoặc sự thay
đổi của tính chất thẩm thấu theo mật độ cấu trúc của một vật liệu,. . .

Mục tiêu chính của phần này là chỉ ra hiện tượng chuyển pha trong mơ
hình bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ giảm dần. Cụ thể, chúng ta sẽ chỉ ra rằng
dáng điệu tiệm cận kì vọng của Mn và của Xn sẽ thay đổi theo giá trị của a.

Đầu tiên, ta viết các phần tử của J bởi
J = {t1, t2, . . .}

Đặt

kn = max{i ≥ 1 : ti ≤ n}, t0 = 0.

Với mỗi i, k ≥ 0, ta đặt

m(i)k = max

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Khi đó, kì vọng của m(i)k khơng phụ thuộc i, do đó ta có thể đặt

g(k) = E[m(i)k−1] = E[ max0≤s≤k−1Zs]. (3.2.10)

Bổ đề 3.2.1. [31] Ta có

lim
k→∞
g(k)
√
k =
r
2
π.
Ta quan sát rằng

EXˆtkn = E

hkXn−1

i=0

max

ti≤j<ti+1

{Zj − Zti}

= Eh

kn−1

i=0

m(i)t

i+1−ti−1

i
=
∞
X
i=0
E
h

m(i)t

i+1−ti−1I(ti+1 ≤ n)

i
=
∞
X
i=0
E
h
E
h

m(i)t

i+1−ti−1I(ti+1 ≤ n) | ti, ti+1

∞

i=0

E[g(ti+1 − ti)]I(ti+1 ≤ n)]

= E[g(t1)I(t1 ≤ n)] +
∞

i=1

E[g(ti+1 − ti)I(0 < ti < ti+1 ≤ n)].

(3.2.11)
Chúng ta định nghĩa hàm h : N → R như sau. Trước hết h(1) = 0 và với
j ≥ 2,

h(j) =

j−1

k=1

g(k)Pj,k, (3.2.12)

trong đó

Pj,k = rj−k
k−1

l=1

(1 − rj−l). (3.2.13)

Khi đó, ta chú ý rằng với i ≥ 1,

Eg(ti+1 − ti) | ti+1 = j =
j−1

k=1

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

j−1

k=1

g(k)Pj,k = h(j).

Hơn nữa điều kiện i ≥ 1 tương đương với ti > 0, và do đó biểu thức trên kéo

theo

h(ti+1) = E[g(ti+1 − ti)I(ti > 0) | ti+1]. (3.2.14)

Vì vậy,

E[g(ti+1− ti)I(0 < ti < ti+1 ≤ n)]

= E
h

E[g(ti+1 − ti)I(0 < ti < ti+1) | ti+1]I(ti+1 ≤ n)

= E
h

h(ti+1)I(ti+1 ≤ n)

i
.
Như vậy, ta có

E[Xˆtkn] = E[g(t1)I(t1 ≤ n)] +
∞

i=1

E[h(ti+1)I(ti+1 ≤ n)]

= E[g(t1)I(t1 ≤ n)] + E

hX∞

i=2

h(ti)I(ti ≤ n)

= E[g(t1)I(t1 ≤ n)] + E

hXkn

i=2

h(ti)I(kn ≥ 2)

= E[g(t1)I(t1 ≤ n)] + E

hXkn

i=1

h(ti)I(kn ≥ 1)

− E[h(t1)I(kn ≥ 1)]

= E[g(t1)I(t1 ≤ n)] − E[h(t1)I(t1 ≤ n)]

+ E

hXkn

i=1

h(ti)I(kn ≥ 1)

i
.
Hơn nữa,

E
hXkn

i=1

h(ti)I(kn ≥ 1)

i
= E

h X

j∈J ∩[1,n]

h(j)
i

j=1

E[h(j)I(j ∈ J )]

j=1

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Kết hợp hai phương trình trên, ta thu được

E[Xˆtkn] = E[g(t1)I(t1 ≤ n)] − E[h(t1)I(t1 ≤ n)] +
n

j=1

h(j)rj. (3.2.15)

Bởi định nghĩa của ˆMn, chúng ta có

Mn = max
tkn≤j≤n

Xtkn + Zj − Ztkn = ˆXtkn + m
(kn)

n−tkn. (3.2.16)

Do đó,

E[Mˆn] = E[ ˆXtkn] + E[g(n + 1 − tkn)]. (3.2.17)

Chú ý rằng

E(g(n − tkn)) =

k=1

g(k)P(n + 1 − tkn = k) + g(n + 1)P(t1 > n)

k=1

g(k)Pn+1,k + g(n + 1)P(t1 > n) = h(n + 1) + g(n + 1)P(t1 > n).

(3.2.18)
Vì vậy,

E[Mˆn] = E[ ˆXtkn] + h(n + 1) + g(n + 1)P(t1 > n). (3.2.19)

Mặt khác, vì ˆXn = ˆXtkn + Zn − Ztkn,

E[Xˆn] = E[ ˆXtkn]. (3.2.20)

Chúng ta tổng hợp các kết quả trên trong bổ đề dưới đây.

Bổ đề 3.2.2. Giả sử J = {t1, t2, . . .} là tập ngẫu nhiên như trong Bổ đề

3.1.1. Khi đó,

E[Xˆn] = E[g(t1)I(t1 ≤ n)] − E[h(t1)I(t1 ≤ n)] +
n

j=1

h(j)rj,

E[Mˆn] = E[ ˆXn] + h(n + 1) + g(n + 1)P(t1 > n),

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Từ bổ đề trên, ta thấy rằng để thu được E[ ˆMn] và E[ ˆXn] ta cần nghiên cứu

hàm h(·). Trong các phần tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra rằng dáng điệu tiệm
cận của dãy trên thay đổi từng pha (theo giá trị của a). Do đó, dáng điệu của
E[Mˆn] và E[ ˆXn] cũng sẽ thay đổi.

3.2.1 Pha dưới 0 < a < 1

Chúng ta sẽ chứng minh rằng h(j) sẽ tập trung độ lớn trung quanh ja với
j đủ lớn bởi bổ đề sau:

Bổ đề 3.2.3. Ta có

lim

j→∞

h(j)
ja/2 =

1
√

2r. (3.2.21)

Chứng minh. Để chứng minh bổ đề này, ta sẽ chỉ ra

lim

j→∞

hc(j)

ja/2 =

1
√

2r, (3.2.22)

với

hc(j) =

jalog2j

k=ja/ log2j

g(k)Pj,k,

và khi j → ∞,

ja/ log2j

k=1

g(k)Pj,k = o(ja/2/ log j), (3.2.23)

và

j−1

k=jalog2j

g(k)Pj,k = o(1). (3.2.24)

Chúng ta bắt đầu với (3.2.22). Khi ja/ log2j ≤ k ≤ jalog2j và j lớn thì
rj−l = r(j − l)−a = rj−a(1 + o(1)) với mọi l = 1, . . . , k. Khi đó, sử dụng

xấp xỉ log(1 − x) = −x(1 + o(1)), ta có
Pj,k = rj−k

k−1

l=1

(1 − rj−l) = rj−kexp
k−1

l=1

log(1 − rj−l)

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

= rj−kexp −(1 + o(1))
k−1

l=1

rj−l

= (1 + o(1))rj−aexp −(r + o(1))kj−a .
Từ đó sử dụng Bổ đề 3.2.1 nói rằng g(k) =

2+o(1)
π

√

k, ta suy ra, khi j → ∞,

hc(j) = (1 + o(1))

r
2
π

r
ja

jalog2j

k=ja/ log2j

√

k exp (−(r + o(1))k/ja) .

= (1 + o(1))
r

2
π

r
ja

Z jalog2j

ja/ log2j

√

x exp (−(r + o(1))x/ja) dx
= (1 + o(1))

r
2
πrj

a/2

Z r log2j

r/ log2j

√

y exp(−(1 + o(1))y)dy

= (1 + o(1))
r
2
πrj
a/2
Z ∞
0
√

y exp(−y)dy = 1 + o(1)√
2r j

a/2

.
Trên đây, ta đã sử dụng xấp xỉ tích phân và phép đổi biến y = rx/ja và
R∞

√

ye−ydy = 2√1
π.

Ta tiếp tục chứng minh (3.2.23). Bởi Bổ đề 3.2.1, tồn tại hằng số C, sao
cho g(k) ≤ C√k với mọi k ≥ 1. Hơn nữa, tương tự như trường hợp bên trên,
với k ≤ ja/ log2j thì

Pj,k = (1 + o(1))rj−aexp −(r + o(1))kj−a .

Do vậy, khi j → ∞,

ja/ log2j

k=1

g(k)Pj,k ≤

2Cja/2
log j ×

r
ja

ja/ log2j

k=1

exp(−(1 + o(1))rk/ja)

≤ 4Cr

ja/2log j

Z ja/ log2j

exp(−rx/ja)dx
= o(ja/2/ log j).

Với ước lượng (3.2.24), ta nhận xét rằng khi jalog2j ≤ k ≤ j − 1,
Pj,k = rj−k

k−1

l=1

(1 − rj−l) ≤
k/2

l=1

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

= (1 − rj−a)k/2

≤ exp(−kr/(2ja)) ≤ exp(−r log2j/2).

Do đó, sử dụng ước lượng g(k) ≤ C√k, ta có được chứng minh tương tự,

j−1

k=jalog2j

g(k)Pj,k ≤ Cj3/2exp(−r log2j/2) = o(1),

khi j → ∞.

Từ đó chúng ta có hệ quả sau

Hệ quả 3.2.4.

lim

n→∞

E[Mˆn]

n1−a/2 = limn→∞

E[Xˆn]

n1−a/2 =

√
2r

2 − a. (3.2.25)

Chứng minh. Trước hết, ta thấy rằng khơng khó để chỉ ra

E[g(t1)] + E[h(t1)] = O(1). (3.2.26)

Theo Bổ đề 3.2.2, ta cần tính tổng của h(j)rj với j chạy từ 1 tới n. Trước hết

ta xét

n/ log n

j=1

h(j)rj =

n/ log n

j=1

h(j)jra ∧

1
2

≤ 1

(2r)1/a

j=1

h(j) + r

n/ log n

j=1

h(j)j−a

≤ O(1) + O(1)

n/ log n

j=1

j−a/2 = o(n1−a/2),

ở đây ta đã sử dụng h(j) = O(ja/2). Hơn thế nữa, Bổ đề 3.2.3 nói rằng
h(j) = (√1

2r + o(1))j

a/2, từ đó khi n → ∞, ta có
n

j=n/ log n

h(j)rj =
n

j=n/ log n

rh(j)

ja = (1 + o(1))

r r
2

j=n/ log n

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

= (1 + o(1))r r
2

Z n

n/ log n

x−a/2dx
= (1 + o(1))n1−a/2

√
2r
2 − a.
Do vậy, ta có

lim

n→∞

j=1h(j)rj

n1−a/2 =

√
2r

2 − a. (3.2.27)

Kết hợp (3.2.26), (3.2.27) và Bổ đề 3.2.2, ta thu được
lim

n→∞

E[Xˆn]

n1−a/2 =

√
2r

2 − a. (3.2.28)

Thêm nữa,

g(n + 1)P(t1 > n) ≤ g(n + 1) = O(

√

n + 1) = o(n1−a/2), (3.2.29)
và

h(n + 1) = O((n + 1)a/2) = o(n1−a/2). (3.2.30)
Vì vậy sử dụng Bổ đề 3.2.2 cùng với (3.2.28),(3.2.29) và (3.2.30), ta cũng có

lim

n→∞

E[Mˆn]

n1−a/2 = limn→∞

E[Xˆn]

n1−a/2 =

√
2r
2 − a.
Chứng minh của hệ quả được hoàn tất.

Cuối cùng chúng ta chứng minh Định lý 3.0.1 cho pha dưới 0 < a < 1.
Thật vậy, theo Bổ đề 3.1.1 ta có

max{E|Xn− ˆXn|, E|Mn− ˆMn|} ≤ E[|J ∩ [1, n]|]

j=1

rj =
n

j=1

(rj−a∧ 12) = O(n1−a)) = o(n1−a/2).
Kết hợp điều này và Hệ quả (3.2.4), ta thu được

lim

n→∞

E[Mn]

n1−a/2 = limn→∞

E[Xn]

n1−a/2 =

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

3.2.2 Điểm chuyển pha a = 1

Dựa vào các kết quả của pha trên, chúng ta dự đoán rằng các dáng điệu
tiệm cận của E[Mn] và E[Xn] tại điểm chuyển pha a = 1 sẽ cùng cỡ nhưng

sẽ có các hàm tỷ lệ tương ứng FM(1, r) và FX(1, r) khác nhau. Trường hợp

này cũng được các tác giả trong phần VII bài báo [22] nghiên cứu dưới mơ
hình tương tự và thu được kết quả về dáng điệu tiệm cận cho E[Mn] và E[Xn].

Cụ thể, các tác giả xây dựng các hàm tỷ lệ nội suy trơn giữa trường hợp
rn = r = 0 (bước đi ngẫu nhiên đơn giản) và trường hợp rn > 0, r → ∞.

Tuy nhiên, họ sử dụng lại mơ hình tốn học của trường hợp trí nhớ cố định
để nghiên cứu trường hợp trí nhớ thay đổi, điều này có thể dẫn tới sự khơng
chính xác. Chúng ta sẽ chỉ rõ điều này ở nhận xét phía cuối.

Bây giờ, với ý tưởng tương tự như ở pha trên, chúng ta sẽ chỉ ra rằng độ

lớn của h(j) tập trung quanh j với j đủ lớn.

Bổ đề 3.2.5. Ta có

lim

j→∞

h(j)
√

j =
r

πrB(3/2, r), (3.2.31)

ở đây B(·, ·) là hàm Beta cho bởi B(a, b) = R01ta−1(1 − t)b−1dt.
Chứng minh. Để chứng minh bổ đề này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng:

(i) Với hc(j) = Pj−log

k=j/ log2jg(k)Pj,k,

lim

j→∞

hc(j)

√

j =

r
2

πrB(3/2, r). (3.2.32)

(ii) Khi j → ∞,

j/ log2j

k=1

g(k)Pj,k = o(

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

(iii) Khi j → ∞,

j−1

k=j−log2j

g(k)Pj,k = o(1). (3.2.34)

Đầu tiên, chúng ta chứng minh (i). Xét hàm Γ(z) = R0∞xz−1e−xdx, ta nhắc
lại công thức xấp xỉ Stirling cho hàm Γ(z), với mọi z:

Γ(z) =
r
2π
z
z
e
z

(1 + o(1)). (3.2.35)

Sử dụng tính chất Γ(z + 1) = zΓ(z) ta biến đổi
Pj,k =

r
j − k

k−1

l=1

1 − r
j − l

= r

j − k

j−1

i=j−k+1

1 − r

= r

j − k

Γ(j − r)
Γ(j)

Γ(j − k + 1)
Γ(j − k − r + 1).

Khi j/ log2j ≤ k ≤ j − log2j và j đủ lớn, áp dụng công thức (3.2.35), ta thu
được

Pj,k =

r
j − k

s
j
j − r

j − k − r + 1
j − k + 1

1 − r

j
j

1 + r

j − k − r + 1

j−k−r+1

(j − k + 1)r
(j − r)r

= (r + o(1)) exp(r + o(1)) exp(−r − o(1))(j − k + 1)

r−1

(j − r)r

= (1 + o(1))r(j − k + 1)

r−1

(j − r)r .

Bởi g(k) =
q

2+o(1)
π

√

k theo Bổ đề 3.2.1 nên khi j → ∞, ta suy ra

hc(j) =

j−log2j

k=j/ log2j

(1 + o(1))
r

2
πr

√

k(j − k + 1)

r−1

(j − r)r

= (1 + o(1))
r

2
πr

Z j−log2j

j/ log2j

√

x(j − x + 1)

r−1

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

= (1 + o(1))
r
2
πr
√
jjr
(j − r)r

Z 1−log2j/j

1/ log2j

√

y(1 − y)r−1dy
= (1 + o(1))

r
2
π
p
j
Z 1
0
√

y(1 − y)r−1dy
= (1 + o(1))

r
2

πrB(3/2, r)
p

Trên đây, ta đã sử dụng xấp xỉ tích phân và phép đổi biến x = jy vàR01√t(1−
y)r−1dy = B(3/2, r). Từ đó (i) được suy ra.

Ta tiếp tục chứng minh (ii). Từ Bổ đề 3.2.1, ta suy ra tồn tại C, sao cho
g(k) ≤ C√k với mọi k ≥ 1. Tương tự khi 1 ≤ k ≤ j/ log2j thì

Pj,k = (1 + o(1))r

(j − k + 1)r−1
(j − r)r .

Vì thế khi j → ∞,

j/ log2j

k=1

g(k)Pj,k ≤ 6Cr

√
j
log j

j/ log2j

k=1

(j − k + 1)r−1
(j − r)r

≤ 6Cr
√
j
log j

j

j − r

rZ 1/ log2j

(1 − t)r−1dt
= o(pj/ log j).

Để chứng minh (iii), ta thấy rằng với j − log2j ≤ k ≤ j − 1 thì
Pj,k ≤ r

k−1

l=1

(1 − rj−l) ≤ r

1 − r

log2j
k/2

≤ r exp(−rk/2 log2j) ≤ r exp(r/2) exp(−rj/2 log2j).
Do vậy, sử dụng g(k) ≤ C√k, ta có được chặn trên

j−1

k=j−log2j

g(k)Pj,k ≤ 2

r
2

πr exp(r/2)Cj

3/2

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

= o(1) khi j → ∞.

Từ đó, chúng ta có hệ quả sau:

Hệ quả 3.2.6.

lim

n→∞

E[Xˆn]

√

n = 2r

r
2

πB(3/2, r) (3.2.36)

và

lim

n→∞

E[Mˆn]

√

n = (2r

2 + r)

r
2

πB(3/2, r). (3.2.37)
Chứng minh. Tương tự trường hợp 0 < a < 1, ta nghiên cứu Pn

j=1h(j)rj.

Ta chia tổng này làm hai phần, trước hết ta xét phần đầu

n/ log n−1

j=1

h(j)rj =

n/ log n−1

j=1

h(j) r
j ∧
1
2

≤ 1
2
2r
X
j=1

h(j) + r

n/ log n−1

j=1

h(j)j−1

= O(1) + O(1)

n/ log n−1

j=1

j−1/2 = o(√n),

với h(j) = O(√j) suy ra từ Bổ đề 3.2.5. Hơn thế nữa, bởi h(j) = r
q

πB(3/2, r)

+ o(1), ta có khi n → ∞, dáng điệu phần sau

j=n/ log n

h(j)rj = (1 + o(1))r2

r
2

πB(3/2, r)

n/ log n

1
√
j
= (1 + o(1))r2

r
2

πB(3/2, r)
Z n

n/ log n

1
√

xdx
= 2(1 + o(1))r2

r
2

πB(3/2, r)
√

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

Do đó,

j=1

h(j)rj = (2 + o(1))r2

r
2

πB(3/2, r)
√

n. (3.2.38)

Hơn thế nữa,

E[g(t1)I(t1 ≤ n)] =
n

k=1

g(k)P(t1 = k),

với g(k) ≤ C√k và P(t1 = k) = O(1) nếu k ≤ 2r và P(t1 = k) =

O(1)k−(r+1) nếu k ≥ 2r + 1. Từ đó ta suy ra

E[g(t1)I(t1 ≤ n)] = o(

√

n). (3.2.39)

Tương tự ta cũng có

E[h(t1)I(t1 ≤ n)] = o(

√

n). (3.2.40)

Kết hợp hai đánh giá trên với (3.2.38) và Bổ đề 3.2.2, chúng ta thu được

lim

n→∞

E[Xˆn]

√

n = 2r

r
2

πB(3/2, r). (3.2.41)

Mặt khác

g(n + 1)P(t1 > n) = g(n)
n

j=1

1 − (r/j ∧ 1/2)

= o(g(n + 1)) = o(√n)
(3.2.42)
và

h(n + 1) = (1 + o(1))r
r

πB(3/2, r)
√

n. (3.2.43)

Vì vậy sử dụng (3.2.41), (3.2.42), (3.2.43) và Bổ đề 3.2.2, ta có
lim

n→∞

E[Mˆn]

√

n = (2r

2 + r)

r
2

πB(3/2, r) (3.2.44)

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

Cuối cùng, theo Bổ đề 3.1.1 ta có

max{E[|Xn − ˆXn|], E[|Mn − ˆMn|]} ≤ E[|J ∩ [1, n]|]

j=1

rj =
n

j=1

(rj−1 ∧ 1
2)
= O(log(n)) = o(√n).
Kết hợp với Hệ quả 3.2.6, ta thu được

lim

n→∞

E[Xn]

√

n = 2r

r
2

πB(3/2, r) (3.2.45)

và

lim

n→∞

E[Mn]

√

n = (2r

+ r)
r

πB(3/2, r). (3.2.46)
Do vậy Định lý 3.0.1 được chứng minh cho điểm chuyển pha a = 1.

Nhận xét 3.2.7. Các tác giả trong bài báo [22] cũng đưa ra các hàm tỷ lệ

FM(1, r) = limn→∞ E[Mn
]
√

n và FX(1, r) = limn→∞
E[X√ n]

n (tương ứng công thức

tường minh của fm(r) và fx(r) trong (124) và (132)). Dáng điệu tiệm cận của

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

(a) Dáng điệu FM(1, r) của chúng ta

(đường màu đỏ) và của bài báo [22]
(đường màu xanh).

(b) Dáng điệu FX(1, r) của chúng ta

(đường màu đỏ) và của bài báo [22]
(đường màu xanh).

Hình 3.2: Đồ thị so sánh kết quả của chúng ta và của bài báo [22]

(a) Dáng điệu củaM√n

(b) Dáng điệu của X√n

Hình 3.3: Kết quả thực nghiệm dáng điệu của M√n

n và
Xn

√

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

3.2.3 Pha trên a > 1

Khi a > 1 thì tốc độ suy giảm về 0 của rn sẽ rất nhanh, từ đó chúng ta

dự đốn rằng khi n đủ lớn, dáng điệu tiệm cận của E[Xn] và E[Mn] sẽ gần

giống bước đi ngẫu nhiên đơn giản thông thường, cụ thể E[Mn] sẽ cỡ

√
n và

E[Xn] = o(E[Mn]). Đầu tiên chúng ta nhắc lại rằng, với a > 1,

ϕa(n) =












n
3

2−a khi 1 < a < 3
2,

log n khi a = 32,
1 khi a > 32.

(3.2.47)

Bổ đề 3.2.8. Các khẳng định sau nghiệm đúng.

(i)

lim

j→∞

h(j)
√

j = λ1(a, r) :=
r
2
π
∞
X
i=1
ri
∞
Y
s=i+1

(1 − rs).

(ii)

lim

n→∞

E[g(t1)I(t1 ≤ n)]

ϕa(n)

= λ2(a, r),

với λ2(a, r) được định nghĩa trong (3.2.56).

(iii)

lim

n→∞

E[h(t1)I(t1 ≤ n)]

ϕa(n)

= λ3(a, r),

với λ3(a, r) được định nghĩa trong (3.2.58).

(iv)

lim

n→∞

j=1h(j)rj

ϕa(n)

= λ4(a, r),

với λ4(a, r) được định nghĩa trong (3.2.59).

(v)

lim

n→∞

g(n + 1)P(t1 > n)

√

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

Chứng minh. Giới hạn (i) sẽ đúng nếu chúng ta có thể chỉ ra rằng

lim

n→∞

hc(j)

√

j = λ1(a, r), (3.2.48)

với

hc(j) =

j−1

k=j−log2j

g(k)Pj,k

và

j−log2j

k=1

g(k)Pj,k = o(

j). (3.2.49)

Bởi Bổ đề 3.2.1, g(k) = (p2/π + o(1))√k, ta có khi j đủ lớn,
hc(j) = (

2/π + o(1))pj

j−1

k=j−log2j

Pj,k

= (p2/π + o(1))pj

j−1

k=j−log2j

rj−k
k−1

l=1

(1 − rj−l)

= (p2/π + o(1))pj

log2j

i=1
ri
j−1
Y
s=i+1

(1 − rs)

= (p2/π + o(1))pj

∞
X
i=1
ri
∞
Y
s=i+1

(1 − rs)

= (λ1(a, r) + o(1))

p
j.
Trong dòng cuối cùng ta đã sử dụng xấp xỉ

log2j

X
i=1
ri
j−1
Y
s=i+1

(1 − rs) −
∞
X
i=1
ri
∞
Y
s=i+1

(1 − rs)

≤

log2j

X
i=1
ri
j−1
Y
s=i+1

(1 − rs) −
∞

s=i+1

(1 − rs)

!
+
∞
X
i=j
ri
∞
Y
s=i+1

(1 − rs)

≤

log2j

i=1

ri 1 −
∞

s=j

(1 − rs)

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

≤

log2j

X
i=1
ri
∞
X

s=j
rs
!
+
∞
X
i=j

ri =



1 +

log2j

X
i=1
ri


∞
X
s=j
rs
!
= o(1),

bởi tổng chuỗiP

s≥1rs là hội tụ khi a > 1. Như vậy chúng ta có (3.2.48).

Ước lượng (3.2.49) được chứng minh tương tự. Bởi Bổ đề 3.2.1, ta có
g(k) ≤ C√k với C > 0 là hằng số. Hơn nữa, khi 1 ≤ k ≤ j − log2j thì
Pj,k ≤ rj−k = r(j − k)−a. Do vậy,

j−log2j

k=1

g(k)Pj,k ≤ Cr

p
j

j−log2j

k=1

(j − k)−a

= O(pj(log2j)1−a) = o(pj).
(ii). Ta có

E[g(t1)I(t1 ≤ n)] =
n

k=1

g(k)P(t1 = k).

Khi 1 < a < 3/2, theo Bổ đề 3.2.1, tồn tại C sao cho g(k) ≤ C√k nên ta
suy ra

n/ log n−1

k=1

g(k)P(t1 = k) =

(2r)1/a−1

k=1

g(k)P(t1 = k)

n/ log n−1

k=(2r)1/a

g(k)P(t1 = k)

≤ O(1) + O(1)

n/ log n−1

X
k=(2r)1/a
√
k
ka
k−1
Y
l=1

(1 − rl)

≤ O(1) + O(1)

n
log n

3/2−a

= o(n3/2−a).

(3.2.50)
và

k=n/ log n

g(k)P(t1 = k) = (

2/π + o(1))r
Z n

n/ log n

√
k
ka
∞
Y
l=1

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

= (p2/π + o(1)) Q

∞

l=1(1 − rl)r

3/2 − a n

3/2−a.

(3.2.51)
Trên đây ta đã sử dụng Bổ đề 3.2.1 và xấp xỉ tích phân. Kết hợp cơng thức
3.2.50 và 3.2.51, ta thu được

lim

n→∞

E[g(t1)I(t1 ≤ n)]

n3/2−a =

p2/π Q∞

l=1(1 − rl)r

3/2 − a . (3.2.52)

Khi a = 3/2, ta chỉ thay đổi lại cách chia tổng để có các đánh giá sau

log n−1

k=1

g(k)P(t1 = k) ≤ O(1)

p
log n

log n−1

k=1

rk = o(log n)

bởi chuỗi trên hội tụ khi a = 3/2. Khi n đủ lớn, sử dụng xấp xỉ tích phân và
Bổ đề 3.2.1 ta có

k=log n

g(k)P(t1 = k) = (

2/π + o(1))r

X
k=log n
k−1
k−1
Y
l=1

(1 − rl)

= (p2/π + o(1))

∞

l=1

(1 − rl)r log n. (3.2.53)

Do đó, khi a = 3/2 thì
lim

n→∞

E[g(t1)I(t1 ≤ n)]

log n =

p
2/π

∞

l=1

(1 − rl)r. (3.2.54)

Cuối cùng, khi a > 3/2, ta thấy rằng
lim

n→∞E[g(t1)I(t1 ≤ n)] = limn→∞
n
X
k=1
g(k)rk
k−1
Y
l=1

(1 − rl)

=
∞
X
k=1
g(k)rk
k−1
Y

l=1

(1 − rl) < ∞. (3.2.55)

Tóm lại ta có

lim

n→∞

E[g(t1)I(t1 ≤ n)]

ϕa(n)

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

với

λ2(a, r) =
















p2/πr Q∞

l=1(1 − rl)

3/2 − a khi 1 < a <

3
2,

p2/πr Q∞

l=1(1 − rl) khi a =
3
2,

P∞

k=1g(k)rk

Qk−1

l=1(1 − rl) khi a > 32.

(3.2.56)

Bây giờ ta quan sát rằng

E[h(t1)I(t1 ≤ n)] =
n

k=2

h(k)P(t1 = k). (3.2.57)

Bởi từ (i) và với kĩ thuật tương tự như (ii), ta suy ra các kết quả sau:
lim

n→∞

E[h(t1)I(t1 ≤ n)]

ϕa(n)

= λ3(a, r),

với

λ3(a, r) =














λ1(a, r)r

Q∞

l=1(1 − rl)

3/2 − a khi 1 < a <

3
2,

λ1(a, r)r

Q∞

l=1(1 − rl) khi a =
3
2,

P∞

k=1h(k)rk

Qk−1

l=1(1 − rl) khi a >
3
2.
(3.2.58)
Và
lim
n→∞
Pn

j=1h(j)rj

ϕa(n)

= λ4(a, r),

với

λ4(a, r) =














λ1(a, r)r

3/2 − a khi 1 < a <

3
2,

λ1(a, r)r khi a = 32,

P∞

j=1h(j)rj khi a >
3
2.

(3.2.59)

Do đó, (iii) và (iv) được chứng minh. Cuối cùng, ta có
lim

n→∞

g(n + 1)P(t1 > n)

√

n = λ5(a, r) =

2/π

∞

k=1

(1 − rk), (3.2.60)

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

Kết hợp Bổ đề 3.2.8 và Bổ đề 3.2.2 ta dễ dàng thu được

Hệ quả 3.2.9.

lim

n→∞

E[Xˆn]

ϕa(n)

= FX(a, r), (3.2.61)

trong đó

FX(a, r) = λ2(a, r) − λ3(a, r) + λ4(a, r), (3.2.62)

với λ2(a, r), λ3(a, r), λ4(a, r) được định nghĩa tường minh trong lần lượt các

cơng thức(3.2.56),(3.2.58),(3.2.59) và

lim

n→∞

E[Mˆn]

√

n = FM(a, r), (3.2.63)

trong đó

FM(a, r) = λ1(a, r) + λ5(a, r), (3.2.64)

với λ1(a, r), λ5(a, r) được định nghĩa tường minh trong lần lượt các cơng

thức(3.2.48), (3.2.60).

Mặt khác, theo Bổ đề 3.1.1 ta có

max{E[|Xn − ˆXn|], E[|Mn − ˆMn|]} ≤ E[|J ∩ [1, n]|]

j=1

rj =
n

j=1

(rj−a∧ 1
2)
= O(n1−a) = o(ϕa(n)).

Kết hợp điều này với Hệ quả 3.2.9, ta thu được
lim

n→∞

E[Xn]

ϕa(n)

= FX(a, r) (3.2.65)

và

lim

n→∞

E[Mn]

√

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

với FX(a, r), FM(a, r) được định nghĩa như trong Hệ quả 3.2.9. Do vậy Định

lý 3.0.1 được chỉ ra cho pha trên a > 1.

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Các kết quả nghiên cứu chính của luận văn bao gồm:

1. Chúng tơi nghiên cứu mơ hình bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ cố định
được giới thiệu trong một bài báo [22] và đưa ra cách tiếp cận mới cho
mơ hình đồng thời kiểm chứng lại các kết quả về dáng điệu tiệm cận của
kì vọng và phương sai.

2. Đưa ra các định lý giới hạn như luật mạnh của số lớn và định lý giới hạn
trung tâm cho vị trí và giá trị cực đại của bước ngẫu nhiên.

3. Đề xuất mơ hình tổng qt bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ thay đổi theo
thời gian. Chứng minh hiện tượng chuyển pha theo tốc độ suy giảm của
trí nhớ của mơ hình này, đồng thời đưa ra các dáng điệu tiệm cận của kì
vọng cho vị trí và giá trị cực đại cho từng pha.

4. Bên cạnh đó, chúng tơi cũng so sánh kết quả dáng điệu tiệm cận của kì

vọng tại điểm chuyển pha với kết quả của bài báo [22], và chỉ ra rằng
các kết quả chúng tơi thu được là hồn tồn phù hợp với kiểm tra thực
nghiệm.

Dựa vào các kết quả đã đạt được, một số hướng đi tiếp theo mà luận văn có
thể phát triển như sau:

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

[1] G.M. Viswanathan, V. Afnasyev, S.V. Buldyrev, E.J. Murphy, P.A.
Prince, and H.E. Stanley Lévy flight search patterns of wandering 
al-batrosses, Nature, 381, 413 (1996).

[2] G.M. Viswanathan, S.V. Buldyrev, S. Havlin, M.G.E. da Luz, E.P.
Ra-poso and H.E. Stanley Optimizing the success of random searches, 
Na-ture, 401, 911 (1999).

[3] A.M. Edwards, R.A. Phillips, N.W. Watkins, M.P. Freeman, E.J.
Mur-phy, V. Afnasyev, S.V. Buldyrev, M.G.E. da Luz, E.P. Raposo, P.A.
Prince, H.E. Stanley, and G.M. Viswanathan Revisiting Lévy flight
search patterns of wandering albatrosses, bumblebees and deer, Nature,

491, 1044 (2007).

[4] O. Bénichou, C.Loverdo, M.Moreau, and R. Voituriez Intermittent
search strategies, Rev.Mod.Phys., 83, 81 (2011).

[5] M.G.E.D. Lutz, A. Grosberg, E.P. Raposo, and G.M. Viswanathan The
Random Seach Problem: Trends and Perspectives, Special issue of
J.Phys. A: Math. Theor., 42, 430301 (2009).

[6] Benichou O, Coppey M, Moreau M, Suet P-H, and Voituriez R Optimal
search strategies for hidden targets, Phys. Rev. Lett., 94, 198101 (2005).
[7] Benichou O, Moreau M, Suet P-H, and Voituriez R Intermittent search

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

[8] Benichou O, Loverdo C, Moreau M, and Voituriez R Intermittent search
strategies, Rev.Mod. Phys., 83, 81 (2011).

[9] Villen-Altramirano M and Villen-Altramirano J RESTART: A method for
accelerating rare event simulations Queueing Performance and Control
in ATM Editors Cohen J W and Pack C D, (1991).

[10] Luby M, Sinclair A and Zuckerman D Optimal speedup of Las Vegas
algorithms, Inf. Proc.Lett., 47, 4391 (1993).

[11] Tong H, Faloutsos C and Pan J-Y Random walk with restart: fast 
solu-tions and applicasolu-tions, Knowl. Inf. Syst., 14,327 (2008).

[12] Avrachenkov K, Piunovskiy A, Zhang Y Markov processes with restart,
J. Appl. Prob., 50, 960 (2013).

[13] Lorenz JH Runtime Distributions and Criteria for Restarts In: Tjoa A.,
Bellatreche L., Biffl S., van Leeuwen J., Wiedermann J. (eds) SOFSEM
2018: Theory and Practice of Computer Science. SOFSEM 2018.
Lec-ture Notes in Computer Science, vol 10706 (2018).

[14] S. C. Manrubia and D.H. Zanette Stochastic multiplicative processes
with reset events, Phys. Rev. E, 59, 4945 (1999).

[15] E. Gelenbe Search in unknown random environments, Phys. Rev. E, 82,
061112 (2010).

[16] M. Montanari and R. Zecchina Optimizing Searches via Rare Events,
Phys. Rev. Lett., 88, 178701 (2002).

[17] S. Janson and Y. Peres Hitting Times for Random Walks with Restarts,
SIAM J. Discrete Math., 26, 537 (2012).

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

[19] Martin R. Evans, Satya N. Majumdar Diffusion with Stochastic 
Reset-ting, Phys.Rev.Lett., 106, 160601 (2011).

[20] Martin R. Evans, Satya N. Majumdar and Gregory Schehr Dynamical
transition in the temporal relaxation of stochastic processes under 
re-setting, Phys. Rev. E, 91, 052131 (2015).

[21] Martin R. Evans, Satya N. Majumdar and Gregory Schehr Stochastic
resetting and Applications, Topical Review, (2020).

[22] Satya N. Majumdar, Sanijb Sabhapandit and Gregory Schehr Random
walk with random resetting to the maximum position, Physical review
E., 92, 052126 (2015).

[23] H. C. Berg Random Walks in Biology, Princeton University Press, New
York, (1983).

[24] L. Edelstein-Keshet Math-ematical Models in biology, McGraw Hill,
Boston, (1988).

[25] Renyi. A On the asymptotic distribution of the sum of a random 
num-ber of independent random variables, Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 8,
193-199 (1957).

[26] R. Rajesh and S. N. Majumdar Conserved Mass Models and Particle
Systems in One Dimension, J. Stat. Phys., 99, 943 (2000).

[27] R. Rajesh and S. N. Majumdar Exact calculation of the spatiotemporal
correlations in the Takayasu model and in the q model of force 
fluctua-tions in bead packs, Phys. Rev. E., 62, 3186 (2000).

[28] R. Rajesh and S. N. Majumdar Exact tagged particle correlations in the
random average process, Phys. Rev. E., 64, 036103 (2001).

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

[30] Marcinkiewicz, J., and Zygmund, A. Sur les fonctions indépendantes,
Fund. Math., 29, 60–90 (1937).

[31] Jose Luis Palacios On the Simple Symmetric Random Walk and Its 
Max-imal Function, The American Statistician, Vol. 62, No. 2 (2008).

[32] Sven Erick Alm Simple random walk, (2006).

[33] Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications,
Vol. 1, Third edition, Wiley 196.

[34] Allan Gut Probability: A Graduate Course, Springer. New York, (2013).
[35] P. Embrechts, C. Kluppelberg, T. Mikosch Modelling Extremal Events,

Springer-Verlag, (1997).

[36] Rick Durrett Probability: Theory and Examples, Cambridge University
Press, (2019).

[37] Steven Lalley One-dimensional random walks, Lecture notes at
lalley.

[38] K. Sigman An introduction to renewal theory, Lecture notes available at
ks20.

</div>

Thông tin tóm tắt về những đóng góp mới của luận văn thạc sĩ: Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ.

<b>Mục lục</b>

<b>GIỚI THIỆU</b>

<b>CHƯƠNG 2</b>

<b>BƯỚC ĐI NGẪU NHIÊN CĨ TRÍ NHỚ</b>

<b>CỐ ĐỊNH</b>

<b>BƯỚC ĐI NGẪU NHIÊN CĨ TRÍ NHỚ</b>

<b>SUY GIẢM</b>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về