bài ôntập thi học kì I lớp 11 môn toán

≤( )
≤( )
≥( )
≥( )
a 1>
0 a 1< <
≤( )
≤( )
¬ >a 1
≥( )
≥( )
a 1¬ <
¬ >a 1
a 1¬ <
1 THPT Lưu Tấn Phát
Tiểu đề
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
ĐỊNH LÝ
 a
f(x)
< a
g(x)
⇔ f(x) < g(x)
 a
f(x)
> a
g(x)
⇔ f(x) > g(x)
 a
f(x)
< a

g(x)
⇔ f(x) > g(x)
 a
f(x)
> a
g(x)
⇔ f(x) < g(x)
Đặc biệt 1
a
f(x)
< b ⇔ f(x) < log
a
b
a
f(x)
> b ⇔ f(x) > log
a
b
a
f(x)
< b ⇔ f(x) > log
a
b
a
f(x)
> b ⇔ f(x) < log
a
b
Đặc biệt 2
a

f(x)
< 1 ⇔ f(x) < 0
a
f(x)
> 1 ⇔ f(x) > 0
a
f(x)
< 1 ⇔ f(x) > 0
a
f(x)
> 1 ⇔ f(x) < 0
Lưu ý
a
x
> 0, ∀x ∈ IR
PHƯƠNG PHÁP
 Dạng cơ bản + Dạng cùng cơ số
 Biến đổi về dạng cùng cơ số
 Đặt ẩn phụ
 Logarít hóa hoặc tính đơn điệu (rất ít gặp !)
Lưu ý
 Ln để ý cơ số a > 1 hay a < 1
 Để giải BPT bậc hai ax
2
+ bx + c <> 0 hoặc
BPT dạng thương ta xét dấu vế trái. (xem
phụ lục)
VÍ DỤ MINH HỌA
(Có nhiều cách trình bày lời giải)
DẠNG 1a : CƠ BẢN + đặc biệt

M1. Giải (gọn) bất phương trình cơ bản sau :
a) 2
x
< – 2 b) 10
x
> 0 c) 5
x
> 2
d) 10
x
< 3 e) 7
x + 2
≥ 5 f)
2
x
2
≤ 3
a
a) 2
x
< – 2 (VN)
b) 10
x
> 0 ⇔ x ∈ IR b’)
x
10
≥ 0 ⇔ x ≥ 0
c) 5
x
> 2 ⇔ x > log

5
2
d) 10
x
< 3 ⇔ x < log3
e) 7
x + 2
≥ 5 ⇔ x + 2 ≥ log
7
5

⇔ x ≥ log
7
5

– 2
f)
2
x
2
≤ 3 ⇔ x
2
≤ log
2
3 ⇔ x
2
– log
2
3 ≤ 0
⇔

2
log 3−
≤ x ≤
2
log 3
M2. Giải (gọn) bất phương trình cơ bản sau :
a)
x
1
( ) 5
2
>
b) (
2 1−
)
x
≤ 3
a)
x
1
( ) 5
2
>
⇔ x <
1
2
log 5
b) (
2 1−
)

x
≤ 3 ⇔ x ≥
2 1
log 3
−
M3. Giải bất phương trình cơ bản đặc biệt sau :
a) 3
x
< 1 b) 10
x + 5
≥ 1
c)
2
x x
e
+
> 1 d)
1
x
( 2 1)−
≤
2 1−
e)
1
3
2x 1
log
x 2
2 1
+

−
>
a) 3
x
< 1 ⇔ x < 0
b) 10
x + 5
≥ 1 ⇔ x + 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ – 5
Tập nghiệm : S = [– 5 ; +∞ )
c)
2
x x
e
+
> 1 ⇔ x
2
+ x > 0 ⇔
x 1
x 0

< −

>

Tập nghiệm : S = (– ∞ ; – 1) ∪ (0 ; +∞ )
d)
1
x
( 2 1)−
≤

−2 1
⇔
1
1
x
≥
⇔
1
1 0
x
− ≥
Giải tích 12
giữ chiều
đổi chiều
2 THPT Lưu Tấn Phát
⇔
1 x
0
x
−
≥
⇔ 0 < x ≤ 1
Tập nghiệm : S = (0 ; 1]
e)
1
3
2x 1
log
x 2
2 1

+
−
>
⇔
1
3
2x 1
log
x 2
+
−
> 0
⇔
2x 1
0
x 2
2x 1
1
x 2

+
>


−

+

<


−
⇔
2x 1
0
x 2
x 3
0
x 2

+
>


−

+

<

−
⇔
1
x hoặc x 2
2
3 x 2

< − >




− < <

⇔ – 3 < x <
1
2
−
Tập nghiệm : S = (– 3 ;
1
2
−
)
DẠNG 1b : CƠ BẢN + cùng cơ số
M4. Giải bất phương trình sau :
a) 2
x
< 8 b) 10
– x + 4

≤
1
100
c)
2
x 3x
2
− +
> 4 d)
2
2x 3x
7 9

9 7
−
 
≤
 ÷
 
a) 2
x
< 8 ⇔ 2
x
< 2
3
⇔ x < 3
Có thể giải : 2
x
< 8
⇔
x < log
2
8
⇔
x < 3
Hoặc dừng lại ở x < log
2
8
b) 10
– x + 4

≤
1

100
⇔ 10
– x + 4

≤
2
10
−
⇔ – x + 4 ≤ – 2 ⇔ x ≥ 6
Tập nghiệm : S = [6 ; +∞)
c)
2
x 3x
2
− +
> 4 ⇔
2
x 3x
2
− +
> 2
2

– x
2
+ 3x > 2 ⇔ x
2
– 3x + 2 < 0 ⇔ 1 < x < 2
Tập nghiệm : S = (1 ; 2)
d)

2
2x 3x
7 9
9 7
−
 
≤
 ÷
 
⇔
2
2x 3x 1
7 7
9 9
− −
   
≤
 ÷  ÷
   
⇔ 2x
2
– 3x ≥ – 1 ⇔ 2x
2
– 3x + 1 ≥ 0
⇔
1
x
2
x 1


≤


≥


. S = (– ∞ ;
1
2
] ∪ [1 ; +∞)
DẠNG 1c : BIẾN ĐỔI VỀ DẠNG CƠ BẢN
M5. Giải bất phương trình sau :
a) 3
x
> 2
x
b) 5
x
< 7
x + 1
c) 2
x
+ 2
x + 1
≤ 12 d) 3
x
+ 2.3
x + 2
≥ 5
x

e) 6
2x + 3
< 2
x + 7
. 3
3x – 1
a) 3
x
> 2
x
⇔
x
3
2
 
 ÷
 
> 1 ⇔ x > 0
Tập nghiệm : S = (0 ; +∞)
b) 5
x
< 7
x + 1
⇔ 5
x
< 7.7
x
⇔
x

5
7
 
 ÷
 
< 7
⇔ x >
5
7
log 7
Tập nghiệm : S = (
5
7
log 7
; +∞)
c) 2
x
+ 2
x + 1
≤ 12 ⇔ 2
x
+ 2.2
x
≤ 12
⇔ 3.2
x
≤ 12 ⇔ 2
x
≤ 4 ⇔ x ≤ 2
Tập nghiệm : S = (– ∞ ; 2]

d) 3
x
+ 2.3
x + 2
≥ 5
x
⇔ 3
x
+ 18.3
x
≥ 5
x
⇔ 21.3
x
≥ 5
x
⇔
x
5
3
 
 ÷
 
≤ 21 ⇔ x ≤
5
3
log 21
Tập nghiệm : S = (– ∞ ;
5
3

log 21
]
e) 6
2x + 3
< 2
x + 7
. 3
3x – 1

⇔ 3
2x + 3
. 2
2x + 3
< 2
x + 7
. 3
3x – 1
⇔
2x 3
x 7
2
2
+
+
<
−
+
3x 1
2x 3
3

3
⇔ 2
x – 4
< 3
x – 4
⇔
x 4
2
3
−
 
 ÷
 
< 1 ⇔ x – 4 > 0 ⇔ x > 4
Tập nghiệm : S = (4 ; +∞)
DẠNG 2 : BIẾN ĐỔI VỀ CÙNG CƠ SỐ
M6. Giải bất phương trình sau :
a) 2
x + 1
< 4
x – 1
b)
x 1 x
3 16
4 9
+
   
≥
 ÷  ÷
   

c)
x 1
x 1
x 1
( 2 1) ( 2 1)
−
−
+
+ ≥ −

a) 2
x + 1
< 4
x – 1
⇔ 2
x + 1
< 2
2x – 2

⇔ x + 1 < 2x – 2 ⇔ x > 3
Tập nghiệm : S = (3 ; +∞)
b)
x 1 x
3 16
4 9
+
   
≥
 ÷  ÷
   

⇔
x 1 2x
3 3
4 4
+ −
   
≥
 ÷  ÷
   
⇔ x + 1 ≤ – 2x ⇔ 3x + 1 < 0 ⇔ x < –
1
3
Giải tích 12
3 THPT Lưu Tấn Phát
Tập nghiệm : S = (– ∞ ; –
1
3
)
c)
x 1
x 1
x 1
( 2 1) ( 2 1)
−
−
+
+ ≥ −
⇔
−
−

−
+
+ ≥ +
x 1
x 1
x 1
( 2 1) ( 2 1)
⇔ x – 1 ≥ –
x 1
x 1
−
+
⇔ x – 1 +
x 1
x 1
−
+
≥ 0
⇔
2
x x 2
0
x 1
+ −
≥
+
⇔
2 x 1
x 1


− ≤ < −

≥

Tập nghiệm : S = [– 2 ; – 1) ∪ [1 ; +∞)
DẠNG 3 : ĐẶT ẨN PHỤ
M7. Giải bất phương trình sau :
a) 4
x
– 3.2
x + 1
+ 8 ≥ 0 b) 25
x
+ 5
x
< 30
c) 100
x
– 10
x – 1
– 99 > 0
d) 9
x
– 5.3
x
+ 6 ≤ 0
a) 4
x
– 3.2
x + 1

+ 8 ≥ 0 ⇔ (2
x
)
2
– 6.2
x
+ 8 ≥ 0
Đặt : t = 2
x
, t > 0
¬
không đặt đk cũng được !
Bất phương trình trở thành :
t
2
– 6t + 8 ≥ 0 ⇔
t 2
t 4

≤

≥

Giao điều kiện nhận :
0 t 2
t 4

< ≤

≥


⇔
x
x
0 2 2
2 4

< ≤

≥


⇔
x 1
x 2

≤

≥

Tập nghiệm : S = (– ∞ ; 1] ∪ [2 ; +∞)
b) 25
x
+ 5
x
< 30 ⇔ (5
x
)
2
+ 5

x
– 30 < 0
Đặt : t = 5
x
, t > 0
Bất phương trình trở thành :
t
2
+ t – 30 < 0 ⇔ – 6 < t < 5
Giao điều kiện nhận :
0 < t < 5 ⇔ 0 < 5
x
< 5 ⇔ x < 1
Tập nghiệm : S = (– ∞ ; 1)
c) 100
x
– 10
x – 1
– 99 > 0
⇔ (10
x
)
2
–
x
10
10
– 99 > 0
⇔ 10. (10
x

)
2
– (10)
x
– 990 > 0
Đặt : t = 10
x
, t > 0
Bất phương trình trở thành :
10t
2
– t – 990 > 0 ⇔
99
t
10
t 10

< −


>


Giao điều kiện nhận :
t > 10 ⇔ 10
x
> 10 ⇔ x > 1
Tập nghiệm : S = (1 ; +∞)
d) 9
x

– 5.3
x

+ 6 ≤ 0 ⇔ 9
x

– 5.3
x

+ 6 ≤ 0
Đặt : t = 3
x
, t > 0
Bất phương trình trở thành :
t
2
– 5t + 6 ≤ 0 ⇔ 2 ≤ t ≤ 3
Giao điều kiện nhận :
2 ≤ t ≤ 3 ⇔ 2 ≤ 3
x
≤ 3 ⇔ log
3
2

≤ x ≤ 1
Tập nghiệm : S = [log
3
2 ; 1]
M8. Giải bất phương trình sau :

a) 2
x
+ 2
– x
– 3 < 0 b) 7
x
– 7
1 – x
≥ 6
c) 3
1+ x
+ 3
1 – x
≤ 10 d)
2 2
x x x x 1
5 5
− − +
+
> 6
a) 2
x
+ 2
– x
– 3 < 0 ⇔ 2
x
+
x
1
2

– 3 < 0
Đặt : t = 2
x
, t > 0
Bất phương trình trở thành :
t +
1
t
– 3 < 0 ⇔ t
2
– 3t + 1 < 0
⇔
3 5
2
−
< t <
3 5
2
+
(nhận)
⇔
3 5
2
−
< 2
x
<
3 5
2
+

⇔
2 2
3 5 3 5
log x log
2 2
− +
< <
Tập nghiệm : S = (…)
b) 7
x
– 7
1 – x
≥ 6 ⇔ 7
x
–
x
7
7
– 6 ≥ 0
Đặt : t = 7
x
, t > 0. Ta được :
t –
7
t
– 6 ≥ 0 ⇔ t
2
– 6t – 7 ≥ 0 ⇔
t 1
t 7


≤ −

≥

Giao điều kiện nhận :
t ≥ 7 ⇔ 7
x
≥ 7 ⇔ x ≥ 1
Tập nghiệm : S = [1 ; +∞)
c) 3
1+ x
+ 3
1 – x
≤ 10 ⇔ 3.3
x
+
x
3
3
≤ 10
Giải tích 12
4 THPT Lưu Tấn Phát
Đặt : t = 3
x
, t > 0
Bất phương trình trở thành :
3t +
3
t

– 10 ≤ 0 ⇔ 3t
2
– 10t + 3 ≤ 0
⇔
1
t 3
3
≤ ≤
Giao điều kiện nhận :
1
t 3
3
≤ ≤
⇔
x
1
3 3
3
≤ ≤
⇔ – 1 ≤ x ≤ 1
Tập nghiệm : S = [–1 ; 1]
d)
2 2
x x x x 1
5 5
− − +
+
> 6 ⇔
2
2

x x
x x
5
5
5
−
−
+
> 6
Đặt : t =
2
x x
5
−

¬
không đặt đk t > 0 cũng được
Bất phương trình trở thành :
t +
5
t
– 6 > 0 ⇔ t
2
– 6t + 5 ≥ 0 ⇔
t 1
t 5

≤

≥


 t ≤ 1 ⇔
2
x x
5
−
≤ 1 ⇔ x
2
– x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 1
 t ≥ 5 ⇔
2
x x
5
−
≥ 5 ⇔ x
2
– x ≥ 1
⇔ x
2
– x – 1 ≥ 0 ⇔
1 5
x
2
1 5
x
2

−
≤




+
≥

Tập nghiệm : S = [0 ; 1] ∪ (–∞ ; ?] ∪ [? ; +∞)
M9*.Giải bất phương trình sau :
a) 4.9
x
+ 12
x
– 3.16
x
> 0
b) 4
x
+ 6
x
≥ 10.9
x – 1
c) 4
x
– 2.5
2x
< 10
x
a) 4.9
x
+ 12
x

– 3.16
x
> 0
Chia hai vế cho 16
x
ta được :
2x x
3 3
4. 3 0
4 4
   
+ − >
 ÷  ÷
   
Đặt : t =
x
3
4
 
 ÷
 
, t > 0. Ta được :

4t
2
+ t – 3 > 0 ⇔
t 1
3
t
4


< −


>


Giao điều kiện nhận :
t >
3
4
⇔
x
3
4
 
 ÷
 
>
3
4
⇔ x > 1
Tập nghiệm : S = (1 ; +∞)
b) 4
x
+ 6
x
≥ 10.9
x – 1
⇔ 4

x
+ 6
x
≥ 10.9
x – 1
Chia hai vế cho 9
x
ta được :
2x x
2 2 10
3 3 9
   
+ ≥
 ÷  ÷
   
. Đặt : t =
x
2
3
 
 ÷
 
, t > 0
Bất phương trình trở thành :
t
2
+ t ≥
10
9
⇔ 9t

2
+ 9t – 10 ≥ 0 ⇔
5
t
3
2
t
3

≤ −



≥


Giao điều kiện nhận :
t ≥
2
3
⇔
x
2
3
 
 ÷
 
≥
2
3

⇔ x ≥ 1
Tập nghiệm : S = [1 ; +∞)
c) 4
x
– 2.5
2x
< 10
x
Chia hai vế cho 10
x
ta được :
x x
2 5
2 1
5 2
   
− <
 ÷  ÷
   
⇔
x
x
2 2
1
5
2
5
 
− <
 ÷

 
 
 ÷
 
Đặt : t =
x
2
5
 
 ÷
 
, t > 0 . Ta được :
2
t 1
t
− <
⇔ t
2
– t – 2 < 0 ⇔ – 1 < t < 2
Giao điều kiện nhận :
0 < t < 2 ⇔ 0 <
x
2
5
 
 ÷
 
< 1 ⇔ x > 0
Tập nghiệm : S = (0 ; +∞)
M11.Giải bất phương trình sau :

a)
x
x
3
3
3 2
<
−
b)
x x 1
1 1
3 5 3 1
+
≤
+ −
a)
x
x
3
3
3 2
<
−
Đặt : t = 3
x
. Ta được :
t
3
t 2
<

−
⇔
t
3 0
t 2
− <
−
⇔
2t 6
0
t 2
− +
<
−
⇔
t 2
t 3

<

>

⇔
x
x
3 2
3 3

<


>


⇔
3
x log 2
x 1

<

>

Tập nghiệm : S = (– ∞ ; log
3
2) ∪ (1 ; +∞)
Giải tích 12
>
<
>
<
5 THPT Lưu Tấn Phát
b)
x x 1
1 1
3 5 3 1
+
≤
+ −
Đặt : t = 3
x

¬
không đặt đk t > 0 cũng được
Bất phương trình trở thành :
1 1
t 5 3t 1
≤
+ −
⇔
1 1
0
t 5 3t 1
− ≤
+ −
⇔
−
≤
+ −
2t 6
0
(t 5)(3t 1)
⇔

< −


< ≤


t 5

1
t 3
3
⇔

< −


< ≤


x
x
(VN)3 5
1
3 3
3
⇔ – 1 < x ≤ 1
Tập nghiệm : S = (– 1 ; 1]
PHỤ LỤC
BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2
 Dạng : ax
2
+ bx + c 0
 PP : Xét dấu vế trái
→
tìm nghiệm
 VD :
 x
2

– x – 6 > 0 ⇔
< −


>

x 2
x 3
 x
2
– x – 6 ≤ 0 ⇔ – 2 ≤ x ≤ 3
 x
2
– 12 ≥ 0 ⇔

≤ −

≥


x 2 3
x 2 3
 x
2
– 12 < 0 ⇔
− < <2 2 x 2 2
 x
2
+ 4x + 4 ≥ 0 ⇔ x ∈ IR
 x

2
+ 4x + 4 ≤ 0 ⇔ x = – 2
 x
2
+ 4x + 4 > 0 ⇔ x
≠
– 2
 x
2
+ 4x + 4 < 0 (vơ nghiệm)

 x
2
– x + 1 ≥ 0 ⇔ x ∈ IR
 x
2
– x + 1 ≤ 0 (vơ nghiệm)
 x
2
– x + 1 > 0 ⇔ x ∈ IR
 x
2
– x + 1 < 0 (vơ nghiệm)
BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG THƯƠNG
 Dạng :
P(X)
Q(x)
0
 PP : Xét dấu vế trái
→

tìm nghiệm tử, mẫu
 VD :

+
−
x 2
x 1
> 0 ⇔
< −


>

x 2
x 1

+
−
x 2
x 1
≤ 0 ⇔ – 2 ≤ x < 1

+ −
−
2
x x 12
5 x
≤ 0
⇔ – 4 ≤ x ≤ 3 hoặc x > 5

S = [– 4 ; 3] ∪ (5 : +∞)
Giải tích 12
+
−2
3
o
o
+
--
−∞ +∞
x
VT
+
−
2 3
2 3
o
o
+
--
−∞ +∞
x
VT
+
−2
o
+
−∞ +∞
x
VT

+
−∞ +∞
x
VT
+
−2
o
+
−∞ +∞
x
VT
1
--
+
−4
o
+
−∞ +∞
x
VT
5
--
3
o
--