THỂ TÍCH HÌNH CHÓP

THỂ TÍCH HÌNH CHĨP
A - LÝ THUYẾT TĨM TẮT
1
1) Nếu khối chóp đã cho có chiều cao h và diện tích đáy B thì thể tích tính theo cơng thức V = B.h
3

2) Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa biết chiều cao thì ta phải xác định được vị trí chân đường cao
trên đáy.
a) Chóp có cạnh bên vng góc chiều cao chính là cạnh bên.
b) Chóp có hai mặt bên vng góc đáy đường cao là giao tuyến của hai mặt bên vng góc đáy.
c) Chóp có mặt bên vng góc đáy chiều cao của mặt bên vng góc đáy.
d) Chóp đều chiều cao hạ từ đỉnh đến tâm đa giác đáy.
e) Chóp có hình chiếu vng góc của một đỉnhlên xuống mặt đáy thuộc cạnh mặt đáy đường cao là
từ đỉnh tới hình chiếu.
Chú ý: Các cơng thức tính diện tích đáy
a) Tam giác:
1
1
1
1
1
1
• S = a.h a = b.h b = c.h c
• S = bc sin A = ca.sin B = ab sin C
2
2
2
2
2
2
abc

• S=
• S = pr
• S = p ( p − a )( p − b )( p − c )
4R
• ∆ABC vng tại A: 2S = AB.AC = BC.AH
• ∆ABC đều, cạnh a:
b) Hình vng cạnh a: S = a2
c) Hình chữ nhật: S = a.b

a2 3
4
(a: cạnh hình vng)
(a, b: hai kích thước)
S=

d) Hình bình hành ABCD: S = đáy × cao = AB.AD.sinBAD
1
e) Hình thoi ABCD: S = AB.AD.sinBAD = AC.BD
2
1
f) Hình thang: S = ( a + b ) .h (a, b: hai đáy, h: chiều cao)
2
1
g) Tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc: S = AC.BD
2


B – BÀI TẬP
HÌNH CHĨP ĐỀU
Câu 1: Thể tích (cm3) khối tứ diện đều cạnh bằng

2
3
Hướng dẫn giải:

A.

B.

2 2
81

2
cm là :
3
2 3
C.
81

Gọi cạnh tứ diện đều là a. Dễ dàng tinh được V = a3.

D.

3
18

2
2 2
2
ta được V =
. Thay a =

12
81
3

Chọn đáp án B.
Câu 2: Thể tích của khối bát diện đều cạnh a là:
2
2
3
A. a 3
B. a 3
C. a 3
3
6
2
Hướng dẫn giải:

D. a 3 6

Thề tích của khối chóp tứ giác đều có các cạnh bằng a có thể tích là V1=

a3 2
6

Mà thể tích của khối bát diện đều bằng 2V1. Do đó thể tích khối bát diện đều là V= a 3

2
.
3

Chọn đáp án A.
Câu 3: Kim tự tháp Kê-ốp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên. Kim tự
tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 147m, cạnh đáy dài 230m. Thế tích V của khối
chóp đó là?
A. V = 2592100 m3
B. V = 7776300 m3
C. V = 2592300 m3
D. V = 3888150 m3
Hướng dẫn giải:
1
+ Thể tích của kim tự tháp Kê - ốp là V = .147.2302 = 2592100 m3
3
Chọn đáp án A.
Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tất cả các cạnh bên tạo với mặt phẳng
đáy một góc 600. Thể tích của khối chóp S.ABCD là:
a3
a3 6
a3 3
a3 3
A.
B.
C.
D.
3
2
6
3
Hướng dẫn giải:
Gọi H là giao điểm của AC và BD. Do S.ABCD là chóp
đều nên SO ⊥ (ABCD)

Theo giả thiết ta có SAO = SBO = SCO = SDO = 600
Trong
tam
giác
OBS
ta
có
a 2
a 6
SO = OB.tan 600 =
. 3=
2
2
1
1 a 6 1 3
Thể tích khối chóp V = S ABCD .SO = a 2 .
= a 6
3
3
2
3
Chọn đáp án B.

Câu 5: Một khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b, chiều cao h. Khi đó thể tích khối chóp là:


3 2
3 2
3 2
B.

C.
(b − h 2 )b
(b − h 2 ) h
(b − h 2 ) h
4
4
8
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm BC của hinh chóp S.ABC và H là
hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC). Khi đó AH=
3 2
b 2 − h2 , AM=
b − h 2 . Gọi x là cạnh của tam giác
2
đều ABC suy ra

A.

3 b2 − h 2 x 3
x 3
⇒
=
⇒ x 2 = 3(b 2 − h 2 )
2
2
2
Diện tích tam giác ABC:
3 3 (b2 − h2 )
3 2
S=

⇒ VSABC =
(b − h 2 ) h
4
4
Chọn đáp án B.

3 2
(b − h 2 )
12

D.

S

AM =

A

C

H
M
B

Câu 6: Tính thể tích của khối chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng 1.
3
3
2
A.
B.

C.
2
6
6
Hướng dẫn giải:
1
1 1
2
.1 =
Gọi O là tâm của ABCD, ta có V = .SO.S ABCD =
3
3 2
6
Chọn đáp án C.

D.

2
2

Câu 7: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc 600 . Thể tích

của khối chóp đó bằng:
a3 3
a3 3
A.
B.
12
6
Hướng dẫn giải:

a 3 tan ϕ a 3 3
V=
=
nên
12
12
Chọn đáp án A.

C.

a3 3
36

D.

a3 3
18

Câu 8: Cho hình chóp tam giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a. Mặt bên tạo với mặt đáy một góc 600.
Tính thể tích V của hình chóp S.ABC.
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
A. V =
B. V =
C. V =
D. V =
2
6

12
24
Hướng dẫn giải:
Gọi các điểm như hình vẽ. Theo đề suy ra SIA = 600
a 3
a 3
a
Ta có AI =
⇒ HI =
⇒ SH =
2
6
2
a3 3
Vậy V =
24
Chọn đáp án D.


Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có AB = a , SA=a 2 . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
của các cạnh SA, SB và CD. Tính thể tích V của tứ diện AMNP.
a3 6
a3 6
a3 3
a3 6
A. V =
B. V =
C. V =
.
D. V =

36
48
48
12
Hướng dẫn giải:
a 6
Gọi O là tâm của đáy ABCD. Tính được SO=
2
1
1
1 1
VAMNP= VABSP= VABCD= . SO. AB 2
8 3
4
8
Chọn đáp án .
Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
4a 3 3
a3 3
2a 3 3
2a 3 6
A.
B.
C.
D.
3
3
3
3

Hướng dẫn giải:
Gọi O là tâm hình vng ABCD, M là trung điểm CD. Khi
đó SO là đường cao hình chóp, góc SMO là góc giữa mặt
bên và mặt đáy của hình chóp.
AD 2a
OM =
=
= a ⇒ SO = OM .tan 600 = a 3 . Suy ra
2
2
1
1
4a 3 3
2
VS . ABCD = S ABCD .SO = ( 2a ) .a 3 =
3
3
3
Chọn đáp án A.

Câu 11: Khối chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Khi đó độ dài đường cao h của khối
chóp là:
a 2
a 3
A. h = 3a
B. h =
C. h =
D. h = a
2
2

Hướng dẫn giải:
2

a 2
a 2
h = SO = a − 
 =
2
 2 
Chọn đáp án B.
2

Câu 12: Cho tứ diện đều ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.
Cho biết diện tích tứ giác MNPQ bằng 1, tính thể tích tứ diện ABCD.
11
2 2
2
11
A. V =
B. V =
C. V =
D. V =
24
3
24
6
Hướng dẫn giải:


Ta chứng minh được MNPQ là hình vng, suy ra cạnh tứ diện bằng 2, V =

2 2
3

Chọn đáp án B.
Câu 13: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, đường cao của một mặt bên là a 3 .
Tính thể tích V khối chóp đó.
a3 2
a3 2
a3 2
3
A. V = a 2
B. V =
C. V =
D. V =
3
6
9
Hướng dẫn giải:
Gọi các đỉnh của hình chóp tứ giác đều như hình vẽ bên và
đặt cạnh bằng AB = 2 x . Khi đó SO = x 2, OH = x suy ra
1
a3 2
SH = x 3 . Vậy x = a . Khi đó V = SO. AB 2 =
3
3
Chọn đáp án B.

Câu 14: Để làm một hình chóp tứ giác đều từ một tấm tơn hình vng
có cạnh bằng 1 + 3 , người ta cắt tấm tôn theo các tam giác cân bằng

nhau
MAN , NBP, PCQ, QDM sau đó gị các tam giác
ABN , BCP, CDQ, DAM sao cho bốn đỉnh M , N , P, Q trùng
nhau(hình vẽ).
Biết rằng, các góc ở đỉnh của mỗi tam giác cân là 1500 . Tính thể
tích V của khối chóp đều tạo thành.
3 6 +5 2
2
52 + 30 3
1
B. V =
C. V =
D. V =
24
3
3
3
Hướng dẫn giải:
+ AMN = DMQ = 150 ⇒ AMD = 600 ⇒ ∆MAD đều.
Vì vậy hình chóp tứ giác đều tạo thành có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng MA .

A. V =

(

)

2 1+ 3
MN
=

= 2
2sin 750
6+ 2
+ Dễ dàng chứng minh được rằng:
Trong đó, MA =

“Một khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng x thì có thể tích là V =
+ Với x = 2 thì V =

2
3

Chọn đáp án B.
Câu 15: Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập bạn Bình lớp 12S2
của trường THPT trưng Vương đã làm một hình chóp tứ giác đều
bằng cách lấy một tấm tơn hình vng MNPQ có cạnh bằng a, cắt
mảnh tơn theo các tam giác cân MAN; NBP; PCQ; QDM sau đó gị
các tam giác ANB; BPC; CQD; DMA sao cho bốn đỉnh M;N;P;Q
trùng nhau (như hình)
thể tích lớn nhất của khối chóp đều là

x3 2
”
6


a3
36
Hướng dẫn giải:

A.

B.

a3
24

C.

4 10a 3
375

Gọi cạnh hình vng ABCD là x thì đường cao mặt bên là: SM=
phối chóp SO =

D.

a3
48

a 2−x
suy ra chiều cao của
2

1
1
2a 2 − 2 2ax Vậy V = x 2 2a 2 − 2 2ax lập bbt suy ra V lớn nhất tại x =
2
6

2 2a
5
Ta tìm maxV =

4 10a 3
375

Chọn đáp án C.

Câu 16: Cho hình chóp lục giác đều SABCDEF có SA = 5; AB = 3 . Tính thể tích khối chóp SABCDE.
A. 45 3
B. 18 3
C. 54 3
D. 15 3
Hướng dẫn giải:
Lưu ý rằng lục giác ABCDEF là lục giác đều và nó giống như xếp 6 tam giác đều AOB theo chiều
kim đồng hồ. Ta cần xác định hai yếu tố:
Chiều cao (để ý tam giác AOB đều nên OA = AB = 3 ):

h = SO = SA2 − OA2 = 53 − 32 = 4
Diện tích để ý diện tích ngũ giác ABCDE bằng 5 lần diện tích
tam giác AOB nên ta có:
1
45 3
S = 5.S AOB = 5. AB 2 sin ( 600 ) =
.
2
4
1
1 45 3

.h = 15 3
Do đó, ta có: V = Sh = .
3
3 4
Chọn đáp án D.
Câu 17: Người ta gọt một khối lập phương gỗ để lấy khối tám mặt đều nội tiếp nó (tức là khối có các
đỉnh là các tâm của các mặt khối lập phương). Biết các cạnh của khối lập phương bằng a. Hãy tính thể
tích của khối tám mặt đều đó:
a3
a3
a3
a3
A.
B.
C.
D.
4
6
12
8
Hướng dẫn giải:
Dựng được hình như hình bên
+ Thấy được thể tích khối cần tính bằng 2 lần thể tích của hình
chóp S.ABCD
+ Nhiệm vụ bây giờ đi tìm thể tích của S.ABCD
+ ABCD là hình vng có tâm O đồng thời chính là hình chiếu
của S lên mặt đáy
a
SO = ; BD = cạnh của hình lập phương = a . Suy ra các cạnh
2

2
a
2
2  2  3 a 3
a =

 2 
2 
12


của hình vng ABCD =
1
1 1 
VS . ABCD = Sh = . .
3
3 2 
Vkhôi đa diên = 2.VS . ABCD =

a3
6

Chọn đáp án B.
Câu 18: Cho hình chóp đều S . ABC có đáy cạnh bằng a , góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng
( ABC ) bằng 60° . Gọi A′ , B′ , C′ tương ứng là các điểm đối xứng của A , B , C qua S . Thể tích của
khối bát diện có các mặt ABC , A′B′C ′ , A′BC , B′CA , C ′AB , AB′C ′ , BA′C ′ , CA′B′ là
2 3a 3
B. 2 3a 3 .

.
3
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Ta tính thể tích khối chóp S . ABC :

A.

C.

3a 3
.
2

D.

4 3a 3
.
3

a 3
. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng
3
1
1 a 2 3 a3 3
(ABC) bằng 600 ⇒ SCH = 60o ⇒ SH = a ⇒ VS . ABC = .S H .S ABC = a.
=
.
3
3
4

12
2a 3 3
.
V = 2VB. ACA ' C ' = 2.4VB. ACS = 8VS . ABC =
3
a3 3
Cách 2: Ta có thể tích khối chóp S . ABC là: VS . ABC =
.
12
a 2 39
.
Diện tích tam giác SBC là: S ∆SBC =
12
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) là:
Gọi H là tâm tam giác ABC đều cạnh a ⇒ CH =

d ( A, ( SBC ) ) =

3a

.
13
Tứ giác BCB ' C ' là hình chữ nhật vì có hai đường chéo
bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
2a 3
2a 3
a 39
.
Có SB =
⇒ BB ' =

⇒ B 'C =
3
3
3
a 2 39
.
Diện tích BCB ' C ' là: S BCB ' C ' =
3
1
2a 3 3
Thể tích khối 8 mặt cần tìm là: V = 2. d ( A, ( SBC ) ) .S BCB ' C ' =
.
3
3
Cách 3 (Tham khảo lời giải của Ngọc HuyềnLB).
1
Thể tích khối bát diện đã cho là V = 2VA ' B ' C ' BC = 2.4VA '.SBC = 8VS . ABC = 8. SG.S ABC
3

Ta có: ( SA; ( ABC ) ) = SAG = 600. Xét ∆SGA vuông tại G :
SG
⇔ SG = AG.tan SAG = a.
AG
1
1 a 2 3 2 3a 3
Vậy V = 8. SG.S ABC = 8. .a.
=
.
3
3

4
3
Chọn đáp án A.
tan SAG =


HÌNH CHĨP CĨ MỘT CẠNH VNG GĨC VỚI ĐÁY
Câu 1: Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA, BC, BD đơi một vng góc với nhau:
BA = 3a, BC =BD = 2a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tính thể tích khối chóp
C.BDNM
2a 3
3a 3
A. V = 8a 3
B. V =
C. V =
D. V = a 3
3
2
Hướng dẫn giải:
Khối chóp C.BDNM có CB là đường cao nên có thể tích
1
V = BC.S BDNM , trong đó
3
+ BD = 2a
+ Tứ giác BDNM là hình thang vng tại B, M do MN là
đường trung bình của tam giác ABD nên có diện tích:
3a
(a + 2a ).
3
( MN + BD ).BM

2 = 3a (đvtt)
S BDNM =
=
2
2
2
Chọn đáp án C.
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình cữ nhật, SA vng góc với mặt đáy (ABCD),
AB = a, AD = 2a . Góc giữa cạnh bên SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Thể tích hình chóp
S.ABCD bằng
a3
2a 3
6a 3
2 2a 3
A.
B.
C.
D.
3
3
18
3
Hướng dẫn giải:
1
1
2a 3
V = SA.S ABCD = .a.a.2a =
3
3
3

Chọn đáp án D.

Câu 3: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA = a và vng góc với đáy, M
là trung điểm của SD. Thể tích khối chóp MACD là:
a3
a3
a3
A.
B.
C.
D. a 3
4
12
36
Hướng dẫn giải:
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng đáy bằng nửa khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy suy ra thể tích
của khối chóp MACD là:
1
1
1
VMACD = VSACD = VSABCD = a 3 .
2
4
12
Chọn đáp án B.
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có AB = a, BC = a 3, AC = a 5 và SA vng góc với mặt đáy, SB tạo
với đáy góc 450 . Thể tích của khối chóp S.ABC là:


a3

11 3
3 3
15 3
B.
C.
D.
a
a
a
12
12
12
12
Hướng dẫn giải:
SB tạo với đáy góc 450 nên SA = AB = a
Áp dụng công thức Hê rơng, có
AB + BC + CA 

S ABC = p ( p − AB )( p − AC )( p − BC )  p =

2


a2
a 2 11
=
1 + 3 + 5 −1 + 3 + 5 1 − 3 + 5 1 + 3 − 5 =
4
4
(sử dụng máy tính để tính biểu thức trong dấu căn)

1
11 3
Suy ra VS . ABC = SA.S ABC =
a
3
12
Chọn đáp án A.

A.

(

)(

)(

)(

)

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng 1. Cạnh bên SA vng góc
với mặt phẳng (ABCD) và SC = 5 . Tính thể tích khối chóp S . ABCD.
3
3
B. V =
3
6
Hướng dẫn giải:
Đường chéo hình vng AC = 2

C. V = 3

A. V =

D. V =

15
3

Xét tam giác SAC, ta có SA = SC 2 − AC 2 = 3
Chiều cao khối chóp là SA = 3
Diện tích hình vng ABCD là S ABCD = 12 = 1
Thể tích khối chóp S.ABCD là:
1
3
(đvtt)
VS . ABCD = S ABCD .SA =
3
3
Chọn đáp án A.

Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 2 , SA vng
góc với mp đáy. Góc tạo bởi (SBC) và mặt đáy bằng 300. Thể tích S.ABC bằng
a3
a3 2
a3 2
a3 2
A.
B.
C.

D.
9
4
6
2
Hướng dẫn giải:
Xét ∆ABC vuông tại A
2
S
BC2 = AB2 + AC2
BC2 = a 2 + a 2 ⇔ BC = a 3

(

)

AB. AC a.a 2
a 6
⇔ AH =
=
BC
3
a 3
Góc tạo bởi (SBC) và (ABC) là góc SHA
SA
a 6 1 a 2
=
.
Tan 300 =
=> SA = AH.tan300=

AH
3
3
3
AH .BC = AB. AC => AH =

a3
1
1
1 a 2 1
.SA. . AB. AC = .
. .a.a 2 =
9
3
2
3 3 2
Chọn đáp án C.

a

A

C

300

a

H
B

VS.ACB=

A

B

C
H


Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SA vng góc với mặt phẳng (ABC). Tam giác ABC có
AB = BC = 2a , góc ABC = 1200 . Tính thể tích khối chóp đã cho.
2a 3 3
A. VS . ABC = 3a 3 3
B. VS . ABC = 2a 3 3
C. VS . ABC = a3 3
D. VS . ABC =
3
Hướng dẫn giải:
1
Ta có S ∆ABC = BA.BC.sin1200 = a 2 3
2
1
Vậy VS . ABC = SA.S∆ABC = a 3 3
3
Chọn đáp án C.
Câu 8: Cho hình chop S.ABCD có SC ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a 3 và
ABC = 1200 . Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 450. Tính theo a thể tích khối
chop S . ABCD.

3a 3
3 3a 3
3a 3
3 3a 3
A.
B.
C.
D.
12
2
4
4
Hướng dẫn giải:
Kẻ SK ⊥ AB thì:
CK ⊥ AB ⇒ ( (SAB),(ABCD) ) = (SK,CK) = ABC = 450
ABC = 1200 ⇒ ABC = 600 ⇒ CB sin 600 =

3a
2

3a
(1)
2
3 3a 2
S ABCD = AB.BC .sin1200 =
(2)
2
1
3 3a 3
Từ (1) và (2) ⇒ VS . ABCD = SC .S ABCD =

3
4
Chọn đáp án D.
⇒ SC = CK .tan 450 =

Câu 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = a, AD = a 2 ,

SA ⊥ ( ABCD ) góc giữa SC và đáy bằng 600. Thể tích hình chóp S.ABCD bằng:
A.

2a 3

B. 3 2a3

C. 3a 3

D.

6a 3

Hướng dẫn giải:
Theo bài ra ta có, SA ⊥ ( ABCD ) , nên AC là hình chiếu vng góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).

(

)

⇒  SC , ( ABCD )  = SC , AC = SCA = 600



Xét ∆ABC vng tại B, có

AC = AB 2 + BC 2 = a 2 + 2a 2 = a 3
Xét ∆SAC vng tại A, có ( SA ⊥ ( ABCD ) ) ⇒ SA ⊥ AC
Ta có:
SA
tan SCA =
⇒ SA = AC.tan SCA = AC.tan 600 = a 3. 3 = 3a
AC
Vậy thể tích hình chóp S.ABCD là:
1
1
VS . ABCD = .SA.S ABCD = .3a.a.a 2 = a 3 2
3
3
Chọn đáp án A.


Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O, AB = a 5; AC = 4a, SO = 2 2a . Gọi
M là trung điểm SC. Biết SO vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp M.OBC.
2a 3
A. 2 2a3
B. 2a3
C.
D. 4 a 3
3
Hướng dẫn giải:
Để tính được thể tích của khối hình chóp M.OBC ta cần tính được diện tích đáy OBC và khoảng
cách từ M đến đáy.
Kẻ MH / / SO ( H ∈ [OC ]) , vì SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ MH ⊥ ( ABCD ) ⇒ MH ⊥ ( OBC )

Nên d ( M ; ( OBC ) ) = MH . Áp dụng định lý Ta lét vào tam giác SOC ta có:
MH MC 1
=
= ⇒ MH = a 2
SO
SC 2

Do AC ⊥ BD nên O =

AB 2 − AO 2 = 5a 2 − ( 2a ) = a
2

1
1
Diện tích đáy là SOBC = OB.OC = a.2a = a 2
2
2
1
1
a3 2
Thể tích khối chóp cần tính là V = MH .SOBC =
2a.a 2 =
3
3
3
Chọn đáp án C.

Câu 11: Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = a, AD = a 2 , SA ⊥ ( ABCD )
góc giữa SC và đáy bằng 600. Thể tích hình chóp S.ABCD bằng:
A. 2a3

B. 6a3
C. 3a 3
D. 3 2a 3
Hướng dẫn giải:
SA ⊥ ( ABCD ) nên AC là hình chiếu vng góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Xét ∆ABC vuông tại B, có

AC = AB 2 + BC 2 = a 2 + 2a 2 = a 3
Xét ∆SAC vuông tại A, ( SA ⊥ ( ABCD ) ) ⇒ SA ⊥ AC
Ta có:
SA
tan SCA =
⇒ SA = AC.tan SCA = AC.tan 600 = a 3. 3 = 3a
AC
Vậy thể tích hình chóp S.ABCD là
1
1
VS . ABCD = .SA.S ABCD = .3a.a.a 2 = a 3 2
3
3
Chọn đáp án A.
Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt
phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 và SC = 2a . Tính thể tích V của
khối chóp S.ABCD.
a3
a3
a3
a3 2
A. V =
B. V =

C. V =
D. V =
2
3
6
3
Hướng dẫn giải:
Vì SA ⊥ ( ABCD ) nên AC là hình chiếu vng góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
⇒ ( SC , ( ABCD ) ) = ( SC , AC ) = SCA = 450
Tam giác SAC vuông tại A nên:
SA
sin SCA =
⇒ SA = SC.sin SCA = 2a.sin 450 = 2a
SC


S ABCD = AB 2 = a 2

1
1
2 3
Vậy V = S ABCD .SA = .a 2 . 2a =
.a
3
3
3
Chọn đáp án D.

Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = a 2 , cạnh bên
SA vng góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 450. Thể tích

khối chóp S.ABC theo a bằng
a3 2
a3 2
a3 2
a3 2
;
;
;
A. VS . ABC =
B. VS . ABC =
C. VS . ABC =
D. VS . ABC =
6
2
4
12
Hướng dẫn giải:
* Ta có : AB = a 3 , (SBC) ∩ (ABC) = BC
Gọi M là trung điểm BC
AM ⊥ BC ( vì ∆ ABC cân tại A)
SM ⊥ BC ( vì AM = hc SM ⇒
( ABC )

(( SBC ),( ABC )) = ( SM , AM ) = SMA = 45o
* ∆ ABC vuông cân tại A có,BC = a 2 ⇒ AB = BC = a và
a 2
AM =
2
1
1

a2
⇒ S∆ABC = AB. AC = .a.a =
2
2
2
a 2
, M = 450 ⇒
* ∆ SAM vuông tại A có AM=
2
a 2
SA = AB.tan 45o =
2
1
1 a 2 a 2 a3 . 2
* VS . ABC = .S ABC .SA = . .
.
=
3
3 2 2
12
Chọn đáp án D.
Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC cân tại A.
Cạnh bên SB lần lượt tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng trung trực của BC các góc bằng 300 và 450,
khoảng cách từ S đến cạnh BC bằng a. Tính thể tích khối chóp S . ABC.
a3
a3
a3
A. VS . ABC = a 3
B. VS . ABC =
C. VS . ABC =

D. VS . ABC =
2
3
6
Hướng dẫn giải:
Ta có SA ⊥ ( ABC ) nên AB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng ( ABC ) ⇒ SBA = 300 . Gọi G là
 BC ⊥ AM
⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ ( SAM ) là mặt phẳng trung trực của BC và
trung điểm BC, ta có 
 BC ⊥ SA
SM là hình chiếu của SB trên ( SAM ) ⇒ BSM = 450 ⇒ ∆SBC vuông cân tại S. Ta có
SM ⊥ BC ⇒ d ( B , SC ) = SM = a ⇒ SB = SC = a 2, BC = 2a


Tam giác SBA vng tại A, ta có SA = SB.sin 300 =
Trong tam giác vng SAM, ta có:

a 2
2

2

a 2
a 2
AM = SM − SA = a − 
 =
2
 2 
1
a3

Vậy VS . ABC = BC. AM .SA =
6
6
Chọn đáp án D.
2

2

2

Câu 15: Cho hình chóp S . ABCD có cạnh đáy ABCD là hình vng tâm O cạnh bằng a , SA vng
góc với ( ABCD ) và SA = 2a . Gọi I là trung điểm của SC và M là trung điểm của DC . Tính thể
tích của khối chóp I .OBM .
a3
3a 3
a3 3
A. V =
B. V =
C. V =
24
24
24
Hướng dẫn giải:
IO / / SA

1
Ta có:
 ⇒ IO ⊥ ( ABCD ) ⇒ IO = SA = a
SA ⊥ ( ABCD ) 
2

D.

a3 2
24

Diện tích của ∆OBM :
1
1 a a 2 2 a2
S = OM .OB sin1350 = . .
.
=
2
2 2 2
2
8
Tính thể tích của khối chóp I .OBM :
1
1 a2
a3
VI .OBM = .S ∆OBM .IO = . .a =
3
3 8
24
Chọn đáp án A.
Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD = 1200, SA vng góc với

(ABCD). Gọi M, I lần lượt là trung điểm của BC và SB, góc giữa SM và (ABCD) bằng 600. Khi đó
thể tích của khối chóp IABCD bằng
a3 6

a3 3
a3 3
a3 3
6
A. 4
B. 8
C. 2
D.
Hướng dẫn giải:
Ta có SA ⊥ ( ABCD ) nên AM là hình chiếu của SM trên mặt phẳng ( ABCD )

⇒ ( SM ;( ABCD) ) = SMA = 600

∆ABC có AB = BC = a và ABC = 600 nên ∆ABC đều.
AB 3 a 3
AM =
=
2
2
Mà M là trung điểm của BC nên
SA
a 3 3a
⇒ SA = tan 600.
=
AM
2
2
Khi đó
Thể tích khối chóp I.ABCD là
1

VI . ABCD = .d ( I ;( ABCD ) ) .S ABCD
3
1
1
a3 3
= .d ( I ;( ABCD) ) .S ABCD = .SA.S ∆ABC =
6
3
8 .
Chọn đáp án B.
tan SMA =


Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD)
và góc giữa đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (SAB) bằng 300 . Gọi M là trung điểm của SA, (P) là
mặt phẳng đi qua M và vng góc với SC. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại N, E,
F. Tính theo a thể tích khối chóp S.MNEF.
a3 2
a3 2
a3 2
a3 2
A.
B.
C.
D.
36
72
18
9
Hướng dẫn giải:

BC ⊥ AB 
0
Từ giả thiết ta có:
 ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BSC = 30 là góc giữa SC với mp (SAB)
BC ⊥ SA 
Từ đó: SB = BC.cot 300 = a 3, SA = SB 2 − AB 2 = a 2

SB ⊥ ( P ) tại E nên thể tích khối chóp S.MNEF
1
được xác định bởi: V = S MNEF .SE
3
Do SA ⊥ AC và SA = AC = a 2 , nên SAC vuông cân tại A
SM a
⇒ ∆SEM vuông cân tại E ⇒ SE =
=
2 2
Ta có:
MN ⊥ CS ( do SC ⊥ ( P ) ) 
 ⇒ MN ⊥ ( SBC ) ⇒ MN ⊥ NE , MN ⊥ SB
MN ⊥ BC ( do BC ⊥ ( SAB ) ) 
⇒ S MNE =

1
1 a 6 a 3 a2 2
MN .NE =
.
=
2
2 6
6

24

Hoàn tồn tương tự ta cũng có MF ⊥ EF và S MEF =
1
a3 2
(đvtt)
Vậy V = S MNEF .SE =
3
72
Chọn đáp án B.

a2 2
a 2
⇒ S MNEF =
24
12


HÌNH CHĨP CĨ MẶT VNG GĨC VỚI ĐÁY
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a. Hai mặt bên (SAB)
và (SAD) vng góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp S . ABCD.
2a 3 15
2a 3 5
a 3 15
a3 5
A.
B.
C.
D.
3

3
3
3
Hướng dẫn giải:
Ta có SA ⊥ ( ABCD) ⇒ SCA = 600.
⇒ SA = AC .tan 600 = a 2 + (2a ) 2 3 = a 15

1
2a 3 15
.
⇒ V = a.2a.a 15 =
3
3
Chọn đáp án A.

1
AD = a .
2
Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ACD.
a3
a3
a3 2
a3 3
A. VS . ACD =
B. VS . ACD =
C. VS . ACD =
D. VS . ACD =
3
2
6

6
Hướng dẫn giải:
Ta chứng minh được tam giác ACD vuông cân tại C và
CA = CD = a 2 , suy ra S∆ACD = a 2
Gọi H là trung điểm của AB vì tam giác SAB đều và nằm
trong mặt phẳng vng góc với đáy, suy ra SH ⊥ ( ABCD )

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và B, AB = BC =

a3 3
a 3
.
. Vậy S S . ACD =
2
6
Chọn đáp án D.
và SH =

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình vng cạnh a. Các mặt phẳng (SAB), (SAD) cùng
vng góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 300. Tính thể tích V của
hình chóp S.ABCD.
a3 6
a3 6
a3 6
a3 3
A. V =
B. V =
C. V =
D. V =
9

3
4
9
Hướng dẫn giải:
a 6
a3 6
Theo đề ta có SCA = 300 . AC = a 2 suy ra SA =
. Vậy V =
3
9
Chọn đáp án A.
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B, có BC = a . Mặt bên SAC
vng góc với đáy các mặt bên cịn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450. Thể tích khối chóp SABC
bằng
a3
a3
a3 3
a3 3
A.
B.
C.
D.
4
12
6
4
Hướng dẫn giải:


Kẻ SH ⊥ BC vì ( SAC ) ⊥ ( ABC ) nên SH ⊥ ( ABC )

Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC
⇒ SJ ⊥ AB, SJ ⊥ BC
Theo giả thiết SIH = SJH = 450
Ta có: ∆SHI = ∆SHJ ⇒ HI = HJ nên BH là đường phân
giác của ∆ABC từ đó suy ra H là trung điểm của AC.
a
1
a3
HI = HJ = SH = ⇒ VSABC = S ABC .SH =
2
3
12
Chọn đáp án B.

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, SA vng góc với
mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300. Gọi M là trung điểm của cạnh
SC. Thể tích của khối chóp S.ABM bằng:
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
A.
B.
C.
D.
12
18
24
36
Hướng dẫn giải:

a2
a3 3
V
a3 3
a 3
Diện tích đáy : S =
, chiều cao h =
, VS . ABC =
⇒ VS . ABM = S . ABC =
2
3
18
2
36
Chọn đáp án D.
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh 2a, gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AD, DC. Hai mặt phẳng (SMC), (SNB) cùng vng góc với đáy. Cạnh bên SB hợp với đáy góc 600 .
Thể tích của khối chóp S.ABCD là:
16 15 3
16 15 3
15 3
A.
B.
C. 15a 3
D.
a
a
a
5
15

3
Hướng dẫn giải:
Gọi H là giao CM và BN thì SH ⊥ ( ABCD ) .
Chứng minh được CH ⊥ NB tại H
BC 2
BC 2
4a
⇒ BH =
=
=
2
2
BN
5
BC + CN
4a 15
⇒ SH = BH .tan 600 =
5
1
16a 3 15
⇒ VS . ABCD = SH .S ABCD =
3
5
Chọn đáp án A.
Câu 7: Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình vng. Mặ bên SAB là tam giác cân tại S, mặt
phẳng (SAB) vng góc với đáy, mặt phẳng (SCD) tạo với đáy gọc 600 và cách đường thẳng AB một
khoảng là a. Tính thể tích khối chop theo a?
8a 3
2a 3
4a 3

6a 3
A.
B.
C.
D.
9
9
9
9
Hướng dẫn giải:
Gọi H,I lần lượt là trung điểm AB và CD.


Do tam giác SAB cân tại S nên: SH ⊥ AB mà (SAB) ⊥ (ABCD) do đó:
SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ CD, I H ⊥ CD . Do đó: CD ⊥ (SHI) , kẻ HK ⊥ SI ,CD ⊥ HK
Do đó ta có: HK ⊥ ( SCD ) ⇒ HK = d (h,(SCD)) = d(AB,(SCD)) = a
I H ⊥ CD

⇒ ( (SCD),(ABCD) ) = ( HI , SI ) = SHI = 600
CD ⊥ ( SHI ) ⇒ SI ⊥ CD
CD = (SCD) ∩ (ABCD)

Trong tam giác HKI có HI =

2a
HK
=
= BC
0
sin 60

3

Trong tam giác HIS có SH = HI .tan 600 = 2a . Diện tích ABCD là: S ABCD = BC 2 =

4a 2
3

1
8a 3
Thể tích của S.ABCD là: VS . ABCD = .SH .S ABCD =
3
9
Chọn đáp án A.

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và mặt bên
(SAB) vng góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Khi đó thể tích của khối chóp
S.MBND là:
a3 3
a3 3
A.
B. a 3 3
C.
D. a 3 6
3
6
Hướng dẫn giải:
a 3
Gọi là chiều cao khối chóp.Vì tam giác SAB vng tại S ⇒ h =
2
2

Diện tích tứ giác BMDN là: S BMDN = S ABCD − 2S ∆NCD = 2a
Chọn đáp án A.

Câu 9: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác BCD vuông cân tại D và nằm
trong mặt phẳng vng góc với ( ABC ) . Tính thể tích V của khối tứ diện ABCD.
3a 3
.
6
Hướng dẫn giải:
Dựng

A. V =

B. V =

a3
.
12

C. V =

AH ⊥ BC ,

do

( ABC ) ⊥ ( BCD ) ⇒ AH ⊥ ( BCD ) .
Ta

có,

do

∆ABC

đều ⇒ AH =

1
a2
DH .BC = .
2
4
1
3a 3
.
Vậy VABCD = AH .S BCD =
3
24
Chọn đáp án D.
S BCD =

a 3
2

và

3a 3
.
8

D. V =

3a 3
.
24


Câu 10: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vng góc với ( ABCD ) . Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD.
3a 3
.
6
Hướng dẫn giải:
Dựng SH ⊥ AB, do

A. V =

B. V =

a3
.
12

C. V =

3a 3
.
8

D. V =

3a 3
.
24

( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD ).
Ta có, do ∆SAB đều ⇒ SH =

a 3
và
2

S ABCD = a 2 .

1
3a 3
Vậy VS . ABCD = SH .S ABCD =
.
3
6
Chọn đáp án A.

Câu 11: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a, mặt bên SAB nằm trong mặt phẳng
vng góc với ( ABCD ) , SAB = 300 , SA = 2a. Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD.
3a 3
.
6
Hướng dẫn giải:
Dựng SH ⊥ AB, do

A. V =

B. V =

a3
.
3

C. V =

a3
.
9

D. V = a 3 .

( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD ).
Ta có, do ∆SHA vng tại H :
SH
sin SAH =
⇔ SH = SA.sin SAH = a và
SA
S ABCD = a 2 .
1
a3
Vậy VS . ABCD = SH .S ABCD = .
3
3
Chọn đáp án B.

Câu 12: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác BCD cân tại D và nằm trong

mặt phẳng vng góc với ( ABC ) . Biết AD hợp với mặt phẳng ( ABC ) một góc 600. Tính thể tích V
của khối tứ diện ABCD.
a3
3a 3
A. V =
B. V = .
.
12
6
Hướng dẫn giải:

C. V =

3a 3
.
8

D. V =

3a 3
.
24


Dựng AH ⊥ BC , do

( ABC ) ⊥ ( BCD ) ⇒ AH ⊥ ( BCD ) .
Ta có, do ∆ABC đều ⇒ AH =

DH ⊥ BC ⇒ DH ⊥ ( ABC )

a 3
và
2

⇒ ( AD; ( ABC ) ) = HAD = 600.

Xét tam giác AHD vuông tại H : tan HAD =

HD
AH

3a
.
2
3a 3
=
.
8

⇔ HD = AH .tan HAD =

1
Vậy VABCD = HD.S ABC
3
Chọn đáp án C.

Câu 13: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB nằm trong mặt phẳng
vuông góc với ( ABCD ) , SAB = 600 , SA = 2a. Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD.
3a 3

.
3
Hướng dẫn giải:
Dựng SH ⊥ AB, do

A. V =

B. V =

a3
.
3

C. V =

2 3a 3
.
3

D. V = a 3 .

( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD ).
Ta có, do ∆SHA vng tại H :
SH
sin SAH =
⇔ SH = SA.sin SAH = a 3. và
SA
S ABCD = a 2 .
1
3a 3

Vậy VS . ABCD = SH .S ABCD =
.
3
3
Chọn đáp án A.

Câu 14: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, BC = 2 AB = 2a, tam giác SAC
nằm trong mặt phẳng vng góc với ( ABCD ) , SAB = 600 , SA = 2a. Tính thể tích V của khối chóp

S . ABCD.
3a 3
.
3
Hướng dẫn giải:
Dựng SH ⊥ AC , do

A. V =

B. V =

a3
.
3

( SAC ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) .
Ta có, do ∆SHA vng tại H :
SH
sin SAH =
⇔ SH = SA.sin SAH = a 3. và
SA

S ABCD = 2a 2 .
1
2 3a 3
Vậy VS . ABCD = SH .S ABCD =
.
3
3
Chọn đáp án C.

C. V =

2 3a 3
.
3

D. V = a 3 .


Câu 15: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, CAD = 300 , tam giác SAB đều và nằm
trong mặt phẳng vng góc với

( ABCD ) ,

SAB = 600 , SA = 2a. Tính thể tích V của khối chóp

S . ABCD.
a3
.
12
Hướng dẫn giải:

Dựng SH ⊥ AB, do

A. V =

B. V =

a3
.
4

C. V =

2 3a 3
.
3

D. V = a 3 .

( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD ).
a 3
2
. Do ABCD là hình thoi cạnh a và CAD = 300
3a 2
3a 2
=
.
nên BAD đều. Suy ra S ABCD = 2.
4
2
1

a3
Vậy VS . ABCD = SH .S ABCD = .
3
4
Chọn đáp án B.
Ta có, do ∆SAB là tam giác đều nên SH =

Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD biết ABCD là một hình thang vng ở A và D; AB = 2a;
AD = DC = a . Tam giác SAD vuông ở S. Gọi I là trung điểm AD. Biết (SIC) và (SIB) cùng vng
góc với mp(ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
a3
a3
3a 3
a3 3
A.
B.
C.
D.
3
4
4
3
Hướng dẫn giải:
Ta có (SIC) và (SIB) cùng vng góc với (ABCD)
nên SI vng góc với (ABCD)
Tam giác ASD vng tại S nên SI =1/2 AD=a/2
1 a 1
a3
V = . . ( a + 2a ) a =
3 2 2

4
Chọn đáp án B.

Câu 17: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)
cùng vng góc với đáy, AB = a, AD = 2a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng a 2
. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng:
4a 3
2a 3
A.
B. 3a 3
C. a 3
D.
3
3
Hướng dẫn giải:
gọi O là giao điểm của 2 đường chéo của đáy của hình chóp


 ( SAC ) ⊥ ( ABCD )

Theo bài ra ta có  ( SBD ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) ;
 SA = ( SAC ) ∩ ( SBD )

AB / / DC ⇒ d ( AB, SD ) = d ( AB, ( SCD ) ) = d ( B, ( SCD ) ) .

Ta có

d ( B, ( SCD ) )

d ( O, ( SCD ) )

=

a 2
DB
= 2 nên d ( O, ( SCD ) ) =
2
DO

Vì O là chân đường cao của hình chóp nên ta có cách dựng khoảng cách từ O đẻn mặt phẳng ( SCD )
như sau: Kẻ OH ⊥ CD, OK ⊥ SH thì ta có OK = d ( O, ( SCD ) ) =
Áp dụng hệ thực lượng vào tam giác SOH vuông tại O ta có

a 2
2

1
1
1
=
+
⇒ SO = a
2
2
OK
SO
OH 2

1
2

Thể tích hình cần tính là V = a.a.2a = a 3
3
3
Chọn đáp án D.

Câu 18: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D; biết AB = AD = 2a ,
CD = a . Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của AD, biết hai
mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vng góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích của khối chóp
S . ABCD .
3 5a 3
3 15a 3
3 15a 3
3 5a 3
A.
B.
C.
D.
8
5
8
5
Hướng dẫn giải:
Như đã nhắc ở câu trước thì do hai mặt phẳng
(SBI) và (SCI) cùng vng góc với (ABCD) nên
SI ⊥ ( ABCD ) nên SI là đường cao của S . ABCD.
Kẻ IK ⊥ BC tại K. Khi đó ta chứng minh được
SKI = ( ( SBC ) ; ( ABCD ) ) = 600 . Ta vẽ hình phẳng
của mặt đáy. Ta có M = AD ∩ BC ta chứng minh
được CD là đường tủng bình của tam giác ABM.
Khi đó

AM = 4a; BM =

( 2a )

2

+ ( 4a ) = 2a 5; IM = 3a
2

Ta có ∆KMI ~ ∆AMB
IM
IK
3a
3a
⇒
=
⇒ IK =
.2a =
,
BM AB
2a 5
5
SI = IK .tan 600 =

3a
5

. 3=

3a 3
5

1 3a 3 1
3a 3 15
V= .
. ( a + 2a ) .2a =
3
5
5 2
Chọn đáp án B.

Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai đường chéo AC = 2 3a, BD = 2a và
cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vng góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng
a 3
cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng
, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
4


a3
3a 3
7a3
B.
C.
3
3
3
Hướng dẫn giải:
+Từ giả thiết AC = 2a 3; BD = 2a và AC , BD vng

góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo. Ta
có tam giác ABO vuông tại O và AO = a 3 ; BO = a ,
do đó ABD = 600
Hay tam giác ABD đều.
Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vng
góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng
là SO ⊥ ( ABCD ) .
+Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của
AB, K là trung điểm của HB ta có DH ⊥ AB và
1
a 3
DH = a 3 ; OK / / DH và OK = DH =
2
2
⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( SOK ) .

A.

D.

3a 3

+Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥ SK ; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ ( SAB ) , hay OI là khoảng cách
từ O đến mặt phẳng (SAB).
1
1
1
a
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao ⇒ 2 =
+

⇒ SO =
2
2
OI
OK
SO
2
Diện tích đáy: S ABCD = 4S∆ABO = 2.OA.OB = 2 3a 2 ;
Đường cao của hình chóp SO =

Chọn đáp án A.

a
1
3a 3
. Thể tích khối chóp S . ABCD : VS . ABCD = S ABCD .SO =
2
3
3


HÌNH CHĨP KHÁC
Câu 1: Cho hình chóp tam giác có đường cao bằng 100 cm và các cạnh đáy bằng 20 cm, 21 cm, 29
cm. Thể tích của hình chóp đó bằng
A. 6000 cm3
B. 6213 cm3
C. 7000 cm3
D. 7000 2 cm3 .
Hướng dẫn giải:
20 + 21 + 29

Nửa chu vi của tam giác đáy là P =
= 35
2
Áp dụng công thức Hê-rơng ta có diện tích đáy là B = 35 ( 35 − 20 )( 35 − 21)( 35 − 29 ) = 210 .
1
1
Thể tích khối chóp cần tìm là V = B.h = .210.100 = 7000 cm3 .
3
3
Chọn đáp án C.

Câu 2: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 48, đáy ABCD hình thoi. Các điểm M, N, P, Q lần lượt
thuộc SA, SB, SC, SD thỏa: SA = 2SM, SB = 3SN, SC = 4SP, SD = 5SQ. Thể tích khối chóp S.MNPQ
là
2
4
6
8
A. .
B. .
C. .
D. .
5
5
5
5
Hướng dẫn giải:
1
1
VSMNP = VSABC , VSMPQ = VSACD

24
40
1
1
8
⇒ VSMNPQ = .24 + .24 = .
24
40
5
Chọn đáp án D.
Câu 3: Cho hình chóp tam giác S . ABC có ASB = CSB = 60o , CSA = 90o , SA = SB = SC = 2a . Tính
thể tích khối chóp S . ABC
a3 6
2a 3 6
2a 3 2
a3 2
A.
B.
C.
D.
3
3
3
3
Hướng dẫn giải:
Ta có tam giác ABC vng tại B, Hai tam giác SAB và SBC đều.
Vì SA = SB = SC = 2a . Hình chiếu của S trùng với tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC mà tam giác ABC vng tại B nên
hình chiếu là trung điểm H của AB.
( 2a ) 3 = a 3, AB = 2a ⇒ V = 1 . 1 2a 2 .a 3 = 2a 3 3

SH =
( )
2
3 2
3
Chọn đáp án C.

Câu 4: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB; AC; AD tạo với nhau góc 600. Biết AB = 2a ; AC = 3a ;
AD = 4a . Tính thể tích ABCD.
a3 2
A.
B. a 3 2
C. 2a3 2
D. 4a3 2
12
Hướng dẫn giải:
Đây là một bài toán khá điển hình của hình học khơng gian. Mấu chốt của bài tốn nằm ở việc lấy thêm
điểm để tính tốn.


Lấy 3 điểm M, N, P lần lượt thuộc đoạn AB, AC, AD sao cho AM = AN = AP = a . Suy ra tứ diện
AMNP là tứ diện đều có độ dài các cạnh là a. Đến đây bài toán trở về dạng đơn giản. Ta dễ dàng tính
a3 2
được thể tích AMNP bằng
12
VABCD
AB AC AD
Lại có:
=
.

.
= 2.3.4 = 24 ⇒ VABCD = 24VAMNP = 2a 3 2
VAMNP AM AN AP
Chọn đáp án C.

Câu 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V. Lấy điểm A’ trên cạnh SA sao cho
1
SA ' = SA . Mặt phẳng qua A’ và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt
3
tại B’, C’, D’. Khi đó thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ bằng:
V
V
V
V
A.
B.
C.
D.
3
9
27
81
Hướng dẫn giải:
1 1
Gọi thể tích VS.ABCD = . a.ha .h
3 2
1
Với Sđáy = a.ha h là chiều cao hính chóp S.ABCD
2
1 1

1
1
1
VS.A’B’C’D’ = . a '.ha ' .h ' mà: h ' = h , a ' = a , ha ' = ha
3 2
3
3
3
VS.ABCD
Nên VS.A’B’C’D’ =
27
Chọn đáp án C.
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai đường chéo AC = 2 3a; BD = 2a và
cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vng góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng
a 3
cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
4
a3
a3 3
a3 2
A. a 3 3
B.
C.
D.
3
3
2
Hướng dẫn giải:
Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có:

1
a 3
DH ⊥ AB; DH = a 3; OK DH ; OK = DH =
2
2
⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( SOK )
Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có:
OI ⊥ SK ; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ ( SAB ) , hay OI là
khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB).
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao
1
1
1
a
⇒
=
+
⇒ SO =
2
2
2
OI
OK
SO
2
Diện tích đáy S ABCD = 4S ABO = 2.OA.OB = 2 3a 2
a
Đường cao của hình chóp ASO =
2
Thể tích khối chóp S.ABCD:

1 a
a3 3
V = . .2a 2 3 =
3 2
3


Chọn đáp án C.
a 17
, hình chiếu vng góc H của
2
S lên mặt ( ABCD ) là trung điểm của đoạn AB . Tính chiều cao của khối chóp H .SBD theo a .

Câu 7: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SD =

3a
.
5
Hướng dẫn giải:

A.

B.

a 3
.
7

C.

a 21
.
5

D.

3a
.
5

2

 a 17   2  a 2 
Ta có ∆SHD vng tại H ⇒ SH = SD − HD = 
 −  a +    = a 3 .
2 
 2  
B
1
a 2
Cách 1. Ta có d ( H , BD ) = d ( A, BD ) =
.
2
4
S
Chiều cao của chóp H .SBD là
H
SH .d ( H , BD )
d ( H , ( SBD ) ) =
=

2
SH 2 +  d ( H , BD ) 
A
2

2

a 2
2
4 = a 6.2 2 = a 3 .
4.5a
5
a2
3a 2 +
A
8
1
3 3
Cách 2. S . ABCD = SH .S ABCD =
a ⇒ VH .SBD =
3
3

B

a 3.

C

I

D

C

H

D

1
1
1
3 3
VA.SBD = VS . ABC = VS . ABCD =
a .
2
2
4
12
a 2 a 13
Tam giác ∆SHB vuông tại H ⇒ SB = SH 2 + HB 2 = 3a 2 +
=
.
4
2
5a 2
a 13
a 17
Tam giác ∆SBD có SB =
.
; BD = a 2; SD =

⇒ S ∆SBD =
4
2
2
3V
a 3
⇒ d ( H , ( SBD ) ) = S . HBD =
.
S ∆SBD
5
Cách 3. Gọi I là trung điểm BD . Chọn hệ trục Oxyz với O ≡ H ; Ox ≡ HI ; Oy ≡ HB; Oz ≡ HS .
z
 a 
a

Ta có H ( 0;0;0 ) ; B  0; ;0  ; S 0;0; a 3 ; I  ;0;0 
S
 2 
2

Vì ( SBD ) ≡ ( SBI )

(

⇒ ( SBD ) :

)

y

2x 2 y
z
3
+
+
= 1 ⇔ 2x + 2 y +
z − a = 0.
a
a a 3
3
2.0 + 2.0 +

Suy ra d ( H , ( SBD ) ) =

3
.0 − a
3

4+4+

1
3

=

a 3
.
5

C

B

O ≡H

A

I
x

D

Chọn đáp án A.
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng tâm O, AB = a. Hình chiếu vng góc của S trên
mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm đoạn OA. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD)
bằng 600. Tính thể tích V của hình chóp S . ABCD.
3 3a 3
3a 3
3a 3
3a 3
A. V =
B. V =
C. V =
D. V =
4
8
4
12