ĐÁP ÁN CHI TIẾT- CHuyên đề ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MP

LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG - LỚP TỐN THẦY HUY – THANH TRÌ –
HN – 0969141404

ĐÁP ÁN CHI TIẾT – LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG VÀ CÁC
DẠNG TOÁN – LỚP TOÁN THẦY HUY SIÊU CẤP ĐZ
A – lý thuyết cần nhớ.
ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG
I. Định nghĩa:
Một đường thẳng được gọi là vng góc với một mặt phẳng nếu nó
vng góc với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó:
d  mp()  d  a, a  ()

II.

Các định lý:
Định lý 1: Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt
nhau a và b cùng nằm trong mp(P) thì đường thẳng d vng góc với
mp(P):
d  a ,d  b

 d  (P)
a , b  (P)
a , b cắt nhau

cắt nhau

Định lý 2: (Ba đường vng góc)
Cho đường thẳng a khơng vng góc với mp(P) và đường thẳng b
nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vng góc với a là b
vng góc với hình chiếu a’ của a trên (P).
PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

Để chứng minh a  b ta thường sử dụng những phương pháp chứng minh sau:
1. Sử dụng các phương pháp Hình học phẳng: Góc nội tiếp, Định lí Pitago đảo, . . .
 



 

3. Sử dụng phương pháp tích vơ hướng của hai véctơ: nếu a.b  0  a  b ( a, b là hai véctơ chỉ phương của
hai đường thẳng a và b).
c  b

c // a

4. Sử dụng tính chất bắc cầu: 

ab

5. Tìm một mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b. Chứng minh đường thẳng a
vng góc với mặt phẳng (P), thì a  b :
 a  (P)
ab

 b  (P)

6. Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P), đường thẳng b
vng góc với mặt phẳng (P), thì suy ra a  b :
 a / / (P)
ab


 b  (P)

7. Áp dụng định lí 3 đường vng góc:
a’ là hình chiếu vng góc của a trên mặt phẳng (P) , b  (P) .
Đường thẳng a vng góc với đường thẳng b khi và chỉ khi b vng
góc với a'. Nói ngắn gọn b vng góc với hình chiếu thì b vng góc
với đường xiên.
1|Pag e


LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG - LỚP TỐN THẦY HUY – THANH TRÌ –
HN – 0969141404

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG
VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG
Để chứng minh đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P) ta thường sử dụng các phương pháp sau:
1). Muốn chứng minh đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P). Ta
phải chứng minh đường thẳng a vng góc với hai đường thẳng cắt
nhau thuộc mặt phẳng (P).
 a  b vaø a  c

 a  (P)
bc  I
 b ; c  (P)


2). Hai mặt phẳng (Q) và (R) có giao tuyến a cùng vng góc với mặt
phẳng (P), thì a vng góc với (P).
(Q)  (P)


 a  (P)
(R)  (P)
 (Q)  (R)  a


3). Hai mặt phẳng (P) và (Q) vng góc với nhau theo giao tuyến b. Một đường thẳng a thuộc mặt phẳng
(Q) vng góc với b, thì a vng góc với mặt phẳng (P).
(P)  (Q)

(P)  (Q)  b
 a  (P)

a  (Q)
 a  b

4). Chứng minh đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (P) , đường
thẳng a song song với b ,suy ra a vng góc với (P).
a / / b
 a  (P)

 b  (P)

5). Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q), mặt phẳng
(P) song song với (Q), nên a vng góc với (P).
 a  (Q)
 a  (P)

(Q) / / (P)

Hai trụ cột để giải toán của dạng này :

 Muốn chứng minh đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P), ta phải chứng minh đường thẳng d
vng góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P).
 Khi đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vng góc với mọi đường thuộc
mặt phẳng (P).
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
a. Định nghĩa

 d   P   (d;  P )  90 0


A

  
d   P   d;  P    d ' d '    AIH  với d ' là hình





d

chiếu của d lên  P 


Chú ý: 0 0  d
;  P   90 0





d'
(P)

2|Pag e

H

I


LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG - LỚP TỐN THẦY HUY – THANH TRÌ –
HN – 0969141404

b. Kỹ năng cần có
 Tính góc theo định nghĩa.
 Tính góc theo khoảng cách.
 Tính góc theo cơng thức hình chiếu.
 Tính góc theo tọa độ
2. Một số mơ hình thường gặp.
1. Hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy
Góc giữa

 SA
,  ABC   .........







,  ABC    .........
SB

,  ABC    .........
SC

,  SAB    .........
SC

2. Hình chóp tam giác đều S.ABC . (hoặc tứ diện đều )
Góc giữa





,  ABC    .........
SA
,  ABC    .........
SB

,  ABC    .........
SC

3. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là: hình bình hành, hình chữ nhật, hình vng, hình thoi.
Góc giữa

 SA
,  ABC   .........





4. Hình chóp tứ giác đều

3|Pag e



,  ABC    .........
SB

, SAD    .........
SC

,  SAB    .........
SC


LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG - LỚP TỐN THẦY HUY – THANH TRÌ –
HN – 0969141404

Góc giữa





,  ABC    .........

SA
,  ABC    .........
SB

,  ABC    .........
SC

5. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có góc A vng và SA vng góc với đáy.
Góc giữa

 SA
,  ABC   .........







,  ABC    .........
SB

,  ABC    .........
SC

, SAD    .........
SC

, SAB    .........
SC

B – BÀI TẬP RÈN LUYỆN VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Câu 1.

(Lớp Toán Thầy Huy) Cho hai đường thẳng phân biệt a , b và mặt phẳng  P  . Chọn khẳng
định đúng?
A. Nếu a //  P  và b  a thì b   P  .
B. Nếu a //  P  và b   P  thì b  a .
C. Nếu a   P  và b  a thì b //  P  .

D. Nếu a //  P  và b //  P  thì b // a .
Lời giải

Theo lí thuyết, ta có nếu a //  P  và b   P  thì b  a .
Đáp án A sai do chưa đủ cơ sở khẳng định b   P  . ( b có thể song song  P  hoặc thuộc  P 
hoặc cắt  P  một góc khác 90 )
Đáp án C sai do b có thể nằm trên  P  .
Đáp án D sai do chưa đủ cơ sở khẳng định b // a . ( b có thể cắt a hoặc a và b chéo nhau)
Câu 2.

(Lớp Toán Thầy Huy) Tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là
A. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
B. Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vng góc với mặt phẳng  ABC  .
C. Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp cuả tam giác ABC và vng góc với mặt phẳng
 ABC  .

4|Pag e


LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG - LỚP TỐN THẦY HUY – THANH TRÌ –

HN – 0969141404

D. Đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và vng góc với mặt
phẳng  ABC  .
Lời giải
Trong không gian tập hợp cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là đường thẳng đi qua tâm đường
trịn ngoại tiếp của tam giác ABC và vng góc với mặt phẳng  ABC  . Đường thẳng này còn
được gọi là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Câu 3.

(Lớp Toán Thầy Huy) Trong mặt phẳng, tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC
là
A. tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
B. đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vng góc với mặt phẳng  ABC  .
C. đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp cuả tam giác ABC và vng góc với mặt phẳng
 ABC  .
D. đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và vng góc với mặt phẳng

 ABC  .
Câu 4.

(Lớp Toán Thầy Huy) Tập hợp các điểm cách đều hai đầu đoạn thẳng AB là
A. đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB .
B. đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và vng góc với AB .
C. mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB .
D. trung điểm của đoạn thẳng AB

Câu 5.

(Lớp Tốn Thầy Huy) Trong khơng gian cho điểm O và đường thẳng d . Qua O có bao nhiêu

mặt phẳng vng góc với d ?
A. Ba.
B. Hai.
C. Một.
D. Vơ số.
Lời giải
Theo tính chất đường thẳng vng góc mặt phẳng: Qua O duy nhất chỉ có một mặt phẳng vng
góc d .

Câu 6.

(Lớp Toán Thầy Huy) Cho hai đường thẳng a, b phân biệt và mặt phẳng  P  . Mệnh đề nào
sau đây đúng :
A. Nếu a //  P  và b  a thì b   P  .

B. Nếu a   P  và b  a thì b //  P  .

C. Nếu a //  P  và b   P  thì b  a .

D. Nếu a //  P  và b //  P  thì b // a .
Lời giải

Theo tính chất về mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vng góc ta chọn C.
Câu 7.

5|Pag e

(Lớp Tốn Thầy Huy) Tứ diện ABCD đều. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD . Tìm mệnh đề
sai.
A. Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng  BCD  là góc 

ABC .


LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG - LỚP TỐN THẦY HUY – THANH TRÌ –
HN – 0969141404

B. AB  CD .
C. AG   BCD  .

   
D. AB  AC  AD  3 AG .
Lời giải

  



G là trọng tâm tam giác BCD nên ta có GB  GC  GD  0

      
   
 AB  AG  AC  AG  AD  AG  0  AB  AC  AD  3 AG nên D là mệnh đề đúng.

Tứ diện ABCD đều nên ta có tính chất AG   BCD  suy ra C là mệnh đề đúng.
Gọi M là trung điểm của CD . Khi ấy B, G, M thẳng hàng và AG   BCD  nên AG  CD
đồng thời BM  CD ( BCD đều) suy ra CD   ABM   AB  CD nên B là mệnh đề
đúng.
Vì AG   BCD  nên BG là hình chiếu vng góc của AB trên  BCD  do đó góc giữa AB
và mặt phẳng  BCD  là góc 
ABG . Vậy A là mệnh đề sai.

Bài tập tương tự :
Câu 8.

(Lớp Toán Thầy Huy) Cho tứ diện ABCD đều. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD . Tìm mệnh
đề sai.
.
A. Góc giữa mặt thẳng  ACD  và mặt phẳng  BCD  là góc DGC
B. AB  CD .
C. AG  BD .
   
D. MB  MC  MD  3MG với M là điểm tuỳ ý trong không gian.

Câu 9.

6|Pag e

(Lớp Toán Thầy Huy) Cho tứ diện ABCD đều. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD . Tìm mệnh
đề đúng?
A.  ABC    BCD  .
B. AC  AG .
 

C. BD  GI với I là trung điểm AD .
D. BC  BD  3BG .
Ghi nhớ: Tứ diện ABCD đều có một số tính chất sau:


LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG - LỚP TỐN THẦY HUY – THANH TRÌ –
HN – 0969141404

+) Tất cả các cạnh đều bằng nhau.
+) Các cặp cạnh đối diện vng góc với nhau: AB  CD , AC  BD , AD  BC .
+) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD ta có AG   BCD  .

   
+) G là trọng tâm tam giác BCD ta có GB  GC  GD  0
   
Và MB  MC  MD  3MG với M là điểm tuỳ ý trong không gian.
Câu 10. (Lớp Tốn Thầy Huy) Cho hình chóp S . ABC với ABC khơng là tam giác cân. Góc giữa các
đường thẳng SA, SB, SC và mặt phẳng  ABC  bằng nhau. Hình chiếu vng góc của điểm S
lên mặt phẳng  ABC  là
A. Tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC .
B. Trực tâm của tam giác ABC .
C. Trọng tâm của tam giác ABC .
D. Tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC .
Lời giải

Gọi H là hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng  ABC  , ta có


 SA,  ABC    SAH

 SB,  ABC    SBH

 SC ,  ABC    SCH
  SBH
  SCH
  SAH  SBH  SCH  HA  HB  HC
Từ giả thiết suy ra SAH
Do đó H là tâm đường trịn ngoại tiếp của tam giác ABC .

Câu 11. (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác ABC vng tại B và SA
vng góc với mặt phẳng  ABC  . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. BC  SA .

B. BC   SAB  .

C. BC  SB .
Lời giải

7|Pag e

D. BC   SAC  .


LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG - LỚP TỐN THẦY HUY – THANH TRÌ –
HN – 0969141404

Xét mệnh đề A. Do SA   ABC  chứa BC nên BC  SA . Vậy mệnh đề A. đúng.
 BC  AB
Xét mệnh đề B. Do 
 BC   SAB  . Vậy mệnh đề B. đúng.
 BC  SA
Xét mệnh đề C. Do BC   SAB  chứa SB nên BC  SB . Vậy mệnh đề C. đúng.
Xét mệnh đề D. Nếu BC   SAC  thì BC  AC . Điều này vơ lý vì tam giác ABC vng tại
B . Do đó mệnh đề D. sai.

Ghi nhớ:
Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng  P  khi và chỉ khi d vng góc với mọi đường
thẳng nằm trong  P  .

Để chứng minh đường thẳng d vng góc với mặt phẳng  P  ta chứng minh d vng góc với
hai đường thẳng cắt nhau nằm trong  P  .
Câu 12. (Lớp Toán Thầy Huy) Cho tứ diện ABCD có AB  AC , DB  DC . Khẳng định nào sau đây
là đúng?
A. BC  AD .
B. CD   ABD  .
C. AB  BC .
D. AB   ABC  .
Lời giải

8|Pag e


LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG - LỚP TỐN THẦY HUY – THANH TRÌ –
HN – 0969141404

A

B

D
E
C

Gọi E là trung điểm BC , ta có: AB  AC nên ABC cân đỉnh A do đó: BC  AE 1 .
Mặt khác: DB  DC nên DBC cân đỉnh D do đó: BC  DE  2  .
Từ 1 và  2  suy ra: BC   ADE   BC  AD .
Câu 13. (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác khơng vng và SA
vng góc với mặt phẳng đáy, gọi H là hình chiếu vng góc của S trên BC . Mệnh đề nào sau
đây đúng?

A. BC  SC .
B. BC  AH .
C. BC  AB.
D. BC  AC.
Lời giải

 BC  SA
Ta có: 
 BC   SAH   BC  AH .
 BC  SH
Câu 14. (Lớp Tốn Thầy Huy) Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA  SB và CA  CB . Khẳng định
nào sau đây đúng?
A. BC   SAC  .
B. SB  AB .
C. SA   ABC  .
D. AB  SC .
Lời giải

9|Pag e


LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG - LỚP TỐN THẦY HUY – THANH TRÌ –
HN – 0969141404

S

C

A
I

B

Gọi I là trung điểm AB .
 AB  SI
Ta có 
 AB   SCI   AB  SC .
 AB  CI
Câu 15. (Lớp Tốn Thầy Huy) Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy, AB  a
và SB  2a . Góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng đáy bằng
A. 60 .
B. 30 .
C. 90 .
D. 45 .
Lời giải

 .
Góc giữa SB và đáy là góc SBA
 =
cos SBA

AB 1
  60 .
  SBA
SB 2

Câu 16. (Lớp Toán Thầy Huy) Cho khối lăng trụ ABC.ABC  có đáy là tam giác vuông cân tại A ,
BC  2 a và hình chiếu vng góc của A lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm cạnh BC
, góc giữa AA và mặt đáy bằng 60 . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
a3
3a 3

3a 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
3
2
2
Lời giải

10 | P a g e

3a 3 .


LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG - LỚP TỐN THẦY HUY – THANH TRÌ –
HN – 0969141404
A'

C'

B'

A

C
M

B

Gọi M là trung điểm của BC  AM 

BC
1
và S ABC  AM .BC  a 2 .
2
2

Ta có: AM   ABC   góc giữa AA và mặt phẳng  ABC  là 
AAM  60
 AM  AM .tan 60  a 3 .
Vậy: V  AM .S ABC  3a 3 .
Câu 17. (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng, SA   ABCD  .
Gọi F là trung điểm của SC . Góc giữa đường thẳng BF và đường thẳng AC có số đo bằng
A. 45 .
B. 90 .
C. 60 .
D. 30 .
Lời giải

Cách 1:
 
Xét BF . AC , ta có:

11 | P a g e


LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG - LỚP TỐN THẦY HUY – THANH TRÌ –

HN – 0969141404

 1  
1   
BF  BC  BS  BC  BA  AS .
2
2
  
AC  AB  BC .









  1     
 BF . AC  BC  BA  AS . AB  BC
2









1            
BC. AB  BC. BC  BA. AB  BA.BC  AS. AB  AS.BC
2



1    
BC.BC  BA. AB  0 .
2









Do đó, BF  AC .
Cách 2:
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD , do FO//SA và SA   ABCD  nên FO   ABCD  suy
ra FO  AC , mặt khác AC  BD nên AC   FOB   BF  AC . Vậy góc giữa BF và AC
bằng 90 .
Câu 18. (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và
D . AB  AD  a , CD  2a , SD vng góc với mặt phẳng  ABCD . Có bao nhiêu mặt bên
của hình chóp S . ABCD là tam giác vng
A. 1 .
B. 3 .

C. 2 .

D. 4 .

Lời giải

Ta có SD   ABCD  SD  AD, SD  CD nên các mặt bên SAD, SCD là các tam giác vng
tại D .
Ta có SD   ABCD   SD  AB , ABCD là hình thang vng tại A nên AD  AB
 AB   SAD  AB  SA nên mặt bên SAB là tam giác vuông tại A .
1
Gọi F là trung điểm của CD , ta có ABFD là hình vng nên BF  AD  a  CD  BCD
2
là tam giác vuông tại B  BC  BD .
12 | P a g e


LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG - LỚP TỐN THẦY HUY – THANH TRÌ –
HN – 0969141404

Ta có SD   ABCD   SD  BC  BC   SBD   BC  SB nên mặt bên SCB là tam giác
vuông tại B .
Câu 19. (Lớp Tốn Thầy Huy) Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi một vng góc với nhau. Kẻ
OH vng góc với mặt phẳng  ABC  tại H . Khẳng định nào sau đây là khẳng định SAI?
B. AH   OBC  .

A. H là trực tâm tam giác ABC .
C.

1
1

1
1



.
2
2
2
OH
OA OB OC 2

D. OA  BC .
Lời giải

A

N

H
C

O
M
B

Ký hiệu các điểm như hình vẽ.
+) Ta có:

OA  OB 

  OA   OBC 
OA  OC 

+) Ta lại có:

BC  OH 
  BC  AH , chứng minh tương tự ta cũng có AC  BH . Vậy H là
BC  OA 

trực tâm tam giác ABC .
+) Do BC   AOH  nên BC  OM . Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông OAM ,

OBC , ta được:

1
1
1
1
1
1





.
2
2
2
2

2
OH
OA OM
OA OB OC 2

Vậy đáp án B sai.
Câu 20. (Lớp Tốn Thầy Huy) Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vng cạnh a , tam giác SAB
đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Tính sin của góc tạo bởi đường
thẳng MD và mặt phẳng  SBC  , với M là trung điểm của BC .
A.

15
.
5

B.

15
.
3

C.
Lời giải

13 | P a g e

13
.
3

D.

13
.
5


LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG - LỚP TỐN THẦY HUY – THANH TRÌ –
HN – 0969141404

Gọi H là trung điểm của SB thì AH  SB .
Do  SAB    ABCD  ,  SAB    ABCD   AB và BC  AB nên BC   SAB   BC  AH

 AH   SBC   AH  d  A,  SBC   .
Gọi  là góc giữa đường thẳng DM và mặt phẳng  SBC  .

 sin  

d  D,  SBC  
DM



d  A,  SBC  
DM



AH
DM

2

Ta có AH 

AH
3
15
a 3
a 5
a
 sin  


.
, DM  a 2    
DM
5
2
2
5
2

Câu 21. (Lớp Tốn Thầy Huy) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng chiều cao. Tính góc tạo
bởi cạnh bên và mặt đáy.
A. 30 .
B. 60 .
C. 45 .
D. 90 .
Lời giải

Gọi O trọng tâm của tam giác đều ABC . Do S . ABC là hình chóp tam giác đều nên
SO   ABC  .
  
SO   ABC   CO là hình chiếu của SC trên  ABC    SC ,  ABC     SC , OC  .


 



SCO vuông tại O  SCO  90   SC , OC   SCO.


14 | P a g e


LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG - LỚP TỐN THẦY HUY – THANH TRÌ –
HN – 0969141404
a 3
2
2 a 3 a 3
Đặt AB  SO  a . Gọi M là trung điểm A B thì CM 
, CO  CM  .
.

2
3
3 2
3


Từ đó suy ra tan SCO


SO
a
  60    SC

 3  SCO
 ,  ABC    60.
OC a 3


3

Vậy góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 60 .
Câu 22. (Lớp Tốn Thầy Huy) Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a . Cạnh
bên SA vng góc với  ABCD  . Góc giữa cạnh SC và mặt phẳng  SAD  là góc nào sau đây?

.
A. SCA

.
B. CSA

.
C. SCD

.

D. CSD

Lời giải
S

D

A
a

B

C

a

Ta có: SC   SAD   S 
Mặt khác:



  CD   SAD  , tức là D là hình chiếu vng góc của C lên  SAD 
AD  SA   A
Từ , suy ra SD là hình chiếu vng góc của SC lên  SAD  .
CD  AD
CD  SA

.
Vậy góc giữa cạnh SC và mặt phẳng  SAD  là CSD
Câu 23. (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Hai

mặt phẳng  SAC  ,  SBD  cùng vng góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng

 ABCD  là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?
A.  SB , SO  .
B.  SB , BD  .
C.  SB, SA  .
Lời giải

15 | P a g e

D.  SO, BD  .


LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG - LỚP TỐN THẦY HUY – THANH TRÌ –
HN – 0969141404
S

A

D

O
B

C

Ta có  SAC  ,  SBD  cùng vng góc với  ABCD  và  SAC    SBD   SO .
Suy ra  SO    ABCD  . Do đó BO là hình chiếu vng góc của BS trên mặt phẳng  ABCD  .
Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng  ABCD  là góc giữa đường thẳng SB và BD .
Câu 24. (Lớp Tốn Thầy Huy) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi tâm O , SO vng góc với

mặt phẳng đáy. Gọi  là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng đáy:
.
.
.
A.   SDA
B.   SDO
C.   SAD
D.   
ASD .
Lời giải

S

A

D
O
C

B

Ta có : SO   ABCD  nên OD là hình chiếu vơng góc của SD trên mặt phẳng  ABCD 



Suy ra :   SD
;  ABCD   SD
; OD  SDO



 



Câu 25. (Lớp Tốn Thầy Huy) Cho hình chóp đều S. ABCD có SA  a 5 , AB  a . Gọi M , N , P, Q
lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC , SD . Tính cosin của góc giữa đường thẳng DN và mặt
phẳng  MQP  .
A.

2
.
2

B.

1
.
2

C.
Lời giải

16 | P a g e

3
.
2

D.

15
.
6


LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG - LỚP TỐN THẦY HUY – THANH TRÌ –
HN – 0969141404

S

M

Q

N

P
A

H

B

D
O
C

Gọi O là tâm hình vng ABCD . Khi đó SO   ABCD .
Mặt phẳng  MQP  cũng là mặt phẳng  MNPQ .

Vì hai mặt phẳng  MNPQ và  ABCD song song với nhau nên góc giữa đường thẳng DN và
mặt phẳng  MNPQ bằng góc giữa đường thẳng DN và mặt phẳng  ABCD .
Trong mặt phẳng  SBD gọi H là hình chiếu vng góc của N lên BD .
.
Khi đó góc giữa DN và  ABCD là góc NDH
2

2

2

Ta có: SO  SB  BO 

NH 

SO 3 2

a;
2
4

a 5

DH 

2

a 2
3 2
 

a
 
2
 2 

3
3
3 2
BD  .a 2 
a
4
4
4

  45 0 .
Ta suy ra tam giác NDH vuông cân tại H nên góc NDH


Vậy cos NDH

2
.
2

Câu 26. (Lớp Tốn Thầy Huy) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B ,
AB  a . SA vng góc với mặt phẳng  ABC  và SA  a . Gọi  là góc giữa SB và mặt phẳng

 SAC  . Tính  .
A.   30 .

B.   60 .

C.   45  .
Lời giải

17 | P a g e

D.   90 .


LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG - LỚP TỐN THẦY HUY – THANH TRÌ –
HN – 0969141404

Gọi H là trung điểm của AC . Do tam giác ABC vuông cân tại B nên BH  AC .
Ta lại có BH  SA nên BH   SAC  . Suy ra H là hình chiếu của B trên mặt phẳng  SAC  .
.
Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng  SAC  là góc   BSH

Tam giác ABC có AC 2  BA2  BC 2  2 BA2  2a 2  AC  a 2  BH 

a 2
2

Tam giác SAB có SB 2  SA2  AB 2  a 2  a 2  2a 2  SB  a 2 .
a 2
BH
1
Tam giác SHB có sin  
 2     30 .
SB

2
a 2

Câu 27. (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BC  a 3
, AC  2a . Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA  a 3 . Góc giữa đường thẳng S B
và mặt phẳng đáy bằng
A. 45 .
B. 30 .
C. 60 .
D. 90 .
Lời giải

S

a

3

B

A

2a

a

C

 
+ Ta có:  SB , ( ABC )    SB , BA   SBA

+ Tính: tan  

SA
.
AB

+ Tính: AB  AC 2  BC 2 

18 | P a g e

 2a 

2



 a 3



2

 a2  a .

3


LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG - LỚP TỐN THẦY HUY – THANH TRÌ –
HN – 0969141404

Suy ra: tan  

SA a 3

 3    60 .
AB
a

Vậy góc giữa đường thẳng S B và mặt phẳng đáy bằng 60 .
Câu 28. (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,
SA   ABCD  và SA  a 6 . Gọi  là góc giữa SC và  SAB  . Giá trị tan  bằng
A.

5
.
5

7
.
7

B.

C.

1
.
7

D.

1
.
5

Lời giải
S

C

B

A

D

Vì SA   ABCD   SA  BC . Mặt khác ABCD là hình vng nên BC  AB

 BC   SAB  hình chiếu vng góc của SC lên mặt phẳng  SAB  là SB .
.
Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (SAB) là góc BSC
  BC 
Vậy tan   tan BSC
SB

BC
SA2  AB 2

a



a 6 

2


 a2

7
.
7

Câu 29. (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng
a 2 . Độ lớn góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng
A. 45 .
B. 75 .
C. 30 .
D. 60 .
Lời giải

19 | P a g e


LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG - LỚP TỐN THẦY HUY – THANH TRÌ –
HN – 0969141404
S

C

D

O
A

B

Gọi O là giao điểm của AC và BD .
Vì hình chóp S . ABCD là hình chóp đều nên SO   ABCD  suy ra AO là hình chiếu của AS


.
trên mặt phẳng  ABCD   SA
,  ABCD   SA
; AO  SAO



 



Tứ giác ABCD là hình vng cạnh bằng a suy ra AO 

Trong tam giác vuông SOA : cos SAO

1
a 2
AC 

.
2
2

AO 1
  60 .
  SAO
SA 2

Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng 60 .
Câu 30. (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hình lăng trụ ABC . AB C  có đáy là tam giác đều cạnh a ,
BB  a 6 . Hình chiếu vng góc H của A trên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm của
tam giác ABC  . Cơsin của góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

A.

15
.
15

B.

3
.
6

C.
Lời giải

20 | P a g e

2
.
3

D.

2
.
6


LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG - LỚP TỐN THẦY HUY – THANH TRÌ –
HN – 0969141404

2
a 3
AM 
; AA  BB  a 6 .
3
3
AH   ABC  AH là hình chiếu vng góc của AA lên mặt phẳng  ABC  .

Gọi M là trung điểm của B C  . Ta có: AH 

Vậy   
AAH là góc giữa AA và mặt phẳng  AB C   .

a 3
AH

3 1
2
Tam giác AAH vuông tại H  cos  
 3 
.

.
AA a 6
3
6
6
2
Vậy cơsin của góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
.
6
Câu 31. (Lớp Tốn Thầy Huy) Tứ diện OABC có OA  OB  OC và đơi một vng góc. Tan của góc
giữa đường thẳng OA và mặt phẳng  ABC  bằng
A. 2 .

B.

2.

C. 1 .

D.

2
.
2

Lời giải

O

C

A
G

M

B

Theo bài ra tứ diện OABC có OA  OB  OC và đơi một vng góc nên đáy ABC là tam giác
đều và hình chiếu vng góc của O lên  ABC  trùng với trọng tâm G của  ABC .

 
Do đó OG   ABC    OA;  ABC    OAG
.
Giả sử OA  OB  OC  a  AB  AC  BC  a 2 .
Xét tam giác OBC vuông: OM 

BC a 2

2
2

OA  OB 
 OM  a 2  2 .

  OA   OBC   OA  OM  tan OAM 
OA  OC 
OA
2a
2

Bài tập tương tự
21 | P a g e


LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG - LỚP TỐN THẦY HUY – THANH TRÌ –
HN – 0969141404
Câu 32. (Lớp Tốn Thầy Huy) Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a ,

SA   ABCD  và SA  a 6 . Gọi  là góc giữa SC và  SAB  ,  là góc giữa AC và  SBC  .
Giá trị tan   sin  bằng?
A.

1 7
.
7

B.

1  19
.
7

C.

7  21
.
7

D.

1  20
.
7

Câu 33. (Lớp Tốn Thầy Huy) Cho hình chóp S . ABCD đáy là hình vng, cạnh bên SA vng góc với
đáy, SA  AB  a . Sin góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  SBD  bằng

1
.
4
Ghi nhớ:
A.

B.

3
.
3

C.

1
.
3

D.

2
.
3

Nếu đường thẳng a khơng vng góc với  P  thì góc giữa đường thẳng a và  P  là góc giữa
a và hình chiếu a của a trên  P  .
a

a'

P

Câu 34. (Lớp Tốn Thầy Huy) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a .
Côsin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng
A.

1
.
2

B.

2
.
2

C.

14
.
4

D.

2
.
4

Lời giải
Vì S .ABCD là chóp đều nên ABCD là hình vng cạnh a , SH  ( ABCD ).

a 2
AH
2

 . Ta có: cos SAH
Góc tạo bởi canh bên SA và mặt đáy ( ABCD ) là góc SAH
 2 
.
SA
2a
4
S

A

D

H

B

22 | P a g e

C


LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG - LỚP TỐN THẦY HUY – THANH TRÌ –
HN – 0969141404

Câu 35. (Lớp Tốn Thầy Huy) Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Góc giữa đường thẳng AB và
mặt phẳng  ABCD  bằng
A. 60 .

B. 90 .

C. 30 .

D. 45 .

Lời giải

B'

C'

A'

D'
B

C

A

D

Ta có BB   ABCD  B là hình chiếu vng góc của B trên mặt phẳng  ABCD  .
Suy ra hình chiếu của AB trên mặt phẳng  ABCD  là AB .

AB  45  .
  AB ,  ABCD     AB , AB   B

Câu 36. (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a . Tam
giác SAB cân tại S có SA  SB  2a nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy ABCD . Gọi 
là góc giữa SD và mặt phẳng đáy  ABCD  . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. tan   3 .

B. cot  

3
.
6

C. tan  

3
.

3

D. cot   2 3 .

Lời giải

S

A

D

H
B

C

Gọi H là trung điểm của AB .
Vì tam giác SAB cân tại S nên SH  AB mà  SAB    ABCD  và  SAB    ABCD   AB

 SH   ABCD  .
23 | P a g e


LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG - LỚP TỐN THẦY HUY – THANH TRÌ –
HN – 0969141404

Suy ra: HD là hình chiếu của SD trên mặt phẳng  ABCD  .

  .

 
SD;  ABCD    SDH
Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vng SAH và ADH , ta có:

a 2 a 15
SH  SA  AH  4a  
4
2
2

2

2

a2 a 5
DH  AD  AH  a  
.
4
2
2

 tan  

2

2

SH
 3.
DH

Câu 37. (Lớp Tốn Thầy Huy) Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Góc giữa đường thẳng AB ' và
mặt phẳng  ABCD  bằng
A. 60 .

B. 90  .

C. 30  .

D. 45 .

Lời giải

Ta có: BB '   ABCD  nên B là hình chiếu của B ' lên mặt phẳng  ABCD  .
A là hình chiếu của chính nó lên mặt phẳng  ABCD  .

Suy ra: AB là hình chiếu của AB ' lên mặt phẳng  ABCD  .

'  45 .
Do đó góc giữa đường thẳng AB ' và mặt phẳng  ABCD  là BAB
Câu 38. (Lớp Tốn Thầy Huy) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SA  a 2 và
vng góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa cạnh bên SC với mặt phẳng đáy bằng
A. 450.

B. 300.

C. 900.
Lờigiải

24 | P a g e

D. 600.


LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG - LỚP TỐN THẦY HUY – THANH TRÌ –
HN – 0969141404

S

A

D

C

B

Do SA   ABCD   hình chiếu vng góc của SC lên  ABCD  là AC
.
  SC ,  ABCD     SC , AC   SCA
  450.
Ta có SA  AC  a 2  SAC vuông cân tại A   SC ,  ABCD    SCA

Câu 39. (Lớp Toán Thầy Huy) Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với mặt phẳng ( BCD) . Biết tam
a 6
, AC  a 2, CD  a . Gọi E là trung điểm của cạnh AC
2
. Góc giữa hai đường thẳng AB và DE bằng

giác BCD vuông tại C và AB 

A. 30 .

B. 60 .

C. 45 .

D. 90 .

Lời giải

A

E
B

D
H
C

Gọi H là trung điểm của cạnh BC .

 AB   BCD 
Ta có 
 EH   BCD   EH  HD và góc giữa hai đường thẳng AB và DE
 AB / / EH

.
bằng góc giữa EH và DE bằng góc HED
CD  BC

 CD  AC .
Lại có 
CD  AB
2

a 2
a 6
2
Xét tam giác ECD vuông tại C , ED  EC  CD  
.
  a 
2
 2 
2

25 | P a g e

2