Phân tích đa thức thành nhân tử (nâng cao)

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao.</b>

<b>Các ví dụ.</b>

<b>Ví dụ 1. Phân tích thành nhân tử đa thức </b><i>a</i>3<i>b</i>3<i>c</i>3 3<i>abc</i>

<b>Ta áp dụng: </b>









3 ₃ ₂ ₂ ₃ ₃ ₃

3 3 3

<i>A B</i> <i>A</i>  <i>A B</i> <i>AB</i> <i>B</i> <i>A</i> <i>B</i>  <i>AB A B</i>





3





3 3 ₃

<i>A</i> <i>B</i> <i>A B</i> <i>AB A B</i>

     

Ta có :









3

3 3 3 ₃ ₃ 3 ₃

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>  <i>abc</i> <i>a b</i>  <i>ab a b</i> <i>c</i>  <i>abc</i>



<i>a b</i>



3 <i>c</i>3 3<i>ab a b c</i>





 

     

 



<i>a b c</i>



3 3



<i>a b c a b c</i>

 



3<i>ab a b c</i>





         



<i>a b c</i>

 

 <i>a b c</i>



2 3



<i>a b c</i>



3<i>ab</i>

       

 



<i>a b c a</i>





2 <i>b</i>2 <i>c</i>2 <i>ab bc ca</i>



       

<b>Vi dụ 2. Cho các số , ,</b><i>a b c</i>. Chứng minh



<i>a b</i>



3



<i>b c</i>



3



<i>c a</i>



33



<i>a b b c c a</i>

 



 





Đặt <i>A a b B b c C c a</i>  ,   ,   ta có : <i>A B C a b b c c a</i>        0
Áp dụng kết quả câu a) ta có :









3 3 3 ₃ 2 2 2 ₀

<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>  <i>ABC</i> <i>A B C A</i>  <i>B</i> <i>C</i>  <i>AB BC CA</i>  

3 3 3 ₃

<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i> <i>ABC</i>

    _hay















 

 



3 3 3

3

<i>a b</i>  <i>b c</i>  <i>c a</i>  <i>a b b c c a</i>  

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>



<i>x</i>2

 

<i>x</i>3



<i>x</i>25<i>x</i>6

Đặt <i>t x</i> 2 5<i>x</i> 4



<i>x</i>1

 

<i>x</i>4







<i>x</i>2

 

<i>x</i>3



 <i>t</i> 2
Thay vào đa thức trở thành :



2



3 2 2 3 2 3 3



1



3



1

 

1

 

3



<i>t t</i>   <i>t</i>  <i>t</i> <i>t</i>  <i>t</i> <i>t</i> <i>t t</i>  <i>t</i>  <i>t</i> <i>t</i>

Do đó



 

 

 





 



2 2

1 2 3 4 3 5 3 5 7

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>   <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i>

<b>Nhận xét : Ta có thể đặt </b><i>t x</i> 25<i>x</i>_hoặc<i>t x</i> 25<i>x</i>6_hoặc<i>t x</i> 25<i>x</i>5_....
quan trọng là có chứa phần biến <i>x</i>25<i>x</i>_{là được.}

<b>Ví dụ 4. Cho số tự nhiên n. Chứng minh </b><i>n n</i>



2 3

 

<i>n</i>4



 <i>n n</i>



2 3

 

<i>n</i>2



chia
hết cho 6.

Ta có: <i>n n</i>



2 3

 

<i>n</i>4



 <i>n n</i>



2 3

 

<i>n</i>2



<i>n n</i>



2

 

 3<i>n</i>4

 

 2<i>n</i>3







1

 

2



<i>n n</i> <i>n</i>

  

Vì ,<i>n n</i>1,<i>n</i>2 là ba số tự nhiên liên tiếp nên phải có ít nhất một số chia hết cho 2,
ít nhất một số chia hết cho 3 và do



2;3



1 nên <i>n n</i>



1

 

<i>n</i>2



chia hết cho 6.
<b>Bài tập.</b>

<b>Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.</b>
a)<i>a b c</i>2







<i>b c a</i>2







<i>c a b</i>2







b)



<i>a b c ab bc ca</i> 

 

 



 <i>abc</i>
c) <i>ab a b</i>







 <i>bc b c</i>







<i>ca a c</i>







d)













2 2 2 2 2 2 ₂

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

e)

























2 2 2 2 2 2

<i>a b a</i>  <i>b</i>  <i>b c b</i>  <i>c</i>  <i>c a c</i>  <i>a</i>

g) <i>a b c</i>3







<i>b c a</i>3







<i>c a b</i>3







h)

















3 2 3 2 3 2 ₁

<i>a c b</i> <i>b a c</i> <i>c b a</i> <i>abc abc</i>

i)









3 3

2 2

<i>a a</i> <i>b</i>  <i>b a b</i>

j)



 





 





 



2 2 2

<i>a b c</i> <i>b c</i> <i>b c a</i> <i>c a</i> <i>c a b</i> <i>a b</i>

k)













3 3 3

<i>a b c</i> <i>b c a</i> <i>c a b</i>

l) <i>a b a b</i>2 2







<i>b c b c</i>2 2







<i>c a c a</i>2 2







m)













2 2 2 2 2 2 ₂ 3 3 3

<i>a b</i> <i>c</i> <i>b c</i> <i>a</i> <i>c a</i> <i>b</i>  <i>abc a</i>  <i>b</i>  <i>c</i>

n) <i>a b c</i>4







<i>b c a</i>4







<i>c a b</i>4







o) <i>a</i>3<i>b</i>3<i>c</i>3 3<i>abc</i>

p) <i>abc</i>



<i>ab bc ca</i> 

 

 <i>a b c</i> 



 1
<b>Bài 2. Cho , , ,</b><i>a b c d</i> là các số. Chứng minh



<i>ac bd</i>



2



<i>ad bc</i>



2 



<i>a</i>2 <i>b</i>2

 

<i>c</i>2<i>d</i>2



<b>Bài 3. Cho , , ,</b><i>a b c d</i> thỏa <i>a b c d</i>   0_{. Chứng minh}



 



3 3 3 3 ₃

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>d</i>  <i>ab cd c d</i> 
<b>Bài 4. Phân tích thành nhân tử</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

b)



<i>x</i>1

 

<i>x</i>3

 

<i>x</i>5

 

<i>x</i>7



12
c)



<i>x</i> 1

 

<i>x</i> 2

 

<i>x</i> 3

 

<i>x</i> 4



 8

<b>Bài 5. Cho n là số tự nhiên. Chứng minh </b>







 



2

4<i>n n</i>1  <i>n n</i>1 3<i>n</i>5 _{chia hết}
cho 6.

<b>Bài 6. Cho m là một số nguyên tùy ý. Chứng minh</b>

a)3<i>m</i>4  14<i>m</i>321<i>m</i>2 10<i>m</i>24 _b)<i>m</i>5 5<i>m</i>45<i>m</i>35<i>m</i>2 6 120<i>m</i>
<b>Bài 7. Cho m là một số nguyên lẻ. Chứng minh</b>

a)<i>m</i>33<i>m</i>2 <i>m</i> 3 48 b)<i>m</i>12 <i>m</i>8 <i>m</i>4  1 512

<b>Bài 8. (Đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên TP.HCM năm 2010-2011)</b>
Cho hai số dương ,<i>a b</i> thỏa <i>a</i>100 <i>b</i>100 <i>a</i>101<i>b</i>101 <i>a</i>102 <i>b</i>102
Tính giá trị biểu thức <i>P a</i> 2010 <i>b</i>2010

<b>Bài 9. (Đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Đại Học Quốc Gia Hà Nội 2004-2005)</b>
Cho các số thực ,<i>a b</i> dương thỏa <i>a</i>100 <i>b</i>100 <i>a</i>101<i>b</i>101<i>a</i>102 <i>b</i>102

Tính giá trị biểu thức <i>P a</i> 2004 <i>b</i>2004

<b>Bài 10. (Đề thi học sinh giỏi giải thưởng Lê Quí Đơn, Trường THCS Lê Q Đơn, </b>
Quận 3, TP.HCM, năm học 2001 - 2002)

</div>

<!--links-->