skkn Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình (thcs)

Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
PHẦN I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
a. Cơ sở lý luận:
-Theo định hướng đổi mới phương pháp dạy học trong Giai đoạn hiện
nay đã được xác định là: “Phương pháp dạy học toán trong nhà trường phải
phát huy tính tính cực , tự giác, chủ động của người học , hình thành và phát
triển năng lực tự học, trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư
duy”. Theo định hướng dạy học này giáo viên là người thiết kế, tổ chức, hướng
dẫn, điều khiển q trình học tập cịn HS là chủ thể nhận thức, biết cách tự
học, tự rèn luyện, từ đó hình thành và phát triển nhân cách, năng lực cần thiết
của người lao động theo những mục tiêu mới đã đề ra.
- Tính tích cực học tập biểu hiện ở những dấu hiệu như : hăng hái trả lời
các câu hỏi của giáo viên , bổ sung các câu trả lời của bạn ; mạnh dạn phát biểu
những ý kiến của mình trước những vấn đề nêu ra , nêu những thắc mắc của bản
thân , đòi hỏi phải giải thích cặn kẻ những vấn đề chưa rõ , chủ động vận dụng
những kiến thức và kỹ năng đã học để nhận thức vấn đề mới , tập trung chú ý
vào vấn đề đang học , kiên trì hồn thành các bài tập , khơng nản chí trước
những tình huống khó khăn …
-Tính tích cực học tập đạt những cấp độ từ thấp đến cao như :
+Bắt chước và gắng sức làm theo những các mẫu hành động của thầy, của
bạn
+ Tìm tịi , độc lập giải quyết những vấn đề nêu ra , tìm kiếm các cách giải
quyết khác nhau của một vấn đề …
+ Sáng tạo , tìm ra cách giải quyết mới , độc đáo , hữu hiệu …
- Kinh nghiệm dạy học giúp ta khẳng định rằng việc học tập toán ở nhà
trường phổ thông sẽ thực sự hứng thú và đạt kết quả cao nếu học sinh được
hướng dẫn để biết cách độc lập giải quyết , nắm bắt thật vững vàng và sáng tạo
lại những kiến thức đã học . Để đạt được điều đó , cịn có nhiều vấn đề đặt ra địi
hỏi những giáo viên đứng lớp nói chung , giáo viên giảng dạy mơn Tốn nói
riêng cần đầu tư và thực sự quan tâm để tìm ra hướng đi thích hợp , biết chọn

lọc những kiến thức tiêu biểu kết hợp với phương pháp dạy học tích cực , thật
sự phù hợp với đối tượng học sinh của mình nhằm đạt được kết quả cao nhất
về dạy và học.
b. Cơ sở thực tiễn:
- Là giáo viên giảng dạy nhiều năm mơn Tốn khối 8 - 9 tơi nhận thấy
học sinh thực sự lúng túng khi giải bài toán đố bằng cách lập phương trình, hệ
phương trình . Nếu cho sẵn một phương trình (phương trình bậc nhất thơng
1 | 27


Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
thường , phương trình chứa ẩn ở mẫu , phương trình tích …) để các em giải ,
hầu hết học sinh đều thực hiện được ; nhưng khi phải giải bài tốn đố bằng cách
lập phương trình , các em phải đứng trước khá nhiều đại lượng ẩn giấu sau các
cách biểu hiện bằng các khái niệm ngồi tốn học của đề bài nên các em thường
bị bối rối khơng giải được . Loại tốn này có nhiều dạng khác nhau và sau khi
đọc đề một bài toán đố với cách diễn đạt thường là rối rắm cho đến khi lập được
một phương trình của bài tốn là một vấn đề rất khó khăn đối với học sinh
trường chúng tôi .
- Với sự hỗ trợ của SGK - SBT và thầy cô, bằng những phương pháp
hướng dẫn , gợi ý thông thường HS không thể nào nắm được mối liên hệ bản
chất toán học của bài toán . Do đó , sau khi đặt ẩn số những đại lượng liên quan
đến ẩn số thường bị các em diễn đạt khơng chính xác hoặc sai hồn tồn. Phải
chăng, các em thiếu một cơ sở lý luận để nhìn vào là nhận ra ngay , thiếu một
chỗ dựa vững chắc để giúp mình tự suy luận .
- Vấn đề tiếp theo là cách sắp xếp các bước trong bài giải . Khi đã đặt
xong ẩn số , các em rất lúng túng không biết đại lượng nào cần biểu thị trước ,
đại lượng nào biểu thị sau. Những sai sót vừa nêu trên thường sẽ dẫn đến một
phương trình sai lệch hoàn toàn .Đứng trước trách nhiệm này , tôi nhận thấy sự
cần thiết của một phương pháp mới giúp các em hiểu và giải được các dạng từ

đơn giản đến phức tạp của dạng toán này .
- Sách giáo khoa và các bài tập hướng dẫn hoàn toàn khơng có phương
pháp giúp các em tư duy để tự giải , mà chỉ nêu trình tự và cách tiến hành các
bước giải tương đối chi tiết . Nhưng vấn đề ở đây là làm thế nào để hiểu và giải
được như sách . Chắc chắn không thể nào để học sinh tham khảo cách giải trong
sách rồi bắt chước tự giải lại bài tốn đó một cách độc lập được.
- Chính vì vậy tơi đã giành thời gian để đọc tài liệu, nghiên cứu, trao đổi
với các đồng nghiệp và đặc biệt là những kinh nghiệm sau 5 năm giảng dạy tôi
mạnh dạn viết đề tài “Rèn kỹ năng giải bài tốn bằng cách lập phương trình,
hệ phương trình ”.
Với đề tài này, tôi hi vọng sẽ giúp học sinh tự giải được dạng toán giải
bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình một cách chủ động,
tích cực.
2. Mục đích nghiên cứu đề tài:
Nhằm giúp học sinh có cái nhìn tổng qt hơn về dạng tốn “giải bài
tốn bằng cách lập phương trình, hệ phương trình” để mỗi học sinh sau khi học
xong chương trình tốn THCS đều phải nắm chắc loại toán này và biết cách giải
chúng.
2 | 27


Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài tốn dưới dạng
đặc thù riêng lẻ. Mặt khác cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học
sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài tốn,
tạo được lịng say mê, sáng tạo, ngày càng tự tin, khơng cịn tâm lý ngại ngùng
đối với việc giải bài tốn bằng cách lập phương trình.
Giúp giáo viên tìm ra phương pháp dạy phù hợp với mọi đối tượng học
sinh làm cho học sinh hứng thú khi học môn Tốn.
Học sinh thấy được mơn tốn rất gần gũi với các môn học khác và thực

tiễn cuộc sống.
3. Đối tượng nghiên cứu:
+Học sinh lớp 8A3 (hs) - Trường THCS Trung Hưng năm học: 2016
- 2017
+Học sinh lớp 9A3 (hs) - Trường THCS Trung Hưng năm học: 2017
- 2018
4. Phương pháp nghiên cứu:
- Điều tra, theo dõi thực tế lớp học.
- Nghiên cứu tài liệu (SGK-Sách tham khảo – các đề thi…).
- Vận dụng thực hành trong giảng dạy.
- So sánh, tổng kết, rút kinh nghiệm.
5. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu:
- Từ ngày 10 tháng 9 năm 2016 đến tháng 3 năm 2018.
-Học sinh lớp 8A3; 9A3 và đội tuyển học sinh giỏi trường.

3 | 27


Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

PHẦN II NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận của vấn đề
“Lập phương trình đối với một bài toán cho trước là biện pháp cơ bản để
áp dụng toán học vào khoa học tự nhiên và kỹ thuật. Khơng có phương trình thì
khơng có tốn học, nó như phương tiện nhận thức tự nhiên”.
(P.X.Alêkxanđơrơp)
- Khi lập phương trình thì điều quan trọng nhất đối với học sinh là khai thác
cho được mối liên hệ bản chất toán học của các đại lượng ẩn giấu sau các cách
biểu hiện bên ngồi bằng các khái niệm ngồi tốn học .
- Theo phân phối chương trình mơn tốn THCS của bộ giáo dục thực hiện

từ đầu năm học. Số tiết để dạy học giải các bài toán bằng cách lập phương trình
là 4 tiết (2 tiết lý thuyết – 2 tiết luyện tập). Với thời lượng như vậy, việc học sinh
có thể tự giải bài tốn bằng cách lập phương trình ở bậc THCS là một vấn đề hết
sức khó khăn và HS thấy rất mới lạ. Một bài toán là một đoạn văn mô tả mối
quan hệ giữa các đại lượng mà có một đại lượng chưa biết, cần tìm Yêu cầu học
sinh phải phân tích, khái quát, tổng hợp liên kết các đại lượng với nhau từ đó
học sinh phải tự lập phương trình để giải. Những bài tốn này hầu hết nội dung
của nó đều gắn liền với các hoạt động thực tiễn của con người, của tự nhiên, xã
hội.
Với phương pháp hướng dẫn thông thường , đại đa số học sinh sẽ tham
khảo theo từng dạng bài rồi dựa theo đó rồi giải lại một cách rất máy móc . Nếu
các em quên một thao tác nhỏ khi giải có thể dẫn tới bế tắc hoặc sai lầm cả bài .
Nếu giáo viên Yêu cầu học sinh độc lập suy nghĩ tự giải không tham khảo bài
mẫu thì thường là học sinh khơng thể giải nổi hoặc nếu người ra đề thay đổi một
số tình huống trong đề bài so với bài tập mẫu thì lập tức học sinh bị sai sót theo
rất nặng .
Giáo viên hướng dẫn cần làm cho học sinh thấy được rằng : Dù là dạng
toán nào, thực chất bài toán cũng chỉ được biểu thị bằng một tương quan
toán học duy nhất , đó là một phương trình . Các đại lượng và các liên hệ đã
cho trong bài toán đều tuân theo các mối liên quan tỉ lệ thuận , tỉ lệ nghịch và
các quan hệ lớn hơn , nhỏ hơn của tốn học .
Do đó, khi lập phương trình , học sinh cần bình tĩnh cân nhắc cố gắng đi
sâu vào thực chất của các quan hệ ; không băn khoăn , không bối rối với các
cách diễn đạt thường là phức tạp của đề bài ; đồng thời cũng biết cách diễn giải
những cụm từ như : lớn hơn, bé hơn, nhanh hơn , sớm hơn , tăng , giảm , vượt
4 | 27


Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
mức ... thành những tương quan tốn học tương ứng với nội dung thực tế của đề

bài .
Đề tài “Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ
phương trình ”. tập trung chính ở việc cung cấp cho học sinh một phương pháp
tóm đề mới dựa trên 3 cơ sở chính là thương quan tỉ lệ thuận , tương quan tỉ lệ
nghịch và các quan hệ lớn hơn , nhỏ hơn của toán học để áp dụng cho các dạng
toán mà các sách hướng dẫn xếp vào các loại khác nhau , giúp các em vượt qua
những khó khăn khi phân tích đề , hiểu và giải được bài tốn .
Thay vì rất khó nhọc để lập được phương trình cho bài tốn theo từng
dạng khác nhau đó , với phương pháp tóm đề này , học sinh suy nghĩ tương đối
nhẹ nhàng và dễ dàng hơn vì sau khi thực hiện xong phần tóm đề , tự khắc
phương trình của bài tốn sẽ hiện ra . Học sinh chỉ cần dựa vào đó mà thực hiện
cách giải.
2. Thực trạng chung của vấn đề
a. Về phía giáo viên
Có thể khẳng định rằng đây là một trong những kiểu bài tương đối khó
với giáo viên. Khó khăn trước hết là khó khăn về kiến thức, về phương pháp.
Cái gì dạy mãi cũng thành quen mà quen thì dễ hơn. Nhưng với kiểu bài này
giáo viên rất lúng túng về phương pháp. Chỉ trong 4 tiết dạy giải bài tốn bằng
cách lập phương trình mà dung lượng kiến thức khơng ít, có rất nhiều dạng tốn
cần giải quyết. Giáo viên phải làm sao để có thể tải hết các nội dung kiến thức
của bài cho HS tiếp thu một cách tích cực, tránh được sự giảng giải nhàm chán
đều đều từ đầu đến cuối tiết học; vừa cuốn hút học sinh vào bài giảng và cuối
cùng phải làm cho HS có thể tự giải được loại tốn giải bài tốn bằng cách lập
phương trình. Qua trao đổi với nhiều GV dạy khối 8, phần lớn giáo viên cũng
đều e ngại dạy kiểu bài này.
Vậy nguyên nhân do đâu? Theo tơi, ngun nhân chính là do giáo viên
chưa tìm được phương pháp tối ưu, chưa thật sự đầu tư thời gian nhiều để suy
nghĩ nhằm đưa ra hệ thống những lời chỉ dẫn cần thiết và tốt nhất cho học sinh
trong các tiết học.
b. Về phía học sinh

- Những chỉ dẫn rời rạc của giáo viên thông thường học sinh khơng nhớ
và hệ thống hóa được. Vì thế những chỉ dẫn đó chỉ trơng vào trí nhớ của học
sinh, học sinh lại nhanh quên. Mặc dù trong SGK, SBT tốn 8, tốn 9 đã có một
số bài tập giải mẫu các bài toán và một vài chỉ dẫn lập phương trình nhưng
những hướng dẫn đó chưa cung cấp cho học sinh đầy đủ những cơ sở vững chắc
để nắm vững cách giải các bài toán.
5 | 27


Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
- Theo tơi, ngun nhân chính làm cho học sinh giải chưa tốt bài toán bằng
cách lập phương trình, đó là:
+ Học sinh cịn yếu về kĩ năng, kĩ xảo ghi tóm tắt giả thiết bằng ký hiệu để
giúp phân tích tổng hợp bài tốn, giúp diễn tả rõ hơn mối quan hệ giữa các đại
lượng đưa vào bài tốn.
+ Nhiều học sinh khó hình dung được mối liên hệ phụ thuộc giữa các đại
lượng đưa vào bài tốn, khơng biết diễn tả mối phụ thuộc giữa các đại lượng đưa
vào bài tốn, khơng biết diễn tả mối phụ thuộc này bằng ký hiệu cho nên khó
chuyển bằng lời sang ngơn ngữ tốn học trừu tượng.
+ Một số học sinh khơng hiểu giải một bài tốn là như thế nào. Vì thế khơng
giải đầy đủ, khơng biết nghiệm của phương trình tìm được có là đáp số của bài
tốn này khơng.
+Giáo viên ít chú ý tới cấu trúc của những bài toán phức hợp từ những bài
toán cơ bản, cũng như ít phân tích các bài tốn mà chỉ lo làm thế nào để giải
xong bài toán.
- Bên cạnh đó, một số học sinh biết cách giải thì khơng hồn chỉnh nên
khơng đạt điểm tối đa vì:
+ Thiếu điều kiện hoặc đặt điều kiện khơng chính xác.
+ Không biết cách chọn ẩn số như thế nào cho phù hợp.
+ Không biết dựa vào mối liên hệ giữa các đại lượng để thiết lập phương

trình.
+ Lời giải thiếu tính chặt chẽ, thiếu đơn vị
+ Giải phương trình chưa đúng, quên đối chiếu điều kiện . . .
Với những thực trạng như trên tôi đã tiến hành điều tra, thu thập số liệu
cho việc nghiên cứu đề tài:
* Khi học xong giải bài tốn bằng cách lập phương trình, bản thân tơi cịn
dùng phương pháp trị chuyện gợi mở để thu thập thêm một số thông tin , phân
loại đối tượng học sinh trong việc giải toán bằng cách lập phương trình .
Bảng tổng hợp kết quả điều tra : (kết quả cuối năm của năm học trước)
Năm
học
2016-2017
40
18
22

Nội dung điều tra

Tổng số học sinh
Thích học Tốn
Khơng thích học Tốn
Có quyết tâm tìm hiểu phương pháp giải và mong muốn bản
18
thân tự giải được bài toán bằng cách lập phương trình .
Biết giải phương trình đưa được về dạng ax 2+bx+c =0 25
6 | 27


Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
nhưng khơng thể lập được phương trình từ đề bài tốn .

Khơng thuộc các cơng thức về sự liên quan tỉ lệ thuận , tỉ lệ
nghịch ; về diện tích hoặc chu vi của các hình vng , hình 25
chữ nhật ...
Khơng biết cách sắp xếp các bước trong q trình giải tốn
26
bằng cách lập phương trình .
Không nắm được các mối liên hệ giữa các đại lượng từ đề
30
bài để lập phương trình .
Có thể lập được phương trình , nhưng khơng hiểu và khơng
25
biết hướng giải đó đúng hay sai .
Có thể lập được phương trình , có hiểu nhưng khơng dám
20
khẳng định là chắc chắn đúng .
Có thể tự giải một bài tốn dạng tương tự như dạng đã học
25
Tổng hợp được các mối liên hệ giữa các đại lượng của đề
bài ; lập được phương trình , hiểu , giải thích được và tự giải 10
được bài tốn bằng cách lập phương trình.
3. Các biện pháp đã tiến hành giải quyết vấn đề:
Để thực hiện tốt Yêu cầu đề ra trong việc phân tích bài tốn “Giải tốn
bằng cách lập phương trình” với thời lượng lên lớp (2 tiết lý thuyết, 2 tiết luyện
tập ) là rất khó. Việc quan trọng nhất là giáo viên phải soạn bài thật tốt, chọn
lọc hệ thống câu hỏi phù hợp với trình độ học sinh (từ dễ đến khó) và có liên hệ
đến thực tế. Do đó, bản thân tơi mạnh dạn đưa ra các biện pháp sau đây:
3.1 Yêu cầu về giải một bài toán:
*Yêu cầu 1: lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ.
muốn cho học sinh khơng mắc sai phạm này giáo viên phải làm cho học sinh
hiểu đề tốn và trong q trình giải khơng có sai sót về kiến thức, phương

pháp suy luận và kĩ năng tính tốn, ký hiệu, điều kiện của ẩn phải rèn cho học
sinh có thói quen đặt điều kiện của ẩn và xem xét đối chiếu kết quả với điều
kiện của ẩn xem đã hợp lí chưa.
Ví dụ: ( sgk đại số 8 )
Mẫu số của phân số gấp bốn lần tử số của nó. Nếu tăng cả tử lẫn mẫu lên 2
1
đơn vị thì được phân số 2 . Tìm phân số đã cho?

Hướng dẫn
Nếu gọi tử số của phân số đã cho là x( điều kiện x > o, x∈ N*)
Thì mẫu số của phân số đã cho là 4x
x+2
Khi tăng tử số và mẫu số lên 2 đơn vị thì phân số mới là : 4 x + 2

7 | 27


Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
x+ 2 1
=
4x
+
2
2
Theo bài ra ta có phương trình:
⇔ 2. ( x+ 2)= 4x + 2 ⇔ 2x + 4
⇔
2x = 2 ⇔ x = 1
x = 1 thoả mãn điều kiện bài toán.
Vậy tử số là 1, mẫu số là 4.1 = 4

= 4x + 2

1
Phân số đã cho là: 4

*Yêu cầu 2: Lời giải bài tốn lập luận phải có căn cứ chính xác.
Đó là q trình thực hiện từng bước có lơgic chặt chẽ với nhau, có cơ
sở lí luận chặt chẽ. Đặc biệt phải chú ý đến việc thoả mãn điều kiện nêu trong
giả thiết. Xác định ẩn khéo léo, mối quan hệ giữa ẩn và các giữ kiện đã cho làm
nổi bật được ý phải tìm. Nhờ mối tương quan giữa các đại lượng trong bài tốn
thiết lập được phương trình từ đó tìm dược giá trị của ẩn. Muốn vậy giáo viên
cần làm cho học sinh hiểu được đâu là ẩn, đâu là giữ kiện? Đâu là điều kiện? Có
thể thoả mãn được điều kiện hay khơng? Điều kiện có đủ để xác định được ẩn
hay khơng? Từ đó mà xác định hướng đi, xây dựng được cách giải
*Yêu cầu 3: lời giải phải đầy đủ và mang tính tồn diện
Giáo viên hướng dẫn học sinh không bỏ qua chi tiết nào. Không được
thừa nhưng cũng không được thiếu, rèn cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải
xem đã đầy đủ chưa? Kết quả của bài toán đã là đại diện phù hợp chưa? Nếu
thay đổi điều kiện bài toán rơi vào trường hợp đặc biệt thì kết quả bài tốn vẫn
ln đúng.
* u cầu 4 : lời giải bài toán phải đơn giản.
Bài toán phải đảm bảo 3 Yêu cầu trên khơng sai sót , khơng được thiếu.
Có lập luận mang tính tồn diện
Ví dụ: bài tốn cổ
“ Vừa gà vừa chó
bó lại cho trịn
ba mươi sáu con
một trăm chân chẵn
Hỏi có mấy con gà, mấy con chó?”

Hướng dẫn
Với bài toán này nếu giải như sau:
Gọi số gà là (x > 0 , x ∈ n)
Thì số chó sẽ là: 36-x (con)
Gà có hai chân nên số chân gà là: 2x chân.
8 | 27


Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Chó có bốn chân chó là: 4.(36-x) chân.
Theo bài ra ta có phương trình:2x+4.(36-x)=100
Giải phương trình ta được: x =22 thoả mãn điều kiện.
Vậy có 22 con gà
Số chó là: 36-22=14(con)
Thì bài tốn sẽ ngắn gọn, dễ hiểu. Nhưng có học sinh giải theo cách:
Gọi số chân gà là x, suy ra số chân chó là 100-x
x 100 − x
+
= 36
4
Theo bài ra ta có phương trình: 2

Giải phương trình cũng được kết quả là 22 con gà và 14 con chó.
Nhưng đã vơ tình biến bài tốn thành bài giải khó hiểu hoặc khơng phù hợp với
trình độ của học sinh.
* Yêu cầu 5 lời giải phải trình bày khoa học.
Đó là lưu ý đến mối liên hệ giữa các bước giải trong bài toán phải lơgíc,
chặt chẽ với nhau. Các bước sau được suy ra từ các bước trước nó đã được kiểm
nghiệm, chứng minh là đúng hoặc những điều đã biết từ trước.
* Yêu cầu 6 :lời giải bài toán phải rõ ràng, đầy đủ, nên kiểm tra lại kết quả

lưu ý : Đến việc giải các bước lập luận, tiến hành không chồng chéo nhau, phủ
định lẫn nhau, kết quả phải đúng. Muốn vậy phải rèn cho học sinh có thói quen
sau khi giải xong cần phải thử lại kết quả và tìm hết các nghiệm của bài tốn,
tránh bỏ sót nhất là đối với phương trình bậc hai
3.2.Phân loại dạng tốn giải bài tốn bằng cách lập phương trình và các
giai đoạn giải một bài toán:
Phân loại bài toán giải bằng cách lập phương trình
Trong số các bài tập về giải bài tốn bằng cách lập phương trình ta có
thể phân loại thành các dạng như sau:
1/ Dạng 1 toán liên quan đến số học
2/ Dạng 2 bài toán về chuyển động
3/ Dạng 3 tốn về cơng việc làm chung, làm riêng
4/ Dạng 4 tốn có liên quan đến hình học
5/ Dạng 5 toán dân số, lãi suất, tăng trưởng.
6/Dạng 6: toán liên quan đến vật lý, hóa học và một số dạng khác
Các giai đoạn giải một bài toán
* Giai đoạn 1: đọc kĩ đề bài rồi ghi giả thiết, kết luận của bài toán
* Giai đoạn 2: nêu rõ các vấn đề liên quan để lập phương trình. Tức là chọn ẩn
như thế nào cho phù hợp, điều kiện của ẩn thế nào cho thoả mãn.
* giải đoạn 3: lập phương trình
9 | 27


Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
dựa vào các quan hệ giữa ẩn số và các đại lượng đã biết, dựa vào các cơng thức,
tính chất để xây dựng phương trình, biến đổi tương đương để đưa phương trình
đã xây dựng về phương trình ở dạng đã biết, đã giải được.
* Giai đoạn 4: giải phương trình vận dụng các kĩ năng giải phương trình đã biết
để tìm nghiệm của phương trình.
*Giai đoạn 5: nghiên cứu nghiệm của phương trình để xác định lời giải của bài

toán. Tức là xét nghiệm của phương trình với điều kiện đặt ra bài tốn, với thực
tiễn xen có phù hợp khơng? Sau đó trả lời bài tốn.
* Giai đoạn 6: phân tích biện luận cách giải. Phần này thường để mở rộng cho
học sinh tương đối khá, giỏi sửa khi giải xong có thể gợi ý cho học sinh biến đổi
bài toán thành bài toán khác bằng cách:
- giữ nguyên ẩn số thay đổi các yếu tố khác.
- giữ nguyên các giữ kiện thay đổi các yếu tố khác
- giải bài tốn bằng cách khác, tìm cách giải hay nhất
+ Ví dụ (sgk đại số 8) nhà bác Hà thu hoạch được 480kg cà chua và khoai tây.
Khối lượng khoai gấp ba lần khối lượng cà chua. Tính khối lượng mỗi loại?
hướng dẫn giải
* Giai đoạn 1
giả thiết
khoai + cà chua = 480kg
khoai = 3 lần cà chua
Kết luận
tìm khối lượng khoai? Khối lượng cà chua?
*Giai đoạn 2: thường là điều chưa biết gọi là ẩn, nhưng ở bài này cả cà chua và
khoai tây đều chưa biết nên có thể gọi ẩn là một trong hai loại đó.
Cụ thể: gọi khối lượng khoai là x(kg), điều kiện x > 0
Thì khối lượng cà chua sẽ là: 489 – x(kg)
*Giai đoạn 3:
Vì khối lượng khoai gấp ba lần khối lượng cà chua nên ta có phương trình:
x = 3.(480- x)
* Giai đoạn 4:
Giải phương trình bậc nhất trên ta được x =360(kg)
*Giai đoạn 5:
Đối chiếu nghiệm với điều kiện đề ra xem mức độ thoả mãn hay không thoả
mãn. Ở đây x = 360 > 0 nên thoả mãn.
từ đó kết luận: khối lượng khoai đã thu hoạch được là 360(kg)

khối lượng cà chua đã thu hoạch được là 480 – 360 = 120(kg)
*Giai đoạn 6: nên cho học sinh nhiều cách giải khác nhau do việc chọn ẩn khác
10 | 2 7


Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
nhau dẫn đến lập các phương trình khác nhau từ đó tìm cách giải hay nhất, ngắn
gọn nhất như đã trình bày ở trên
Có thể từ bài toán trên xây dựng thành bài toán tương tự như sau: một
phân số có tổng tử và mẫu là 480.biết rằng mẫu gấp ba lần tử số. Tìm phân số
đó.
Hoặc bài toán : tuổi của cha gấp ba lần tuổi của con, biết rằng tuổi của con bằng
12. Tìm tổng số tuổi của cả cha và con…
3.3/ Hướng dẫn học sinh tự tìm hiểu đề bài : đọc từng câu, từng chữ , suy nghĩ
thật thấu đáo để nắm được đề bài và thơng qua đó phải hiểu được ta đa xét đến
đại lượng nào (kèm theo đơn vị phù hợp).
Ví dụ :+ …Xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 10km/h … hay mỗi giờ
xe máy đi được 40km … thì học sinh phải hiểu ta đang xét về đại lượng vận tốc.
+ … tổng thời gian cả đi lẫn về mất 2 giờ 30 phút…hay thời gian về nhiều
hơn thời gian đi là 20 phút … thì học sinh phải hiểu ta đang xét về đại lượng
thời gian.
+ Hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau 90
km… thì học sinh phải hiểu ta đang xét về đại lượng quãng đường.
+ «... nên mỗi xe phải chở thêm 3 học sinh so với dự kiến ban đầu... » thì
học sinh phải hiểu đang xét về số học sinh của mỗi xe .
3.4/ Rèn luyện kĩ năng lập phương trình : bằng cách luyện tập cho HS biến
đổi ngôn ngữ trong để bài thành ngơn ngữ tốn học cụ thể, dễ hiểu với phương
trình bằng chữ.
Ví dụ 1: Một ơ tơ đi từ A đến B rồi quay ngược trở về A, cả đi và về mất 3
giờ ... thì học sinh phải ghi được là : tđi + tvề = 3 . Đó là một phương trình lập

được bằng những chữ mà học sinh nào cũng có thể thực hiện được . Nếu cần
biến đổi tương đương , các em cũng dễ dàng đưa phương trình trên thành :
tđi
= 3 – tvề
Lưu ý : Nếu ta gọi x là thời gian của ô tô lúc về (đại lượng chưa biết ở vế
phải ) thì thời gian lúc đi của ơ tô ( đại lượng chưa biết ở vế trái ) sẽ là : 3 – x
( toàn bộ vế phải ) . Học sinh dựa vào đó sẽ dễ dàng hình dung ra sự liên hệ giữa
các đại lượng trong đề bài hơn .
Vậy dựa vào phương trình vừa tóm tắt :
tđi = 3 – tvề
Học sinh có thể đặt :
Gọi thời gian về từ B đến A là x(h) (ĐK: x < 3)
Vậy thời gian đi từ A đến B là 3 – x (h )
11 | 2 7


Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Quan trọng nhất trong bước này là cho học sinh vận dụng các quan hệ
lớn hơn , nhỏ hơn của toán học : nếu cần biểu diễn giá trị chênh lệch giữa hai đại
lượng ta hướng dẫn học sinh thực hiện phép trừ với những phương trình bằng
chữ dạng A – B = C , trong đó A là giá trị lớn hơn , B là giá trị nhỏ hơn và C là
giá trị chênh lệch của hai đại lượng .
Học sinh chỉ cần chú ý xem đại lượng nào lớn hơn , đại lượng nào nhỏ
hơn để đặt vào cho thích hợp .
Ví dụ 2:
Đề bài

Tóm tắt

... Ơng của Bình hơn Bình

Tuổiơng – TuổiBình = 58
58 tuổi ...(bài 52 SBT/12)

Biến đổi ( nếu cần )
Tuổiơng =TuổiBình +58

... Tốp trồng cây nhiều hơn
HS tốp trồng cây – HS HS tốp trồng cây =
tốp làm vệ sinh là 8 người.
tốp làm VS = 8
HS tốp làm VS + 8
(bài 51SBT.12)
1
…biết thời gian về ít hơn
đổi 30 phút = 2 (h)
1
thời gian đi là 30 phút…
t đi – tvề = 2

…biết mỗi giờ xe máy chạy
chậm hơn xe ô tô là 12 km .

V ôtô – Vxe máy = 12

t đi

1
= tvề + 2

V ôtô = Vxe máy + 12

Trên cơ sở tóm tắt này , học sinh sẽ nhận biết và nắm vững rõ ràng hơn
quan hệ giữa các đại lượng thơng qua những hình tượng cụ thể trong những
phương trình bằng chữ cơ đọng đó và các em có đầy đủ cơ sở để phát hiện
những sai lầm và phản bác lại các ý tưởng máy móc, ngộ nhận khi giải.
3.5/ Hướng dẫn học sinh thực hiện tóm tắt đề và giải được bài tốn bằng
cách lập phương trình.
a/ Tóm tắt đề bài :
- Sau khi đọc kỹ đề bài để nắm vững từng ý , ta đưa tất cả các nội dung của
đề bài về những phương trình bằng chữ hoặc những số liệu cụ thể , nội dung nào
đề bài đề cập trước : ta ghi nhận trước , nội dung nào được đề cập sau : ta ghi
nhận sau . Cần tìm phần nào thì đánh dấu hỏi ở phần đó và chú ý khơng được bỏ
sót bất kỳ nội dung nào .

12 | 2 7


Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
- Khi tóm đề xong, ta thường gặp đầy đủ hai phương trình bằng chữ . Nếu
chưa đủ, ta nên suy nghĩ thêm để tìm cho được một phương trình nữa có thể
đang ẩn chứa sau đề bài .
- Đề bài Yêu cầu tìm đại lượng nào , nếu đại lương đó chưa nằm ở vế phải
của một phương trình nào cả , ta có thể chọn phương trình có chứa đại lượng cần
tìm đó và biến đổi (sao cho vế trái chỉ còn hiện diện một đại lượng duy nhất) để
làm phương trình trung gian. Phương trình cịn lại khơng cần biến đổi sẽ là
phương trình chính thức của bài tốn .
b. Giải tốn :
Đầu tiên , thông thường ta nên đặt ẩn số là đại lượng chưa biết nằm bên trái
của phương trình trung gian .
Đại lượng trực tiếp liên quan đến ẩn số là tồn bộ phương trình trung gian

này . Lần lượt giải quyết từng đại lượng trong phương trình chính thức của bài
toán theo đúng thứ tự từ trái sang phải của phương trình chính thức trong phần
tóm đề .
Cuối cùng , dựa vào phương trình chính thức trong tóm đề , ta sẽ lập được
phương trình của bài tốn .
Lưu ý :
Tất cả các thao tác của phần tóm đề này , học sinh sẽ ghi nhận ở phần giấy
nháp với thời gian từ 2 đến 4 phút . Tóm tắt xong đề bài đồng nghĩa với việc đã
xác định được phương trình chính thức của bài tốn . Sau đó , học sinh có thể
dựa vào thứ tự của phần tóm đề này mà sắp xếp các ý để trình bày phần giải
toán vào vở học .
3. 6/ Giáo viên phải chuẩn bị một số bài tập tương tự cho các em về nhà
thực hiện.
Tiết học sau thu vở của các em, chấm và chữa từng bài giải của một số
em, sửa từng câu văn, phép tính.
Đây là một việc làm khơng q khó, tuy nhiên nó địi hỏi ở giáo viên sự
tận tâm, tận tụy chịu khó trong cơng việc.
Lưu ý: hệ thống bài tập cũng phải được sắp xếp từ dễ đến khó.
4.Bài tập minh họa
Dạng 1: tốn về quan hệ các số.
Những kiến thức cần nhớ:
+ Biểu diễn số có hai chữ số : ab = 10a+ b ( ví i 0+Biểu diễn số có ba chữ số : abc = 100a+ 10b + c ( ví i 0+Tổng hai số x; y là: x + y
13 | 2 7


Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
+ Tổng bình phương hai số x, y là: x2 + y2
+ Bình phương của tổng hai số x, y là: (x + y)2.

1 1
+
x
y
+ Tổng nghịch đảo hai số x, y là: .
Ví dụ 1: Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị. Nếu tăng
1
cả tử và mẫu của nó thêm 1 đơn vị thì được một phân số mới bằng phân số 2 .

Tìm phân số đó?
Giải:
gọi tử số của phân số đó là x (đk: x ∈ Z )
Mẫu số của phân số đó là x + 3.
Nếu tăng cả tử và mẫu thêm 1 đơn vị thìtử số là x + 1
Mẫu số là x + 3 + 1 = x + 4
*

1
Được phân số mới bằng phân số 2 , ta có phương trình

x+1 1
=
x+ 4 2

⇔ 2(x + 1) = x + 4
⇔ x = 2( Thoả mà n đ
iều kiện của bài to¸n)
2
5
Ví dụ 2: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng các bình phương của nó là 85.

giải
Gọi số bé là x ( x ∈ N ). Số tự nhiên kề sau là x + 1.
Vì tổng các bình phương của nó là 85 nên ta có phương trình: x2 + (x + 1)2 = 85
VËy ph©
n sè ban đ
ầu đ
à cho là

x 2 + x 2 + 2x + 1 = 85 ⇔ 2x 2 + 2x − 84 = 0
⇔ x 2 + x − 42 = 0 ⇔ x 2 − 6x + 7x − 42 = 0
 x = 6(tm)
⇔ (x − 6)(x + 7) = 0 ⇔ 
 x = −7(ktm)
Vậy hai số phải tìm là 6 và 7.
Bài tập:
Bài 1: đem một số nhân với 3 rồi trừ đi 7 thì được 50. Hỏi số đó là bao nhiêu?
Bài 2: tổng hai số bằng 51. Tìm hai số đó biết rằng số thứ nhất thì bằng số thứ
hai.
Bài 3: tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số của nó là 7. Nếu
đổi chỗ hai chữ số hàng đơn vị và hàng chục cho nhau thì số đó giảm đi 45 đơn
vị.
Bài 4: tìm hai số hơn kém nhau 5 đơn vị và tích của chúng bằng 150.
14 | 2 7


Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Đáp số:
Bài 1: số đó là 19;
Bài 2: hai số đó là 15 và 36
Bài 3: số đó là 61

Bài 4: hai số đó là 10 và 15 hoặc -10 và -15;
Dạng 2: Toán chuyển dộng
Những kiến thức cần nhớ:
Nếu gọi quãng đường là s; vận tốc là v; thời gian là t thì:s = v.t; .
Gọi vận tốc thực của ca nô là v1 vận tốc dịng nước là v2 thì vận tốc ca nơ khi
xi dòng nước là v = v1 + v2. Vân tốc ca nơ khi ngược dịng là v = v1 - v2
Ví dụ1: Xe máy thứ nhất đi trên quãng đường từ Hà Nội về Thái Bình hết 3 giờ
20 phút. Xe máy thứ hai đi hết 3 giờ 40 phút. Mỗi giờ xe máy thứ nhất đi nhanh
hơn xe máy thứ hai 3 km.Tính vận tốc của mỗi xe máy và quãng đường từ Hà
Nội đến Thái Bình?
Giải:
Gọi vận tốc x thứ nhất là x (km/h), đk: x>3;
Vận tốc của xe tứ hai là x - 3 (km/h).
10
10
x(km)
Trong 3 giờ 20 phút (= 3 giờ) xe máy thứ nhất đi được 3
11
11
(x − 3)(km)
3
3
Trong 3 giờ 40 phút (= giờ) xe máy thứ nhất đi được

Đó là quãng đường từ Hà Nội đến Thái Bình nên ta có phương trình
10
11
x = (x − 3) ⇔ x = 33(tm)
3
3

Vậy vận tốc của xe máy thứ nhất là 33 km/h.
Vận tốc của xe máy thứ hai là 30 km/h.
Quãng đường từ Hà Nội đến Thái Bình là 110 km.
Ví dụ 2: Một ô tô đi trên quãng đường dài 520 km. Khi đi được 240 km thì ơ tơ
tăng vận tốc thêm 10 km/h nữa và đi hết quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban
đầu của ơ tơ biết thời gian đi hết quãng đường là 8 giờ.
Giải:
Gọi vận tốc ban đầu của ô tô là x (km/h), đk: x>0.
Vận tốc lúc sau của ô tô là x+10 (km/h).
240
Thời gian ô tô đi hết quãng đường đầu là (giờ) : x
280
Thời gian ô tô đi hết quãng đường đầu là (giờ) : x + 10

15 | 2 7


Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Vì thời gian ơ tơ đi hết qng đường là 8 giờ nên ta có phương trình
240 280
+
=8
x x + 10
⇔ x2 − 55x − 300 = 0
⇔ ( x − 60) ( x + 5) = 0
x = 60(tm)
⇔
x = −5(ktm)
Vậy vận tốc ban đầu của ô tô là 60 km/h.
Bài tập tự làm :

1. Một ô tô khởi hành từ a với vận tốc 50 km/h. Qua 1 giờ 15 phút ô tô thứ
hai cũng khởi hành từ a đi cùng hướng với ô tô thứ nhất với vận tốc 40 km/h.
Hỏi sau mấy giờ thì ơ tơ gặp nhau, điểm gặp nhau cách a bao nhiêu km?
2. Một ca nơ xi dịng 50 km rồi ngược dịng 30 km. Biết thời gian đi
xi dịng lâu hơn thời gian ngược dòng là 30 phút và vận tốc đi xi dịng lớn
hơn vận tốc đi ngược dịng là 5 km/h.
Tính vận tốc lúc đi xi dịng?
3. Hai ô tô cùng khởi hành cùng một lúc từ a đến b cách nhau 150 km.
Biết vận tốc ô tô thứ nhất lớn hơn vận tốc ô tô thứ hai là 10 km/h và ô tô thứ
nhất đến b trước ơ tơ thứ hai là 30 phút. Tính vânl tốc của mỗi ô tô.
4. Một chiếc thuyền đi trên dịng sơng dài 50 km. Tổng thời gian xi
dịng và ngược dịng là 4 giờ 10 phút. Tính vận tốc thực của thuyền biết rằng
một chiếc bè thả nổi phải mất 10 giờ mới xi hết dịng sơng.
Dạng 3: Tốn làm chung công việc
Những kiến thức cần nhớ:
- Nếu một đội làm xong cơng việc trong x giờ thì một ngày đội đó làm
1
được x cơng việc.

- Xem tồn bộ cơng việc là 1
Ví dụ: Hai thợ cùng đào một con mương thì sau 2giờ 55 phút thì xong việc. Nếu
họ làm riêng thì đội 1 hồn thành cơng việc nhanh hơn đội 2 là 2 giờ. Hỏi nếu
làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu giờ thì xong công việc?
Giải :
35
Gọi thời gian đội 1 làm một mình xong cơng việc là x (x > 12 ; giờ)
Gọi thời gian đội 2 làm một mình xong cơng việc là x + 2 (giờ)

16 | 2 7

Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
1
c«ng viƯc
Mỗi giờ đội 1 làm được x
1
c«ng viƯc
x
+
2
Mỗi giờ đội 2 làm được
11 35
2 =
Vì cả hai đội thì sau 2 giờ 55 phút = 12 12 (giờ) xong.
12
Trong 1 giờ cả hai đội làm được 35 cơng việc

1
1
12
+
=
Theo bài ra ta có phương trình x x + 2 35
⇔ 35x + 70 + 35 = 12x 2 + 24x ⇔ 12x 2 − 46x − 70 = 0 ⇔ 6x 2 − 23x − 35 = 0
⇔ 6x 2 − 30x + 7x − 35 = 0 ⇔ (x − 5)(6x + 7) = 0
 x = 5(tm)
⇔
7
 x = − (ktm)
6


Ta có
Vậy đội thứ nhất hồn thành cơng việc trong 5 giờ. Đội hai hồn thành
cơng việc trong 7 giờ.
Chú ý:
+ Nếu có hai đối tượng cùng làm một công việc nếu biết thời gian của đại
lượng này hơn, kém đại lượng kia ta nên chọn một ẩn và đưa về phương trình
bậc hai.
+ Nếu thời gian của hai đại lượng này không phụ thuộc vào nhau ta nên
chọn hai ẩn làm thời gian của hai đội rồi đưa về dạng hệ phương trình để giải.
Bài tâp vận dụng:
1. Hai người thợ cùng làm một cơng việc thì xong trong 18 giờ. Nếu
người thứ nhất làm trong 4 giờ, người thứ hai làm trong 7 giờ thì được 1/3 cơng
việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì mất bao lâu sẽ xong cơng việc?
2. Để hồn thành một cơng việc hai tổ phải làm trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm
chung thì tổ hai được điều đi làm việc khác. Tổ một đã hoàn thành cơng việc cịn
lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì bao lâu xong cơng việc đó?
3. Hai đội công nhân cùng đào một con mương. Nếu họ cùng làm thì
trong 2 ngày sẽ xong cơng việc. Nếu làm riêng thì đội haihồn thành cơng việc
nhanh hơn đội một là 3 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao
nhiêu ngày để xong công việc?

17 | 2 7


Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
4. Hai chiếc bình rỗng giống nhau có cùng dung tích là 375 lít. Ở mỗi
bình có một vòi nước chảy vào và dung lượng nước chảy trong một giờ là như
nhau. Người ta mở cho hai vịi cùng chảy vào bình nhưng sau 2 giờ thì khố vịi
thứ hai lại và sau 45 phút mới tiếp tục mở lại. Để hai bình cùng đầy một lúc

người ta phải tăng dung lượng vòi thứ hai thêm 25 lít/giờ.
Tính xem mỗi giờ vịi thứ nhất chảy được bao nhiêu lít nước.
Kết quả:
1) người thứ nhất làm một mình trong 54 giờ. Người thứ hai làm một
mình trong 27 giờ.
2) tổ thứ nhất làm một mình trong 10 giờ. Tổ thứ hai làm một mình trong
15 giờ.
3) đội thứ nhất làm một mình trong 6 ngày. Đội thứ hai làm một mình
trong 3 ngày.
4) mỗi giờ vịi thứ nhất chảy được 75 lít.
Dạng 4: tốn có nội dung hình học:
Kiến thức cần nhớ:
- diện tích hình chữ nhật s = x.y ( xlà chiều rộng; y là chiều dài)
S=

1
x.y
2
( x là chiều cao, y là cạnh đáy tương ứng)

- diện tích tam giác
- độ dài cạnh huyền : c2 = a2 + b2 (c là cạnh huyền; a,b là các cạnh góc vng)
n(n − 3)
2
- số đường chéo của một đa giác
(n là số đỉnh)

Ví dụ 1: Tính các kích thước của hình chữ nhật có diện tích 40 cm 2 , biết
rằng nếu tăng mỗi kích thước thêm 3 cm thì diện tích tăng thêm 48 cm2.
Giải:

Gọi chiều dài của hình chữ nhật x (cm; x > 0).
40
Thì chiều rộng của hình chữ nhật là x

Khi tăng mỗi chiều thêm 3 cm thì
40
+3
Chiều dài của hình chữ nhật x+3 chiều rộng của hình chữ nhật x
40
+3
Diện tích hình chữ nhật là ( x
)(x+3) theo bài ra ta có pt

(x + 3)(

40
+ 3) = 88 ⇔ 40x + 120 + 3x 2 + 9x − 88x = 0
x

x = 5
⇔ 3x 2 − 39x + 120 = 0 ⇔ x 2 − 13x + 40 = 0 ⇔ (x − 5)(x − 8) = 0 ⇔ 
x = 8
18 | 2 7


Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Vậy các kích thước của hình chữ nhật là 5 (cm) và 8 (cm)
Ví dụ 2: cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 5 m. Hai cạnh góc vng
hơn kém nhau 1m. Tính các cạnh góc vng của tam giác?
Giải:

Gọi cạnh góc vng thứ nhất là x (m) (0< x< 5)
cạnh góc vng thứ hai là x + 1 (m)
Vì cạnh huyền bằng 5m nên theo định lý pi – ta – go ta có phương trình
x2 + (x + 1)2 = 52 (x-3)(x+4)=0x=3(tm) hoặc x=-4(loại)
Vậy kích thước các cạnh góc vng của tam giác vng là 3 m và 4 m.
Bài tập :
Bài 1: một hình chữ nhật có đường chéo bằng 13 m, chiều dài hơn chiều rộng 7
m. Tính diện tích hình chữ nhật đó?
Bài 2: một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi là 250 m. Tính diện tích của thửa
ruộng biết rằng chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa
ruộng khơng thay đổi
Bài 3: một đa giác lồi có tất cả 35 đường chéo. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu
đỉnh?
Bài 4 một miếng đất hình thang cân có chiều cao là 35 m hai đáy lần lượt bằng
30 m và 50 m người ta làm hai đoạn đường có cùng chiều rộng. Các tim đường
lần lượt là đường trung bình của hình thang và đoạn thẳng nối hai trung điểm
của hai đáy. Tính chiều rộng đoạn đường đó biết rằng diện tích phần làm đường
bằng diện tích hình thang.
Đáp số:
Bài 1: diện tích hình chữ nhật là 60 m2
Bài 2: diện tích hình chữ nhật là 3750 m2
Bài 3: đa giác có 10 đỉnh
Bài 4 chiều rộng của đoạn đường là 5 m.
Dạng 5: toán dân số, lãi suất, tăng trưởng
Những kiến thức cần nhớ :
x
+ x% = 100

+ dân số tỉnh a năm ngoái là a, tỷ lệ gia tăng dân số là x% thì dân số năm
nay của tỉnh a là:

a+a.

x
100

+ Số dân năm sau là :
Ví dụ 1: bài 42 – sgk tr 58

(a+a.

x
x
x
) + (a+a.
).
100
100 100

19 | 2 7


Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Gọi lãi suất cho vay là x (%),đk: x > 0
2000000.

x
= 20000
100
(đồng)

Tiền lãi suất sau 1 năm là
sau 1 năm cả vốn lẫn lãi là 200000 + 20000 x (đồng)
(2000000 + 20000x ).

x
= 20000x + 200x 2(®
ång)
100

Riêng tiền lãi năm thứ hai là
Số tiền sau hai năm bác thời phải trả là 2000000 +20000x + 20000x + 200x 2
(đồng) = 200x2 + 40000x +2000000 (đồng)
Theo bài ra ta có phương trình 200x2 + 40 000x + 2000000 = 2420000
x2 + 200x – 2100 = 0 .
Giải phương trình ta được x1 = 10 (thoả món); x2 = -210 (không thoả mãn)
Vậy lãi suất cho vay là 10 % trong một năm.
Ví dụ 2: theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất
định. Do áp dụng kỹ thuật mới nên tổ I đó sản xuất vượt mức kế hoạch là 18%
và tổ II vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đó hồn thành vượt
mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ là bao nhiêu.
giải
+

Gọi x là số sản phẩm tổ I hoàn thành theo kế hoạch (sp), đk: x ∈ Z ; x < 600 .
Số sản phẩm tổ II hoàn thành theo kế hoạch là 600 – x (sản phẩm).
18
Số sản phẩm vượt mức của tổ I là 100 (sản phẩm).
21
(600 − x ).

100 (sản phẩm).
Số sản phẩm vượt mức của tổ II là
x.

Vì số sản phẩm vượt mức kế hoạch của hai tổ là 120 sản phẩm ta có pt
18x 21(600 − x )
+
= 120
100
100
 x = 200 (thoả mãn)
Vậy số sản phẩm theo kế hoạch của tổ I là 200 (sản phẩm)
Vậy số sản phẩm theo kế hoạch của tổ II là 400 (sản phẩm)
Bài tập:
Bài 1: dân số của Thành Phố Hà Nội sau 2 năm tăng từ 200000 lên
2048288 người. Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng bao nhiêu phần
trăm.
Bài 2: Bác An vay 10 000 000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế. Trong
một năm đầu bác chưa trả được nên số tiền lãi trong năm đầu được chuyển thành
vốn để tính lãi năm sau. Sau 2 năm bác an phải trả là 11 881 000 đồng. Hỏi lãi
suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm?
20 | 2 7


Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Bài 3: theo kế hoạch hai tổ sản xuất 1000 sản phẩm trong một thời gian
dự định. Do áp dụng kỹ thuật mới nên tổ I vượt mức kế hoạch 15% và tổ II vượt
mức 17%. Vì vậy trong thời gian quy định cả hai tổ đó sản xuất được tất cả
được 1162 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm của mỗi tổ là bao nhiêu?
Kết quả:

Bài 1: trung bình dân số tăng 1,2%
Bài 2: lãi suất cho vay là 9% trong 1 năm
Bài 3: tổ I được giao 400 sản phẩm. Tổ II được giao 600 sản phẩm
Dạng 6: dạng tốn liên quan đến vật lý, hóa học và một số dạng khác
Những kiến thức cần nhớ :
 m = D.V
m 
V= ⇒
D = m
D
V


Trong đó : V : Thể tích dung dịch
m : Khối lượng
D : Khối lượng riêng của chất
Khèi l ỵ ng chÊt tan
- Khối lượng nồng độ dung dịch = Khèi l ỵ ng dung m«i (mtỉng)

- Cơng thức tính nhiệt lượng thu vào hốc tỏa ra :q = m(t2 –t1)
Ví dụ : (bài 5 trang 59 sgk)
Gọi trọng lượng nước trong dung dịch trước khi đổ thêm nước là x (g).Đk x >
0.
40
%
Nồng độ muối của dung dịch khi đó là x+ 40
40
%
x+ 240

Nếu đổ thêm 200g nước vào dung dịch thì trọng lượng của dung dịch là:
Vì nồng độ giảm 10% nên ta có phương trình
40
40
10
−
=
x + 40 x + 240 100
⇔ x2 + 280x − 70400 = 0
Giải pt ta được x1 = -440 ( loại);
x2 = 160 (thoả mãn đk)
vậy trước khi đổ thêm nước trong dung dịch có 160 g nước.
Ví dụ 2: người ta trộn 8g chất lỏng này với 6g chất lỏng khác có khối lượng
riêng nhỏ hơn nó là 0,2g/cm3 để được hỗn hợp có khối lượng riêng 0,7g/cm3 .
Tìm khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.
Giải
21 | 2 7


Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Gọi khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là x (g/cm3). Đk x > 0,2
Khối lượng riêng của chất lỏng thứ hai là x – 0,2 (g/cm3).
8
(cm3 )
x
Thể tích của chất lỏng thứ nhất là

6
(cm3 )
Thể tích của chất lỏng thứ hai là x − 0, 2

8
6
+
(cm3 )
Thể tích của hỗn hợp là x x + 0,2

8
6
14
+
=
⇔ 14x2 − 12,6x + 1,12 = 0
Theo bài ra ta có pt . x x + 0,2 0,7
giải pt ta được kết quả
x1 = 0,1 (loại) ;
x2 = 0,8 (t/m đk)
Vậy khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là 0,8 (g/cm3)
Khối lượng riêng của chất lỏng thứ hai là 0,6 (g/cm3).
Bài tập:
Bài 1: một phịng họp có 240 ghế được xếp thành các dãy có số ghế bằng nhau.
Nếu mỗi dãy bớt đi một ghế thì phải xếp thêm 20 dãy mới hết số ghế. Hỏi phòng
họp lúc đầu được xếp thành bao nhiêu dãy ghế.
Bài 2: hai giỏ sách có 400 cuốn. Nếu chuyển từ giỏ thứ nhất sang giỏ thứ hai 30
cuốn thì số sách ở giỏ thứ nhất bằng số sách ở ngăn thứ hai. Tính số sách ban
đầu của mỗi ngăn?
Bài 3: người ta trồng 35 cây dừa trên một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài
30 m chiều rộng là 20 m thành những hàng song song cách đều nhau theo cả hai
chiều. Hàng cây ngoài cùng trồng ngay trên biên của thửa đất. Hãy tính khoảng
cách giữa hai hàng liên tiếp?

Bài 4: hai người nông dân mang 100 quả trứng ra chợ bán. Số trứng của hai
người không bằng nhau nhưng số tiền thu được của hai người lại bằng nhau.
Một người nói với người kia: “ nếu số trứng của tơi bằng số trứng của anh thì tơi
bán được 15 đồng ”. Người kia nói “ nếu số trứng của tôi bằng số trứmg của anh
6

2
3 đồng thôi”. Hỏi mỗi người có bao nhiêu quả trứng?

tơi chỉ bán được
Bài 5: một hợp kim gồm đồng và kẽm trong đó có 5 gam kẽm. Nếu thêm 15
gam kẽm vào hợp kim này thì được một hợp kim mới mà trong đó lượng đồng
đó giảm so với lúc đầu là 30%. Tìm khối lượng ban đầu của hợp kim?
Kết quả:
Bài 1: có 60 dãy ghế
22 | 2 7


Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Bài 2: giỏ thứ nhất có 180 quyển. Giỏ thứ hai có 220 quyển.
Bài 3: khoảng cách giữa hai hàng là 5m
Bài 4: người thứ nhất có 40 quả. Người thứ hai có 60 quả.
Bài 5: 25 gam hoặc 10 gam.
5. Hiệu quả của đề tài:
Tôi đã và đang tiếp tục áp dụng đề tài của mình với học sinh khối 8 do tôi
đảm nhận của 2 năm học vừa qua , kết quả cũng tăng lên rõ rệt , đặc biệt phần
lớn học sinh đã say mê giải những bài tốn bằng cách lập phương trình.
- Các em khơng cịn lúng túng khi lập phương trình nữa.
- Các em có niềm tin, niềm say mê, hứng thú trong học tốn . Từ đó, nó
tạo cho các em tính tự tin độc lập suy nghĩ.

- Trong quá trình giải các bài tập đã giúp các em có khả năng phân tích,
suy ngẫm, khái quát vấn đề một cách chặt chẽ, các em khơng cịn ngại khó, mà
rất tự tin vào khả năng học tập của mình.
- Nhiều em khá giỏi đã tìm ra được cách giải hay và ngắn gọn phù hợp.
Kết quả trước và sau khi áp dụng đề tài :
( Rút ra từ các lần kiểm tra ở Chương III – Đại số 8, tuần 26 - tiết 56), chỉ thống
kê điểm câu 2: (2,5 điểm) giải bài tốn bằng cách lập phương trình.

Điểm

3
2,5–
2,75
2-2,5
1,5-2
1-1,5
0–1

Trước khi áp dụng

Sau khi áp dụng

Lớp 8A1
Năm học: 2015-2016
Tổng số HS: 40

Lớp 8A3
Năm học: 2016 – 2017
Tổng số HS: 41

SL
5
10

Tỉ lệ (%)
12,5%
25%

SL
18
12

Tỉ lệ (%)
43,9%
29,3%

7
7
9
2

17,5%
17,5%
22,5%
5%

8
2
1
0

19,5%
4,9%
2,4%
0

- Qua đó có thể thấy tỉ lệ HS đạt trọn điểm của dạng bài tập này tăng lên rõ
rệt, bên cạnh đó hạn chế được tỉ lệ học sinh bị điểm dưới 1,0 của dạng toán này.
- Tuy vậy bên cạnh những kết quả đạt được thì vẫn cịn một số ít học sinh
học yếu , lười học, chưa có khả năng tự mình giải được những bài tốn bằng
cách lập phương trình. Đối với các em yếu, đây là một việc thực sự khó khăn.
Một phần cũng là do khả năng học toán của các em cịn hạn chế, mặt khác dạng
tốn này lại rất khó, đòi hỏi sự tư duy nhiều ở các em.
23 | 2 7


Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1.Đánh giá cơ bản về sáng kiến kinh nghiệm:
a.Nội dung:
- Nội dung đề tài tập trung ở phần rèn luyện kĩ năng lập phương trình :
bằng cách luyện tập cho HS biến đổi ngôn ngữ trong để bài thành ngôn ngữ tốn
học cụ thể, dễ hiểu với phương trình bằng chữ và Hướng dẫn học sinh thực hiện
tóm tắt đề và giải được bài tốn bằng cách lập phương trình.
- Các bài toán minh hoạ là những dạng toán thường gặp (tuy nhiên chưa
đầy đủ dạng) và được hướng dẫn rất chi tiết , dễ hiểu nhất để học sinh có thể tự
nắm được, tự lập được phương trình và giải được bài toán.
- Những bài tập tương tự GV đưa ra nhằm mục đích giúp học sinh tự rèn
thêm ở nhà nhằm nắm kĩ hơn các bài toán GV đã đưa ra ở trên. Tuy nhiên để

phát huy hết hiệu quả của nội dung này, GV cần có kế hoạch kiểm tra , nhắc nhở
HS tự làm các bài đó ở nhà. (Có thể sữa trong các tiết tự chọn là tốt nhất)
b.Ý nghĩa:
Việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trên vào thực tế giảng dạy 2 năm
nay ở trường tôi thật sự đã để lại những ý nghĩa hết sức rõ rệt, cụ thể:
- Giúp học sinh thực sự hứng thú , say mê giải toán bằng cách lập phương
trình bằng chính khả năng của mình .
- Nắm được Yêu cầu của đề bài , hiểu và thực hiện được cách giải nên
tham gia đóng góp ý kiến xây dựng , khai thác kiến thức xung quanh đề bài một
cách tích cực hơn .
- Học sinh cảm thấy tự tin hơn khi giải tốn bằng cách lập phương trình , có
đủ cơ sở lý luận để bảo vệ lập luận của mình khi gặp phải ý kiến phản bác của
bạn
- Biết tìm tịi và phát hiện một số dạng bài tập liên quan đến các kiến thức
đã học .
Biết thực hiện nhiều hướng giải toán khác nhau sau khi tóm tắt đề tốn, để
từ đó các em có thể chọn một hướng giải bài toán hợp lý và ngắn gọn nhất .

24 | 2 7


Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
- Người giáo viên thơng qua phương pháp nêu trên cũng có thể làm cho hệ
thống câu hỏi trở thành quá trình dẫn dắt học sinh suy luận tìm ra mối liên hệ
giữa các đại lượng trong một đề tốn , rồi hình thành kỹ năng tư duy để các em
độc lập giải quyết vấn đề .
c. Hiệu quả
- Khi vận dụng phương pháp tóm đề để giải tốn , học sinh khối lớp do tơi
giảng dạy rất phấn khởi , tự tin và yêu thích giải tốn đố . Tình trạng e ngại dạng
tốn này hầu như khơng cịn ở đại đa số học sinh. Do bản thân mội học sinh có

thể tự suy nghĩ , phân tích đề bài , hiểu và giải được thật sự với nhiều hướng giải
khác nhau thơng qua tóm đề mà không cần phải hỏi bài hay xem hướng giải của
của bạn ngồi cạnh (đây là lỗi vi phạm phổ biến của học sinh ở trường vào giờ
kiểm tra Toán) nên tinh thần và thái độ học tập mơn Tốn cũng nâng lên rõ rệt .
-Thái độ tự tin của một số học sinh mỗi khi học tổ nhóm hoặc trong giờ
luyện tập : vẫn vững vàng giải toán và khẳng định mình đúng khi biết phương
trình mình lập được đã khác hẳn với các bạn xung quanh ; vì các em đã hiểu rõ
một điều : do đặt ẩn số khác nhau nên có thể dẫn đến việc lập được phương trình
khác nhau và phần tóm đề ln ln là cơ sở lý luận để các em tự kiểm tra và
khẳng định phần bài giải của mình .
- Như vậy , từ chỗ học sinh còn lúng túng trong kiến thức và phương
pháp , thậm chí cịn tỏ thái độ khơng u thích , qua thực tế giảng dạy với những
biện pháp tiến hành như trên , học sinh đã giải thành thạo phần giải toán bằng
cách lập phương trình ở sách giáo khoa và sách bài tập . Khi đã nắm vững kiến
thức , với sự hỗ trợ của phương pháp tóm tắt đề bài , học sinh đã có được sự
hứng thú , góp phần khơi dậy niềm say mê trong học tập , từ đó nâng cao được
chất lượng trong dạy học bộ mơn Tốn . Với các bước tiến hành như trên , học
sinh sẽ chủ động tiếp thu kiến thức , làm nền tảng cho những kiến thức mới hơn
trong chương trình lớp 9 sắp tới
d. Bài học kinh nghiệm:
- Trên đây chỉ là một vài kinh nghiệm nhỏ được rút ra từ thực tế 5 năm
giảng dạy Toán khối 8. Đây là loại toán khá đa dạng về bài tập, tuy nhiên với
khả năng của mình tơi chỉ đưa ra một số dạng đơn giản mà học sinh thường gặp
ở chương trình lớp 8. Tôi cũng chỉ đi sâu vào vấn đề nhỏ đó là giúp các em có
kỹ năng lập phương trình bài tốn được dễ dàng, bởi vì muốn giải được bài tốn
bằng cách lập phương trình thì phải lập được phương trình, có phương trình
đúng thì giải phương trình có kết quả đúng, dẫn đến mới trả lời được điều mà
bài tốn địi hỏi.
- Những biện pháp và việc làm của tơi như đã trình bày ở trên, bước đầu đã
25 | 2 7