skkn KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH TRONG GIẢI TOÁN CHỨNG MINH HÌNH HỌC Ở LỚP 7

Tên sáng kiến: KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH TRONG
GIẢI TỐN CHỨNG MINH HÌNH HỌC Ở LỚP 7
A- ĐẶT VẤN ĐỀ:
1. Lý do chọn đề tài:
a. Cơ sở lý luận:
Trong chương trình THCS, tốn học chiếm một vai trị rất quan trọng.
Với đặc thù là mơn khoa học tự nhiên, tốn học khơng chỉ giúp học sinh phát
triển tư duy, óc sáng tạo, khả năng tìm tịi và khám phá tri thức, vận dụng những
hiểu biết của mình vào trong thực tế cuộc sống mà tốn học cịn là cơng cụ giúp
các em học tốt các mơn học khác và góp phần giúp các em phát triển một cách
tồn diện.
Việc tìm kiến thức lời giải cho một bài toán rèn luyện phương pháp khoa
học trong suy nghĩ, trong suy luận, trong giải quyết các vấn đề,... và qua đó rèn
luyện trí thông minh sáng tạo, phát triển năng lực và phẩm chất trí tuệ.
Việc tìm ra lời giải của một bài tốn khó, phương pháp mới, độc đáo của
một bài tốn gây nên sự hồ hứng, phấn chấn, khối trá,... điều đó có ý nghĩa to
lớn trong việc vun đắp lịng say mê học toán và ước mơ vươn tới vinh quang
trong lĩnh vực nghiên cứu, khám phá, phát minh những vấn đề mới.
b. Cơ sở thực tiễn:
Hiện nay môn toán ở bậc THCS đã được Bộ GD–
ĐT thay đổi nội dung SGK lẫn phương pháp dạy học từ
lớp 6 đến lớp 9, nhằm mục tiêu phát triển trí tuệ của
học sinh, giúp các em phát triển óc quan sát, phát huy
tính độc lập sáng tạo của bản thân, giảm đi tính trừu
tượng, để từ đó các em hăng say thích thú, tìm tòi học
hỏi bộ môn toán.
Sự phát triển của xã hội, sự phát triển của khoa
học công nghệ của các nước trên thế giới đòi hỏi
chúng ta cần phải đổi mới phương pháp dạy học ở
bậc THCS.
Đặc trưng của bộ môn hình học ở THCS là môn

học đòi hỏi học sinh ngoài việc tính toán chính xác ra
còn cần phải có tính trừu tượng cao, có óc quan sát
tinh tế. Bên cạnh đó học sinh còn phải có khả năng
suy luận, lí giải tốt. Cho nên hình học được xem là môn
học khó đối với các em học sinh nhất là trong việc
chứng minh một vấn đề: đa số các em không biết bắt
đầu từ đâu ? cần phải làm gì để chứng minh vấn đề
đó ? - đây là điều thường bắt gặp đối với học sinh
Trang 1


lớp 7. Lí do học sinh khi học đến lớp 7 mới lần đầu tiên
được làm quen với việc chứng minh một số vấn đề
hình học cơ bản. Chính vì lẽ đó mà các em gặp nhiều
lúng túng trong chứng minh.
Trong phần này tôi sẽ tổng kết lại các gợi ý chứng
minh thường được sử dụng khi giải toán hình học trong
chương trình lớp 7. Thực chất đây là những kinh nghiệm
giải toán giúp cho việc sắp xếp các suy nghó ngay từ
khi bắt đầu chứng minh.
2. Sơ lược lịch sử vấn đề :
- Trong chương trình tốn THCS, qua kết quả thực tế trong các kì thi
nói chung và các bài kiểm tra thường xuyên và định kì cho thấy khi học sinh giải
bài tập hình học với dạng chứng minh các em không biết bắt đầu từ đâu ? dựa
vào dữ kiện gì ? rồi lập luận như thế nào để đi đến kết luận đúng theo yêu cầu
của một bài tốn chứng minh; Và khơng ít giáo viên cũng đã gặp lúng túng khi
hướng dẫn học sinh mình làm một bài tập chứng minh ( do chưa xác định được
dạng của bài tập chứng minh, rồi cách nối từ điều đề bài đã cho (Giả thiết) để đi
đến điều cần được suy ra (Kết luận); cách trình bày phân tích đi lên khi chứng
minh; cũng như là lật ngược vấn đề (chứng minh theo phương pháp phản

chứng).
- Với vai trị là giáo viên dạy bộ mơn Tốn trong thời gian qua tôi đã
chứng kiến thực tế những khó khăn của học sinh khối 7 khi giải bài tốn chứng
minh hình học vì các em vừa mới tập tành trong việc làm quen với dạng toán
chứng minh và đây cũng là nền tảng kiến thức hình học cơ bản - điều hết sức
quan trọng định hướng cho việc khám phá kiến thức hình học khơng gian. Chính
vì lẽ đó tơi đã qpa1 dụng cũng như là quyết định chọn đề tài “kinh nghiệm giúp
học sinh trong giải toán chứng minh hình học ở lớp 7” – thơng qua nội dung này
dẫn dắt học sinh những bước làm quen ban đầu đối với việc chứng minh một bài
tốn hình học: phân tích đề ( tìm hiểu nội dung của giả thiết và kết luận -> nối từ
giả thiết đến kết luận ); trình bày chứng minh theo phương pháp tổng hợp và
phương pháp phản chứng và một số cách chứng minh thường gặp trong chương
trình tốn 7. Điều này giúp học sinh có cái nhìn tổng hợp các kiến
thức cơ bản khi giải toán nhằm giúp học sinh có định
hướng ngay từ đầu khi giải quyết vấn đề chứng minh
yếu tố hình học; Tránh sự lúng túng không biết bắt
đầu từ đâu khi gặp bài tốn chứng minh.
3) Phạm vi đề tài:
Là chương trình SGK toán 7 (phần hình học) và một số mãng
kiến thức tốn 8 mà trọng tâm đó là một số cách chứng
minh thường gặp trong hình học 7.
B- NỘI DUNG:
1. Thực trạng:
a. Nghiên cứu tình hình:
Trang 2


Do học sinh lớp 7 lần đầu tiên được làm quen với
việc chứng minh hình học cho nên các em còn bỡ ngỡ
và gặp không ít khó khăn khi giải toàn bài toán

chứng minh. Do vậy mà còn một bộ phận không nhỏ
học sinh chưa thể làm hoàn chỉnh một bài toán chứng
minh hình học; chính điều này đã làm hạn chế sự ham
thích khi học bộ môn dẫn đến kết quả học sinh có
điểm yếu kém trong các lần kiểm tra hình học chiếm
tỉ lệ khá cao.
Nguyên nhân cơ bản: Học sinh chưa có sự định
hướng trong chứng minh; chưa phân tích đề bài; chưa biết lập luận sao
cho phù hợp. Và như đã nói: các em chưa biết phải làm gì
và bắt đầu từ đâu để chứng minh cũng như khai thác
một vấn đề hình học.
b. Thực trạng
Thực tế cho thấy trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy có
không ít các học sinh – nhất là học sinh lớp 7 rất e ngại
khi giải một bài toán hình học nhất là dạng tốn chứng
minh một vấn đề nào đó. Bởi lẽ các em chưa biết
nên bắt đầu từ đâu khi chứng minh một yếu tố hình
học. Đặc biệt là sự phối hợp, liên thông giữa các
kiến thức cơ bản trong hình học để từ đó tự xây dựng
một nền tảng cơ bản làm hành trang kiến thức cần
thiết cho bản thân.
2. GIẢI PHÁP:
2.1) Gợi ý về chứng minh hình học 7:
2.1.1) Bài tốn chứng minh hình học là gì ?
Chứng minh một bài tốn hình học là dựa vào điều đã biết ( gồm giả thiết
của bài tốn, các định nghĩa, tiên đề, định lí đã học ) và bằng cách suy luận đúng
đắn để chứng tỏ rằng kết luận của bài toán là đúng.
Dạng chung của bài tốn chứng minh là: A => B, trong đó A là giả thiết
của bài toán, B là kết luận của bài tốn.
2.1.2) Gợi ý tìm tịi chứng minh một bài tốn hình học 7:

a) Nghiên cứu đề tốn:
Đọc kỉ đề tốn để hiểu rõ: Đề bài cho những gì ? Đề bài yêu cầu
chứng minh điều gì ? Từ đó tóm tắt đề bài dưới dạng giả thiết và kết luận.
b) Tìm hiều nội dung giả thiết:
Dựa vào các kiến thức đã học, tìm xem: từ nội dung của giả thiết, ta
có thể suy ra các tính chất gì, các quan hệ gì ?
a
E 1
2 3

Chẳng hạn đề bài cho a //b ( hình bên ) ta suy ra:
Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

E1 = F1 ; E2 = F1 ; E 3 + F 1 = 1800

Trang 3

b

1

F


c) Tìm hiểu nội dung của kết luận:
Tìm xem: Để đi đến kết luận, ta cần phải chứng minh điều gì ? trong các
điều ấy, điều nào đã biết, điều nào còn phải chứng minh.
Chẳng hạn: Đề bài yêu cầu chứng minh
∆AMB = ∆DMC ( hình bên ) đã cho MB = MC, MD = MA.
Vậy thì ta cịn phải chứng minh góc AMB bằng góc CMD.
A
/
B

//

M

C

//
/

D
d) Nối từ giả thiết đến kết luận:
Trong q trình tìm tịi lời giải, ta dùng phương pháp phân tích đi lên:
Để chứng minh B ( là kết luận), ta tìm cách chứng minh C.
Để chứng minh C, ta tìm cách chứng minh D,...cuối cùng ta tìm cách
chứng minh H.
Nếu từ giả thiết mà ta chứng minh được H thì ta đã tìm được cách giải bài
toán bằng cách nối từ giả thiết đến kết luận.

A => H => ... => D => C => B.
A
Ví dụ: Cho hình bên.
\
Hãy chứng minh ∆OBC là tam giác cân.
/
D
E
O
\\
//
GT

∆ABC , AD=AE

1

1

2

B 2
BD = CE
∆OBC là tam giác cân
KL
Phân tích đi lên:
Λ
Λ
- Đề chứng tỏ ∆OBC là tam giác cân, ta phải chứng minh B 2 = C 2 .
Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

C

Λ

- Ta đã biết B = C nên để chứng minh B 2 = C 2 , ta cần chứng minh B1 = C1 ,
muốn vậy ta chứng minh ∆AEB = ∆ADC .
- Mà ∆AEB = ∆ADC ( cạnh – góc – cạnh )
2.1.3) Gợi ý trình bày bài tốn chứng minh hình học:
Sau khi vẽ hình, ghi kí hiệu, ghi giả thiết và kết luận, ta trình bày chứng minh
theo trình tự ngược lại của bước phân tích đi lên tức là ta trình bày lời giải theo
phương pháp tổng hợp.
Chẳng hạn trình bày lời giải theo ví dụ ở trên như sau:

Trang 4


∆AEB và ∆ADC có:

AD=AE ( Giả thiết )
BD = CE ( tổng của hai đoạn thẳng bằng nhau )
Λ

A là góc chung.
∆ABC

Λ

∆AEB = ∆ADC ( c – g – c ) suy ra

Do đó

Λ

B1 = C 1
Λ

Λ

có AB = AC nên là tam giác cân. Suy ra: B = C . Do đó:
Λ

Λ

Λ

Λ

B − B1 = C − C1 =>

Λ

Λ

B2 = C 2
∆OBC có hai góc bằng nhau nên là tam giác cân.
.
2.1.4) Gợi ý trình bày bài tốn chứng minh hình học theo
phương pháp phản chứng:
Một số bài tốn hình học được chứng minh bằng phương pháp phản
chứng.
Chứng minh phản chứng gồm 03 bước:
- Bước 1 ( phủ định kết luận ): Giả sử có điều trái với kết luận của bài toán.
- Bước 2 ( đưa đến mâu thuẫn ): Từ điều giả sử trên, từ giả thiết của bài toán
và các kiến thức đã học, ta suy điều mâu thuẫn với giả thiết hay kiến thức đã
học.
- Bước 3 ( Khẳng định kết luận): Vậy kết luận của bài tốn là đúng.

Ví dụ: Chứng minh rằng từ tiên đề Ơ-clit, ta suy ra: Nếu hai đường thẳng phân
biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
GT
KL

a // c
b // c
a // b

- Bước 1: Giả sử a không song song với b.
- Bước 2: Thế thì a và b cắt nhau tại một điểm, gọi giao điểm đó là O. Qua O
ta có hai đường thẳng phân biệt a và b cùng song song với đường thẳng c,
điều này mâu thuẫn với tiên đề Ơ-clit.
- Bước 3: Vậy a phải song song với b.
2.2) GI Ý THƯỜNG ĐƯC SỬ DỤNG TRONG GIẢI

TOÁN CHỨNG MINH HÌNH HỌC 7
2.2.1. Chứng minh góc:
2.2.1.a) Chứng minh hai góc là đối đỉnh :
Muốn chứng minh hai góc xOy và x'Oy' là hai góc đối đỉnh ta có thể dùng
một trong những phương pháp sau đây :
1. Chứng minh rằng tia Ox là tia đối của tia Ox' ( hoặc Oy' ) và tia Oy là
tia đối của tia Oy' ( hoặc Ox' ), tức là hai cạnh của một góc là tia đối của hai
cạnh của góc kia ( định nghĩa ).
2. Chứng minh rằng ∠ xOy = ∠ x'Oy' ; tia Ox và tia Ox' đối nhau còn hai
tia Oy và tia Oy' nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng xx'
(hệ quả của định nghĩa ).
Trang 5


2.2.1.b) Chứng minh hai góc bằng nhau:
Để chứng minh hai góc bằng nhau ta có thể thực hiện
một trong các cách sau:
1. Chứng minh hai góc có cùng số đo.
2. Chứng minh hai góc cùng bằng một góc thứ ba, chứng minh hai góc
cùng phụ với một góc, chứng minh hai góc cùng bù với một góc .
3. Chứng minh hai góc cùng bằng tổng, hiệu của hai góc tương ứng bằng
nhau.
4. Chứng minh hai góc đó đối đỉnh.
5. Chứng minh hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có cạnh tương ứng song
song hoặc vng góc.
6. Chứng minh hai góc đó là hai góc tương ứng của hai tam giác bằng
nhau.
7. Chứng minh hai góc đó là hai góc đáy của một tam giác cân.
8. Chứng minh hai góc đó là hai góc của một tam giác đều.
9. Chứng minh dựa vào định nghĩa tia phân giác của một góc.

10. Chứng minh dựa vào tính chất của hai đường thẳng song song (đồng
vị, so le, ...)
2.2.2. Chứng minh đoạn thẳng:
2.2.2.a) Chứng minh một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng :
Muốn chứng minh rằng điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AC ta có thể
dùng một trong những phương pháp sau đây:
1. Chứng minh rằng: AB + BC = AC và AB = BC (định nghĩa ).
2. Chứng minh rằng: Điểm B nằm giữa hai điểm A, C và AB = AC (hệ
quả của định nghĩa ).
3. Chứng minh rằng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng và AB = BC (hệ quả
của định nghĩa ).
4. Chứng minh rằng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng và AB, BC là hai cạnh
tương ứng của hai tam giác bằng nhau.
2.2.2.b) Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:
Muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta có thể dùng một trong
những phương pháp sau đây :
1 .Chứng minh hai đoạn thẳng có cùng số đo.
2. Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba.
3. Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng tổng, hiệu, ... của hai đoạn thẳng
bằng nhau đôi một.
4. Chứng minh hai đoạn thẳng là hai cạnh tương ứng của hai tam giác
bằng nhau.
5. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau được suy ra từ tính chất của tam
giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, v.v...
6. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau dựa vào định nghĩa trung điểm
của đoạn thẳng ,định nghĩa trung tuyến của tam giác,định nghĩa trung trực
của đoạn thẳng,định nghĩa phân giác của một góc .
7. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau dựa vào tính chất đường trung
tuyến ứng với cạnh huyền.
Trang 6

8. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau dựa vào tính chất giao điểm ba
đường phân giác trong tam giác,tính chất giao điểm ba đường trung trực
trong tam giác.
9. Chứng minh dựa vào định lí Pitago.
2.2.3. Chứng minh song song, vng góc:
2.2.3.a) Chứng minh một đường thẳng là đường trực của một đoạn
thẳng:
Muốn chứng minh rằng đường thẳng a là đường trung trực của đọan thẳng
AB ta có thể dùng một trong những phương pháp sau đây :
1. Chứng minh rằng a vng góc với AB tại trung điểm I của AB ( định
nghĩa )
2. Lấy một điểm M tùy ý trên đường thẳng a rồi chứng minh MA = MB.
2.2.3.b) Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song :
Muốn chứng minh rằng a // b ta có thể dùng một trong những phương pháp sau
đây :
1. Chứng minh hai góc so le trong bằng nhau :
a
4A 3
Aˆ1 = Bˆ1 hoặc Aˆ 2 = Bˆ 2 ( dấu hiệu song song )
1 2
2. Chứng minh hai góc đồng vị bằng nhau :
Aˆ1 = Bˆ3 hoặc Aˆ 2 = Bˆ 4 hoặc Aˆ3 = Bˆ1 hoặc Aˆ 4 = Bˆ 2
b 2 1
(Dẫn tới dấu hiệu song song ).
3 B4
3. Chứng minh hai góc trong cùng phía bù nhau :
Aˆ1 + Bˆ 2 = 180 0 hoặc Aˆ 2 + Bˆ 4 = 180 0
c

( Dẫn tới dấu hiệu song song ).
4. Chứng minh hai góc sole ngồi bằng nhau
(Dẫn tới dấu hiệu song song ).
5. Chứng minh hai góc ngồi cùng phía bù nhau
(Dẫn tới dấu hiệu song song ).
c
6. Chứng minh a và b cùng vng góc
a
với một đường thẳng c nào đó.
7. Chứng minh a và b cùng song song
với một đường thẳng c nào đó.
b
8. Để chứng minh a//b . Ta giả sử a và b có điểm chung rồi dẫn đến một điều
vơ lý ( chứng minh bằng phản chứng )
2.2.3.c) Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc :
Muốn chứng minh hai đường thẳng vng góc với nhau ta có thể dùng một
trong những phương pháp sau đây :
1. Chứng minh rằng một trong những góc tạo thành bởi hai đường thẳng ấy là
góc vng (định nghĩa ) .
2. Chứng minh dựa vào tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù.
3. Chứng minh dựa vào tính chất tổng các góc trong một tam giác bằng 180 0
,đi chứng minh cho tam giác có hai góc phụ nhau suy ra góc thứ ba bằng 90 0 .
4. Chứng minh dựa vào định lí "đường thẳng vng góc với một trong hai
đường thẳng song song thì vng góc với đường thẳng kia ".

Trang 7


5. Chứng minh dựa vào định nghĩa ba đường cao của tam giác, định nghĩa
đường trung trực của đoạn thẳng.

6. Chứng minh dựa vào tính chất của tam giác cân , tam giác đều.
7. Chứng minh dựa vào tính chất ba đường cao của tam giác.
8. Chứng minh dựa vào định lí Pitago
9. Chứng minh dựa vào định lí nhận biết một tam giác vng khi biết tam giác
này có trung tuyến thuộc một cạnh bằng nửa cạnh ấy.
2.2.4. Chứng minh tam giác:
2.2.4a) Chứng minh tam giác cân
Để chứng minh một tam giác là cân, ta có thể sử
dụng một trong các cách sau:
1.1. Chứng minh nó có 2 góc bằng nhau.
1.2. Chứng minh nó có 2 cạnh bằng nhau.
1.3. Chứng minh nó có một đường trung
tuyến vừa là đường cao hoặc phân giác.
2.2.4b) Chứng minh tam giác đều
Để chứng minh một tam giác là đều, ta có thể sử
dụng một trong các cách sau:
1.1. Chứng minh tam giác có 3 cạnh bằng nhau.
1.2. Chứng minh tam giác có có 2 góc bằng 600.
1.3. Chứng minh tam giác cân có 1 góc bằng
600.
2.2.4c) Chứng minh tam giác vuông:
Để chứng minh một tam giác là vuông, ta có thể
sử dụng một trong các cách sau:
3.1. Sử dụng định lí Pytago đảo.
3.2. Chứng minh nó có một góc vuông bằng
cách sử dụng các cách chứng minh hai đường
thẳng vuông góc.
3.3. Chứng minh nó có một trung tuyến bằng
1/2 cạnh tương ứng.
2.2.5. Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau:

Muốn chứng minh rằng hai tam giác vng bằng nhau ta có thể dùng một
trong những phương pháp sau:
1. Chứng minh hai tam giác ấy có hai cạnh góc vng bằng nhau từng đơi
một (c.g.c).
2. Chứng minh hai tam giác ấy có cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhau
từng đơi một (dẫn tới trường hợp bằng nhau c.g.c)
3. Chứng minh hai tam giác ấy có cạnh huyền và một cạnh góc vng
bằng nhau từng đơi một (định lí )
4. Chứng minh hai tam giác ấy có một cạnh góc vng và một góc nhọn
bằng nhau từng đôi một (dẫn tới trường hợp bằng nhau g.c.g)
2.2.6. Chứng minh ba điểm thẳng:
Trang 8


Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta có thể dùng một trong những
phương pháp sau:
1. Sử dụng hai góc kề bù có ba điểm cùng nằm trên hai cạnh là hai tia đối
nhau.
x
Ta có ∠ BAx + ∠ xAC = 180 0
⇒ B, A, C thẳng hàng.
B
A
C
2. Chứng minh ba điểm cùng thuộc một tia hoặc cùng thuộc một đường
thẳng.
3. Chứng minh trong ba đoạn nối hai trong ba điểm có một đoạn thẳng
bằng tổng của hai đoạn thẳng kia.
A
C

B
B
A
C
;
AB = AC + CB
BC = BA + AC
A
B
C
AC = AB + BC
4.Chứng minh hai đường thẳng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng song song với
đường thẳng thứ ba
A

B
C

a
AB, AC cùng song song với a
hoặc BA, BC cùng song song với a
hoặc CA, CB cùng song song với a

⇒ A, B, C thẳng hàng .

5. Sử dụng vị trí của hai góc đối đỉnh.
B
1

A

a

2
C
Đường thẳng a đi qua A, nếu ta chứng minh được Aˆ1 = Aˆ 2 thì ba điểm B, A, C
thẳng hàng.
6. Chứng minh hai đường thẳng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng vng góc
với đường thẳng thứ ba
AB, AC cùng vng góc với a
⇒ A, B, C thẳng hàng.
hoặc BA, BC cùng vng góc với a
Trang 9


hoặc CA, CB cùng vng góc với a
7. Đường thẳng đi qua hai trong ba điểm có chứa điểm thứ ba.
8. Sử dụng tính chất đường phân giác của một góc, tính chất đường trung trực
của đoạn thẳng, tính chất ba đường cao, ... trong tam giác.
2.2.7. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy:
Muốn chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ta có thể dùng một trong những
phương pháp sau:
1. Tìm giao của hai đường thẳng, sau đó chứng minh đường thẳng thứ ba
đi qua giao của hai đường thẳng trên.
2. Chứng minh một điểm thuộc ba đường thẳng.
3. Chứng minh dựa vào tính chất đồng quy trong tam giác: Ba đường
thẳng chứa các đường trung tuyến, các đường phân giác, các đường trung trực,
các đường cao của tam giác.
4. Đưa về việc chứng minh ba điểm thẳng hàng.
2.3. Một số bài toán áp dụng:

1. Bài toán 1.
Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng a cho trước. Gọi I là một điểm trên
đường thẳng a sao cho AI là đoạn nhỏ nhất trong các đoạn nối điểm A với một
điểm của đường thẳng a. Trên a lấy hai điểm B và C sao cho I là trung điểm của
đoạn BC và BC = AI.
a. Chứng minh rằng tam giác ABC cân.
b. Gọi Bx là tia phân giác của góc ABC. Chứng minh rằng tia Bx khơng
cùng vng góc với đường thẳng AC.
Giải
a.Vì AI là đoạn nhỏ nhất trong các đoạn nối điểm A với một điểm của
đường thẳng a nên AI ⊥ BC.
A
Hơn nữa, I là trung điểm của BC
x
nên AI là đường trung trực của
K
đoạn BC.
Do đó AB = AC, nghĩa là tam a
giác ABC cân tại A.
B
I
C
b.Xét tam giác vuông AIB .
Ta thấy cạnh huyền BC là cạnh lớn nhất,nên: AB > AI ⇒ AB > BC.
Gọi K là giao điểm của Bx và AC.Ta cần chứng minh : BK khơng vng góc với
AC. Ta chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử BK ⊥ AC . Vì BK là phân giác của góc B nên tam giác ABC cân đỉnh B,
tức là BA = BC.
Vơ lí, vì ở trên đã chứng minh được AB > BC.
Như vậy, giả sử BK ⊥ AC là sai, nghĩa là BK không vuông góc với AC, hay Bx

khơng vng góc với AC.
2. Bài toán 2.
Trang 10


Cho góc vng xOy, điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy. Đường
trung trực của đoạn thẳng OA cắt Ox ở D, đường trung trực của đoạn thẳng OB
cắt Oy ở E. Gọi C là giao điểm của hai đường trung trực đó. Chứng minh rằng:
a) CE = OD;
b) CE ⊥ CD;
c) CA = CB;
d) CA // DE;
e) Ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Giải
a)Chứng minh CE = OD
y
Ta có : CE // OD (cùng vng góc
với OB) suy ra Cˆ1 = Oˆ 1 (so le trong)
B
∆OCE = ∆COD (cạnh huyền góc nhọn)
suy ra CE = OD
E
C
1
b)Chứng minh CE ⊥ CD
Ta có :CD // OE (cùng vng góc
O 1
với OA)
D
A

x
suy ra ∠BEC = ∠ECD (so le trong).
Ta lại có ∠BEC = 90 0 nên ∠ECD = 90 0
Vậy CE ⊥ CD.
c)Chứng minh CA = CB
Ta có : CD là đường trung trực của OA ⇒ CO = CA. CE là đường trung trực
của OB ⇒ CO = CB.
Do đó CA = CB.
d) Chứng minh CA // DE
Ta có CE = OD (theo câu a))
mà OD = DA nên CE = DA
Ta lại có ∠ECD = 90 0 (theo câu b))
Do đó ∆ECD = ∆ADC (c.g.c) ⇒ ∠CDE = ∠ACD ⇒ CA // DE (hai góc so le trong
bằng nhau.
e) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng
Cách 1 : Theo câu d): CA // DE. Chứng minh tương tự ta cũng có: CB // DE.
Qua C ta có CA và CB cùng song song với DE nên theo tiên đề Ơ-clit thì ba
điểm A , C, B thẳng hàng.
Cách 2 : Ta có CO = CA ⇒ ∆OCA cân ⇒ đường cao CD là đường phân giác
của góc OCA ⇒ ∠OCD = ∠ACD ⇒ ∠OCA = 2 ⋅ ∠OCD .
Chứng minh tương tự , ta cũng có: ∠OCE = ∠BCE ⇒ ∠OCB = 2 ⋅ ∠OCE
Dođó:
∠OCA + ∠OCB = 2 ⋅ ∠OCD + 2 ⋅ ∠OCE = 2(∠OCD + ∠OCE ) = 2 ⋅ ∠ECD = 2 ⋅ 90 0 = 180 0

Vậy ba điểm A , C, B thẳng hàng.
3. Bài tốn 3.
Cho tam giác ABC,có trung tuyến AM, các điểm E,D thuộc các cạnh AB,AC sao
cho AE =

1

1
AB và AD = AC. Chứng minh rằng AM, BD và CE đồng quy.
3
3

Trang 11


Giải.

A

MB = MC

E

1
AB
3
1
AD = AC
3

GT : AE =

D
O

B

Q
C

KL : AM, BD, CE đồng quy.
M
Lời giải (tóm tắt)
Trên AB xác định E và K sao cho AE = EK = KB
Trên AC xác định D và Q sao cho AD = DQ = QC
Gọi O là giao điểm của AM và BD, ta có MQ // BD
Xét tam giác AMQ có:
AD = DQ ( gt)
⇒ OA = OM
DO // MQ
Vậy O là trung điểm của AM.
Chứng minh tương tự, ta có CE qua trung điểm O của AM.
Vậy AM , BD và CE đồng quy.
3. Kết quả đạt được:
Thông qua các tiết tự chọn giáo viên gợi ý cho
học sinh về nội dung sáng kiến trên. Kết quả nhìn chung khá
khả quan, học sinh biết cách phân tích đề và có tiến bộ trong lập luận chứng
minh.
Về đầu năm tỉ lệ điểm yếu kém của học sinh qua các lần kiểm tra hình học
khá thấp, cụ thể bài kiểm tra hình học đầu năm trong học kì I ở lớp 7A2 và 7A3
năm học 2016 - 2017:
Tổng
Tỉ lệ
số
Giỏi
Khá
TB

Yếu
Kém
học
sinh
7A2 (45)
9
8
17
7
4
20%
17,8%
37,8%
15,6%
8,9%
7A3 (44)
5
7
14
10
8
11,4%
15,9%
31,8%
22,7%
18,2%
Tuy nhiên qua việc vận dụng các gợi ý cho học sinh khi giải bài tốn hình
học cụ thề nêu trên thì qua q trình cố gắng tìm tịi và phấn đấu của học sinh thì
tỉ lệ điểm của bài kiểm tra hình xét về điểm yếu kém thì có sự thay đổi đáng kể.
Sau đây là kết quả của một bài kiểm tra 1 tiết hình học gần nhất trong nửa đầu

học kì II năm học 2016 – 2017, ở lớp 7A2 và 7A3 như sau:
Tổng
Tỉ lệ
số
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
học sinh
7A2 (45)
20
12
14
0
0
44,4%
26,7%
31,1%
Trang 12


7A3 (44)

10
9
25
0
0
22,7%

20,5%
56,8%
Tuy đây không phải là kết quả cuối năm nhưng qua đó phần nào đánh giá
được sự tiến bộ cần được ghi nhận của các em.
C- KẾT LUẬN:
Nhờ áp dụng một số các phương pháp chứng đã nêu, trong quá trình dạy
học của bản thân cũng như quá trình học tập của học sinh tôi thu được một số
kết quả sau:
Học sinh hiểu bài nhanh hơn, không chỉ ngừng lại ở chỗ nắm vững kiến
thức cơ bản mà học sinh cịn có khả năng hệ thống (theo dạng nhành cây), giúp
việc "phân tích ngược" khi chứng minh hình học. Từ đó học sinh tư duy, lí luận
cao, chặt chẽ và logic hơn.
Biểu hiện là từ một bài toán hay một dạng toán đã biết mà giáo viên đưa
ra các bài tốn tương tự thì hầu hết các em làm được.Đặc biệt đã có những em
đã biết khai thác, phát triển bài toán và biết làm theo nhiều cách khác nhau.
Tuy nhiên để học sinh có thể học tốt môn toán
nói chung và phần hình học nói riêng. Thì đòi hỏi giáo
viên không những có phương pháp giảng dạy luôn
sáng tạo phù hợp để khuyến khích lôi cuốn học sinh
say mê mà bản thân mỗi học sinh phải tự có ý thức
trong học tập.
Muốn như vậy, người giáo viên ngoài việc truyền
thụ tri thức còn cần truyền đạt kinh nghiệm, gợi ý cho
học sinh các tiếp cận tri thức; có như vậy, mới phát
huy hết tính chủ động trong học tập của học sinh và tác
động cũng như lơi cuốn các em hứng thú với môn học nhiều hơn.
Vĩnh Hưng A, ngày 22 tháng 02 năm 2018
Người viết

Nguyễn Phát Triển

Trang 13


HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
TRƯỜNG THCS LÝ THƯỜNG KIỆT

PHẦN NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Tiêu chuẩn:
- Tính mới:............................................................../30 điểm
- Tính hiệu quả:....................................................../35 điểm
- Tính ứng dụng:............................................ ......../20 điểm
- Tính phù hợp với nhiệm vụ được giao:.............../10 điểm
- Về hình thức:....................................................../05 điểm
2. Đánh giá: .........................................................
............................, ngày ..... tháng .... năm 20...
CHỦ TỊCH HĐKH
(Ký tên và đóng dấu)

HIỆU TRƯỞNG
Họ và tên
HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GD&ĐT VĨNH LỢI
1. Kết quả chấm điểm: . . . . . . /100 điểm
2. Đánh giá: .........................................................
Vĩnh Lợi, ngày ..... tháng .... năm 20...
CHỦ TỊCH HĐKH

TRƯỞNG PHÒNG GD&ĐT

Trang 14