Phương pháp tọa độ trong không gian trong các đề thi thử THPTQG môn toán

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG
GIAN QUA CÁC ĐỀ THI THỬ-ĐỀ KIỂM TRA


/>
Chương 3-Hình học giải tích 12

NỘI DUNG CÂU HỎI
Câu 1. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, hình chiếu vng góc của điểm M (2; 3; 4) trên
mặt phẳng (P ) : 2x − y − z + 6Å= 0 là ã
điểm nào dưới đây?
Å
ã
5 7
7 9
.
C. 3; ;
.
A. (2; 8; 2).
B. 1; ;
2 2
2 2
Lời giải.

D. (1; 3; 5).

Gọi∆ là đường thẳng đi qua M và vuông góc mặt phẳng (P ). Khi đó phương trình tham số của ∆

x = 2 + 2t



là y = 3 − t , t ∈ R.



z =4−t
Gọi M là hình chiếu vng góc của M
 trên mặt phẳng (M ). Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ
1



t=−



x = 2 + 2t
2








y = 3 − t
x = 1
phương trình
⇔
7



z =4−t


y=




2





9
2x − y − z + 6 = 0.

z = .
2
Å
ã
7 9
Vậy M 1; ;
2 2
Chọn đáp án B
Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P ) : 2x + 6y + z − 3 = 0 cắt trục
y
z−6

x−5
= =
lần lượt tại A và B. Phương trình mặt cầu đường kính
Oz và đường thẳng d :
1
2
−1
AB là
A. (x + 2)2 + (y − 1)2 + (z + 5)2 = 36.
C. (x − 2)2 + (y + 1)2 + (z − 5)2 = 36.

B. (x + 2)2 + (y − 1)2 + (z + 5)2 = 9.
D. (x − 2)2 + (y + 1)2 + (z − 5)2 = 9.

Lời giải.
Do điểm A ∈ Oz nên suy ra A(0; 0; c), mà ta
lại có A ∈ (P ) nên suy ra c = 3. Do đó A(0; 0; 3).

x=5+t


Phương trình tham số của đường thẳng d là y = 2t , t ∈ R.



z =6−t





x
=
5
+
t
t = −1








y = 2t
x = 4
Tọa độ điểm B là nghiệm hệ phương trình
⇔


z =6−t
y = −2











2x + 6y + z − 3 = 0.
z=7
Do đó B(4; −2; 7).
Gọi I là tâm mặt cầu đường kính AB nên I là trung điểm AB, suy ra I(2; −1; 5).
AB
# »
Ta có AB = (4; −2; 4) suy ra AB = 42 + (−2)2 + 72 = 6 nên bán kính mặt cầu là R =
= 3.
2
Phương trình mặt cầu là (x − 2)2 + (y + 1)2 + (z − 4)2 = 9.
Chọn đáp án D
x−2
y+3
z+1
=
=
.
1
−2
1
Véc-tơ nào trong các véc-tơ dưới đây không phải là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng d?

Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

2

/>

/>
A. u#»4 = (1; 2; 1).

Chương 3-Hình học giải tích 12

B. u#»3 = (−1; 2; −1).

C. u#»2 = (2; −4; 2).

D. u#»1 = (−3; 6; −3).

Lời giải.

Đường thẳng d có 1 véc-tơ chỉ phương là u#»2 = (1; −2; 1). Do đó véc-tơ u#»4 = (1; 2; 1) khơng là véc-tơ
chỉ phương của d.
Chọn đáp án A
Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α) : 2x + 3y − z − 1 = 0 và
(β) : 4x + 6y − mz − 2 = 0. Tìm m để hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau.
A. Không tồn tại m.

B. m = 1.

D. m = −2.

C. m = 2.

Lời giải.

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến n#»1 = (2; 3; −1).
Mặt phẳng (β) có vectơ pháp tuyến n#»2 = (4; 6; −m).
2
3
−1
−1
Để (α) (β) khi: = =
=
. Không tồn tại m.
4
6
−m
−2
Chọn đáp án A
Câu 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ #»
u = (1; −2; 1) và #»
v = (2; 1; −1).
#»
#»
Vectơ nào dưới đây vng góc với cả hai vectơ u và v ?
# » = (1; −3; 5).
A. w
1

# » = (1; 4; 7).
B. w
4

# » = (1; −4; 5).
C. w

3

# » = (1; 3; 5).
D. w
2

Lời giải.

Vectơ vng góc với cả hai vectơ #»
u và #»
v là vectơ [ #»
u , #»
v ] = (1; 3; 5).
Chọn đáp án D
Câu 6. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x + 2)2 + (y − 4)2 + (z − 1)2 = 99
và điểm M (1; 7; −8). Qua điểm M kẻ các tia M a, M b, M c đơi một vng góc nhau và cắt mặt cầu
tại điểm thứ hai tương ứng là A, B, C. Biết rằng mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố định
K(xk ; yk ; zk ). Tính giá trị P = xk + 2yk − zk .
A. P = 11.

B. P = 5.

Lời giải.
Mặt cầu (S) có tâm I(−2; 4; 1), bán kính R =

C. P = 7.

D. P = 12.

√

99.

Q

A

Ta có M (1; 7; −8) ∈ (S).
Xét hình hộp chữ nhật AHP Q.M BDC.
Gọi J = M D ∩ BC , K = M P ∩ AJ ⇒ K ∈ (ABC).

H

P

Rõ ràng, tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện M ABC
là trung điểm của đoạn M P (cũng là tâm của (S)).
# »
Mặt khác K là trọng tâm của tam giác M AD hay M K =
2# »
M I. Vì M , I cố định nên K cố định. Vậy K chính là
3
điểm cố định mà mặt phẳng (ABC) luôn luôn đi qua.
# » 2# »
Ta có M K = M I ⇒ K(−1; 5; −2)
3
⇒ P = xk + 2yk − zk = −1 + 2 · 5 − (−2) = 11.

I
K
M

B

C
J
D

Chọn đáp án A
Câu 7. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm A (2; 1; 3) và B (6; 5; 5). Gọi (S) là
mặt cầu có đường kính AB. Mặt phẳng (P ) vng góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A
và đáy là hình tròn tâm H ( giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P )) có thể tích lớn nhất,
biết rằng (P ) : 2x + by + cz + d = 0 với b, c, d ∈ Z. Tính giá trị T = b − c + d.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

3

/>

/>
A. T = −18.

Chương 3-Hình học giải tích 12

B. T = −20.

C. T = −21.

D. T = −19.

Lời giải.
# »

Ta có AB = (4; 4; 2).
# »
Mà AB⊥(P )

b = 2
b
c
2
Nên = = ⇒
c = 1.
4
4
2

A

Suy ra (P ) : 2x + 2y + z + d = 0.
Ta có AB = 6.
Gọi I là trung điểm của đoạn
I

thẳng AB, suy ra I (4; 3; 4).
có (S) là mặt cầu
đường
kính AB nên

 tâm I (4; 3; 4)
(S) :
.
 bán kính R = AB = 3

2
Ta
có

R
r

H

(P )

M

B

Gọi r là bán kính đường trịn tâm H. Khi đó, thể tích khối nón đỉnh cần tìm được xác định bởi
cơng thức Ta có
V =

2
Đặt f (r) = 3 · rÅ
+ r2 ·

1
1
· π · r2 · AH =
· π · r2 · (R + IH)
3
3
Ä

ä
√
1
=
· π · r 2 · R + R2 − r 2
3
Ä
ä
√
1
· π · 3 · r2 + r2 · 9 − r2
=
3

√

9 − r2 , r ∈ (0; 3]. ã
√
r2
.
Ta có f (r) = r 6 + 2 · 9 − r2 − √
9 − r2

r = 0 ( loại )

Suy ra f (r) = 0 ⇔ 
√
r2
6 + 2 · 9 − r2 − √
=0

9 − r2
√
⇔ 2 9 − r2 = r2 − 6, điều kiện r2 ≥ 6 .
√
r
=
0
(
loại
)
r
=
−2
2 ( loại )
⇔ r4 − 8r2 = 0 ⇔
⇔
√
r = 2 2 nhận
r2 = 8
√
Suy ra HI = R2 − r2 = 1.
AH
AI + HI
R + HI
4
Ta có
=
=
= .
AI

AI
R
3Å
ã
4
13 11 13
# » 4#»
Suy ra AH = AI ⇒ AH = AI ⇒ H
; ;
.
3 ã
3
3 3 3
Å
13 11 13
Mà H
; ;
∈ (P ) : 2x + 2y + z + d = 0 ⇒ d = −21.
3 3 3
Vậy T = b − c + d = −20.
Chọn đáp án B
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều và AB = BC = CD = a. Hai
mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vng góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa SC và (ABCD)
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

4

/>

/>

Chương 3-Hình học giải tích 12

bằng 60◦ . Tính sin góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD).
√
√
√
3 3
6
3
A.
.
B.
.
C.
.
8
6
8
Lời giải.

√

Gọi I 
là giao điểm của AC và BD.


(SAC)⊥(ABCD)


⇒ SI⊥(ABCD).

Ta có (SBD)⊥(ABCD)



(SAC) ∩ (SBD) = SI

S

Ta có góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)
‘ nên SCI
‘ = 60◦ .
là góc SCI
Xét

3
.
2

D.

H

BCD, ta có
O

A

BD

2

2

D

2

’
= BC + CD − 2 · BD · CD · cos BCD
a

= a2 + a2 − 2 · a · a · cos 120◦

a

= 3a2

I
B

√
Suy ra AC = BD = a 3.

a

C

IC
BC
1

=
= .
IA √
AD
2
√
1
IC
a 3
2a 3
IC
1
= ⇔ √
⇒ IA = 2IC =
.
Do đó
= ⇒ IC =
AC − IC
2
2
3
3
a 3−
IC

SI = IC · tan 60◦ = a
√
Xét SIC vng tại I, ta có
IC
2a 3


SC =
=
cos 60◦
3
Gọi O là trung điểm của AD.
√
a2
a 3
IA2 + ID2 AD2
2
−
=
⇒ IO =
.
Xét AID cân tại I với trung tuyến IO, ta có IO =
2
4
3
3
Dựng IH vng góc với SO tại H.
a
Suy ra d (I, (SAD)) = IH = .
2
d (C, (SAD))
AC
3
3a
Ta có CI ∩ (SAD) = A ⇒
=

= ⇒ d (C, (SAD)) = .
d (I, (SAD))
AI
2
4
Gọi K là hình chiếu của C lên mặt phẳng (SAD).
3a
Suy ra SK là hình chiếu của CK lên mặt phẳng (SAD) và CK = d (C, (SAD)) = .
4 √
CK
3 3
’ và sin CSK
’=
Suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) là CSK
=
.
SC
8
Chọn đáp án A
Vì BC

AD ⇒

IBC

IDA, suy ra

Câu 9. Cho số phức z = a + bi, (a, b ∈ R) thoả mãn z + 7 + i − |z| (2 + i) = 0 và |z| < 3. Tính giá
trị P = a + b
5

A. P = .
2
Lời giải.

1
C. P = − .
2

B. P = 7.

Ta có z + 7 + i − |z| (2 + i) = 0 ⇔ a + bi + 7 + i −
Ä
ä Ä
ä
√
√
⇔ a + 7 − 2 a2 + b 2 + b + 1 − a2 + b 2 i = 0

a + 7 − 2√a2 + b2 = 0
⇔
b + 1 − √ a2 + b 2 = 0
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

5

√

D. P = 5.

a2 + b2 (2 + i) = 0.

/>

/>

a = 2b − 5
⇔ √
 a2 + b 2 = b + 1

⇔

Chương 3-Hình học giải tích 12


a = 2b − 5

⇔

4b2 − 22b + 24 = 0


a = 2b − 5
b = 4 hay b = 3
2

Với b = 4 ⇒ a = 3 ⇒ |z| = 5 ( vô lý).
5
3
Với b = ⇒ a = −2 ⇒ |z| = < 3.
2

2
3
1
Suy ra P = a + b = −2 + = − .
2
2
Chọn đáp án C
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện đều ABCD có A(4; −1; 2), B(1; 2; 2),
C(1; −1; 5), D(xD ; yD ; zD ) với yD > 0. Tính P = 2xD + yD − zD .
A. P = −3.
Lời giải.

C. P = −7.

B. P = 1.

D. P = 5.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra G(2; 0; 3).
√
# »
# »
# » # »
Ta có AB = (−3; 3; 0), AC = (−3; 0; 3) ⇒ #»
n = [AB, AC] = (1;
1; 1) và AB = 3 2.
x = 2 + t


Đường thẳng đi qua G vng góc với (ABC) có phương trình y = t




z = 3 + t.
Do đó D(2 + t; t; 3 + t). Mà AD = AB ⇒ (t − 2)2 + 2(t + 1)2 = 18 ⇒

t=2
t = −2

.

Vì yD > 0 ⇒ y = 2 ⇒ 2xD + yD − zD = 5.
Chọn đáp án D
# »
Câu 11. Trong không gian Oxyz, Cho hai điểm A(1; 1; −1) và B(2; 3; 2). Véctơ AB có tọa độ
A. (1; 2; 3).
B. (−1; −2; 3).
C. (3; 5; 1).
D. (3; 4; 1).
Lời giải.
# »
AB = (2 − 1; 3 − 1; 2 + 1) = (1; 2; 3)
Chọn đáp án A
Câu 12. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (Oxz) có phương trình là
A. z = 0.
B. x + y + z = 0.
C. y = 0.

D. x = 0.

Lời giải.
Mặt phẳng (Oxz) có phương trình là y = 0
Chọn đáp án C
Câu 13. Trong không gian Oxyz, đường thẳng d :
?
A. Q(2; −1; 2).

B. M (−1; −2; −3).

x−1
y−2
z−3
=
=
đi qua điểm nào dưới đây
2
−1
2
C. P (1; 2; 3).

D. N (−2; 1; −2).

Lời giải.
1−1
2−2
3−3
Ta có
=
=
nên P (1; 2; 3) ∈ d.

2
−1
2
Chọn đáp án C
Câu 14. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm I(1; 1; 1) và A(1; 2; 3). Phương trình của mặt cầu có
tâm I và đi qua A là
A. (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 29.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

B. (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 5.
6

/>

/>
Chương 3-Hình học giải tích 12

C. (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 25.

D. (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 5.

Lời giải.
Ta có R2 = IA2 = (1 − 1)2 + (2 − 1)2 + (3 − 1)2 = 5
nên phương trình của mặt cầu là (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 5.
Chọn đáp án B
Câu 15. Trong không gian Oxyz khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P ) : x + 2y + 2z − 10 = 0 và
(Q) : x + 2y + 2z − 3 = 0 bằng
7
4
8

B. .
C. 3.
D. .
A. .
3
3
3
Lời giải.
Dựa vào phương trình (P ), (Q) có véctơ pháp tuyến là #»
n = (1; 2; 2) nên (P )
√
10
3
Ta có | #»
n | = 1 + 22 + 22 = 3; d(O, (P )) = ; d(O, (Q)) = = 1,
3
3
7
suy ra d((P ), (Q)) = d(O, (P )) − d(O, (Q)) = .
3
Chọn đáp án B

(Q).

x
Câu 16. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x + y + z − 3 = 0 và đường thẳng d : =
1
z−2
y+1
=

. Hình chiếu vng góc của d trên (P ) có phương trình là
2
−1
x+1
y+1
z+1
x−1
y−1
z−1
A.
=
=
.
B.
=
=
.
−1
−4
5
3
−2
−1
x−1
y−1
z−1
x−1
y−4
z+5
C.

=
=
.
D.
=
=
.
1
4
−5
1
1
1
Lời giải.

x + y + z − 3 = 0
Gọi A là giao điểm của (P ) và d ta có tọa độ A là nghiệm x
⇔ A(1; 1; 1).
 = y+1 = z−2
1
2
−1
#»
#»
d có véctơ chỉ phương u = (1; 2; −1), (P ) có véctơ pháp tuyến n = (1; 1; 1) nên mặt phẳng (Q) qua
» = [u#», n# »] = (3; −2; −1).
d vng góc (P ) có véctơ pháp tuyến là n# (Q)
d
(P )
Hình chiếu vng góc của d trên (P ) là giao tuyến ∆ của (P ) và (Q), nên ∆ qua A và có véctơ chỉ

»] = (1; 4; −5).
phương là [n# (P») , n# (Q)
x−1
y−1
z−1
Phương trình ∆ là
=
=
.
1
4
−5
Chọn đáp án C
Câu 17. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −2; 4), B(−3; 3; −1) và mặt phẳng (P ) : 2x −
y + 2z − 8 = 0. Xét M là điểm thay đổi thuộc (P ), giá trị nhỏ nhất của 2M A2 + 3M B 2 bằng
A. 135.

B. 105.

C. 108.

D. 145.

Lời giải.
#»
# » #»
GọiI là điểm thỏa mãn 2IA + 3IB
= 0





2(x
−
2)
+
3(x
+
3)
=
0
5x
+
5
=
0
x = −1
I
I
1





 1
⇒ 2(yI + 2) + 3(yI − 3) = 0 ⇔ 5y1 − 5 = 0 ⇔ y1 = 1










2(zI − 4) + 3(zI + 1) = 0
5z1 − 5 = 0
z1 = 1.
Vậy I(−1; 1; 1) cố định.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

7

/>

/>
Chương 3-Hình học giải tích 12

Khi đó
# »
# »
2M A2 + 3M B 2 = 2M A2 + 3M B 2
# » #»
# » #»
= 2(M I + IA)2 + 3(M I + IB)2
# »
# » #»
#»
#»

#»
= 5M I 2 + 2M I(2IA + 3IB) + 2IA2 + 3IB 2
= 5M I 2 + 2IA2 + 3IB 2 .

2
2
Vậy 2M A2 + 3M B 2 nhỏ nhất thì 5M I 2 + 2IA
 + 3IB nhỏ nhất hay M là hình chiếu của điểm I

x = 2k − 1

 M
# »
trên mặt phẳng (P ), suy ra IM = k n# (P») ⇒ yM = −k + 1 .



zM = 2k + 1
Mà M ∈ (P ) ⇒ 2(2k − 1) − (−k + 1) + 2(2k + 1) − 8 = 0 ⇔ 9k − 9 = 0 ⇔ k = 1 ⇒ M (1; 0; 3).

Vậy giá trị nhỏ nhất của 2M A2 + 3M B 2 = 5M I 2 + 2IA2 + 3IB 2 = 135.
Chọn đáp án A
Câu 18. Trong không gian Oxyz, cho điểm E(2; 1; 3), mặt phẳng (P ) : 2x + 2y − z − 3 = 0 và mặt
cầu (S) : (x − 3)2 + (y − 2)2 + (z − 5)2 = 36. Gọi ∆ là đường thẳng đi qua E, nằm trong (P ) và cắt
(S) tạihai điểm có khoảng cách
của ∆ là
nhỏ nhất. Phương trình




x=2+t
x = 2 − 5t
x = 2 + 9t






C. y = 1 − t .
B. y = 1 + 3t .
A. y = 1 + 9t .









z=3
z=3
z = 3 + 8t
Lời giải.



x = 2 + 4t


D. y = 1 + 3t .



z = 3 − 3t

I
H
B

E

A

P

Mặt cầu (S) có tâm I(3; 2; 5) và bán kính R = 6. IE =
suy ra điểm E nằm trong mặt cầu (S).

√
√
12 + 12 + 22 = 6 < R,

Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P ), A và B là hai giao điểm của ∆ với (S).
Khi đó, AB nhỏ nhất ⇔ AB ⊥ OE, mà AB ⊥ IH nên AB ⊥ (HIE) ⇒ AB ⊥ IE.
#»
» = [n# »; EI]
Suy ra: u# ∆
= (5; 
−5; 0) = 5(1; −1; 0).

P

x=2+t


Vậy phương trình của ∆ là y = 1 − t



z=3
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

8

/>

/>
Chương 3-Hình học giải tích 12

Chọn đáp án C
Câu 19.ÅTrong ã
không gian Oxyz,Åmặt phẳngã(α) : x − y + 2z − 3 = 0 đi qua điểm nào dưới đây?
3
3
.
B. N 1; −1; − .
C. P (1; 6; 1).
D. Q(0; 3; 0).
A. M 1; 1;
2

2
Lời giải.
Å
ã
3
3
Xét điểm M 1; 1;
, ta có 1 − 1 + 2 · − 3 = 0 đúng nên M ∈ (α).
2
2
Chọn đáp án A
Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng nào sau đây nhận #»
u = (2; 1; 1) là một
véc-tơ chỉ phương?
y−1
z−1
x
y−1
z−2
x−2
=
=
.
B. =
=
.
A.
1
2
3

2
1
−1
x−1
y+1
z
x+2
y+1
z+1
C.
=
=
.
D.
=
=
.
−2
−1
−1
2
−1
1
Lời giải.
x−1
y+1
z
Xét đường thẳng
=
=

, có một véc-tơ chỉ phương là (−2; −1; −1) = −(2; 1; 1) (thỏa
−2
−1
−1
đề bài).
Chọn đáp án C


x=t


Câu 21. Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M (2; −4; −1) tới đường thẳng ∆ : y = 2 − t



z =3+t
bằng
√
√
√
√
B. 6.
C. 2 14.
D. 2 6.
A. 14.
Lời giải.
Đường thẳng ∆ đi qua N (0; 2; 3), có véc-tơ chỉ phương
ỵ# » ó
# »
Ta có M N = (−2; 6; 4) và M N , #»

u = (16; 8; −4).
Vậy khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ là
ỵ# » ó
M N , #»
u
d(M, ∆) =
=
| #»
u|

#»
u = (1; −1; 2).

√
√
336
√ = 2 14.
6

Chọn đáp án C
Câu 22. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M (3; −2; 5), N (−1; 6; −3). Mặt cầu đường kính
M N có phương trình là
A. (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 6.

B. (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 6.

C. (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 36.

D. (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 36.

Lời giải.
Tâm I của mặt cầu là trung điểm
» đoạn M N ⇒I (1; 2; 1).
(−1 − 3)2 + (6 + 2)2 + (−3 − 5)2
MN
Bán kính mặt cầu R =
=
= 6.
2
2
Vậy phương trình mặt cầu là (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 36.
Chọn đáp án D
Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x + 2y − 2z + 3 = 0 và mặt
cầu (S) có tâm I(0; −2; 1). Biết mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường trịn
có diện tích là 2π. Mặt cầu (S) có phương trình là
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

9

/>

/>
Chương 3-Hình học giải tích 12

A. x2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 2.

B. x2 + (y + 2)2 + (z − 1)2 = 3.

C. x2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 3.

D. x2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 1.

Lời giải.
Gọi R, r lần lượt là bán kính của mặt cầu và đường tròn giao tuyến. Theo giải thiết ta có:
πr2 = 2π ⇔ r2 = 2.
Mặt khác d(I, (P )) = 1 nên R2 = r2 + [d(I, (P ))]2 = 3.
Vậy phương trình mặt cầu là x2 + (y + 2)2 + (z − 1)2 = 3.
Chọn đáp án B
Câu 24. Cho các số thực a, b, c, d, e, f thỏa mãn

a2 + b2 + c2 − 2a + 4b + 2c − 6 = 0

2d − e + 2f − 14 = 0
2
2
2
nhất của biểu thức (a − d) + (b − e) + (c − f ) bằng
√
√
B. 1.
C. 4 − 2 3.
A. 7 − 4 3.

. Giá trị nhỏ

√
D. 28 − 16 3.

Lời giải.

√
Xét mặt cầu (S) : x2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y + 2z − 6 = 0 có tâm I(1; −2; −1), bán kính R = 2 3 và
mặt phẳng (P ) : 2x − y + 2z − 14 = 0 .
Lấy M (a; b; c) ∈ (S), N (d; e; f ) ∈ (P ) ⇒ M N 2 = (a − d)2 + (b − e)2 + (c − f )2 .

√
Vậy [(a − d)2 + (b − e)2 + (c − f )2 ]m in ⇔ M Nmin ⇔ M N = d(I; (P )) − R = 4 − 2 3
√
⇒ [(a − d)2 + (b − e)2 + (c − f )2 ]m in = 28 − 16 3.
Chọn đáp án D
Câu 25. Cho các tia Ox, Oy, Oz cố định đơi một vng góc nhau. Trên các tia đó lần lượt lấy
các điểm A, B, C thay đổi nhưng luôn thỏa mãn OA + OB + OC + AB + BC + CA = 1 trong đó
1
A, B, C không trùng với O. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện OABC bằng
√ 3 trong đó
m (1 + n)
m, n ∈ R. Giá trị của biểu thức P = m + n bằng
A. 192.
Lời giải.

B. 150.

C. 164.

D. 111.

Đặt OA = a, OB = c, OC = c với a, b, c > 0.
abc
Khi đó VO.ABC =
6

√
√
và OA+OB +OC +AB +BC +CA = a+b+c+ a2 + b2 + b2 + c2 +
√
c2 + a2 = 1.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:

A

O

C

B

√

√
√
a+b b+c c+a
1 = a + b + c + a2 + b 2 + b 2 + c 2 + c 2 + a2 ≥ a + b + c + √ + √ + √
2
2
2
√
1
√ .
⇔ 1 ≥ (1 + 2)(a + b + c) ⇔ a + b + c ≤
1+ 2
Å

ã
abc
1 a+b+c 3
1
≤
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có VO.ABC =
≥
Ä
√ ä3 .
6
3
3
162 1 + 2
Vậy max VO.ABC =

1
Ä

162 1 +

√ ä3 ⇒ m = 162, n = 2 ⇒ P = m + n = 164.
2

Chọn đáp án C
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

10

/>

/>
Chương 3-Hình học giải tích 12

Câu 26. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của
Ä # » # »ä
# »
k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ M N = k AD + BC ?
1
1
C. k = 2.
D. k = .
A. k = 3.
B. k = .
2
3
Lời giải.
# » # » # » # »
M N = M B + BC + CN
Ta có # » # » # » # »
M N = M A + AD + DN
# » # » # » # » # » # » # » # » # »
Suy ra 2M N = M B + BC + CN + M A + AD + DN = AD + BC.
1
Do đó k = .
2
Chọn đáp án B
Câu 27. Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây là sai?
# » # » # » # »
# » 1 Ä # » # » # » # »ä
A. GA + GB + GC + GD = 0.

B. OG =
OA + OB + OC + OD .
4Ä
Ä
ä
# » 1 # » # » # »
# » 2 # » # » # »ä
C. AG =
AB + AC + AD .
D. AG =
AB + AC + AD .
4
3
Lời giải.
# » 1 Ä # » # » # »ä
AB + AC + AD nên đáp án D sai.
Do AG =
4
Chọn đáp án D
# »
# » # » # » # »
# »
Câu 28. Cho tứ diện ABCD và các điểm M , N xác định bởi AM = 2AB−3AC ; DN = DB+xDC.
# » # » # »
Tìm x để các vectơ AD, BC, M N đồng phẳng.
A. x = −1.

B. x = −3.

C. x = −2.

D. x = 2.

Lời giải.
Ta có
# » # » # » # » Ä # »
# »ä # » # »
# »
M N = M A + AD + DN = 3AC − 2AB + AD + DB + xDC
Ä # »
# »
# »
# »ä # » # »
# »
= 3AD + 3DC − 2AD − 2DB + AD + DB + xDC
# » # »
# »
# » # » # »
# »
= 2AD − DB + (x + 3) DC = 2AD + BC + CD + (x + 3) DC
# » # »
# »
= 2AD + BC + (x + 2) DC
# » # » # »
Ba vectơ AD, BC, M N đồng phẳng khi và chỉ khi x + 2 = 0 ⇔ x = −2.
Chọn đáp án C
# »# »
Câu 29. Cho hình lập phương ABCD.EF GH có các cạnh bằng a, khi đó AB.EG√bằng
√
√

a2 2
A. a2 2.
B. a2 3.
C. a2 .
D.
.
2
Lời giải.
√
√
2
# »# » # »# »
Ta có AB.EG = AB.AC = AB.AC. cos 45◦ = a.a 2.
= a2 .
E
2

F

G

A

B

H

D

C

Chọn đáp án C
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

11

/>

/>
Chương 3-Hình học giải tích 12

Câu 30. Trong khơng gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng (Oxy) ?
A. M (2; 2; 0).

B. Q(3; −1; 3).

C. N (3; −1; 2).

D. P (0; 0; 2).

Lời giải.
Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0, suy ra M (2; 2; 0) ∈ (Oxy).
Chọn đáp án A
Câu 31. Trong không gian Oxyz, cho điểm M (3; 2; −1) và mặt phẳng (P ) : x + z − 2 = 0. Đường
thẳng 
đi qua M và vng góc với
 (P ) có phương trình là





x
=
3
+
t
x
=
3
+
t
x=3+t






A. y = 2
.
B. y = 2 + t .
C. y = 2t .










z = −1 + t
z = −1
z =1−t
Lời giải.
Mặt phẳng (P ) : x + z − 2 = 0 có véc-tơ pháp tuyến là #»
n
= (1; 0; 1).



x=3+t


D. y = 1 + 2t .



z = −t

(P )

Đường thẳng ∆ đi qua M và vuông góc với (P ) nhận #»
n (P ) làm véc-tơ chỉ phương có phương trình là


x = 3 + t

y=2




z = −1 + t.
Chọn đáp án A

#»
# » #»
Câu 32. Trong không gian Oxyz, cho vectơ OA = j − 2 k . Tọa độ điểm A là
A. (0; 1; −2).

B. (1; −2; 0).

C. (1; 0; −2).

D. (0; −1; 2).

Lời giải.
#»
# » #»
Ta có OA = j − 2 k ⇔ A(0; 1; −2).
Chọn đáp án A
Câu 33. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng chứa trục Ox và đi qua điểm A(1; 1; −1) có phương
trình là
A. z + 1 = 0.

B. x − y = 0.

C. x + z = 0.

D. y + z = 0.

Lời giải.
Mặt phẳng chứa trục Ox có dạng By + Cz = 0, (B 2 + C 2 = 0).
Mặt phẳng đi qua điểm A(1; 1; −1) nên B − C = 0 ⇔ B = C. Do đó chọn B = C = 1.
Chọn đáp án D
Câu 34. Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I(1; 2; −1) tiếp xúc với mặt phẳng (P ) : x − 2y +
2z − 1 = 0 có bán kính bằng
4
A. .
B. 4.
3
Lời giải.

C. 2.

D. 9.

Gọi R là bán kính mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P ).
|1 − 2 · 2 + 2 · (−1) − 1|
|−6|
Khi đó, R = d (I, (P )) =
= √ = 2.
9
12 + (−2)2 + 22
Chọn đáp án C
Câu 35. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 0; −1) và mặt phẳng (P ) : x + y − 1 = 0. Đường
thẳng đi qua A đồng thời song song với (P ) và mặt phẳng (Oxy) có phương trình là
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

12

/>

/>


x=3+t


A. y = 2t .



z =1−t

Chương 3-Hình học giải tích 12



x=2+t


B. y = −t .



z = −1




x = 1 + 2t


C. y = −1 .



z = −t



x=3+t


D. y = 1 + 2t .



z = −t

Lời giải.
Ta có: #»
n

= (1; 1; 0), #»
n (Oxy) = (0; 0; 1).
Gọi d là đường thẳng đi qua A đồng thời song song với (P ) và mặt phẳng (Oxy).
#»
u d ⊥ #»
n (P )

n (P ) , #»
n (Oxy) = (1; −1; 0).
Khi đó
⇒ #»
u d = #»
#»
#»
u d ⊥ n (Oxy)


x=2+t


Vậy d : y = −t



z = −1.
(P )

Chọn đáp án B
Câu 36. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 3; 2), mặt phẳng (P ) : 2x − y + z − 10 = 0 và đường
x+2
y−1
z−1
thẳng d :
=
=
. Đường thẳng ∆ cắt (P ) và d lần lượt tại hai điểm M,N sao cho
2

1
−1
A là trung điểm của đoạn M N . Biết #»
u = (a; b; 1) là một véctơ chỉ phương của ∆, giá trị của a + b
bằng
A. 11.

B. −11.

D. −3.

C. 3.

Lời giải.
Theo giả thiết ta có N (2t − 2; t + 1; 1 − t) ∈ d và A là trung điểm của đoạn M N .
Do đó, tọa độ điểm M (4 − 2t; 5 − t; 3 + t).
Do M ∈ (P ) nên 2 (4 − 2t) − (5 − t) + (3 + t) − 10 = 0 ⇔ t = −2.
# »
Suy ra tọa độ điểm N (−6; −1; 3) và M (8; 7; 1). Suy ra M N = (−14; −8; 2).
# »
Vì #»
u = (a; b; 1) là một véctơ chỉ phương của ∆ nên #»
u , M N là 2 véctơ cùng phương.
a = −7
a
b
1
Do đó ta có
=
= ⇒

⇒ a + b = −11.
−14
−8
2
b = −4
Chọn đáp án B
Câu 37. Trong không gian Oxyz, xét mặt phẳng (P ) đi qua điểm A (2; 1; 3) đồng thời cắt các tia
Ox, Oy, Oz
 lần lượt tại M , N , P sao cho tứ diện OM N P có thể tích nhỏ nhất. Giao điểm của đường

x=2+t


thẳng d : y = 1 − t với (P ) có toạ độ là



z =4+t
A. (4; 6; 1).

C. (−4; 6; −1).

B. (4; 1; 6).

D. (4; −1; 6).

Lời giải.
Gọi M (a; 0; 0), N (0; b; 0) , P (0; 0; c). Theo giả thiết, ta có a, b, c là các số dương.
x y z
Phương trình mặt phẳng (P ) là + + = 1.

a b c
2 1 3
(P ) đi qua điểm A (2; 1; 3) nên + + = 1.
a b√ c
√
…
√
√
336
2
2 1 3
1
3
336
3
Ta có + + ≥ 3
· · = √
⇔1≥ √
⇔ 3 abc ≥ 3 3 6 ⇔ abc ≥ 112.
3
3
a b c
a b c
abc
abc
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

13

/>

/>
Chương 3-Hình học giải tích 12



2
1
3

a=6


 = =

abc
b
c
VOM N P =
≥ 27. Dấu bằng xảy ra khi a
⇒ b=3
2
1
3


6
 + + =1



c = 9.
a b c
x y z
Vậy (P ) : + + = 1.
6 3 9



x=2+t


x=4








y = 1 − t
y = −1
Tọa độ giao điểm của d và (P ) là nghiệm của hệ
⇔


z =4+t
z=6









x
y
z


 + + =1
t = 2.
6 3 9
Chọn đáp án D
y − y0
z − z0
x − x0
=
=
.
Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :
a
b
c
Điểm M nằm trên đường thẳng ∆ thì điểm M có dạng nào sau đây?
A. M (at; bt; ct).

B. M (x0 t; y0 t; z0 t).

C. M (a + x0 t; b + y0 t; c + z0 t).

D. M (x0 + at; y0 + bt; z0 + ct).

Lời giải.

#»
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M (x
0 ; y0 ; z0 ) và có véc-tơ chỉ phương u = (a; b; c) nên đường thẳng ∆

z = x0 + at


có phương trình tham số là ∆ : y = y0 + bt .



z = z0 + ct
Điểm M nằm trên đường thẳng ∆ nên điểm M có dạng M (x0 + at; y0 + bt; z0 + ct).
Chọn đáp án D
Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; −1; 0) và C(0; 0; 2).
Phương trình mặt phẳng (ABC) là
A. x − 2y + z = 0.

B. x − y +

z
= 1.
2

C. x +

y
− z = 1.
2

D. 2x − y + z = 0.

Lời giải.
Áp dụng phương trình mặt phẳng đoạn chắn ta có phương trình mặt phẳng (ABC) là x − y +

z
= 1.
2

Chọn đáp án B
x−2
y+2
z−6
Câu 40. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau d1 :
=
=
;
2
1
−2
x−4
y+2
z+1
d2 :

=
=
. Phương trình mặt phẳng (P ) chứa d1 và song song với d2 là
1
−2
3
A. (P ) : x + 8y + 5z + 16 = 0.
B. (P ) : x + 8y + 5z − 16 = 0.
C. (P ) : 2x + y − 6 = 0.
D. (P ) : x + 4y + 3z − 12 = 0.
Lời giải.


x = 2 + 2t1


Phương trình tham số d1 : y = −2 + t1 , (t1 ∈ R).



z = 6 − 2t1
d1 đi qua điểm M (2; −2; 6)
và có vectơ chỉ phương u#»1 = (2; 1; −2).

x = 4 + t2


Phương trình tham số d2 : y = −2 − 2t2 , (t2 ∈ R).




z = −1 + 3t2
d2 đi qua điểm N (4; −2; −1) và có vectơ chỉ phương u#»2 = (1; −2; 3).
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

14

/>

/>
Chương 3-Hình học giải tích 12

#»
n (P ) ⊥ #»
u1
⇒ #»
u (P ) = [ #»
u 1 , #»
u 2 ] = −(1; 8; 5).
#»
#»
n (P ) ⊥ u 2
Mặt phẳng (P ) đi qua M (2; −2; 6) và vectơ pháp tuyến #»
u (P ) = (1; 8; 5), nên phương trình mặt phẳng

Vì mặt phẳng (P ) chứa d1 và song song với d2 , ta có:

(P ) : (x − 2) + 8(y + 2) + 5(z − 6) = 0 hay (P ) : x + 8y + 5z − 16 = 0.
Chọn đáp án B
x−1

y−3
z−1
=
=
cắt mặt phẳng
2
−1
1
(P ) : 2x − 3y + z − 2 = 0 tại điểm I(a; b; c). Khi đó a + b + c bằng
Câu 41. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :
A. 9.
Lời giải.

B. 5.

C. 3.

D. 7.

Ta có {I} = d ∩ (P ) suy ra I ∈ d và I ∈ (P ).
Vì I ∈ d nên tọa độ của I có dạng (1 + 2t; 3 − t; 1 + t) với t ∈ R.
Vì I ∈ (P ) nên ta có phương trình: 2(1 + 2t) − 3(3 − t) + 1 + t − 2 = 0 ⇔ t = 1.
Vậy I(3; 2; 2) suy ra a + b + c = 3 + 2 + 2 = 7.
Chọn đáp án D
Câu 42. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 5; 3) và hai mặt phẳng (P ): 2x + y + 2z − 8 = 0, (Q):
x − 4y + z − 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và song song với hai mặt phẳng (P )
và (Q).








x=3+t
=
3
+
t
x
=
3
x
=
3
+
t








A. y = 5 − t .
.
.
D. y = 5
C. y = 5

B. y = 5 + t .












z =3+t
z =3−t
z =3−t
z=3
Lời giải.
Ta có #»
n (P ) = (2; 1; 2) và #»
n (Q) = (1; −4; 1).
#»
#»
n (P ) , n (Q) = (9; 0; −9). Do đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P ) và (Q) nên d có véc-tơ
chỉ phương là #»
u = (1; 0; −1).


x=3+t



Vậy phương trình đường thẳng d là y = 5



z = 3 − t.
Chọn đáp án C


x=2+t


Câu 43. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(−1; 1; 6) và đường thẳng ∆ :
y = 1 − 2t . Hình chiếu



z = 2t
vng góc của A trên ∆ là
A. M (3; −1; 2).
Lời giải.

B. H(11; −17; 18).

C. N (1; 3; −2).

D. K(2; 1; 0).

# »
Gọi B là hình chiếu của A xuống ∆. Do B ∈ ∆ ⇒ B(2 + t; 1 − 2t; 2t). AB = (3 + t; −2t; 2t − 6).

# »
# »
Do AB ⊥ #»
u ∆ ⇒ AB · #»
u ∆ = 0 ⇔ 1 · (3 + t) + (−2) · (−2t) + 2 · (2t − 6) = 0 ⇔ t = 1.
Vậy B(3; −1; 2).
Chọn đáp án A
Câu 44. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(2; −1; −1) và mặt phẳng (P ) : x − 2y − 2z + 3 = 0.
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P ).
A. S : x2 + y 2 + z 2 − 4x + 2y + 2z − 3 = 0.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

B. S : x2 + y 2 + z 2 − 2x + y + z − 3 = 0.
15

/>

/>
Chương 3-Hình học giải tích 12

C. S : x2 + y 2 + z 2 − 4x + 2y + 2z + 1 = 0.

D. S : x2 + y 2 + z 2 − 2x + y + z + 1 = 0.

Lời giải.
Gọi R là bán kính mặt cầu.
|2 − 2(−1) − 2(−1) + 3|
= 3.
12 + (−2)2 + (−2)2
Vậy phương trình S : (x − 2)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 9 ⇔ x2 + y 2 + z 2 − 4x + 2y + 2z − 3 = 0.

Do (S) tiếp xúc với (P ) nên R = d(I, (P )) =

Chọn đáp án A


x = 1 + t

x−1
y−m
z+2
Câu 45. Cho hai đường thẳng d1 : y = 2 − t và d2 :
=
=
, (với m là tham số

2
1
−1


z = 3 + 2t
). Tìm m để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau.
A. m = 4.

B. m = 9.

C. m = 7.

D. m = 5.

Lời giải.
d1 đi qua điểm M1 (1; 2; 3) và có vec-tơ chỉ phương u#»1 = (1; −1; 2).
d2 đi qua điểm M2 (1; m; −2) và có vec-tơ chỉ phương u#»2 = (2; 1; −1).
#
»
[u#»1 ; u#»2 ] = (−1; 5; 3) và M1 M2 = (0; m − 2; −5).
#
»
d1 và d2 cắt nhau ⇔ [u#»1 ; u#»2 ] · M1 M2 = 0 ⇔ −1 · 0 + 5(m − 2) − 15 = 0 ⇔ m = 5.
Chọn đáp án D


x=t


Câu 46. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M = (1; −1; 2) và hai đường thẳng d1 : y = 1 − t ,



z = −1
x+1
y−1
z+2
d2 :
=
=
. Đường thẳng ∆ đi qua diểm M và cắt cả hai đường thẳng d1 , d2 có véc
2
1
1

#
»
tơ chỉ phương là u∆ = (1; a; b).Tính a + b.
A. a + b = −1.
B. a + b = −2.
C. a + b = 2.
D. a + b = 1.
Lời giải.
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đường thẳng ∆ với d1 , d2
A ∈ d1 ⇒ A (t1 ; 1 − t1 ; −1) ; B ∈ d2 ⇒ B (−1 + 2t2 ; 1 + t2 ; −2 + t2 ).
# »
# »
M ∈ ∆ ⇔ M, A, B thẳng hàng ⇔ M A = k M B (1)
# »
# »
M A = (t1 − 1; 2 − t1 ; −3) ; M B = (2t2 − 2; t2 + 2; t2 − 4).




t1 = 0




t − 2kt2 + 2k = 1
t1 − 1 = k (2t2 − 2)




1

1
(1) ⇔ 2 − t1 = k (t2 + 2) ⇔ − t1 − kt2 − 2k = −2 ⇔ kt2 = 3










− 3 = k (t2 − 4)
kt2 − 4k = −3
k = 5 .
6
Từ t1 = 0 ⇒ A(0; 1; −1).Do đường thẳng ∆ đi qua điểm A và M nên một véc tơ chỉ phương của
# »
» = AM
đường thẳng ∆ là u# ∆
= (1; −2; 3).
Vậy a = −2, b = 3 ⇒ a + b = 1.
Chọn đáp án D
Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng, hình chiếu vng góc của đỉnh S
xuống mặt đáy nằm trong hình vng ABCD. Hai mặt phẳng (SAD), (SBC) vng góc với nhau;
góc giữa hai mặt (SAB) và (SBC) là 60◦ ; góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là 45◦ . Gọi α
là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD), tính cos α
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

16

/>

/>
1
A. cos α = .
2

Chương 3-Hình học giải tích 12

√

√

2
B. cos α =
.
2

√
2
D. cos α =
.
3

3
C. cos α =
.

2

Lời giải.
Dựng hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ trên

z

S

Khơng mất tính tổng qt, giả sử ABCD là hình
vng có cạnh bằng 1, chiều cao của hình chóp
S.ABCD bằng c, (c > 0)
Ta có tọa độ các điểm
A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0)

A

D

y

H

Do hình chiếu vng góc H của đỉnh S xuống mặt
đáy nằm trong hình vng ABCD nên gọi H(a, b, 0)
với 0 < a, b < 1 (∗) ⇒ S(a; b; c).
#»
# »
Ta có AS = (a; b; c), AD = (0; 1; 0) nên chọn
ỵ # » # »ó

#»
n (SAD) = AS, AD = (−c; 0; a)

C

B
x

ỵ # » # »ó
# »
# »
BS = (a − 1; b; c), BC = (0; 1; 0) nên chọn #»
n (SBC) = BS, BC = (−c; 0; a − 1)
ỵ # » # »ó
# »
#»
AB = (1; 0; 0), AS = (a; b; c) nên chọn #»
n (SAB) = AB, AS = (0; −c; b)
#»
Chọn #»
n (ABCD) = k = (0; 0; 1)
Do (SAD) ⊥ (SBC) ⇒ #»
n (SAD) · #»
n (SBC) = 0 ⇔ c2 + a(a − 1) = 0 ⇔ c2 + a2 = a (1)
Góc giữa (SAB) và (SBC) là 60◦

⇒ cos 60◦ =

#»
n (SAB) . #»

n (SBC)
#»
n
. #»
n
(SAB)

(SBC)

|b(a − 1)|
√
c2 + (a − 1)2 . c2 + b2
1
b(a − 1)
√
⇔
= √
do (∗) và (1)
2
1 − a. c2 + b2
√
b 1−a
1
⇔√
=
2
c 2 + b2
b
1
⇔√

= √
(2)
2 1−a
c 2 + b2
1
=
⇔
2

Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

17

/>

/>
Chương 3-Hình học giải tích 12

Góc giữa (SAB) và (SAD) là 45◦
⇒ cos 45◦
√
2
⇔
2
√
2
⇔
2
√
ab

b 1−a
⇔√ √
:√
a. c2 + b2
c 2 + b2
√
a
⇔√
1−a

#»
n (SAB) . #»
n (SAD)
#»
n
n
. #»

=

(SAB)

(SAD)

|ab|
√
= √
c2 + a2 . c2 + b2
ab
= √ √

do (∗)
a. c2 + b2
√
2 1
=
:
2 2
√
2
=

⇔a =

2
3

(3)

Góc giữa (SAB) và (ABCD) là α
⇒ cos α

=

#»
n (SAB) . #»
n (ABCD)
#»
n
. #»
n

(SAB)

(2),(3)

=

=

(ABCD)

b
c 2 + b2
√
1
3
…
=
2
2
2 1−
3
√

Chọn đáp án C



x=2+t



Câu 48. Giao điểm của mặt phẳng (P ) : x + y − z − 2 = 0 và đường thẳng d : y = −t.



z = 3 + 3t
A. (1; 1; 0).

B. (0; 2; 4).

C. (0; 4; 2).

D. (2; 0; 3).

Lời giải.
Gọi A(x; y; z) là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P ).
Ta có: 2+ t − t − (3 + 3t) − 2 = 0 ⇔ −3t − 3 = 0 ⇔ t = −1.


x=1


Suy ra y = 1. Vậy A(1; 1; 0).



z = 0
Chọn đáp án A
Câu 49. Trong không gian Oxyz , trục Ox có phương 
trình tham số là



x=0


A. x = 0.
B. y + z = 0.
C. y = 0 .



z = t




x=t


D. y = 0



z = 0

.

Lời giải.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

18

/>

/>
Chương 3-Hình học giải tích 12

#»
Trục
 Ox đi qua O(0;
0; 0) và có véctơ chỉ phương i (1; 0; 0) nên có phương trình tham số là




x = 0 + 1.t
x=t




y = 0 + 0.t ⇔ y = 0.






z = 0 + 0.t
z = 0
Chọn đáp án D

Câu 50. Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1; 1; −1), B (2; 1; 2). Độ dài đoạn AB bằng
√
√
A. 10.
B. 14.
C. 9.
D. 10.
Lời giải.
Ta có: AB =

»

(xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 =

»
√
(2 − 1)2 + (1 − 1)2 + (2 + 1)2 = 10.

Chọn đáp án A
Câu 51 (Kiếu Văn
 Công). [2H3B3-5] Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x+2y −8 = 0
x = 1 + 2t


và đường thẳng d : y = 2 − t . Khoảng cách giữa đưởng thẳng d và mặt phẳng P bằng



z =3+t
4

2
3
1
A. √ .
B. √ .
C. √ .
D. √ .
5
5
5
5
Lời giải.


x = 1 + 2t


u = (2; −1; 1).
Đường thẳng d : y = 2 − t đi qua A(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương #»



z =3+t
Mặt phẳng (P ) : x + 2y − 8 = 0 có vectơ pháp tuyến #»
n = (1; 2; 0).
#»
#»
u · n =2−2+0=0
Ta có
, nên đường thằng d song song với mặt phẳng (P ).

A∈
/ (P )
Vậy khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P ) bằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P ).
|1 + 4 − 8|
3
d(d; (P )) = d(A; (P )) = √
=√ .
2
2
1 +2
5
Chọn đáp án C
Câu 52 (Kiều Văn Công). [2H3Y1-3] Trong không gian Oxyz cho mặt cầy (S) : x2 + y 2 + z 2 −
2x + 4z + 1 = 0 có tâm I và bán kính R là.
A. I(−1; 0; 2), R = 2. B. I(−1; 0; 2), R = 4.

C. I(1; 0; −2), R = 2.

D. I(1; 0; −2), R = 4.

Lời giải.
Dễ thấy mặt cầu (S) : x2 + y 2 + z 2 − 2x + 4z + 1 = 0 có:
Tâm I(1; 0; −2) và bán kính R =
Chọn đáp án C

12 + 02 + (−2)2 − 1 = 2.

Câu
 53. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) : x − 2z − 6 = 0 và đường thẳng



x=1+t


d:
y = 3 + t . Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (α) cắt đồng thời vuông



 z = −1 − t
góc với d.
x−2
y−4
z+2
A.
=
=
.
2
1
1
x−2
y−3
z+2
C.
=
=
.
2
−1

1
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

x−2
y−4
z+2
=
=
.
2
−1
1
x−2
y−4
z−2
D.
=
=
.
2
−1
1
B.

19

/>

/>
Chương 3-Hình học giải tích 12

Lời giải.



x=1+t




 y =3+t
⇒ I (2; 4; −2).
Giao điểm I của d và (α) là nghiệm của hệ


z
=
−1
−
t




 x − 2z − 6 = 0
Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến #»
n = (1; 0; −2) ; đường thẳng d có một vectơ chỉ phương
#»
u = (1; 1; −1).
Khi đó đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là [ #»

n , #»
u ] = (2; −1; 1).

Đường thẳng ∆ qua điểm I (2; 4; −2) và có một vectơ chỉ phương [ #»
n , #»
u ] = (2; −1; 1) nên có phương
x−2
y−4
z+2
trình chính tắc:
=
=
.
2
−1
1
Chọn đáp án B
Câu 54. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm M (a; b; c) thuộc mặt phẳng (P ) : x+y+z−6 = 0
và cách đều các điểm A(1; 6; 0), B (−2; 2; −1) , C (5; −1; 3). Tích a · b · c bằng
A. 5.

C. −6.

B. 0.

D. 6.

Lời giải.
Do M ∈ (P ) và M A2 = M B 2 = M C 2 , nên ta được hệ










a=1
a
+
b
+
c
=
6
a
+
b
+
c
=
6






b=2

3a + 4b + c = 14 ⇔
(a − 1)2 + (b − 6)2 + c2 = (a + 2)2 + (b − 2)2 + (c + 1)2 ⇔









 c = 3.
 4a − 7b + 3c = −1
 (a − 1)2 + (b − 6)2 + c2 = (a − 5)2 + (b + 1)2 + (c − 3)2
Từ đó ta được abc = 6.
Chọn đáp án D
Câu 55. Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1; 2; −3), hình chiếu vng góc của điểm M trên
mặt phẳng (Oxy) là điểm
A. M (1; 0; −3).

B. M (0; 2; −3).

C. M (1; 2; 0).

D. M (1; 2; 3).

Lời giải.
Hình chiếu vng góc của điểm M trên mặt phẳng (Oxy) là điểm M (1; 2; 0).
Chọn đáp án C
Câu 56. Trong khơng gian Oxyz, tìm phương trình mặt phẳng (α) cắt ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt

tại ba điểm A (−3; 0; 0) , B (0; 4; 0) , C (0; 0; −2).
A. 4x − 3y + 6z − 12 = 0.
C. 4x − 3y + 6z + 12 = 0.
Lời giải.
Phương trình (α) :

B. 4x + 3y − 6z + 12 = 0.
D. 4x + 3y + 6z + 12 = 0.

x
y
z
+ +
= 1 ⇔ 4x − 3y + 6z = −12 ⇔ 4x − 3y + 6z + 12 = 0.
−3 4 −2

Chọn đáp án C
Câu 57. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 1; 1), B(−1; 1; 0), C(1; 3; 2). Đường
trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC nhận véc-tơ nào dưới đây làm một véc-tơ chỉ
phương?
#»
#»
A. #»
a = (1; 1; 0).
B. #»
c = (−1; 2; 1).
C. b = (−2; 2; 2).
D. d = (−1; 1; 0).
Lời giải.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

20

/>

/>
Chương 3-Hình học giải tích 12

Gọi M là trung điểm của BC, suy ra tọa độ điểm M (0; 2; 1).

# »
Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A có véc-tơ chỉ phương là AM = (−1; 1; 0).
Chọn đáp án D
Câu 58. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (0; 1; 1) và B (1; 2; 3). Viết phương trình mặt phẳng
(P ) đi qua A và vng góc với đường thẳng AB.
A. (P ) : x + 3y + 4z − 26 = 0.

B. (P ) : x + y + 2z − 3 = 0.

C. (P ) : x + y + 2z − 6 = 0.

D. (P ) : x + 3y + 4z − 7 = 0.

Lời giải.
# »
Mặt phẳng (P ) có một véctơ pháp tuyến #»
n = AB = (1; 1; 2).
Phương trình mặt phẳng (P ) là: x + y − 1 + 2 (z − 1) = 0 hay (P ) : x + y + 2z − 3 = 0.
Chọn đáp án B
Câu 59. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(−1; 2; 0), B(0; 0; −2), C(1; 0; 1), D(2; 1; −1). Hai

BD
VABM N
6
BC
+3
= 10 và
= . Phương
điểm M , N lần lượt nằm trên đoạn BC và BD sao cho 2
BM
BN
VABCD
25
trình mặt phẳng (AM N ) có dạng ax + by + cz + 32 = 0. Tính S = a − b + c.
A. S = 98.

B. S = 26.

C. S = 27.

D. S = 97.

Lời giải.
BC
BD
BC
BD
10 − 3y
Đặt:
= x;
=y⇒2

+3
= 10 ⇔ 2x + 3y = 10 ⇔ x =
.
BM
BN
BM
BN
2
VABM N
6
BM BN
1
6
10 − 3y
25
5
5
Ta có:
=
⇔
·
=
=
⇔
·y =
⇔y= ⇒x= .
VABCD
25
BC BD
xy

25
2
6
3
2
Suy ra:

2xC + 3xB


xM =


ã
Å
5

BC
5
4
2
# »
# »
2yC + 3yB
+
= ⇒ 5BM = 2BC ⇒ yM =
; 0; − .
⇒M

BM

2
5
5
5



zM = 2zC + 3zB
5

3xD + 2xB


xN =


ã
Å
5

BD
5
6 3 7
# »
# »
3yD + 3yB
+
= ⇒ 5BN = 3BD ⇒ yN =
; ;− .
⇒N


BN
3
5 5 5
5



zN = 3zD + 3zB
5
Thay A, M , N vào phương trình ax + by + cz + 32 = 0 ta có a = 42; b = 5; c = 61 ⇒ S = 98.
Chọn đáp án A
Câu 60. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y 2 + z 2 − 2x + 2z − 2 = 0 và các điểm
A(0; 1; 1), B(−1; −2; −3), C(1; 0; −3). Điểm D thuộc mặt cầu (S). Thể tích lớn nhất của tứ diện
ABCD bằng
A. 9.

B.

8
.
3

C. 7.

D.

16
.
3

Lời giải.
Mặt cầu (S) có tâm là I(1; 0; −1) và bán kính R = 2.
VDABC
R + d(I, (ABC))
d(D, (ABC))
Khi VDABC lớn nhất thì
=
.
=
VIABC
d(I, (ABC))
d(I, (ABC))
# »
# »
#»
Ta có AB = (−1; −3; −4), AC = (1; −1; −4), AI = (1; −1; −2). Suy ra
1 î # » # »ó # »
4
VIABC =
AB, AC · AI = ,
6
3
6VIABC
2
d(I, (ABC)) = ỵ # » # »ó = .
3
AB, AC
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

21

/>

/>
Khi đó, VDABC =

4 2+
· 2
3
3

2
3

=

Chương 3-Hình học giải tích 12

16
.
3

Chọn đáp án D
Câu 61. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y 2 + z 2 − 4x − 2y + 2z − 19 = 0 và mặt
phẳng (P ): 2x − y − 2z + m + 3 = 0, với m là tham số. Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị thực của
tham số m để mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S) theo một đường trịn có chu vi 6π. Tổng giá trị của
tất cả các phần tử thuộc T bằng:
A. 4.

C. −20.

B. 24.

D. −16.

Lời giải.
Mặt cầu (S): (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z + 1)2 = 25 có tâm I(2; 1; −1) và bán kính R = 5.
Mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có chu vi bằng 6π nên bán kính đường trịn bằng
r = 3.
Do đó khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng là d(I, (P )) =
m=4
|4 − 1 + 2 + m + 3|
⇔
= 4 ⇔ |m + 8| = 12 ⇔
3
m = −20.

√
R2 − r 2 = 4

Vậy tổng giá trị của các phần tử thuộc T bằng −16.
Chọn đáp án D
Câu 62. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; −1; −3) và mặt phẳng (P ) : 3x − 2y + 4z − 5 = 0.
Mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng (P ) có phương trình là
A. (Q) : 3x − 2y + 4z − 4 = 0.
C. (Q) : 3x − 2y + 4z + 5 = 0.

B. (Q) : 3x − 2y + 4z + 4 = 0.
D. (Q) : 3x + 2y + 4z + 8 = 0.

Lời giải.

Do mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P ) nên có vectơ pháp tuyến là #»
n = (3; −2; 4).
Phương trình mặt phẳng (Q) : 3(x − 2) − 2(y + 1) + 4(z + 3) = 0 ⇔ 3x − 2y + 4z + 4 = 0.
Chọn đáp án B
Câu 63. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (0; 1; −2), B (3; 1; 1) và C (−2; 0; 3). Mặt phẳng
(ABC) đi qua điểm nào dưới đây ?
A. N (2; 1; 0).

C. M (2; −1; 0).

B. Q (−2; 1; 0).

D. M (−2; −1; 0).

Lời giải.
# »
# »
# » # »
Ta có AB = (3; 0; 3), AC = (−2; −1; 5) và AB ∧ AC = (3; −21; −3).
1 î # » # »ó
Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm B (3; 1; 1), có 1 véc-tơ pháp tuyến #»
n =
AB, AC = (1; −7; −1)
3
nên có phương trình là x − 7y − z + 5 = 0. Vì 2 − 7 · 1 − 0 + 5 = 0 nên N (2; 1; 0) ∈ (ABC).
Chọn đáp án A
Câu 64. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x2 + y 2 + z 2 − 2x + 2y − 4z − 3 = 0. Bán kính R

của mặt cầu S bằng
A. R = 3.

B. R = 2.

C. R = 6.

D. R = 9.

Lời giải.
Ta có x2 + y 2 + z 2 − 2x + 2y − 4z − 3 = 0 ⇔ (x − 1)2 + (y + 1)2 + (z − 2)2 = 9, nên bán kính mặt
cầu S bằng 3.
Chọn đáp án A
# »
Câu 65. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (1; −1; −3) , B (−2; 2; 1). Véctơ có AB tọa độ
là
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

22

/>

/>
A. (−3; 3; 4).

Chương 3-Hình học giải tích 12

C. (3; −3; 4).

B. (−1; 1; 2).

D. (−3; 1; 4).

Lời giải.
# »
Ta có AB = (−2 − 1; 2 + 1; 1 + 3) = (−3; 3; 4).
Chọn đáp án A
Câu 66. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P ) : 2x − y + 3 = 0. Một véc tơ pháp tuyến của (P )
có tọa độ là
B. (2; −1; 3).

A. (2; 1; 0).

C. (2; −1; 0).

D. (2; 1; 3).

Lời giải.

Mặt phẳng (P ) có VTPT là #»
n = (2; −1; 0).
Chọn đáp án C
Câu 67. Trong không gian Oxyz cho các điểm A(1; −1; 3), B(2; 1; 0), C(−3; −1; −3) và mặt phẳng
(P ) : x + y − z − 4 = 0. Gọi M (a, b, c) là điểm thuộc mặt phẳng (P ) sao cho biểu thức T =
# »
# » # »
|3M A − 2M B + M C| đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức S = a + b + c.
B. S = −1.

A. S = 3.

Lời giải.

C. S = 2.

D. S = 1.

#»
# » # » #»
Gọi I(x; y; z) là điểm thỏa mãn 3IA − 2IB + IC = 0 .
Ta có

#»
IC = (−3 − x; −1 − y; −3 − z).

#»
#»
IA = (1 − x; − 1 − y; 3 − z) ⇒ 3IA = (3 − 3x; −3 − 3y; 9 − 3z).
#»
#»
IB = (2 − x; 1 − y; −z) ⇒ 2IB = (4 − 2x; 2 − 2y; −2z).

#»
#» #»
Khiđó 3IA − 2IB + IC
 = (−2x − 4; −2y − 6; −2z + 6) = 0.


x = −2
− 2x − 4 = 0





⇔ − 2y − 6 = 0 ⇔ y = −3 . Vậy I(−2; −3; 3).






z=3
− 2z + 6 = 0
# » #»
# » #»
# » #»
# »
# » # »
Ta có T = 3M A − 2M B + M C = 3(M I + IA) − 2(M I + IB) + (M I + IC) = 2 M I .
# »
Suy ra Tmin ⇔ M I
khi và chỉ khi M là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P ).
min

Đườngthẳng M I đi qua I(−2; −3; 3) và vng góc với mặt phẳng (P ) có phương trình tham số là

x = −2 + t


M I : y = −3 + t . Lấy M (−2 + t; −3 + t; 3 − t) ∈ M I.




z =3−t
Mặt khác M ∈ (P ) ⇒ (−2 + t) + (−3 + t) − (3 − t) − 4 = 0 ⇒ t = 4.
Suy ra M (2; 1; −1). Vậy a + b + c = 2.
Chọn đáp án C
Câu 68. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(4; −1; 3), B(0; 1; −5). Phương trình mặt cầu
đường kính AB là
A. (x − 2)2 + y 2 + (z + 1)2 = 21.

B. (x − 2)2 + y 2 + (z − 1)2 = 17.

C. (x − 1)2 + (y − 2)2 + z 2 = 27.

D. (x + 2)2 + y 2 + (z − 1)2 = 21.

Lời giải.
Vì mặt cầu (S) có đường kính AB nên mặt cầu có tâm là trung điểm I(2; 0; −1) của AB và bán
AB √
kính R =
= 21.
2
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

23

/>

/>
Chương 3-Hình học giải tích 12

Vậy phương trình mặt cầu là (x − 2)2 + y 2 + (z + 1)2 = 21.
Chọn đáp án A
Câu 69. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(−1; 1; 2) và B(3; −5; 0). Tọa độ trung diểm của
đoạn thẳng AB là
A. (2; −4; 2).

B. (4; −6; 2).

C. (1; −2; 1).

D. (2; −3; −1).

Lời giải.
Gọi M là trung điểm AB, khi đó tọa độ của M được tính bởi

xA + yA


x
=1
M =


2


yA + yB
yM =
= −2


2



z + zB

zM = A
= 1.
2
Chọn đáp án C
Câu 70. Trong không gian Oxyx, cho mặt cầu (S) : (x − 2)2 + (y + 1)2 + (z − 1)2 = 9. Tìm tọa độ
tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
A. I(−2; 1; −1), R = 3.

B. I(−2; 1; −1), R = 9.

C. I(2; −1; 1), R = 3.

D. I(2; −1; 1), R = 9.

Lời giải.
Ta có tọa độ tâm I(2; −1; 1) và bán kính R = 3.
Chọn đáp án C
Câu 71. Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A(2; −1; −3) và B(0; 3; −1) . Phương trình của mặt
cầu đường kính AB là
A. (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z − 2)2 = 6.

B. (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z + 2)2 = 24.

C. (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z − 2)2 = 24.

D. (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z + 2)= 6.

Lời giải.
Tâm I của mặt cầu là trung điểm của√AB ⇒ I(1; 1; −2) .
AB
22 + 42 + 22 √
Bán kính của mặt cầu là R =
=
= 6.
2
2
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z + 2)2 = 6 .
Chọn đáp án D
#»
# »
#»
#»
Câu 72. Trong không gian Oxyz, cho OA = i − 2 j + 3 k , điểm B(3; −4; 1) và C(2; 0; 1). Tọa độ
trọng tâm của tam giác ABC là
A. 1; −2; 3.

B. (−2; 2; −1).

C. (2; −2; 1).

D. (−1; 2; −3).

Lời giải.

#»
# » #»
#»
Từ giả thiết OA = i − 2 j + 3 k ⇒ A(1; −2;
 3).
xA + xB + xC


xG =


3


yA + yB + yC
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có: yG =

3



zA + zB + zC

zG =
3
Chọn đáp án C
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

24

=2
= − 2 ⇒ G(2; −2; 1).
=1

/>

/>
Chương 3-Hình học giải tích 12

Câu 73. Trong khơng gian Oxyz, có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình x2 +
y 2 + z 2 + 2(m + 2)x − 2(m − 1)z + 3m2 − 5 = 0 là phương trình của một mặt cầu?
A. 4.

B. 6.

C. 5.

D. 7.

Lời giải.
Phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi
√
√
(m + 2)2 + (m − 1)2 − 3m2 + 5 > 0 ⇔ m2 − 2m − 10 < 0 ⇔ 1 − 11 < m < 1 + 11.
Do m ∈ Z nên m ∈ {−2; −1; 0; 1; 2; 3; 4}. Vậy có 7 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.
Chọn đáp án D
√
Câu 74. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x + 2)2 + (y − 1)2 + (z + 2)2 = 9 và hai điểm
√

# » # »
A(−2; 0; −2 2), B(−4; −4; 0). Biết tập tất cả các điểm M thuộc (S) để M A2 + M O · M B = 16 là
một đường trịn. Bán kính của đường trịn đó bằng
√
√
√
√
A. 3.
B. 2.
C. 2 2.
D. 5.
Lời giải.
√
# »
# »
# »
Gọi M (x; y; z) ∈ (S), ta có AM = (x + 2; y; z + 2 2), OM = (x; y; z), BM = (x + 4; y + 4; z). Ta có
# » # »
# » # »
M A2 + M O · M B = 16 ⇔ M A2 + OM · BM = 16
√
⇔ (x + 2)2 + y 2 + (z + 2 2)2 + x(x + 4) + y(y + 4) + z 2 = 16
√
⇔ x2 + y 2 + z 2 + 4x + 4y + 2 2z − 2 = 0.

(1)

Ta lại có
M ∈ (S) ⇔ (x + 2)2 + (y − 1)2 + (z +

√

2)2 = 9
√
⇔ x2 + y 2 + z 2 + 4x − 2y + 2 2z − 2 = 0.

(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
√
x2 + y 2 + z 2 + 4x + 4y + 2 2z − 2 = 0
⇒ y = 0.
√
x2 + y 2 + z 2 + 4x − 2y + 2 2z − 2 = 0
Vậy tập hợp tất cả các điểm M là đường tròn giao tuyến (C) của (S) và mặt phẳng (P ) : y = 0.
√
Mặt cầu (S) có bán kính R = 3, tâm I(−2;
1;
−
2) nên d [I, (P )] = 1.
»
√
Suy ra đường trịn (C) có bán kính r = R2 − (d [I, (P )])2 = 2 2.
Chọn đáp án C
Å

ã
8 4 8
Câu 75. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; −2) và B
; ;

. Biết I(a; b; c) là tâm
3 3 3
của đường tròn nội tiếp tam giác OAB. Giá trị của a − b + c bằng
A. 1.

B. 3.

C. 2.

D. 0.

Lời giải.
Gọi M là chân đường phân giác vẽ từ đỉnh O. Ta có OA = 3, OB = 4, AB = 5 nên tam giác OAB
vuông tại O.
Å
ã
Å
ã
MA
OA
3
AM
3
3# »
12 12
12 12
# »
# »
Do
=

= nên
= . Từ đó AM = AB ⇒ M
; ; 0 ⇒ OM =
; ;0
MB
OB
4
AB
7
7
7 7
7 7
nên #»
u OM = (1;
1; 0).

x=t


S
Do đó OM : y = t ⇒ I(t; t; 0). Gọi H là hình chiếu của I lên OA. Khi đó IH = = 1.

p


z=0
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

25

/>