Phương pháp nón pháp tuyến giải bài toán tối ưu hóa đa mục tiêu và bài toán quy hoạch tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
- - - - - - - - - - -o0o- - - - - - - - - - -

ĐỖ XN HƯNG

PHƯƠNG PHÁP NĨN PHÁP TUYẾN
GIẢI BÀI TỐN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU VÀ
BÀI TỐN QUI HOẠCH TÍCH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN TIN

Hà Nội - 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
- - - - - - - - - - -o0o- - - - - - - - - - -

ĐỖ XN HƯNG

PHƯƠNG PHÁP NĨN PHÁP TUYẾN
GIẢI BÀI TỐN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU VÀ
BÀI TỐN QUI HOẠCH TÍCH
Chun ngành: Tốn Tin

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGÀNH: TỐN TIN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS. NGUYỄN THỊ BẠCH KIM

Hà Nội - 2013


Mục lục
Lời cảm ơn

iii

Lời mở đầu

iv

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt

ix

1 Nón pháp tuyến của tập lồi

1

1.1 Nón pháp tuyến của tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Mối quan hệ giữa nón pháp tuyến và tập lồi đa diện

9

1.2 Điểm hữu hiệu và điểm hữu hiệu yếu của một tập . . . .

15

1.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.2

Điều kiện hữu hiệu theo nón pháp tuyến . . . . .

19

2 Bài toán qui hoạch lồi đa mục tiêu với các hàm mục tiêu
tuyến tính

21

2.1 Bài tốn qui hoạch lồi đa mục tiêu . . . . . . . . . . . .

22

2.2 Thuật toán nón pháp tuyến giải bài tốn
qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu . . . . . . . . . . . . .

29

2.2.1

29

Cơ sở lý thuyết của thuật toán . . . . . . . . . .
i


2.2.2

Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2.3

Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3 Bài tốn qui hoạch tích
các hàm tuyến tính trên tập lồi

46

3.1 Giới thiệu bài tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.2 Cơ sở lý thuyết của thuật toán giải bài toán (MP Y ) . .

50

3.3 Thuật toán giải bài toán (MP Y ) . . . . . . . . . . . . .

58

Tài liệu tham khảo

71

Phụ lục

76

ii


Lời cảm ơn
Đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS.
Nguyễn Thị Bạch Kim, người đã tận tình, nghiêm khắc hướng dẫn, chỉ
bảo để luận văn này được hoàn thành, cũng như giúp tôi tăng trưởng

niềm đam mê nghiên cứu khoa học.
Tôi xin chân thành cảm ơn Viện Toán ứng dụng và Tin học, Viện Đào
tạo Sau Đại học, trường Đại học Bách khoa Hà Nội, đã tạo mọi điều
kiện thuận lợi cho tơi trong q trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Tôi xin được cảm ơn sự dạy dỗ, chỉ bảo và quan tâm của các thầy cơ
của Viện Tốn ứng dụng và Tin học trong suốt thời gian tôi theo học
và nghiên cứu.
Tơi xin chân thành cảm ơn Phịng Giải tích số và Tính tốn khoa học,
Viện Tốn học, nơi tôi đang công tác, đã tạo điều kiện thuận lợi cho tơi
có cơ hội học tập.
Tơi xin chân thành cảm ơn ThS. Trần Ngọc Thăng về việc hợp tác
nghiên cứu và những trao đổi hữu ích giúp cho luận văn được hồn thiện
hơn.
Cuối cùng, tơi muốn gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè và
đồng nghiệp, những người ln động viên khích lệ giúp tơi hồn thành
luận văn này. Xin chân thành cảm ơn.

Học viên: Đỗ Xuân Hưng
Lớp: 11BTT-KH
iii


Lời mở đầu
Bài toán qui hoạch lồi đa mục tiêu với các hàm mục tiêu tuyến tính,
kí hiệu là (MOP ), là bài toán tối ưu đồng thời p ≥ 2 hàm mục tiêu
tuyến tính fj (x) = cj , x , cj ∈ Rn , i = 1, . . . , p, trên một tập lồi đóng
khác rỗng X ⊂ Rn . Mơ hình tốn học của bài toán này là
Min Cx với điều kiện x ∈ X,

(MOP )

trong đó C là ma trận cấp p × n với các hàng c1 , . . . , cp.
Trường hợp đặc biệt, khi tập chấp nhận được X là tập lồi đa diện,
bài toán (MOP ) trở thành bài tốn qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu và
kí hiệu là (MOLP ). Đây là trường hợp đơn giản nhất của tối ưu đa mục
tiêu. Như đã biết, tuy tập nghiệm hữu hiệu XE và tập nghiệm hữu hiệu
yếu XW E của bài tốn qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu (MOLP ) là
các tập liên thông đường gấp khúc, bao gồm một số hữu hạn diện đóng
của tập chấp nhận được X, nhưng nói chung, chúng là các tập khơng lồi
và có cấu trúc phức tạp.
Bài tốn qui hoạch lồi đa mục tiêu với các hàm mục tiêu tuyến tính
có ý nghĩa ứng dụng quan trọng trong thực tế đặc biệt là trong lý thuyết
quyết định, kinh tế, quản lý, cơng nghiệp, tài chính. . . Vì vậy, nó đã dành
được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học, chẳng hạn xem
[3-4], [8], [15] và danh mục tài liệu tham khảo kèm theo.

iv


Một bài tốn tối ưu tồn cục nảy sinh trong nhiều lĩnh vực thực tế
khác nhau như kinh tế, tài chính, thiết kế chip điện tử. . . và liên quan
gần gũi với bài toán qui hoạch lồi đa mục tiêu với các hàm mục tiêu
tuyến tính là bài tốn qui hoạch tích các hàm tuyến tính trên tập lồi, kí
hiệu là (MP X). Đó là bài tốn cực tiểu một hàm mục tiêu là tích của
p ≥ 2 hàm tuyến tính fj (x) = cj , x , cj ∈ Rn , i = 1, . . . , p, trên một tập
lồi X khác rỗng trong Rn . Cho đến nay, đã có nhiều thuật tốn đưa ra
để giải bài toán này, chẳng hạn xem [5-7], [12], [14-16], [21], [22], [26] và
danh mục tham khảo kèm theo.
Mục đích của luận văn là nghiên cứu bài toán qui hoạch lồi đa mục
tiêu với các hàm mục tiêu tuyến tính và bài tốn qui hoạch tích các hàm

tuyến tính trên tập lồi. Do nhu cầu ứng dụng, việc nghiên cứu để đề
xuất các thuật toán mới giải quyết hai bài tốn này ln là vấn đề có ý
nghĩa khoa học và tính thời sự.
Chúng tơi nghiên cứu các điều kiện hữu hiệu của bài toán qui hoạch
lồi đa mục tiêu với các hàm mục tiêu tuyến tính thơng qua nón pháp
tuyến của tập lồi chấp nhận được và giới thiệu thuật tốn nón pháp
tuyến [15] do N.T.B. Kim và Đ.T. Lục đề xuất năm 2000 để giải bài
toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu trong Chương 2. Chương 3 đề
xuất một thuật tốn trên khơng gian ảnh để giải bài tốn qui hoạch tích
các hàm tuyến tính trên tập lồi. Kết quả này đã được báo cáo tại Hội
thảo Tối ưu và Tính tốn khoa học lần thứ 11, tổ chức tại Ba Vì, ngày
24 - 27/04/2013.

v


Nội dung chính của Luận văn được trình bày trong ba chương. Cụ
thể:
Chương 1: Nón pháp tuyến của tập lồi. Chương này dành để
nghiên cứu về nón pháp tuyến của tập lồi và điều kiện nhận biết một
điểm hữu hiệu, hữu hiệu yếu của một tập lồi thơng qua nón pháp tuyến
của nó. Như đã biết, cơng thức tường minh để tính nón pháp tuyến của
một tập lồi đa diện đã được biết đến, chẳng hạn xem [15] và [24]. Chúng
tơi khơng tìm được cơng thức tính nón pháp tuyến của tập lồi trong bất
kỳ tài liệu nào. Ở đây, công thức này đã được đưa ra trong Mệnh đề 1.1.
Đây là cơ sở để chứng minh điều kiện hữu hiệu của bài toán qui hoạch
lồi đa mục tiêu với các hàm mục tiêu tuyến tính được đề xuất ở Chương
2 (Mệnh đề 2.2).
Chương 2: Bài toán qui hoạch lồi đa mục tiêu với các hàm
mục tiêu tuyến tính. Mục đích của chương này là: i) Nghiên cứu về

bài tốn qui hoạch lồi đa mục tiêu với các hàm mục tiêu tuyến tính và
đưa ra điều kiện nhận biết nghiệm hữu hiệu và nghiệm hữu hiệu yếu
của bài toán này thơng qua nón pháp tuyến của tập lồi chấp nhận được;
ii) Giới thiệu thuật tốn nón pháp tuyến [15] do N.T.B. Kim và Đ.T.
Lục đề xuất năm 2000 để xác định tồn bộ tập nghiệm hữu hiệu của bài
tốn qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu. Như đã biết, nếu đã biết tồn
bộ tập đỉnh hữu hiệu của bài tốn qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu thì
việc giải bài tốn qui hoạch tích các hàm tuyến tính trên tập lồi đa diện
tương ứng với nó (trường hợp đặc biệt của bài toán (MP X)) chỉ đơn
giản là việc so sánh giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh hữu hiệu (Nhận
vi


xét 3.2). Tuy nhiên, do cấu trúc phức tạp của tập nghiệm hữu hiệu của
bài toán (MOLP ) nên khối lượng tính tốn để xác định tồn bộ tập
đỉnh hữu hiệu của bài tốn này tăng rất nhanh khi kích thước bài toán
(tức số biến n, số hàm mục tiêu p, số ràng buộc của tập lồi đa diện chấp
nhận được) tăng.
Chương 3: Bài tốn qui hoạch tích các hàm tuyến tính trên
tập lồi. Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu bài tốn qui hoạch
tích các hàm tuyến tính trên tập lồi (MP X) và đề xuất thuật toán với
kỹ thuật xấp xỉ ngồi để giải bài tốn trên khơng gian ảnh (MP Y )
tương ứng với nó. Thuật tốn này được xây dựng dựa vào mối quan hệ
giữa nghiệm tối ưu của bài toán (MP Y ) và điểm hữu hiệu của tập ảnh
Y = C(X), trong đó C là ma trận cấp p × n với các hàng c1 , . . . , cp. Khi
thuật toán kết thúc, ta nhận được nghiệm tối ưu của cả hai bài toán
(MP X) và (MP Y ). Do p ≪ n nên thuật tốn có thể cho phép tiết kiệm
thời gian cũng như khối lượng tính tốn. Thuật tốn được chứng minh
là hội tụ (Mệnh đề 3.10) và đã được lập trình tính tốn thử nghiệm. Kết
quả tính tốn đã chứng tỏ tính hữu hiệu của thuật tốn.

Phụ lục của Luận án giới thiệu chương trình giải bài tốn (MP X).
Chương trình được viết trên ngơn ngữ lập trình MATLAB R2009a chạy
trên môi trường Win 7.

vii


Luận văn được hồn thành tại Viện Tốn ứng dụng và Tin học, trường
Đại học Bách khoa Hà Nội, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Thị
Bạch Kim. Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu
sót. Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn. Xin chân
thành cảm ơn.
Hà Nội, ngày 26 tháng 05 năm 2013

viii


Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt
R

tập số thực

Rn

không gian Euclid n chiều

∅

tập rỗng

x∈M

x thuộc tập M

x∈
/M

x không thuộc tập M

∀x ∈ M

với mọi x thuộc tập M

∃x

tồn tại x

M ∩N

giao của hai tập hợp M và N

M ∪N

hợp của hai tập hợp M và N

M \N

hiệu của hai tập hợp M và N

M ⊂N

M là một tập con thực sự của N

M ⊆N

M là một tập con của N

|I|

số phần tử của tập I

[x1, x2]

đoạn thẳng nối hai điểm x1 và x2

affX

bao afin của tập X

intX

phần trong của tập X

riX

phần trong tương đối của tập X

recX

nón lùi xa của tập X

cone{v 1, . . . , v k } nón sinh bởi các véc tơ v 1 , . . . , v k
∇g(x)
x

véc tơ gradient của hàm g tại điểm x
chuẩn của x

|x|

giá trị tuyệt đối của x

CT

ma trận chuyển vị của ma trận C
ix


a, x

tích vơ hướng của hai véc tơ a và x

Argmin(P ) tập nghiệm của bài toán (P )
v.đ.k.

viết tắt của cụm từ "với điều kiện"

KKT

viết tắt của cụm từ "Karush Kuhn Tucker"

x


Chương 1
Nón pháp tuyến của tập lồi
Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả về nón pháp tuyến
của tập lồi cần sử dụng trong các chương sau. Mục 1.1 trình bày khái
niệm nón pháp tuyến, mối quan hệ giữa nón pháp tuyến và tập lồi đa
diện đồng thời đề xuất cơng thức tính nón pháp tuyến của tập lồi. Khái
niệm điểm hữu hiệu, điểm hữu hiệu yếu của một tập và điều kiện hữu
hiệu theo nón pháp tuyến được trình bày ở Mục 1.2. Nội dung chính của
chương được tham khảo trong [1], [15] và [19].

1.1
1.1.1

Nón pháp tuyến của tập lồi
Định nghĩa

Cho tập lồi khác rỗng X ⊂ Rn và một điểm x0 ∈ X. Nón pháp tuyến
trong (inner normal cone) của X tại x0 , kí hiệu là NX (x0), được xác định
bởi
NX (x0) = {v ∈ Rn | v, x0 ≤ v, x , ∀x ∈ X}.

1


Để đơn giản, trong luận văn này ta gọi "nón pháp tuyến trong" là "nón
pháp tuyến". Xem minh họa về nón pháp tuyến ở Hình 1.1.

x0

X

X

0

x

b)

a)

Hình 1.1: Nón pháp tuyến của tập lồi X tại x0 .

Dễ thấy rằng, véc tơ v ∗ ∈ NX (x0) khi và chỉ khi v ∗ là véc tơ pháp tuyến
của một siêu phẳng tựa với tập X tại x0, hay điểm x0 là nghiệm tối ưu
của bài toán qui hoạch lồi với hàm mục tiêu tuyến tính
min v ∗ , x

v.đ.k. x ∈ X.

Nhắc lại rằng, siêu phẳng
H = {x ∈ Rn | a, x = α, a ∈ Rn \ {0}, α ∈ R},
được gọi là siêu phẳng tựa (supporting hyperplane) với một tập Q ⊂ Rn
tại điểm q 0 ∈ Q nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn
i) q 0 ∈ H, tức là a, q 0 = α,
ii) a, q ≥ α ∀q ∈ Q.

Tập X ⊆ Rn được gọi là tập lồi (convex set) nếu nó chứa trọn đoạn
thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc nó. Nói cách khác, X ⊆ Rn là tập
lồi nếu với mọi x1, x2 ∈ X và α bất kỳ thuộc đoạn [0, 1] thì ta có
αx1 + (1 − α)x2 ∈ X. Hiển nhiên rằng, giao của một họ các tập lồi là
tập lồi tuy nhiên hợp của một họ các tập lồi chưa chắc là tập lồi.
2


Một tập con lồi F ⊆ X được gọi là một diện (face) của X nếu nó
chứa một điểm trong tương đối của một đoạn thẳng nào đó thuộc X
thì nó chứa trọn cả đoạn thẳng đó, nói cách khác tập lồi con khác rỗng
F ⊆ X là diện của X nếu
x, y ∈ X, z = λx + (1 − λ)y ∈ F với 0 < λ < 1 ⇒ x, y ∈ F.
Hàm số f xác định trên tập lồi X ⊆ Rn được gọi là hàm lồi (convex
function) nếu
f (λx1 + (1 − λ)x2) ≤ λf (x1) + (1 − λ)f (x2), ∀x1 , x2 ∈ X, 0 ≤ λ ≤ 1.
Như đã biết (xem Mệnh đề 1.11, [1]), nếu f là hàm lồi xác định trên
Rn thì với mỗi α ∈ R tập mức dưới Lα f = {x ∈ Rn |f (x) ≤ α} là tập
lồi.
Thông thường, tập lồi X ⊂ Rn được cho dưới dạng tập nghiệm của
một hệ hữu hạn các bất phương trình
gi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m,

(1.1)

ở đây gi(x), i = 1, . . . , m, là các hàm lồi khả vi liên tục trong Rn . Hình
1.2 minh họa tập lồi X ⊂ R2 là giao của 4 tập mức dưới
L0gi = {x ∈ R2 |gi (x) ≤ 0}, i = 1, . . . , 4,
trong đó gi : R2 → R, i = 1, . . . , 4, là các hàm lồi.
Trường hợp đặc biệt, nếu tập lồi X ⊂ Rn được xác định bởi (1.1) với

gi (x) là các hàm afin với mọi i = 1, . . . , m, thì X được gọi là tập lồi đa
diện. Theo định nghĩa, tập lồi đa diện ln là tập đóng. Nếu tập lồi đa
diện bị chặn thì được gọi là đa diện.
3


g4 (x)

g1 (x)

g3 (x)

X

g2 (x)
Hình 1.2: Tập lồi.

Mỗi bất đẳng thức gi (x) ≤ 0, i ∈ {1, . . . , m}, được gọi là một ràng
buộc của tập lồi X. Ràng buộc thứ i0, gi0 (x) ≤ 0, được gọi là thừa nếu
{x ∈ Rn |gi (x) ≤ 0, i = 1, . . . , m} = {x ∈ Rn |gi (x) ≤ 0, i ∈ {1, . . . , m}\{i0}}.
Cho X xác định bởi (1.1) và điểm x0 ∈ X. Nếu
gi0 (x0) = 0, i0 ∈ {1, . . . , m},
thì ta nói ràng buộc thứ i0 được thỏa mãn chặt tại x0. Tập tất cả các chỉ
số của các ràng buộc được thỏa mãn chặt tại x0 được kí hiệu là I(x0),
I(x0) = {i0 ∈ {1, . . . , m}|gi0 (x0) = 0}.
Tập khác rỗng K ⊆ Rn được gọi là một nón (cone) nếu với mỗi v ∈ K
và t ≥ 0 thì ta có tv ∈ K. Tập K vừa là nón, vừa là tập lồi đa diện thì
K được gọi là nón lồi đa diện.
Cho v 1 , . . . , v k ∈ Rn . Nón sinh bởi các véc tơ v 1, . . . , v k ,
kí hiệu là cone{v 1, . . . , v k }, được xác định bởi

k
1

k

n

λi v i , λi ≥ 0, i = 1, . . . , k}.

cone{v , . . . , v } = {v ∈ R |v =
i=1

4


Nhận xét: Từ định nghĩa, dễ thấy, nếu x0 ∈ intX thì NX (x0) = {0}. Ở
đây, intX là kí hiệu phần trong của tập X.
Như đã biết, khái niệm nón pháp tuyến đóng vai trị quan trọng trong
việc xây dựng các điều kiện tối ưu trong các bài toán qui hoạch tốn
học. Cơng thức tường minh tính nón pháp tuyến của tập lồi đa diện tại
một điểm đã được đưa ra, chẳng hạn xem [15] và [24]. Theo hiểu biết
của chúng tơi, chưa có cơng trình nào đề xuất cơng thức tính nón pháp
tuyến của tập lồi tại một điểm. Công thức này được đưa ra và chứng
minh trong kết quả sau đây.
Mệnh đề 1.1. Cho tập lồi X xác định bởi (1.1) và một điểm xk ∈ X.
Giả sử điều kiện Slater được thỏa mãn, tức
∃¯
x ∈ Rn sao cho gi (¯
x) < 0 với mọi i = 1, . . . , m.
Khi đó, nón pháp tuyến của X tại xk được tính theo cơng thức

NX (xk ) = cone{−∇gi (xk ), i ∈ I(xk )},
trong đó ∇gi (xk ) là véc tơ gradient của hàm gi (x) tại điểm xk .
Chứng minh: Lấy tùy ý v ∗ ∈ NX (xk ). Theo định nghĩa, xk ∈ X là nghiệm
tối ưu của bài toán qui hoạch lồi thỏa mãn điều kiện Slater sau
min v ∗, x
v.đ.k. gi (x) ≤ 0, i = 1, . . . , m.

(Pv∗ )

Theo Định lý Karush Kuhn Tucker (Định lý 6.13, [1]), xk là nghiệm tối

5


ưu của bài toán (Pv∗ ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm

m
∗

µi ∇gi(xk ) = 0
v +



i=1


µi gi(xk ) = 0, i = 1, . . . , m






 µi ≥ 0, i = 1, . . . , m.

Với mỗi i ∈
/ I(xk ), ta có µi = 0 do gi (xk ) = 0. Do đó

µi ∇gi(xk ), trong đó µi ≥ 0, i ∈ I(xk ).

v∗ = −
i∈I(xk )

Điều này đồng nghĩa với v ∗ ∈ cone{−∇gi(xk ), i ∈ I(xk )}.
Ngược lại, lấy tùy ý v ∗ ∈ cone{−∇gi(xk ), i ∈ I(xk )}. Theo định nghĩa
tồn tại µi ≥ 0, i ∈ I(xk ) sao cho v ∗ = −

µi ∇gi(xk ).
i∈I(xk )

Đặt µi = 0 với mọi i ∈
/ I(xk ). Khi đó, hệ sau được thỏa mãn

m
∗

µi ∇gi(xk ) = 0
v
+




i=1


µi gi(xk ) = 0, i = 1, . . . , m





 µi ≥ 0, i = 1, . . . , m.

Theo Định lý Karush Kuhn Tucker, ta có xk là nghiệm tối ưu của bài
toán (Pv∗ ). Do đó, v ∗ ∈ NX (xk ).
Cơng thức tính nón pháp tuyến của tập lồi đa diện tại một điểm có
thể xem là hệ quả trực tiếp của Mệnh đề 1.1. Cụ thể, xét tập lồi đa diện
P ⊂ Rn xác định bởi hệ hữu hạn các bất đẳng thức tuyến tính
ai , x − bi ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m,
trong đó a1 , . . . , am ∈ Rn , b1, . . . , bm ∈ R. Khi đó ta có kết quả sau.
6

(1.2)


Hệ quả 1.2. (xem Bổ đề 3.1, [15] và Định lý 6.46, [24] ) Cho P ⊂ Rn là
tập lồi đa diện xác định bởi hệ (1.2) và xk ∈ P . Khi đó, nón pháp tuyến
của P tại xk ∈ P được xác định bởi
NP (xk ) = cone{−ai , i ∈ I(xk )},
trong đó I(xk ) = {i ∈ {1, . . . , m}| ai , xk − bi = 0}.

Dưới đây là ví dụ minh họa cho cơng thức tính nón pháp tuyến.
Ví dụ 1.1. Xét tập lồi X ⊂ Rn xác định bởi
X = {x ∈ R2 |(x1 − 5)2 + (x2 − 5)2 − 9 ≤ 0, (x1 − 2)2 + (x2 − 2)2 − 9 ≤ 0}
và điểm x0 = (5, 2)T ∈ X.
Ta có
g1 (x) = (x1 − 5)2 + (x2 − 5)2 − 9,
g2 (x) = (x1 − 2)2 + (x2 − 2)2 − 9.
Dễ thấy g1 , g2 : R2 → R là các hàm lồi và điều kiện Slater thỏa mãn. Ta
có



∇g1(x) = 

2(x1 − 5)
2(x2 − 5)





 , ∇g2 (x) = 

2(x1 − 2)
2(x2 − 2)

và I(x0) = {1, 2}.


∇g1(x0) = 

0
−6





 , ∇g2(x0) = 

7

6
0



.



,


Suy ra
NX (x0) = cone{−∇gi(x0), i ∈ I(x0)} = cone{(0, 6)T , (−6, 0)T },
hay
NX (x0) = {v ∈ R2 |v = t1 (0, 6)T − t2 (6, 0)T , t1, t2 ≥ 0},
đây chính là góc phần tư thứ hai trong R2 . Xem Hình 1.3.

X
x0

Hình 1.3: Nón pháp tuyến của X tại x0 .

Ví dụ 1.2. Xét tập lồi đa diện P cho bởi
P = {x ∈ R2 |x1 + x2 − 5 ≤ 0, −x1 ≤ 0, −x2 ≤ 0},
điểm x0 = (2, 3)T ∈ P và x1 = (0, 5)T .
Ta có


a1 = 

1
1





 , a2 = 

−1
0





 , a3 = 

0
−1



.

Tại điểm x0 = (2, 3)T ta có I(x0) = {1}. Do đó
NP (x0) = cone{−a1 } = cone{−(1, 1)T } = {v ∈ R2 |v = −λ(1, 1)T , λ ≥ 0}.
8


Tại điểm x1 = (0, 5)T ta có I(x1) = {1, 2}. Do đó
NP (x1) = cone{−a1 , −a2 } = cone{−(1, 1)T , (1, 0)T }
= {v ∈ R2 |v = −λ1 (1, 1)T + λ2 (1, 0)T , λ1, λ2 ≥ 0}.
Xem minh họa ở Hình 1.4.

x1
x0
P

Hình 1.4: Nón pháp tuyến của P tại x0 , x1 .

1.1.2

Mối quan hệ giữa nón pháp tuyến và tập lồi đa diện

Cho tập lồi khác rỗng X ⊆ Rn . Nón lùi xa của X, kí hiệu recX, là
tập xác định bởi

recX = {d ∈ Rn |x + td ∈ X ∀x ∈ X, ∀t ≥ 0}.
Nón cực dương của tập X, kí hiệu X 0 , được xác định bởi
X 0 = {v ∈ Rn | v, x ≥ 0, ∀x ∈ X}.
Xét tập lồi đa diện P xác định bởi (1.2). Khi đó, nón lùi xa recP và nón
cực dương P 0 được xác định như sau
recP = {x ∈ Rn | ai , x ≤ 0, i = 1, . . . , m},
9

(1.3)


và (xem Bổ đề 6.45, [24])
P 0 = −cone{a1 , . . . , am }.

(1.4)

Kí hiệu
NP (x),

NP =
x∈P

là tập bao gồm tất cả nón pháp tuyến NP (x) tại x ∈ P.
Mệnh đề dưới đây cho ta mối quan hệ giữa NP và recP .
Mệnh đề 1.3. (xem Mệnh đề 3.2, [15]) Cho tập lồi đa diện khác rỗng
P ⊂ Rn . Khi đó, ta có NP = (recP )0 .
Chứng minh: Lấy tùy ý v ∈ NP . Theo định nghĩa, tồn tại x0 ∈ P sao
cho v ∈ NP (x0), tức
v, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ P.

(1.5)

Lấy tùy ý u ∈ recP và t > 0. Theo định nghĩa, x1 = x0 + tu ∈ P. Giả sử
v, u < 0. Suy ra
v, x1 − x0 = v, x0 + tu − x0 = t v, u < 0.
Điều này mâu thuẫn với (1.5) và chứng tỏ rằng v, u ≥ 0 với mọi
u ∈ recP. Theo định nghĩa, ta có v ∈ (recP )0 .
Ngược lại, lấy tùy ý v ∈ (recP )0 . Xét bài toán
min v, x , v.đ.k. x ∈ P.
Nếu bài tốn này có nghiệm x0 thì v ∈ NP (x0). Suy ra v ∈ NP . Nếu bài
tốn khơng có nghiệm, khi đó tồn tại u ∈ recP sao cho v, u < 0. Điều
này trái với giả thiết v ∈ (recP )0 .
10


Cho P ⊂ R2 là tập lồi đa diện xác định như trong Hình 1.5. Khi đó,
ta có thể xác định được recP như trong Hình 1.5 và từ đó ta xác định
được NP , và (recP )0 . Ta có NP = (recP )0 = cone{v 1 , v 2}.

P
v1
recP

v2
Hình 1.5: Minh họa recP , (recP )0 và NP .

Kết quả sau đây khẳng định rằng NP là nón đa diện lồi và cho ta
điều kiện cần và đủ về tính bị chặn của tập lồi đa diện P theo ngơn ngữ
nón pháp tuyến.
Mệnh đề 1.4. (xem Hệ quả 3.3, [15]) Giả sử tập lồi đa diện P khác

rỗng. Khi đó NP là nón đa diện lồi. Hơn nữa, P là bị chặn khi và chỉ
khi NP = Rn .
Chứng minh: Từ (1.3) và (1.4), ta có recP và (recP )0 đều là nón đa diện
lồi. Theo Mệnh đề 1.3, suy ra NP là nón đa diện lồi. Ta đã biết tập lồi
đa diện P bị chặn khi và chỉ khi recP = {0} (xem trang 23, [1]). Cũng
theo Mệnh đề 1.3, ta có P là bị chặn khi và chỉ khi NP = Rn .
Hình 1.6 minh họa nón pháp tuyến của đa diện P ⊂ R2 .
11


P

NP = R2
Hình 1.6: Minh họa NP = R2 .

Cho tập lồi F ⊆ P . Kết quả sau cho ta điều kiện cần và đủ để nhận
biết khi nào thì F là một diện của P .
Mệnh đề 1.5. (xem Mệnh đề 1.9, [1]) Cho tập lồi đa diện P xác định
bởi hệ (1.2). Một tập con lồi F ⊆ P là diện của P khi và chỉ khi tồn tại
một tập chỉ số IF ⊆ {1, . . . , m} sao cho F là tập nghiệm của hệ
ai , x − bi = 0, i ∈ IF
j

(1.6)

a , x − bj ≤ 0, j ∈ {1, . . . , m} \ IF .
Hơn nữa ta còn có dimF = n − rank{ai , i ∈ IF }.
Ở đây, dimF là thứ nguyên của F , rank{ai , i ∈ IF } là số véc tơ độc
lập tuyến tính cực đại trong bộ véc tơ {ai , i ∈ IF }. Để thuận tiện, ta gọi
tập IF là tập chỉ số xác định diện F .

12


Nhắc lại rằng, một điểm x0 ∈ X ⊂ Rn được gọi là điểm trong tương
đối của tập X nếu tồn tại một lân cận U (x0) sao cho
(U (x0) ∩ affX) ⊂ X,
trong đó affX là bao afin của X. Tập tất cả các điểm trong tương đối
của X được kí hiệu là riX.
Cho F là một diện khác rỗng của tập lồi đa diện P . Nếu điểm x0 là
điểm trong tương đối của F thì ta có I(x0) = IF . Lấy tùy ý x và y là
hai điểm trong tương đối của diện F ⊆ P , khi đó NP (x) và NP (y) là
trùng nhau. Do đó ta có thể kí hiệu N (F ) để thay cho NP (x) tại mỗi
điểm trong tương đối x của diện F và gọi N (F ) là nón pháp tuyến của
diện F . Do số diện của P là hữu hạn nên nón NP thực sự chỉ gồm hữu
hạn các nón con đa diện.
Mệnh đề 1.6. (xem Mệnh đề 3.4, [15]) Cho F1 và F2 là các diện của
tập lồi đa diện P . Nếu F1 ⊆ F2 thì N (F2) là một diện của N (F1). Ngược
lại, nếu N là một diện của N (F1) thì tồn tại một diện F của P thỏa
mãn N (F ) = N và F1 ⊆ F . Hơn nữa, F = F1 khi N = N (F1 ).
Chứng minh: Giả sử F1 ⊆ F2 . Khi đó, ta có IF2 ⊆ IF1 . Nếu F1 = F2
thì N (F1 ) = N (F2) và ta có điều phải chứng minh. Do đó ta giả thiết
F1 = F2. Lấy tùy ý x1, x2 lần lượt là điểm trong tương đối của F1 và F2 .
Khi đó ta có
N (F1) = NP (x1), N (F2) = NP (x2).
Lấy tùy ý v 1, v 2 ∈ N (F1) và λ ∈ (0, 1). Đặt v = λv 1 + (1 − λ)v 2 . Dễ
thấy v ∈ N (F1). Cần chứng minh rằng nếu v ∈ N (F2) thì v 1 , v 2 ∈ N (F2).
13