On tap giai tich-sua

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (237.34 KB, 39 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
KHOA SƯ PHẠM TỐN-TIN

BÀI GIẢNG ƠN TẬP GIẢI TÍCH

TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VỪA LÀM VỪA HỌC

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Lời nói đầu 3

1 Đạo hàm 4

1.1 Tính đạo hàm bằng định nghĩa . . . 4

1.2 Tính đạo hàm bằng quy tắc . . . 5

1.3 Tính giới hạn bằng cách ứng dụng đạo hàm . . . 8

1.4 Ứng dụng của đạo hàm vào khảo sát tính chất của hàm số . . . 9

1.5 Ứng dụng đạo hàm xấp xỉ hàm số bởi đa thức . . . 10

2 Nguyên hàm và tích phân 12
2.1 Tính nguyên hàm bằng định nghĩa . . . 12

2.2 Tính nguyên hàm bằng quy tắc . . . 12

2.3 Tính tích phân xác định bằng định nghĩa . . . 14

2.4 Tính tích phân xác định bằng quy tắc . . . 14

2.5 Ứng dụng của tích phân . . . 16

3 Lí thuyết chuỗi 18
3.1 Tính tổng của chuỗi bằng định nghĩa . . . 18

3.2 Xét sự hội tụ của chuỗi số . . . 20

3.3 Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm . . . 23

3.4 Xét tính chất của tổng của chuỗi hàm . . . 26

4 Đề thi 29

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

CHƯƠNG 1

ĐẠO HÀM

Trong chương này, chúng ta ôn tập lại một số dạng bài tập liên quan đến đạo
hàm.

1.1

Tính đạo hàm bằng định nghĩa

1.1.1 Định nghĩa(Đạo hàm). (1) Giả sử hàm sốy= f(x)xác định trên(a,b).
Vớix0∈(a,b), giá trị f0(x0) = lim

x→x0

f(x)−f(x0)
x−x0

được gọi làđạo hàmcủa f(x)
tạix0.

Nếu f(x) có đạo hàm tại mọi x0 ∈(a,b)thì f(x)được gọi là có đạo hàm trên

(a,b).

(2) Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên [x0,b). Khi đó giá trị f0(x+0) =
lim

x→x+0

f(x)− f(x0)

x−x0 được gọi làđạo hàm bên phảicủa f(x)tại x0.

(3) Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên (a,x0]. Khi đó giá trị f0(x−0) =

lim
x→x−0

f(x)− f(x0)
x−x0

được gọi làđạo hàm bên tráicủa f(x)tại x0.

1.1.2 Định nghĩa(Đạo hàm cấp cao). Các khái niệm đạo hàm như trong định nghĩa
trên còn được gọi làđạo hàm cấp 1.

Khi đó, bằng quy nạp, ta gọi đạo hàm cấp 1 của đạo hàm cấpn−1làđạo hàm
cấpn, nghĩa là

f(n)(x) = (f(n−1))0(x).

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Giải. f0(1) =lim
x→1

x2−1

x−1 =xlim→1(x+1) =2. Vậy f

0(1) =2.

1.1.4 Mệnh đề. Giả sửy= f(x)xác định trên(a,b)vàx0 ∈(a,b). Khi đó f(x)có
đạo hàm tạix0 khi và chỉ khi f(x)có đạo hàm bên phải và đạo hàm bên trái tạix0
đồng thời hai đạo hàm này bằng nhau.

1.1.5 Ví dụ. Cho hàm số

f(x) =
(

x2 nếux≥0

−x2 nếux<0.
Tìm đạo hàm của f(x)tạix0 =0.

Giải. Ta có f0(0+) = lim
x→0+

x2−0

x−0 =xlim→0+x=0.

f0(0−) = lim
x→0−

−x2−0

x−0 =xlim→0−(−x) =0.
Vậy f0(0+) = f0(0−) =0. Do đó f0(0) =0.
1.1.6 Ví dụ. Tính đạo hàm f0(0)của hàm số

f(x) =







x2sin1

x nếux6=0

0 nếux=0.

1.1.7 Ví dụ. Tính đạo hàm f0(1)của hàm số
f(x) =

(

x nếux≤1

−x2+2x nếux>1.

1.1.8 Ví dụ. Chứng tỏ hàm số f(x) =|x|23 khơng có đạo hàm tạix=0.

1.1.9 Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm sốy=|x+1|3 tạix=−1.

1.2

Tính đạo hàm bằng quy tắc

1.2.1 Mệnh đề(Phép tốn số học của đạo hàm). Giả sử f(x),g(x)có đạo hàm tại

x0. Khi đó f(x)±g(x), f(x)g(x),

f(x)

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

6 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH

1. (f ±g)0(x0) = f0(x0)±g0(x0).

2. (f g)0(x0) = f0(x0)g(x0) + f(x0)g0(x0).

3.

f
g

(x0) = f

0(x

0)g(x0)− f(x0)g0(x0)

g2(x0) .

Thông thường, chúng ta ít khi tính đạo hàm bằng định nghĩa mà thường tính
bằng các quy tắc. Ba mệnh đề tiếp theo đóng vai trị rất lớn trong việc tính đạo
hàm.

1.2.2 Mệnh đề(Đạo hàm của hàm hợp). Giả sửu(x)có đạo hàm tạix0 và f(u)có
đạo hàm tạiu0=u(x0). Khi đó hàm số hợp f ◦ucó đạo hàm tạix0 và(f ◦u)0(x0) =

f0(u0)u0(x0), viết gọn là

fx0= fu0u0x.

1.2.3 Mệnh đề(Đạo hàm của hàm ngược). Giả sửy= f(x)đơn điệu trên(a,b)và

f0(x0)6=0. Khi đó hàm ngược x=ϕ0(y)của y= f(x)có đạo hàm tại y0 = f(x0)
và

ϕ0(y0) =

1
f0(x0).

1.2.4 Mệnh đề(Đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản). 1. Hàm hằng có đạo hàm
trênRvàc0=0.

2. Hàm luỹ thừa có đạo hàm trên (0,+∞)và(xα)0=αxα−1.

3. Hàm số mũ có đạo hàm trênRvà(ax)0=axlna,(ex)0=ex.

4. Hàm số lơgarit có đạo hàm trên(0,+∞)và(logax)0= 1

xlna,(lnx)

0= 1

x.

5. Hàm số lượng giác có đạo hàm trên miền xác định của nó và

(sinx)0=cosx,(cosx)0=−sinx,(tgx)0= 1

cos2x,(cotgx)

0=− 1

sin2x.

6. Hàm số lượng giác ngượcarcsinxcó đạo hàm trên(−1,1)và

(arcsinx)0= √ 1

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Hàm số lượng giác ngượcarccosxcó đạo hàm trên(−1,1)và

(arccosx)0=−√ 1

1−x2.
Hàm số lượng giác ngượcarctgxcó đạo hàm trênRvà

(arctgx)0= 1
1+x2.

Hàm số lượng giác ngượcarccotgxcó đạo hàm trênRvà

(arccotgx)0=− 1

1+x2.
1.2.5 Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số

f(x) =







x2sin1

x nếux6=0

0 nếux=0.

1.2.6 Nhận xét. 1. Hàm số sơ cấp có đạo hàm (và liên tục) trên tập xác định của
nó.

2. Nếu hàm số f(x)được xác định trên Dbởi cơng thức sơ cấpA(x)vàA(x)có
đạo hàm (liên tục) tại điểmx0∈(a,b)⊂Dthì f(x)có đạo hàm (liên tục) tại

x0.

1.2.7 Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số
f(x) =

(

x nếux≤1

−x2+2x nếux>1.
1.2.8 Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm sốy=|x+1|3.

1.2.9 Ví dụ. Cho hàm số

f(x) =
(

xe−

x2 nếux6=0

0 nếux=0.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

8 BÀI GIẢNG ƠN TẬP GIẢI TÍCH

2. Tính đạo hàm cấp 2 của hàm số.

1.2.10 Ví dụ. Xét tính liên tục của đạo hàm của hàm số
f(x) =








xsin1

x nếux6=0

0 nếux=0.

1.2.11 Ví dụ. Xét tính liên tục của đạo hàm của hàm số
f(x) =








x2sin1

x nếux6=0

0 nếux=0.

1.2.12 Ví dụ. Tính đạo hàm f(6)(x)của hàm số f(x) =sinx.
1.2.13 Ví dụ. Tính đạo hàm f(n)(x)của hàm số f(x) = 1

x2−3x+2.

1.2.14 Ví dụ. Tính đạo hàm f(100)(x)của hàm số f(x) =x2sinx.
1.2.15 Ví dụ. Tính đạo hàm f(n)(x)của hàm số f(x) = x

1−x.

1.3

Tính giới hạn bằng cách ứng dụng đạo hàm

1.3.1 Mệnh đề(Quy tắc L’hopistal). Nếu giới hạn lim
x→x0

f(x)

gx có dạng
0

0hoặc

∞
∞và
lim

x→x0
f0(x)

g0(x)=l thìxlim→x0
f(x)

gx =l.

Chúng ta có thể thayx→x0 bởix→∞,x→x+0,x→x−0.

1.3.2 Ví dụ. Tính các giới hạn sau:
1. lim

x→0

sinx
x .
2. lim

x→0

ln(x+1)

x .
3. lim

x→0

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

1.3.3 Ví dụ. Tính các giới hạn sau:
1. lim

x→0

1
sin2x−

1
x2

.
2. lim

x→1x
1
1−x.

1.3.4 Ví dụ. Tính các giới hạn sau:
1. lim

x→0

tanx−x

x−sinx.
2. lim

x→+∞

lnx

x .
3. lim

x→1

arcsinx

x
1

x2.

1.4

Ứng dụng của đạo hàm vào khảo sát tính chất của

hàm số

1.4.1 Mệnh đề(Fermat). Nếu f(x)đạt cực trị tạix0 và tồn tại đạo hàm f0(x0)thì

f0(x0) =0.

1.4.2 Mệnh đề (Rolle). Nếu f(x)liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) và f(a) =
f(b)thì tồn tạic∈(a,b)sao cho f0(c) =0.

1.4.3 Mệnh đề (Lagrange). Nếu f(x)liên tục trên [a,b], khả vi trên(a,b)thì tồn
tạic∈(a,b)sao cho f0(c) = f(b)− f(a)

b−a .

1.4.4 Mệnh đề (Cauchy). Nếu f(x),g(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) và

g0(x)6=0trên(a,b)thì tồn tạic∈(a,b)sao cho f

0(c)

g0(c)=

f(b)− f(a)
g(b)−g(a).

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

10 BÀI GIẢNG ƠN TẬP GIẢI TÍCH

1.4.6 Ví dụ. Chứng tỏ phương trình x3−3x+c=0 khơng thể có 2 nghiệm phân
biệt trong(0,1).

1.4.7 Ví dụ. Chứng tỏ đa thức f(x) =xn+px+qkhơng thể có 2 nghiệm thực nếu
nchẵn và khơng thể có hơn 3nghiệm thực nếunlẻ.

1.4.8 Ví dụ. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1. ex ≥1+xvới mọix∈R.

2. x−x

2 <ln(1+x)<xvới mọix>0.
3. x−x

3 <sinx<xvới mọi0<x<
π

1.5

Ứng dụng đạo hàm xấp xỉ hàm số bởi đa thức

1.5.1 Mệnh đề(Công thức Taylor). Giả sử f(x)là một hàm liên tục trên [a,b] và
có đạo hàm đến cấpn+1trên(a,b),x0∈(a,b). Khi đó với mọix∈[a,b]ta có

f(x) =
n

∑

k=0

f(k)(x0)

k! (x−x0)
k+R

n(x)

trong đó Rn(x) = f

(n+1)(c)

(n+1)!(x−x0)

n+1 được gọi là phần dư, với c là một số nằm

giữax0 vàx, là một vô cùng bé so với (x−x0)n khix−→x0.

Nếux0 =0thì ta có cơng thức Mac Laurin:

f(x) =
n

∑

k=0

f(k)(0)
k! x

+Rn(x)

trong đóRn(x) =

f(n+1)(c)
(n+1)! x

n+1.

1.5.2 Ví dụ. Khai triển Mac Laurin các hàm số sau:
1. f(x) = 1

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

2. f(x) =√1+x.
3. f(x) = √ 1

1+x.

1.5.3 Ví dụ. Khai triển Mac Laurin các hàm số sau.
1. f(x) =ex.

2. f(x) =sinx.
3. f(x) =cosx.
4. f(x) = (1+x)α.

5. x=ln(1+x).
6. f(x) =arctanx.

1.5.4 Ví dụ. Tính gần đúng các giá trị sau:

1. √10001.

2. √328.
3. √417.
4. arctan 0,51.

1.5.5 Ví dụ. Viết cơng thức Mac Laurin cho y= ln(1+x)

1+x đến số hạngx

4.

1.5.6 Ví dụ. Khai triển Mac Laurin cho hàm f(x) =ln(cosx)đến cấp 5. Từ đó hãy
tính(5)(0).

1.5.7 Ví dụ. Viết cơng thức Taylor choy= (x3−x+1)3 đến số hạng bậc 12 của
(x−1).

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

CHƯƠNG 2

NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

2.1

Tính ngun hàm bằng định nghĩa

2.1.1 Định nghĩa(Nguyên hàm). HàmF(x)được gọi là mộtnguyên hàmcủa hàm
f(x)trênX nếuF0(x) = f(x)với mọix∈X.

2.1.2 Ví dụ. HàmF(x) =x2là một nguyên hàm của f(x) =2xtrênRvì(x2)0=2x
với mọix∈R.

2.1.3 Mệnh đề. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì mọi nguyên hàm của

f(x)đều có dạngF(x) +CvớiClà hằng số.

2.1.4 Định nghĩa (Tích phân bất định). Họ tất cả các nguyên hàm của f(x)trên
(a,b)được gọi làtích phân bất địnhcủa f(x), kí hiệu là

f(x)dx.

2.1.5 Ví dụ. Tích phân bất định của f(x) =2xtrênRlà

2xdx=x2+C.

2.2

Tính nguyên hàm bằng quy tắc

Tiếp theo chúng ta trình bày một số tính chất cơ bản của nguyên hàm.
2.2.1 Mệnh đề. 1.

f(x)dx0= f(x); d
Z

f(x)dx= f(x)dx.

2.

dF(x) =F(x) +C.

3.

(f(x)±g(x))dx=

f(x)dx±

g(x)dx.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

4. Vớiα 6=0,

αf(x)dx=α

f(x)dx.

2.2.2 Mệnh đề(Công thức đổi biến số). Nếuu=u(x)là một hàm khả vi thì

f[u(x)]u0(x)dx=

f(u)du.

2.2.3 Mệnh đề(Cơng thức ngun hàm từng phần). Nếuu,vlà những hàm khả vi
thì

udv=uv−

vdu.

Tiếp theo là bảng nguyên hàm của một số thường gặp.
2.2.4 Mệnh đề. 1.

αdx=αx+C.

2.

Z dx

x =ln|x|+C.

3. Với p6=−1,

xpdx= x
p+1

p+1+C.

4.

axdx= a

x
lna+C.

5.

exdx=ex+C.

6.

cosxdx=sinx+C.

7.

sinxdx=−cosx+C.

8.

Z dx

cos2x=tgx+C.

9.

Z dx

sin2x=−cotgx+C.

10.

Z dx

√

1−x2=arcsinx+C.

11.

Z dx

√

1+x2=arctgx+C.

2.2.5 Ví dụ. Tính I=

Z xdx

x4+2x2+5.

2.2.6 Ví dụ. Tính I=

a2−x2dx.
2.2.7 Ví dụ. Tính I=

xsinxdx.

2.2.8 Ví dụ. Tính I=

lnxdx.

2.2.9 Ví dụ. Tính I=

exsinxdx.

2.2.10 Ví dụ. TínhI =

Z dx

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

14 BÀI GIẢNG ƠN TẬP GIẢI TÍCH

2.3

Tính tích phân xác định bằng định nghĩa

2.3.1 Định nghĩa(Tích phân xác định). Cho hàm sốy= f(x)xác định trên[a,b].
Xét phân hoạch P gồm các điểm chia x)= a< x1 < . . . <xn = b. Với mỗi i =

1, . . . ,n, chọn điểm tuỳ ý ci ∈[xi−1,xi], lập tổng σP =

n
∑
i=1

f(ci)(xi−xi−1) và đặt

|P|=max{xi−xi−1:i=1, . . . ,n}. Khi đó, giới hạn lim

|P|→0σP, nếu tồn tại, được gọi

làtích phân xác địnhcủa f(x)trên[a,b], kí hiệu là

Z b

f(x)dx. Như vậy

Z b

f(x)dx= lim

|P|→0

∑

i=1

f(ci)(xi−xi−1).

Khia=b, ta định nghĩa

Z a

f(x)dx=0.

Khiaa>b, ta định nghĩa

Z b

f(x)dx=−

Z a

f(x)dx.

Nếu tồn tại tích phân

Z b

f(x)dxthì hàm f(x)được gọi làkhả tíchtrên[a,b].
2.3.2 Mệnh đề(Điều kiện cần để hàm khả tích). Nếu hàm f(x)khả tích trên[a,b]

thì f(x)bị chặn trên[a,b].

2.3.3 Mệnh đề (Điều kiện đủ để hàm khả tích). Nếu hàm f(x)liên tục trên [a,b]

thì f(x)khả tích trên[a,b].

2.3.4 Ví dụ. Tính I=

Z b

a
cdx.

2.4

Tính tích phân xác định bằng quy tắc

2.4.1 Mệnh đề. Giả sử f(x),g(x) là hai hàm số liên tục trên đoạn K nào đó và

a,b,c∈K.
1.

Z b

(αf(x) +βg(x))dx=α

Z b

f(x) +β

Z b

g(x)dx.

2.

Z c

f(x)dx=

Z b

f(x)dx+

Z c

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

3. Nếu f(x)≥g(x)với mọix∈[a,b]thì

Z b

f(x)dx≥

Z b

g(x)dx.

2.4.2 Mệnh đề. Nếu f(t) liên tục trên [a,b] và x∈[a,b] thì F(x) =

Z x

f(t)dt là
một nguyên hàm của f(x)trên[a,b].

2.4.3 Mệnh đề(Newton-Leibnitz). Nếu f(x) liên tục vàF(x)là một ngun hàm
của f(x)trên[a,b] thì

Z b

f(x)dx=F(b)−F(a).

2.4.4 Mệnh đề(Cơng thức đổi biến số). Giả sử f(x)liên tục trên[a,b]vàx=ϕ(t)

là một hàm thoả mãnϕ(t)khả vi liên tục trên[α,β],ϕ(t)∈[a,b]với mọit ∈[α,β]

vàϕ(β) =a,ϕ(β) =b. Khi đó

Z b

f(x)dx=

Z β

f(ϕ(t))ϕ0(t)dt.

2.4.5 Ví dụ. Tính tích phân

Z 2

|x2−x|dx.

2.4.6 Ví dụ. Tính tích phân

Z e

x2+1

x lnxdx.

2.4.7 Ví dụ. Tính tích phân

Z e

√

1+3 lnxlnx

x dx.

2.4.8 Ví dụ. Tính tích phân

Z 2

1+√x−1dx.

2.4.9 Ví dụ. Tính tích phân

Z e

x2ln2xdx.

2.4.10 Ví dụ. Tính tích phân

Z 3

x3+1

x lnxdx.

2.4.11 Ví dụ. Tính tích phân

Z 9

x√3 1−xdx.
2.4.12 Ví dụ. Tính tích phân

Z 3

|x2−2x+m|dxvới
1. m=1.

2. m<−3.

2.4.13 Ví dụ. Tính tích phân

Z π2

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

16 BÀI GIẢNG ƠN TẬP GIẢI TÍCH

2.4.14 Ví dụ. Tính tích phân

Z 1

(2x+1)3dx.

2.4.15 Ví dụ. Tính tích phân

Z π2

sinx
cos2x+3dx.

2.5

Ứng dụng của tích phân

Tích phân có rất nhiều ứng dụng trong lí thuyết cũng như thực tế. Trong mục
này chúng tôi chỉ đề cập đến ứng dụng tích phân vào tính diện tích và thể tích.
2.5.1 Mệnh đề (Diện tích của hình phẳng). Giả sử f(x),g(x) liên tục trên [a,b].
Khi đó diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị của f(x), g(x)trên

[a,b]và hai đường thẳng x=a,x=blà

Z b

|f(x)−g(x)|dx.

2.5.2 Mệnh đề(Thể tích của vật thể trịn xoay quanhOx). Thể tích của vật thể trịn
xoay khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục y= f(x)

trên[a,b], trụcOxvà hai đường thẳngx=a,x=bquanh trụcOxlà

V =π

Z b

f2(x)dx.

2.5.3 Mệnh đề(Thể tích của vật thể trịn xoay quanhOy). Thể tích của vật thể trịn
xoay khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục x=g(y)

trên[c,d], trụcOyvà hai đường thẳngy=c,y=dquanh trụcOylà

V =π

Z d

g2(y)dy.

2.5.4 Ví dụ. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đườngy=|x2−4x+3|

vày=x+3.

2.5.5 Ví dụ. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đườngxy=1,xy=2,
y=x,y=3xvớix,y>0.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

1. Tính diện tích của miềnD.

2. Tính thể tích của vật thể tròn xoay nhận được khi quay miền D quanh trục
Ox.

3. Tính thể tích của vật thể trịn xoay nhận được khi quay miềnDquanh trụcOy.
2.5.7 Ví dụ. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y=2−x2,
y3 =x2.

2.5.8 Ví dụ. Tính thể tích khối trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đườngy=√x,x=3,y=0quanh trụcOx.

2.5.9 Ví dụ. Tính thể tích khối trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đườngy=sin2x,x=3,y=4quanh

1. trụcOx.

2. đường thẳngx=2.

2.5.10 Ví dụ. Tính thể tích khối trịn xoay khi quay hình phẳng được xác định bởi
x2−2x≤y≤3,1≤x≤3

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

CHƯƠNG 3

LÍ THUYẾT CHUỖI

3.1

Tính tổng của chuỗi bằng định nghĩa

Dạng bài tập này đòi hỏi người học phải nắm vững khái niệm tổng của chuỗi.
3.1.1 Định nghĩa(Chuỗi số). Giả sử {un}n là một dãy số. Khi đó tổng hình thức
u1+u2+. . .+un+. . . hay

∞

∑
n=1

un được gọi là mộtchuỗi số.

Với mọi n∈N, un được gọi là số hạng tổng quát của chuỗi còn giá trị Sn =
n

∑
i=1

ui=u1+. . .+un được gọi làtổng riêng thứncủa chuỗi.

Nếu tồn tạilimSn=S∈Rthì chuỗi ∑∞
n=1

un được gọi làhội tụvà ta viết

∞

∑

n=1

un=S.

Giá trịSđược gọi làtổng của chuỗi. Chuỗi không hội tụ được gọi làphân kì.
Chuỗi ∑∞

i=n+1

ui được gọi làphần dư thứncủa chuỗi.

3.1.2 Ví dụ(Chuỗi cấp số nhân). Với q∈R, chuỗi ∑∞

n=1

qn được gọi làchuỗi cấp số
nhân.

Tổng riêng thứncủa chuỗi cấp số nhân

Sn=q+. . .+qn=







n nếuq=1,
qq

n−1

q−1 nếuq6=1.

Chuỗi hội tụ nếu|q|<1, phân kì nếu|q| ≥1. Hơn nữa, nếu nếu|q|<1thì ∑∞
n=1

qn=

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

1−qvà nếuq≥1thì

∞

∑
n=1

qn= +∞.

3.1.3 Định nghĩa. Giả sử{un(x)}n là một dãy hàm xác định trênX.
(a) u1(x) +u2(x) +. . .+un(x) +. . . hay

∞

∑
n=1

un(x) được gọi là một chuỗi hàm

xác định trênX, ở đây, với mỗix∈X, ∑∞
n=1

un(x)là một chuỗi số.
(b) Nếu tạix0∈X, chuỗi số ∑∞

n=1

un(x0)hội tụ thì chuỗi hàm

∞

∑
n=1

un(x)được gọi
làhội tụtại x0; ngược lại, chuỗi hàm

∞

∑
n=1

un(x)được gọi làphân kìtại x0.

un(x)được gọi là tổng riêng thứncủa chuỗi
hàm ∑∞

n=1

un(x). Với mỗix∈X, giới hạn hữu hạn của dãy tổng riêng{Sn(x)}n (nếu
có) được gọi làtổngcủa chuỗi hàm ∑∞

n=1

un(x)và ta viết

∞

∑

n=1

un(x) =limSn(x).

(d) Nếu dãy hàm{Sn(x)}nhội tụ đều trênX thì chuỗi hàm

∞

∑
n=1

un(x)được gọi là

hội tụ đềutrênX.
(e) Chuỗi hàm ∑∞

n=1

un(x)được gọi làhội tụ tuyệt đốitrênX nếu chuỗi ∑∞
n=1

|un(x)|

hội tụ trênX.

3.1.4 Ví dụ. Xét dãy hàm{xn}nvớix∈R. Khi đó ta có chuỗi hàm

∞

∑
n=1

xn.
Tổng riêng thứn:Sn(x) =

n
∑
i=1

xn=x1

−xn

1−x.

Nếu |x| <1 thì limSn(x) =
x

1−x, do đó chuỗi hàm

∞

∑
n=1

xn hội tụ và ∑∞
n=1

xn =
x

1−x.

Nếu|x| ≥1thì khơng tồn tại giới hạn hữu hạnlimSn(x), do đó chuỗi hàm ∑∞
n=1

xn
phân kì.

3.1.5 Ví dụ. Tính tổng của chuỗi số ∑∞
n=1

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

20 BÀI GIẢNG ƠN TẬP GIẢI TÍCH

3.2

Xét sự hội tụ của chuỗi số

Để xét sự hội tụ của chuỗi số chúng ta có thể sử dụng hai cách.

Cách 1: Tính tổng của chuỗi số, nếu tổng là một số thực thì kết luận chuỗi số
hội tụ. Cách này trở về bài tốn tính tổng của chuỗi số.

Cách 2: Xét chuỗi số đã cho thuộc loại nào (chuỗi dương, chuỗi đan dấu, chuỗi
có dấu bất kì, . . . ) rồi sử dụng những dấu hiệu phù hợp.

3.2.1 Mệnh đề. Chuỗi ∑∞
n=1

unhội tụ khi và chỉ khi với mọiε>0, tồn tạin0sao cho
với mọin≥n0, với mọi p∈Nta có |un+1+. . .+un+p|<ε.

3.2.2 Hệ quả(Điều kiện cần của chuỗi hội tụ). Nếu chuỗi

∞

∑
n=1

unhội tụ thìlimun=
0.

Một cách tương đương, nếulimun6=0thì chuỗi

∞

∑
n=1

un phân kì.

3.2.3 Ví dụ. Xét chuỗi cấp số nhân, với|q| ≥1ta cólimqn6=0, suy ra chuỗi phân
kì.

3.2.4 Mệnh đề(Tính chất số học của chuỗi). Giả sử ∑∞
n=1

un, ∑∞
n=1

vn là hai chuỗi hội

tụ. Khi đó, vớia,b∈R, chuỗi

∞

∑
n=1

(aun+bvn)là một chuỗi hội tụ và

∞

∑

n=1

(aun+bvn) =a

∞

∑

n=1

un+b

∞

∑

n=1

vn.

3.2.5 Định nghĩa (Chuỗi số dương). Chuỗi số ∑∞
n=1

un được gọi là chuỗi số dương

nếuun ≥0với mọin∈N.
3.2.6 Ví dụ. Chuỗi ∑∞

n=1

2n là một chuỗi số dương.

3.2.7 Mệnh đề. Chuỗi số dương hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng của nó bị chặn
trên (bị chặn).

3.2.8 Ví dụ. Chứng minh rằng chuỗi số ∑∞
n=1

n2hội tụ.

Giải. Tổng riêng thứncủa chuỗi đã cho là

Sn=
n

∑

i=1

i2 <1+

1
1.2+

2.3+. . .+
1

n(n+1)=2−
1

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

3.2.9 Mệnh đề(Dấu hiệu so sánh). Giả sử ∑∞
n=1

an,

∞

∑
n=1

bnlà hai chuỗi số dương. Khi

đó

(1) Nếu tồn tạic>0vàn0 sao cho an ≤cbn với mọi n≥n0 thì chuỗi

∞

∑
n=1

bn hội tụ

kéo theo chuỗi

∞

∑
n=1

anhội tụ, chuỗi

∞

∑
n=1

an phân kì kéo theo chuỗi

∞

∑
n=1

bnphân kì.

Đặc biệt vớic=1ta cóan≤cbn trở thànhan ≤bn.

(2) Nếuliman

bn =k∈[0,+∞)thì chuỗi

∞

∑
n=1

bnhội tụ kéo theo chuỗi

∞

∑
n=1

an hội tụ.

(3) Nếuliman
bn

=k∈(0,+∞]thì chuỗi ∑∞
n=1

bn phân kì kéo theo chuỗi ∑∞
n=1

anphân kì.

(4) Nếuliman

bn=k∈(0,+∞)thì chuỗi

∞

∑
n=1

bnvà chuỗi

∞

∑
n=1

ancùng hội tụ hoặc phân

kì.

3.2.10 Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi ∑∞
n=1

ntg π
2n+1.
Giải. Vớix∈[0,π

4], ta cótgx≤2x. Do đó với mọin∈Nta có
ntg π

2n+1≤n

2π

2n+1 =π

n
2n.

Ta có lim
n

=limn

2n =0 và chuỗi

∞

∑
n=1

n2 hội tụ nên chuỗi

∞

∑
n=1

2n hội tụ. Vậy
chuỗi ∑∞

n=1

π
n

2n hội tụ, suy ra chuỗi đã cho hội tụ.

3.2.11 Mệnh đề (Dấu hiệu Cauchy). Giả sử

∞

∑
n=1

an là chuỗi số dương và tồn tại

lim√n a

n=C. Khi đó

(1) NếuC<1thì chuỗi hội tụ.

(2) NếuC>1thì chuỗi phân kì.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

22 BÀI GIẢNG ƠN TẬP GIẢI TÍCH

3.2.12 Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi ∑∞
n=1

2n−1

3n−2

n
.

Giải. Vìlim n

2n−1

3n−2

n
= 2

3<1nên chuỗi đã cho hội tụ.
3.2.13 Mệnh đề(Dấu hiệu D’lambert). Giả sử ∑∞

n=1

an là chuỗi số dương và tồn tại

liman+1

an =D. Khi đó

(1) NếuD<1thì chuỗi hội tụ.

(2) NếuD>1thì chuỗi phân kì.

(3) NếuD=1thì chưa có kết luận về sự hội tụ của chuỗi.

3.2.14 Mệnh đề(Dấu hiệu tích phân). Giả sử f(x)là một hàm dương và giảm trên

[1,+∞). Khi đó chuỗi
+∞

∑
n=1

f(n)và tích phân suy rộng

Z +∞

f(x)dxcùng hội tụ hoặc
phân kì.

3.2.15 Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi số

+∞

∑
n=1

1
nlnn.

Giải. Xét f(x) = 1

xlnxtrên[1,+∞), ta có f(x)dương, giảm và

Z +∞

f(x)dx= lim
b→+∞

ln(lnx)

1= +∞.

Vậy chuỗi đã cho phân kì.

3.2.16 Định nghĩa(Chuỗi đan dấu). Chuỗi ∑∞
n=1

(−1)nunđược gọi làchuỗi đan dấu.
3.2.17 Ví dụ. Chuỗi ∑∞

n=1

(−1)n là chuỗi đan dấu.
3.2.18 Mệnh đề(Dấu hiệu Leibnitz). Giả sử ∑∞

n=1

(−1)nanlà chuỗi đan dấu và{an}n

là dãy số dương giảm về 0. Khi đó chuỗi ∑∞
n=1

(−1)nan hội tụ.

3.2.19 Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi ∑∞
n=1

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Giải. Chuỗi đã cho là chuỗi đan dấu và{1

n}nlà dãy số dương giảm về 0. Vậy chuỗi
đã cho là chuỗi hội tụ.

3.2.20 Định nghĩa (Chuỗi hội tụ tuyệt đối). Chuỗi ∑∞
n=1

an được gọi là hội tụ tuyệt
đối nếu chuỗi ∑∞

n=1

|an|hội tụ.

3.2.21 Mệnh đề. Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối là một chuỗi hội tụ.

3.2.22 Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi ∑∞
n=1

cosn

n2 .
Giải. Ta có

cosn

≤

n2 với mọin∈N. Kết hợp với chuỗi

∞

∑
n=1

n2 hội tụ nên ta có

chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối. Vậy chuỗi đã cho hội tụ.
3.2.23 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑∞

n=1

an vớian như sau.
1. an = 2n

n2+n+1.

2. an = 2
nn!
nn .

3. an= (n!)

(2n)!.

4. an=ln(1+tg1
n2).

5. an=
n

√

n
n2.

6. an= 1
n2

n+1

2
.
3.2.24 Ví dụ. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau.

1. ∑∞
n=1

1
nln(1+n).
2. ∑∞

n=1

(−1)n

√

n+ (−1)n.

3. ∑∞
n=1

1
nlnn.
4. ∑∞

n=1

1
lnn!.

5. ∑∞
n=1

enn1
nn .
6. ∑∞

n=1

1+1

n
n2

e−n.

3.3

Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

Để tìm miền hội tụ của chuỗi hàm chúng ta có thể sử dụng hai cách.

Cách 1: Tính tổng của chuỗi hàm, nếu trên miền X tổng là một hàm số thì kết
luận chuỗi hàm hội tụ trênX. Cách này trở về bài toán tính tổng của chuỗi hàm.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

24 BÀI GIẢNG ƠN TẬP GIẢI TÍCH

Trong trường hợp chuỗi luỹ thừa thì tìm bán kính hội tụRrồi xét thêm sự hội tụ
của chuỗi tại±R.

3.3.1 Mệnh đề(Weierstrass). Nếu |un(x)| ≤cn với mọi n∈N, x∈X và chuỗi số

∞

∑
n=1

cn hội tụ thì chuỗi hàm ∑∞
n=1

un(x)hội tụ tuyệt đối và đều trênX.

3.3.2 Ví dụ. Chứng minh rằng chuỗi hàm ∑∞
n=1

sinnx

n3 hội tụ tuyệt đối và đều trênR.
Giải. Ta có

sinnx

≤

n3 với mọi x∈R và n∈N. Vì chuỗi số

∞

∑
n=1

n3 hội tụ nên

chuỗi hàm đã cho hội tụ tuyệt đối và đều.

3.3.3 Định nghĩa. Chuỗi luỹ thừalà chuỗi hàm có dạng

∞

∑

n=0

an(x−x0)n,

vớian là hằng số với mọin=0,1,2, . . .,x0 là hằng số vàx∈X.

Khix0=0thì chuỗi luỹ thừa có dạng

∞

∑
n=0

anxn.

Khi x0 6= 0, nếu đặt X = x−x0 thì chuỗi luỹ thừa ∑∞

n=0

an(x−x0)n trở thành

∞

∑
n=0

anXn.

Chúng ta có thể thayn=0trong ∑∞
n=0

anxn bởin=n0 vớin0 nào đó thuộcZ.
3.3.4 Mệnh đề(Abel). Nếu chuỗi lũy thừa ∑∞

n=0

anxn hội tụ tạix06=0thì nó hội tụ
tuyệt đối tạixmà|x|<|x0|.

3.3.5 Định nghĩa. Giá trị R=sup{|x|: ∑∞
n=0

anxn hội tụ} được gọi làbán kính hội

tụcủa chuỗi lũy thừa ∑∞
n=0

anxn.

3.3.6 Nhận xét. Giả sử Rlà bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑∞
n=0

anxn. Khi đó
1. Rlà giá trị thoả mãn chuỗi lũy thừa ∑∞

n=0

anxn hội tụ với mọi|x|<Rvà phân kì
với mọi|x|>R.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

3. Nếu R= +∞thì chuỗi hội tụ tại mọix∈R.

Như vậy để tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa chúng ta có thể đi tìm bán kính

hội tụ của nó.

3.3.7 Mệnh đề. Giả sử chuỗi lũy thừa ∑∞
n=0

anxn thoả mãn lim

|an+1|

|an| = r hoặc

limpn

|an|=r. Khi đó bán kính hội tụ

R=











1

r nếur6=0,

0 nếur= +∞,

+∞ nếur=0.

Bài toán xét sự hội tụ của chuỗi hàm có nghĩa là tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
đó. Để tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa chúng ta đi tìm bán kính hội tụRvà xét
sự hội tụ tại hai giá trị cụ thểx=±RnếuR∈(0,+∞).

3.3.8 Ví dụ. Xét sự hội tụ của các chuỗi luỹ thừa

1. ∑∞
n=0

xn
n!.
2. ∑∞

n=0

nnxn.

3. ∑∞
n=1

(x+2)n
n3n .
4. ∑∞

n=1

xn
n.

Giải. (1). Ta có

an+1
an

=
1

n+1→0 khin→∞. Do đó bán kính hội tụ của chuỗi
đã cho làR= +∞. Vậy chuỗi hội tụ trênR.

(2). Ta có limpn |an| =limn = +∞ nên R =0. Vậy chuỗi lũy thừa hội tụ tại
điểm duy nhấtx=0.

(3). Đặt X =x+2 ta có chuỗi ∑∞
n=1

n3n. Vì lim

|an+1|

|an|

=lim n

3(n+1)=

1
3. Vậy
bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑∞

n=1

n3nlàR=3.

TạiX =3, ta có chuỗi ∑∞

n=1

nphân kì.
TạiX =−3ta có chuỗi ∑∞

n=1

(−1)n

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

26 BÀI GIẢNG ƠN TẬP GIẢI TÍCH

Vậy miền hội tụ làX ∈[−3,3)hay x∈[−5,1).

3.3.9 Ví dụ. Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm sau.

1. ∑∞
n=1

np với p∈R.
2. ∑∞

n=1

(n!)2
(2n!)2x

n.

3. ∑∞
n=1

2n+1

1−x

1+x

n
.

4. ∑∞
n=1

xn
n2.

5. ∑∞
n=1

1+1

n
n2

xn.

6. ∑∞
n=1

3n+ (−2)n

n (x+1)
n.

3.4

Xét tính chất của tổng của chuỗi hàm

Khi ∑∞

n=1

un(x) hội tụ trên X, ta có hàm một biến số u(x) = ∑∞
n=1

un(x) xác định
trênX. Vấn đề đặt ra là nghiên cứu tính liên tục, khả vi và khả tích củau(x)trênX.

Cách 1. Tính tổng u(x)cụ thể của chuỗi hàm ∑∞
n=0

un(x)đã cho và xét trực tiếp
tính chất củau(x). Cách này dẫn đến bài tốn tính tổng của chuỗi hàm.

Cách 2. Sử dụng dấu hiệu tương ứng với tính chất cần xét.

3.4.1 Mệnh đề (Tính liên tục của tổng chuỗi hàm). Giả sử un(x) liên tục trên X

với mọin∈N, ∑∞
n−1

un(x)hội tụ đều và

∞

∑
n=1

un(x) =u(x)trênX. Khi đóu(x)liên tục

trênX.

3.4.2 Mệnh đề(Tính khả tích của tổng chuỗi hàm). Giả sửun(x)liên tục trên[a,b]

với mọin∈N, ∑∞
n−1

un(x)hội tụ đều và ∑∞
n=1

un(x) =u(x)trên[a,b]. Khi đóu(x)khả
tích trên[a,b]và

∞

∑

n=1

Z b

un(x)dx=

Z b

∞

∑

n−1

un(x)dx=

Z b

u(x)dx.

3.4.3 Mệnh đề(Tính khả vi của tổng chuỗi hàm). Giả sửu0n(x)liên tục trên[a,b]

với mọin∈N, chuỗi ∑∞
n=1

un(x)hội tụ, ∑∞
n=1

u0n(x)hội tụ đều và ∑∞
n=1

un(x) =u(x)trên

[a,b]. Khi đóu(x)khả vi trên[a,b] và

∞

∑

n=1

un(x)0=u0(x) =

∞

∑

n=1

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Những tính chất này được cụ thể vào chuỗi lũy thừa như sau.
3.4.4 Mệnh đề. Nếu chuỗi lũy thừa

∞

∑
n=0

anxn có bán kính hội tụ Rthì chuỗi hội tụ

tuyệt đối và đều trên[−r,r] với mọi0<r<R.

3.4.5 Mệnh đề. Giả sử chuỗi lũy thừa ∑∞
n=0

anxn có bán kính hội tụ làR. Khi đó

1. Hàmu(x) = ∑∞

n=0

un(x)liên tục trên(−R,R).
2. Với mọix∈(−R,R)ta có

Z x

u(t)dt=

∞

∑

n=0

Z x

antndt=

∞

∑

n=0

n+1x

n+1.

3. Với mọix∈(−R,R)ta cóu0(x) = ∑∞
n=0

nanxn−1.

3.4.6 Mệnh đề. Giả sử chuỗi lũy thừa u(x) = ∑∞
n=0

anxn có bán kính hội tụ R ∈

(0,+∞). Khi đó

1. Nếu chuỗi số

∞

∑
n=0

anRn hội tụ thì lim
x→R−

u(x) = ∑∞
n=0

anRn.

2. Nếu chuỗi số ∑∞
n=0

an(−R)n hội tụ thì lim
x→−R+

u(x) = ∑∞
n=0

an(−R)n.
3.4.7 Ví dụ. Chứng minh rằng chuỗi hàm ∑∞

n=1

sinnx

n3 liên tục trênR.

Giải. Ta có

sinnx
n3

≤
1

n3 với mọi x∈R và n∈N. Vì chuỗi số

∞

∑
n=1

n3 hội tụ nên

chuỗi hàm đã cho hội tụ tuyệt đối và đều.
Mặt khác,un(x) = sinnx

n3 liên tục trênRnên chuỗi hàm đã cho liên tục trênR.

3.4.8 Ví dụ. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm ∑∞
n=1

(−1)n−1(x−2)
n

3n .

3.4.9 Ví dụ. Tính tổng của chuỗi luỹ thừa ∑∞
n=1

n(n+1)xn−2.

3.4.10 Ví dụ. Cho chuỗi hàm ∑∞
n=1

(−1)n

3n (2x−1)

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

28 BÀI GIẢNG ƠN TẬP GIẢI TÍCH

(a) Tìm miền hội tụ của chuỗi đã cho.

(b) Tính tổng của chuỗi đã cho trong miền hội tụ của nó.
3.4.11 Ví dụ. Tính tổng của chuỗi hàm ∑∞

n=1

n(n+1)xn−2 trong miền hội tụ của nó.

3.4.12 Ví dụ. Cho chuỗi hàm ∑∞
n=1

2n(x+2)
n.

(a) Tìm miền hội tụ và hội tụ đều của chuỗi đã cho.
(b) Tính tổng của chuỗi đã cho trong miền hội tụ.

3.4.13 Ví dụ. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm ∑∞
n=1

(2n+3n)xn.

3.4.14 Ví dụ. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm ∑∞
n=1

(−1)nn x−1
x+1

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

ĐỀ THI

Trong chương này chúng tơi trình bày một số đề thi để các học viên tham khảo.

TRƯỜNG ĐHSP ĐỒNG THÁP Đề thi tuyển sinh đại học lt năm 2008

ĐỀ SỐ 1 Mơn thi: Giải tích

Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. (2 điểm)

1. Tìm đạo hàm f0(x)của hàm số f(x) =







x2008sin1

x nếux6=0,

0 nếux=0.

2. Tìm đạo hàm f(2008)(x)của hàm số f(x) = 2x+3

x2+3x+2vớix=6 −1,x6=−2.
Câu 2. (2 điểm)

1. Chứng minh rằngex ≥x+1với mọix∈R.

2. Áp dụng công thức f(x)' f(x0) + f0(x0)∆xtính gần đúng√101.
Câu 3. (2 điểm)

1. Tính tích phânI =

Z π2

sinxcosx

sin2x+2dx.

2. Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi elip x

a2+

b2=1vớia,b>0.

Câu 4. (2 điểm)

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

30 BÀI GIẢNG ƠN TẬP GIẢI TÍCH

1. Tính tổng

∞

∑

n=1

2−n.

2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

∞

∑

n=1

xn
n2+1.
Câu 5. (2 điểm)

1. Chứng minh rằng0≤

Z 1

x2008ex2dx≤e.

2. Khai triển Taylor hàm số f(x) =x4+1tạix=1.
 Hết 
-Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm

TRƯỜNG ĐHSP ĐỒNG THÁP Đề thi tuyển sinh đại học lt năm 2008

ĐỀ SỐ 2 Mơn thi: Giải tích

Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. (2 điểm)

1. Tìm đạo hàm f0(x)của hàm số f(x) =|x−2008|.
2. Tìm đạo hàm f(2008)(x)của hàm số f(x) = 2x+4

x2+4x+3vớix=6 −1,x6=−3.

Câu 2. (2 điểm)

1. Chứng minh rằngx≥sinxvới mọix≥0.

2. Áp dụng cơng thức f(x)' f(x0) + f0(x0)∆xtính gần đúng

√

99.
Câu 3. (2 điểm)

1. Tính tích phânI =

Z π2

sinx

cosx+2dx.

2. Tính thể tích của của vật thể trịn xoay khi quay elip x

a2+
y2

b2=1vớia,b>0
quanh trụcOx.

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

1. Tính tổng

∞

∑

n=1

3−n.

2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

∞

∑

n=1

xn
n+2.
Câu 5. (2 điểm)

1. Chứng minh rằng0≤

Z 1

x2008sinx2dx≤1.
2. Khai triển Taylor hàm số f(x) =x3+1tạix=2.

Đề thi tuyển sinh đại học liên thông năm 2010
Môn thi: Giải tích

Đề số 1
Câu 1. (2 điểm)

1. Tìm đạo hàm f0(x)của hàm số f(x) =







x2010cos1

x nếux6=0,

0 nếux=0.

2. Tìm đạo hàm f(2010)(x)của hàm số f(x) = 1

x2+3x+2vớix=6 −1,x6=−2.

Câu 2. (2 điểm)

1. Chứng minh rằngex ≥exvới mọix≥1.
2. Tính giới hạn lim

x→0

tgx−x

sinx−x.
Câu 3. (2 điểm)

1. Tính tích phânI =

Z ln 2

√

ex−1dx.

2. Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi parabol y= x2 và đường
thẳngx+y=2.

Câu 4. (2 điểm)

1. Xét sự hội tụ của chuỗi số

∞

∑

n=1

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

32 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH

2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

∞

∑

n=1

xn
n2010+1.
Câu 5. (2 điểm) nguyên hàm

1. Chứng minh rằng0≤

Z 1

x2010cosπx

2dx≤1.

2. Khai triển Taylor hàm số f(x) =x4+x3+x2+1tạix0=1.

Đề thi tuyển sinh đại học liên thơng năm 2010
Mơn thi: Giải tích

Đề số 2
Câu 1. (2 điểm)

1. Tìm đạo hàm f0(x)của hàm số f(x) =
(

x2010 nếux≥0,

−x2010 nếux<0.
2. Tìm đạo hàm f(2010)(x)của hàm số f(x) =lnxvớix>0.
Câu 2. (2 điểm)

1. Chứng minh rằngsinx≤xvới mọix≥0.
2. Tính giới hạn lim

x→+∞

x2
2x.
Câu 3. (2 điểm)

1. Tính tích phânI =

Z π2

(x+2010)cosxdx.

2. Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi hai parabol y=x2 và y=
2−x2.

Câu 4. (2 điểm)

1. Xét sự hội tụ của chuỗi số

∞

∑

n=1

n
(2n)!.

2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

∞

∑

n=1

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Câu 5. (2 điểm)

1. Chứng minh rằng0≤

Z 1

x2010sinxdx≤1.

2. Khai triển Taylor hàm số f(x) =x4−x3+x2−1tạix0=1.

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LIÊN THƠNG NĂM 2011

ĐỀ SỐ1 Mơn thi: Giải tích

Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề

Câu 1. (2 điểm)

1. Tìm đạo hàm f0(x)của hàm số f(x) =







2011xcos2011

x nếux6=0,

0 nếux=0.

2. Tìm đạo hàm f(2011)(x)của hàm số f(x) = x

1+xvớix6=−1.

Câu 2. (2 điểm)

1. Chứng minh rằnglnx<x+1với mọix≥1.
2. Tính giới hạn lim

x→0

2011x−1

sinx .

Câu 3. (2 điểm)

1. Tính tích phânI =

Z π

sinx
cos2x+3dx.

2. Tính thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi hình phẳng được giới hạn bởi các
đườngy=√x,y=0vàx=2011quay quanh trụcOx.

Câu 4. (2 điểm)

1. Xét sự hội tụ của chuỗi số

∞

∑

n=1

cos 2011n
n2011 .

2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

∞

∑

n=1

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

1. Chứng minh rằng0≤

Z 1

x2011ex2011dx≤e.

2. Biểu diễn hàm số f(x) =x4−x3+x2−1dưới dạng tổng của các lũy thừa của
(x−2).

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LIÊN THÔNG NĂM 2011

ĐỀ SỐ2 Mơn thi: Giải tích

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1. (2 điểm)

1. Tìm đạo hàm f0(x)của hàm số f(x) =
(

x2011 nếux≥0,

−x2011 nếux<0.
2. Tìm đạo hàm f(2011)(x)của hàm số f(x) =lnxvớix>0.
Câu 2. (2 điểm)

1. Chứng minh rằngsinx≤xvới mọix≥0.
2. Tính giới hạn lim

x→+∞

x2
2011x.
Câu 3. (2 điểm)

1. Tính tích phânI =

Z π

(x+2011)sinxdx.

2. Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi hai đường y= x2 và y=
8−x2.

Câu 4. (2 điểm)

1. Xét sự hội tụ của chuỗi số

∞

∑

n=1

sin 2011n

2011n2 .

2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

∞

∑

n=1

xn
2011n+1.
Câu 5. (2 điểm)

1. Chứng minh rằng0≤

Z 1

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

(x−1).

TRƯỜNG ĐH ĐỒNG THÁP ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐHLT NĂM 2012

ĐỀ SỐ1 Mơn thi: Giải tích

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1. (2 điểm)

1. Tìm đạo hàm f0(x)của hàm số f(x) =







x.cos2012

x nếux6=0,

0 nếux=0.

2. Tìm đạo hàm f(2012)(x)của hàm số f(x) =ln(x+2012)vớix>−2012.
Câu 2. (2 điểm)

1. Chứng minh rằnglnx≤x−1với mọix>0.

2. Tính giới hạn lim

x→+∞

2012x
2012x.
Câu 3. (2 điểm)

1. Tính tích phânI =

Z π

cosx

sinx+3dx.

2. Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đườngy=x2 vày−3x+

2=0.

Câu 4. (2 điểm)

1. Xét sự hội tụ của chuỗi số

∞

∑

n=1

sinn

n2012.

2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

∞

∑

n=1

xn
n+2012.
Câu 5. (2 điểm)

1. Chứng minh rằng0≤

Z 1

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

36 BÀI GIẢNG ƠN TẬP GIẢI TÍCH

2. Biểu diễn hàm số f(x) =x5−x3+1 dưới dạng tổng của các lũy thừa của
(x−1).

———— Hết ————

Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm

TRƯỜNG ĐH ĐỒNG THÁP ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐHLT NĂM 2012

ĐỀ SỐ2 Mơn thi: Giải tích

Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian phát đề
Câu 1. (2 điểm)

1. Tìm đạo hàm f0(x)của hàm số f(x) =
(

x2012 nếux≥0,

−x2012 nếux<0.
2. Tìm đạo hàm f(2012)(x)của hàm số f(x) =lnxvớix>0.
Câu 2. (2 điểm)

1. Chứng minh rằngex ≥1+xvới mọix∈R.
2. Tính giới hạn lim

x→+∞

x2
2012x.
Câu 3. (2 điểm)

1. Tính tích phânI =

Z π2

(x+2012)cosxdx.

2. Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi hai đườngy=x2vày−5x+

6=0.

Câu 4. (2 điểm)

1. Xét sự hội tụ của chuỗi số

∞

∑

n=1

cos(2012n)

2012n3 .

2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

∞

∑

n=1

xn
2012n+3.
Câu 5. (2 điểm)

1. Chứng minh rằng0≤

Z 1

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

———— Hết ————

Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm

TRƯỜNG ĐH ĐỒNG THÁP ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LIÊN THÔNG NĂM 2013

ĐỀ SỐ1 Mơn thi: Giải tích

Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian phát đề
Câu 1. (2 điểm)

1. Tìm đạo hàm f0(x)của hàm số f(x) =







2014

x nếux6=0,

0 nếux=0.

2. Tìm đạo hàm f(2014)(x)của hàm số f(x) = 2x+5

x2+5x+4vớix=6 −1,x6=−4.

Câu 2. (2 điểm)

1. Chứng minh rằngex ≥x+1với mọix∈R.
2. Tính giới hạn lim

x→+∞

ln(2013+x)

2013x .

Câu 3. (2 điểm)

1. Tính tích phânI =

Z π2

(x+2013).cosxdx.

2. Tính thể tích của vật thể trịn xoay khi quay hình phẳng được giới hạn bởi
y=x2,x=1,y=0quanh trụcOx.

Câu 4. (2 điểm)

1. Xét sự hội tụ của chuỗi số

∞

∑

n=1

3n−1

4n+2

n
.

2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

∞

∑

n=1

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

1. Chứng minh rằng0≤

Z 2

cos2x

x2 dx≤1.

2. Áp dụng cơng thức f(x)' f(x0) + f0(x0)(x−x0)tính gần đúng

√

10002.

———— Hết ————

Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm

TRƯỜNG ĐH ĐỒNG THÁP ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LIÊN THƠNG NĂM 2013

ĐỀ SỐ2 Mơn thi: Giải tích

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1. (2 điểm)

1. Tìm đạo hàm f0(x)của hàm số f(x) =








2013

x nếux6=0,

0 nếux=0.

2. Tìm đạo hàm f(2013)(x)của hàm số f(x) = 2x+5

x2+5x+4vớix=6 −1,x6=−4.

Câu 2. (2 điểm)

1. Chứng minh rằngex ≥x+1với mọix∈R.
2. Tính giới hạn lim

x→+∞

ln(2013+x)

2013x .

Câu 3. (2 điểm)

1. Tính tích phânI =

Z π

(x+2013).cosxdx.

2. Tính thể tích của vật thể trịn xoay khi quay hình phẳng được giới hạn bởi
y=x2,x=1,y=0quanh trụcOx.

Câu 4. (2 điểm)

1. Xét sự hội tụ của chuỗi số

∞

∑

n=1

3n−1

4n+2

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

∞

∑

n=1

xn
2013n+1.
Câu 5. (2 điểm)

1. Chứng minh rằng0≤

Z 2

cos2x

x2 dx≤1.

2. Áp dụng cơng thức f(x)' f(x0) + f0(x0)(x−x0)tính gần đúng

√

10002.

———— Hết ————

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Đậu Thế Cấp, Nguyễn Huỳnh Phán, Nguyễn Thái Sơn và Trần Đình Thanh

Giải tích tốn học, NXB Giáo dục, 2007.

[2] Nguyễn Dương Hồng,Đề cương ơn tập giải tích đại học hóa tốn, Khoa Toán
học, Trường Đại học Sư phạm Đồng Tháp, 2006.

</div>

On tap giai tich-sua

<b>BÀI GIẢNG ƠN TẬP GIẢI TÍCH</b>

<b>CHƯƠNG 1</b>

<b>ĐẠO HÀM</b>

<b>1.1</b>

<b>Tính đạo hàm bằng định nghĩa</b>

<b>1.2</b>

<b>Tính đạo hàm bằng quy tắc</b>

<b>1.3</b>

<b>Tính giới hạn bằng cách ứng dụng đạo hàm</b>

<b>1.4</b>

<b>Ứng dụng của đạo hàm vào khảo sát tính chất của</b>

<b>hàm số</b>

<b>1.5</b>

<b>Ứng dụng đạo hàm xấp xỉ hàm số bởi đa thức</b>

∑

∑

<b>CHƯƠNG 2</b>

<b>NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN</b>

<b>2.1</b>

<b>Tính ngun hàm bằng định nghĩa</b>

<b>2.2</b>

<b>Tính nguyên hàm bằng quy tắc</b>

<b>2.3</b>

<b>Tính tích phân xác định bằng định nghĩa</b>

∑

<b>2.4</b>

<b>Tính tích phân xác định bằng quy tắc</b>

<b>2.5</b>

<b>Ứng dụng của tích phân</b>

<b>CHƯƠNG 3</b>

<b>LÍ THUYẾT CHUỖI</b>

<b>3.1</b>

<b>Tính tổng của chuỗi bằng định nghĩa</b>

∑

∑

<b>3.2</b>

<b>Xét sự hội tụ của chuỗi số</b>

∑

∑

∑

∑

<b>3.3</b>

<b>Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm</b>

∑

<b>3.4</b>

<b>Xét tính chất của tổng của chuỗi hàm</b>

∑

∑

∑

∑

∑

∑

<b>ĐỀ THI</b>

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

<b>TÀI LIỆU THAM KHẢO</b>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về