Ứng dụng hàm đa điều hòa dưới xét tính lồi của tập trong cn

CÔNG TRÌNH ĐƯC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn:

PGS.TS Đậu Thế Cấp.

Cán bộ chấm nhận xét 1: ...................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
Cán bộ chấm nhận xét 2: ...................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
Luận văn được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN
THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA.
ngày

tháng

năm 2007.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨAVIỆT NAM

PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
Tp.HCM, ngày 30 tháng 07 năm 2007.

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên

Lưu Gia Thoại

phái

Ngày, tháng, năm sinh :

21- 10 -1979

nơi sinh: Quảng Nam.

Chun ngành

Tốn Giải Tích Ứng Dụng

MSSV :02405542

I.

:
:

: Nam.
.

TÊN ĐỀ TÀI:
ỨNG DỤNG HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI XÉT TÍNH LỒI CỦA TẬP
TRONG Cn

II.

NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
− Tìm hiểu và tóm tắt các tính chất của hàm điều hòa, điều hòa dưới.
− Định nghĩa và các tính chất của hàm đa điều hịa dưới.
− Nghiên cứu miền chỉnh hình và các miền tồn tại hàm chỉnh hình.
− Miền giả lồi và các tính chất của miền giả lồi.
− Dựa trên các tính chất của hàm đa điều hịa dưới chứng minh các tính
chất của miền giả lồi.
− Nhận xét, đánh giá khả năng áp dụng và hướng phát triển của đề tài.

III.

NGÀY GIAO NHIỆM VỤ:

: 07 – 03 - 2007

IV.

NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ

: 30 – 07 – 2007

V.

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

: PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CN BỘ MÔN QL CHUYÊN NGÀNH

PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP
PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY
Nội dung và đề cương Luận văn đã được Hội đồng chuyên ngành thông qua ngày
20 tháng 4 năm 2007.
TRƯỞNG PHÒNG ĐT-SĐH
TRƯỞNG KHOA QL NGÀNH


LỜI CẢM ƠN

Với lòng biết ơn sâu sắc em xin gửi đến PGS. TS Đậu Thế Cấp đã tận
tình chỉ bảo, giúp đỡ em rất nhiều để em có thể hoàn thành Luận văn này.
Em xin cảm ơn chân thành đến các Thầy, Cô trong bộ môn Toán Ứng
Dụng đã giảng dạy và truyền đạt kiến thức cho chúng em trong hai năm học
vừa qua.

Gửi lời cảm ơn đến Phòng Đào Tạo Sau Đại Học và bộ môn Toán ng
Dụng đã tổ chức lớp cao học Toán Giải Tích ng Dụng để chúng em có điều
kiện được học tập, cũng như luôn tạo điều kiện tốt nhất để em hoàn thành
Luận văn.
Xin chân thành cảm ơn đến gia đình, các bạn học cùng, bạn bè đồng
nghiệp và cơ quan nơi đang công tác đã có những giúp đỡ q báu trong học
tập và nhất là trong thời gian thực hiện Luận văn.


TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ
Tính lồi của các miền và của các hàm từ lâu là một chủ đề rất được
quan tâm của toán học. Có nhiều ứng dụng của tập lồi trong nhiều lónh vực
khác nhau. Trong toán học có rất nhiều khái niệm lồi và cũng có nhiều phương
pháp và công cụ khác nhau để xét tính lồi của một tập. Luận văn này đề cập
đến một hướng của sự phát triển khá độc đáo của tính lồi và các hàm tương
ứng xác định nó trong giải tích phức nhiều biến. Các kết quả ở đây là một
công cụ để xét tính lồi của các tập trong không gian Cn.
Trong mặt phẳng, từ trực quan về sự lồi của một miền, ta có thể đưa ra
đặc trưng của hàm lồi như sau:
Cho I ⊂ R là một khoảng mở, hàm v: I→ R được gọi là lồi nếu tập
B={(x,t) ∈ I×R : v(x) ≤ t } ⊂ R2 là một tập lồi.
Một đoạn thẳng trong B là một hàm affine u. Do vậy hàm v: I→ R là lồi
nếu và chỉ nếu v là một hàm dưới affine, theo nghóa: với mọi khoảng con
compact tương đối K của I và với mọi hàm affine u(x) = ax + b xác định trên
K, ta có:
v ≤ u trên ∂ K thì ⇒ v ≤ u trên K.
Vậy đặc trưng của các hàm affine như là những hàm lồi tối đại, theo
nghóa một hàm lồi u: R→ R là affine nếu và chỉ nếu với mọi khoảng mở K bị
chặn và với mọi hàm lồi v: R→ R thì mệnh đề trên được thỏa.
Trong lónh vực các hàm phức nhiều biến, dù không hoàn toàn giống

như mối quan hệ giữa tập lồi và hàm affine mà ở đây là mối quan hệ giữa tập
giả lồi và các hàm đa điều hòa dưới. Người ta cũng muốn khẳng định rằng
tính lồi đa điều hòa dưới chính là một sự tương tự của tính lồi.


Đặc trưng cơ bản của mối quan hệ này là: Tập con thật sự Ω , mở trong
Cn là giả lồi nếu và chỉ nếu tồn tại một hàm đa điều hòa dưới v : Ω → R liên
tục sao cho ∀c ∈ R taäp {z ∈ Ω : v(z) < c} là tập compact tương đối trong Ω .
Luận văn này sẽ làm sáng tỏ điều khẳng định nói trên bằng cách giới
thiệu hàm điều hòa dưới, đa điều hòa dưới cùng các tính chất và kết quả
nghiên cứu được về nó.

Luận văn được chia làm ba chương. Trong chương 1 giới thiệu một số
kiến thức chuẩn bị về hàm chỉnh hình nhiều biến phức, trung bình tích phân,
hàm điều hòa và các tính chất liên quan đến chúng.

Trong chương 2 đề cập đến hàm đa điều hòa, điều hòa dưới và các tính
chất của hàm này, trong phần này có chứng minh nhiều định lý quan trọng
cũng như các hệ quả của nó có liên quan trực tiếp đến phần sau.

Trong chương 3 trình bày khái niệm hàm đa điều hòa dưới các tính chất
cũng như các định lý và hệ quả liên quan đến hàm này. Phần kế giới thiệu về
miền chỉnh hình trong Cn. Cuối cùng là giới thiệu về tập lồi, các bao lồi và đặc
biệt là khái niệm tính giả lồi của một tập.


MỤC LỤC
Trang
Chương 1. Kiến Thức Chuẩn Bị

1

1.1.

Khơng Gian Phức Cn --------------------------------------------- 1

1.2.

Hàm Chỉnh Hình Nhiều Biến Phức----------------------------- 2

1.3.

Trung Bình Tích Phân -------------------------------------------- 5

1.4.

Hàm Điều Hịa----------------------------------------------------- 7

Chương 2. Hàm Đa Điều Hòa và Điều Hòa Dưới

17

2.1.

Hàm Đa Điều Hòa ----------------------------------------------- 17

2.2.

Hàm Nửa Liên Tục Trên ---------------------------------------- 19

2.3.

Hàm Điều Hòa Dưới--------------------------------------------- 21

2.4.

Họ Hàm Điều Hịa Dưới ---------------------------------------- 28

Chương 3. Hàm Đa Điều Hịa Dưới và Tính Lồi Của Tập

33

3.1.

Hàm Đa Điều Hịa Dưới ---------------------------------------- 33

3.2.

Miền Chỉnh Hình------------------------------------------------- 41

3.3.

Tính Giả Lồi ------------------------------------------------------ 45

Kết luận, nhận xét, hướng phát triển của đề tài
Tài liệu tham khảo.

52

1

Chương 1

1.1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

KHÔNG GIAN PHỨC Cn
Trước hết ta ký hiệu N, R lần lượt là tập hợp các số tự nhiên, số thực và

ta ký hiệu C là trường số phức.
C là không gian vector trên trường C với các phép toán thông thường.
C cũng là một không gian định chuẩn, với chuẩn . là modul của số phức.
Ta gọi không gian phức Cn là tích Descartes của n không gian vector C.
Vậy Cn là một không gian vector trên C. Trên Cn ta sử dụng hai chuẩn sau:

(

z = z1 z1 + ... + z n zn

)

1
2

n

1
2



=  ∑ z i zi  (chuaån Euclid).
 i =1


z = max { z1 ,..., zn }

(chuẩn Max).

Với mọi z = ( z1, . . . , zn ) ∈ Cn , ta luôn có z ≤ z ≤ n z nên hai chuẩn
trên là tương đương.
Cho a ∈ Cn và r > 0. Ta gọi:
B(a,r)= {z ∈ C n : z − a < r} là quả cầu mở tâm a bán kính r.

B (a,r)= {z ∈ C n : z − a ≤ r} là quả cầu đóng tâm a bán kính r.

{
P(a, r) = {z ∈ C

}
: z − a ≤ r} là đa tròn đóng tâm a bán kính r.

P(a, r) = z ∈ Cn : z − a < r là đa tròn mở tâm a bán kính r.

{

n

}

∂ o P(a, r) = z ∈ Cn : z j − a j = r, j = 1,..., n

Định nghóa

là biên của đa tròn.

Một ánh xạ cộng tính L : Cn →Cm được gọi là R-tuyến tính

(tương ứng C-tuyến tính) nếu L(λz) = λL(z) , ∀z∈ Cn và λ∈R (tương ứng
λ∈C).


2

1.2

HÀM CHỈNH HÌNH NHIỀU BIẾN PHỨC.

1.

Hàm Chỉnh Hình
Cho Ω ⊂ Cn và hàm f: Ω → C. Với mỗi z = ( z1, . . . , zn ) ∈ Ω , ta viết

zj=xj + ixn+j

với 1 ≤ j ≤ n và xj, xn+j ∈ R.

Khi đó có thể coi hàm f là hàm của 2n biến thực x1,….,x2n. Nếu f khả vi

theo nghóa trong giải tích thực (R2n-khả vi), thì vi phân của hàm f là:
df =
Bởi vì

∂f
∂f
dx 1 + ..... +
dx 2 n =
∂x 1
∂x 2 n

1
xj = ( z j + z j )
2


 ∂f
∂f


dx
dx
+
∑
j
n+ j  .
 ∂x
x
∂
j=1

+
j
n
j


n

và xn+j =

1
(z j − z j ) nên
2i

1
1
dx j = (dz j + dz j ) vaø dx n + j = (dz j − dz j )
2
2i
Theo đạo hàm hàm hợp ta có:

∂f
∂f ∂z j ∂f ∂z j
∂f
∂f
=
+
=
+
.

.
∂x j ∂z j ∂x j ∂z j ∂x j ∂z j ∂z j
∂f
∂f ∂z j
∂f ∂z j
∂f
∂f
=
+
=i
−i
.
.
∂x n + j ∂z j ∂x n + j ∂z j ∂x n + j
∂z j
∂z j
Thay cả hai vào df ta được:
n 

∂f
∂f 1
∂f
∂f 1
+
−i
df = ∑  (
)[ (dz j + dz j )] + (i
)[ (dz j − dz j )].

 ∂z ∂z 2

∂z j
∂z j 2 i
j=1
j
j



Khai trieån và rút gọn ta được:
n
∂f
∂f
dz j + ∑
dz j .
j=1 ∂z j
j=1 ∂z j
n

df = ∑
Định nghóa

Hàm f được gọi là khả vi phức (gọi tắt là Cn- khả vi) nếu nó là

hàm R2n- khả vi, và

∂f
=0
∂z j

∀j = 1,.....,n .

3

Như vậy nếu f khả vi phức thì

∂f
dz j
j=1 ∂z j
n

df = ∑

Nhận xét:
Ta có:

∂f 1  ∂f
∂f 
=
−i
∂z j 2  ∂x j
∂x n + j 
⇔

∂f
∂f
+i
=0
∂x j ∂x n+ j

và

∂f 1  ∂f
∂f 
nên f khả vi
=
+i
∂z j 2  ∂x j
∂x n+ j 

với mọi j = 1,...., n .

Xem f = u + iv, ta coù

∂f
∂u
∂v
=
+i
∂x j
∂x j ∂x j

vaø

∂f
∂u
∂v
=
+i
∂x n+ j

∂x n + j ∂x n+ j

khi đó:

 ∂u
∂f
∂f
∂u
∂v   ∂v
+ i.
+i
+
=
−
∂x j
∂x n+ j  ∂x j ∂x n + j   ∂x j ∂x n + j


.



Vậy f khảvi nếu nó là R2n – khả vi và thỏa mãn điều kiện CauchyRiemann:

∂v
 ∂u
 ∂x = ∂x
n+ j
 j


 ∂v = − ∂u
 ∂x j
∂x n + j
Định nghóa

Cho z0 là ∈ Ω , với Ω là một miền mở trong Cn.

Hàm f: Ω → C được gọi là chỉnh hình tại z0 nếu f là Cn – khả vi tại
mọi điểm thuộc một lân cận của z0.
Hàm f: Ω → C được gọi là chỉnh hình trên Ω nếu f chỉnh hình tại mọi
z∈ Ω .
Tập hợp tất cả các hàm chỉnh hình trên một miền Ω , ký hiệu là O( Ω ).


4

2.

Tính Chất Của Hàm Chỉnh Hình.
Cho Ω ⊂ Cn và hàm f : Ω → C. Ta ký hiệu (*) là mệnh đề:
f liên tục trên Ω , và tại mỗi điểm z0 ∈ Ω , f chỉnh hình theo từng

biến.(*)

Tính chất 1: Nếu f thỏa (*) trong một đa tròn U = B (a, r ) thì tại mỗi z ∈ U , ta
coù:

f (z) =

f (ζ )dζ 1 ....dζ n

1
...∫
.
n ∫
(2πi) Γ Γ (ζ 1 − z1 )..(ζ n − z n )

trong đó Γ là khung của đa tròn, tức là tích của n vòng tròn biên

{

}

γ j = ζ j − aj = r .
Tính chất 2: Nếu f thỏa (*) trong đa tròn đóng U thì với mọi z ∈ U , ta có

f (z) =

∞

∑c
k =0

trong đó c k =

k

( z − a) k ,

1
f (ζ )

n ∫
(2πi) Γ (ζ − a) k +1

k+1=(k1+1,…..kn+1) ∈ Ν n

(1.2.1)

k=(k1,…kn)∈ Ν n là một đa chỉ số,
(z-a)k=(z1 - a1)k……(zn - an)k

và

Tính chất 3 (Định lý Abel)
Nếu chuỗi (1.2.1) hội tụ tại ζ ∈ C n nào đó trên một tập K bất kỳ, với K

{

}

compact và K ⊂ z : z j − a j < ζ j − a j , chuỗi này hội tụ tuyệt đối và đều.

Tính chất 4: Nếu f thỏa (*) trong đa tròn đóng U thì tại mọi z ∈ U , hàm f có
các đạo hàm riêng mọi cấp, liên tục.

Tính chất 5: Nếu f chỉnh hình tại điểm a và f khai triển được thành chuỗi
dạng (1.2.1) thì các hệ số của chuỗi này được xác định theo công thức Taylor:

1
∂ k +...+ k f
ck =

k 1!...k n ! ∂z1K .....∂z Kn
1

1

k

n

n

1∂ f
k! ∂z k
z =a

Tính chất 6 :(Bất đẳng thức Cauchy)

trong đó k!=k1!....kn!.
z=a


5

Nếu f chỉnh hình trên đa tròn đóng U = {z ∈ C n : z j − a j ≤ rj j = 1,...., n} và

f ≤ M trên khung Γ của đa tròn này, thì các hệ số khai triển (1.2.1) thỏa mãn

ck ≤

M

trong đó rk = r1K ...rnK .
k
r
1

n

Nhận xét. Từ tính chất 2 và 3 suy ra rằng nếu hàm f thỏa mãn (*) trên Ω thì f
chỉnh hình trên Ω .
Theo tính chất 4, đạo hàm riêng mọi cấp của một hàm chỉnh hình cũng
là một hàm chỉnh hình.

1.3

TRUNG BÌNH TÍCH PHÂN

Định nghóa

Cho A = [aij] là một ma trận chữ nhật với 1 ≤ i ≤ m; 1 ≤ j ≤ n vaø

m ≥ n. ta gọi modul của A là:


A =
∑
 1≤i 1

2

1

n ≤m

( det a )
ik j

2

2



Nếu m = n thì A = det A .
Neáu L : Rn → Rm là một ánh xạ tuyến tính thì ta ký hiệu L để chỉ
modul ma trận của L đối với các cơ sở chính tắc tương ứng trong Rn và Rm.

Định nghóa

Cho M ⊂ Rm là một đa tạp con k-chiều. nh xạ ψ : D → M được

gọi là một phép tham số hóa địa phương của M nếu D là tập con mở của Rk;
Ranka ψ =k với mọi a ∈ D ; ψ đơn ánh và miền ảnh của nó là một tập con mở
trong M.
Ký hiệu A là tập tất cả các phép tham số hóa địa phương của M; ∑ là
một σ -đại số các tập con S ⊂ M sao cho ψ −1 (S) thì Lebesgue đo được,

∀ ψ ∈ A.

6

Độ đo σ trên σ -đại số ∑ có tính chất: Nếu ψ ∈ A, S ∈∑ sao cho S

Định nghóa

nằm trong ảnh của ψ thì:

σ(S) =

∫ d ψ dλ(x)
z

trong đó λ là độ đo Lebesgue trên Rk được gọi là độ đo

ψ −1 ( S )

diện tích mặt của M.
Tích phân của hàm ∑ đo được trên M theo độ đo σ được gọi là tích
phân mặt.
Sau đây là một số hệ thức về tích phân mặt trên mặt cầu.
Cho f là hàm đo được trên ∂B(0, R) . Nếu ψ là phép tham số hóa trên

∂B(0,1) thì R ψ là phép tham số hóa trên ∂B(0, R) .
Bởi vì d x Rψ = R m −1 d x ψ

neân

∫ f (x)dσ(x) = R

∂B( 0 ,R )

m −1

∫ f (Rx)dσ(x)

(1.3.1).

∂B( 0 ,1)

Nếu hàm f là hàm đo được trên B(0,R) thì theo định lý Fubini
R


 ∫ f (x)dσ(x) .dr
f
(
x
)
d
(
x
)
λ
=
∫
∫


B ( 0 ,R )

0  ∂B( 0 , r )


(1.3.2).

Kyù hiệu

s m = σ(∂B(0,1))

;

b m = λ(B(0,1)) .

1


Ta có mb m = m ∫ dλ = m ∫  ∫ dσ(x) dr = m ∫ r m −1s m dr = s m .
0  ∂B( 0 , r )
B( 0 ,1)
0

1

Như vậy

mbm=sm

;

σ ( ∂ B ( a , R )) = R m − 1 s m

tương tự

λ(B(a, R)) = R m b m .

Định nghóa

Cho B(a,R) là quả cầu trong Rm. Khi đó ta gọi

L( u; a, R ) =

1
. u(x)dσ(x) ,
s m R m −1 ∂B(∫a,R )

(1.3.3)


7

A(u; a, R) =

1
. u(x)dλ(x)
b m R m B( a∫,R )

là các trung bình tích phân của hàm u đo được lần lượt trên ∂B(a, R) và

B(a, R) .
Theo (1.3.2) và (1.3.3) ta có :

m R m −1
A(u; a, R) = m .∫ r L(u; a, r )dr
R 0

1.4

(1.3.4).

HÀM ĐIỀU HÒA.
Cho miền Ω trong Rm và hàm u : Ω

Định nghóa

R.

Hàm u gọi là hàm điều hòa trong Ω nếu u ∈ C 2 ( Ω ) và thỏa mãn

phương trình Laplace:

∂2u
≡ 0 trong Ω .
2
j=1 ∂x j
m

∆u = ∑

Tập các hàm điều hòa trong Ω được ký hiệu là H( Ω ).
Trước hết xét bài toán:

Cho trước một hàm u ∈ H( Ω ), tìm một hàm v ∈ C 2 (R) sao cho
u(x)=v( x ). Để ý rằng, nếu đặt r = x thì theo đạo hàm hàm hợp ta có:

2x j
xj
∂u
∂
∂v(r ) ∂r
=
= v′( r )
= v′( r )
v(r ) =
∂x j ∂x j
∂r ∂x j
2r
r

⇒

/
∂2u
∂  v′(r )  v′( r)
∂  v′( r)  v′(r )
 v′( r)  x j
xj =
=
+ xj
+ xj
=


r
r
∂x 2j ∂x j  r
∂x j  r 
 r r r


∂ 2 u v′( r)
 r.v′′( r) − v′( r) 
=
+ x 2j 
2
.
r3
∂x j
r



Suy ra

⇒

v′( r) 2  r.v′′( r ) − v′( r) 
∂2u
∆u = ∑ 2 = m
+r 

r3
r

j=1 ∂x j


m


8

∆u = v ′′(r ) +

Suy ra

m −1
v ′(r ) .
r

Từ đó ta có:
u∈ H(Rm \ {0} )

⇔ v′′( r) +

m −1
v′(r ) = 0
r

⇔ r m −1 .v′′( r ) + r m −2 (m − 1)v′(r ) = 0
(r m −1 .v′( r ))′ = 0 .

⇔

Suy ra r m −1 .v′(r ) = A , vaäy v(r) = A.g(r) + B

A, B là hằng số bất kỳ.

Do tính bất kỳ của hằng số A và B, g(r) có thể chọn là

− log r
g(r ) =  2−m
r

(m = 2)

(1.4.1)

(m > 2)

g(r) được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình Laplace trong Rm.
Hàm Green cổ điển trên hình cầu đơn vị với cực tại y ∈ B( 0 ,1) xác

Định nghóa

định bởi công thức :




g( x − y ) −  g y . x − y 2 

G ( x, y ) = 
y 



g( x ) − g(1)

(y ≠ 0)
(y = 0).

Từ công thức trên ta nhận thấy G(.,y) ∈H(B(0,1)\ {y}) ∩ C ( B(0,1)) \ {y}) ,
ngoài ra G(x,y) = 0 nếu x = 1. (Tức hàm Green cổ điển trên quả cầu đơn vị
có cực ở y ∈ B(0,1) \ {0} luôn triệt tiêu trên mặt cầu đơn vị của Rm).
Thật vậy, nếu y = 0 thì điều này là hiển nhiên. Mặt khác, để ý rằng

x ∈ ∂B(0,1) và y ∈ B(0,1) \ {0} ta luôn có:
x−

2

y
y

2

2

= x +

1
y

2

−

2
y

m

2

∑x y
j=1

j

j = 1+

1
y

2

−

m

2
y

2

∑x
j =1

j

y

j


9

=

⇒

1

y

2

(y

2

m

− 2 ∑ x j y j +1) =

j=1

x−

y
y

2

=

1

y

2

x −y

2

1
x−y .
y

Do đó G(x,y) = 0 ∀y ∈ R m và x = 1 hay G ∂B( 0 ,1) ≡ 0 .
Ký hiệu

σ j = (−1) j+1 dx1 ∧ ... ∧ dx j−1 ∧ dx j+1 ∧ ... ∧ dx m với mọi j =1,…,m.
Bổ đề 1.4.1

Nếu hàm u điều hòa trong một lân cận của B (0,1) của Rm thì

u(y) =

m
1
∂
u
G(., y)σ j
∑
∫
s m max{1, m − 2} ∂B( 0,1) j=1 ∂x j

y ∈ B(0,1) .

Chứng minh
Cố định y ∈ B(0,1) và đặt G(x) =

G ( x, y )
. Xét dạng vi phân
max{1, m − 2}

m 
∂G
∂u 
σ .
ω = ∑ u
−G
 j
 ∂x

x
∂
j=1
j
j



Choïn ε > 0 sao cho B(y, ε) ⊂ B(0,1) \ B(y, ε) . Trước hết ta nhận xét rằng

ω là dạng đóng trên ∂D ε , tức là dω = 0 . Thật vậy, ta thấy
m

dω = ∑ ( u∆G − G∆u)dx1 ∧ ... ∧ dx m .
j=1

Vì u và G đều là những hàm điều hòa nên ∆G = ∆u = 0 , từ đó ta có
dω = 0. Theo định lý Stokes ta có

∫ω = 0

(1.4.2)

∂Dε

Đặt

H( x ) = G( x ) −

g( x − y )

max{1, m − 2}

x ∈ Dε .

Theo treân thì G ∂B( 0,1) ≡ 0 nên theo (1.4.2) và định nghóa của ω ta có


10

∂G

m

∫ ∑ u ∂x

∂B( 0 ,1) j=1

σj =

∫ ω.

(1.4.3)

∂ B ( y ,ε )

j

Để hoàn thành chứng minh ta chỉ cần chỉ ra rằng vế phải của (1.4.3) hội
tụ đến smu(y) khi ε → 0 . Ta coù:

∫

ω=

∂H

m

∫ ∑ (u ∂x

∂B( y ,ε ) j=1

∂B ( y , ε )

−H

j

m x −y
m
∂u
∂u
g(ε)
j
j
)σ j + ε 1− m ∫ u(x)∑
σj −
σj
∑
∫

∂x j
ε
max{1, m − 2}∂B( y ,ε ) j=1 ∂x j
j=1
∂B( y ,ε )

≡ A ε + Bε + C ε .
Dễ dàng nhận thấy rằng A ε → 0 và C ε → 0 khi ε → 0 . Maët khác vì

N( x ) =

xj − yj
ε

là trường vector trực chuẩn trên ∂B(y, ε) nên

Bε = ε 1−m

∫ u(x)dσ(x) =s

m

L(u; y, ε) .

∂B( y ,ε )

Theo định nghóa của trung bình tích phân L(u;y, ε ) với u liên tục ta có

Bε → s m u(y) khi

ε→0.

Đặt
2

P ( x, y ) =
Haøm (x, y )

x − y
x−y

2

m

∀x, y ∈ R m với x ≠ y.

P ( x, y )
được gọi là nhân Poisson trong Rm.
sm x

Định lý 1.4.2
Nếu x ∈ ∂B(0,1) ⊂ R m vaø y ∈ B(0,1) ⊂ R m thì
(dxG(.,y))(x)=max{1, m-2}P(x,y).

(1.4.4)

Nói riêng, ta có P(x,.) ∈ H(B(0,1)).

Chứng minh

Đặt c =

1
ta coù cd x [x
max{1, m − 2}

g( x − y )] =

x−y
x−y

m


11

Nếu y ≠ 0 thì ta có c(d x G(., y)) =

Bởi vì y . x −

y
y

c(d x G(., y)) =

x−y
x−y

m

− y

2−m

 y 
x − 2 
 y 

.
m
y
x− 2
y

= x − y nên

2

2

x−y
x−y

m

−

y x−y
x−y

m

=

x(1 − y
x−y

m

2

.

(1.4.5)

Hiển nhiên điều này cũng đúng khi y=0. Tích vô hướng hai vế của
(1.4.5) với x, ta có được (1.4.4).
Kết luận thứ hai của định lý là do việc ∆

x

∂
∂
=
∆ và vì hàm
∂x j ∂x j

g( x − z ) điều hòa trên R m \ {z} với mọi z ∈ R m cố định.

Định lý 1.4.3

Nếu u là hàm điều hòa trong một lân cận của quả cầu đóng

B(a, r ) ⊂ R m thì với mỗi y ∈ B(a, r ) , ta coù:
u(y) =

1

∫ P(x − a, y − a)u(x)dσ(x) = r

s m r ∂B( a,r )

m −2

L(P(x − a, y − a)u(x); a, r ) ,

(1.4.6)

ở đây trung bình tích phân được tính đối với x. Đặc biệt suy ra mọi hàm điều
hòa đều thuộc về lớp C ∞ .

Chứng minh
Nếu a = 0 và r =1 thì công thức (1.4.6) được suy ra trực tiếp từ bổ đề
1.4.1 và định lý 1.4.2.
Trường hợp tổng quát suy ra từ (1.3.1).
Công thức (1.4.6) gọi là công thức tích phân Poisson.


12

Định lý sau đây cho ta một số đặc trưng của tính điều hòa.

Định lý 1.4.4
Cho u là hàm thực liên tục trên một tập mở Ω ⊂ Rm , các điều kiện sau
đây tương đương:
(i)

u ∈ H (Ω).

(ii)

Nếu B(a, r) ⊂ Ω thì với mỗi y∈B(a,r) ta có:
u(y) = rm-2 .L(P(x – a, y – a )u(x) ; a, r).

(iii)

Nếu B(a, r) ⊂ Ω thì u(a) = L(u; a, r).

(iv)

Nếu B(a, r) ⊂ Ω thì u(a) = A(u; a, r).

Chứng minh
(i)⇒ (ii) theo định lý 1.3.3.
(ii) ⇒ (iii) có được khi ta thay y = a trong công thức tích phân Poisson.
(iii) ⇒ (iv) là do công thức (1.4.4) về mối quan hệ của hai loại trung bình
tích phân.

Sau đây là nguyên lý cực đại của hàm điều hòa (Định lý 1.4.5).

Định lý 1.4.5

Giả sử u ∈ H( Ω ) ∩ C (Ω ) , với Ω là miền giới nội trong Rm thì hoặc u là

hằng số hoặc u thỏa bất phương trình:
u(x) < sup u(y)
y∈∂Ω

Chứng minh

(x ∈ Ω) .

(1.4.7)


13

Gọi α = sup u(y) và A = Ω ∩ u −1 (α) . Ta sẽ chứng minh rằng hoặc A= Ω
y∈∂Ω

(khi đó u ≡ α ) hoặc A = ∅ (khi u thỏa mãn (1.4.7)). Để có điều đó ta chỉ cần
chỉ ra rằng nếu A ≠ ∅ thì A= Ω .
Chú ý rằng Ω liên thông và A là tập đóng trong Ω , nên ta chỉ cần
chứng minh A mở.
Giả sử a ∈ A, r > 0 và B(a,r) ⊂ Ω . Nếu có một điểm b∈B(a,r)\A, thì
hàm u phải thật sự nhỏ hơn u(a) = α trong một lân cận của điểm b. Theo điều
kiện (iv) trong định lý 1.4.4, ta có u(a) = A(u; a, r) mâu thuẫn. Vậy B(a,r) ⊂ A tức là A mở.
Suy ra A= Ω .

Định lý 1.4.6
Cho f ∈C(∂B(a, r)) với a ∈ Rm và r > 0. Khi đó hàm v xác định bởi:

f (y)
, ( y ∈ ∂B(a,r) )
v(y) =  m −2
 r L ( P(x − a, y − a)f (r);a, r ) , ( y ∈ B(a,r) )
laø haøm duy nhất thỏa mãn các điều kiện v ∈ C ( B(a, r)) ∩ H(B(a,r)) và

v ∂B( a,r ) =f.
Chứng minh
Tính duy nhất được suy ra từ nguyên lý cực đại và định lý 1.4.3. Hơn
nữa do định lý 1.4.2, ta có v ∈ H(B(a,r)).
Lấy ε > 0 và y0 ∈∂B(a,r). Chọn δ > 0, sao cho:
∀ x∈∂B(a,r) và x − y 0 ≤ δ thì f (x) − f (y0 ) ≤ ε .

Đặt
h(x, y) = P(x − a, y − a) f (x) − f (y0 ) .


14

Nếu y∈ B(a,r), theo định lý 1.4.3 được áp dụng cho hàm hằng v(y0), ta
có:

v(y) − v(y 0 ) =

=

1

s m r ∂B(a∫ ,r )

h(x, y)dσ(x)


1 
h(x, y)dσ(x) + ∫ h(x, y)dσ(x) 

∫
sm r  A

B

với A = ∂B(a, r) ∩ B(y 0 , δ) vaø B = ∂B(a,r)\A , theo định lý 1.4.3 ta có:

1
ε
h(x, y)dσ(x) ≤
∫
smr A
sm

∫

P(x − a, y − a)dσ(x) = ε .

∂B(a ,r)
2

r2 y − a
δ

Hơn nữa, nếu x ∈B và y − y 0 ≤ thì P(x − a, y − a) ≤
.
m
2
( δ / 2)
Vì y − a → r khi y → y0, chúng ta kết luận rằng:

∫ P(x − a, y − a)dσ(x) → 0 khi y → y0.
B

Từ đó ta coù:

∫ h(x, y)dσ(x) ≤ 2
B

sup f (z) ∫ P(x − a, y − a)dσ(x) < ε

x∈∂B(a ,r )

B

miễn là y − y0 đủ nhỏ.
Do đó v(y) hội tụ đến v(y0) khi y → y0.

Nhận xét:
Chú ý rằng định lý 1.4.6 là lời giải của bài toán Dirichlet trong quả cầu
B(a,r): Mỗi hàm f liên tục trên ∂ B(a,r), tồn tại duy nhất hàm v liên tục trên
B(a,r), điều hòa trong B(a,r) sao cho: v ∂B( a,r ) = f .

Định lý 1.4.7

Nếu u∈ H (Rm) và bị chặn trên (hoặc bị chặn dưới ) thì u là hằng số.


15

Chứng minh
Không mất tính tổng quát chúng ta giả sử rằng u âm. Lấy x∈Rm và
r = n+ x . Theo định lý 1.4.4 (iv) ∀n ∈ N ta có:
u(x)=A(u;x,r) ⇔ u(x) =

⇔ u(x) =

1
bm rm

∫ u(y)dλ(y)

B( x ,r )

1
b m (n + x ) m

∫ u(y)dλ(y) .

B( x ,n + x )

Suy ra

b m (n + x ) m .u(x) =

∫

B ( x ,n + x )

u(y)dλ(y) ≤

∫ u(y)dλ(y) = b

m

(n) m .u(0)

B( 0 ,n )

Vì u < 0 và B(0,n) ⊂ B (x, n + x ) nên từ đây suy ra:

 n
u(x) ≤ 
n+ x

m


 .u(0) với n=1,2,….. Vì vậy u(x) ≤ u(0).



Lý luận tương tự, với B(x,n- x ) ⊂ B(0, n) ta cũng sẽ có u(x) ≥ u(0) .

Bổ đề 1.4.8

Cho Ω là một lân cận của quả cầu B(a,r) ⊂ R m . Tồn tại một hằng số M
sao cho với mỗi u∈H(Ω) thì:
u(y) − u(z) ≤ M u Ω . y − z

vaø
∂u
∂u
(y) −
(z) ≤ M u Ω . y − z
∂x j
∂x j

với y,z ∈ B(a,r) và j = 1, ... , m.

Chứng minh
Không mất tính tổng quát chúng ta có thể giả sử rằng a = 0. Chọn R > r
sao cho B(0, R) ⊂ Ω và đặt


16

K = ∂B(0, R) × B(0, r) ⊂ R 2m


∂P
∂P
p ( ω, y, z ) = max  P(ω, y) − P(ω, z) .
(ω, y) −
(ω, z) 
m < j≤ 2m

∂x j
∂x j


với (ω,y), (ω,z) ∈ K và

 ∂P
L = max 
m < j,k ≤ 2m
 ∂x j

,
K

∂2P
∂x j∂x k

Theo công thức tích phân Poisson


.

K
ta có:

∂u
1
∂P '
(y) =
(ω, y)u(ω)dσ(ω) với y ∈ B(0,R) vaø j = 1, ... , m.

∫
∂x j
s m R ∂B(0,R ) ∂x m + j
Aùp duïng định lý giá trị trung bình cho P(ω, .) và

∂P
(ω,.) , ta coù
∂x j

p(ω, y, z) ≤ mL y − z , với (ω, y) , (ω, z)∈K.
Theo công thức Poisson trong định lý 1.4.3 cho ta
∀ với mọi y, z∈ B(0, r) thì:



∂u
∂u
max  u(y) − u(z) ,
(y) −
(z)  ≤ R m − 2 m.L y − z u
1< j≤ m
∂x j
∂x j


vì u

∂B(0,R )

≤ u

Ω

nên kết quả được thỏa.

∂B( 0,R )


17

Chương 2

HÀM ĐA ĐIỀU HÒA VÀ ĐIỀU HÒA DƯỚI

2.1

HÀM ĐA ĐIỀU HÒA
Cho f : Ω → C

chỉnh hình tại z ∈ C n . Theo định nghóa chỉnh hình ta có

∂f
=0
∂z j

∀j = 1,.., n trên một lân cận của z.

Xem f = u + iv thì f = u – iv là R2n - khả vi tại lân cận cuûa z

∂u  

∂v   ∂v
∂f 1  ∂f
∂f  1  ∂(u + iv) ∂( u + iv)  1   ∂u
+i
+
=
−i
=
+i
=
+i
∂x n+ j   ∂x j ∂x n + j  
∂z j 2  ∂x j
∂x n + j  2   ∂x j
∂x n + j  2  ∂x j
1  ∂f
∂f  1  ∂( u − iv)
∂( u − iv)  1   ∂u
∂v   ∂v
∂u  
∂f
−i
+i
= 
−i
=
+
=
−i
∂x n + j  2  ∂x j

∂x n + j  2   ∂x j
∂x n + j   ∂x j ∂x n + j  
∂z j 2  ∂x j

Suy ra

∂f  ∂f 
= 0 = 0.
=
∂z j  ∂z j 

1
Do vaäy, với u = (f + f ) ta sẽ có
2
∂u 1  ∂f
∂f  1 ∂f
∂f  1 
=
= 0+
.
=
+
∂z j 2  ∂z j ∂z j  2 
∂z j  2 ∂z j
Đạo hàm hai vế theo z k ta được:
∂2u
1 ∂2f
1 ∂2f
1 ∂  ∂f


=
=
=
∂z k ∂z j 2 ∂z k ∂z j 2 ∂z j ∂z k 2 ∂z j  ∂z k

tức là

∂2u
=0
∂z k ∂z j

 1 ∂
 =
( 0)
∂
2
z

j

∀j, k = 1....n .

Tách phần thực và phần ảo của vế trái, vẫn với cách dùng chỉ số


18

zj = xj + ixn+j

vaø zk =xk + ixn+k

∀j, k = 1....n .

Theo công thức đạo hàm hàm hợp:

∂A ∂A ∂x k
∂A ∂x n + k 1 ∂A 1 ∂A
=
.
+
.
=
−
∂z k ∂x k ∂z k ∂x n+ k ∂z k
2 ∂x k 2i ∂x n + k
thay A =

∂u ∂u ∂x j
∂u ∂x n + j 1 ∂u 1 ∂u
vaøo, ta coù:
=
+
=
+
.
.
∂z j ∂x j ∂z j ∂x n+ j ∂z j
2 ∂x j 2i ∂x n + j

1 ∂

∂2u
=
∂z k ∂z j 2 ∂x k

1 ∂ u 1 ∂ u  1 ∂
−

+
 2 ∂x 2i ∂x  2i ∂x
j
n+ j 
n+k


1 ∂ u 1 ∂ u 
.

+
 2 ∂x 2i ∂x 
j
n+ j 


Rút gọn ta được:

1  ∂2u
i ∂2u  i  ∂2u
i ∂2u 
∂2u
−

+
= 
.
+ 
∂z k ∂z j 4  ∂x k x j 4 ∂x k x j  4  ∂x n + k x j 4 ∂x k x n + j 

Suy ra

Định nghóa

∂2u
=0
∂z k ∂z j

⇔

 ∂2u
∂2u
+
 ∂x ∂x ∂x ∂x = 0
n+k
n+ j
 k j

2
2
 ∂ u − ∂ u =0
 ∂x n + k ∂x j ∂x k ∂x n + j


.

Một hàm u ∈ C 2 (Ω) với Ω ⊆ R 2n ≡ Cn thõa hệ ràng buoäc

 ∂2u
∂2u
+
 ∂x ∂x ∂x ∂x = 0
n+k
n+ j
 k j

2
2
 ∂ u − ∂ u =0
 ∂x n + k ∂x j ∂x k ∂x n + j

gọi là đa điều hòa trên Ω .
Tập các hàm đa điều hòa trên Ω được ký hiệu là PH( Ω ).

Định lý 2.1.1
Nếu f = u + iv chỉnh hình trên Ω thì các hàm u, v là đa điều hòa treân
Ω.


19

Chứng minh
Theo định nghóa ta có ngay u là đa điều hòa. Mặt khác, do Im(f)= Re(if) cũng đa điều hòa.

Định lý 2.1.2
Cho hàm u đa điều hòa trong một lân cận V của (x0,y0) ∈ R 2n . Tồn tại
một hàm f chỉnh hình tại điểm z0 = x0 + iy0 có phần thực bằng đúng u.

Nhận xét:
Từ trong hệ ràng buộc của định nghóa hàm đa điều hòa như trên, khi j=k
ta có:

∂2u ∂2u
+
=0
∂x 2j ∂x 2n + j

∀j = 1...n

 ∂2u ∂2u 
 2 + 2 =0
∑

∂x n + j 
j=1 ∂x j

n

Suy ra

theo biến zj.

nghóa là ∆u = 0

Vậy một hàm đa điều hòa cũng là một hàm điều hòa theo từng biến. Do
đó lớp các hàm đa điều hòa chứa trong lớp các hàm điều hòa trong không gian

R2n , tức là PH( Ω ) ⊂ H( Ω ).

2.2

HÀM NỬA LIÊN TỤC TRÊN

Định nghóa

Cho X là một không gian metric, một hàm u : X → [−∞, ∞) được

gọi là nửa liên tục trên nếu với mỗi c∈R, tập {x∈X: u(x) < c} là một tập mở.
Hàm u được gọi là nửa liên tục dưới nếu – u là nửa liên tục trên.
Hàm u là nửa liên tục trên ⇔ ∀a ∈ X lim sup u(x) = u(a) .Với
x →a

( {

})

lim sup u(x) = inf sup u(y) : y ∈ B(a, ε) .
x→a

ε> 0