Sự tồn tại toàn cục của sóng di động trong mô hình tán xạ phân tán với hàm thông lượng tùy ý

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA: KHOA HỌC ỨNG DỤNG


PHẠM VIẾT THÀNH
ĐỀ TÀI:

Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG.
Mã số ngành : 604636.

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP.HỒ CHÍ MINH, Tháng 8 năm 2009

1


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA HỌC ỨNG DỤNG.
----------------

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc
---oOo--Tp. HCM, ngày 28 tháng 8 năm 2009.

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên: PHẠM VIẾT THÀNH.

Phái: Nam.

Ngày, tháng, năm sinh: 20 – 09 – 1979.

Nơi sinh: TP.HCM.

Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH ỨNG DỤNG.
MSHV: 02406730 .
1- TÊN ĐỀ TÀI:
SỰ TỒN TẠI TỒN CỤC CỦA SĨNG DI ĐỘNG TRONG MƠ HÌNH TÁN XẠ
PHÂN TÁN VỚI HÀM THƠNG LƯỢNG TÙY Ý.
2- NHIỆM VỤ LUẬN VĂN:
Tiếp cận hướng nghiên cứu đang được nhiều nhà toán học quan tâm về sự tồn tại tồn cục
của sóng di động trong các mơ hình với nhớt và mao dẫn.


Trình bày, hệ thống lại các kiến thức cơ sở của hàm thông lượng f , sự ổn định
Lyapunov và nguyên lý bất biến LaSalle. Từ đó, chứng minh được sự tồn tại tồn cục
của sóng di động trong mơ hình tán xạ phân tán với hàm thông lượng tùy ý.



Thiết lập công thức nghiệm của sóng di động đối với luật bảo tồn tán xạ - phân tán
trong một số trường hợp.

3- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : ngày 08 tháng 12 năm 2008.
4- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : ngày 30 tháng 08 năm 2009.
5- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : TS. MAI ĐỨC THÀNH.
Nội dung và đề cương Luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua.
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN
(Họ tên và chữ ký)

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN
QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH
(Họ tên và chữ ký)

TS. MAI ĐỨC THÀNH

PGS.TS. NGUYỄN ĐÌNH HUY


CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học : TS. MAI ĐỨC THÀNH .................................
........................................................................................................................
........................................................................................................................
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)

Cán bộ chấm nhận xét 1 : TS. NGUYỄN BÁ THI ........................................
........................................................................................................................
........................................................................................................................
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)

Cán bộ chấm nhận xét 2 : TS. NGUYỄN NGỌC HẢI ..................................
........................................................................................................................
........................................................................................................................
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN

THẠC SĨ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày 12 tháng 09 năm 2009.


Luận văn Thạc sĩ Tốn học

SỰ TỒN TẠI TỒN CỤC CỦA
SĨNG DI ĐỘNG TRONG MƠ
HÌNH TÁN XẠ PHÂN TÁN VỚI
HÀM THÔNG LƯỢNG TÙY Ý
GVHD : T.S Mai Đức Thành
HVTH : Phạm Viết Thành
Ngày 24 tháng 9 năm 2009


Lời cảm ơn
Tôi vô cùng biết ơn
Tiến sĩ Mai Đức Thành đã định hướng tơi nghiên cứu, tận tình hướng
dẫn, động viên tơi trong suốt q trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận
văn này.
Tôi gửi lời tri ân đến
Các Thầy, Cơ đã hướng dẫn tơi nghiên cứu Tốn học trong khóa học Cao
học 2007 - 2009 tại trường Đại Học Bách Khoa TP. Hồ Chí Minh.
Tơi gửi lời cám ơn
Các bạn đồng môn, đã chia sẽ niềm yêu thích Tốn học, ý tưởng, tài liệu,
thực hiện seminar với tôi trong hai năm qua tại trường Đại Học Bách Khoa
TP. Hồ Chí Minh.
Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong đã hỗ trợ kinh phí và tạo điều kiện
cho tơi tham gia khóa Cao học này.
Gia đình và các bạn bè đã hiểu, chia sẻ cảm xúc trong q trình tơi thực

hiện đề tài.
TP. HCM, tháng 7 năm 2009.
Phạm Viết Thành

1


Lời giới thiệu
Lý thuyết các nghiệm phi cổ điển của các hệ hyperbolic các định luật bảo
toàn được LeFloch khởi xướng và đã được mở rộng nghiên cứu trong nhiều
năm. Sóng di động tán xạ phân tán đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả, xem
[1], [2], [3], [4], [5], . . . . Trong [7], quan hệ giữa sự tồn tại của sóng di động và sự
tồn tại của sóng sốc cổ điển và phi cổ điển đã được trình bày. Gần đây, sóng
di động khơng đơn điệu trong mơ hình lưu chất (chất lỏng hay chất khí) Van
der Waals với những hệ số tán xạ phân tán đã được trình bày trong [3].
Xét phương trình của định luật bảo toàn
∂t u + ∂x f (u) = 0

(0.0.1)

với f liên tục và nghiệm của nó được gọi là sóng sốc có dạng

u=



 u+ ,

x ≥ λ.t


u ,
−

x < λ.t

trong đó λ là hằng số vận tốc.
Trong luận văn này, ta sẽ làm rõ sự tồn tại nghiệm trơn, được gọi là sóng
di động (traveling waves), của phương trình đạo hàm riêng sau :
∂t u(x, t) + ∂x f (u(x, t)) = a.∂xx u(x, t) + b.∂xxx u(x, t) , x ∈ IR , t > 0 (0.0.2)
với a, b lần lượt là hệ số tán xạ và phân tán tương ứng. Ở đây, ta giả sử a, b là
các hằng số dương.
2


Khi sóng di động trong phương trình (0.0.2) tồn tại, vấn đề ta quan tâm
đến là giới hạn của sóng di động khi a, b → 0+ . Đây là một dạng xấp xỉ chấp
nhận được đối với sóng sốc của luật bảo tồn (0.0.1).
Ngược lại, khi sóng sốc của phương trình (0.0.1) tồn tại, thì sóng di động
tương ứng cũng tồn tại dưới một dạng nào đó, đã được trình bày bởi P.G.
LeFloch (xem [7]).
√
x − λ.t
x − λ.t
= √ , với α = a/ b thay vào
a
b
(0.0.2). Khi đó, sóng di động u liên kết trạng thái bên trái u− sang trạng thái
Bằng cách đổi biến, y = α ·

bên phải u+ , thỏa mãn phương trình vi phân thường
−λ

du df (u)
d2 u d3 u
+
= α 2 + 3,
dy
dy
dy
dy

y ∈ IR ,

(0.0.3)

và điều kiện biên
lim u(y) = u± ,

y→±∞

(0.0.4)

d2 u
du
= lim
lim
= 0.
y→±∞ dy 2
y→±∞ dy

Lấy tích phân (0.0.3) và dùng điều kiện biên (0.0.4), chúng ta tìm được u
sao cho :
du
d2 u
= −λ(u(y) − u− ) + f (u) − f (u− ),
+
α
dy 2
dy

y ∈ IR

(0.0.5)

du
dy
Chúng ta có thể viết lại phương trình vi phân (0.0.5) về hệ như sau :

Đặt v =


du(y)



= v(y)


dy


dv(y)


= −αv(y) − λ(u(y) − u− ) + f (u(y)) − f (u− )

dy

(0.0.6)

Hệ (0.0.6) có thể được viết về dạng sau :
dU (y)
= F (U (y)),
dy
3

y ∈ IR ,

(0.0.7)


với
U = (u, v) ∈ IR 2 ,

v=

du
dy

F (U ) = v, −αv + h(u) ,

h(u) = −λ(u − u− ) + f (u) − f (u− ).

Từ đó, dựa trên sự ổn định Lyapunov và nguyên lý bất biến LaSalle, ta chứng
minh được sự tồn tại của sóng di động.
Trong luận văn này, tơi sẽ trình bày kiến thức tổng quan, hệ thống các tính
chất cơ sở nhằm làm rõ các kết quả của bài báo [1]. Dựa vào đó, tơi thiết lập
cơng thức nghiệm của sóng di động đối với luật bảo toàn tán xạ - phân tán
trong một số trường hợp.
Trọng tâm nghiên cứu là chứng minh sự tồn tại tồn cục của sóng di động
trong mơ hình tán xạ - phân tán với hàm thơng lượng tùy ý dựa trên cơ sở
nguyên lý bất biến LaSalle.
Luận văn này được trình bày với cấu trúc gồm ba chương như sau :
Chương 1: Trình bày các kiến thức tổng quan như : các khái niệm cơ bản
về tính hyperbolic, nghiệm yếu của hệ luật bảo toàn, nghiệm entropy, các luật
bảo tồn vơ hướng, . . .
Chương 2: Trình bày sự ổn định trạng thái cân bằng của hệ tuyến tính,
các tính chất của sóng di động và sự ổn định của trạng thái cân bằng. Thiết
lập công thức nghiệm của sóng di động đối với luật bảo tồn tán xạ - phân tán
trong một số trường hợp.
Chương 3: Trình bày sự ổn định Lyapunov, nguyên lý bất biến LaSalle,
một số kết quả bất biến dựa trên nguyên lý LaSalle. Chỉ ra sự tồn tại tồn
cục của sóng di động trong mơ hình tán xạ phân tán với hàm thông lượng f
Lipschitz địa phương.

4


Mục lục

LỜI CẢM ƠN

1

LỜI GIỚI THIỆU

2

MỤC LỤC

6

1 KIẾN THỨC TỔNG QUAN

7

1.1

1.2

Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1

Tính hyperbolic

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2

Nghiệm yếu của hệ luật bảo toàn . . . . . . . . . . . . .

12

1.1.3

Nghiệm entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Sóng sốc - Điều kiện entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2 SÓNG DI ĐỘNG VÀ SỰ ỔN ĐỊNH CỦA TRẠNG THÁI
CÂN BẰNG

24

2.1

Sự ổn định trạng thái cân bằng của hệ tuyến tính . . . . . . . .

24

2.1.1

Tính chất dáng điệu của hệ tuyến tính . . . . . . . . . .

24

2.1.2

Tính chất dáng điệu gần những điểm cân bằng . . . . . .

28

Khái niệm và tính chất sóng di động . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2.1

Mối tương quan của sóng sốc và sóng di động . . . . . .

29

2.2.2

Khái niệm sóng di động . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2

5

2.3

Sự ổn định của trạng thái cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . .

3 SỰ TỒN TẠI CỦA SÓNG DI ĐỘNG
3.1

31
52

Sự ổn định Lyapunov và nguyên lý bất biến LaSalle . . . . . . .

52

3.1.1

Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . .

52

3.1.2

Sự phụ thuộc liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.1.3

Tính ổn định và ổn định tiệm cận . . . . . . . . . . . . .

61

3.1.4

Nguyên lý bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

3.2

Một số kết quả về tính bất biến dựa trên nguyên lý LaSalle . . .

71

3.3

Sự tồn tại của sóng di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

TÀI LIỆU THAM KHẢO

88

6


Chương 1

KIẾN THỨC TỔNG QUAN
1.1

Các khái niệm cơ bản

1.1.1

Tính hyperbolic

Cho U là một tập mở trong IR n và hàm trơn f : U → IR n . Dạng tổng qt
của hệ luật bảo tồn trong khơng gian một chiều là :
∂t u + ∂x f (u) = 0,

u(x, t) ∈ U,

x ∈ IR , t > 0,

(1.1.1)

trong đó u : IR × [0, +∞) → U, u = u(x, t) = (u1 (x, t), u2 (x, t), . . . , un (x, t)).
Tập U được gọi là tập trạng thái và hàm f được gọi là hàm thông lượng (fluxfunction). Hơn nữa, ta nói rằng hệ (1.1.1) được viết dưới dạng bảo tồn.
Một cách hình thức, hệ (1.1.1) biểu thị sự bảo toàn của n đại lượng u1 , u2 , . . . , un .
Thực vậy, giả sử I = (a, b) là một khoảng tùy ý của IR . Khi đó, từ (1.1.1) suy
ra :
d
dt

b

udx = f (u(a, t)) − f (u(b, t))

a

Phương trình này có ý nghĩa tự nhiên là biến phân theo thời gian
đúng bằng thất thoát qua biên tại hai đầu mút a, b.

7

I

udx


Ký hiệu:
A(u) =

∂f (u)
=
∂u

∂fi (u)
∂uj

1≤i,j≤n

là ma trận Jacobian của f.
Định nghĩa 1.1.1. Hệ (1.1.1) được gọi là hyperbolic nếu ma trận A(u) thừa
nhận n giá trị riêng thực λ1 (u) ≤ · · · ≤ λn (u) và n vectơ riêng tương ứng độc
lập tuyến tính r1 (u), . . . , rn (u):
A(u)rk = λk .rk ,

k = 1, . . . , n

Khi đó cặp (λk , rk ) được gọi là trường đặc trưng thứ k, k = 1, . . . , n.
Định nghĩa 1.1.2. Hệ (1.1.1) được gọi là hyperbolic ngặt nếu ma trận A(u)
thừa nhận n giá trị riêng thực phân biệt λ1 (u) < · · · < λn (u).
Giả sử hệ (1.1.1) là hyperbolic. Vì một ma trận và chuyển vị của nó có cùng
tập các giá trị riêng, nên tồn tại các vectơ riêng lk ứng với các giá trị riêng λk
của ma trận AT :
AT (u)lk = λk lk ,

k = 1, . . . , n

Hệ thức ấy được viết lại dưới dạng:
lk A(u) = λk lk ,

k = 1, . . . , n

Vì vậy các vectơ lk (u) thường được gọi là các vectơ riêng trái và các vectơ
rk (u) thường được gọi là các vectơ riêng phải.
Gải sử rằng hệ (1.1.1) là hệ nghiêm ngặt. Khi đó:
li (u).rj (u) = 0,

i=j

Thật vậy:
λj (li (u).rj (u)) = li (u).(A(u)rj (u))
= (li (u)A(u)).rj (u)
= λi (u)(li (u).rj (u)).
8

(1.1.2)


Vì λi = λj nên ta nhận được (1.1.2).
Ví dụ 1.1. Phương trình trình Burgers có dạng :
∂t u + ∂x f (u) = 0,

(1.1.3)

với f là hàm lồi, trơn. Sử dụng phép đổi biến :
u = −2 .

ϕx
ϕ

ta có thể đưa (1.1.3) về phương trình truyền nhiệt :
∂t ϕ = ∂x22 ϕ.
Ví dụ 1.2. (Hệ p). Phương trình khí động học đẳng entropy một chiều trong
hệ tọa độ Lagrange :
v t − ux = 0

(1.1.4)

ut + p(v)x = 0
trong đó v là dung tích riêng, u là vận tốc, p là áp suất. Với khí lý tưởng dạng
entropy nhiều hướng :
p(v) = Av −γ
với A = A(S) là hằng số và γ ≥ 1.
Hệ (1.1.4) có dạng :
∂t w + ∂x f (w) = 0

với w = (u, v)T , f (w) = (−u, p(v)), Ω = {(u, v) : v > 0}.
Ma trận Jacobi :




 0

A(U ) = 

p (v)

Hệ là hyperbolic nếu p (v) < 0.

9

−1
0




Ví dụ 1.3. Phương trình khí động học trong hệ tọa độ Lagrange :
∂t v − ∂x u = 0
(1.1.5)

∂t u + ∂x p = 0
∂t e + ∂x (pu) = 0.
Ở đây, v = 1/p là dung tích riêng, u là vận tốc, p là áp suất,

là năng lượng

nội tại riêng, e = + u2 /2 là tổng năng lượng riêng. Ta bổ sung hệ (1.1.5) một
phương trình trạng thái dạng :
p = p(v, ).
Phương trình này thỏa mãn một số điều kiện của nhiệt động học. Trong đó,
cho trước bất kỳ hai biến nhiệt động học (gọi là biến độc lập), ba biến cịn lại
đều có thể biểu thị là hàm của chúng (biến phụ thuộc).
Các biến nhiệt động học thỏa mãn định luật nhiết động học thứ hai :
T dS = d + pdv.

(1.1.6)

trong đó T là nhiệt độ tuyệt đối, S là entropy riêng. Từ (1.1.6) ta có :
T ∂t S = ∂t + p∂t v.
Giả sử rằng các biến phụ thuộc là các hàm đủ trơn của x, t. Từ hệ (1.1.5) suy
ra :
T St = et − uut + pvt = 0
Do T > 0 ta có St = 0 biểu thị sự bảo tồn entropy đối với các dịng trơn. Hơn
nữa ta có nhận xét rằng ánh xạ :
θ = (v, u, S) → (v, u, e)

10


là trơn và song ánh. Thực vậy, từ e = (v, S) + u2 /2 ta có :


 1


Dθ = 
 0




0 0

1 0


−p u T



nên |Dθ| = T > 0. Do đó, trong trường hợp dịng trơn, ta có thể viết lại hệ
(1.1.5) một cách tương đương dưới dạng :
vt − ux = 0
ut u + p x = 0

(1.1.7)

St = 0
Bây giờ, giả sử rằng p, và T là các hàm cho trước của v và S sao cho phương
trình trạng thái trở thành :
p = p(v, S),

(1.1.8)

c2

< 0,
v2

(1.1.9)

với giả thiết :
pv (v, S) = −

pvv (v, S) > 0,

trong đó c là vận tốc âm địa phương. Nói riêng, đối với khí lý tưởng nhiều
hướng (polytropic) :
p = (γ − 1) exp(

S − S0 γ
S
p ) = C exp( )v −γ ,
Cv
C0

trong đó Cv là nhiệt dung riêng trên một thể tích hằng số. Hệ (1.1.7), (1.1.8) có
dạng thích hợp để nghiên cứu các trường đặc trưng. Thật vậy, ma trận Jacobi
của hệ (1.1.7) được cho bởi :




 0 −1 0 



p

0
p
s
 v



0

0

11

0


Phương trình đặc trưng tương ứng là :
λ(λ2 + pv ) = 0
cho ta các giá trị riêng thực phân biệt :
√
√
−c
c
λ1 = − −pv =
< λ2 = 0 < λ3 = −pv =
v
v
Các véctơ riêng tương ứng có thể chọn là :

r1 = (v, c, 0)T ,
1.1.2

r2 = (ps , 0, −pv )T ,

r3 = (v, −c, 0)T .

Nghiệm yếu của hệ luật bảo tồn

Sự khơng tồn tại nghiệm trơn

Xét bài tốn Cauchy đối với phương trình vơ hướng:
ut + a(u)ux = 0,

x ∈ IR , t > 0,

u(x, 0) = u0 (x),

(1.1.10)

x ∈ IR

Đường đặc trưng của phương trình đạo hàm riêng (1.1.10) được định nghĩa là
đường cong tích phân của phương trình vi phân:
dx
= a(u(x(t), t))
dt

(1.1.11)

Định lí 1.1.1. Giả sử u là nghiệm trơn của (1.1.10). Khi đó các đường đặc
trưng (1.1.11) là các đường thẳng mà dọc theo đó hàm u nhận giá trị hằng số.
Chứng minh. Xét một đường đặc trưng đi qua điểm (x0 , 0) tức là nghiệm
của bài toán:


dx


= a(u(x(t), t))

dt




x(0) = x0
12


Nghiệm này tồn tại trên một khoảng [0, t0 ] nào đó. Dọc theo đường cong này,
hàm u là hằng số. Thật vậy:
d
dx(t)
u(x(t), t) = ut (x(t), t) + ux (x(t).t)
dt
dt
= (ut (x(t), t) + a(u(x(t), t))ux (x(t), t)) = 0.
Do đó ta suy ra rằng các đường đặc trưng là các đường thẳng và độ dốc của
đường thẳng phụ thuộc vào dữ kiện ban đầu. Hơn nữa, đường đặc trưng đi qua

(x0 , 0) được xác định bởi phương trình:
x = x0 + ta(u0 (x0 )).

(1.1.12)

Xây dựng nghiệm bởi phương pháp đặc trưng:
Đặt u(x, t) = u0 (x0 ). Bây giờ, giả sử rằng tồn tại hai điểm x1 < x2 sao cho:
m1 =

1
1
<
= m2
a(u0 (x1 )) a(u0 (x2 ))

Khi đó các đường đặc trưng C1 , C2 xuất phát từ (x1 , 0), (x2 , 0) với các độ dốc
tương ứng m1 , m2 sẽ cắt nhau tại một điểm P nào đó.
Tại điểm P này, nghiệm u nhận cả hai giá trị u0 (x1 ) và u0 (x2 ). Do đó,
nghiệm u khơng thể liên tục tại P . Hiện tượng này khơng phụ thuộc vào tính
trơn của u0 và a. Thực vậy, từ (1.1.12) ta suy ra rằng điều kiện để hai đường
đặc trưng cắt nhau là:
t[a(u0 (x1 )) − a(u0 (x2 ))] = x2 − x1
Vậy trừ phi hàm x → a(u0 (x)) là tăng, mà trong trường hợp này ta khơng có
nghiệm dương t nào, ta không thể xác định được nghiệm cổ điển u nào với tất
cả t > 0. Tuy nhiên, nghiệm cổ điển có thể xây dựng bằng phương pháp đặc
trưng đến một thời điểm lớn nhất T ∗ xác định bởi:
T∗ = −

1
,

min(α, 0)

α = min
x∈ IR

13

d
a(u0 (x))
dx


Ví dụ 1.4. Xét bài tốn Cauchy cho phương trình Burgers (1.1.3) với dữ kiện
đầu :
u(x, 0) = u0 (x) =




1,




x≤0

1 − x, 0 < x ≤ 1





 0,
x>1

Sử dụng phương pháp đặc trưng, ta có thể giải cho đến thời điểm các đường
đặc trưng cắt nhau. Chú ý rằng với phương trình Burgers thì a(u) = u. Từ
(1.1.12), ta xác định được các đường đặc trưng theo công thức :
x = x(x0 , t) = x0 + tu0 (x0 ).
Suy ra
x(x0 , t) =




x0 + t,




x≤0

x0 + t(1 − x0 ), 0 < x ≤ 1




 x ,
x>1
0

với t < 1 các đường đặc trưng không cắt nhau. Và ta xác định được điểm x0
như sau :





x − t, x ≤ t < 1


 1−x
x0 =
, t≤x≤1
 1−t






0,

x>1

Tại t = 1 các đường đặc trưng cắt nhau và nghiệm trở nên gián đoạn.

Khái niệm nghiệm yếu

Xét bài toán Cauchy:



 ut + f (u)x = 0,

 u(x, 0) = u0 (x)

14

u ∈ U ⊂ IR n

(1.1.13)


n
∞
n
trong đó u0 ∈ L∞
loc ( IR ) . Giả sử u là nghiệm trơn và ϕ ∈ C0 ( IR × [0, +∞)) .

Áp dụng cơng thức Green, ta có:
∞

0 = −

(ut + f (u)x )ϕdxdt =
0
∞

IR

(uϕt + f (u)ϕx )dxdt +

=
0

IR

u0 (x)ϕ(x, 0)dx
IR

Vì vậy nghiệm cổ điển u thỏa đẳng thức vi tích phân:
∞

(uϕt + f (u)ϕx )dxdt +
0

IR

u0 (x)ϕ(x, 0)dx = 0

(1.1.14)

IR

n
Lưu ý rằng (1.1.14) có nghĩa với giả thiết u0 ∈ L∞
loc ( IR × [0, +∞)) .
n
Định nghĩa 1.1.3. Hàm u0 ∈ L∞
loc ( IR × [0, +∞)) được gọi là nghiệm yếu của

bài toán Cauchy (1.1.13) nếu u(x, t) ∈ U hầu khắp nơi và thỏa mãn (1.1.14)
với bất kỳ hàm thử ϕ ∈ C0∞ ( IR × [0, +∞))n .
Nhận xét: Nếu nghiệm yếu u là trơn thì u cũng là nghiệm cổ điển.
Hệ thức Rankine - Hugoniot

Giả sử hàm u là nghiệm yếu, trơn trong miền D ⊂ IR × (0, +∞) ngoại trừ
mà trên đó hàm u có thể gián đoạn. Khi đó

một đường cong

D thành hai miền con, kí hiệu là D± (bên phải và bên trái của

tách miền
). Giả sử

ϕ ∈ C0∞ (D)n . Ta có thể viết:
0 =

(uϕt + f (u)ϕx )dxdt =
D

=

(uϕt + f (u)ϕx )dxdt +
D−

(uϕt + f (u)ϕx )dxdt

(1.1.15)

D+

Vì hàm ϕ có giá compact trong D− nên áp dụng cơng thức Green, ta có:
(uϕt + f (u)ϕx )dxdt = −
D−

(ut + f (u)x )ϕdxdt +

(u− v2 + f (u− v1 ))ϕdt

D−

=

(u− v2 + f (u− v1 ))ϕdt
15

(1.1.16)


vì rằng nghiệm yếu mà trơn trong một miền thì cũng là nghiệm cổ điển trong
miền đó. Ở đây v = (v1 , v2 ) là vectơ pháp tuyến đơn vị của

hướng từ D−

vào D+ và u− là giới hạn bên trái của u. Tương tự, ta cũng có:
(uϕt + f (u)ϕx )dxdt = −

(u+ v2 + f (u+ v1 ))ϕdt

(1.1.17)

D+

Cộng (1.1.16) và (1.1.17) theo từng vế, từ (1.1.15) ta được:
((u+ − u− )v2 + (f (u+ ) − f (u− ))v1 )ϕdt

(1.1.18)

Hệ thức (1.1.18) đúng với bất kỳ hàm thử ϕ nào nên ta phải có:
(u+ − u− )v2 + (f (u+ ) − f (u− ))v1 = 0 ,trên
Bây giờ, giả sử rằng đường cong

(1.1.19)

được tham số hóa bởi:

= {(x, t) : x = x(t), t > 0},
trong đó x = x(t) là hàm trơn. Khi đó:
1

v = (v1 , v2 ) = (1 + s) 2 (1, −s),

với s = x(t)

Và do đó, hệ thức (1.1.19) trở thành:
−s(u+ − u− ) + f (u+ ) − f (u− ) = 0,

trên

Ký hiệu:
[u] = u+ − u− ,

[f (u)] = f (u+ ) − f (u− )

Như vậy, ta vừa chứng minh được định lý sau:
Định lí 1.1.2. Cho hàm trơn u trong miền D ngoại trừ một đường cong
Khi đó u là nghiệm yếu nếu và chỉ nếu:
(i) u là nghiệm cổ điển trong những miền mà nó trơn.
16

.


(ii) u thỏa hệ thức:
−s[u] + [f (u)] = 0

(1.1.20)

. Hệ thức (1.1.20) được gọi là hệ thức bước nhảy

dọc theo đường cong
Rankine - Hugoniot.

Ví dụ 1.5. Xét phương trình Burgers :
ut + uux = 0
với dữ kiện đầu :
u0 (x) =

(1.1.21)



 ul ,

x<0


 ur ,

x>0

(1.1.22)

Có thể thấy hàm u sau là một nghiệm của bài toán (1.1.21) - (1.1.22) :
u(x, t) =



 ul ,

x < st


 ur ,

x > st

;s =

ul + u r
.
2

Ngồi ra, bài tốn trên cịn có vơ số nghiệm khác, chẳng hạn nghiệm cho bởi :

u(x, t) =




ul ,






 −a,


a,






 ur ,

trong đó s1 =
1.1.3

x < s1 t
s1 t < x < 0
0 < x < s2 t
x > st

ul − a
ur + a
, s2 =
, s ≥ max{ul , −ur }.
2
2

Nghiệm entropy

Khái niệm entropy tốn học

Phương trình (1.1.1) có thể viết lại dưới dạng phi bảo toàn:
ut + A(u)ux = 0,
17

A(u) =

∂f (u)
∂u

(1.1.23)

Nếu u là một nghiệm trơn của (1.1.23) và giả sử có các hàm trơn U, F : U → IR
thỏa mãn:
DU (u) · A(u) = DF (u),

u∈U

(1.1.24)

Khi đó nhân hai vế của (1.1.23) với DU (u) ta được:
DU (u)(ut + A(u)ux ) = 0
hay
Ut + F (u)x = 0

(1.1.25)

Định nghĩa 1.1.4. Giả sử U là tập lồi. Một hàm lồi, trơn U : U → IR được gọi
là entropy của hệ luật bảo toàn (1.1.1) nếu tồn tại một hàm trơn F : U → IR
thỏa mãn hệ thức (1.1.24). Hàm F được gọi là thông lượng entropy. Cặp
(U, F ) được gọi là cặp entropy (lồi).
Ví dụ 1.6. Xét luật bảo tồn vơ hướng :
ut + f (u)x = 0,

u ∈ IR

Ta có :
F (u) = U (u)f (u)
Suy ra :
u

F (u) = F (a) +

U (v)f (v)dv
a

Ví dụ 1.7. Xét hệ đối xứng :
ut + f (u)x = 0,

Df (u) đối xứng.

Hệ là hyprebolic nhưng không nhất thiết là hyperbolic ngặt. Do ma trận Jacobi
Df (u) là đối xứng nên nó phải trùng với ma trận Hessian của một hàm vơ
hướng ψ nào đó, và do vậy, f = ∇ψ. Suy ra :
U (u) =

|u|2
,
2

F (u) = ∇ψ(u).u − ψ(u)
18


là một cặp entropy.

Phương pháp triệt tiêu nhớt

Bây giờ ta xét hệ bảo toàn với nhớt:
uεt + f (uε )x = ε

∂ 2 uε
∂x2

(1.1.26)

trong đó vế phải được xem như là nhớt (viscousity) của hệ. Ta có kết quả về
triệt tiêu nhớt:
Định lí 1.1.3. Giả sử rằng hệ (1.1.1) thừa nhận một cặp entropy (U, F ). Hơn
nữa, giả sử rằng uε là một dãy các hàm đủ trơn của (1.1.26) sao cho:
||uε ||L∞ ( IR

×[0,+∞))

uε → u,

ε → 0 h.k. IR × [0, +∞)

≤ C,

trong đó C là hằng số khơng phụ thuộc ε. Khi đó u là nghiện yếu của hệ luật
bảo toàn (1.1.1) và thỏa mãn điều kiện entropy sau đây:
U (u)t + F (u)x ≤ 0
theo nghĩa phân bố trên IR ×(0, +∞), tức là với mỗi ϕ ∈ C0∞ ( IR ×(0, +∞)), ϕ ≥
0, ta đều có:
∞

+∞

(U (u)ϕt + F (u)ϕx )dxdt ≥ 0.
0

−∞

Khái niệm entropy

Từ định lý trên, người ta đưa ra khái niệm nghiệm entropy sau:

19


Định nghĩa 1.1.5. Nghiệm yếu u được gọi là nghiệm entropy nếu với bất kỳ
cặp entropy (U, F ) nào và với bất kỳ hàm thử ϕ ∈ C0∞ ( IR × [0, +∞)) nào,
ϕ ≥ 0, ta đều có:
∞

U (u0 (x))ϕ(x, 0)dx ≥ 0

(U (u)ϕt + F (u)ϕx )dxdt +
0

IR

IR

.
Ta có kết quả sau: hàm u trơn ngoại trừ trên một đường cong là nghiệm
yếu nếu và chỉ nếu:
(i) u là nghiệm cổ điển trong những miền mà nó trơn.
(ii) u thỏa điều kiện Rankine - Hugoniot.
(iii) u thỏa bất đẳng thức bước nhảy

−s[U (u)] + [F (u)] ≤ 0
trong đó s là độ dốc của đường cong gián đoạn của u.
Ví dụ 1.8. Xét phương trình Burgers với nhớt :
ut + uux = εuxx .
Cho (U, F ) là một cặp entropy tùy ý, nhân hai vế của phương trình trên với
U (u) ta có :
U (u)t + F (u)x = εU (u)xx − εU (u)u2x
Do đó khi ε → 0 ta nhận được :
U (u)t + F (u)x ≤ 0
Ví dụ 1.9. Mở rộng vế phải : nhớt và độ mao dẫn (capillarity)
ut + (u3 )x = εuxx + δuxxx ,
20

ε > 0, δ ∈ IR


Sử dụng U (u) = u2 , ta có :
3u4
2

(u2 )t +

x

= ε(u2 )xx − 2εu2x + δ(2uuxx − u2x )x
= ε(u2 )xx − 2εu2x + δ((u2 )xx − 3u2x )x

Cho ε, δ → 0 trong đẳng thức trên, ta được :
3u4
(u )t +

2
2

≤ 0.
x

Mở rộng khái niệm entropy

Trong định nghĩa entropy, một cách tổng quát hơn ta có thể xét các hàm
liên tục Lipschitz địa phương U, F thỏa mãn (1.1.25) hầu khắp nơi. Thật vậy,
giả sử ta có một dãy các cặp entropy lồi, trơn (Un , Fn ) sao cho :
Fn → F,

Un → U

đều trên mỗi tập bị chặn. Khi đó, nếu uε là một dãy các nghiệm của bài toán
(1.1.26), uε → u trong L1loc khi ε → 0, ta có :
(Un (u)ϕt + Fn (u)ϕx )dxdt ≥ 0
IR ×(0,+∞)

với mỗi hàm thử ϕ ≥ 0. Cho n → +∞ trong bất đẳng thức cuối cùng ta nhận
được bất đẳng thức cần chứng minh trong định lý (1.1.3).
Như vậy, khái niệm entropy có thể được mở rộng đối với hàm liên tục
Lipschitz địa phương.

1.2

Sóng sốc - Điều kiện entropy

Xét luật bảo tồn vơ hướng:

ut + f (u)x = 0,

u = u(x, t) ∈ IR
21

(1.2.1)