Đề thi môn toán 2005

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TÀI NĂNG

Đề thi tuyển sinh chương trình Đào tạo Kỹ sư Tài năng và Ks. Chất lượng cao 2005
Môn thi: Toán học
(Thời gian: 120 phút)
Câu 1.
Cho dãy số {u
n
} xác định như sau:
.1 ,0 ,
1
0
1
1
=≥+=
−
−
un
u
uu
n
nn


1. Chứng minh rằng dãy số ấy không dẫn tới một giới hạn hữu hạn khi .
∞→n
2. Chứng minh rằng:
+∞=
∞→
n

n
ulim


Câu 2.
Cho hàm số f(x) liên tục, đơn điệu giảm trên đoạn [0, b] và
],0[ ba ∈

Chứng minh rằng:
∫∫
≥
ab
dxxfadxxfb
00
)()(


Câu 3.
f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn
]2/,0[
π
, thoả mãn
∫
<>
2/
0
1)( ,0)(
π
dxxfxf

Chứng tỏ rằng phương trình
f(x) = sinx
có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0,
π
/2).

Câu 4.
Cho hàm số:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
=
0 nÕu
nÕu
x
x
x
x
xf
0
0 )
1
sin(
)(
α

α
là hằng số dương. Với giá trị nào của
α
, hàm số f(x) có đạo hàm tại mọi x.

Câu 5.
Tìm tất cả các hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên
ℜ
và thoả mãn hệ thức
)yx,( 2)()()( ℜ∈∀++=+ xyyfxfyxf