Bài tập phần ứng dụng hình học của tích phân kép (GIẢI TÍCH)

Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
Tính diện tích miền D giới hạn bởi
1. x=y2-2y, x+y=0
2. y2=10x+25, y2=-6x+9
3. y=lnx, x=y+1, y=-1
4. y=4x-x2, y=2x2-5x
5. y2=4-4x, x2+y2=4 (phía ngồi parabol)
Giải:
Nhắc lại công thức

S (D ) = �
�dxdy
D


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
1. Ta tìm cận tích phân theo dy bằng cách khử x từ
2 phương trình 2 mặt
x=y2-2y=-y (1) ↔ y2-y=0 ↔ y=0, y=1
Từ đó suy ra 0≤y≤1, ta lấy ngược lại phương trình 1
để được tiếp cận đối với tích phân theo dx
y2-2y ≤x ≤ -y
1

Vậy : S(D1) = dy
�
0

- y

1

1
dx = ( y - y )dy =
�
�
6
2
y - 2y
0
2


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
2. Khử x từ 2 phương trình đã cho
1 2
1
2
( y - 25) = (9 - y ) (1) � y = � 15
10
6
Suy ra cận tích phân theo dy, tương tự như trên, ta
thay vào phương trình (1) để có cận tích phân theo dx
Vậy :
15

S(D2) =
-

1
(9- y 2 )

6

�dy �
15

1 2
( y - 25)
10

15

1
16 15
2
dx = � (120 - 8 y )dy =
30
3
- 15


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
3. Ta sẽ vẽ miền D3 để xác định cận tích phân
ey

0

1

y +1

y=
l

- 1

nx

S(D3 ) = �
dy �
dx
-1

1 1
S(D3 ) = 2 e

4. Tìm giao điểm 2 đường giới hạn D
4x-x2=2x2-5x ↔ 0=3x2-9x ↔ x=0, x=3
Suy ra : 0≤x ≤3 ↔ 0 ≤3x2-9x ↔ 4x-x2 ≤2x2-5x
3

S(D4 ) = �
dx
0

2 x2- 5 x

� dy

4 x- x 2

=27/2


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
5. Tìm giao điểm của 2 đường đã cho
4-4x=4-x2 ↔ x2-4x=0 ↔ x=0, x=4 (Loại vì y2=4-4x<0)
Ta vẽ hình để có cận tích phân theo dx
4- y 2

2

S(D5 ) = �
dy
- 2

�dx

2
y
1-

2

4

1

8
S(D5 ) = 2p 3
-2

Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
Bài 1: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 2 mặt
1. V1: x2+y2+z2=2, z2=x2+y2, z≥0
2. V2: x2+y2+z2=4, x2+y2=2x, phần trong hình trụ
3. V3: x2+y2=1, x2+z2=1
3a. V3a: y2+z2-x2=0, x=6-y2-z2
Ta sẽ tìm hình chiếu của vật thể xuống mặt phẳng
z=0 (x=0, y=0) bằng cách khử z ( khử x, khử y) từ 2
phương trình 2 mặt tạo nên vật thể


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
1. z2 = 2-x2-y2=x2+y2 ↔ 1= x2+y2
Như vậy, hình chiếu của V1 xuống mp z=0 là hình trịn
x2+y2 ≤1 ↔ x2+y2 ≤2-x2-y2. (Làm ngược lại với pt trên)
Tức là ta cũng xác định được mặt nằm trên, nằm dưới
trong miền V1.
2
2
2
2
Vậy : V1 = �
[(2
x
y
)
(
x

+
y
)]dxdy
�
x 2 +y 2 �1

Vì miền lấy tích phân là hình trịn có tâm là gốc tọa độ
nên ta sẽ đổi biến tp trên sang tọa độ cực bằng cách
đặt x=rcosφ, y=rsinφ
2p

1

1

p
4
3
V1 = �
dj �
r (2 - 2r )dr = 2p(r r ) =
4
2
0
0
0
2

2

Bài tập phần UD hình học của tích phân kép

1

0≤φ≤2π 0≤r ≤1


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
2. Trong 2 mặt đã cho có 1 mặt trụ kín nên hình
chiếu chính là hình trịn x2+y2≤2x
2 mặt cịn lại là nửa dương và nửa âm của mặt cầu.
Vì cả 2 mặt đã cho đều nhận z=0 là mặt đối xứng
nên ta sẽ tính thể tích nửa phía trên và nhân đôi

�
�

V2 = 2

4 - x 2 - y 2dxdy

x 2 +y 2 �2 x

Miền lấy tp là hình trịn đi qua gốc tọa độ nên ta đổi
biến bằng cách đặt x=rcosφ, y=rsinφ
p

2

V2 = 2 �dj
-p

2

2cos j

�r
0

2

4 - r dr


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép

2

-π/2≤φ≤π/2

0 ≤r ≤2cos φ


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
3. Vật thể giới hạn bởi 2 hình trụ kín nên ta có thể
chọn 1 trong 2 hình trụ đó để chiếu xuống mặt z=0
hoặc y=0. Chẳng hạn, ta chọn chiếu xuống mặt z=0
để hình chiếu là hình trịn D: x2+y2≤1
Cả 2 hình trụ tạo nên V3 đều nhận cả 3 mặt tọa độ là

các mặt đối xứng nên ta sẽ chỉ tính thể tích V3 phần
ứng với x, y, z ≥ 0 rồi nhân với 8
Khi đó, hình chiếu chỉ cịn là ¼ hình trịn với x, y ≥ 0
và giới hạn bởi 0 �z � 1- x 2
p

V3 = 8

�
�

x 2 +y 2 �1,x�0,y �0

4

1- x 2dxdy = 8 �
dj
0

1

�r
0

2

2

1- r cos j dr

Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
p

4

1

3
- 1
2
2
2
V3 = 8 �
dj (
(1
r
cos
j
)
2
3cos
j
0
0
p

4

3

- 1
2
2
V3 = 8 �
dj (
((1
cos
j
)
- 1)
2
3cos j
0
p

4

- 1
3
V3 = 8 �
dj (
(sin
j - 1))
2
3 cos j
0
Ghi chú: Hình vẽ cho 1/8 thể tích đã có trong bài
giảng lý thuyết

Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
3a. Ta sẽ khử x từ 2 phương trình 2 mặt để tìm hình
chiếu của vật thể xuống mặt phẳng Oyz



2

6y z



� y2  z



2 2



2 2

2

2

2

2



2

 y  z � 36  12( y  z )  y  z



2 2

 y 2  z2

2
2
�
y

z
 4(1)
2
2
 13 y  z  36  0(*) � �
y 2  z 2  9(2)
�





Do điều kiện x ≥ 0 nên ta loại trường hợp (2), như vậy

hình chiếu cần tìm là hình trịn D : y2+z2≤4
Tức là ta đang lấy ngồi khoảng 2 nghiệm của tam
thức (*) nên ta có bất đẳng thức tương ứng
2

2



2

y  z �4 � y  z



2 2





 13 y 2  z 2  36 �0


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
2



2

2

y  z �4 � y  z



2

2

2

2 2



2 2

2

36  12( y  z )  y  z



� 6y z







2 2

�y 2  z 2

�y 2  z 2

� 6  y 2  z2 � y 2  z2

Vậy: V 

�
� dydz

6  y 2  z2

y 2  z 2 �4





 13 y 2  z 2  36 �0

2

2

2

2

� dx

y 2  z2

2

2



�
�(6  y  z )  y  z dydz
D

z=rcosφ
r
�d �
y=rsinφ 0
0

6r

2



 r dr


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
Bài 2: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt
4. V4: 2z=y2, x2+y2=4,z=0
5. V5: x2+y2=4x, z=x, z=3x
6. V6: x2=y,z=0,z=4-y
7. V7: x=y2, x=4y2, x+z=4, z=0, y≥0
8. V8: y=1+x2, z=3x, y=5, z=0
9. V9: z=4-y2, z=y2+2, x=-1, x=2
10. V10: z=x2+y2, z=2x2+2y2, y=x, y=x2
11. V11: x2+z2=4, y=0, y=x, z=0, z≥0


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
4. Trong 3 mặt đã cho có 1 hình trụ kín là x2+y2=4 nên
ta được hình chiếu là hình trịn D: x2+y2≤4
Với 2 mặt còn lại, hiển nhiên 0 ≤ 1/2y2 nên ta được
2p
2
2
2
8p
r
sin
j

2
1 y - 0)dxdy = dj r
V4 = �
(
dr =
�2
�
�
3
2
D
0
0


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
5. Trong 3 mặt đã cho có 1 hình trụ kín nên hình chiếu
xuống mp z=0 là D: x2+y2≤4x, tức là x≥0 trong miền D
Từ đó suy ra 3x≥x
p
4cos j
V5 = �
�(3 x - x )dxdy =
D

2

�dj �r .2r cos j dr

-p

2

0

=16π


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
6. Trong 3 mặt đã cho có 1 hình trụ nhưng là trụ khơng
kín, hình chiếu của nó xuống mp z=0 chỉ là đường
parabol – đường cong khơng kín : y=x2.
Do đó, phần cịn hở của parabol phải được “đậy kín”
bởi giao tuyến của 2 mặt còn lại là z=y-4=0, để hình
chiếu của vật thể là D: y=x2, y=4, suy ra y≤4 trong D
Cịn lại 2 mặt, ta có y≤4 ↔ 0≤y-4
2
4
128
V6 = �
�(( y - 4) - 0)dxdy = �dx �( y - 4)dy = 5
D
- 2
x2


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép

7. Trong 4 mặt đã cho có 2 mặt trụ cùng song song với
Oz, có hình chiếu xuống mp z=0 là phần mp khơng kín
x=y2, x=4y2
Do đó, phần hở giữa 2 parabol phải được “đậy kín” bởi
giao tuyến của 2 mặt cịn lại là z=4-x=0, để hình chiếu
của vật thể là D: x=y2, x=4y2, x=4, suy ra x≤4 trong D
Còn lại 2 mặt, ta có x≤4 ↔ 0≤4-x
4
x
64
V7 = �
�(4 - x )dxdy = �(4 - x )dx �dy = 15
D
0
x
2


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
8. Trong 4 mặt đã cho, có 1 mặt trụ và 1 mp cùng song
song với trục Oz là y=x2+1 và y=5, hình chiếu của 2
mặt này xuống mp z=0 cho miền D: y=x2+1, y=5
Miền D có 2 phần: bên trái ứng với x≤0 và bên phải
ứng với x≥0 nên tương ứng khối V8 chia thành 2
phần với mp z=0 lúc nằm trên, lúc nằm dưới mp z=3x
V8 = �
�3 xdxdy + �

�(- 3 x )dxdy
D,x�0
2

D,x <0

5

V8 = �
dx
0

0

5

�3 xdy + �dx �(- 3 x )dy

1+x 2

- 2

1+x 2

2

V8 = 2�
(4 - x 2 )3 xdx =24
0

Bài tập phần UD hình học của tích phân kép


Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
9. Trong 4 mặt đã cho có 2 mặt trụ parabol cùng song
song với trục Ox cho ta hình chiếu xuống mp x=0 là
miền D: z=4-y2, z=2+y2
1

V9 = �
�(2 - (- 1))dydz = �dy
D

- 1

4- y 2

�3dz

2+y 2

=8