ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
Phần 3
(khai triển Taylor)
KHAI TRIỂN TAYLOR
Cho f(x, y) khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận
(x0, y0), khi đó trong lân cận này ta có:
n
k
d f ( x0 , y 0 )
f ( x , y ) f ( x0 , y 0 ) �
Rn
k!
k 1
Cụ thể:
n
k
1 ��
� �
f ( x , y ) f ( x0 , y 0 ) � � x y �f ( x0 , y 0 ) Rn
�x
�y �
k 1 k !�
1
n 1
Rn
d ( x0 x , y 0 y ) Phần dư Lagrange
(n 1)!
Có thể thay Rn bởi o(n) (Peano) (là VCB bậc
cao hơn n khi 0),
2
2
n
x y , o ( )
Khai triển trong lân cận (0, 0) gọi là kt Maclaurin
1. Thông thường chỉ sử dụng pd Peano.
2. Sử dụng khai triển Maclaurin cơ bản của hàm
1 biến trong kt Taylor hàm nhiều biến.
3. Viết kt trong lân cận của (x0, y0) là viết kt theo
lũy thừa của x = (x – x0), y = (y – y0)
Ví dụ
1/ Khai triển Taylor đến cấp 2 trong lân cận (1, 1),
cho
z = f(x, y) = xy
fx� yx y 1, fy� x y ln x � df (1,1) x 0.y
�
� y ( y 1) x
fxx
y
y 2
,
y 1
y 1
�
�
fxy x yx ln x ,
2
�
� x ln x
fyy
2
2
� d f (1,1) 0.x 2.x y 0.y
2
df (1,1) x 0.y
2
2
d f (1,1) 0.x 2.x y 0.y
2
2
df (1,1) d f (1,1)
z f ( x , y ) f (1,1)
o( 2 )
1!
2!
x 2x y
z 1
o( 2 )
1!
2!
2
1 ( x 1) ( x 1)( y 1) o( )
Ví dụ
2/ Viết kt Maclaurin đến cấp 2 cho
1
z f (x, y )
1 x y xy
Đặt u = x + y – xy, kt z theo u đến u2
1
2
2
z
1 u u o (u )
1 u
2
2
1 ( x y xy ) ( x y xy ) o (u )
1 x y x 2 3xy y 2 o ( 2 )
Ví dụ
3/ Viết kt Taylor đến cấp 3 với (x0, y0) = (0,1) cho
z f (x, y ) e
x 2 xy
Đặt X = x, Y = y – 1,
ze
X X 2 XY
2
1 X X XY
2
2
2
3
( X X XY ) ( X X XY )
3
o( )
2
6
2
z 1 X X XY
2
2
2
3
( X X XY ) ( X X XY )
3
o( )
2
6
3 2
7 3
2
3
1 X X XY X X Y o ( )
2
6
3 2
7 3
2
3
z 1 x x x ( y 1) x x ( y 1) o ( )
2
6
Ví dụ
4/ Viết kt Taylor đến cấp 3 với (x0, y0) = (1,2) cho
z f ( x , y ) x sin( y 2). Suy ra f”xy(1, 2)
Đặt X = x – 1, Y = y – 2, z trở thành
� Y3
3 �
Y
o (Y ) �
z ( X 1)sin Y ( X 1) �
6
�
�
3
Y
Y XY
o( 3 )
6
3
( y 2)
3
( y 2) ( x 1)( y 2)
o( )
6
3
( y 2)
3
f ( x , y ) ( y 2) ( x 1)( y 2)
o( )
6
2
d f (1, 2)
( x 1)( y 2) x y dxdy
2!
2
�
�
�(1,2)x 2fxy
�
�(1,2) x y fyy
�
�(1,2)y
fxx
2
f”xy(1, 2) = 1
2
x y