Một số phương pháp chứng minh tính đúng của thuật toán và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------

Bế Thị Hƣơng

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH
TÍNH ĐÚNG CỦA THUẬT TOÁN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2015

1


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------------

Bế Thị Hƣơng

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH
TÍNH ĐÚNG CỦA THUẬT TỐN VÀ ỨNG DỤNG

Chun ngành: Cơ sở Tốn học cho Tin học
Mã số: 60460110
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THỊ HỒNG MINH

Hà Nội – Năm 2015


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo giảng dạy
lớp cao học Cơ sở Toán học cho Tin học, Khoa Toán – Cơ – Tin học, Trƣờng
Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN khóa 2012 – 2014. Các thầy cơ đã rất
nhiệt tình, tâm huyết trong giảng dạy cho em học tập, nghiên cứu bổ sung đƣợc
thêm nhiều kiến thức mới quan trọng, hữu ích trong nghiên cứu và trong cơng
tác giảng dạy ở trƣờng THPT chuyên. Đồng thời kịp nhận ra và sửa đổi, bổ sung
những kiến thức mình cịn hiểu chƣa thật chính xác giúp tăng cƣờng năng lực và
phát triển tƣ duy trong nghiên cứu khoa học.
Đặc biệt, em gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới cô giáo TS.Nguyễn
Thị Hồng Minh (Khoa Sau Đại học – ĐHQGHN). Cô đã giảng dạy cùng với
hƣớng dẫn luận văn cho em một cách rất khoa học, tận tâm, chu đáo và chi tiết
để em có thể hồn thành luận văn một cách tốt nhất.
Cảm ơn gia đình đã cho em một chỗ dựa vững chắc để hoàn thành khóa
học cũng nhƣ hồn thành luận văn này.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng trong việc nghiên cứu khoa học để hoàn
thành luận văn tuy nhiên do hạn chế cá nhân về mặt thời gian nên em khó có thể
tránh đƣợc những thiếu sót. Kính mong thầy cơ và các bạn đóng góp ý kiến q
báu để hồn chỉnh luận văn này hơn nữa.


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ............................................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ PHÂN TÍCH THUẬT TỐN .......................................... 4
1.1. Một số khái niệm cơ bản ............................................................................................. 4
1.1.1. Bài toán ................................................................................................................ 4

1.1.2. Thuật toán (Algorithm) ........................................................................................ 5
1.1.3. Cấu trúc dữ liệu (Data Structure) ....................................................................... 10
1.1.4. Chƣơng trình (Program) .................................................................................... 10
1.2. Một số phƣơng pháp thiết kế thuật toán ................................................................... 11
1.2.1. Kỹ thuật đệ quy .................................................................................................. 11
1.2.2. Phƣơng pháp chia để trị (Divide and Conquer) ................................................. 14
1.2.3. Phƣơng pháp quay lui (Backtracking) ............................................................... 15
1.2.4. Phƣơng pháp nhánh cận ..................................................................................... 17
1.2.5. Phƣơng pháp quy hoạch động (Dynamic Programming ) ................................. 19
1.2.6. Phƣơng pháp tham lam (Greedy Method) ......................................................... 21
1.3. Phân tích thuật tốn................................................................................................... 22
1.3.1. Tính đúng đắn của thuật toán ............................................................................. 22
1.3.2. Độ phức tạp thuật toán ....................................................................................... 23
a) Độ phức tạp về mặt thời gian............................................................................... 23
b) Độ phức tạp về mặt không gian ........................................................................... 23
CHƢƠNG 2. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH TÍNH ĐÚNG CỦA THUẬT
TỐN .................................................................................................................................. 25
2.1. Các chiến lƣợc chứng minh tính đúng thuật tốn ..................................................... 25
2.2. Các phƣơng pháp chứng minh tính đúng (Correctness proofs) ................................ 26
2.2.1. Phƣơng pháp quy nạp (induction)...................................................................... 26
a) Phƣơng pháp quy nạp tốn học............................................................................ 26
b) Chứng minh tính đúng của thuật toán bằng phƣơng pháp quy nạp ..................... 27
c) Một số ví dụ ......................................................................................................... 27


2.2.2. Phƣơng pháp bất biến vòng lặp (loop invariant).................................................... 33
a) Chứng minh tính đúng của thuật tốn bằng phƣơng pháp bất biến vòng lặp .......... 33
b) Các đặc trƣng của bất biến vịng lặp ....................................................................... 35
c) Một số ví dụ ............................................................................................................. 35
CHƢƠNG 3. ỨNG DỤNG CHỨNG MINH TÍNH ĐÚNG CỦA MỘT SỐ THUẬT TỐN

............................................................................................................................................. 44
3.1. Bài tốn: Dãy con đơn điệu tăng dài nhất ............................................................. 44
3.2. Bài toán: Chia kẹo................................................................................................. 53
3.3. Bài toán Cây bao trùm nhỏ nhất (Minimum spanning tree). ................................ 54
KẾT LUẬN.......................................................................................................................... 61


MỞ ĐẦU
Thế kỷ XXI là thế kỷ của tri thức hiện đại, một nền tri thức không thể
không kể đến cơng cụ hỗ trợ đắc lực của máy tính điện tử trong mọi lĩnh vực
cuộc sống. Mặc dù công nghệ chế tạo ngày càng phát triển và phát triển với tốc
độ nhanh nhƣng để sử dụng máy tính điện tử một cách hiệu quả cao thì thuật
tốn (Algorithm) là thành phần luôn luôn quan trọng và không thể thiếu đƣợc kể
từ khi máy tính điện tử ra đời.
Theo lịch sử toán học nguồn gốc của từ thuật toán “Algorithm” là bắt
nguồn từ “Algorism” tên của một nhà bác học nổi tiếng ngƣời Arập là Abu Jafar
Mohammed ibn Musâ al Khowârizmi. (Phiên âm của từ al Khowârizmi chính là
Algorism). Ơng là ngƣời đã viết hai quyển sách nổi tiếng là “Sơ lƣợc về các
phép tính” và “Về hệ đếm ấn độ” vào khoảng năm 850. Đây là những quyển
sách giáo khoa nổi tiếng về toán học.
Lịch sử đã ghi nhận ngƣời đƣợc coi là nhà lập trình đầu tiên trên thế giới
là nữ bá tƣớc Ada Lovelace (10/12/1815 - 27/11/1852), tên khai sinh là Augusta
Ada Byron. Các nhà khoa học về sau cho rằng thuật toán (viết năm 1842) của
Ada Lovelace là những thuật tốn máy tính đầu tiên do con ngƣời lập ra, vì nó
lần đầu tiên thể hiện rõ từng bƣớc phát triển logic, đặc trƣng hoạt động xác định
dành riêng cho máy tính.
Với lịch sử lâu đời của thuật toán đã đƣợc nghiên cứu và phát triển cho tới
tận ngày nay và sẽ vẫn còn tiếp tục đƣợc nghiên cứu và phát triển hơn nữa. Khi
lập trình câu hỏi ln ln đƣợc đặt ra là thuật tốn đƣợc thiết kế hoặc thuật tốn
đƣợc sử dụng có đúng hay khơng? Điều này đảm bảo cho một chƣơng trình máy

tính thực hiện có cho kết quả đúng hay khơng? (Chƣa kể đến các kỹ năng của
ngƣời lập trình). Vì vậy việc xây dựng một thuật toán tốt để giải bài toán đã cho

1


là bƣớc quan trọng có thể nói là quan trọng nhất trong việc giải một bài tốn trên
máy tính điện tử.
Để đánh giá một thuật tốn là tốt có rất nhiều tiêu chí trong đó khơng thể
bỏ qua tính đúng của thuật tốn. Và đây cũng là nội dung chính của luận văn này
theo đề tài nghiên cứu: “Một số phƣơng pháp chứng minh tính đúng của thuật
tốn và ứng dụng”. Luận văn nhằm tìm hiểu, nghiên cứu, tổng hợp phƣơng pháp
chứng minh tính đúng của thuật tốn. Cấu trúc luận văn gồm 3 chƣơng, nội dung
chính nhƣ sau:
Chương 1. Tổng quan về phân tích thuật tốn.
Chƣơng này nhằm tổng hợp lại một số kiến thức chung về bài toán, thuật
tốn, cấu trúc dữ liệu, chƣơng trình và kiến thức về phân tích thuật tốn. Gồm
các định nghĩa, khái niệm và các ví dụ để minh họa.
Trong chƣơng này cịn tổng hợp lại một số phƣơng pháp thiết kế thuật
toán thƣờng sử dụng trong thực tế. Nhƣ kỹ thuật đệ quy, phƣơng pháp chia để
trị, phƣơng pháp quay lui, phƣơng pháp nhánh cận, phƣơng pháp quy hoạch
động và phƣơng pháp tham lam.
Chương 2. Một số phương pháp chứng minh tính đúng của thuật toán.
Nội dung chƣơng này gồm các chiến lƣợc chứng minh tính đúng của thuật
tốn; các phƣơng pháp cụ thể để chứng minh tính đúng của thuật tốn nhƣ
phƣơng pháp quy nạp và phƣơng pháp bất biến vòng lặp. Đây cũng chính là
điểm mới của luận văn.
Trong đó, phƣơng pháp quy nạp chứng minh cho các thuật toán đệ quy,
phƣơng pháp bất biến vòng lặp chứng minh cho các thuật tốn khơng đệ quy.
Đối với mỗi phƣơng pháp trình bày về đặc điểm, phƣơng pháp chung đồng thời

nêu một số ví dụ về thuật tốn và chứng minh tính đúng của các thuật tốn đó.
Đối với những thuật tốn phức tạp có chứa cả đệ quy và lặp thì cần kết hợp khéo

2


léo cả hai phƣơng pháp chứng minh tính đúng của thuật tốn là quy nạp và bất
biến vịng lặp.
Chương 3. Ứng dụng chứng minh tính đúng của một số thuật tốn.
Nghiên cứu một số bài tốn có sử dụng các thuật toán kinh điển, thƣờng
sử dụng và vận dụng lý thuyết của chƣơng 2 để chứng minh tính đúng của các
thuật tốn đó. Nhƣ bài tốn dãy con đơn điệu tăng dài nhất; Chia kẹo; Cây bao
trùm nhỏ nhất.

3


CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ PHÂN TÍCH THUẬT TỐN
Để khẳng định đƣợc một thuật toán là tốt là một điều khơng dễ dàng gì.
Thật vậy, để đánh giá một thuật toán tốt ta cần rất nhiều kỹ thuật từ thiết kế,
phân tích đến đánh giá một thuật tốn. Ở chƣơng này đề cập tổng quát đến các
vấn đề trong phân tích thuật tốn và một số thuật tốn cơ bản thƣờng dùng trong
khoa học tính tốn hiện đại.
1.1. Một số khái niệm cơ bản
1.1.1. Bài tốn
Khoa học máy tính ngày nay giải quyết rất nhiều vấn đề trong thực tế
trong nhiều lĩnh vự khác nhau, những vấn đề đó ta thƣờng gọi là bài toán. Tuy
nhiên bài toán ở đây không phải là một trƣờng hợp cụ thể mà là bài tốn mang
tính tổng qt bao gồm hầu nhƣ tất cả các khả năng có thể của thế giới thực
trong vấn đề cần giải quyết. Nhƣ vậy, nói một cách dễ hiểu thì bài tốn là việc

nào đó ta muốn máy tính thực hiện. Có thể là một u cầu đơn giản nhƣ in ra
một dịng chữ trên màn hình, giải phƣơng trình bậc hai, giải hệ phƣơng trình bậc
nhất hai ẩn hoặc kiểm tra một số là chẵn hay lẻ,... Nhƣng cũng có thể là giải
quyết những vấn đề rất phức tạp nhƣ tìm đƣờng đi trong mê cung, tìm đƣờng đi
ngắn nhất, tìm cây bao trùm,...
Điểm quan trọng đầu tiên khi giải một bài tốn trên máy tính đó là cần xác
định rõ những gì đã biết input (dữ liệu vào) và kết quả cần thu đƣợc output (dữ
liệu ra) và phân tích mối quan hệ giữa hai yếu tố đó. Sau đây là một số ví dụ về
bài tốn:
 Bài tốn 1.1: Kiểm tra tính ngun tố của một số nguyên dƣơng cho trƣớc.
 Input: Số nguyên dƣơng N.
 Output: Xác định N là số nguyên tố hoặc N không là số nguyên tố.

4


 Bài tốn 1.2: Giải phƣơng trình bậc hai ax2+bx+c=0 (a≠0).
 Input: Các số thực a, b, c (a≠0).
 Output: Các nghiệm x thỏa mãn phƣơng trình đã cho hoặc thơng báo
khơng có nghiệm.
 Bài tốn 1.3: Tìm ƣớc số chung lớn nhất của hai số nguyên dƣơng a, b.
 Input: Hai số nguyên dƣơng a, b.
 Output: Ƣớc số chung lớn nhất của a và b.
 Bài toán 1.4: Xác định vị trí của phần tử có giá trị bằng số nguyên x trong
một dãy số nguyên a1, a2,..., an.
 Input: Số n; dãy số nguyên a1, a2, ..., an và số nguyên x.
 Output: Chỉ số i nếu x=ai và là 0 nếu x khơng có mặt trong dãy.
 Bài tốn 1.5. Cho đồ thị vơ hƣớng G=(V, E). Tìm đƣờng đi ngắn nhất từ đỉnh
u tới đỉnh v của đồ thị G.
 Input: Đồ thị vô hƣớng G=(V, E) và hai đỉnh u,v.

 Output: Xác định đƣờng đi có độ dài ngắn nhất d=(u=v1,v2,...,vn=v)
(với đỉnh vi thuộc V, cung (vi, vi+1) thuộc E).
 Bài toán 1.6. Sắp xếp một dãy các số cho trƣớc thành dãy không giảm.
 Input: Số n và dãy gồm n số < a1, a2, …, an>.
 Output: Một hoán vị < a'1, a'2, …, a'n > của chuỗi đầu vào thỏa mãn:
a'1  a'2  … a'n.
1.1.2. Thuật toán (Algorithm)
Để giải một bài tốn trên máy tính sau khi đã xác định rõ ràng về bài toán
việc quan trọng nhất là phải đƣa ra một thuật tốn tốt, thuật tốn này có thể là
một thiết kế mới hoặc lựa chọn một thuật tốn đã có. Thuật tốn là để biểu diễn
về cách giải một bài tốn trên máy tính.

5


Một bài tốn có thể có nhiều cách giải nhƣng một thuật tốn chỉ giải một
bài tốn mà thơi. Đến hiện nay thì đã có nhiều định nghĩa về thuật toán và sau
đây là một lựa chọn định nghĩa thuật toán:
Định nghĩa: Thuật toán (Algorithm) để giải một bài toán là một dãy hữu
hạn các thao tác đƣợc sắp xếp theo một trình tự xác định, sao cho sau khi thực
hiện dãy thao tác ấy, từ dữ liệu vào có thể là một giá trị hoặc một tập giá trị
(input) của bài toán ta nhận đƣợc một giá trị hoặc một tập giá trị còn gọi là dữ
liệu ra (output) của bài tốn đó.
Để thuật tốn đƣợc rõ ràng, chính xác, dễ hiểu, dễ đọc hơn ngƣời ta đƣa ra
các phƣơng pháp biểu diễn thuật tốn. Gồm có ba phƣơng pháp biểu diễn thuật
tốn nhƣ sau:
 Ngơn ngữ tự nhiên (Natural languages): Dùng ngôn ngữ tự nhiên để liệt kê
từng bƣớc của thuật tốn. Phƣơng pháp này khơng có các quy tắc chung do
đó ngƣời viết và ngƣời đọc dễ dàng thực hiện đƣợc mà không cần phải nắm
đƣợc những quy tắc. Nhƣng viết thuật toán theo cách này thƣờng dài dịng,

khơng thể hiện đƣợc rõ cấu trúc thuật tốn và đơi lúc có thể gây khó hiểu
hoặc hiểu nhầm đối với ngƣời đọc.
 Sơ đồ khối (Flowcharts): là công cụ trực quan để thể hiện thuật toán. Sơ đồ
khối biểu diễn đƣợc sự phân cấp của thuật toán cũng nhƣ trình tự thực hiện
thuật tốn. Đặc biệt phù hợp với những thuật tốn phức tạp, khó theo dõi q
trình xử lý. Tuy nhiên, phƣơng pháp biểu diễn này có nhƣợc điểm là cồng
kềnh, cần không gian biểu diễn lớn hơn các phƣơng pháp khác. Trong sơ đồ
khối thƣờng sử dụng một số khối và cung để biểu diễn thuật tốn nhƣ sau:
 Hình oval: Thể hiện thao tác nhập, xuất dữ liệu;
 Hình thoi: Thể hiện thao tác so sánh, chỉ có hai nhánh logic là đúng hoặc
sai;
 Hình chữ nhật: Thể hiện các phép gán, các thao tác tính tốn;

6


 Cung có hƣớng: Thể hiện trình tự thực hiện các thao tác, thao tác này nối
tiếp thao tác kia theo hƣớng mũi tên.
 Nút nối: Để nối các phần khác nhau của sơ đồ khối lại với nhau. Thƣờng
biểu diễn bằng hình trịn, bên trong có kí hiệu để biết là nút nối nào.
 Nút nối trang: Với các sơ đồ khối lớn cần biểu diễn trên nhiều trang thì
biểu diễn thêm bằng nút nối trang.
 Giả mã (Pseudocode): Sử dụng cú pháp của một ngơn ngữ lập trình nào đó
kết hợp với ngơn ngữ tự nhiên để thể hiện thuật tốn. Với giả mã ngƣời lập
trình tận dụng đƣợc các định nghĩa và cấu trúc của ngôn ngữ lập trình. Đây
cũng là phƣơng pháp chính đƣợc chọn lựa để biểu diễn các thuật toán trong
luận văn này.
Sau đây là ví dụ về thuật tốn và ba cách để biểu diễn thuật toán tƣơng
ứng của bài toán 1 đã nêu ở mục 1.1.1
Phân tích bài tốn: Theo định nghĩa số nguyên tố thì số nguyên dƣơng N

là số nguyên tố nếu N chỉ có đúng 2 ƣớc số là 1 và chính nó. Nên ta có với
N là số ngun dƣơng thì:
 Nếu N=1 thì N khơng là số nguyên tố;
 Nếu 1 Nếu N4 thì N là số nguyên tố nếu N khơng có ƣớc số từ 2 đến phần
ngun căn bậc 2 của N, kí hiệu:  N  .
Do đó ta có thuật tốn như sau:
 Thuật tốn biểu diễn bằng ngôn ngữ tự nhiên:
Bƣớc 1. Nhập số nguyên dƣơng N;
Bƣớc 2. Nếu N=1 thì thơng báo N khơng ngun tố rồi kết thúc;
Bƣớc 3. Nếu N<4 thì thơng báo N là số nguyên tố rồi kết thúc;
Bƣớc 4. i = 2;

7


Bƣớc 5. Nếu i > [ N ] thì thơng báo N là nguyên tố rồi kết thúc;
Bƣớc 6. Nếu N chia hết cho i thì thơng báo N khơng nguyên tố rồi kết
thúc;
Bƣớc 7. i = i+1 rồi quay lại bƣớc 5.
 Thuật toán biểu diễn bằng sơ đồ khối:

Nhập N
nguyên dƣơng

Đúng

N=1?
Sai
N<4?

Đúng

Sai
i=2

i>  N  ?



Sai
Sai

N chia hết
cho i ?

i=i+1

Đúng

Thông báo N
không là số nguyên
tố rồi kết thúc.

8

Đúng

Thông báo N
là số nguyên tố

và kết thúc.


 Thuật toán biểu diễn bằng giả mã:
Ngto(N):int 

//Hàm kiểm tra số N có phải ngun tố hay khơng

if (N=1)
return 0;
else
if (N<4)
return 1
else
for i=2 to [sqrt(N)] do
if (N chia hết cho i) then
return 0;
return 1;
End.
Các tính chất của thuật tốn: Khi viết thuật tốn cần chú ý đến những
tính chất quan trọng sau đây:
 Tính tổng qt (Generality): Thuật tốn áp dụng cho mọi trƣờng hợp của bài
toán (nhiều bộ dữ liệu vào) chứ không phải chỉ cho một trƣờng hợp riêng lẻ
(một bộ dữ liệu vào) nói một cách khác là áp dụng cho một lớp các bài toán
cùng loại;
 Tính dừng (Stationarity): Thuật tốn phải kết thúc sau một số hữu hạn lần
thực hiện các thao tác, mặc dù đối với các bài toán phức tạp số lần này có thể
là rất lớn;
 Tính xác định (Definiteness): Sau khi thực hiện một thao tác thì hoặc là thuật
tốn kết thúc hoặc là có đúng một thao tác xác định để đƣợc thực hiện tiếp

theo (do đó ln thực hiện đƣợc).

9


 Tính hiệu quả (Effectiveness): Đƣợc đánh giá dựa trên một số tiêu chuẩn nhƣ
là sử dụng không gian bộ nhớ và thời gian thực hiện thuật tốn. Đây cũng
chính là tính chất quan trọng để đánh giá và lựa chọn thuật toán để giải quyết
một bài toán trong thực tế.
 Tính đúng đắn (Generalliness): Sau khi thuật tốn kết thúc ta phải nhận đƣợc
output cần tìm. Tính đúng là tính chất hiển nhiên khi giải một bài tốn muốn
đạt đƣợc nhất nhƣng cũng là tính chất khó đạt tới nhất. Vì khơng phải lúc nào
cũng tìm đƣợc lời giải đúng cho bài toán đã đặt ra.
1.1.3. Cấu trúc dữ liệu (Data Structure)
Cấu trúc dữ liệu là một cách lƣu trữ dữ liệu trong máy tính sao cho việc
khai thác chúng đƣợc hiệu quả hơn. Trong thiết kế chƣơng trình việc lựa chọn
cấu trúc dữ liệu rất quan trọng. Vì mỗi loại cấu trúc dữ liệu phù hợp với một số
loại ứng dụng khác nhau. Một cấu trúc dữ liệu đƣợc thiết kế cho phép thực hiện
nhiều phép toán, tiết kiệm tài nguyên, ít thời gian xử lý và sử dụng khơng gian
bộ nhớ càng ít thì càng tốt. Các cấu trúc dữ liệu đƣợc triển khai bằng cách sử
dụng các kiểu dữ liệu, các tham chiếu và các phép tốn trên cấu trúc dữ liệu đó
đƣợc cung cấp bởi một ngơn ngữ lập trình cụ thể. Sự liên hệ giữa cấu trúc dữ
liệu và thuật toán rất chặt chẽ, thuật toán cần đƣợc thao tác trên các cấu trúc dữ
liệu nào đó và các cấu trúc dữ liệu sẽ đƣợc xử lý bởi thuật tốn nào đó. Và vì
khơng có một cấu trúc duy nhất nào có thể tốt cho mọi mục đích hay phù hợp
với mọi thuật tốn do đó điều quan trọng khi nghiên cứu cấu trúc dữ liệu là cần
phải biết sức mạnh cũng nhƣ giới hạn của cấu trúc dữ liệu đó để sử dụng cho phù
hợp, hiệu quả.
1.1.4. Chƣơng trình (Program)
Chƣơng trình = Thuật tốn + Cấu trúc dữ liệu. Chƣơng trình là sự thể hiện

bằng một ngơn ngữ lập trình cụ thể một thuật toán đã cho đƣợc thể hiện trên một
cấu trúc dữ liệu xác định. Việc lựa chọn cấu trúc dữ liệu phù hợp với thuật toán

10


hoặc ngƣợc lại lựa chọn thuật toán phù hợp với cấu trúc dữ liệu cụ thể còn phụ
thuộc vào mục đích của chƣơng trình, kỹ năng ngƣời lập trình và khả năng của
ngơn ngữ lập trình cụ thể.
1.2. Một số phương pháp thiết kế thuật tốn
Ngày nay có nhiều phƣơng pháp thiết kế thuật toán đã đƣợc nghiên cứu và
sử dụng trong cơng nghệ phần mềm. Có những bài tốn có thể giải đƣợc bằng
thuật tốn nhƣng cũng những bài tốn chƣa có thuật tốn hoặc chỉ có thuật tốn
cho lời giải tƣơng đối chấp nhận đƣợc. Trong luận văn này nghiên cứu về các
phƣơng pháp thiết kế thuật toán và ứng dụng cho các bài tốn có thuật tốn để
giải.
1.2.1. Kỹ thuật đệ quy
Đệ quy là một khái niệm cơ bản trong tốn học và tin học. Ta nói một đối
tƣợng là đệ quy nếu nó đƣợc định nghĩa qua chính nó hoặc một đối tƣợng cùng
dạng với chính nó bằng quy nạp. Ý tƣởng của kỹ thuật đệ quy đó là chia bài tốn
cần giải quyết thành nhiều bài toán nhỏ hơn, việc chia này thực hiện cho đến khi
bài tốn con có lời giải và lời giải này thƣờng là tƣờng minh và tƣơng đối đơn
giản.
Ví dụ: Kí hiệu |S| là số các phần tử của tập hữu hạn S.
Nếu S= thì |S|=0
Ngƣợc lại S≠ thì tất có một phần tử xS khi đó |S|=|S\{x}|+1.
Khái niệm giải thuật đệ quy: Một bài toán T đƣợc thực hiện bằng giải
thuật của một bài tốn T’ có dạng giống nhƣ T thì giải thuật đó gọi là giải thuật
đệ quy.
Bài tốn T’ tuy có dạng giống bài tốn T nhƣng T’ theo một nghĩa nào đó

phải là bài tốn nhỏ hơn T. Bài toán T’ phải dễ giải hơn bài tốn T và việc giải
bài tốn T’ khơng cần dùng đến T.

11


Do đó phƣơng pháp chung sử dụng kỹ thuật đệ quy để giải một bài toán là
ta chia bài toán đó thành các bài tốn con đơn giản hơn cùng loại. Phƣơng pháp
này còn đƣợc gọi là kỹ thuật lập trình chia để trị. Chính nó là chìa khóa để thiết
kế nhiều giải thuật quan trọng, là cơ sở của phƣơng pháp quy hoạch động. Sau
đây là một số ví dụ về bài tốn mang bản chất đệ quy:
 Ví dụ 1: Bài tốn tính n giai thừa.
Cho n là một số tự nhiên (n0). Hãy tính giai thừa của n. Biết rằng 0!=1
và n!=(n-1)!n.
Phân tích:
Theo giả thiết, ta có : n! = (n-1)!n. Nhƣ vậy :
Để tính n! ta cần phải tính (n-1)!
Để tính (n-1)! ta phải tính (n-2)!
...................................................
Cứ nhƣ vậy, cho tới khi gặp trƣờng hợp 0!.

 Ví dụ 2: Dãy Fibonacci
Dãy Fibonacci là dãy vô hạn các số tự nhiên. Số Fibonacci thứ n, ký hiệu
F(n), đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
F(n) = 1, nếu n=1 hoặc n=2;
F(n) = F(n-1) + F(n-2), nếu n3.
Yêu cầu: Tính số fibonacci thứ n với n nguyên dƣơng cho trƣớc.
Phân tích:
Với n3 :
Đế tính F(n) ta phải tính F(n-1) và F(n-2).

12


Để tính F(n-1) ta lại phải tính F(n-2) và F(n-3), và để tính F(n-2) ta phải
tính F(n-3) và F(n-4).
.........................................................
Cứ nhƣ vậy cho đến khi n=1 và n=2.
Đặc trƣng của các bài tốn có thể giải bằng đệ quy:
 Các bài toán phụ thuộc tham số;
 Ứng với các giá trị đặc biệt nào đó của tham số thì bài tốn có lời giải (trƣờng
hợp suy biến). Phần này quan trọng vì nó quyết định tính dừng của thuật
tốn;
 Trong trƣờng hợp tổng qt bài tốn có thể quy về dạng tƣơng tự với một bộ
giá trị mới của tham số và sau hữu hạn lần sẽ dẫn tới trƣờng hợp suy biến.
Phối hợp lời giải của các bài toán con để có đƣợc lời giải cho bài tốn ban
đầu cần giải quyết.
Lƣợc đồ giải thuật đệ quy:
Dequy(Tn) ;
if (Tn=T0)

//Trƣờng hợp suy biến

<Thực hiện thuật toán trƣờng hợp suy biến>;
else

//Trƣờng hợp tổng qt
<Lệnh;>
Dequy(Tn-1);
<Lệnh;>

endif;
End.

Ví dụ: Sau đây là thuật tốn Tính n! (n0).

13


S(n): int ;

//Hàm đệ quy tính giá trị n giai thừa

if (n=0) then
else

S=1

S=n*S(n-1);

End.
Giả sử tính 4!, thuật tốn thực hiện nhƣ sau:
4! = 4 * 3!
3! = 3 * 2!
2! = 2 * 1!
1! = 1 * 0!
0! = 1
Kết quả 4! = (((1*1)*2)*3)*4 = 24.
1.2.2. Phƣơng pháp chia để trị (Divide and Conquer)
Trong thực tế có nhiều thuật tốn hữu ích đƣợc sử dụng có bản chất đệ

quy, tức là trong thuật tốn có lời gọi đến chính nó một hoặc nhiều lần để giải
bài toán tƣơng tự nhƣng với kích thƣớc dữ liệu vào nhỏ hơn.
Phƣơng pháp chia để trị có tƣ tƣởng là chia bài tốn ban đầu thành các bài
toán con tƣơng tự. Các bài toán con tiếp tục đƣợc chia nhỏ hơn, cứ chia liên tiếp
nhƣ vậy cho tới khi gặp bài toán con đã có lời giải hoặc có thể dễ dàng đƣa ra lời
giải. Sau đó lần lƣợt giải các bài tốn con này và kết hợp các kết quả lại với nhau
ta thu đƣợc kết quả cần tìm của bài tốn ban đầu.
Lƣợc đồ tổng quát thuật toán chia để trị với mơ hình đệ quy nhƣ sau:
Chia_tri(A, x) ;

//Tìm nghiệm x của bài toán A

if (A đủ nhỏ) then Giai(A)

//Giải bài toán con đủ nhỏ

else
<Chia A thành các bài toán con A1, A2, ..., An>;
for i=1 to n do Chia_tri(Ai, xi);

14


<Kết hợp các nghiệm xi để đƣợc x>;
endelse;
End.
Ví dụ Số Fibonacci:
Bài tốn Số Fibonacci đƣợc cho bởi cơng thức sau:
F1 =1


F2 =1
F =F + F (n  3)
 n n-1 n-2

Hãy tính số Fibonacci thứ n?
Thuật tốn chia để trị sau đây sử dụng hàm F(n) để tính số Fibonacci thứ n
(n là số nguyên dƣơng) dựa vào F(n-1) và F(n-2):
F(n):int ;

//Hàm tính số Fibonacci thứ n.

if n2 then
else

F=1

F=F(n-1)+F(n-2);

End.
1.2.3. Phƣơng pháp quay lui (Backtracking)
Tƣ tƣởng của thuật toán quay lui đó là tìm nghiệm của bài tốn bằng cách
xem xét tất cả các phƣơng án có thể. Ta có thể thử duyệt các phƣơng án cho đến
khi tìm thấy phƣơng án đúng còn gọi là phƣơng pháp thử sai. Với tốc độ xử lí
nhanh của máy vi tính thì phƣơng pháp này có thể giải quyết đƣợc nhiều bài tốn
tuy nhiên nếu kích thƣớc bài tốn q lớn thì nó trở nên khơng phù hợp. Bởi vì
nếu kích thƣớc bài tốn lớn thì kéo theo thời gian duyệt các phƣơng án và độ
phức tạp về mặt không gian cũng lớn và có thể lớn đến mức nào đó khơng thể
chấp nhận đƣợc. Do đó phƣơng pháp này thƣờng chỉ hữu dụng với các bài tốn
có kích thƣớc nhỏ.
Khơng mất tổng qt, việc tìm nghiệm của nhiều bài tốn có thể quy về

việc tìm véc tơ hữu hạn X=  x1 , x 2 , ..., x n , ... độ dài véc tơ có thể xác định trƣớc

15


hoặc khơng tùy thuộc vào điều kiện của bài tốn. Trong đó các thành phần x i
thuộc một tập hữu hạn nào đó sao cho véc tơ X thỏa mãn một số điều kiện theo
yêu cầu đề bài. Tùy từng bài tốn cụ thể mà ta có thể quy về tìm một véc tơ hoặc
tìm tất cả các véc tơ hoặc đếm các véc tơ thỏa mãn yêu cầu bài toán đặt ra.
Lƣợc đồ tổng quát thuật toán quay lui với mơ hình đệ quy nhƣ sau:
Quaylui(i)  ; //Tìm thành phần thứ i thỏa mãn yêu cầu
<Xác định tập Si >;

//Si là tập chứa các thành phần xi

for xi  Si do
<Ghi nhận thành phần thứ i>;
if (Tìm thấy nghiệm) then <Đƣa ra nghiệm>;
else Quaylui(i+1);
<Loại thành phần i>;
endfor;
End.
Một số lƣu ý khi giải bài toán bằng thuật toán quay lui:
 Phải biểu diễn đƣợc nghiệm của bài toán dƣới dạng một dãy các đối tƣợng
nhƣ véc tơ X mà các thành phần đƣợc chọn dần từng bƣớc từ x 1, x2, ..., xi,...
cho đến hết các thành phần của véc tơ X.
 Xác định đƣợc tập hữu hạn Si chứa các phƣơng án có thể của xi.
 Tìm các điều kiện để một véc tơ X đƣợc chọn là nghiệm của bài tốn.
Ví dụ Bài tốn tổ hợp:
Hãy xác định tất cả các tổ hợp chập k của n phần tử. Để đơn giản ta chỉ xét

bài tốn tìm các tổ hợp của tập các số nguyên đầu tiên từ 1 đến n.
Phân tích bài tốn:
 Input: k, n nguyên dƣơng
 Output: Tất cả các tổ hợp chập k của n.
Theo toán học ta đã biết số tổ hợp k của n đƣợc tính theo cơng thức sau:

16


Ckn 

n!
k!(n  k)!

Chẳng hạn với k=2 và n=3 thì có số tổ hợp là: C32 

3!
3
2!(3  2)!

Với S = {1, 2, 3}. Các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử số nguyên dƣơng đầu
tiên là: {1, 2}; {1, 3}; {2, 3}.
Tổng quát nghiệm X của bài toán tìm tổ hợp chập k của n số nguyên
dƣơng đầu tiên phải thỏa mãn các điều kiện sau đây:
 Véc tơ X =  x1 , x 2 , ..., x k  ;
 Tập S = {1, 2, 3, ..., n-1, n} và xi  S;
 Vì tập hợp không phân biệt thứ tự các phần tử nên ta sắp xếp thứ tự các phần
tử để tránh bị sót nghiệm và khơng có hai nghiệm nào trùng nhau, chẳng hạn:
xi < xi+1.
 Tìm tất cả các cấu hình thỏa mãn.

Thuật tốn quay lui nhƣ sau:
Tohop(i); //Tìm kiếm thành phần thứ i thỏa mãn
for j=x[i-1] +1 to n-k+i do
x[i] =j;
if i=k then <In ra nghiệm X>
else

Tohop(i+1);

endfor;
End;
1.2.4. Phƣơng pháp nhánh cận
Phƣơng pháp quay lui mặc dù có ƣu điểm là cho kết quả đúng của bài
tốn nhƣng nếu kích thƣớc bài tốn q lớn thì sẽ khơng giải quyết đƣợc các vấn
đề về thời gian thực hiện và không gian lƣu trữ. Một trong những phƣơng pháp
giải quyết vấn đề này là phƣơng pháp nhánh cận. Với phƣơng pháp này ta có thể

17


thu hẹp phạm vi tìm kiếm phƣơng án đúng bằng cách loại trừ đi một số phƣơng
án mà cho rằng nó sẽ khơng đƣa đến kết quả đúng ở bƣớc thứ i nào đó. Do đó
phƣơng pháp nhánh cận tiết kiệm đƣợc thời gian tính tốn và khơng gian lƣu trữ.
Có thể nói nhánh cận là một cải tiến của phƣơng pháp quay lui, áp dụng để giải
một bài toán tối ƣu. Trong đó, bài tốn tối ƣu là bài tốn u cầu tìm phƣơng án
tốt nhất theo một tiêu chí nào đó.
Giả sử nghiệm của bài tốn biểu diễn bởi một véc tơ hữu hạn
X=  x1 , x 2 , ..., xn , ... độ dài véc tơ có thể xác định trƣớc hoặc khơng tùy thuộc
vào điều kiện của bài tốn. Trong đó các thành phần xi thuộc một tập hữu hạn
nào đó sao cho véc tơ X thỏa mãn một số điều kiện theo yêu cầu đề bài đồng thời

thỏa mãn hàm mục tiêu f(X). Xét các điều kiện để hàm mục tiêu f(X) phải đạt
giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tùy thuộc vào yêu cầu của bài toán. Sử dụng hàm
mục tiêu để đánh giá độ tốt của phƣơng án đƣợc xem xét và lựa chọn.
Tƣ tƣởng của phƣơng pháp nhánh cận nhƣ sau: Ta xây dựng dần dần
các thành phần của nghiệm. Giả sử ta đã xây dựng đƣợc k thành phần của véc tơ
nghiệm  x1 , x 2 , ..., x k  , nhiệm vụ tiếp theo là phải xây dựng đƣợc thành phần
thứ k+1 tức là tìm xk+1 cho phù hợp. Trong quá trình mở rộng nghiệm nhƣ vậy
nếu nhƣ bằng cách nào đó có thể đánh giá đƣợc tất cả các nghiệm mở rộng của
nó  x1 , x 2 , ..., x k , x k+1 ,... đều khơng tốt bằng nghiệm tốt nhất đã biết thì ta
không mở rộng nghiệm theo nhánh này nữa. Nhƣ vậy thuật toán nhánh cận sẽ
nhanh hơn thuật toán quay lui vét cạn vì nhánh cận khơng phải duyệt hết tất cả
các trƣờng hợp của bài tốn. Nói tóm lại, với phƣơng pháp nhánh cận ta có thể
thu hẹp phạm vi tìm kiếm nghiệm bằng cách đánh giá trong quá trình ta mở rộng
các thành phần của nghiệm để bỏ đi những nhánh chắc chắn khơng phải là
nghiệm của bài tốn. Do đó phƣơng pháp nhánh cận sẽ nhanh hơn và bớt độ
phức tạp về mặt không gian.

18


Lƣợc đồ tổng quát phƣơng pháp nhánh cận bằng mô hình đệ quy:
Nhanhcan(i);

//Tìm thành phần thứ i thỏa mãn

<Đánh giá các nghiệm mở rộng thành phần>;
if (Các nghiệm mở rộng không tốt hơn Totnhat) then
Exit;

//Bỏ qua các nhánh đánh giá đƣợc là không tối ƣu

<Xác định Si>;
for xi  Si do
<Ghi nhận thành phần thứ i>;
if (Tìm thấy nghiệm) then
<Cập nhật Totnhat> //Tốt nhất tại thời điểm đó
else Nhanhcan(i+1);
<Loại thành phần i>;
endfor;
End.
1.2.5. Phƣơng pháp quy hoạch động (Dynamic Programming )
Một trong những phƣơng pháp thiết kế thuật toán giải bài tốn tối ƣu đó
là: Quy hoạch động. Tƣ tƣởng của phƣơng pháp quy hoạch động giống nhƣ
phƣơng pháp chia để trị ở chỗ chia bài toán ban đầu thành nhiều bài toán con,
chia liên tiếp cho đến khi bài toán con có lời giải. Sau đó việc giải quyết bài toán
ban đầu trở nên đơn giản hơn bằng cách kết hợp lời giải của các bài toán con.
Nhƣng phƣơng pháp quy hoạch động tiên tiến hơn phƣơng pháp chia để trị ở chỗ
phƣơng pháp quy hoạch động lƣu trữ lại kết quả của các bài toán con ở nhiều cấp
và sử dụng lại chúng nhiều lần mà không cần phải tính tốn lại. Ngƣợc lại,
phƣơng pháp chia để trị giải các bài toán con một cách độc lập và mỗi lần nhƣ
vậy lại phải tính tốn lại một dãy các bài toán con đệ quy cần sử dụng. Nên với
phƣơng pháp chia để trị thì một bài tốn con có thể phải tính đi tính lại nhiều lần
dẫn tới việc tốn thời gian tính tốn. Phƣơng pháp quy hoạch động đã khắc phục

19


đƣợc nhƣợc điểm này của phƣơng pháp chia để trị bằng cách sử dụng một bảng
gọi là bảng phƣơng án. Bảng này dùng để lƣu trữ lời giải của các bài toán con
nhiều cấp đã đƣợc giải.

Phƣơng pháp quy hoạch động nhìn chung đƣợc áp dụng cho lớp các bài
tốn tối ƣu và cho kết quả đúng. Trong thuật toán giải bài toán tối ƣu thƣờng
phải giải quyết nhiều trƣờng hợp có thể quy về các bài tốn con để giải và lựa
chọn giải pháp tối ƣu nhất của bài toán.
Các bƣớc để giải bài toán bằng quy hoạch động gồm những cơng việc
chính sau đây:
 Tìm nghiệm của bài toán con nhỏ nhất (Thƣờng là trƣờng hợp suy biến);
 Tìm cơng thức (gọi là cơng thức truy hồi) xây dựng nghiệm cho bài tốn
con thơng qua nghiệm của bài toán con nhỏ hơn;
 Tạo bảng phƣơng án lƣu trữ giá trị nghiệm của các bài toán con;
 Từ bảng phƣơng án suy ra nghiệm của bài toán ban đầu cần giải.
Ví dụ Số Fibonacci:
Bài tốn Số Fibonacci đƣợc cho bởi công thức sau:
F1 =1

F2 =1
F =F + F (n  3)
 n n-1 n-2

Hãy tính số Fibonacci thứ n?
Thuật toán:
Thuật toán quy hoạch động sau đây sử dụng hàm F(n) để tính số
Fibonacci thứ n (n là số nguyên dƣơng) dựa vào các Fi (ilƣu giá trị vào mảng L[.] nhƣ sau:
F(n):int ;
if L[n]=-1 then
if n  2 then

//Bài toán thứ n chƣa đƣợc giải
L[n] = 1

20