Lý thuyết và ví dụ về hình học không gian cổ điển

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>DƯƠN</b>

<b>G</b>

<b>PHƯỚC</b>

<b>SAN</b>

<b>G</b>

<b></b>

<b>-THPT</b>

<b>CHU</b>

<b>V</b>

<b>ĂN</b>

<b>AN</b>

<b>Mục lục</b>

<b>1 Hình học khơng gian (cổ điển)</b> <b>1</b>

I. Một số vấn đề cơ bản về quan hệ song song . . . 1

1. Việc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng . . . 1

2. Việc xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng . . . 1

3. Một số định lý về nhận dạng quan hệ song song . . . 2

II. Một số vấn đề cơ bản về quan hệ vuông góc . . . 2

1. Phương pháp chứng minh đường thẳng vng góc với mặt
phẳng . . . 2

2. Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc . . . 2

3. Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc . . . 2

III. Phương pháp xác định các loại góc trong khơng gian . . . 3

1. Góc giữa hai đường thẳng . . . 3

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (<i>cắt nhau nhưng khơng</i>
<i>vng góc</i>) . . . 3

3. Góc giữa hai mặt phẳng (<i>cắt nhau</i>) . . . 3

IV. Phương pháp xác định khoảng cách . . . 4

1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng . . . 4

2. Khoảng cách giữa 2 đối tượng song song nhau . . . 4

3. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng <i>a</i>và<i>b</i>chéo nhau . . . 4

V. Một số vấn đề về khối đa diện lồi, khối đa diện đều . . . 5

1. Tính chất của một hình đa diện, khối đa diện . . . 5

2. Bảng tổng hợp tính chất của các đa diện đều . . . 5

VI. Một số cơng thức tính tốn hình học . . . 6

1. Cơng thức tính tốn hình học liên quan đến tam giác . . . 6

2. Cơng thức tính tốn hình học liên quan đến tứ giác . . . 7

3. Cơng thức thể tính thể tích khối chóp và khối lăng trụ . . . . 8

4. Cơng thức tính tốn với các khối nón - trụ - cầu . . . 8

5. Phương pháp dựng tâm<i>I</i> của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . 9
VII. Một số khối đa diện thường gặp trong các đề thi . . . 10

1. Hình chóp tam giác đều . . . 10

2. Hình tam diện vng <i>O.ABC</i>(vng tại<i>O</i>) . . . 10

3. Hình chóp <i>S.ABC</i>có đường cao<i>SA</i>,<i>AB</i>vng góc với<i>BC</i> . . . 10

4. Hình chóp <i>S.ABC</i> có cạnh bên <i>SA “thẳng đứng”</i>, mặt đáy là
tam giác<i>“thường”</i> . . . 11

5. Hình chóp <i>S.ABC</i>có 1 mặt bên b<i>“cân tại S”</i>và<i>“dựng đứng”</i> 11
6. Hình chóp tứ giác đều . . . 11

7. Hình chóp<i>S.ABCD</i>có cạnh bên<i>SA “thẳng đứng”</i>, mặt đáy là
<i>“hình chữ nhật”</i> . . . 12

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>DƯƠN</b>

<b>G</b>

<b>PHƯỚC</b>

<b>SAN</b>

<b>G</b>

<b></b>

<b>-THPT</b>

<b>CHU</b>

<b>V</b>

<b>ĂN</b>

<b>AN</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>DƯƠN</b>

<b>G</b>

<b>PHƯỚC</b>

<b>SAN</b>

<b>G</b>

<b></b>

<b>-THPT</b>

<b>CHU</b>

<b>V</b>

<b>ĂN</b>

<b>AN</b>

<b>Chương 1</b>

<b>Hình học không gian (cổ điển)</b>

<b>I. Một số vấn đề cơ bản về quan hệ song song</b>

<b>1. Việc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng</b>

A B

<i>α</i>

<i>β</i> b

a

∆

<i>α</i>

<i>β</i>

a

∆

<i>α</i>

<i>β</i>

Nếu 2 mặt phẳng phân biệt (<i>α</i>) và (<i>β</i>) có 2 điểm chung phân biệt A và B thì đường
thẳng ABlà giao tuyến của chúng.

Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt qua 2 đường thẳng song song thì giao tuyến của
chúng song song với cả hai đường thẳng đó hoặc trùng với 1 trong 2 đường thẳng đó.
Hai mặt phẳng phân biệt nếu thoả mãn tính chất “mặt phẳng này chứa đường thẳng

a, còn mặt phẳng kia song song với a” thì giao tuyến của chúng song song vớia.

c

a b

<i>γ</i>

<i>α</i>

<i>β</i>

c
a

b
<i>γ</i>
<i>α</i>

<i>β</i>

a
b

<i>β</i>
<i>α</i>

<i>γ</i>

Ba mặt phẳng đôi một cắt nhau tạo thành 3 giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy
hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Cho hai mặt phẳng song song với nhau. Nếu có mặt phẳng thứ ba cắt mặt phẳng thứ
nhất thì mặt phẳng thứ ba đó cắt ln mặt phẳng thứ hai, đồng thời hai đường giao
tuyến tạo thành song song với nhau.

<b>2. Việc xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng</b>
PP cơ bản: muốn tìm giao điểm của đường thẳngdvới

mặt phẳng(<i>α</i>)ta tìm giao điểm của đường thẳngd đó
với 1 đường thẳng∆(hợp lý) trong mặt phẳng(<i>α</i>).
Nếu chưa tìm được đường thẳng∆trong(<i>_α</i>)như trong

PP cơ bản đã nêu, ta thực hiện 3 bước giải như sau:

I
d

∆

<i>α</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>DƯƠN</b>

<b>G</b>

<b>PHƯỚC</b>

<b>SAN</b>

<b>G</b>

<b></b>

<b>-THPT</b>

<b>CHU</b>

<b>V</b>

<b>ĂN</b>

<b>AN</b>

+o Bước 1: chọn mặt phẳng phụ(<i>β</i>)chứa đường thẳngd.
+o Bước 2: tìm giao tuyến∆của(<i>β</i>)và mp(<i>α</i>)đã cho.
+o Bước 3: tìm giao điểm I của∆và đường thẳngd.

I
d

∆

<i>α</i>

<b>3. Một số định lý về nhận dạng quan hệ song song</b>

Muốn chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng ta chứng minh
đường thẳng đó nằm ngồi mặt phẳng đồng thời song song với 1 đường thẳng nào đó
nằm trong mặt phẳng.

Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau ta chứng minh mặt phẳng này
chứa 2 đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.

<b>II. Một số vấn đề cơ bản về quan hệ vng góc</b>

<b>1. Phương pháp chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng</b>








d_⊥a_⊂(P)
d⊥b⊂(P)
a∩b=I

⇒d_⊥(P)
d

b
a

P








(<i>α</i>)⊥(P)
(<i>β</i>)⊥(P)
d₌(<i>α</i>)∩(<i>β</i>)

⇒d_⊥(P)

<i>α</i> _d <i>β</i>

P








(P)⊥(Q)
d⊂(Q)

d⊥∆=(P)∩(Q)

⇒d_⊥(P)
d

P

Q

∆

Muốn chứng minh một đường thẳng vng góc với một mặt phẳng ta chứng minh
đường thẳng đó vng góc với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.

Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vng góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến
của chúng (nếu có) vng góc với mặt phẳng thứ ba đó.

Xét 2 mặt phẳng vng góc với nhau: nếu trong mặt phẳng này có 1 đường thẳng
vng góc với giao tuyến của chúng thì đường thẳng đó vng góc với mặt phẳng kia.
<b>2. Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc</b>

Muốn chứng minh hai đường thẳng vng góc với
nhau ta chứng minh đường thẳng này vng góc với
một mặt phẳng chứa đường thẳng kia

(

d_⊥(P)

∆⊂(P)⇒d⊥∆

d

∆

P
<b>3. Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vng góc</b>

Muốn chứng minh hai mặt phẳng vng góc với nhau
ta chứng minh mặt phẳng này chứa đường thẳng
vng góc với mặt phẳng kia.

(

d_⊥(P)

d_⊂(Q)⇒(P)⊥(Q)

d

P

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>DƯƠN</b>

<b>G</b>

<b>PHƯỚC</b>

<b>SAN</b>

<b>G</b>

<b></b>

<b>-THPT</b>

<b>CHU</b>

<b>V</b>

<b>ĂN</b>

<b>AN</b>

<b>III. Phương pháp xác định các loại góc trong khơng gian</b>

<b>1. Góc giữa hai đường thẳng</b>

Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a0 _và _b0 _{cắt nhau lần}
lượt song song hoặc trùng với hai đường thẳnga,b đó.

<b>2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (</b><i><b>cắt nhau nhưng không vng góc</b></i><b>)</b>
Bước 1: Xác định giao điểm I củad và(<i>α</i>)

(<i>góc cần vẽ có đỉnh đặt tại đây</i>)

Bước 2: Tìm hình chiếu vng gócd0củad lên(<i>α</i>)

+o Trên d, lấy điểm Akhác I.

+o Tìm hình chiếu A0 của Atrên(<i>α</i>)

+o Kẻ đường thẳng nốiI và A0, đó chính làd0

Bước 3: Xác định góc<i>ϕ</i>=(d, (à<i>α</i>))=(d,ƒd0).

d _A

A0

I
<i>α</i>

<i>ϕ</i>

? <b>Lưu ý:</b>Nếu đường thẳng d nằm trong mặt phẳng

(<i>β</i>)vng góc với (<i>α</i>)thì góc hợp bởid và (<i>α</i>)bằng
góc hợp bởi d với giao tuyến của(<i>α</i>)và(<i>β</i>).

(<i>giao tuyến của</i> (<i>α</i>) <i>và</i> (<i>β</i>) <i>trong trường hợp này</i>
<i>chính là hình chiếu vng góc của</i> d<i>lên</i>(<i>α</i>))

d

I
<i>α</i>

<i>ϕ</i>

<b>3. Góc giữa hai mặt phẳng (</b><i><b>cắt nhau</b></i><b>)</b>

Bước 1: xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng

(<i>α</i>)và(<i>β</i>).

Bước 2: tìm 2 đường thẳng a,b cắt nhau, cùng
vng góc với giao tuyến c, lần lượt nằm trong 2
mặt phẳng(<i>α</i>)và(<i>β</i>).

Bước 3: xác định góc giữa 2 mặt phẳng (<i>α</i>) và (<i>β</i>):
góc đó chính là góc(a,b)690◦.

? <b>Lưu ý:</b> góc giữa 2 mặt phẳng được định nghĩa là
góc giữa hai đường thẳng lần lượt vng góc với 2

mặt phẳng đó.

I
c
a

b
<i>α</i>

<i>β</i>

∆

M

N
d

<i>α</i>

<i>β</i> I

M

N
d

<i>ϕ</i>

<i>α</i>

<i>β</i>

? <b>Đặc biệt:</b>

Nếu có đường thẳng∆vng góc với giao tuyến của 2 mặt phẳng (<i>α</i>)và (<i>β</i>)mà đường
thẳng ∆đó đi qua 2 điểm¡

M_∈(<i>α</i>)và N_∈(<i>β</i>)¢

, để xác định góc giữa 2 mặt phẳng(<i>α</i>)và

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>DƯƠN</b>

<b>G</b>

<b>PHƯỚC</b>

<b>SAN</b>

<b>G</b>

<b></b>

<b>-THPT</b>

<b>CHU</b>

<b>V</b>

<b>ĂN</b>

<b>AN</b>

<b>IV. Phương pháp xác định khoảng cách</b>

<b>1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng</b>

<b>Bài tốn cơ bản 1:</b>

Cho M là hình chiếu vng góc của điểm S ∉(<i>β</i>) lên
mặt phẳng (<i>β</i>). Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt
phẳng nằm nghiêng(<i>α</i>)¡

quaS và cắt(<i>β</i>)¢

ta làm như sau:
+o Bước 1: Xác định giao tuyếnd của(<i>α</i>)và (<i>β</i>).

+o Bước 2: Từ M, vẽ M I_⊥d tại I_∈d.
+o Bước 3: Vẽ MH_⊥S I tạiH_∈S I thìd¡

M, (<i>α</i>)¢

=MH.

I

S

M

d H

<i>α</i>

<i>β</i>

<b>Bài tốn cơ bản 2:</b>

Cho hai mặt phẳng (<i>α</i>) và (<i>β</i>) vng góc với nhau, điểm

M_∈(<i>β</i>). Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng

(<i>α</i>)ta làm như sau:

+o Bước 1: Xác định giao tuyếnd của(<i>α</i>)và (<i>β</i>).
+o Bước 2: vẽ MH_⊥d tạiH_∈d thìd¡

M, (<i>α</i>)¢

=MH. <i>_β</i>

<i>α</i>

M
H

d

<b>Một số lưu ý:</b>

d¡
A, (<i>α</i>)¢
d¡

B, (<i>α</i>)¢ =
A I
BI
A

A0
B

B0

I
<i>α</i>

d¡A, (<i>α</i>)¢=d¡B, (<i>α</i>)¢
A

A0

B

B0
<i>α</i>

d¡

M, (ABC)¢

=3.VM ABC

S_4ABC
M

A
B

C
<i>α</i>

<b>2. Khoảng cách giữa 2 đối tượng song song nhau</b>

Khoảng cách giữa d và d0(song song nhau) là khoảng cách từ điểmM_∈d đến d0.
Khoảng cách giữa d và(<i>α</i>)(song song nhau) là khoảng cách từ điểmM_∈d đến(<i>α</i>).
Khoảng cách giữa (<i>α</i>)và(<i>β</i>)(song song nhau) là khoảng cách từ điểm M_∈(<i>α</i>)đến(<i>β</i>).
<b>3. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng</b><i><b>a</b></i><b>và</b><i><b>b</b></i><b>chéo nhau</b>

a

b

A

B
<i>β</i>

<i>α</i>

a

b

M A

B
P

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau (avàb) bằng độ dài đoạn vuông góc chung
của chúng (tức đoạn thẳng ABcó A_∈a,B_∈b và AB_⊥a,AB_⊥b).

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa đường thẳng này
và một mặt phẳng song song với nó đồng thời chứa đường thẳng kia.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>DƯƠN</b>

<b>G</b>

<b>PHƯỚC</b>

<b>SAN</b>

<b>G</b>

<b></b>

<b>-THPT</b>

<b>CHU</b>

<b>V</b>

<b>ĂN</b>

<b>AN</b>

<b>V. Một số vấn đề về khối đa diện lồi, khối đa diện đều</b>

<b>1. Tính chất của một hình đa diện, khối đa diện</b>

Hai đa giác phân biệt chỉ có thể: hoặc là khơng có điểm chung, hoặc chỉ có 1 đỉnh
chung, hoặc chỉ có 1 cạnh chung. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất 3 đa giác.

Mỗi cạnh của bất kỳ đa giác nào cũng đều là cạnh chung của đúng 2 đa giác.
Bất cứ hình đa diện nào cũng có thể phân chia thành nhiều khối tứ diện.

Bất cứ hình đa diện nào cũng có ít nhất 4 đỉnh, ít nhất 4 mặt và ít nhất 6 cạnh.
Hình chóp có mặt đáy là n-giác thì có(n+1)đỉnh,(2n)cạnh và(n+1)mặt.
Hình lăng trụ có mặt đáy là n-giác thì có(2n)đỉnh,(3n)cạnh và(n+2)mặt.
Một hình đa diện có M mặt, mỗi mặt có pcạnh thì có M p

2 cạnh.

Với một đa diện lồi bất kỳ có<i>Đ</i>đỉnh,Ccạnh vàMmặt thìM₊C−Đ=2(định lý Euler).
Khối đa diện là phần khơng gian giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.
Khối đa diện lồi là một khối đa diện mà đoạn thẳng nối 2 điểm bất kỳ của khối đa

diện đó ln thuộc vào chính nó.

<b>2. Bảng tổng hợp tính chất của các đa diện đều</b>

Tứ diện đều H.lập phương Bát diện đều 12 mặt đều 20 mặt đều

<b>Tên đa diện</b> <b>Loại</b> <b>Số</b>

<b>đỉnh</b>
<b>Số</b>
<b>cạnh</b>

<b>Số</b>
<b>mặt</b>

<b>Số mặt</b>
<b>đ.xứng</b>

<b>Số trục</b>

<b>đ.xứng</b> <b>Thể tích</b>

<b>Bán kính</b>
<b>mc ng.tiếp</b>

Tứ diện đều {3;3} 4 6 4 6 3 V₌

p

2c3

12 R=

p

6c
4

H.lập phương {4;3} 8 12 6 9 9 V=c3 R₌

p

3c
2

Bát diện đều {3;4} 6 12 8 9 V=

p

2c3

3 R=

p

2c
2

12 mặt đều {5;3} 20 30 12 15
20 mặt đều {3;5} 12 30 20 15

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>DƯƠN</b>

<b>G</b>

<b>PHƯỚC</b>

<b>SAN</b>

<b>G</b>

<b></b>

<b>-THPT</b>

<b>CHU</b>

<b>V</b>

<b>ĂN</b>

<b>AN</b>

<b>VI. Một số cơng thức tính tốn hình học</b>

<b>1. Cơng thức tính tốn hình học liên quan đến tam giác</b>
Đối với tam giác đều

+o Độ dài đường cao: h₌(cạnh)×

p

3
2

+o Bán kính đường trịn ngoại tiếp:R₌(cạnh)×

p

3
3

+o Bán kính đường trịn nội tiếp: r₌(cạnh)×

p

3
6

A

B H C

O

Đối với tam giác vuông cân

+o Độ dài cạnh huyền: cạnh huyền=(cạnh góc vng)×p2

+o Độ dài cạnh góc vng: cạnh góc vng=cạnh huyềnp

2

A

B C

Hệ thức lượng trong tam giác vuông
+o a2₌b2₊c2

+o b2₌b0.a

+o h₌_p bc
b2₊_c2
+o h2₌b0_.c0
+o b0

a =
b2
a2

+o ah₌bc

+o c2₌c0.a

+o 1

h2=

1
b2+

1
c2
+o a₌2.ma
+o c0

a =
c2
a2

H M

A

B C

h
c

c0

b

b0
a
m

a

Hệ thức lượng trong mọi tam giác
+o Định lý côsin:a2₌b2₊c2₋2bccosA

+o Công thức tính góc:cosA₌ b

2₊_c2₋_a2

2bc

+o Định lý sin: a

sinA=

b

sinB =

c

sinC =2R

+o Định lý trung tuyến: m2_a₌ b

2₊_c2

2 −

a2
4

A

B M C

c b

a
m_a

Công thức tính diện tích tam giác

+o Diện tích của tam giác đều:S_4đều₌(cạnh)

2
×p3
4

+o Diện tích tam giác vng bằng nửa tích của hai cạnh góc vng.
+o Diện tích của mọi tam giác (bất kỳ):

S₄_ABC₌1

2a.ha=
1

2bcsinA=
abc

4R =pr=

p

p(p−a)(p₋b)(p−c)

* ha: đường cao ứng với cạnh đáy a.

* R: bán kính đường trịn ngoại tiếp

* p=a+b+c

2 : nửa chu vi

* r: bán kính đường trịn nội tiếp

+o Cơng thức tỉ số diện tích: S4AB0C0

S_4ABC =
AB0

AB ·
AC0

AC, trong đóB

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>DƯƠN</b>

<b>G</b>

<b>PHƯỚC</b>

<b>SAN</b>

<b>G</b>

<b></b>

<b>-THPT</b>

<b>CHU</b>

<b>V</b>

<b>ĂN</b>

<b>AN</b>

Định lý Menelaus Định lý Ceva

B K

A

C
M

N

M A
MB×

K B
K C×

NC
N A=1

(M,N,K thẳng hàng)

B C

A

M

N

K

(AK,BN,CM đồng quy)

<b>2. Cơng thức tính tốn hình học liên quan đến tứ giác</b>
Đối với hình vng

+o Độ dài đường chéo: đường chéo=(cạnh)×p2

+o Độ dài cạnh: cạnh=đường chéop

2

+o Diện tích hình vng: S_hv₌(cạnh)2=(đường chéo)

2

2

A

B C

D

Đối với hình chữ nhật

+o Độ dài đường chéo hình chữ nhật:
đường chéo=

q

(chiều dài)2+(chiều rộng)2
+o Diện tích:S_hcn₌(chiều dài)×(chiều rộng)

A

B C

D

Đối với hình thang

+o Diện tích hình thang bằng nửa tổng hai đáy nhân với
chiều cao:

S_h.thang₌(đáy lớn)+(đáy bé)

2 ×(đường cao)

A

B C

D

H

Đối với hình bình hành

+o Diện tích h.bình hành bằng cạnh nhân với đường cao

S_{h.bình hành}₌(cạnhBC)_×(đường cao AH)
+o Diện tích hình bình hành bằng tích của 2 cạnh kề

nhân với sin của một góc

S_{h.bình hành}=(cạnh AB)×(cạnhBC)×sinƒABC

A

B C

D

H

Đối với hình thoi

+o Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo

S_h.thoi₌(đường chéo 1)×(đường chéo 2)
2

? Đặc biệt: hình thoi có góc60◦hoặc120◦có diện tích

S_{h.thoi (ĐB)}₌(cạnh)

2
×p3
2

A

B

C

D
O

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>DƯƠN</b>

<b>G</b>

<b>PHƯỚC</b>

<b>SAN</b>

<b>G</b>

<b></b>

<b>-THPT</b>

<b>CHU</b>

<b>V</b>

<b>ĂN</b>

<b>AN</b>

<b>3. Cơng thức thể tính thể tích khối chóp và khối lăng trụ</b>

h

V_{lăng trụ}=S_{mặt đáy}×h
V_{khối chóp}=1

3Smặt đáh

h

Cơng thức dùng để tính tỉ số thể tích:

S

A

B

C
A0

B0
C0

V_S._A0_B0_C0

V_S.ABC =

S A0
S A ·

SB0
SB ·

SC0
SC

S

A

B C

D
A0

B0

C0
D0

V_S._A0_B0_C0_D0

V_S.ABCD =

a+b+c+d
4abcd

a= S A

S A0

b₌ SB
SB0

c₌ SC
SC0

d₌ SD
SD0

A

B

C
A0

B0

C0
M

N

P

V_{M N P.A}0_B0_C0
V_ABC._A0_B0_C0 =

1
3

à_A0_M
A A0 +

B0N
BB0+

C0P
CC0

ả

A

B C

D
A0

B0 C0

D0
M

N

P
Q

V_{M N PQ.A}0_B0_C0_D0
V_ABCD_.A0_B0_C0_D0 =

1
2

à_A0_M
A A0 +

C0P
CC0

¶

<b>4. Cơng thức tính tốn với các khối nón - trụ - cầu</b>
Đối với hình nón - hình nón cụt

+o Diện tích mặt đáy:S_đáy₌<i>π</i>r2

+o Diện tích xung quanh:Sxq=<i>π</i>rl
+o Diện tích tồn phần:S_tp₌S_đáy₊S_xq

+o Thể tích:V_nón₌1

3Sđáy.h=
1
3<i>π</i>r

2_h
+o Chu vi đường trịn đáy:C₌2<i>π</i>r

+o Góc ở đỉnh nón:2<i>β</i>=2IO A

+o Tỉ số thể tích:

V0

(O,I0_,r0₎
V_(O,I,r) =

à_r0

r

ả3

=

à_h0
h

ả3

=

à_l0
l

ả3

I
O

I0
h

h0 _l0

l

r
r0

A0

A

+o Th tớch hỡnh nún ct cú hai ỏy(I,r)v(I0_,_r0₎_l:_V

nún cụt=

1
3<i>π</i>h

³

r2₊rr0₊_r02´
+o Diện tích xung quan hình nón cụt nêu trên là: S_{xq (nón cụt)}₌<i>π</i>¡

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>DƯƠN</b>

<b>G</b>

<b>PHƯỚC</b>

<b>SAN</b>

<b>G</b>

<b></b>

<b>-THPT</b>

<b>CHU</b>

<b>V</b>

<b>ĂN</b>

<b>AN</b>

Đối với hình trụ

+o Diện tích mặt đáy:S_đáy₌<i>π</i>r2

+o Diện tích xung quanh:S_xq₌2<i>π</i>rl

+o Diện tích tồn phần:Stp=2Sđáy+Sxq
+o Thể tích:V_trụ₌S_đáy.h=<i>π</i>r2h

+o Chu vi đường trịn đáy:C₌2<i>π</i>r

I
I0

A
A0

r
r0

Đối với hình cầu

+o Diện tích mặt cầu:S_{mặt cầu}₌4<i>π</i>R2

+o Thể tích khối cầu:V_{khối cầu}₌4
3<i>π</i>R

3

I

M
R

<b>5. Phương pháp dựng tâm</b><i><b>I</b></i> <b>của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp</b>

S

O
I
d

A
H

Rmc=

r
R2

d+

1
4h

2

A

O
S

I
H

R_mc₌ b

2

2h

B
S

O
I
A
K

d

Rmc=

r
R2

d+R

2
b−

1
4(gt)

2

? <b>Một số lưu ý:</b>

+o Một hình chóp nội tiếp được một mặt cầu khi và chỉ khi mặt đáy của nó là một đa
giác nội tiếp được đường tròn.

+o Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ln nằm trên trục của đường trịn ngoại
tiếp mặt đáy hình chóp.

Với hình chóp có cạnh bên (S Achẳng hạn) vng góc với mặt đáy
+o Gọid là trục của đường trịn ngoại tiếp mặt đáy thìd chứa tâm I.
+o GọiH là trung điểm của cạnh bên (vng với đáy). Khi đó

I H_∥AO và I H là1 đường trung trực của cạnh bênS A.
Với hình chóp đều

+o GọiSOlà đường cao của hình chóp đều thì SOchứa tâm I.
+o GọiH là trung điểm của cạnh bênS A. Khi đó

I H là1đường trung trực của cạnh bên S A.
Với hình chóp có 1 mặt bên vng góc với mặt đáy

+o Gọid là trục của đường tròn ngoại tiếp mặt đáy thìd chứa tâm I.
+o GọiK tâm của đường trịn ngoại tiếp mặt bên (vng với đáy). Khi đó

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>DƯƠN</b>

<b>G</b>

<b>PHƯỚC</b>

<b>SAN</b>

<b>G</b>

<b></b>

<b>-THPT</b>

<b>CHU</b>

<b>V</b>

<b>ĂN</b>

<b>AN</b>

<b>VII. Một số khối đa diện thường gặp trong các đề thi</b>

<b>1. Hình chóp tam giác đều</b>

S

A <i>α</i>
B

C
O <i>ϕ</i> _M
b

d

S

A

B

C
I

O

S

A

B

C
O

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:<i>α</i>=ƒS AO=SBO =SCO

Góc giữa mặt bên và mặt đáy: <i>ϕ</i>=SMOƒ

Cơng thức tính độ dài đường cao: h=

r
b2₋1

3d

2₌ btan<i>ϕ</i>

q

tan2<i>ϕ</i>+4

Cơng thức thể tích khối chóp tam giác đều:V₌ d

2p_3b2₋_d2

12 =

d3tan<i>ϕ</i>

24 =

d3tan<i>α</i>
12

Cơng thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp:R= b
2

2h

Khoảng cách giữa 2 cạnh đối diện nhau:d(S A,BC)=d(M,S A)

Tâm mặt cầu ngoại tiếp luôn thuộcSO đồng thời cách đều 2 điểmS và A.
<b>2. Hình tam diện vng</b><i><b>O.ABC</b></i><b>(vng tại</b><i><b>O</b></i><b>)</b>

OH_⊥(ABC)tạiH

⇔Hlà trực tâm của₄ABC

1

OH2 =

1
O A2+

1
OB2+

1

OC2
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp

R₌1
2

p

O A2₊_OB2₊_OC2 _B

A

O C

M
H

B
A

O C

E

G
I

Đặt a₌O A,b₌OB,c₌OCvà S₁₌S₄_{O AB};S₂₌S₄_OBC;S₃₌S₄_{O AC} thì

V_O.ABC₌abc

6 =

p

2S1S2S3

3

<b>3. Hình chóp</b><i><b>S.ABC</b></i><b>có đường cao</b><i><b>SA</b></i><b>,</b><i><b>AB</b></i><b>vng góc với</b> <i><b>BC</b></i>

AH_⊥(SBC), BC_⊥(S AB),

SC⊥(AHK), SC⊥(BM N),

BM_⊥(S AC).

((SBC), (S AC))á =AK Hƒ=BN Mƒ

((SBCá), (ABC))=SB A.

d¡

A, (SBC)¢

=AH, d¡

M, (S AC)¢

=BM

A

B

C
S

H O

I
K

A

B

C
S

M

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>DƯƠN</b>

<b>G</b>

<b>PHƯỚC</b>

<b>SAN</b>

<b>G</b>

<b></b>

<b>-THPT</b>

<b>CHU</b>

<b>V</b>

<b>ĂN</b>

<b>AN</b>

Tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC (trường hợp này) là trung điểmI của cạnh bênSC.
Tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện lồiHK.ABC là trung điểm Ocủa cạnh đáy AC.
Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnBCM N là trung điểm của cạnh đáyBC.

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chópB.S AM N là trung điểm của cạnh bênSB.

<b>4. Hình chóp</b><i><b>S.ABC</b></i><b>có cạnh bên</b><i><b>SA “thẳng đứng”</b></i><b>, mặt đáy là tam giác</b><i><b>“thường”</b></i>

((SBC), (ABC))á =SM Aƒ

d¡

A, (SBC)¢

=AH.
d¡

A, (S AC)¢

=d¡

B,AC¢

Nếu mặt đáy ABCcân tại A

(hoặc mặt đáy ABC đều) thì

M là trung điểm của cạnh

BC, ngoài raSB₌SC.

A

B

C
S

M
H

B

C
S

∆

K
A
T

Khoảng cách giữa 2 cạnh đối diệnSB và AC:d¡

SB,AC¢

=d¡

AC, (SBK)¢

=AT

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABClàR₌
r

R2

d+

1
4h

2

(trong đó đường cao h₌S Avà R_d là bán kính đường trịn ngoại tiếp mặt đáy ABC)
<b>5. Hình chóp</b><i><b>S.ABC</b></i><b>có 1 mặt bên b</b> <i><b>“cân tại S”</b></i><b>và</b><i><b>“dựng đứng”</b></i>

Nếu4ABC vng tại A thì

M là trung điểm cạnh AB
N là trung điểm cạnh AC

((S AB), (áABC))=SMHƒ

á

((S AC), (ABC))=SN Hƒ

d¡A, (SBC)¢=d¡A,BC¢

d¡

H, (S AB)¢

=HP, d¡

H, (S AC)¢

=HQ
B

A

C
H

S

M N

P Q

B

A

C
S

K
H

T

Khoảng cách giữa hai cạnhS A vàBClàd¡

S A,BC¢

=d¡

BC, (S AK)¢

=AT

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABClàR₌
q

R2

d+R

2
b−

1
4(gt)2

(R_d,R_b: bán kính đ.trịn ngoại tiếp mặt đáy và mặt bên, gt: giao tuyến của chúng)
<b>6. Hình chóp tứ giác đều</b>

S

A

B

C

D

O E

H

S

A

B

C
D
I

O

S

A

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<b>DƯƠN</b>

<b>G</b>

<b>PHƯỚC</b>

<b>SAN</b>

<b>G</b>

<b></b>

<b>-THPT</b>

<b>CHU</b>

<b>V</b>

<b>ĂN</b>

<b>AN</b>

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:<i>α</i>=ƒS AO=SBO =SCO =SCO

Góc giữa mặt bên và mặt đáy: <i>_ϕ</i>₌ƒSEO

Cơng thức tính độ dài đường cao: h₌
r

b2₋1

2d

2₌ btan<i>ϕ</i>

q

tan2<i>ϕ</i>+2

Cơng thức thể tích: V₌d

2p_4b2₋_2d2

6 =

d3tan<i>ϕ</i>
6

Cơng thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp (mọi hình chóp đều): R₌ b

2

2h

Tâm mặt cầu ngoại tiếp luôn thuộcSO đồng thời cách đều 2 điểmS và A.

<b>7. Hình chóp</b><i><b>S.ABCD</b></i><b>có cạnh bên</b><i><b>SA “thẳng đứng”</b></i><b>, mặt đáy là</b><i><b>“hình chữ nhật”</b></i>

BC_⊥(S AB),

AH⊥(SBC),

CD_⊥(S AD),

AK_⊥(SCD),

SC_⊥(AHP K),

BD⊥(S AE),

AT_⊥(SBD) B

D

C

S

A
H

K
P

I

O

B

D

C
S

O
A

E
T

M
N

((SBC), (ABCD))á =SB A; ((SCD), (ABCDá ))=ƒSD A; ((SBD), (ABCD))á =ƒSE A

d¡

A, (SBC)¢

=AH; d¡

A, (SCD)¢

=AK; d¡

A, (SBD)¢

=AT; d¡

SB,AC¢

=AN
1

AT2=

1
S A2+

1
AB2+

1
AD2

? Chú ý: nếu ABCD là hình vng thìE≡O; AM∥OB; AH=AK; HK∥BD

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp S.ABCD lR₌
s

R2

d+

à_h
2

ả2

Mt cu ngoi tip hỡnh chúp S.ABCD có tâm là trung điểm I của cạnh bênSC

Mặt cầu ngoại tiếp đa diện lồi HP K.ABCD có tâm là tr.điểmOcủa mặt đáy ABCD

Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AHP K có tâm là trung điểm của đường caoS A

<b>8. Hình chóp</b><i><b>S.ABCD</b></i><b>có 1 mặt bên</b><i><b>“cân tại S”</b></i> <b>và</b><i><b>“dựng đứng”</b></i>

CD_⊥(SHE),

HK⊥(SCD),

AM_⊥(SBC),

BN⊥(S AD),

HT_⊥(SBD)

d¡A, (SBC)¢=AM

d¡

B, (S AD)¢

=BN B

D

C
S

H E

K
A

M
N

B

D

C
S

H
M
T

A

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>DƯƠN</b>

<b>G</b>

<b>PHƯỚC</b>

<b>SAN</b>

<b>G</b>

<b></b>

<b>-THPT</b>

<b>CHU</b>

<b>V</b>

<b>ĂN</b>

<b>AN</b>

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABClàR=

q

R2_d+R2_b−1₄(gt)2

(R_d,R_b: bán kính đ.trịn ngoại tiếp mặt đáy và mặt bên, gt: giao tuyến của chúng)
<b>9. Hình hộp chữ nhật</b>

Độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật:

AC0=pa2₊_b2₊_c2
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:R₌1

2AC

0

Thể tích hình hộp chữ nhật:V_hhcn₌abc₌pS₁S₂S₃
(S1,S2,S3 là diện tích của 3 mặt chung 1 đỉnh của hhcn)
Thể tích khối chóp BD A0C0:V_{BD A}0_C0=

1

3Vhình hộp

A

B C

D

A0

B0 C0

D0
O

G
I
a

b

c

<b>Cơng thức tính nhanh thể tích của một số khối tứ diện đặc biệt</b>

<b>Điều kiện</b> <b>Công thức tính thể tích</b>

(

S A₌a,SB₌b,SC=c


ASB₌<i>α</i>,BSC =<i>β</i>,ƒCS A=<i>γ</i>

V₌abc
6

p

1−cos2<i>_α</i>₋_cos2<i>_β</i>₋_cos2<i>_γ</i>₊_{2 cos}<i>_α</i>_cos<i>_β</i>_cos<i>_γ</i>
<i>(biết 3 cạnh chung đỉnh và 3 góc tại đỉnh đó)</i>

(

S A₌a,BC₌b

d(S A,BC)=d;(S A,BC)á =<i>α</i>

V₌1

6abd. sin<i>α</i>

<i>(biết 2 cạnh đối diện; khoảng cách và góc giữa chúng)</i>

(

S A₌a,S_{S AB}₌S₁,S_{S AC}₌S₂
á

((S AB), (S AC))=<i>ϕ</i>

V=2S1S2sin<i>ϕ</i>

3a

<i>(biết 1 cạnh; diện tích và góc giữa 2 mặt kề với nó)</i>











S A₌a,SB₌b,SC₌c


ASB₌<i>α</i>,ƒASC=<i>β</i>
á

((S AB), (S AC))=<i>ϕ</i>

V₌1

6.abc. sin<i>α</i>sin<i>β</i>sin<i>ϕ</i>

<i>(biết 3 cạnh chứa đỉnh, 2 góc ở đỉnh và 1 góc nhị diện)</i>








S A=BC=a

SB₌AC₌b
SC₌AB₌c

V₌

p

2
12

p

(a2₊_b2₋_c2_)(b2₊_c2₋_a2_)(a2₊_c2₋_b2₎

<i>(biết các cặp cạnh đối diện bằng nhau)</i>

(

S A₌x,SB₌y,SC=z
BC₌a,AC₌b,AB₌c

















M=a2x2(b2+c2+y2+z2−a2−x2)
N₌b2y2(a2+c2₊x2₊z2₋b2₋y2)
P=c2z2(a2+b2+x2+y2−c2−z2)
Q₌(abc)2+(a yz)2+(x yc)2+(xbz)2

<i>1</i>

V₌ 1
12

p

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>DƯƠN</b>

<b>G</b>

<b>PHƯỚC</b>

<b>SAN</b>

<b>G</b>

<b></b>

<b>-THPT</b>

<b>CHU</b>

<b>V</b>

<b>ĂN</b>

<b>AN</b>

<b>Một số cơng thức về hình, khối đặc biệt liên quan khối trịn xoay</b>

<b>Cơng thức</b> <b>Hình minh hoạ</b>

S_xq₌2<i>π</i>Rh₌<i>π</i>(r2+h2)
V_{chỏm cu}=<i></i>h2

à
Rh

3
ả

=<i></i>h

6 (h

2
+3r2)

O
h
H

r
R

S_xq₌<i></i>r(h1+h2)

V₌<i></i>r2
à_h

1+h2

2
ả

O
h₁

h₂

r

V_{hỡnh nờm}₌2
3r

3_tan<i></i>
=2

3r

2_h

O
r
r

h
r
<i></i>

S_parabol₌4
3rh;

S0
S =

s

h0
h

3

=

à_r0
r

ả3

V_parabolic₌1
2<i></i>r

2_h

r
h
r0

h0

r
h

S_elip₌<i></i>ab
V_{quay quanh}_2a₌4

3<i></i>ab

2

V_{quay quanh}_2b₌4
3<i></i>a

2_b

A0 A

B

B0

a
b
O

Quay mi tam giỏc ABC

xung quanh cạnh AB

ta sẽ được hình trịn xoay có

V=4<i>π</i>

3 Ã
S2

4ABC

AB
S_xq₌2<i></i>S₄_ABC

à_AC

+BC
AB

ả

A

B
C
H

A

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>DN</b>

<b>G</b>

<b>PHC</b>

<b>SAN</b>

<b>G</b>

<b></b>

<b>-THPT</b>

<b>CHU</b>

<b>V</b>

<b>N</b>

<b>AN</b>

<b>VIII. Vớ d gii toỏn in hỡnh</b>

|<b>Vớ dụ 1.</b> Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằnga, cạnh bên bằng2a. GọiM

là trung điểm của cạnhBC.Tính góc hợp bởi hai đường thẳng dưới đây:

a) AM và SC. b) SM và NC.

$ <b>Lời giải</b>
?<b>Phương pháp cổ điển</b>

Để tính được góc giữa hai
đường thẳng chéo nhau
thường ta dựng thêm một
đường thẳng song song với
1 trong 2 đường thẳng đó và
cắt đường thẳng cịn lại.
Góc giữa AM &SC dễ dựng
hơn góc giữaSM & NC!

A
B
C
M
S
a
2a
A
B
C

M
S
a
N

<b>Câu a.</b> GọiK là trung điểm cạnh SBthìMK_∥SC, do đó(AM,áSC)=(AM,áMK)

Ta có AK2₌S A

2₊_AB2

2 −

SB2

4 =

3a2

2 ; MK=

1

2SC=a ; AM=

ap3
2

4AMK cócosAMKƒ =

AM2₊MK2₋AK2

2.AM.MK =

p

3

12 ⇒ (AM,áSC)=AMKƒ ≈81

◦₄₂0_.
<b>Câu b.</b> Gọi I là trung điểm đoạn thẳng AM thìN I_∥SM, do đó(SM,áNC)=(N Iá,NC)

Ta có NC₌AK₌a

p

6

2 ; N I=

1

2SM=

1
2

p

SC2₋_MC2₌a
p

15

4 ; IC=

p

I M2₊_CM2₌a
p

7
4

4I NC cócosI NC =

N I2+NC2−IC2

2.N I.NC =

4p10

15 ⇒ (SMá,NC)=I NC ≈32

◦₃₀0_.

A
B
C

M
S
a
2a
K
A
B
C
M
S
a
N
I
A
B
C
M
S
x
y
z
a
2a
H

?<b>Phương pháp toạ độ</b>
Ta có AM₌a

p

3

2 ; AH=

ap3

6 ; SH=

r
b2₋1

3d

2₌

r

(2a)2₋1

3a

2₌a
p

33

3 .

Gắn hệ trục M x yz (như hình vẽ) với toạ độ các điểm như sau:

M(0; 0; 0); A
Ãp

3
2 ; 0; 0

!

;C
à

0;1

2; 0
ả

; H
p

3
6 ; 0; 0

!

S
p

3
6 ; 0;

p
33
3
!
N
p
3
3 ; 0;

p

33
6

!

Đến đây dùng cơng thức tính góc giữa hai đường thẳng ta giải được cả 2 câu a và b.

cos(SM,áSC)=
¯
¯

# »
AM.SC# »¯¯

AM.SC ;cos(SMá,NC)=
¯
¯

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<b>DƯƠN</b>

<b>G</b>

<b>PHƯỚC</b>

<b>SAN</b>

<b>G</b>

<b></b>

<b>-THPT</b>

<b>CHU</b>

<b>V</b>

<b>ĂN</b>

<b>AN</b>

|<b>Ví dụ 2.</b> Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB₌a,AD ₌2a,

S A₌ap3 và S A vng góc với mặt đáy. Tính góc giữa các cặp đường thẳng và mặt
phẳng sau đây: a)SC và(S AB) b) ACvà (SCD)

$ <b>Lời giải</b>
<b>Câu a.</b> Ta cóSC_∩(S AB)=S

Do

(

BC_⊥AB

BC_⊥S A nênBC⊥(S AB)tạiB. Do đó
á

(SC, (S AB))=(SC,SB)á =BSC

4S ABvng tại Acó SB₌pS A2₊_AB2₌_2a
4SBCvng tạiBcótanBSC =

BC

SB =1⇒BSC =45

◦
Vậy(SC, (S AB))á =45◦

<b>Câu b.</b> Ta cóAC_∩(SCD)=C

Vẽ AE_⊥SD tạiE_∈SD thì ... AE_⊥(SCD)

A

B C

D
S

E

a

2a

a

p 3

Như vậy(AC, (SCD))á =(AC,áCE)=ƒACE

Ta cóAE₌_p S A.AD
S A2₊_AD2 =

2ap3

p

7 ; AC=

p

AB2₊_BC2₌_ap₅ _;_sin

ƒACE=
AE
AC =

2p105
135

Vậy(AC, (SCD))á ≈35◦500.

|<b>Ví dụ 3.</b> Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=2a,BD=3a,
mặt bênS ABlà tam giác cân tạiSđồng thời nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt
đáy. BiếtSB₌ap5, hãy tính góc hợp bởi các cặp mặt phẳng sau đây:

a) (SCD)và(ABCD) b) (SBD)và(ABCD) c) (SBC)và(S AD)

$ <b>Lời giải</b>

GọiHlà trung điểm của cạnh ABthìSH⊥AB(do4S AB cân tạiS)

Mà








(S AB)⊥(ABCD)

SH⊂(S AB)

AB=(S AB)∩(ABCD)

nênSH_⊥(ABCD).

4SHB vng tạiH cóSH₌pSB2₋_HB2₌_2a_.
4ABD vng tại Acó AD₌pBD2₋_AB2₌_ap₅
<b>Câu a.</b> GọiK là trung điểm cạnh CD ta có

(

CD_⊥HK

CD_⊥SH ⇒CD⊥(SHK)⇒CD⊥SK

A

D
K
S

H
I

B C

Do









CD₌(SCD)∩(ABCD)

CD⊥HK⊂(ABCD)

CD⊥SK⊂(SCD)

nên((SCD), (áABCD))=(SK,áHK)

4SHK vng tại HcótanSK Hƒ=
SH
HK =

2a
ap5=

2

p

5 ⇒SK Hƒ≈41

◦₄₈0

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

<b>DƯƠN</b>

<b>G</b>

<b>PHƯỚC</b>

<b>SAN</b>

<b>G</b>

<b></b>

<b>-THPT</b>

<b>CHU</b>

<b>V</b>

<b>ĂN</b>

<b>AN</b>

<b>Câu b.</b> Vẽ H I_⊥BD tạiI_∈BD, ta sẽ chứng minh đượcBD_⊥(SH I)và BD_⊥S I.
Với kết quả đó ta tiếp tục chứng minh được ((SBD), (áABCD))=(S I,H Iá)

Ta có4BI H_v₄B AD nên H I

AD=
BH

BD ⇒H I=

AD.BH

BD =

ap5.a

3a =

ap5
3

Cuối cùngtanS I H =
SH

I H =
6

p

5, do đó ((SBD), (áABCD))=S I H ≈69

◦₃₃0_.

<b>Câu c.</b> Do(SBC)và(S AD)có chung điểmS và cóBC_∥AD nên giao tuyến∆của chúng
đi qua đỉnh S và song song với hai cạnhBC, AD.

Hình chóp S.ABCD này có tính chấtSB_⊥BCvà S A_⊥ADvì thế SB_⊥∆và S A_⊥∆

Như vậy((SBC), (S AD))á =(SB,áSC)=2.BSHƒ≈53◦80.

|<b>Ví dụ 4.</b> Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng tâm O cạnh bằng a, cạnh
bênS A vng góc với mặt đáy, cạnh bênSC tạo với mặt đáy một góc bằng60◦.

a) Tính theo athể tích của khối chóp S.ABCD

b) Tính khoảng cách từ điểm Ađến mặt phẳng(SCD)

$ <b>Lời giải</b>

<b>Câu a.</b> Do SC_∩(ABCD)=C và S A_⊥(ABCD)nên(SC, (áABCD))=(SC,áAC)⇒ƒSC A=60◦

Tam giácS AC vuông tạiC cótanƒSC A=
S A
AC

⇒S A₌AC. tanƒSC A=a

p

2. tan 60◦=ap6

Vậy V_S.ABCD=1

3SABCD.S A=
1
3.a

2_.ap₆₌a3
p

6
3

<b>Câu b.</b> Vẽ AH⊥SD tạiH∈SD ta sẽ chứng minh được

AH⊥(SCD)tạiH∈(SCD)

Suy rad(A, (SCD))=AH₌_p S A.AD
S A2₊_AD2=

ap42

7 .

A

B C

D
S

H

|<b>Ví dụ 5.</b> Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình thang vng tại A và

D với CD₌a, AB₌AD₌2a, mặt bên S AD cân tại S đồng thời nằm trong mặt phẳng
vng góc với mặt đáy. Biết góc giữa(SBC)và(ABCD)bằng60◦. Tính theo a

a) Thể tích của khối chóp S.ABCD

b) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng(SBC)

$ <b>Lời giải</b>

<b>Câu a.</b> GọiH là trung điểm cạnh ADthìSH⊥(ABCD)

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<b>DƯƠN</b>

<b>G</b>

<b>PHƯỚC</b>

<b>SAN</b>

<b>G</b>

<b></b>

<b>-THPT</b>

<b>CHU</b>

<b>V</b>

<b>ĂN</b>

<b>AN</b>

Hình thang ABCD cóS_ABCD=1

2(AB+CD).AD=3a

2

Suy raS₄_HBC₌S_ABCD₋S₄_{H AB}₋S₄_HCD₌3a

2

2

Từ đóI H₌2S4HBC

BC =

3a2
ap5=

3ap5
5

MSH I cóSH=I H. tanS I H =
3ap5

5 tan 60

◦₌3a
p

15
5

VậyV₌3a

2

3 ·

3ap15

5 =

3a3p15

5 D C

B
S

H
A

I

<b>Câu b.</b> S₄_ABC₌S_ABCD₋S₄_ACD₌2a2 ⇒V_S._ABC₌1

3S4ABC.SH=

a3p15
5

4S I H cóS I₌pSH2₊_{I H}2₌6a
p

5

5 ⇒S4SBC=

1

2BC.S I=3a

2

Như vậyd(A, (SBC))=3VS.ABC

S₄_SBC =
ap15

5

|<b>Ví dụ 6.</b> Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông tại

B,BC=a, mp(A0BC) tạo với đáy một góc 30◦ và ∆A0BC có diện tích bằng a2p3. Tính
thể tích khối lăng trụ.

$ <b>Lời giải</b>
Do

(

BC_⊥AB

BC⊥A A0 nênBC⊥A

0_B

Do








BC_⊥AB_⊂(ABC)

BC_⊥AB_⊂(A0BC)

BC₌(ABC)∩(A0BC)

nên((A0BCá), (ABC))=AB Aƒ0

Ta có A0B₌2.S4A0BC

BC =

2a2p3
a =2a

p

3.
4AB A0 có AB₌A0B_·cosAB Aƒ0=2a

p

3·cos 30◦=3a
A A0=A0B·sinAB Aƒ0=2a

p

3·sin 30◦=ap3

A

B

C

A0 C0

B0

30

◦

VậyV_ABC._A0_B0_C0=B·h=S_ABC·A A0=1

2AB·BC·A A

0₌1

2·3a·a·a

p

3=3a
3p₃

2 .

|<b>Ví dụ 7.</b> Cho hình chóp S.ABC có đường cao S A ₌a, AB vng góc với BC, các
cạnh AB₌ap3 và AC₌2a. Một mặt phẳng(<i>α</i>)đi qua điểm Avng góc với cạnh SB,
cắtSB vàSC lần lượt tạiM và N. Tính theoathể tích của khối chóp A.BCN M.

$ <b>Lời giải</b>
Dễ dàng chứng minh đượcBC_⊥(S AB)vàBC_⊥SB

Do SB_⊥(AM N)nênSB_⊥AMvà SBM N

Xột trong(AM N),

(

BCSB

M NSBM NBC
SM

SB =
SN

SC

DoV_S._{AM N}₌SM
SB.

SN

SC.VS.ABC nờn

V_{A.BCN M}₌

à

1SM

2

SB2

ả

V_S.ABC

A

B

C
S

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

<b>DƯƠN</b>

<b>G</b>

<b>PHƯỚC</b>

<b>SAN</b>

<b>G</b>

<b></b>

<b>-THPT</b>

<b>CHU</b>

<b>V</b>

<b>ĂN</b>

<b>AN</b>

4ABC vng tạiB cóBC₌pAC2₋_AB2₌_a
⇒S₄_ABC₌1

2AB.BC=
a2p3

2 vàVS.ABC=

1

3.S4ABC.S A=
a3p3

6

4S AB vng tạiA có SM

SB =
S A2
SB2 =

S A2
S A2₊_AB2 =

1
4.

VậyV_{A.BCN M}₌

µ

1− 1

42

¶
.a

3p₃

6 =

5a3p3

32 .

<b>Chú ý</b>

Giả thiết 2 đường thẳng phân biệt cùng vng góc với đường thẳng thứ 3 khơng đủ để
kết luận hai đường thẳng đó song song với nhau. Chỉ khi cả 3 đường thẳng cùng nằm
trên một mặt phẳng thì kết luận đó mới đúng.

|<b>Ví dụ 8.</b>

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và
có thể tích làV. Gọi Mlà trung điểm của cạnhSB;P

là điểm thuộc cạnhSDsao cho SP₌2DP. Mặt phẳng

(AMP)cắt cạnhSCtại điểmN. Tính thể tích của khối

chópS.AM N P theoV.
<b>Nhận xét:</b>

Nếu khơng dựng được thiết diện của hình chóp cắt
bởi(AMP)thì khơng thể giải được bài toán này!

A

B C

D
S

M P

$ <b>Lời giải</b>

Dựng giao điểm N=SC∩(AMP)(và tạo nên thiết diện của hình chóp cắt bởi(AMP))
+ Vẽ giao điểm O=AC∩BD

+ NốiSOcắt MP tại I

+ Kéo dài A I cắt SD tạiN

Tính tỉ số S I

SO (dựa vào tỉ số diện tích các tam giác):

+4SMP cóS₄_SMP₌1
2.

2

3.S4SBD=
1

3.S4SBD (1)

+S_4SMP₌S_{4SM I}₊S_{4SP I}₌
à

1
2.

S I
SO+

2
3.

S I
SO

ả
.1

2S4SBD (2)

+ T (1) v (2) ta tính được S I

SO=
4
7.

A

B C

D
S

M P

O
N
I

Tính tỉ số SN

SC (dựa vào tỉ số diện tích các tam giác):

+ Dùng tỉ số giữa S_{4S AN} vàS_{S AC} 2 lần tương tự như trên ta tính được SN

SC =
2
5.

Dùng tỉ số thể tích giữa hai khối <i>chóp tam giác</i>để tínhV_{S.AM N P}

+ Ta cú V_{S.AM N P}=V_S._{AM N}+V_{S.AN P}=

à_SM
SB.

SN
SC +

SN
SC.

SP
SD
ả

.1

2VS.ABCD=

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

<b>DƯƠN</b>

<b>G</b>

<b>PHƯỚC</b>

<b>SAN</b>

<b>G</b>

<b></b>

<b>-THPT</b>

<b>CHU</b>

<b>V</b>

<b>ĂN</b>

<b>AN</b>

|<b>Ví dụ 9.</b> Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnha, tam giácS AB

vuông tạiB, tam giác S AC vng tạiC. Biết góc giữa hai mặt phẳng (S AB)và (ABC)

bằng60◦_{. Tính thể tích khối chóp} _S.ABC _theo_a_.
$ <b>Lời giải</b>

Gọi I,Mtương ứng là trung điểm của các cạnh S A,AB.

Do4S ABvuông tạiB,4S ACvuông tạiCnênI A₌IB₌IC₌S I

GọiOlà tâm của mặt đáy ABC thì IO_⊥(ABC)

Ngồi ra,

(

I M⊥AB

OM_⊥AB⇒((S AB), (ABC))á =ƒI MO⇒ƒI MO=60

◦

4I MO có IO₌OM. tanMc=
ap3

6 . tan 60

◦₌a

2

Suy raV_S._ABC₌2VI.ABC=

2

3.S4ABC.IO=
2
3.

a2p3

4 .

a

2=

a3p3

12 .

? <b>Ghi nhớ:</b>V_{hình chóp đều}_S._ABC₌d

3_tan<i>_ϕ</i>

24

A

B

C

M O

I

S

? <b>Chú ý:</b>nếu thuộc được cơng thức tính thể tích khối chóp tam giác đều khi biết trước
cạnh đáy và góc hợp bởi mặt bên với mặt đáy thì bài tốn sẽ được giải nhanh hơn

|<b>Ví dụ 10.</b> Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0_B0_C0 _{có mặt đáy} _ABC _{là tam giác vng}
tại A. Biết AB₌ap3,AC₌a,A A0₌2a, hãy tính khoảng cách giữa:

a)B và(ACB0) b) A0B0và AC0. c)BCvà AC0.
$ <b>Lời giải</b>

A

B C

A0

B0 C0

H

A

B C

A0

B0 C0

K

A

B C

A0

B0 C0

I

Chú ý: Với giả thiết của bài toán ta chứng minh được A0C0⊥(ABB0A0)và A0B0⊥(ACC0A0).
<b>Câu a.</b> TừB, ta vẽ BH⊥AB0tạiH∈AB0 thì sẽ chứng minh đượcBH⊥(ACB0)tạiH.

Từ đód(B, (ACB0))=BH₌ B A.BB

0
p

B A2₊_BB02=

2ap21

7 .

Câu a có thể giải bằng phương pháp thể tích như sau (nếu khơng vẽ được hình)

d(B, (ACB0))=3VB0.ABC

S₄_ACB0 =

V_{lăng trụ}
S₄_ACB0

(có thể dùng CT. Hê-rơng để tính S₄_ACB0)

<b>Câu b.</b> Từ A0, ta vẽ A0K_⊥AC0sẽ chứng minh được A0K_⊥A0B0.

Kết hợp A0_K_⊥_AC0 _{ta suy ra được}_d(A0_B0_,_AC0₎₌_A0_K₌_p A0C0.A A0

A0_C02₊_{A A}02=

2ap5

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

<b>DƯƠN</b>

<b>G</b>

<b>PHƯỚC</b>

<b>SAN</b>

<b>G</b>

<b></b>

<b>-THPT</b>

<b>CHU</b>

<b>V</b>

<b>ĂN</b>

<b>AN</b>

<b>Câu c.</b> Ta cóBC_∥(AB0C0)nênd(BC,AC0)=d(BC, (AB0C0))=d(C, (AB0C0))

DoC A0cắt(AB0C0)tại điểmIlà trung điểm củaC A0nênd(C, (AB0C0))=d(A0, (AB0C0))
A0.AB0C0là một tam diện vuông tại A0 nên nếu đặth=d(A0, (AB0C0))thì

1
h2=

1
A0_B02+

1
A0_C02+

1
A A02 =

19

12a2 ⇒ d(A

0_{, (AB}0_C0₎₎₌_h₌2a
p

57

19 .

|<b>Ví dụ 11.</b> Cho hai hình vng ABCD và ABEF có cạnh bằng 1, lần lượt nằm trên
hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi S là điểm đối xứng với B qua đường thẳng

DE. Tính thể tích của khối đa diện ABCDSEF.
$ <b>Lời giải</b>

Cắt khối đa diện ABCDSEF bởi mặt phẳng(CDF E)ta được
khối lăng trụ ABC.A0B0C0và khối chóp S.CDF E.

Ta cúV_ABC.A0_B0_C0=
à

1

2.BC.BE

ả

.AB=1

2.1.1.1=
1
2.

Gi I=DEBS ta cú

(

BS(CDF E)=I

IB₌I S

d (S, (CDF E))=d (B, (CDF E))

=d (B,CE)=BC.BE

CE =

p

2
2 .

⇒VS.CDF E=

1

3.SCDF E.d (S, (CDF E))=
1
3.

p

2.

p

2

2 =

1
3

VậyV_ABCDSEF=V_ABC.A0_B0_C0+V_{S.CDF E}=
1

2+

1

3=

5
6.

B

C

E
A

D

F

I

S

1

1

p

2

|<b>Ví dụ 12.</b> Cho hình chóp đềuS.ABCcó cạnh đáy bằngavà cạnh bên bằng3a. Một
mặt phẳng thay đổi luôn song song với hai cạnh SB và AC, cắt hình chóp theo thiết
diện là một đa giác(H). Tính diện tích lớn nhất của(H).

$ <b>Lời giải</b>

Gọi(P)là mặt phẳng song song vớiSBvà AC,(P)cắt ABtạiM.
Khi đó thiết diện của hình chóp S.ABC cắt bởi

(P)là hình hình hành M N PQ (như hình vẽ)
DoS.ABC là hình chóp đều nên SB_⊥AC, từ đó

M N PQ là hình chữ nhật.
Đặt M N₌x(0<x_<3a), ta có N A

S A =
M N

SB =
x
3a

Suy ra SN

S A =
3a−x

3a ⇒

N P
AC =

SN
S A =

3a−x

3a ⇒ N P=

3a−x
3

A

B

C
S

M

N P

Q

Diện tích thiết diện:S_{M N PQ}₌M N.N P= x(3ax)

3 6

1
3

à_x

+(3ax)
2

ả2

=3a
2

4 (*)

Du "=" ca (*) xy ra khi và chỉ khi x₌3a−x_⇔x₌3a

2 ∈(0; 3a).

Vậy diện tích lớn nhất của thiết diện(H)làSmax=

3a2

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

<b>DƯƠN</b>

<b>G</b>

<b>PHƯỚC</b>

<b>SAN</b>

<b>G</b>

<b></b>

<b>-THPT</b>

<b>CHU</b>

<b>V</b>

<b>ĂN</b>

<b>AN</b>

|<b>Ví dụ 13.</b> Cho một hình nón có độ dài đường sinh bằng5, bán kính đáy bằng3.
a) Tính diện tích tồn phần và thể tích của hình nón đó.

b) Một mặt phẳng (<i>α</i>) qua đỉnh của hình nón, cách tâm của mặt đáy một đoạn bằng

2. Tính diện tích của thiết diện tạo bởi hình nón và mặt phẳng(<i>α</i>)đó.
$ <b>Lời giải</b>

Xét hình nón đỉnhS có l₌5,r₌3. Khi đó h₌pl2₋_r2₌₄
<b>Câu a.</b> S_{t p}₌S_xq₊S_đ₌<i>π</i>rl₊<i>π</i>r2₌<i>π</i>.3.5+<i>π</i>.32=24<i>π</i>;V₌1

3<i>π</i>.r

2_h₌₁₂<i>_π</i>_.
<b>Câu b.</b> Xét thiết diệnS ABthoả đề bài (như hình vẽ)

GọiI là trung điểm dây cung AC

vàH là hình chiếu vng góc củaO lên đoạn thẳngS I.
Khi đó ta chứng minh đượcOH⊥(S AB)tạiH.

Suy raOH₌d(O, (S AB))=2

4SOI vng tạiOcó 1

OI2 =

1
OH2−

1
SO2=

3

16 ⇒OI=

4

p

3 ⇒S I=

p

SO2₊_OI2₌_p8

3
S

A

B
O
I
H

4IOBvng tại I có IB=pOB2−OI2=
p

33

3 ⇒AB=2IB=

2p33
3

Vậy diện tích thiết diệnS ABlàS₄_{S AB}₌1

2.S I.AB=
8p11

3

|<b>Ví dụ 14.</b> Cho tam giác ABC vng tại A có AB₌3,AC₌4. Quay tam giác ABC

lần lượt quanh các cạnh của nó để tạo ra các khối trịn xoay. Tính tổng thể tích của
các khối trịn xoay đó.

$ <b>Lời giải</b>

C

B
A

B

C
A

C

B

A
H

Xét khối nón có trục là cạnh AC.

Khối nón này có h₁₌AC₌4,r₁₌AB₌3⇒V₁₌1
3<i>π</i>.r

2
1h1=

1
3<i>π</i>3

2_.4₌₁₂<i>_π</i>_.
Xét khối nón có trục là cạnh AB.

Khối nón này có h₂₌AB₌4,r₂₌AC₌3⇒V₁₌1
3<i>π</i>.r

2
2h2=

1
3<i>π</i>4

2_.3

=16<i>π</i>.
Xét khối trịn xoay (T)do4ABC quay quanh cạnhBCtạo ra.

Khi đó(T)là hợp của hai khối nón (như hình vẽ), bán kính đáy chung r3=AH=

12
5

Thể tích khối này làV₃₌1
3<i>π</i>.r

2
3.AH+

1
3<i>π</i>.r

2
3.BH=

1
3<i>π</i>.r

2
3.AB=

48
5 pi.

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

<b>DƯƠN</b>

<b>G</b>

<b>PHƯỚC</b>

<b>SAN</b>

<b>G</b>

<b></b>

<b>-THPT</b>

<b>CHU</b>

<b>V</b>

<b>ĂN</b>

<b>AN</b>

|<b>Ví dụ 15.</b> Một khối nón trịn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh
bằng3. Một mặt phẳng qua đường kính AB của mặt đáy đồng thời hợp với mặt đáy
một góc bằng60◦_{cắt khối nón theo thiết diện là một hình parabol. Tính diện tích của}
thiết diện đó.

$ <b>Lời giải</b>

GọiSM N là thiết diện qua trục vng góc với ABcủa hình nón.
Gọi(T)là thiết diện cần tìm diện tích (với đỉnh I)

Từ giả thiết ta có ION =SM Nƒ =60◦⇒IO∥SM và IO=
1

2SM

Theo giả thiết SM=3⇒OI=3

2, ngoài raO A=OB=
AB

2 =

3
2

Do thiết diện là một hình parabol nên có diện tích

S_th.diện=4

3.O A.OI=3.

S

A

B
O
M

N
I

|<b>Ví dụ 16.</b> Một hình trụ có bán kính đáy bằng5, khoảng cách giữa hai đáy bằng7.
a) Tính thể tích và diện tích tồn phần của hình trụ.

b) Cắt khối trụ bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một đoạn bằng 3. Tính
diện tích thiết diện được tạo thành.

$ <b>Lời giải</b>
<b>Câu a.</b> Theo giả thiết r₌5;h₌l₌7 nên

S_tp₌2Sđ+Sxq=2<i>π</i>.r2+2<i>π</i>.rl=2<i>π</i>.52+2<i>π</i>.5.7=120<i>π</i>.

V₌<i>π</i>.r2h₌<i>π</i>.52.7=175<i>π</i>.

<b>Câu b.</b> Giả sử hình trụ(T)có trụcOO0, thiết diện song song với trục
là hình chữ nhật M N PQ(N,P∈(O)và M,Q∈(O0₎_).

GọiH là trung điểm MQ khi đóO0H⊥MQ⇒O0H⊥(M N PQ).
Do đó d¡

OO0, (M N PQ)¢

=d¡

O0, (M N PQ)¢

=O0H=3.
Ta có MH₌pO0_M2₋_O0_H2₌₄_cm_⇒_MQ₌₂_·_MH₌₈_.
Diện tích thiết diện:S₌MH_·M N₌56.

O
O0

M

N
P
Q
H

|<b>Ví dụ 17.</b>

Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vng ABCDcạnh

2p3cm với AB là đường kính của đường trịn đáy. Gọi M là
điểm thuộc cung AB_ của đường tròn đáy sao cho ABMƒ =60◦.

Tính thể tích của khối tứ diện ACD M.

D

M

C
B
A

$ <b>Lời giải</b>
Ta có AMBƒ=90◦ nên AM=AB. sinABMƒ=2

p

3. sin 30◦=p3cm.

d(AM,CD)=AD₌2p3cm và(AM,áCD)=(AM,áAB)=M ABƒ=30◦.

V_{ACD M}₌1

6.AM.CD.d(AM,CD). sin(AM,CD)á =

1
6.

p

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

<b>DƯƠN</b>

<b>G</b>

<b>PHƯỚC</b>

<b>SAN</b>

<b>G</b>

<b></b>

<b>-THPT</b>

<b>CHU</b>

<b>V</b>

<b>ĂN</b>

<b>AN</b>

|<b>Ví dụ 18.</b> Một hình trụ có bán kính đáy r₌5 và chiều cao h₌6. Gọi (<i>α</i>) là mặt
phẳng không song song với trục của hình trụ, cắt hai đáy của hình trụ theo 2 dây
cung có chiều dài cùng bằng 5. Tính khoảng cách từ tâm O của mặt đáy đến mặt
phẳng(<i>α</i>)và diện tích của thiết diện tạo nên bởi khối trụ và(<i>α</i>).

$ <b>Lời giải</b>

<b>Câu a.</b> GọiM N và PQ là hai dây cung do(<i>α</i>)cắt hai đường tròn đáy tạo nên
Khi đóM N=PQ=5.

GọiE,F lần lượt là trung điểm của M N,PQ

GọiI₌EF_∩OO0 thìI là trung điểm củaEF lẫnOO0.
VẽOI_⊥PQ tạiF_∈PQ và OT_⊥EF tiTEF thỡOT(<i></i>)

4OFQ vuụng tiF cúOF₌pOQ2_FQ2₌

s
52

à
5
2

ả2

=5
p

3
2

4OI F vuụng tiO cú I F₌pOI2₊_OF2₌
p

111
2

Như vậyd(O, (<i>α</i>))=OT₌OI.OF
I F =

15

p

37.

<b>Câu b.</b> GọiK là giao điểm củaEF với mặt trụ (mở rộng)
GọiHlà hình chiếu của K lên trụcOO0(kéo dài)

N
O0

I

H
O
P

Q

M

F

E

T

K

Ta cóOF∥HK nên I K

I F =
HK

OF ⇒I K=

HK.I F
OF =

p

37

Thiết diện của khối trụ cắt bởi(<i>α</i>)là một hình
<i>elip cụt</i>có trục lớn bằng2p37, trục nhỏ bằng10.
Phương trình của elip: x

2

37+

y2
25=1

Din tớch thit din:S=4
Z

p

111

2

0

5

p

37
p

37x2_dx

=p20

37
à_x

2

p

37x2₊37

2 arcsin
x

p

37
ả

p
111

2

0

=5
p

111

2 +

10<i></i>p37

3 .

x
y

I

5

p

37

F p111

2
K

|<b>Vớ dụ 19.</b>

Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnha. Tính bán kính
của mặt cầu trong các trường hợp sau đây:

a) Đi qua8đỉnh của hình lập phương;

b) Tiếp xúc với12cạnh của hình lập phương;
c) Tiếp xúc với6mặt bên của hình lập phương.

A

A0
D

H

B0

D0

B

C0
C
I

O

$ <b>Lời giải</b>

GọiO là trung điểm của đường chéo AC0thìO cách đều 8 đỉnh của hình lập phương,

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

<b>DƯƠN</b>

<b>G</b>

<b>PHƯỚC</b>

<b>SAN</b>

<b>G</b>

<b></b>

<b>-THPT</b>

<b>CHU</b>

<b>V</b>

<b>ĂN</b>

<b>AN</b>

a) Bán kính mặt cầu qua 8 đỉnh của hình lập phương làr₁₌1

2AC

0₌a
p

3

2 .

b) Bán kính mặt cầu tiếp xúc 12 cạnh của hình lập phương là r₂₌d(O,DD0)=1

2BD=

ap2

2 .

c) Bán kính mặt cầu tiếp xúc 6 mặt của hình lập phương là r₃₌d(O, (ABCD))=1

2CC

0₌a

2.

|<b>Ví dụ 20.</b> Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0có9cạnh đều bằnga. Tính
diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.

$ <b>Lời giải</b>
Gọi I và I0lần lượt là tâm của 4ABC và4A0B0C0

Ta có I I0_⊥(ABC)và I I0_⊥(A0B0C0).
GọiOlà trung điểm của I I0thì

O cách đều các đỉnh của hình lăng trụ ABC.A0_B0_C0_.
⇒Olà tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A0B0C0.
4OI A vuông tại I nênO A2₌A I2₊IO2₌a

2

3 +

a2

4 =

7a2
12 .

Diện tích mặt cầu là S₌4<i>π</i>.O A2=4<i>π</i>.7a

2

12 =

7<i>π</i>a2

3 .

A

A0 C0

O

B0
I0

C
I

B

|<b>Ví dụ 21.</b> Cho hình chóp tam giác đềuS.ABC có cạnh đáy bằnga, mặt bên tạo với
đáy một góc<i>α</i>(0◦<<i>α</i><90◦). Xác định tâm và tính theoavà<i>α</i> bán kínhr của mặt cầu
nội tiếp hình chóp đó.

$ <b>Lời giải</b>

GọiH là tâm của tam giác đều ABC, ta cóSH_⊥(ABC).

GọiM là trung điểm củaBC, ta có








BC₌(SBC)∩(ABC)

BC_⊥SM_⊂(SBC)

BC_⊥AM_⊂(ABC)

⇒((SBC), (ABC))á =SM Aƒ. Do đó SM Aƒ=<i>α</i>.

Gọi I là tâm của mặt cầu nội tiếpS.ABC thì I_∈SH.
Vì I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chópS.ABC nên

M I là đường phân giác trong của gócSM Aƒ.

Khi đó,bán kính của mặt cầu nội tiếpS.ABC làr₌I H.
4I H M vuông tạiH cóI H₌MHtan<i>α</i>

2 =

ap3

6 ×tan

<i>α</i>
2.

S

B
H

A C

I

</div>

<!--links-->