Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (481.82 KB, 8 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>SỞ GD VÀ ĐT CAO BẰNG </b> <b>KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH </b>
<b>NĂM HỌC 2017-2018 </b>
<b>MƠN: TỐN 12 </b>
<b>(Thời gian làm bài 180 phút) </b>
<b>Câu 1:</b> (6,0 điểm)
1.Tìm các giá trị của <i>m</i> để hàm số <i>y</i>
2.Tìm trên trục hồnh các điểm có thể kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số
2
1
<i>x</i>
<i>y</i> <i>C</i>
<i>x</i>
.
Biết hai tiếp tuyến đó tạo với nhau một góc 45.
3.Giải hệ phương trình
2
2
2 2
3 2 2
1
5
log 3 5
2
<i>x</i> <i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<sub></sub>
.
<b>Câu 2:</b> (2,0 điểm)
Giải phương trình:
2
4 sin
1 cot 2
1 cos 4
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
.
<b>Câu 3:</b> (2,0 điểm)
Tính
2 3
lim
1
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>I</i>
<i>x</i>
.
<b>Câu 4:</b> (2,0 điểm)
Một hộp chứa 11 quả cầu được đánh số theo thứ tự từ 1 đến 11, lấy ngẫu nhiên 6 quả cầu.
Tính xác suất để tổng của các số được ghi trên 6 quả cầu đó là số lẻ.
<b>Câu 5:</b> (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ <i>Oxy</i> cho tam giác <i>ABC</i> cân tại <i>A</i>, các cạnh <i>AB</i> và <i>BC</i> lần lượt nằm
trên hai đường thẳng có phương trình 12<i>x</i> <i>y</i> 230 và 2<i>x</i>5<i>y</i> 1 0, đường thẳng <i>AC</i> đi
<b>Câu 6:</b> (4,0 điểm)
Cho hình chóp .<i>S ABCD</i> đáy <i>ABCD</i> là hình vng cạnh <i>a</i>, tâm <i>O</i>. Đường cao của hình chóp
là <i>SA</i><i>a</i>. <i>M</i> là một điểm di động trên <i>SB</i>, đặt <i>BM</i><i>x</i> 2.
1. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
3. Xác định <i>x</i> để thiết diện là hình thang vng. Trong trường hợp đó tính thể tích của hai phần
của .<i>S ABCD</i> chia bởi thiết diện.
<b>Câu 7:</b> (2,0 điểm)
Cho ba số dương <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> thỏa mãn <i>a</i>2<i>b</i>2<i>c</i>2 1.
Chứng minh rằng: <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> 3 3
2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<b>HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT. </b>
<b>Câu 1:</b> (6 điểm)
1.Tìm các giá trị của <i>m</i> để hàm số <i>y</i>
2.Tìm trên trục hồnh các điểm có thể kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số
2
1
<i>x</i>
<i>y</i> <i>C</i>
<i>x</i>
.
Biết hai tiếp tuyến đó tạo với nhau một góc 45.
3. Giải hệ phương trình
2
2
2 2
3 2 2
1
5
log 3 5
2
<i>x</i> <i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub>
.
<b>Lời giải</b>
<b>1.</b> Tập xác định <i>D</i>
3 1 6 1 4
<i>y</i> <i>m x</i> <i>m</i> <i>x</i> <i>m</i>
TH1: <i>m</i>1
12 4
<i>y</i> <i>x</i> ; 0 1
3
<i>y</i> <i>x</i>
Với <i>m</i>1, hàm số đồng biến trên khoảng 1;
3
<sub> </sub>
.
Vậy <i>m</i>1 loại.
TH2: <i>m</i>1
Để hàm số đồng biến trên <i>y</i> 0, <i>x</i> 3 1
1 0
0
0 9 1 12 1 0
<i>m</i>
<i>a</i>
<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> 2
1
10 3 0
<i>m</i>
<i>m</i> <i>m</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub>
1
;5 2 7
;5 2 7 5 2 7;
<i>m</i>
<i>m</i>
<i>m</i>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
.
Vậy <i>m</i>
2
1
<i>x</i>
<i>y</i> <i>C</i>
<i>x</i>
2
2
2
1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
Để là tiếp tuyến của đồ thị
2
2
2
1
1
2
2
1
<i>x</i>
<i>k x</i> <i>m</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>k</i>
<i>x</i>
<sub></sub>
<sub></sub>
Thay PT (2) vào PT (1) ta được:
2 2
2
2
2
1 2 0 1 *
1 <sub>1</sub>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>x</i> <i>xm</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i><sub>x</sub></i>
<sub></sub>
Để qua <i>M</i> kẻ được hai tiếp tuyến đến
1 0 1
0 0
1 2 0 1
<i>m</i> <i>m</i>
<i>m</i>
<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub> </sub> <sub></sub> <sub></sub>
Khi đó PT (*) có hai nghiệm
1
2
0
2
1
<i>x</i>
<i>m</i>
<i>x</i>
<i>m</i>
1
2 2
0 0
2 4
1 <sub>1</sub>
<i>k</i> <i>y</i>
<i>m</i> <i>m</i>
<i>k</i> <i>y</i>
<i>m</i> <i><sub>m</sub></i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
Vì hai tiếp tuyến đó tạo với nhau một góc 45 nên
1 2
tan 45 4 1 3
1
<i>k</i> <i>k</i>
<i>m</i> <i>m</i>
<i>k k</i>
Với <i>m</i>0 ta có PT
<i>m</i>
<i>m</i> <i>m</i> <i>TM</i>
<i>m</i>
Với <i>m</i>0 ta có PT
3. Giải hệ phương trình
2
2
2 2
3 2 2
1 1
5
log 3 5 2
2
<i>x</i> <i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub>
<b>Lời giải</b>
Điều kiện 2
5<i>y</i> 0 <i>y</i> 5; 5 .
Ta có
2
2 2
3 2 2
2 2 2 2 2
3 3
2 2 2 2 2 2
3 3
5
log 3 5
2
log 5 log 2 3 5
log 5 5 log 2 2 .
<i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>y</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
Do đó hàm số
<i>f t</i> <i>t</i> <i>t</i> đồng biên trên .
Ta có
5 2 5 2 3 5.
<i>f</i> <i>y</i> <i>f x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> (3)
Mặt khác từ phương trình (1) ta có 2
1
<i>y</i> <i>x</i> thay vào (3) ta được
2 2 2 2 4
2
4 2
2
3 1 5 3 6 3 5 0
2
3 5 2 0 <sub>1</sub>
0
3
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<sub> </sub>
.
Suy ra <i>y</i> 1 2 1.(Tmđk).
Vậy hệ phương trình đã cho hai nghiệm
<b>Câu 2.</b> Giải phương trình:
2
4 sin
1 cot 2
1 cos 4
<i>x</i>
<i>x</i>
1 cot 2 1
1 cos 4
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
.
Điều kiện: sin 2<i>x</i>02<i>x</i><i>k</i> ,
2
<i>x</i> <i>k</i> <i>k</i>
.
cos 2 4sin
1 1
sin 2 2sin 2
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
sin 2<i>x</i> cos 2<i>x</i> sin 2<i>x</i> 2sin <i>x</i>
2
1 cos 2<i>x</i> cos 2 sin 2<i>x</i> <i>x</i> 1 cos 2<i>x</i>
cos 2<i>x</i>
cos 2 cos
4 4
<i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
2
2
2 2
2 2
2
<i>x</i> <i>k</i>
<i>x</i> <i>k</i>
<i>x</i> <i>k</i>
<sub></sub>
<sub></sub>
<sub> </sub>
<sub></sub>
<i>x</i> <i>k</i> <i>k</i>
<i>x</i> <i>k</i>
<sub></sub>
<sub></sub>
.
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình là
4 2
<i>x</i> <i>k</i> ,<i>k</i> .
<b>Câu 3.</b> (2,0 điểm) Tính
Với <i>x</i>1 ta có
3 3 3
2 3 <sub>1 4</sub> <sub>3</sub>
2 3
1 1 2 3 1 2 3
<i>x</i> <i>x</i> <i><sub>x</sub></i> <i><sub>x</sub></i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
4 3
1 2 3
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
4 3 1
Vì
1
4 3 7
lim 0
4
2 3
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
và <sub>1</sub>
1
lim
1
<i>x</i> <i><sub>x</sub></i> nên: 1
2 3
lim
1
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>I</i>
<i>x</i>
.
<b>Câu 4.</b> (2,0 điểm)
Một hộp chứa 11 quả cầu được đánh số theo thứ tự từ 1 đến 11, lấy ngẫu nhiên 6 quả cầu.
Tính xác suất để tổng của các số được ghi trên 6 quả cầu đó là số lẻ.
<b>Lời giải. </b>
Gọi :<i>A</i> “Chọn 6 quả cầu mà tổng của các số được ghi trên 6 quả cầu đó là số lẻ.”
Có 6 quả cầu mang số lẻ và 5 quả cầu mang số chẵn.
<b>*Tính </b><i>n</i>
Chọn 6 quả cầu từ 11 quả cầu có <i>C</i><sub>11</sub>6 462 cách. Suy ra: <i>n</i>
TH1: Chọn 1 quả cầu lẻ và 5 quả cầu chẵn có: 1 5
6. 5 6
<i>C C</i> cách
TH2: Chọn 3 quả cầu lẻ và 3 quả cầu chẵn có: 3 3
6. 5 200
<i>C C</i> cách
TH3: Chọn 5 quả cầu lẻ và 1 quả cầu chẵn có: 5 1
6. 5 30
<i>C C</i> cách
Theo quy tắc cộng, ta có: <i>n A</i>
Vậy
<i>n A</i>
<i>n</i>
<b>Câu 5:</b> Trong mặt phẳng tọa độ <i>Oxy</i> cho tam giác <i>ABC</i> cân tại <i>A</i>, các cạnh <i>AB</i> và <i>BC</i> lần lượt nằm
trên hai đường thẳng có phương trình 12<i>x</i> <i>y</i> 230 và 2<i>x</i>5<i>y</i> 1 0, đường thẳng <i>AC</i> đi
qua điểm <i>M</i>
<b>Lời giải </b>
<i><b>B</b></i> <i><b>C</b></i>
<i><b>A</b></i>
Vì
2 5 1 0 1
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>
<i>B</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>y</i>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub>
VTPT của hai đường thẳng <i>AB</i> và <i>BC</i> lần lượt là <i>n</i>1
Tam giác <i>ABC</i> cân tại <i>A</i>
o
,
90
,
<i>ABC</i> <i>AB BC</i>
<i>ABC</i> <i>ACB</i>
<i>ACB</i> <i>AC BC</i>
<sub></sub>
<sub> </sub>
Ta có cos cos
<i>ABC</i> <i>n n</i>
Đường thẳng <i>AC</i> đi qua <i>M</i>
2 2
0
Ta có
2 2
2 5
1
cos cos ,
5 29.
<i>a</i> <i>b</i>
<i>ACB</i> <i>n n</i>
<i>a</i> <i>b</i>
2 2
9<i>a</i> 100<i>ab</i> 96<i>b</i> 0
12
8
9
<i>a</i> <i>b</i>
<i>a</i> <i>b</i>
Trường hợp <i>a</i> 12<i>b</i>(loại) vì khi đó <i>AC AB</i>// vơ lí.
Trường hợp 8
9
<i>a</i> <i>b</i> Phương trình đường thẳng <i>AC</i> là 8<i>x</i>9<i>y</i>330
Vì
<i>x</i> <i>y</i>
<i>C</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub> <sub></sub>
Vì
<i>x</i> <i>y</i>
<i>A</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<sub></sub>
<sub> </sub> <sub></sub>
.
Vậy 60 53;
29 29
<i>A</i><sub></sub> <sub></sub>
, <i>B</i>
78 37
;
29 29
<i>C</i><sub></sub> <sub></sub>
.
<b>Câu 6.</b> (2,0 điểm)
Cho hình chóp .<i>S ABCD</i> đáy <i>ABCD</i> là hình vng cạnh <i>a</i>, tâm <i>O</i>. Đường cao của hình chóp
là <i>SA</i><i>a</i>. <i>M</i> là một điểm di động trên <i>SB</i>, đặt <i>BM</i><i>x</i> 2.
1. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
3. Xác định <i>x</i> để thiết diện là hình thang vng. Trong trường hợp đó tính thể tích của hai phần
của .<i>S ABCD</i> chia bởi thiết diện.
<b>Lời giải </b>
1.
Trong
đó suy ra
Gọi <i>I</i> <i>HO</i><i>CD</i>, <i>K</i> là trung điểm <i>SC</i>. Khi đó <i>KO</i>
2 2 2
2
2 <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub>
2 . .cos
2 2 1 1
2. . .cos 45
2 2 2 2
<i>OH</i> <i>AH</i> <i>AO</i> <i>AH AO</i> <i>OAH</i>
<i>a</i> <i>a</i>
<i>a</i> <i>x</i> <i>a</i> <i>x</i> <i>a</i> <i>xa</i> <i>x</i> <i>OH</i> <i>a</i> <i>xa</i> <i>x</i>
<sub></sub><sub></sub> <sub></sub><sub></sub>
1 1 1 1 3 1
.
2 2 2 2 4 2
<i>MHOK</i>
<i>S</i> <i>MH</i><i>OK OH</i> <sub></sub><i>x</i> <i>x</i><sub></sub> <i>a</i> <i>xa</i><i>x</i> <i>x</i> <i>a</i> <i>xa</i><i>x</i>
2 2 2 2
1 1 1 1
. . .
2 2 2 2 4 2
<i>KOI</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>S</i> <i>KO OI</i> <i>a</i> <i>xa</i><i>x</i> <i>a</i> <i>xa</i><i>x</i>
Do đó: 1 2 2
2
<i>MHIK</i> <i>MHOK</i> <i>KOI</i>
<i>S</i> <i>S</i> <i>S</i> <i>x</i> <i>a</i> <i>xa</i><i>x</i> .
3.
<i>N</i>
<i>K</i>
<i>I</i>
<i>H</i>
<i>M</i>
<i>O</i>
<i>B</i>
<i>A</i>
<i>D</i>
<i>C</i>
<i>S</i>
Khi 2 1
2 2
<i>a</i>
<i>BM</i> <i>BS</i> thì <i>OH</i>
3
.
1 1 1 1
. . . .
2 2 2 2 16
<i>ONK HBM</i> <i>BMH</i>
<i>a</i>
<i>V</i> <i>S</i> <i>OH</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> .
3 3
3
. .
1 1 1
.
2 8 3 24
<i>K OICN</i> <i>S ABCD</i>
<i>a</i>
<i>V</i> <sub> </sub> <i>V</i> <i>a</i>
.
Do đó: 3
. .
5
48
<i>BHMCIK</i> <i>ONK HBM</i> <i>K OICN</i>
<i>V</i> <i>V</i> <i>V</i> <i>a</i> .
3
. .
43
48
<i>MHKI SAD</i> <i>S ABCD</i> <i>BHMCIK</i>
<i>V</i> <i>V</i> <i>V</i> <i>a</i> .
<b>Câu 7.</b> (2,0 điểm)
Cho ba số dương <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> thỏa mãn <i>a</i>2<i>b</i>2<i>c</i>2 1.
Chứng minh rằng: <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> 3 3
2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>
<b>Lời giải </b>
<i>x</i>
ta có <sub>2</sub> 3 3 2
1 2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
3
2 3 3<i>x</i> 3 3<i>x</i>
3
3 3<i>x</i> 3 3<i>x</i> 2 0
2
3<i>x</i> 3<i>x</i> 1 3<i>x</i> 3<i>x</i> 1 2 3<i>x</i> 1 0
2
3<i>x</i> 1 3<i>x</i> 2 0
(luôn đúng <i>x</i>
1 2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
3
<i>x</i> .
Ta có <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> 3 3
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> 2 2 2
3 3
1 1 1 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
.
Vì <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> là các số dương thỏa mãn <i>a</i>2<i>b</i>2<i>c</i>2 1 nên <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> thuộc khoảng
2
2
3 3
1 2
<i>a</i> <i>a</i>
<i>a</i>
2
2
3 3
1 2
<i>b</i> <i>b</i>
<i>b</i>
2
2
3 3
1 2
<i>c</i> <i>c</i>
<i>c</i>
2 2 2
2 2 2
3 3 3 3 3 3
1 1 1 2 2 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
2 2 2
3 3
1 1 1 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
2 2 2
3 3
1 1 1 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 3
3