Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (455.25 KB, 5 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>SỞ GD & ĐT NGHỆ AN </b>
<b>TRƯỜNG THPT NGHI LỘC 5 </b>
<b>ĐỀ CHÍNH THỨC </b>
<b>ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LỚP 11 – LẦN 2 </b>
<b>NĂM HỌC 2017 – 2018 </b>
<b>Mơn thi: TỐN </b>
<i>Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) </i>
<i> </i>
<b>Câu 1 (6,0 điểm). </b>
a) Giải phương trình tan 4cos 2sin 2 2 .
3 cos
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
b) Giải hệ phương trình:
2 2 2
3
2 1 2
3
1 2 4
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>
<i>y</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<b>Câu 2 (5,0 điểm). </b>
a) Trong một hộp bi có 3 bi đỏ, 4 viên bi vàng, 5 viên bi xanh; lấy ngẫu nhiên 4 viên bi trong
hộp. Tính xác suất để trong 4 viên bi được lấy số bi đỏ lớn hơn số bi xanh.
b) Cho dãy số
1 2
*
1
2
2017, 2020
5 2
,
3
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i> <i>u</i>
<i>u</i> <i>u</i>
<i>u</i> <sub></sub> <i>n</i>
<sub></sub> <sub></sub>
. Tìm công thức số hạng tổng quát <i>un</i> theo .<i>n</i>
<b>Câu 3.</b> Cho hình chop <i>S ABCD</i>. có đáy <i>ABCD</i> là hình vng cạnh <i>a</i>, tất cả các cạnh bên đều bằng .<i>a</i> Gọi
điểm <i>M</i> thuộc cạnh <i>SD</i> sao cho <i>SD</i>3<i>SM</i>, điểm <i>G</i> là trọng tâm tam giác <i>BCD</i>.
a) Gọi
b) Xác định điểm <i>P</i> thuộc <i>MA</i> và điểm <i>Q</i> thuộc <i>BD</i> sao cho <i>PQ</i> song song với <i>SC</i>. Tính <i>PQ</i>
theo .<i>a</i>
<b>Câu 4 (2,0 điểm).</b> Trong mặt phẳng <i>Oxy</i>, cho tam giác đều <i>ABC</i>. Trên các cạnh <i>AB AC</i>, lần lượt lấy các
điểm <i>M N</i>, sao cho <i>AM</i><i>AN</i>. Biết 0;2 3
3
<i>H</i><sub></sub> <sub></sub>
là trọng tâm tam giác <i>AMN</i>,
1 3
;
2 2
<i>K</i><sub></sub> <sub></sub>
là
trung điểm của <i>BN</i> đồng thời các điểm <i>B C</i>, lần lượt thuộc các đường thẳng <i>x</i> 3 0 và
2<i>x</i> 3.<i>y</i> 3 0. Biết <i>B</i> có tung độ âm và <i>C</i> có hồnh độ dương. Xác định tọa độ các đỉnh
, , .
<i>A B C</i>
<b>Câu 5.(2,0 điểm). </b>Cho các số <i>x y z</i>, , thỏa mãn 0 <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 4 3 3
2
2 2 2 2
15
.
<i>x z</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i>
<i>P</i>
<i>x z</i>
<i>y</i> <i>xz</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xz</i> <i>y</i>
<b>ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM </b>
<b>Câu </b> <b>Nội dung </b> <b>Điểm </b>
<b>Câu 1a. </b>
<b>(3,0đ) </b> Điều kiện: cos<i>x</i> 0 <i>x</i> 2 <i>k</i> ,<i>k</i>
<sub></sub>
Phương trình 2
sin 4 cos sin 2 .cos 2
3
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
sin<i>x</i> 2 1 cos 2<i>x</i> sin 2 x 3 cos 2<i>x</i> cos<i>x</i> 2
sin<i>x</i> sin 2 .cos<i>x</i> <i>x</i> 2 cos 2<i>x</i> 3.cos 2 .cos<i>x</i> <i>x</i> 0
sin<i>x</i> 1 2cos <i>x</i> cos 2<i>x</i> 2 3 cos<i>x</i> 0
sin cos 2<i>x</i> <i>x</i> cos 2<i>x</i> 2 3 cos<i>x</i> 0
cos 2<i>x</i> sin<i>x</i> 3 cos<i>x</i> 2 0
+) cos 2 0
4 2
<i>x</i> <i>x</i> <i>k</i>
+) sin 3 cos 2 0 sin 1 2 ,
3 6
<i>x</i> <i>x</i> <sub></sub><i>x</i> <sub></sub> <i>x</i> <i>k</i> <i>k</i>
So với điều kiện ta được nghiệm của phương trình: ; 2
4 2 6
<i>x</i> <i>k</i> <i>x</i> <i>k</i>
<b>Câu 1b. </b>
* ĐKXĐ:
0
3
1 0
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
Chia phương trình (1) cho <i>y</i> và cho phương trình (2) cho <i>y</i>2.
* Ta có: <sub>2</sub>
2
2 3 2
1 1
3 4
1 2 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>y</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>y</i> <i>y</i> <i>y</i>
<sub> </sub>
<sub> </sub>
1
<i>x</i>
<b>Câu 2a. </b>
<b>(2,5 đ) </b>
Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi ta có số cách lấy là: 4
12 495
<i>C</i> (cách) <b>0,5 </b>
Ta tìm số cách lấy 4 viên bi mà số bi đỏ lớn hơn số bi xanh, xảy ra các trường hợp sau:
TH1: Chọn 1 bi đỏ, 3 bi vàng có 1 3
3. 4 12
<i>C C</i> (cách chọn)
TH2: Chọn 2 bi đỏ, 2 bi vàng có 2 2
3. 4 18
<i>C C</i> (cách chọn)
TH3: Chọn 2 bi đỏ, 1 bi xanh, 1 bi vàng có 2 1 1
3. 4. 5 60
<i>C C C</i> (cách chọn)
TH5: Chọn 3 bi đỏ, 1 bi xanh có 3 1
3. 5 5
<i>C C</i> (cách chọn)
<b>1,0 </b>
3 4 3 4 3 4 5 3 4 3 5 12
1
. . . :
5
<i>P</i> <i>C C</i> <i>C C</i> <i>C C C</i> <i>C C</i> <i>C C</i> <i>C</i> <b>1,0 </b>
<b>Câu 2b. </b>
<b>(2,5 đ) </b> Đặt
1
1 2 1 1 1
5 2 2 2
, *
3 3 3
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <i>u</i>
<i>v</i> <sub></sub> <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <sub></sub> <i>u</i> <i>v</i> <i>n</i> .
Suy ra
3
<i>q</i> .
<b>1,0 </b>
Ta có tổng n số hạng đầu của CSN là
1 2
2
3 1
3 <sub>2</sub>
.... 9 1
1 3
3
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>S</i> <i>v</i> <i>v</i> <i>v</i>
<sub> </sub>
<sub> </sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub>
<b>0,5 </b>
Mặt khác ta có:
2 2 2
1 3 1
1 1
...
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>v</i> <i>u</i> <i>u</i>
<i>v</i> <i>u</i> <i>u</i>
<i>v</i> <sub></sub> <i>u</i> <i>u</i> <sub></sub>
Cộng theo vế ta được: <i>v</i><sub>1</sub> <i>v</i><sub>2</sub> ....<i>v<sub>n</sub></i><sub></sub><sub>1</sub> <i>u<sub>n</sub></i><i>u</i><sub>1</sub>.
Từ đó suy ra cơng thức số hạng tổng quát của dãy
1
1
2
9 1 2017.
3
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i> <i>S</i> <i>u</i>
<sub> </sub>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub>
<b>1,0 </b>
Qua G kẻ đường thẳng song song với CD cắt AD và BC lần lượt tại E và F.
Qua M kẻ đường thẳng song song với CD cắt SC tại H
Thết diện của hình chóp với mp
0
2
, , 60
3 3
<i>a</i> <i>a</i>
<i>MD</i><i>HC</i> <i>DE</i><i>CF</i> <i>MDE</i><i>HCF</i>
Nên <i>DME</i> <i>CHF</i><i>ME</i><i>HF</i> do đó EFHM là hình thang cân
<b>1,0</b>
Ta có:
2 2 2
2 2 2 0 4 2 1
2 . cos 60 2. . .
9 9 3 3 2 3
<i>a</i> <i>a</i> <i>a a</i> <i>a</i>
<i>EM</i> <i>DM</i> <i>DE</i> <i>DM DE</i>
,
3
<i>a</i>
<i>MH</i> <i>EF</i><i>a</i>.
Gọi
2 <sub>2</sub> <sub>2</sub>
2 2
2 3 9 3
<i>EF</i> <i>HM</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
<i>h</i> <i>EM</i> <sub></sub> <sub></sub>
Diện tích thiết diện là
2
1 1 2 4 2 2
. .
2 2 3 3 9
<i>EFHM</i>
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
<i>S</i> <i>h EF</i><i>HM</i>
<b>1,5 </b>
<b>Câu 3b. </b>
<b>(2,5 đ) </b>
Qua M dựng đường thẳng song song với SC cắt CD tại N. Nối A với N cắt BD tại Q.
Trong mp(AMN) từ Q dựng đường thẳng song song với MN cắt AM tại P.
Ta có PQ//MN, MN//SC nên PQ//MN
Suy ra hai điểm P, Q thỏa mãn điều kiện bài toán
<b>(2,0 đ) </b>
Chứng minh được HEIK là hình bình hành. Suy ra 1
2
<i>HK</i> <i>HB</i>
Do đó 2 2 39
3
<i>HB</i><i>HC</i> <i>HK</i>
Gọi
<i>c</i>
<i>B</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>C c</i><sub></sub> <sub></sub> <i>c</i>
Từ 2 39 3, 3
3
<i>HB</i><i>HC</i> <i>b</i> <i>c</i>
Đường thẳng AH qua H vng góc với BC nên có phương trình
Gọi <i>A</i>
2 <sub>4 3</sub>
<i>a</i>
<i>d A BC</i> <i>BC</i>
<i>a</i>
Với <i>a</i> 4 3(loại vì A, H nằm khác phía đối với BC).
Vậy <i>A</i>
<b>1,0 </b>
<b>Câu 5. </b>
<b>(2,0 đ) </b>
Ta có:
3 <sub>3</sub>
2
15
<i>x</i> <i>y</i>
<i>y</i> <i>z</i> <i>z</i>
<i>P</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>z</i>
<i>y</i> <i>z</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i>
<sub> </sub>
<sub> </sub>
<sub> </sub>
Đặt <i>a</i> <i>x</i>;<i>b</i> <i>y</i>;<i>c</i> <i>z</i> <i>abc</i> 1,<i>c</i> 1
<i>y</i> <i>z</i> <i>x</i>
và
3 3
2 15
<i>a</i> <i>b</i>
<i>P</i> <i>c</i>
<i>a b</i> <i>a b</i> <i>c</i>
<b>1,0 </b>
Ta có
3 3
3 3 <i>a</i> <i>b</i> 1
<i>a</i> <i>b</i> <i>ab a b</i> <i>ab</i>
<i>a b</i> <i>a b</i> <i>c</i>
Vậy 1 2 15 2 16 2 8 8 3
3 64 12
<i>P</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>c</i>
<i>c</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>c</i>
P đạt GTNN là 12 khi <i>c</i> 2 <i>z</i> 2<i>y</i>2<i>x</i>.