Đề thi thử THPT quốc gia

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.31 MB, 27 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chun đề

§

1. NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM



Khái niệm ngun hàm và tính chất 
1. Khái niệm nguyên hàm

— Cho hàm số f x( ) xác định trên K. Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f x( )
trên K nếu: F x( ) f x( ), x K.

— Nếu F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên K thì họ nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K

là: f x x( )d F x( ) C const, C .

2. Tính chất: Nếu f x( ), ( )g x là hai hàm số liên tục trên K và k 0 thì ta ln có:
 f x x( )d f x( ) C, f x x( )d f x( ) C, f ( )dx x f x( ) C,....
 k f x x( )d k. f x x( )d , với k là số thực khác 0.

 f x( ) g x( ) dx f x x( )d g x x( )d .
 F x( ) f x( ) (định nghĩa).

Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)

 0dx C. k xd kx C.



d .

n

n x

x x C

n

1 ( )

( ) d .

n

n ax b

ax b x C

a n

 1dx lnx C.

x

1 1

dx lnax b C.

ax b a

 12 dx 1 C.

x

x 2

1 1 1

d .

(ax b) x a ax b C

 sin dx x cosx C. sin(ax b x)d 1cos(ax b) C.

a

 cos dx x sinx C. cos(ax b x)d 1sin(ax b) C.

a

 12 d cot .

sin x x x C 2

d 1

cot( ) .

sin ( )

x

ax b C
a

ax b

 12 d tan .

cos x x x C 2

d 1

tan( ) .

cos ( )

x

ax b C
a

ax b

 e dx x ex C. eax bdx 1eax b C.

a

 d .

x

x a

a x C

a

d .

x

x a

a x C

a

♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (ax b) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1

a

NGUN HÀM

–

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Dạng tốn 1. Tính ngun hàm bằng bảng nguyên hàm



BT 1. Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) (giả sử điều kiện được xác định):

n

n x

x x C

n

Më réng

1 ( )

( ) d .

n

n ax b

ax b x C

a n

Một số công thức thường sử dụng: k xd kx C. kf x x( )d k. f x x( )d .
f x( ) g x( ) dx f x x( )d g x x( )d .
a) Tìm họ nguyên hàm của f x( ) 4x3 x 5.

Giải. Ta có: F x( ) f x x( )d

3 4

(4 5)d 5 .

x

x x x x x C

b) Tìm họ nguyên hàm của f x( ) 3x2 2 .x
...
...
...

c) Tìm họ nguyên hàm của f x( ) 15 x2.

x

Ta có: F x( ) 15 x2 dx (x 5 x2)dx

x

...

d) Tìm họ nguyên hàm của f x( ) 13 x2 1.

x

...
...
...
e) Tìm I (x2 3 )(x x 1)dx

Phân phới được: I (x3 2x2 3 )dx x ...
...

f) Tìm I (x 1)(x2 2)d .x

...
...
g) Tìm I (2x 1) d5 x (công thức mở rộng).

...
...

h) Tìm I (2x 10)2020d .x

...
...
1. Tìm một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) 4x3 4x 5 thỏa mãn F(1) 3.

A. F x( ) x4 2x2 5x 1.

B. F x( ) x4 4x2 5x 1.
C. F x( ) x4 2x2 5x 3.

D. ( ) 4 2 2 5 1

F x x x x

Ta có: F x( ) f x x( )d (4x3 4x 5)dx
x4 2x2 5x C.
Theo đề bài, ta có: F(1) 3

4 2

1 2.1 5.1 C 3 C 1.

Do đó F x( ) x4 2x2 5x 1.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2. Tìm một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) 3x2 2x 5 thỏa mãn F(1) 4.
A. F x( ) x3 x2 5x 3.

B. F x( ) x3 x2 5x 3.

C. F x( ) x3 x2 5x 3.
D. F x( ) x3 x2 5x 3.

...
...
...
...
3. Hàm số f x( ) 5x4 4x2 6 có 1 nguyên hàm F x( ) thỏa F(3) 1. Tính F( 3).

A. F( 3) 226. B. F( 3) 225.

C. F( 3) 451. D. F( 3) 225.

...
...
...
4. Hàm số f x( ) x3 3x 2 có mợt ngun hàm F x( ) thỏa F(2) 14. Tính F( 2).

A. F( 2) 6. B. F( 2) 14.

C. F( 2) 6. D. F( 2) 14.

...
...
...
5. Hàm số f x( ) (2x 1)3 có mợt ngun hàm là F x( ) thỏa 1 4.

F Tính 3

P F

A. P 32. B. P 34.

C. P 18. D. P 30.

...
...
...
6. Hàm số f x( ) (1 2 )x 5 có mợt ngun hàm là F x( ) thỏa 1 2

2 3

F Tính F(1).
A. F(1) 10. B. F(1) 5.

C. (1) 59
12

F D. (1) 71

F

...
...
...
7. Gọi F x( ) là một nguyên hàm của hàm số

f x

( )

(2

x

3)

2 thỏa (0) 1

F Tính giá trị của

biểu thức T log 3 (1)2 F 2 (2) .F

A. T 2. B. T 4.

C. T 10. D. T 4.

...
...
8. Hàm số f x( ) x3 3x 2 có mợt ngun hàm F x( ). Biết đồ thị của hàm số y F x( ) đi qua

điểm M(2;10). Giá trị của F( 2) bằng

A. 18. B. 7.

C. 8. D. 20.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

BT 2. Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) (mục đích cho học sinh rèn luyện cơng thức).
Làm quen nhóm cơng thức có mẫu số cơ bản:

dx lnx C
x

Më réng 1 dx 1lnax b C.

ax b a

1 1

dx C

x
x

Më réng

1 1 1

d .

(ax b) x a ax b C

a) Tìm I 3x2 1 2 d .x

x

...
...

b) Tìm I 3x2 2 12 d .x

x x

...
...
c) Tìm

2 3 1

d .

x x

I x

x

...
...

d) Tìm

2 6 3

d .

x x

I x

x

...
...

e) Tìm 1 d .

2 1

I x

x

...
...

f) Tìm 2 d .

3 4

I x

x

...
...

g) Tìm 1 2 d .

(2 1)

I x

x

...
...
...

h) Tìm 12 2 2 d .

2 3

( 1)

I x

x
x

...
...
...

i) Tìm 2 1 d .

4 4 1

I x

x x

...
...
...

j) Tìm 2 4 d .

6 9

I x

x x

...

...
...
k) Tìm 2 12 d .

( 1)

x

I x

x

...
...
...

l) 22 2 d .

4 4 1

x

I x

x x

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

9. (Đề thi thử nghiệm – Bộ GD & ĐT năm 2017) Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số
1

( )

f x

x và F(2) 1. Giá trị của F(3) bằng

A. 7

4 B. ln2 1.

C. 1

2 D.

ln2 1.

...
...
...
10. Biết F x( ) là một nguyên hàm của ( ) 1

2 1

f x

x và F( 1) 5. Giá trị của F( 4) bằng

A. 1ln 7 5.

2 B. 2ln7 5.

C. ln 7 5. D. 1ln 7 5.

...
...
...

11. Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm ( ) 3

2 1

f x

x thỏa F(1) 0. Giá trị của F(2) bằng

A. 4 ln2. B. 3 ln2.

C. 3ln 3.

2 D. 1.

...
...
...
12. Nguyên hàm F x( ) của hàm số ( ) 1

2 1

f x

x biết

e 1 3

2 2

F là

A. F x( ) 2 ln 2x 1 0, 5.
B. F x( ) 2 ln 2x 1 1.

C. ( ) 1ln 2 1 1.

F x x

D. F x( ) 0, 5 ln 2x 1 0, 5.

...
...
...
...
...
13. Tìm một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) ax b2 ( , a b , x 0),

x biết F( 1) 1,

(1) 4

F và f(1) 0.

A.

3 3 7

( )

4 2 4

x
F x

x

B.

3 3 7

( )

4 2 4

x
F x

x

C.

3 3 7

( )

2 4 4

x
F x

x

D.

3 3 1

( )

2 2 2

x
F x

x

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

BT 3. Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) (giả sử điều kiện được xác định):
Làm quen nhóm cơng thức ngun hàm của hàm lượng giác

sin dx x cosx C sin(ax b x)d cos(ax b) C .

a

cos dx x sinx C cos(ax b x)d sin(ax b) C .

a

 Cần nhớ: sin2x 2sin cos ,x x cos2x cos2x sin2x 2cos2x 1 1 2sin .2x

a) Tìm I (sinx cos )d .x x

...

b) Tìm I (3 cosx 2 sin )d .x x

...
c) Tìm I (2 sin 2x 3 cos 6 )d .x x

...

d) Tìm I sin cos d .x x x

...

e) Tìm cos .

2 6

x
I

...

f) Tìm sin .

3 3

x
I

...
g) Tìm I (sinx cos ) d .x 2 x

...
...

h) Tìm I (cosx sin ) d .x 2 x

...

...
i) Tìm I (cos2x sin )d .2x x

...
...

j) Tìm I (cos4x sin4x x)d .

...
...
 Nhóm áp dụng cơng thức:

2 2

1 d 1

d (1 cot )d cot cot( ) .

sin sin ( )

x

x x x x C ax b C

a

x ax b

2 2

1 d 1

d (1 tan )d tan tan( ) .

cos cos ( )

x

x x x x C ax b C

a

x ax b

k) Tìm 12 12 d .

cos sin

I x

x x

...

l) Tìm 62 d .
cos 3

I x

x

...
m) Tìm I tan2x xd .

...
...

n) Tìm I (tanx cot ) d .x 2 x

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

 Bậc chẵn PP Hạ bậc và lấy công thức nguyên hàm. 
Công thức hạ bậc: sin2 1 1cos 2

2 2

x x và cos2 1 1cos 2 .

2 2

x x

(Cần nhớ:Mỗi lần hạ bậc xuất hiện hai số 1;

2 sin là trừ, cos là cộng, cung góc tăng gấp đơi)

o) Tìm I sin2x xd .

...
...
...

p) Tìm I cos2x xd .

...
...
...
q) Tìm I sin 2 d .2 x x

...
...
...

r) Tìm I cos 2 d .2 x x

...
...
...
s) Tìm I (2 sin 3 ) d .x 2 x

...
...
...

t) Tìm I (2 cos 2 ) d .x 2 x

...
...

...
 Tích bậc nhất của sin và cos PP Áp dụng cơng thức tích thành tổng.

sin .cos sin( ) sin( ) .
2

a b a b a b sin .sin 1 cos( ) cos( ) .

a b a b a b

cos .cos cos( ) cos( ) .
2

a b a b a b

u) Tìm I sin 3 cos d .x x x

...
...
...

v) Tìm I sin 4 cos d .x x x

...

...
...
w)Tìm I sin 3 sin d .x x x

...
...

x) Tìm I sin 2 sin 4 d .x x x

...
...
y) Tìm I cos 7 cos d .x x x

...
...

z) Tìm I cos 9 cos d .x x x

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

14. Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm f x( ) sin2x và 1.
4

F Tính

P F

A. 5

P B. P 0.

C. 1

P D. 3

P

...
...
...
15. Tìm mợt ngun hàm F x( ) của hàm sớ f x( ) 2x sinx 2cosx thỏa mãn F(0) 1.

A. F x( ) x2 cosx 2 sinx 2.
B. F x( ) x2 cosx 2 sin .x
C. F x( ) 2 cosx 2sin .x

D. F x( ) x2 cosx 2 sinx 2.

...
...
...
...
16. Tìm một nguyên hàm F x( ) của hàm số ( ) sin 12

cos

f x x

x thỏa mãn

4 2

F

A. F x( ) cosx tanx C.
B. F x( ) cosx tanx 2 1.
C. F x( ) cosx tanx 2 1.

D. F x( ) cosx tanx 2 1.

...
...
...
...
17. Cho F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) 4 cos2x 5 thỏa F( ) 0. Tìm F x( ).

A. F x( ) 3x sin2x 3 .

B. ( ) 4sin3 5 5 .
3

F x x x

C. ( ) 4cos3 5 4 5 .

3 3

F x x x

D. F x( ) 3x sin2x 3 .

...
...
...
...
...
...
18. Biết rằng F x( ) cos2x xd ax bsin 2x C. Giá trị của a2 b2 bằng

A. 1

2 B.

5
16

C. 2. D. 5

...
...

...
19. Biết (sin 2x cos 2 ) dx 2 x x acos 4x C,

b với a b, là các số nguyên dương,
a

b là phân

số tối giản và C . Giá trị của a b bằng
A. 2. B. 3.

C. 4. D. 5.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

BT 4. Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) (giả sử điều kiện được xác định):
Làm quen nhóm công thức mũ

e dx ex eax bd eax b .

x C x C

a

d d .

ln ln

x x

x a x a

a x C a x C

a a

a) Tìm I e d .2x x

...
...

b) Tìm I e1 2xd .x

...
...
c) Tìm I (2x e )d .x x

...
...

d) Tìm I e (1x 3e 2x)d .x

...
...
e) Tìm I (3 e ) d .x 2 x

...
...

...

f) Tìm I (2 e ) d .3x 2 x

...
...
...
g) Tìm I 22x 1d .x

...
...

h) Tìm I 41 2xd .x

...
...
i) Tìm I 3 .5 d .x x x

...
...

j) Tìm I 4 .3x x 1d .x

...
...
k) Tìm d2 5

e x

x

I

...
...

l) Tìm d3 2
2 x

x
I

...
...
m)Tìm

1 1

4 .3
d .
2

x x

x

I x

...
...
...

n) Tìm

2 1 1

4 .6
d .
3

x x

x

I x

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

20. Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) e2x thỏa (0) 3
2

F Giá trị của 1

F bằng

A. 1e 2.

2 B.

1
e 1.

C. 2e 1. D. 1e 1

2 2

...
...
...

21. Một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) 2ex 3x2 thỏa (0) 9
2

F là

A. 2e 3 3

x x

B. 2e 3 5

x x

C. e 3 7
2

x x

D. 2e 3 9

x x

...
...
...

22. Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) 4x thỏa (1) 3
ln 2

F Giá trị của F(2) bằng

A. (2) 9

ln 2

F B. (2) 3

ln 2

F

C. (2) 8
ln 2

F D. (2) 7

ln 2

F

...
...
...
23. Họ nguyên hàm của hàm số f x( ) 2 .3 .72x x x là

A. 84 .

ln 84

x

C B.

2 .3 .7

.
ln 4.ln 3.ln 7

x x x

C

C. 84x C. D. 84 .ln 84x C.

...
...
...
24. Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) e3x 1 thỏa mãn (0) e

F Tính ln 3 (1) .3 F

A. ln 3 (1)3 F 64. B. ln 3 (1)3 F 8.
C. ln 3 (1)3 F 81. D. ln 3 (1)3 F 27.

...
...
...
25. Biết một nguyên hàm F x( ) của hàm số

f x

( )

4 .2

x 2x 3 thỏa mãn (0) 2

ln 2

F Tính giá trị của

biểu thức

3
10

ln 2. (1)
2

F
A

A. A 1. B. A 8.

C. A 16. D. A 32.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Dạng toán 2. Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ (phân số không

căn)


Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ ( )d ,

( )

P x

I x

Q x với P x( ), Q x( ) là các đa thức.

Nếu bậc của tử số P x( ) bậc của mẫu số Q x( ) PP Chia đa thức.
Nếu bậc của tử số P x( ) bậc của mẫu số Q x( ) :

Sử dụng định nghĩa, lưu ý: u dx lnu dx lnu C.

u

Mẫu phân tích được thành tích sớ PP Đồng nhất thức (pp che)

( )( )

k m n

ax b cx d ax b cx d hoặc ( )( )

mx n

ax b cx d ax b cx d

2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

A B C D

x a x b

x a x b x a x b

2 2

( )( )

A Bx C

x m

x m ax bx c ax bx c với

2 4 0.

b ac

BT 5. Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) (giả sử điều kiện được xác định):
a) Tìm 3 1d .

x

I x

x

Có 3( 1) 4d 3 4 d

1 1

x

I x x

x x

3x 4 lnx 1 C.

b) Tìm 2 1d .
1

x

I x

x

...
...
...

c) Tìm 3 1d .
2

x

I x

x

...
...

...

d) Tìm 4 3d .

2 1

x

I x

x

...
...
...
e) Tìm

d .
1

x

I x

x

Ta có:

2 2

( 1 ) 1

d
1

x

I x

x

( 1)( 1) 1 1

d 1 d

1 1

x x

x x x

x x

f) Tìm

d .

x

I x

x

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

ln 1 .

x

x x C ...

g) Tìm

d .
1

x

I x

x

...
...
...
...
...

h) Tìm

d .
2

x

I x

x

...
...
...
...
...

i) Tìm

2 1

d .
2

x x

I x

x

Chia đa thức ngoài nháp:

2 1 2

...
...
...
...

x x x

Ta có: 1 3 d

I x x

x

...
...

j) Tìm

2 4 3

d .
1

x x

I x

x

...
...
...
...
...
...
...
...
...

k) Tìm

4 6 1

d .

2 1

x x

I x

x

...
...
...
...
...
...

l) Tìm

3 2 1

d .
1

x x

I x

x

...
...
...
...
...
...

m)Tìm 24 2 d

x

I x

x x

Ta có:

2
2

( 5)

2 d

x x

I x

x x

2 lnx2 x 5 C.

n) Tìm 24 3 d .

2 3 1

x

I x

x x

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Nhớ: u dx lnu dx lnu C.

u

...
...

o) Tìm 24 2 d .

x
I x
x x
...
...
...

p) Tìm 26 1 d .

3 4
x
I x
x x
...
...
...

q) Tìm 25 4 d .

2 6

x

I x

x x

Áp dụng f x( ) ax2 bx c a x( x1)(x x2)

với x1, x2 là hai nghiệm của f x( ) 0, ta được:

5 4 5 4 5 4

( 2)(2 3)

2 6 3

2( 2)
2

x x x

x x

2 2 3

a b

x x với

2
3
2
5 4

2
2 3
.
5 4
1
2
x
x
x
a
x
x
b
x

Khi đó, ta có lời giải sau:

5 4 2 1

2 2 3

2 6

x

I dx x

x x

...
...

r) Tìm 1 d .

( 1)( 3)

I x
x x
...
...
...
...

s) Tìm 1 d .

(2 4)( 5)

I x
x x
...
...
...
...

t) Tìm 2 1 d .

I x

x x

...
...
u) Tìm 24 5 d .

2
x
I x
x x
...
...

v) Tìm 24 11 d .

5 6
x
I x
x x
...
...

w)Tìm 2 1 d .

( 1)

I x

x x

Ta có: 2 d

a b c

I x

x x x

0
d 1
1,
d 1
x
a

x x 0

1
1x

b

x và

2
1
1
1
x
c

x nên 2

1 1 1

d
1

I x

x x x

x) Tìm 2 2 d .

( 1)( 2)

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

...
...

...

Dạng toán 3. Nguyên hàm từng phần



Định lý: Nếu hai hàm số u u x( ) và v v x( ) có đạo hàm và liên tục trên K thì
( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( )d

I u x v x x u x v x u x v x x hay I u vd uv v ud
Vận dụng giải toán:

— Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhân nhau, Ví dụ: exsin d , x x xln d ,....x x
— Đặt:

d d

d d

Vi phân

Nguyên ha m

u u x

v x v Suy ra: I u vd uv v ud .

— Thứ tự ưu tiên chọn u: log –đa –lượng – mũ và dv phần còn lại.

— Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm. 
— Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi.

BT 6. Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) (giả sử điều kiện được xác định):
a) Tìm I (x 1)sin d .x x

Chọn:

/
/

1 d d

d sin d cos

v p
n h

u x u x

v x x v x

Suy ra: I (x 1)cosx cos dx x
(x 1)cosx sinx C.

b) Tìm I xln d .x x

...
...
...

...
...
c) Tìm I x.e d .x x

...
...
...
...
...

d) Tìm I x.e d .x x

...
...
...
...
...

e) Tìm 2 d .

sin

x

I x

x

...
...

f) Tìm 2 d .

cos

x

I x

x

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

...
 Cần nhớ: cot dx x ln sinx C. ...

...
 Cần nhớ: tan dx x ln cosx C. ...
g) Tìm I ln d .x x

...
...
...
...

h) Tìm I (2x 1)ln d .x x

...
...
...

...
i) Tìm I xsin cos d .x x x

...
...
...
...

j) Tìm I x(2 cos2x 1)d .x

...
...
...
...
k) Tìm I e sin d .x x x

Chọn

/
/

sin d cos d

d e d e

v p
n h

x x

u x u x x

v x v

e sinx e cos dx e sinx .

I x x x x A

Tìm A. Chọn cos d sin d .

d e dx ex

u x u x x

v x v

e cosx e sin d .x

A x x x

Thế A vào I, ta được:

e sinx e cosx e sin dx

I x x x x

e sinx e cosx e sin dx

I x x x x

e (sinx cos )

I x x I

(sin cos ) .
2

x

I x x C

l) Tìm I e cos d .x x x

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

m)Tìm 1 1 ln( 1)d .

I x x x

x

...
...
...
...
...

n) Tìm

2
3

ln(4 8 3)

d .
( 1)

x x

I x

x

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

...
...

o) Cho F x( ) lnx là một nguyên hàm của

( )

f x

x Tìm nguyên hàm của hàm

f x

( )ln .

x

Áp dụng định nghĩa: F x( ) f x( ), ta có:

3 3

( ) 1 ( )

(ln )x f x f x f x( ) x .

x

x x

Tìm I f x( )ln dx x ?

Chọn

ln d d

d ( )d ( )

u x u x

x

v f x x v f x x

2ln d 2ln .

x
I x x x x x x C

p) Cho F x( ) lnx là một nguyên hàm của hàm

( )

f x

x Tìm nguyên hàm của

f x

( )ln .

x

...
...
...
...
...
...
...
...
...
q) Cho F x( ) 13

x là một nguyên hàm của

( )

f x

x Tìm nguyên hàm của hàm

f x

( )ln .

x

...
...
...
...
...
...
...
...

r) Cho F x( ) 12

x là một nguyên hàm của

( )

f x

x Tìm nguyên hàm của

4 3

(x x f x) ( ).
...
...
...
...
...

s) Cho F x( ) x2 là một nguyên hàm của

( )e .x

f x Tìm nguyên hàm của hàm e2xf x( ).
...
...
...
...
...
...

t) Cho F x( ) x.ex

là một nguyên hàm của

( )e .x

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

...
...
...

Dạng tốn 4. Phương pháp đổi biến số



Định lí: Cho f u u( )d F u( ) C và u u x( ) là hàm sớ có đạo hàm liên tục thì

( ) ( )d ( ) .

f u x u x x F u x C

Có sẵn Tách từ hàm Nhân thêm

Một số dạng đổi biến thường gặp

 1 1

2 2

( ) . d d d

d 1 d ( 1) d ,

( ) . d d 2 d

PP
n

m
n

PP n n

n

PP
n

I f ax b x x t ax b t a x
x

I x t x t n x x

ax

I f ax b x x t ax b t ax x

với m n, .

 I n f x f x( ). ( )dx PP Đặt t n f x( ) tn f x( ) ntn 1dt f x( )d .x



1
(ln ) d

( ln ) d

I f x x
x

I f a b x x
x

PP

Đặt

ln d d

t x t x

x
b
t a b x t x

x

 I f(e ).e dx x x PP Đặt e d e d

e d e d

x x

t t x

t a b t b x

 I f(cos ).sin dx x x PP Đặt cos d sin d

cos d sin d

t x t x x

t a b x t b x x

 I f(sin ).cos dx x x PP Đặt sin d cos d

sin d cos d

t x t x x

t a b x t b x x

 (tan ) d2
cos

x

I f x

x

PP

Đặt tan d 12 d (1 tan )d .2
cos

t x t x x x

x

 (cot ) d2
sin

x

I f x

x

PP

Đặt cot d d2 (1 cot )d .2

sin

x

t x t x x

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

 I f(sin ; cos ).sin 2 d2x 2x x x PP Đặt

sin d sin 2 d

cos d sin 2 d

t x t x x

 I f(sinx cos ).(sinx x cos )dx x PP Đặt t sinx cos .x

Lưu ý: Sau khi đổi biến và tính nguyên hàm xong, ta cần trả lại biến cũ ban đầu là x.

Nhóm 1. 1 1

2 2

( ) . d d d

d 1 d ( 1) d ,

( ) . d d 2 d

PP
n

m

n

PP n n

n

PP
n

I f ax b x x t ax b t a x
x

I x t x t n x x

ax

I f ax b x x t ax b t ax x

với m n, .

BT 7. Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) (giả sử điều kiện được xác định):
a) Tìm I x(1 x)2018d .x

Đặt t 1 x x 1 t v p/ dx d .t

Khi đó: I (1 t t)2018dt (t 1)t2018dt

2020 2019

2019 2018

( )d

2020 2019

t t

t t t C

2020 2019

(1 ) (1 )

2020 2019

x x

C

b) Tìm I x x( 1)2019d .x

...
...
...
...
...
...
c) Tìm I x x( 2 1) d .5 x

...
...
...
...
...

d) Tìm I x x2( 1) d .9 x

...
...
...
...
...

e) Tìm 2d

x x
I

x

Đặt t x2 2 x2 t 2 vp 2 dx x dt

d d .

x x t Khi đó:

1 1 1 1

d ln ln 2 .

2 2 2

I t t C x C

t

f) Tìm d 5

( 1)

x x
I

x

...
...
...
...
...

g) Tìm

5
2

d
1

x x
I

x h) Tìm

4
10

d
4

x x
I

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

...
...
...
...
...

...
...

...
...
...
i) Tìm

2017
2019

( 1)

d .
(2 3)

x

I x

x

Ta có:

2017

1 1

d .

2 3 (2 3)

x

I x

x x

Đặt 1 d 1 2 d .

2 3 (2 3)

x

t t x

x x

Khi đó:

2018

2017d

2018

t

I t t C

2018

1 1

.
2018 2 3

x

C
x

j) Tìm

5
7

d
( 1)

x x
I

x

...
...
...
...
...
...

...
...

k) Tìm

99
101

(7 1) d
(2 1)

x x

I

x

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

l) Tìm

2001
2 1002

(1 )

x x
I

x

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Nhóm 2. Tìm I n f x f x( ). ( )dx PP Đặt t n f x( ) tn f x( ) ntn 1dt f x( )d .x

BT 8. Tìm ngun hàm F x( ) của hàm sớ f x( ) (giả sử điều kiện được xác định):
a) Tìm

2
3

d .
4

x

I x

x

Đặt t 3x2 4 t3 x2 4

b) Tìm

2
3

d .

4 2

x

I x

x

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

/ 2

3 d 2 d .

v p t t x x

Khi đó:

2 2

3 d 3

3 d
2

t t t

I t t C

t

2 2

( 4) .

2 x C

...
...
...
...

c) Tìm I 4x x2 3 d .x

...
...
...
...
...
...

d) Tìm I x 2020 x xd .

...
...
...
...
...
...
e) Tìm

d
4

x
I

x x

Đặt t x2 4 t2 x2 4 x2 t2 4

/ 2 d 2 d d d .

v p x x t t x x t t

Khi đó:

2 2 2

d .d

4 4

x x x

I

x x x x

.d 1

( 2)( 2)
( 4)

t t

t
t t

t t

...
...
...

f) Tìm

d
9

x
I

x x

...
...
...
...

...
...
...
...
...

g) Tìm I lnx 1 3 lnx d .x

x

...
...
...
...
...
...

h) Tìm

d
1 ln

x
I

x x

...

...
...
...
...
...
i) Tìm I ex 5 e d .x x

...

j) Tìm I sinx 2018 cos d .x x

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

...
...
...
...
...

...
...
...
...
...
k) Tìm

d
1

x x

I

x x

Ta có:

2 2

( 1)

( 1)( 1)

x x x

I x

x x x x

2 2

d ( 1)d

( 1)

x x x

x x x x x

x x

2d 2 1d .

x

x x x x x A

Tìm A ?

...
...
...
...
...
...
...

l) Tìm

4 2

d
1

x x
I

x x

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

m)Tìm d

( 1) 1

x
I

x x x x

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

n) Tìm d

3 ( 3)

x
I

x x x x

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

...

...
...
Hai công thức thường được sử dụng là

1 2

dx ax b C .

a
ax b

d ( ) .

ax b x ax b C
a

Nhóm 3.

1
(ln ) d

( ln ) d

I f x x
x

I f a b x x
x

PP

Đặt

ln d d

t x t x

x
b
t a b x t x

x

BT 9. Tìm ngun hàm F x( ) của hàm sớ f x( ) (giả sử điều kiện được xác định):
a) Tìm I 2 lnx d .x

x

Đặt t lnx v p/ dt 1d .x

x

Khi đó:

(2 )d 2

t

I t t t C

2 ln .

x

x C

b) Tìm

ln
d .

x

I x

x

...
...
...
...
...

c) Tìm I 1 lnx d .x

x

...
...
...
...
...

d) Tìm

1 ln
d .

x

I x

x

...
...
...
...
...
e) Tìm 3 ln 1d .

x

I x

x x

...

...
...
...
...

f) Tìm ln 2 d .

(2 ln )

x

I x

x x

...
...
...
...
...

g) Tìm I 4 lnx d .x

x

...

h) Tìm ln d .

1 ln

x

I x

x x

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

...
...
...
...
...

...
...
...
...
...
Nhóm 4. Tìm I f(e ).e dx x x PP Đặt e d e d

e d e d

x x

t t x

t a b t b x

BT 10.Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) (giả sử điều kiện được xác định):

a) Tìm d

ex 3

x
I

Đặt t ex 3 ex t 3 v p/ dt e d .x x

Khi đó: d e d

e 3 e (e 3)

x

x x x

x x

I

d
( 3)

t

t t ...

...
...

b) Tìm d

ex 4

x
I

...
...
...
...
...
...
...

c) Tìm e d

e 1

x
x

x
I

...
...

...
...
...

d) Tìm e d

e 8

x
x

x
I

...
...
...
...
...

e) Tìm d

ex 2e x 3

x
I

...
...
...

...
...

f) Tìm e d

e e

x

x x

x
I

...
...
...
...
...
g) Tìm

e d

e 1

x
x

x

I h) Tìm

e d
3 e

x
x

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

...
...
...
...
...
...

...
...
...
...
...
...
Nhóm đổi biến hàm số lượng giác

BT 11. Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) (giả sử điều kiện được xác định):
a) Tìm I sin3x xd .

2 2

sin .sin d (1 cos )sin d .

I x x x x x x

Đặt t cosx ...
...
...
...

b) Tìm I cos3x xd .

...
...
...
...
...
c) Tìm I cos2017xsin d .x x

...
...
...
...

d) Tìm I sin2019xcos d .x x

...
...
...

...
e) Tìm I (1 2 sin )cos d .x x x

...
...
...
...

f) Tìm I sin 2 cosx 2x xd .

...
...
...
...

g) Tìm sin d .

2 cos

x

I x

x

...
...
...
...
...

h) Tìm cos d .

9 2 sin

x

I x

x

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

...
...
...
...
...
...

k) Tìm cos d 2

6 5 sin sin

x x

I

x x

...
...
...
...
...
...
...
...

l) Tìm sin d

cos 2 3 cos 2

x x
I

x x

...
...
...
...
...
...
...
...

m) Tìm d

cos

x
I

x

Ta có: d cos .d2 cos .d2

cos cos 1 sin

x x x x x

I

x x x

Đặt ...
...
...
...
...

n) Tìm d

sin

x
I

x

...
...
...
...
...
...
...

o) Tìm d

sin 3 cos

x
I

x x

...
...
...
...
...

p) Tìm d

cos 3 sin

x
I

x x

...
...
...
...
...
q) Tìm tan2 d .

cos

x

I x

x r) Tìm 2

cot
d .
sin

x

I x

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Đặt tan / d 12 d .
cos

v p

t x t x

x ...

...
...
...
...

...
...
...
...
...
...
s) Tìm

2
2

(1 tan )
d .
cos

x

I x

x

...
...
...
...
...
...
...
...

t) Tìm

2
2

(2 cot )
d .
sin

x

I x

x

...

...
...
...
...
...
...
...
u) Tìm sin 22 d .

1 cos

x

I x

x

...
...
...
...
...
...
...

v) Tìm sin 22 d .
1 sin

x

I x

x

...
...
...
...
...
...
...

w)Tìm sin cos d .

sin cos 2

x x

I x

x x

...
...
...
...
...

x) Tìm sin cos d .

sin cos 3

x x

I x

x x

...
...
...
...
...

y) Tìm cos 2 d .

sin cos 1

x

I x

x x z) Tìm

sin cos
d .
3 sin 2

x x

I x

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

...
...
...
...
...

</div>

Đề thi thử THPT quốc gia

<b>Chun đề</b>

<b>§</b>

1. NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

<b>NGUN HÀM </b>

<b>–</b>

<b> TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG </b>

Dạng tốn 1. Tính ngun hàm bằng bảng nguyên hàm

<i>f x</i>

( )

(2

<i>x</i>

3)

ln2 1.

<i>f x</i>

( )

4 .2

Dạng toán 2. Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ (phân số không

căn)

Dạng toán 3. Nguyên hàm từng phần

<i>f x</i>

( )ln .

<i>x</i>

<i>f x</i>

( )ln .

<i>x</i>

<i>f x</i>

( )ln .

<i>x</i>

Dạng tốn 4. Phương pháp đổi biến số

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về