Đề thi thử THPT quốc gia

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.01 MB, 34 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

HÀMSỐLIÊNTỤC
Xét tính liên tục bằng đồ thị

Câu 1. Hàm số f x có đồ thị như hình bên không liên tục tại điểm có hồnh độ là bao nhiêu?

x
2

3
y

1
O

A. x 0. B. x 1. C. x 2. D. x 3.

Hướngdẫngiải

Dễ thấy tại điểm có hồnh độ x 1 đồ thị của hàm số bị ''đứt'' nên hàm số khơng liên tục tại đó.
Cụ thể:

1 1

lim 0 3 lim

x x

f

f x x nên f x gián đoạn tại x 1. ChọnB.

Hàm số liên tục tại một điểm

Câu 2. Hàm số

 

cos khi 0

khi 0 1

khi 1

x x x

x

f x x

x

x x

 





   






A.Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x0.

B. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x1.

C.Liên tục tại mọi điểm trừ hai điểm x0 và x1.

D. Liên tục tại mọi điểm x .

Câu 3. Hàm số

 

khi 0

17 khi 0

x x

f x

x

 

 



 có tính chất

A.Liên tục tại x2 nhưng khơng liên tục tại x0.

B. Liên tục tại x4, x0.

C.Liên tục tại mọi điểm.

D. Liên tục tại x3, x4, x0.

Câu 4. Cho hàm số f x

 

 x24. Chọn câu đúng trong các câu sau:

(I) f x

 

liên tục tại x2. (II) f x

 

gián đoạn tại x2. (III) f x

 

liên tục trên đoạn



2; 2



A.Chỉ

 

I và

 

III . B. Chỉ

 

I . C. Chỉ

 

II . D. Chỉ

 

II và

 

III

Lờigiải

ChọnB.

Ta có: D   



; 2

 

2;



 

2 2

lim lim 4 0

x f x x x   , f

 

2 0.

Vậy hàm số liên tục tại x2.

Câu 5. Cho hàm số

 

1
1

x
f x

x




 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

 

I f x

 

gián đoạn tại x1.

 

II f x

 

liên tục tại x1.

 

III

 

1
lim

x f x 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Lờigiải

ChọnC.

 

\ 1

D ,

1 1

1 1 1

lim lim

1 1 2

x x

x

x x

 



 

  . Hàm số không xác định tại x1. Nên hàm số gián

đoạn tại x1.

Câu 6. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

 

I .

 

1
1

x
f x

x




 liên tục với mọi x1.

 

II . f x

 

sinx liên tục trên .

 

III . f x

 

x
x

 liên tục tại x1.

A.Chỉ

 

I đúng. B. Chỉ

 

I và

 

II . C. Chỉ

 

I và

 

III . D. Chỉ

 

II và

 

III .

Lờigiải

ChọnD.

Ta có

 

II đúng vì hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định.
Ta có

 

III đúng vì

 

, khi 0

x

x x

f x

x
x

 


  

 



Khi đó

 

1 1

lim lim 1 1

x f x x f x  f  . Vậy hàm số

 

x
y f x

x

  liên tục tại x1.

Câu 7. Cho hàm số

 

, 3

2 3 , 3

x

f x x

x

  



 

 



. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

 

I . f x

 

liên tục tại x 3.

 

II . f x

 

gián đoạn tại x 3.

 

III . f x

 

liên tục trên
.

A.Chỉ

 

I ,

 

II . B. Chỉ

 

II ,

 

III . C. Chỉ

 

I ,

 

III . D. Cả

 

I ,

 

II ,

 

III .

Lờigiải

ChọnC.

Với x 3 ta có hàm số

 

3
3

x
f x

x




 liên tục trên khoảng



; 3



và



3;



 

1 .

Với x 3 ta có f

 

3 2 3 và

 

3 3

lim lim 2 3 3

x x

x

f x f

x

 



  

 nên hsố liên tục tại

3
x

 

Từ

 

1 và

 

2 ta có hàm số liên tục trên .

Câu 8. Cho hàm số f x xác định và liên tục trên với

3 2

, 1

x x

f x x

x . Tính f 1 .

A. 2. B. 1. C. 0. D. 1.

Hướngdẫngiải

Vì f x liên tục trên nên suy ra

1 1 1

3 2

1 lim lim lim 2 1.

x x x

x x

f f x x

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Câu 9. Cho hàm số f x xác định và liên tục trên 3;3 với f x x 3 3 x, x 0

x . Tính f 0 .

A. 2 3.

3 B.

3
.

3 C. 1. D. 0.

Hướngdẫngiải

Vì f x liên tục trên 3;3 nên suy ra

0 0 0

3 3 2 1

0 lim lim lim .

3 3 3

x x x

x x

f f x

x x x

ChọnB.

Câu 10. Cho hàm số f x xác định và liên tục trên 4; với ,

4 2 0

x

f x x

x . Tính f 0 .

A. 0. B. 2. C. 4. D. 1.

Hướngdẫngiải

Vì f x liên tục trên 4; nên suy ra

0 0 0

0 lim lim lim 4 2 4.

4 2

x x x

x

f f x x

x
ChọnC.

Câu 11. Cho hàm số

 

1
1






x
f x

x . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

 

I f x

 

gián đoạn tại x1.

 

II f x

 

liên tục tại x1.

 

III

 

1
lim

 

x f x

A.Chỉ

 

I . B. Chỉ

 

I . C. Chỉ

 

I và

 

III . D. Chỉ

 

II và

 

III .

Hướngdẫngiải:

ChọnC.

 

\ 1



D ,

1 1

1 1 1

lim lim

1 1 2

 

  

 

x x

x

x x . Hàm số không xác định tại x1. Nên hàm số gián

đoạn tại x1.

Câu 12. Cho hàm số

 

4 2 2

1 2

    

 




x x

f x

x

. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:.

 

I f x

 

không xác định tại x3.

 

II f x

 

liên tục tại x 2.

 

III

 

lim 2

 

x f x

A.Chỉ

 

I . B. Chỉ

 

I và

 

II .

C. Chỉ

 

I và

 

III . D. Cả

     

I ; II ; III sai.

Hướngdẫngiải:

ChọnB.



2; 2



 

D , f x

 

không xác định tại x3.

2
2

lim 4 0

  

x x ; f

 

 2 0. Vậy hàm số liên tục tại x 2.

 

2 2

lim lim 4 0

    

x x

f x x ;

 

lim 1

 

x

f x . Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số khi x2..

Câu 13. Cho hàm số

khi 4

4
( )

khi 4
4

 


 

 

 



x

x
x

f x

x

. Khẳng định nào sau đây đúng nhất

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

B.Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tại x4

C.Hàm số không liên tục tại x4

D.Tất cả đều sai

Hướngdẫngiải:

ChọnC. Ta có:

4 4 4

2 1 1

lim ( ) lim lim (4)

4 2 4

  



   

 

x x x

x

f x f

x x . Hàm số liên tục tại điểm x4.

Câu 14. Cho hàm số

3 2

2 khi 1

( ) 1

3 1 khi 1

    


 

   



x x

x

f x x

x x x

. Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A.Hàm số liên tục tại x1 B.Hàm số liên tục tại mọi điểm

C.Hàm số không liên tục tại x1 D.Tất cả đều sai

Hướngdẫngiải:

ChọnC.

1 1

( 1)( 2)

lim ( ) lim 2 2

 

 

 

 

   



 

x x

f x

x ,





1 1 1

lim ( ) lim 3 1 3 lim ( )

       

x x x

f x x x f x

Hàm số không liên tục tại x1.

Câu 15. Cho hàm số

 

2 8 2

2
2

0 2

x

f x x

x

  

 


  

  



. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

 

I

 

lim 0

x

f x



  .

 

II f x

 

liên tục tại x 2.

 

III f x

 

gián đoạn tại x 2.

A.Chỉ

 

I và

 

III . B. Chỉ

 

I và

 

II . C. Chỉ

 

I . D. Chỉ

 

I

Lờigiải

ChọnB.









2 2 2

2 8 2 2 8 4 2 2

lim lim lim 0

2 2 8 2 2 2 8 2

x x x

x x x x

  

  

       

      .

Vậy

 

lim 2

x

f x f



   nên hàm số liên tục tại x 2..

Câu 16. Cho hàm số

 

4 2 2

1 2

x x

f x

x

    

 



 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:.

 

I f x

 

không xác định tại x3.

 

II f x

 

liên tục tại x 2.

 

III

 

lim 2

x f x 

A.Chỉ

 

I . B. Chỉ

 

I và

 

II .

C.Chỉ

 

I và

 

III . D. Cả

     

I ; II ; III đều sai.

Lờigiải

ChọnB.



2; 2



D  , f x

 

không xác định tại x3.

2
2

lim 4 0

x x  ; f

 

 2 0. Vậy hàm số liên tục tại x 2.

 

2 2

lim lim 4 0

x x

f x x

 

     ; xlim2 f x

 

1. Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số khi x2..

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

 

I

 

1
1

f x
x



 liên tục trên .

 

II f x

 

sinx
x

 có giới hạn khi x0.

 

III f x

 

 9x2 liên tục trên đoạn



3;3



A.Chỉ

 

I và

 

II . B. Chỉ

 

II và

 

III . C. Chỉ

 

II . D. Chỉ

 

III .

Lờigiải

ChọnB.

Dễ thấy kđ (I) sai, Kđ (II) là lí thuyết.

Hàm số: f x

 

 9x2 liên tục trên khoảng



3;3



. Liên tục phải tại 3 và liên tục trái tại 3 .
Nên f x

 

 9x2 liên tục trên đoạn



3;3



Câu 18. Cho hàm số

 

2 8 2

2
2

0 2

  

 


  

  



x

f x x

x

. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

 

I

 

lim 0

 

x

f x .

 

II f x

 

liên tục tại x 2.

 

III f x

 

gián đoạn tại x 2.

A.Chỉ

 

I và

 

III . B. Chỉ

 

I và

 

II . C. Chỉ

 

I . D. Chỉ

 

I

Hướngdẫngiải:

ChọnB.









2 2 2

2 8 2 2 8 4 2 2

lim lim lim 0

2 2 8 2 2 2 8 2

  

  

       

     

x x x

x x x x

Vậy

 

lim 2

  

x

f x f nên hàm số liên tục tại x 2..

Câu 19. Cho hàm số 3.

 

cos 2 khi 1
1 khi 1

 


 

  



x

x
f x

x x



. Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A.Hàm số liên tục tại tại x1và x 1.

B.Hàm số liên tục tại x1, không liên tục tại điểm x 1.

C.Hàm số không liên tục tại tại x1và x 1.

D.Tất cả đều sai

Hướngdẫngiải:

ChọnB. Hàm số liên tục tại x1, không liên tục tại điểm x 1.

Câu 20. Chọn giá trị f(0) để các hàm số ( ) 2 1 1

( 1)

 




x
f x

x x liên tục tại điểm x0.

A.1 B.2 C.3 D.4

Hướngdẫngiải:

ChọnA.
Ta có:





0 0 0

2 1 1 2

lim ( ) lim lim 1

( 1) ( 1) 2 1 1

  

 

  

   

x x x

x x

f x

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Câu 21. Chọn giá trị f(0) để các hàm số

2 8 2

( )

3 4 2

 


 

x
f x

x liên tục tại điểm x0.

A.1 B.2 C. 2

9 D.

1
9

Hướngdẫngiải:

ChọnC. Ta có:









0 0 3 2 3

2 3 4 2 2

lim ( ) lim

3 (2 8) 2. 2 8 4

 

 

 

   

x x

x
f x

x x

. Vậy ta chọn (0) 2
9



f .

Câu 22. Cho hàm số

khi 1

( ) 1

2 3 khi 1

  

 


  

   



x x

x

f x x

x x

. Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A.Hàm số liên tục tại tại tại x0  1 B.Hàm số liên tục tại mọi điểm

C.Hàm số không liên tục tại tại x0  1. D. Tất cả đều sai

Hướngdẫngiải:

ChọnC.

Ta có: f( 1) 1 và





1 1

lim ( ) lim 2 3 1

    

x x

f x x

1 1 1

2 2

lim ( ) lim lim

1 ( 1)( 2)

  

  

   

 

   

x x x

x x x x

f x

x x x x , 1

2 3

lim

2
2




 

 

x

x x

Suy ra

1 1

lim ( ) lim ( )

  

x x

f x f x . Vậy hàm số không liên tục tại x0  1.

Câu 23. Cho hàm số

1 1

khi 0

( )

2 khi 0

   




 

 



x x

x

f x x

x

. Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A.Hàm số liên tục tại x0 0

B.Hàm số liên tục tại mọi điểm như gián đoạn tại x0 0

C.Hàm số không liên tục tại x0 0

D.Tất cả đều sai

Hướngdẫngiải:

ChọnC.
Ta có: f(0)2

3 3

0 0 0

1 1 1 1

lim ( ) lim lim 1

  

 

    

    

 

x x x

f x

x x 0 3

lim 1 2 (0)

1 1 1



 

    

   

 

x x x f

Vậy hàm số liên tục tại x0.

Câu 24. Cho hàm số

khi 1

1
( )

khi 1
3

 


 

 

 



x

x
x

f x

x

. Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A.Hàm số liên tục tại x1 B.Hàm số liên tục tại mọi điểm

C.Hàm số không liên tục tại tại x1 D.Tất cả đều sai

Hướngdẫngiải:

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Ta có:

3 2

1 4 4 3

1 1 1

lim ( ) lim lim (1)

1 1 3

  



   

  

x x x

x

f x f

x x x . Hàm số liên tục tại điểm x1.

Câu 25. Cho hàm số

2 khi 2

( ) 2

3 khi 2

    


 

   



x x

f x x

x x x

. Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A.Hàm số liên tục tại x0 2 B.Hàm số liên tục tại mọi điẻm

C.Hàm số không liên tục tại x0 2 D.Tất cả đều sai

Hướngdẫngiải:

ChọnC.
Ta có:

2 2

( 1)( 2)

lim ( ) lim 2 4

 

 

 

 

   



 

x x

f x x

x





2 2 2

lim ( ) lim 3 5 lim ( )

       

x x x

f x x x f x

Hàm số không liên tục tại x0 2.

Hàm số liên tục trên khoảng, đoạn…

Câu 26. Hàm số

2 khi 0 ; 1

( ) 3 khi 1

1 khi 0

x x

f x x

x

    

 


  

 




A.Liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc đoạn



1;0



B. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x0.

C.Liên tục tại mọi điểm x .

D. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x 1.

Câu 27. Mệnh đề nào sau đây sai?

A.Hàm số y f x

 

liên tục trên đoạn

 

a b; nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc đoạn

 

a b; .

B.Các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác liên tục trên các khoảng mà nó xác định.

C.Tổng hiệu tích thương của hai hàm liên tục tại một điểm là những hàm liên tục tại điểm đó.

D.Cho hàm số f x

 

có miền xác định D vàaD. Ta nói f là hàm liên tục tại xa khi

 

lim

xa f x  f a .

Câu 28. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Hàm số

khi 1, 0

( ) 0 khi 0

khi 1

x

x x

x

f x x

x x



 




 

 




A.Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x0.

B. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x1.

C.Liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc đoạn

 

0;1 .

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Câu 29. Giả sử hàm số y f x

 

liên tục trên

 

a b; và m f x

 

M với mọi x

 

a b; . Lúc đó:

(I). Với mọi 



m M;



,tồn tại x0

 

a b; sao cho f x

 

0 

(II). Tồn tại x1

 

a b; sao cho f x

 

1  f x

 

, x

 

a b;
(III). Tồn tại x2

 

a b; sao cho f x

 

2  f x

 

, x

 

a b;

Trong ba mệnh đề trên trên

A.Có đúng 2 mệnh đề sai. B. Cả 3 mệnh đề đều sai.

C. Có đúng 1 mệnh đề sai. D. Cả 3 mệnh đề đều đúng.

Câu 30. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

 

I f x

 

liên tục trên đoạn

 

a b; và f a f b

   

. 0 thì tồn tại ít nhất một số c

 

a b; sao cho

 

f c  .

 

II f x

 

liên tục trên đoạn



a b;



và trên



b c;



nhưng không liên tục

 

a c;

A.Chỉ

 

I . B. Chỉ

 

II .

C. Cả

 

I và

 

II đúng. D. Cả

 

I và

 

II sai.

Lờigiải

ChọnD. KĐ 1 sai. KĐ 2 sai.

Câu 31. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

I. f x

 

liên tục trên đoạn

 

a b; và f a f b

   

. 0 thì phương trình f x

 

0 có nghiệm.
II. f x

 

khơng liên tục trên

 

a b; và f a f b

   

. 0 thì phương trình f x

 

0 vô nghiệm.

A.Chỉ I đúng. B. Chỉ II đúng. C. Cả I và II đúng. D. Cả I và II sai.

Lờigiải

Chọn A.

Câu 32. Cho hàm số .Khi đó hàm số y f x

 

liên tục trên các khoảng nào sau đây?

A.



3; 2



. B.



 2;



. C.



;3



. D.

 

2;3 .

Lờigiải

ChọnB. Hàm số có nghĩa khi 2 5 6 0 3

x

x x

x

 

    

 
 .

Vậy theo định lí ta có hàm số

 

2
2

5 6

x
f x

x x




  liên tục trên khoảng



 ; 3



;



 3; 2



và



 2;



Câu 33. Cho hàm số

 

tan

, 0

x k k
x

x

f x x

x

 

  

  


 

 



. Hàm số y f x

 

liên tục trên các
khoảng nào sau đây?

A. 0;
2



 
 

 . B. ;4



 
 

 . C. 4 4;

 

 

 

 . D.



 ;



.
Lờigiải

Chọn A.

1
)

( 2







x
x

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

TXĐ: \ ,
2

D  k k 

 .Với x0 ta có f

 

0 0.

 

0 0

tan

lim lim

x x

x
f x

x

   0 0

sin 1

lim .lim

cos

x x

x

x x

 

 1 hay

 

lim 0

x f x  f . Vậy hàm số gián đoạn tại

x .

Câu 34. Cho hàm số

 

2
3

, 1
2

, 0 1

sin , 0

x x

x

f x x

x

x x x

 




   





. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. f x

 

liên tục trên . B. f x

 

liên tục trên \ 0 .

 

C. f x

 

liên tục trên \ 1 .

 

D. f x

 

liên tục trên \ 0;1 .

 

Lờigiải

Chọn A.
TXĐ: D .

Với x1 ta có hàm số f x

 

x2 liên tục trên khoảng



1;



 

1
Với 0 x 1 ta có hàm số

 

2
1

x
f x

x



 liên tục trên khoảng

 

0;1 .

 

Với x0 ta có f x

 

xsinx liên tục trên khoảng



;0



 

3
Với x1 ta có f

 

1 1;

 

1 1

lim lim 1

x x

f x x

 

    ;

 

1 1

lim lim 1

x x

x
f x

x

 

    

Suy ra

 

lim 1 1

x f x   f . Vậy hàm số liên tục tại x1.

Với x0 ta có f

 

0 0;

 

0 0

lim lim 0

x x

x
f x

x

 

     ; xlim0 f x

 

xlim0



x.sinx



0 0

sin

lim . lim 0

x x

x
x

x

 

 

  suy ra

 

lim 0 0

x f x   f . Vậy hàm số liên tục tại x0.

 

Từ

 

1 ,

 

2 ,

 

3 và

 

4 suy ra hàm số liên tục trên .

Câu 35. Hàm số 3 1

f x x

x liên tục trên:

A. 4;3 . B. 4;3 . C. 4;3 . D. ; 4 3; .

Hướngdẫngiải

Điều kiện: 3 0 4 4;

4 0 3 3

TXD

x x

D

x x hàm số liên tục trên 4;3 . Xét tại x 3, ta

có

3 3

1 1

lim lim 3 3

4 7

x x

f x x f

x Hàm số liên tục trái tại x 3.

Vậy hàm số liên tục trên 4;3 . ChọnC.

Câu 36. Hàm số

cos sin

2 sin 3

x x x x

f x

x liên tục trên:

A. 1;1 . B. 1;5 . C. 3; .

2 D. .

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

ChọnD. Vì 2sinx 3 0 với mọi x TXD D Hàm số liên tục trên .

Câu 37. Biết rằng
0

sin
lim 1.
x

x

x Hàm số

tan

khi 0
0 khi 0

x
x

f x x

x

liên tục trên khoảng nào sau đây?

A. 0; .

2 B. ;4 . C. 4 4; . D. ; .

Hướngdẫngiải

ChọnA. Tập xác định: | ;3 ; 3

2 k 2 2 2 2 2 2

k k k

D k

Ta có

0 0 0

tan sin 1 1

lim lim lim . 1. 1

cos cos0 0 0

x x x

x x

f x

x x x f f x không liên tục tại x 0.

ChọnA.

Câu 38. Hàm số

4
2

3 khi 1

khi 1, 0

1 khi 0

x
x x

f x x x

x x
x

liên tục tại:

A. mọi điểm trừ x 0, x 1. B.mọi điểm x .

C. mọi điểm trừ x 1. D.mọi điểm trừ x 0.

Hướngdẫngiải
ChọnB. Hàm số y f x có TXĐ: D .

Dễ thấy hàm số y f x liên tục trên mỗi khoảng ; 1 , 1;0 và 0; .
(i) Xét tại x 1, ta có

2
4

2
2

1 1 1 1

1 1

lim lim lim lim 1 3 1 .

x x x x

x x x x

x x

f x x x f

x x
x x

hàm số y f x liên tục tại x 1.
(ii) Xét tại x 0, ta có

2
4

2
2

0 0 0 0

1 1

lim lim lim lim 1 1 0 .

x x x x

x x x x

x x

f x x x f

x x
x x

hàm số y f x liên tục tại x 0.

Câu 39. Xét tính liên tục của hàm số 1 cos khi 0

1 khi 0.

x x

x
f

x

x Khẳng định nào sau đây đúng?

A. f x liên tục tại x 0. B. f x liên tục trên ;1 .

C. f x không liên tục trên . D. f x gián đoạn tại x 1.
Hướngdẫngiải

ChọnC. Hàm số xác định với mọi x . Ta có f x liên tục trên ;0 và 0; .

Mặt khác

0 0

0 1

lim lim 1 cos 1 cos 0 0

lim lim 1 0 1 1

x x

f

f x x f x

f x x

gián đoạn tại x 0.

Câu 40. Tìm các khoảng liên tục của hàm số cos 2 khi 1
1 khi 1
.
f x

x

x x

Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Hàm số liên tục tại x 1.

B. Hàm số liên tục trên các khoảng , 1; 1; .

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

D. Hàm số liên tục trên khoảng 1,1 .

Hướngdẫngiải
ChọnA. Ta có f x liên tục trên ; 1 , 1;1 , 1; .

Ta có

1 1

1 cos 0

lim lim 1 2

x x

f

f x

f x x

gián đoạn tại x 1.

Ta có

1 1

1 cos 0

lim lim 1 0

lim lim cos 0

x x

f

f x x f x

f x x

liên tục tại x 1.

Câu 41. Cho hàm số

khi 1, 0

0 khi 0 .

khi 1
x

x x

x

f x x

x x

Hàm số f x liên tục tại:

A. mọi điểm thuộc . B. mọi điểm trừ x 0.

C. mọi điểm trừ x 1. D. mọi điểm trừ x 0 và x 1.

Hướngdẫngiải

Hàm số y f x có TXĐ: D .

Dễ thấy hàm số y f x liên tục trên mỗi khoảng ;0 , 0;1 và 1; .

Ta có

0 0 0

0 0

lim lim lim 0

x x x

f

x

f x x f x

x
x

f x x

x

liên tục tại x 0.

Ta có

1 1 1

1 1

lim lim lim 1

lim lim 1

x x x

x x

f

x

f x x f x

x

f x x

liên tục tại x 1.

Vậy hàm số y f x liên tục trên . ChọnA.

Câu 42. Cho hàm số

2 1

khi 3, 1
1

4 khi 1

1 khi 3
x

x x

x

f x x

x x

. Hàm số f x liên tục tại:

A. mọi điểm thuộc . B. mọi điểm trừ x 1.

C. mọi điểm trừ x 3. D. mọi điểm trừ x 1 và x 3.

Hướngdẫngiải
ChọnD. Hàm số y f x có TXĐ: D .

Dễ thấy hàm số y f x liên tục trên mỗi khoảng ;1 , 1;3 và 3; .

Ta có 2

1 1 1

1 4

lim lim lim 1 2

x x x

f

f x
x

f x x

x

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Ta có 2

3 3 3

3 2

lim lim lim 1 4

x x x

f

f x
x

f x x

x

gián đoạn tại x 3.

Câu 43. Cho hàm số f x

 

 x24. Chọn câu đúng trong các câu sau:

(I) f x

 

liên tục tại x2. (II) f x

 

gián đoạn tại x2. (III) f x

 

liên tục trên đoạn



2; 2



A.Chỉ

 

I và

 

III . B. Chỉ

 

I . C. Chỉ

 

II . D. Chỉ

 

II và

 

III

Hướngdẫngiải:

ChọnB.

Ta có: D   



; 2

 

2;



 

2 2

lim lim 4 0

    

x f x x x , f

 

2 0. Vậy hàm số liên tục tại



x .

Câu 44. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

 

I

 

1
1




f x
x

liên tục trên .

 

II f x

 

sinx

x có giới hạn khi x0.

 

III f x

 

 9x2 liên tục trên đoạn



3;3



A.Chỉ

 

I và

 

II . B. Chỉ

 

II và

 

III . C. Chỉ

 

II . D. Chỉ

 

III .

Hướngdẫngiải:

ChọnB.

Dễ thấy kđ (I) sai, Kđ (II) là lí thuyết.

Hàm số: f x

 

 9x2 liên tục trên khoảng



3;3



. Liên tục phải tại 3 và liên tục trái tại 3 .
Nên f x

 

 9x2 liên tục trên đoạn



3;3



Câu 45. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

 

I .

 

1
1






x
f x

x liên tục với mọi x1.

 

II . f x

 

sinx liên tục trên .

 

III . f x

 

 x

x liên tục tại x1.

A.Chỉ

 

I đúng. B. Chỉ

 

I và

 

II . C. Chỉ

 

I và

 

III . D. Chỉ

 

II và

 

III .

Hướngdẫngiải:

ChọnD.

Ta có

 

II đúng vì hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định.
Ta có

 

III đúng vì

 

, khi 0

 


  

 



x

x x

f x

x
x

Khi đó

 

1 1

lim lim 1 1

    

x x

f x f x f . Vậy hàm số y f x

 

 x

x liên tục tại x1.

Câu 46. Cho hàm số

 

, 3

2 3 , 3

  



 

 



x

f x x

x

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

 

I . f x

 

liên tục tại x 3.

 

II . f x

 

gián đoạn tại x 3.

 

III . f x

 

liên tục trên
.

A.Chỉ

 

I và

 

II . B. Chỉ

 

II và

 

III .

C. Chỉ

 

I và

 

III . D.

 

I ,

 

II ,

 

III đúng.

Hướngdẫngiải:

ChọnC.

Với x 3 ta có hàm số

 






x
f x

x liên tục trên khoảng



; 3



và



3;



 

1 .

Với x 3: f

 

3 2 3 và

 

3 3

lim lim 2 3 3

 



  



x x

x

f x f

x nên hàm số liên tục tại



x

 

Từ

 

1 và

 

2 ta có hàm số liên tục trên .

Câu 47. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

 

I . f x

 

x5–x21 liên tục trên .

 

II .

 

1
1





f x
x

liên tục trên khoảng



–1;1 .



 

III . f x

 

 x2 liên tục trên đoạn



2;



A.Chỉ

 

I đúng. B. Chỉ

 

I và

 

II . C. Chỉ

 

II và

 

III . D. Chỉ

 

I và

 

III .

Hướngdẫngiải:

ChọnD.

 

I đúng vì f x

 

x5x21 là hàm đa thức nên liên tục trên .

 

III đúng vì f x

 

 x2 liên tục trên



2;



 

lim 2 0

  

x

f x f nên hsố liên tục trên



2;



Câu 48. Cho hàm số . Khi đó hàm số y f x

 

liên tục trên các khoảng nào sau đây?

A.



3; 2



. B.



 2;



. C.



;3



. D.

 

2;3 .

Hướngdẫngiải:

ChọnB.

Hàm số có nghĩa khi 2 5 6 0 3

 

    

 


x

x x

x .

Vậy theo định lí ta có hàm số

 

2
2

5 6




 

x
f x

x x liên tục trên khoảng



 ; 3



;



 3; 2



và



 2;



Câu 49. Cho hàm số ( ) 2 2
6




 

x
f x

x x . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

A.Hàm số liên tục trên

B.TXĐ: D \ 3; 2







.Ta có hàm số liên tục tại mọi xD và hàm số gián đoạn tại

2, 3

  

x x

6
5

1
)

( 2







x
x

x

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

C.Hàm số liên tục tại x 2,x3

D.Tất cả đều sai

Hướngdẫngiải:

ChọnB.

TXĐ: D \ 3; 2







. Ta có hàm số liên tục tại mọi xD và hàm số gián đoạn tại x 2,x3

Câu 50. Cho hàm số f x( ) 3x21. Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

A.Hàm số liên tục trên

B.Hàm số liên tục tại mọi điểm ; 1 1 ;

3 3

   

     

   

x

C.TXĐ: ; 1 1 ;

2 2

   

    

   

D

D.Hàm số liên tục tại mọi điểm 1 ; 1

3 3

 

  

 

x .

Hướngdẫngiải:

ChọnB.

TXĐ: ; 1 1 ;

3 3

   

     

   

D . Ta có hàm số liên tục tại mọi điểm

1 1

; ;

3 3

   

     

   

x

1
3

lim ( ) 0



 

  

 

 
   

 
x

f x f hàm số liên tục trái tại 1

 

x

1
3

lim ( ) 0



 
 
 

 
   

 
x

f x f hàm số liên tục phải tại 1



x

Hàm số gián đoạn tại mọi điểm 1 ; 1

3 3

 

  

 

x .

Câu 51. Cho hàm số f x( )2 sinx3 tan 2x. Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

A.Hàm số liên tục trên

B.Hàm số liên tục tại mọi điểm

C.TXĐ: \ ,

2 2

 

    

 

D  k k

D.Hàm số gián đoạn tại các điểm ,

4 2

  

x  k k

Hướngdẫngiải:

ChọnD. TXĐ: \ ,

4 2

 

    

 

D  k k

Ta có hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc D và gián đoạn tại các điểm ,

4 2

  

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Câu 52. Cho hàm số 3

2 1 khi 0

( ) ( 1) khi 0 2

1 khi 2

 




   

  



x x

f x x x

x x

. Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

A.Hàm số liên tục trên B.Hàm số không liên tục trên

C.Hàm số không liên tục trên



2;



D.Hàm số gián đoạn tại các điểm x2.

Hướngdẫngiải:

ChọnD. Hàm số liên tục tại mọi điểm x2và gián đoạn tại x2

Câu 53. Tìm các khoảng liên tục của hàm số: ( ) cos 2 khi 1

1 khi 1

x

f x

x x



 


 

  



Mệnh đề nào sau đây là sai?

A.Hàm số liên tục tại x 1.

B. Hàm số liên tục trên các khoảng ( ; 1 ,) ( 1;).

C.Hàm số liên tục tại x1.

D. Hàm số liên tục trên khoảng



1;1



Câu 54. Xét tính liên tục của hàm số sau:

 

1 cos

khi 0

sin

1 khi 0

x

f x x

x

  


 

 



A.Hàm số không liên tục trên . B. Hàm số liên tục tại x0và x2.

C.Hàm số liên tục tại x0và x1. D. Hàm số liên tục tại x0và x3.

Câu 55. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

 

I . f x

 

x5–x21 liên tục trên .

 

II .

 

1
1

f x
x



 liên tục trên khoảng



–1;1 .



 

III . f x

 

 x2 liên tục trên đoạn



2;



A.Chỉ

 

I đúng. B. Chỉ

 

I và

 

II . C. Chỉ

 

II và

 

III . D. Chỉ

 

I và

 

III .

Lờigiải

ChọnD.

 

I đúng vì f x

 

x5x21 là hàm đa thức nên liên tục trên .

 

III đúng vì f x

 

 x2 liên tục trên



2;



 

lim 2 0

x

f x f



   nên hàm số liên tục

trên



2;



Câu 56. Số điểm gián đoạn của hàm số 2

0, 5 khi 1

khi 1, 1

1 khi 1

x
x x

f x x x

x

là:

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Hướngdẫngiải
ChọnB. Hàm số y f x có TXĐ D .

Hàm số 2 1

x x
f x

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Xét tại x 1, ta có 2

1 1 1

1 1

lim lim lim 1

1 2

x x x

x x x

f x f

x

x Hàm số liên tục tại x 1

Xét tại x 1, ta có

1 1 1

lim lim lim

1
1

lim lim lim

1
1

x x x

x x x

f x

x
x

x x x

f x

x
x

Hàm số y f x gián đoạn tại

1
x .

Câu 57. Xét tính liên tục của hàm số

khi 1

2 1 .

2 khi 1

x

f x x

x x

Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. f x không liên tục trên . B. f x không liên tục trên 0;2 .

C. f x gián đoạn tại x 1. D. f x liên tục trên .

Hướngdẫngiải

Dễ thấy hàm số liên tục trên ;1 và 1; .

Ta có

1 1

1 1 1

1 2

lim lim 2 2

lim lim lim 2 1 2

2 1

x x

x x x

f

f x x f x

x

f x x

x

liên tục tại x 1.

Vậy hàm số f x liên tục trên . ChọnD.

Câu 58. Số điểm gián đoạn của hàm số 2

2 khi 0

1 khi 0 2

3 1 khi 2

x x

h x x x

x x

là:

A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.

Hướngdẫngiải

Hàm số y h x có TXĐ: D .

Dễ thấy hàm số y h x liên tục trên mỗi khoảng ;0 , 0;2 và 2; .
Ta có

0 0

0 1

lim lim 2 0

x x

h

f x

h x x khơng liên tục tại x 0.

Ta có 2

2 2

2 5

lim lim 1 5

lim lim 3 1 5

x x

h

h x x f x

h x x

liên tục tại x 2.

ChọnA.

Câu 59. Cho hàm số

cos khi 0
khi 0 1.
1

khi 1

x x x

x

f x x

x

x x

Hàm số f x liên tục tại:

A. mọi điểm thuộc x . B.mọi điểm trừ x 0.

C. mọi điểm trừ x 1. D.mọi điểm trừ x 0; x 1.

Hướngdẫngiải

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Dễ thấy f x liên tục trên mỗi khoảng ;0 , 0;1 và 1; .

Ta có

0 0

lim lim cos 0

lim lim 0

x x

f

f x x x f x

x
f x

x

liên tục tại x 0.

Ta có

1 1

3
1
1

1 1

lim lim

1 2

lim lim 1

x x

x
x

f

x

f x f x

x

f x x

không liên tục tại x 1.

ChọnC.

Câu 60. Cho hàm số

 

2
3

5 6

2 16

2 2

   



 

  



x x

khi x

f x x

x khi x

. Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

A.Hàm số liên tục trên B.Hàm số liên tục tại mọi điểm

C.Hàm số không liên tục trên



2 :



D.Hàm số gián đoạn tại điểm x2.

Hướngdẫngiải:

ChọnD. TXĐ: D \ 2

 

 Với

2
3

5 6

2 ( )

2 16

 

   



x x

x f x

x hàm số liên tục

 Với x 2 f x( )  2 x hàm số liên tục

 Tại x2 ta có: f(2)0





2 2

lim ( ) lim 2 0

    

x x

f x x ; 2

2 2 2

( 2)( 3) 1

lim ( ) lim lim ( )

2( 2)( 2 4) 24

  

  

 

   

  

x x x

x x

f x f x

x x x

Hàm số không liên tục tại x2.

Câu 61. Cho hàm số

khi 1
1

( )

1 2

khi 1
2

 


 

 

 

 

 


x

x
x

f x

x

x
x

. Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

A.Hàm số liên tục trên B.Hàm số không liên tục trên

C.Hàm số không liên tục trên



1:



D.Hàm số gián đoạn tại các điểm x1.

Hướngdẫngiải:

ChọnA. Hàm số xác định với mọi x thuộc

 Với 1 ( ) 1 2

 

   



x

x f x

x hàm số liên tục

 Với

1 ( )



   



x

x f x

x hàm số liên tục
 Tại x1 ta có: (1) 2



</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

3 2 3

1 1 1

1 ( 1)( 1) 2

lim ( ) lim lim

1 ( 1)( 1)

  

  

  

  

   

x x x

f x

x x x x

;

2 1 1

1 2 2

lim ( ) lim lim ( ) (1)

2 3

  

  

 

   



x x x

x

f x f x f

x

Hàm số liên tục tại x1. Vậy hàm số liên tục trên .

Câu 62. Cho hàm số

 

tan

, 0 ,

2
0 , 0

     


 

 



x

x x k k

f x x

x

 

. Hàm số y f x

 

liên tục trên các
khoảng nào sau đây?

A. 0;
2

 
 
 



. B. ;

 
 
 



. C. ;

4 4

 

 

 

 

. D.



 ;



Hướngdẫngiải:

ChọnA. TXĐ: \ ,

 

    

 

D  k k .

Với x0 ta có f

 

0 0,

 

0 0

tan

lim lim

  

x x

x
f x

x 0 0

sin 1

lim .lim

cos

 



x x

x

x x 1 hay limx0 f x

 

 f

 

0 .

Vậy hàm số gián đoạn tại x0.

Câu 63. Cho hàm số

 

2
3

, 1
2

, 0 1

sin , 0

 




   






x x

x

f x x

x

x x x

. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. f x

 

liên tục trên . B. f x

 

liên tục trên \ 0 .

 

C. f x

 

liên tục trên \ 1 .

 

D. f x

 

liên tục trên \ 0;1 .

 

Hướngdẫngiải:

ChọnA. TXĐ: D .

Với x1 ta có hàm số f x

 

x2 liên tục trên khoảng



1;



 

1
Với 0 x 1 ta có hàm số

 

2
1




x
f x

x liên tục trên khoảng

 

0;1 .

 

Với x0 ta có f x

 

xsinx liên tục trên khoảng



;0



 

3
Với x1 ta có f

 

1 1;

 

1 1

lim lim 1

   

x x

f x x ;

 

1 1

lim lim 1

 

    

x x

x
f x

x . Suy ra

 

lim 1 1

  

x f x f .

Vậy hàm số liên tục tại x1.

Với x0 ta có f

 

0 0;

 

0 0

lim lim 0

 

    

x x

x
f x

x ; 0

 





lim lim .sin

  

x x

f x x x

0 0

sin

lim . lim 0

 

 

x x

x
x

x suy ra limx0 f x

 

 0 f

 

0 . Vậy hàm số liên tục tại x0.

 

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Câu 64. Cho hàm số

 

2 1 1

0 0

  




 

 



x

khi x

f x x

khi x

. Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

A.Hàm số liên tục trên B.Hàm số không liên tục trên

C.Hàm số không liên tục trên



0;



D.Hàm số gián đoạn tại các điểm x0.

Hướngdẫngiải:

ChọnD. Hàm số liên tục tại mọi điểm x0 và gián đoạn tại x0

Câu 65. Cho hàm số

2 1 khi 1

( )

3 1 khi 1

   


 

 



x x x

f x

x x . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

A.Hàm số liên tục trên B.Hàm số không liên tục trên

C.Hàm số không liên tục trên



2;



D.Hàm số gián đoạn tại các điểm x 1.

Hướngdẫngiải:

ChọnD. Hàm số liên tục tại mọi điểm x 1và gián đoạn tại x 1.

Bài toán chứa tham số

Câu 66. Hàm số

khi 3

( ) 1 2

khi 3

x

f x x

m x



 



  

 



liên tục tại x3 khi m bằng:

A. 4. B. 4. C. 1. D. 1.

Câu 67. Cho hàm số

4 2

khi 0

( )

2 khi 0

x

x
x

f x

a x

  




 

  



Xác định a để hàm số liên tục tại x0 0.

A. a3. B. 3

a . C. a2. D. a1.

Câu 68. Cho hàm số

khi 4

5 3

( )

khi 4

2
x

x
x

f x

ax x

 


  

 

  



. Tìm a để hàm số liên tục tại x0 4.

A. a3. B. a0. C. a2. D. a1.

Câu 69. Cho hàm số

2 1 5

khi 4

( ) 4

2 khi 4

x x

x

f x x

a x

   




  

  



. Tìm a để hàm số liên tục tại x0 4.

A. a3. B. a2. C. 11

a . D. 5

2
a .

Câu 70. Cho hàm số

3 2

4 3

khi 1

1
( )

khi 1

x x

x
x

f x

ax x

   

 
 

  



. Tìm a để hàm số liên tục tại x0 1

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Câu 71. Cho hàm số

2
2

6 5

khi 1

1
( )

khi 1

x x

x
x

f x

a x

  


 

 

  



. Tìm a để hàm số liên tục tại x0 1.

A. 3

a . B. a0. C. a2. D. 9

2
a .

Câu 72. Cho hàm số f(x) =

x a khi x 0

x 1 khi x 0

 




 

 . Tìm a để hàm số có giới hạn khi x  0.

A. -1 B.2 C.1 D.0

Hướngdẫngiải

Chọn A. Ta có:

xlim f (x)0

xlim0

(x - a) = -a và

xlim f (x)0

xlim0

(x2 + 1) = 1. 
Hàm số có giới hạn khi x0 

x 0

lim f (x)

 = x 0

lim f (x)

  a = -1. Vậy với a = -1 ta có lim f (x)x0 = 1.

Câu 73. Cho hàm số

 

1
1
x
f x

x




 và

 

2 2

f m  với x2. Giá trị của mđể f x

 

liên tục tại x2
là:

A. 3. B.  3. C.  3. D. 3

Lờigiải

ChọnC

Hàm số liên tục tại x2

 

lim 2

x f x f

  .

Ta có





2 2

lim lim 1 1

x x

x

x
x

 

   

 . Vậy

2 3

2 1

m
m

m

 
   

 
 .

Câu 74. Cho hàm số

 

2
3

3; 2

3 3;

x

x x

f x x x

b x b

 

 



  

   



. Tìm b để f x

 

liên tục tại x3.

A. 3. B.  3. C. 2 3

3 . D.

2 3
.
3



Lờigiải

ChọnD. Hàm số liên tục tại

 

3 lim 3

x

x f x f



   .

2
3
3

1 1

lim

6 3

x

x x



 

  , f

 

3  b 3. Vậy:

1 1 2

3 3

3 3 3

b    b    .

Câu 75. Cho hàm số

 

sin 5

0
5

2 0

x
x

f x x

a x

 


 

  



. Tìm ađể f x

 

liên tục tại x0.

A.1. B. 1. C. 2. D. 2.

Lờigiải

ChọnB.
Ta có:

sin 5

lim 1

x

x
x

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Câu 76. Cho hàm số

 





2
2
2

1 , 1

3 , 1

, 1

x x

f x x x

k x

  



  

 



. Tìm k để f x

 

gián đoạn tại x1.

A. k 2. B. k2. C. k 2. D. k 1.

Lờigiải

Chọn A. TXĐ: D .
Với x1 ta có f

 

1 k2

Với x1 ta có

 





1 1

lim lim 3 4

x x

f x x

 

     ;

 





1 1

lim lim 1 4

x f x x x 

suy ra

 

lim 4

x f x  .

Vậy để hàm số gián đoạn tại x1khi

 

lim

x f x k

4
k

    k 2.

Câu 77. Cho hàm số

 





2 2

, 2,

2 , 2

a x x a

f x

a x x

  


 

 

 . Giá trị của a để f x

 

liên tục trên là:

A.1 và 2. B.1 và –1. C. –1 và 2. D.1 và –2.

Lờigiải

ChọnD. TXĐ: D .

Với x 2 ta có hàm số f x

 

a x2 2 liên tục trên khoảng



2;



.
Với x 2 ta có hàm số f x

  

 2a x



2 liên tục trên khoảng



; 2



Với x 2 ta có f

 

2 2a2,

 









2 2

lim lim 2 2 2

x x

f x a x a

 

      ;

 

2 2 2

2 2

lim lim 2

x x

f x a x a

 

    .

Để hàm số liên tục tại x 2

 

2 2

lim lim 2

x x

f x f x f

 

 

   2





2a 2 2 a

  

2 0

a a

    1

a
a




   

 . Vậy a1hoặc a 2 thì hàm số liên tục trên .

Câu 78. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số

khi 2
2

khi 2
x x

x

f x x

m x

liên tục tại x 2.

A. m 0. B. m 1. C. m 2. D. m 3.

Hướngdẫngiải

Tập xác định: D , chứa x 2. Theo giả thiết thì ta phải có

2 2 2

2 lim lim lim 1 3.

x x x

x x

m f f x x

x ChọnD.

Câu 79. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số

3 2 2 2

khi 1
1

3 khi 1

x x x

x

f x x

x m x

liên tục tại x 1.

A. m 0. B. m 2. C. m 4. D. m 6.

Hướngdẫngiải

Hàm số xác định với mọi x . Theo giả thiết ta phải có
2
3 2

1 1 1 1

1 2

2 2

3 1 lim lim lim lim 2 3 0.

1 1

x x x x

x x

x x x

m f f x x m

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Câu 80. Tìm giá trị thực của tham số k để hàm số

khi 1
1

1 khi 1
x

x
y f x x

k x

liên tục tại x 1.

A. 1.
2

k B. k 2. C. 1.

k D. k 0.

Hướngdẫngiải

Hàm số f x có TXĐ: D 0; . Điều kiện bài tốn tương đương với
Ta có:

1 1 1

1 1 1 1

1 1 lim lim lim .

1 1 2 2

x x x

x

k y y k

x x ChọnC.

Câu 81. Biết rằng hàm số

khi 3

1 2

khi 3

x

f x x

m x

liên tục tại x 3 (với m là tham số). Khẳng định

nào dưới đây đúng?

A. m 3;0 . B. m 3. C. m 0;5 . D. m 5; .

Hướngdẫngiải

ChọnB. Hàm số f x có tập xác định là 1; . Theo giả thiết ta phải có

3 3 3 3

3 1 2

3 lim lim lim lim 1 2 4.

1 2

x x x x

x x
x

m f f x x

x
x

Câu 82. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số

2 1

sin khi 0
khi 0

x x

f x x

m x

liên tục tại x 0.

A. m 2; 1 . B. m 2. C. m 1;7 . D. m 7; .

Hướngdẫngiải

Với mọi x 0 ta có 2 1 2

0 f x x n x 0

x khi x 0 limx 0f x 0.

Theo giải thiết ta phải có:

0 lim 0.

x

m f f x ChọnC.

Câu 83. Cho hàm số

 

1
1






x
f x

x và

 

2  2

f m với x2. Giá trị của mđể f x

 

liên tục tại x2
là:

A. 3 . B.  3. C.  3. D. 3

Hướngdẫngiải:

ChọnC. Hàm số liên tục tại x2

 

lim 2



 

x f x f .

Ta có





2 2

lim lim 1 1

 

   



x x

x

x . Vậy

2 3

2 1

 
   

 


m
m

m

Câu 84. Cho hàm số

 

2
3

3; 2

3 3;

 

 



  

   



x

x x

f x x x

b x b

. Tìm b để f x

 

liên tục tại x3.

A. 3 . B.  3. C. 2 3

3 . D.

2 3
.
3



Hướngdẫngiải:

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Hàm số liên tục tại

 

3 lim 3



  

x

x f x f với

2
3
3

1 1

lim

6 3



 
 
x

x

x x , f

 

3  b 3.

Vậy: 3 1 3 1 2

3 3 3


      

b b .

Câu 85. Cho hàm số

 

sin 5

0
5

2 0

 


 

  



x
x

f x x

a x

. Tìm ađể f x

 

liên tục tại x0.

A.1. B. 1. C. 2. D. 2.

Hướngdẫngiải:

ChọnB.
Ta có:

sin 5

lim 1

 

x

x ; f

 

0  a 2. Vậy để hàm số liên tục tại x0thì a    2 1 a 1.

Câu 86. Cho hàm số

 





2
2
2

1 , 1

3 , 1

, 1

  



  

 



x x

f x x x

k x

. Tìm k để f x

 

gián đoạn tại x1.

A. k 2. B. k2. C. k 2. D. k 1.

Hướngdẫngiải:

ChọnA. TXĐ: D .
Với x1 ta có f

 

1 k2

Với x1 ta có

 





1 1

lim lim 3 4

    

x x

f x x ;

 





1 1

lim lim 1 4

    

x x

f x x suy ra

 

lim 4

 

x f x .

Vậy để hàm số gián đoạn tại x1khi

 

lim

 

x f x k

k    k 2.

Câu 87. Tìm a để các hàm số

 

2 2 khi 0

1 khi 0

 



    


x a x

f x

x x x liên tục tại x0

A. 1

2 B.
1

4 C.0 D.1

Hướngdẫngiải:

ChọnA. Ta có: 2

0 0

lim ( ) lim ( 1) 1

     

x f x x x x , 0 0

lim ( ) lim ( 2 ) 2

    

x x

f x x a a

Suy ra hàm số liên tục tại 0 1
2

  

x a .

Câu 88. Cho hàm số

 

3 2 2

khi 2

2
1

khi 2

x

x
x

f x

ax x

   

 
 

  



. Xác định a để hàm số liên tục tại 2 .

A. a3. B. a0. C. a2. D. a1.

Câu 89. Cho hàm số

 

3 9

, 0 9

, 0
3

, 9
x

x
x

f x m x

x
x

    




 



 



</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

A. 1

3. B.
1

2 . C.

6. D. 1.

Lờigiải

ChọnC. TXĐ: D



0;



Với x0 ta có f

 

0 m. Ta có

 

0 0

3 9

lim lim

x x

x
f x

x

 

 

 


1
lim

3 9

x  x



 

1
6

 .
Vậy để hàm số liên tục trên



0;



khi

 

lim

x  f x m

1
6

m

  .

Câu 90. Biết rằng
0

sin
lim 1.

x
x

x Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số

sin

khi 1
1

khi 1
x

x
f x x

m x

liên

tục tại x 1.

A. m . B. m . C. m 1. D. m 1.

Hướngdẫngiải

Tập xác định D . Điều kiện bài toán tương đương với

1 1 1 1 1

sin sin 1 sin 1

sin

1 lim lim lim lim lim . * .

1 1 1 1

x x x x x

x x x

x

m f f x

x x x x

Đặt t x 1 thì t 0 khi x 1. Do đó (*) trở thành:
0

sin

lim . .

t

t
m

t ChọnA.

Câu 91. Biết rằng
0

sin
lim 1.
x

x

x Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số

1 cos

khi
khi

x
x

f x x

m x

liên

tục tại x .

A. .

m B. .

m C. 1.

m D. 1.

m
Hướngdẫngiải

Hàm số xác định với mọi x . Điều kiện củz bài toán trở thành:

2
2

2 2 2

2sin sin

2 cos

1 cos 2 2 2 1 2 2

lim lim lim lim lim *

2 2

x x x x x

x x

x
x

m f f x

x

x x x

Đặt 0

2 2

x

t khi x 1. Khi đó (*) trở thành:

2
2
0

1 sin 1 1

lim .1 .

2 t 2 2

t
m

t
ChọnC.

Câu 92. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số

2 2 khi 2

1 khi 2

m x x

f x

m x x liên tục trên ?

A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.

Hướngdẫngiải

ChọnA. TXĐ: D . Hàm số liên tục trên mỗi khoảng ;2 ; 2; .

Khi đó f x liên tục trên f x liên tục tại x 2

2 2 2

lim 2 lim lim 2 .

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Ta có

2 2

2 2 2

2 2

2 4 1

lim lim 1 2 1 * 4 2 1 1 .

lim lim 4

x x

f m m

f x m x m m m

m

f x m x m

Câu 93. Biết rằng hàm số khi

1 khi

0; 4
4;6

x x

f x

m x tục trên 0;6 . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. m 2. B. 2 m 3. C. 3 m 5. D. m 5.

Hướngdẫngiải

Dễ thấy f x liên tục trên mỗi khoảng 0;4 và 4;6 . Khi đó hàm số liên tục trên đoạn 0;6 khi
và chỉ khi hàm số liên tục tại x 4, x 0,x 6.

Tức là ta cần có
0
6

4 4

lim 0

lim 6 . *

lim lim 4

x

x x

f x f
f x f

f x f x f

0 0

lim lim 0

;

0 0 0

x x

f x x

f

6 6

lim lim 1 1

;

6 1

x f x x m m

f m

4 4

lim lim 2

lim lim 1 1 ;

4 1

x x

f x x

f x m m

f m

Khi đó * trở thành 1 m 2 m 1 2. ChọnA.

Câu 94. Có bao nhiêu giá trị của tham số a để hàm số

3 2

khi 1

x x

x
x

f x

a x

liên tục trên .

A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.

Hướngdẫngiải

Hàm số f x liên tục trên ;1 và 1; . Khi đó hàm số đã cho liên tục trên khi và chỉ
khi nó liê tục tại x 1, tức là ta cần có

1 1 1

lim 1 lim lim 1 . *

x f x f x f x x f x f

Ta có 1 1

1 1

2 khi 1 lim lim 2 1

khi 1 *

lim lim 2 1

2 khi 1

x x

x x f x x

f x a x

f x x

x x

không tỏa mãn với mọi

a Vậy không tồn tại giá trị a thỏa yêu cầu. ChọnC.

Câu 95. Biết rằng

khi 1

x

f x x

a x

liên tục trên đoạn 0;1 (với a là tham số). Khẳng định nào

dưới đây về giá trị a là đúng?

A. a là một số nguyên. B. a là một số vô tỉ.

C. a 5. D. a 0.

Hướngdẫngiải

Hàm số xác định và liên tục trên 0;1 . Khi đó f x liên tục trên 0;1 khi và chỉ khi
1

lim 1 . *

x

f x f

Ta có 2

1 1 1

* 4.

lim lim lim 1 1 4

x x x

f a

a
x

f x x x

x

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Câu 96. Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hàm số

5 6

khi 3

4 3

1 khi 3

x x

x

f x x x

a x x

liên tục tại x 3.

A. 2

3 . B.

2
.
3 C.
4
.
3 D.
4
.
3
Hướngdẫngiải

ChọnA. Điều kiện bài toán trở thành:

3 3

lim lim 3 . *

x f x x f x f

Ta có

2
2

3 3 3

2 3

3 3

3 1 3

2 4 3

5 6

lim lim lim 3

4 3

lim lim 1 1 3 .

x x x

x x

f a

x x x

x x

f x

x

x x

f x a x a

min
2 2
3
* .
3
a a

Câu 97. Tìm giá trị lớn nhất của a để hàm số

3 2 2

khi 2

2
1

khi 2

x

x
x

f x

a x x

liên tục tại x 2.

A. amax 3. B. amax 0. C. amax 1. D. amax 2.

Hướngdẫngiải

Ta cần có

2 2

lim lim 2 . *

x f x x f x f

Ta có
2
3
2 2
2

ma
2
2 2
x
7
2 2
4

3 2 2 1

lim lim *

2 4

1 7

lim li 2

1
4 4
1
m
.
x x
x x
f a
x

f x a

x
f x

a

a x a

ChọnC.

Câu 98. Tìm a để các hàm số 2

4 1 1

khi 0

( ) (2 1)

3 khi 0

  


  
 

x
x

f x ax a x

x

liên tục tại x0

A. 1

2 B.
1

4 C.

1
6

 D.1

Hướngdẫngiải:

ChọnC. Ta có:





0 0

4 1 1

lim ( ) lim

2 1
 

 

 
x x
x
f x

x ax a 0









4 2

lim

2 1

2 1 4 1 1



 



   

x ax a x a

Hàm số liên tục tại 0 2 3 1

2 1 6

     



x a

a .

Câu 99. Tìm a để các hàm số

2
2

3 1 2

khi 1

1
( )

( 2)

khi 1
3
  

 
 


 
 

x
x
x
f x
a x
x
x

liên tục tại x1

A. 1

2 B.
1

4 C.

4 D.1

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

ChọnC.

Ta có: 2

1 1

3 1 2 3

lim ( ) lim

1 8

 

 

 

 



x x

x
f x

x ,

1 1

( 2)

lim ( ) lim

3 2

 

 



 



x x

a x a

f x

x

Suy ra hàm số liên tục tại 1 3 3

2 8 4

    a

x a .

Câu 100. Cho hàm số

 

3 9

, 0 9

, 0
3

, 9

    




 



 



x

x
x

f x m x

x
x

. Tìm m để f x

 

liên tục trên



0;



là.

A. 1

3. B.

2 . C.

6. D. 1.

Hướngdẫngiải:

ChọnC. TXĐ: D



0;



Với x0 ta có f

 

0 m. Ta có

 

0 0

3 9

lim lim

 

 


x x

x
f x

x 0

1
lim

3 9






 

x x

1
6

 .

Vậy để hàm số liên tục trên



0;



khi

 

lim

 

x

f x m 1

m .

Câu 101. Cho hàm số

 





2 2

, 2,

2 , 2

  


 

 



a x x a

f x

a x x

. Giá trị của a để f x

 

liên tục trên là:

A.1 và 2. B.1 và –1. C. –1 và 2. D. 1 và –2.

Hướngdẫngiải:

ChọnD. TXĐ: D .

Với x 2 ta có hàm số f x

 

a x2 2 liên tục trên khoảng



2;



.
Với x 2 ta có hàm số f x

  

 2a x



2 liên tục trên khoảng



; 2



Với x 2 ta có f

 

2 2a2;

 









2 2

lim lim 2 2 2

     

x x

f x a x a ;

 

2 2 2

2 2

lim lim 2

   

x x

f x a x a .

Hàm số liên tục tại x 2

 

2 2

lim lim 2

 

  

x x

f x f x f 2a2 2 2



a



2 0

a   a 1



   



a

a .

Vậy a1hoặc a 2 thì hàm số liên tục trên .

Câu 102. Cho hàm số

 

3 2

1
1

   

 
 

 



x x

khi x
x

f x

a khi x

. Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

A.Hàm số liên tục trên B.Hàm số không liên tục trên

C.Hàm số không liên tục trên



1:



D.Hàm số gián đoạn tại các điểm x1.

Hướngdẫngiải:

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Câu 103. Xác định a b, để các hàm số

3 2

khi ( 2) 0

( 2)

( ) khi 2
khi 0

    

 



 

 




x x x

x x
x x

f x a x

b x

liên tục trên

A. 10



  


a

b B.

11
1



  


a

b C.

1
1



  


a

b D.

12
1



  


a
b

Hướngdẫngiải:

ChọnC. Hàm số liên tục trên 1



   



a

b .

Câu 104. Tìm m để các hàm số

3 2 2 1

khi 1

( ) 1

3 2 khi 1

   




  

  



x x

x

f x x

m x

liên tục trên

A. m1 B. 4



m C. m2 D. m0

Hướngdẫngiải:

ChọnB. Với x1 ta có

2 2 1

( )

  




x x

f x

x nên hàm số liên tục trên khoảng \ 1

 

Do đó hàm số liên tục trên khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x1
Ta có: f(1)3m2

1 1

2 2 1

lim ( ) lim

 

  





x x

f x

x





1 2 3 3 2

2
lim 1

( 1) 2 ( 2)



 

 

 

   

    

 

 

x

x x

x x x x x

2 2

1 3 3

lim 1 2

2 ( 2)



   

   

     

 

x

x x

x x x x

Nên hàm số liên tục tại 1 3 2 2 4

     

x m m . Vậy 4



m là những giá trị cần tìm.

Câu 105. Tìm m để các hàm số

1 1

khi 0
( )

2 3 1 khi 0

  




 

   



x

f x x

x m x

liên tục trên

A. m1 B. 1

 

m C. m2 D. m0

Hướngdẫngiải:

ChọnB.

 Với x0 ta có f x( ) x 1 1

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

(0)3 1

f m ;

0 0 0

1 1 1 1

lim ( ) lim lim

2
1 1

  

  

 

  

 

x x x

x
f x

x x ;





0 0

lim ( ) lim 2 3 1 3 1

      

x f x x x m m

Do đó hàm số liên tục tại 0 3 1 1 1

2 6

      

x m m . Vậy 1

 

m thì hàm số liên tục trên
.

Câu 106. Tìm m để các hàm số

2 4 3 khi 2

( ) 1

khi 2

2 3 2

   



  


   



x x

f x x

x

x mx m

liên tục trên

A. m1 B. 1

 

m C. m5 D. m0

Hướngdẫngiải:

ChọnC. Với x2 ta có hàm số liên tục

Để hàm số liên tục trên thì hàm số phải liên tục trên khoảng



; 2



và liên tục tại x2.

 Hàm số liên tục trên



; 2



khi và chỉ khi tam thức g x( )x22mx3m 2 0,  x 2

TH1:

' 3 2 0 3 17 3 17

2 2

(2) 6 0

         
    



m m

m

g m

TH2:

2
2

2
1

3 2 0

' 3 2 0

' 2

' ( 2)

   

     

  

 

   

 

   



m m

m
x m

m

3 17

6
2

2
6

 






   

 


m

m
m

Nên 3 17 6



 m (*) thì g x( )0,  x 2







2 2

lim ( ) lim 2 4 3 3

     

x f x x x

2 2

1 3

lim ( ) lim

2 3 2 6

 

 



 

   

x x

x
f x

x mx m m

Hàm số liên tục tại 2 3 3 5

    



x m

m (thỏa (*))

Câu 107. Tính tổng S gồm tất cả các giá trị m để hàm số

khi 1

2 khi 1

1 khi 1

x x x

f x x

m x x

liên tục tại x 1.

A. S 1. B. S 0. C. S 1. D. S 2.

Hướngdẫngiải

Hàm số xác định với mọi x . Điều kiện bài toán trở thành

1 1

lim lim 1 . *

x f x x f x f

Ta có 2 2 2

1 1

1 2

lim lim 1 1 * 1 2

lim lim 2

x x

f

f x m x m m

f x x x

1 S 0.

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Câu 108. Xác định a b, để các hàm số

 

sin khi
2
khi

 


 

  



x x

f x

ax b x



 liên tục trên

A.

2
1

 


 


a
b

 B.

2
2

 


 


a
b

 C.

1
0

 


 


a
b

 D.

2
0

 


 


a
b



Hướngdẫngiải:

ChọnD. Hàm số liên tục trên

2
1

0
1

   

 

 

 

     


a b

a
b
a b






Chứng minh phương trình có nghiệm
Lýthuyết

Câu 109. Cho hàm số f x

 

xác định trên

 

a b; . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A.Nếu hàm số f x

 

liên tục, tăng trên

 

a b; và f a f b

   

0 thì phương trình f x

 

0
khơng có nghiệm trong khoảng

 

a b; .

B.Nếu hàm số f x

 

liên tục trên

 

a b; và f a f b

   

0 thì phương trình f x

 

0 khơng

có nghiệm trong khoảng

 

a b; .

C.Nếu phương trình f x

 

0có nghiệm trong khoảng

 

a b; thì hàm số f x

 

phải liên tục
trên

 

a b; .

D.Nếu f a f b

   

0 thì phương trình f x

 

0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng

 

a b; .

Câu 110. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(I). f x

 

liên tục trên đoạn

 

a b; và f a f b

   

. 0 thì phương trình f x

 

0 có nghiệm.

(II). f x

 

không liên tục trên

 

a b; và f a f b

   

. 0 thì phương trình f x

 

0 vô nghiệm.

A.Chỉ I đúng. B. Chỉ II đúng. C. Cả I và II đúng. D. Cả I và II sai.

Hướngdẫngiải:

ChọnA.

Câu 111. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(I). f x

 

liên tục trên đoạn

 

a b; và f a f b

   

. 0 thì tồn tại ít nhất một số c

 

a b; sao cho

 

0

f c .

(II). f x

 

liên tục trên đoạn



a b;



và trên



b c;



nhưng không liên tục

 

a c;

A.Chỉ

 

I . B. Chỉ

 

II .

C. Cả

 

I và

 

II đúng. D. Cả

 

I và

 

II sai.

Hướngdẫngiải:

ChọnD. KĐ 1 sai. KĐ 2 sai.

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

1. Nếu hàm số y f x

 

liên tục trên

 

a b; và f a f b

   

. 0 thì tồn tại x0

 

a b; sao cho

 

0 0

f x 

2. Nếu hàm số y f x

 

liên tục trên

 

a b; và f a f b

   

. 0thì phương trình f x

 

0 có nghiệm
3. Nếu hàm số y f x

 

liên tục, đơn điệu

 

a b; và f a f b

   

. 0 thì phương trình

 

0 0

f x  có nghiệm duy nhất thuộc

 

a b;
Trong ba câu trên

A.Có đúng một câu sai. B. Cả ba câu đều đúng.

C. Có đúng hai câu sai. D. Cả ba câu đều sai.

Nghiệmphươngtrình

Câu 113. Cho hàm số 3

4 4 1.

f x x x Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Hàm số đã cho liên tục trên .

B. Phương trình f x 0 khơng có nghiệm trên khoảng ;1 .

C. Phương trình f x 0 có nghiệm trên khoảng 2;0 .

D. Phương trình f x 0 có ít nhất hai nghiệm trên khoảng 3;1 .
2

Hướngdẫngiải

(i) Hàm f x là hàm đa thức nên liên tục trên A đúng.

(ii) Ta có 1 1 0 0

2 23 0

f

f x

f có nghiệm x1 trên 2;1 , mà

2;0 ;

2; 1 1 B sai và C đúng ChọnB.

Câu 114. Cho phương trình 4 2

2x 5x x 1 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Phương trình khơng có nghiệm trong khoảng 1;1 .

B. Phương trình khơng có nghiệm trong khoảng 2;0 .

C. Phương trình chỉ có một nghiệm trong khoảng 2;1 .

D. Phương trình có ít nhất hai nghiệm trong khoảng 0;2 .

Hướngdẫngiải

Hàm số 4 2

2 5 1

f x x x x là hàm đa thức có tập xác định là nên liên tục trên .
Ta có

(i) 0 1 1 . 0 0 0

1 3

f

f f f x

f có ít nhất một nghiệm x1 thuộc 1;0 .

(ii) 0 1 0 . 1 0 0

1 1

f

f f f x

f có ít nhất một nghiệm x2 thuộc 0;1 .

(iii) 1 1 1 . 2 0 0

2 15

f

f f f x

f có ít nhất một nghiệm x3 thuộc 1;2 .

Vậy phương trình f x 0 đã cho có các nghiệmx x1, 2,x3 thỏa

1 2 3

1 x 0 x 1 x 2 ChọnD.

Câu 115. Cho hàm số f(x) x3 3x 1. Số nghiệm của phương trình

f x trên là:

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Hàm số 3

3x 1

f x x là hàm đa thức có tập xác định là nên liên tục trên . Do đó hàm
số liên tục trên mỗi khoảng 2; 1 , 1;0 , 0;2 .

Ta có

2 3

2 1 0 1

1 1

f

f f

f có ít nhất một nghiệm thuộc 2; 1 .

1 1

1 0 0 1

0 1

f

f f

f có ít nhất một nghiệm thuộc 1;0 .

2 1

2 0 0 1

0 1

f

f f

f có ít nhất một nghiệm thuộc 0;2 .

Như vậy phương trình 1 có ít nhất ba thuộc khoảng 2;2 . Tuy nhiên phương trình f x 0

là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm. Vậy phương trình f x 0 có đúng nghiệm trên

. ChọnD.

CáchCASIO. (i) Chọn MODE 7 (chức năng TABLE) và nhập: 3

( ) 1.

F X X X

(ii) Ấn “=” và tiếp tục nhập: Start 5(có thể chọn số nhỏ hơn).

End 5 (có thể chọn số lớn hơn).

Step 1 (có thể nhỏ hơn, ví dụ 1

2).

(iii) Ấn “=” ta được bảng sau:

Bên cột X ta cần chọn hai giá trị a và b a b sao cho tương ứng bên cột F X( ) nhận các giá trị
trái dấu, khi đó phương trình có nghiệm a b; . Có bao nhiêu cặp số a b, như thế sao cho khác
khoảng a b; rời nhau thì phương trình f x 0 có bấy nhiêu nghiệm.

Câu 116. Xét hai câu sau:

(I). Phương trình x34x 4 0 ln có nghiệm trên khoảng



1;1



(II). Phương trình x3  x 1 0có ít nhất một nghiệm dương bé hơn 1.
Trong hai câu trên:

A.Chỉ có (1) sai. B. Chỉ có (2) sai.

C. Cả hai câu đều đúng. D. Cả hai câu đều sai.

Câu 117. Cho hàm số f x

 

x3–1000x20,01. Phương trình f x

 

0 có nghiệm thuộc khoảng nào

trong các khoảng sau đây?

(I).



1; 0



. (II).

 

0;1 . (III).

 

1; 2 .

A.Chỉ I. B. Chỉ I và II. C. Chỉ II. D. Chỉ III.

Lờigiải

ChọnB.
TXĐ: D .

Hàm số f x

 

x31000x20, 01 liên tục trên nên liên tục trên



1;0



 

0;1 và

 

1; 2 ,

 

1 .
Ta có f

 

  1 1000,99; f

 

0 0, 01 suy ra f

   

1 .f 0 0,

 

2 .

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Ta có f

 

0 0, 01; f

 

1  999,99 suy ra f

   

0 .f 1 0,

 

3 .

Từ

 

1 và

 

3 suy ra phương trình f x

 

0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng

 

0;1 .
Ta có f

 

1  999,99; f

 

2  39991,99suy ra f

   

1 .f 2 0,

 

4 .

Từ

 

1 và

 

4 ta chưa thể kết luận về nghiệm của phương trình f x

 

0 trên khoảng

Câu 118. Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 1; 4 sao cho f 1 2, f 4 7. Có thể nói gì về số
nghiệm của phương trình f x 5 trên đoạn [ 1;4]:

A. Vơ nghiệm. B. Có ít nhất một nghiệm.

C. Có đúng một nghiệm. D. Có đúng hai nghiệm.

Hướngdẫngiải

Ta có f x 5 f x 5 0. Đặt g x f x 5. Khi đó

1 1 5 2 5 3

1 4 0.

4 4 5 7 5 2

g f

g g

g f

Vậy phương trình g x 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 1;4 hay phương trình f x 5

có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 1;4 . ChọnB.

Cóthamsố

Câu 119. Với m nào phương trình x3 + mx2 - 1 = 0 ln có một nghiệm dương.

A. m B. m0 C. m 1 D. m

Hướngdẫngiải

Chọn A. Xét hàm số f(x) = x3 + mx2 - 1 liên tục trên R.
Ta có: f(0) = - 1 < 0,





xlim f(x) = + , vậy tồn tại c > 0 để f(c) > 0 suy ra f(0).f(c) < 0.

Vậy phương trình f(x) = 0 ln có một nghiệm thuộc (0, c)  phương trình ln có một nghiệm
dương.

 

1; 2 .

Câu 120. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng 10;10 để phương trình

3 2

3 2 2 3 0

x x m x m có ba nghiệm phân biệt x1, , x2 x3 thỏa mãn x1 1 x2 x3?

A. 19. B.18. C. 4. D. 3.

Hướngdẫngiải

Xét hàm số 3 2

3 2 2 3

f x x x m x m liên tục trên .

● Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 sao cho x1 1 x2 x3. Khi đó

1 2 3

f x x x x x x x .

Ta có f 1 1 x1 1 x2 1 x3 0 (do x1 1 x2 x3).

Mà f 1 m 5 nên suy ra m 5 0 m 5.

● Thử lại: Với m 5, ta có
▪ lim

x f x nên tồn tại a 1 sao cho f a 0. 1

▪ Do m 5 nên f 1 m 5 0. 2

▪ f 0 m 3 0. 3

▪ lim

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Từ 1 và 2 , suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng ; 1 ; Từ 2 và 3 , suy ra
phương trình có nghiệm thuộc khoảng 1;0 ; Từ 3 và 4 , suy ra phương trình có nghiệm

thuộc khoảng 0; .

Vậy khi m 5 thỏa mãn m m10;10 m 9; 8; 7; 6 . ChọnC.

(iii) Ta có

0 1 0

1 1

2 2

f

f x

f có nghiệm x2 thuộc

0; .

2 Kết hợp với (1) suy ra f x 0

có các nghiệm x x1, 2 thỏa: 1 2