Đề thi thử THPT quốc gia

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (181.45 KB, 13 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CH Đ : NH N D NG TAM GIÁCỦ Ề Ậ Ạ
Ch đ 1: NH N D NG TAM GIÁC CÂNủ ề Ậ Ạ

- Các bài tốn thu c lo i này có các d ng nh sau: cho tam giác ộ ạ ạ ư ABC tho mãn m t đi u ả ộ ề
ki n nào đó, thệ ường là cho dướ ại d ng h th c. Hãy ch ng minh ệ ứ ứ ABC cân.

- Ph i l u ý tính đ i x ng c a bài toán đ đ nh hả ư ố ứ ủ ể ị ướng các phép bi n đ i. Ch ng h n cân ế ổ ẳ ạ
t i C thì t p trung vào ch ng minh A=B.ạ ậ ứ

- Các bài toán v nh n d ng tam giác cân có th chia thành 2 lo i chính nh sau:ề ậ ạ ể ạ ư
LO I I: S D NG CÁC PHÉP BI N Đ I Đ NG TH CẠ Ử Ụ Ế Ổ Ẳ Ứ

T gi thi t đi đ n k t lu n b ng cách v n d ng các h th c lừ ả ế ế ế ậ ằ ậ ụ ệ ứ ượng trong tam giác, các
công th c bi n đ i lứ ế ổ ượng giác.

Ví d 1.ụ Cho ABC có 4 2 2

2
sin

cos
1

c
a

c
a
B

B






(1). CM ABC cân.

Ta th y trong (1) ch a c 2 y u t góc và c nh. Đ i v i bài tốn này ta có th CM ấ ứ ả ế ố ạ ố ớ ể ABC
cân theo 2 cách A=B ho c a=b.ặ

Tuỳ vào bi u th c c a bài toán mà ta ch n bi n đ i v góc hay v c nh sao cho thu n l i ể ứ ủ ọ ế ổ ề ề ạ ậ ợ
h n.ơ

Cách 1:

(1)









2
2

4
2

sin

cos
1

c
a

c
a
B

B












c
a

B
B









2
2
cos

1
cos
1

2
2

Áp d ng đ nh lý hàm Sin ta đụ ị ược:

C
A

B
B

sin
sin

2
cos
1

cos
1








B
C
B

A

C

A
B

sínC
B
A
C

A sin 2sin cos cos 2sin sin 2sin cos sin cos
sin

2       



C
B

Acos 2sin
sin

4 

  2



sin(AB)sin(A B)



2sinC



sinC sin(A B)



2sinC

2   

  sin(A B)0 AB

 ABC cân t i Cạ

Cách 2:

(1)

2
2

4
)
2
(
2
cos
2
sin
2

2
cos
2

c

a

c
a
B

B
B





 1 2

2
tan

a c

B a c



 



2 2 2 2

2 ( )( ) 2 ( ) 2 ( ) 2

tan 1 1

2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2

B a c p c p a a c b c a a c b c a a c

a c p p b a c c a b a c c a b a c

         

         

        

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

4 4

(2 ) ( ) 2 2

( ) 2

ac a

c a c c a b ac c c a ca b b a

c a b a c

              

  

 a = b ABC cân t i Cạ

Chú ý: Ta có B .tan 2

S B

r p

p b

 



( )( )( ) ( )( )

tan

2 ( ) ( ) ( )

p p a p b p c

B S p a p c

p p b p p b p p b

    

   

  

Ví d 2.ụ Cho ABC tho ả sin 2cos 2 sin 2cos 2
3

3 B B A

A



</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Giải:

2 2

3 3

sin sin

2 2

(1) tan (1 tan ) tan (1 tan ) (*)

2 2 2 2

cos cos

2 2

A B

A A B B

A B

     

3 3 2 2

(tan tan ) tan tan 0 (tan tan )(1 tan tan tan tan ) 0

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 , tan , tan 0

2 2 2 2 2

A B A B A B A A B B

A B A B

Vì

          



   

Nên tan 2 tan 2 0 2 2

A B A B

   

ABC
B

A 

 cân t i Cạ
NX: T (1) ta có th bi n đ i nh sauừ ể ế ổ ư

)
2
sin
1
(

2
cos
2
sin
)
2
sin
1
(
2
cos
2

sin A B 2 B B A 2 A






Ti p t c chuy n v và đ t th a s chung ta đế ụ ể ế ặ ừ ố ược: sin 2 0

 B
A
Cách khác:

T (*) ta xét ừ f(x)x(1x2),x0

0
,

0
3
1
)
(

' 2






 x x

x
f

f

 là hàm tăng trên (0,)

Vì v y: (*) ậ tan2 tan2

A B

f   f  
    

    tan 2 tan 2

A B

 

Chú ý: Trong bài toán CM tam giác cân ta thường g p 2 v c a bi u th c đ i x ng. Trong ặ ế ủ ể ứ ố ứ
trường h p này ta có th s d ng phợ ể ử ụ ương pháp hàm s :ố

Tính ch tấ : N u hàm ế  tăng (ho c gi m) trong kho ng (a,b) ặ ả ả
Thì : f(u)f(v) uv,u,v(a,b)

LO I II: S D NG B T Đ NG TH CẠ Ử Ụ Ấ Ẳ Ứ

- Khác v i tam giác đ u có vơ s h th c “đ p” thớ ề ố ệ ứ ẹ ường s d ng BĐT đ ch ng minh, ử ụ ể ứ
nh ng h th c đ p c a tam giác cân r t ít.ữ ệ ứ ẹ ủ ấ

- Cho ABC có các c nh và các góc th a mãn m t h th c:ạ ỏ ộ ệ ứ
F(A,B,C,a,b,c)=0

CM ABC cân t i C b ng BĐT nh sau:ạ ằ ư

 Dùng BĐT ch ng minh F(A,B,C,a,b,c)ứ  0

 D u b ng x y ra khi và ch khi a=b (ho c A=B)ấ ằ ả ỉ ặ
 V y F(A,B,C,a,b,c)=0 ậ  a=b ABC cân t i Cạ

Ví d 3.ụ Cho a,b,c, là đ dài 3 c nh c a m t tam giác Bi t r ngộ ạ ủ ộ ế ằ
ab

ac
bc
c
b
a

p   2  

4

CM tam giác trên là tam giác cân
Gi i:ả

(1) 4 2 ( )( ) 2 2 ( )( )

a b c

a b c a c b c a b c a c b
 

           

(c a) (c b) 2 (c a c b)( )

      

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Đ (2) x y ra thì trong (3) x y ra d u đ ng th c. T c là a=b hay tam giác đã cho là tam ể ả ả ấ ẳ ứ ứ
giác cân.

NX: T (2) ta hồn tồn có th gi i theo cách thơng thừ ể ả ường b ng cách l y bình phằ ấ ương 2
v , ta đế ược:



(ac) (cb)



2 0 cacb

* Cách ra đ cho bài toán nh n d ng tam giác b ng BĐT Cauchy:ề ậ ạ ằ
T a=b ho c A=B ừ ặ

+) Ta bi n đ i 2 v đ đế ổ ế ể ược m t đ ng th c tộ ẳ ứ ương đương
Đ t VT=ặ , VP=. Áp d ng BĐT Cauchy cho 2 s ụ ố, 

T i v trí d u “=” x y ra ta đạ ị ấ ả ược bài toán ch ng minh ứ ABC cân t i Cạ

T bài toán đó ta có th ti p t c bi n đ i đ đừ ể ế ụ ế ổ ể ược 1 bài toán ph c t p h n d a vào các ứ ạ ơ ự
phép bi n đ i tế ổ ương đương hay bi n đ i lế ổ ượng giác.

Ví d 4.ụ Cho ABC tho mãn h th c: ả ệ ứ ha  p(p a) (1). CM ABC là tam giác cân
Gi i: Ta có: ả a

c
p
b
p
a
p
p
a

s

ha

)
)(
)(
(
2

2   




+) Do đó (1) ( )

)
)(
)(
(
2

a
p
p
a

c
p
b
p

a
p
p








 p b p c a





 2 ( )( ) (2)

+) Áp d ng BĐT Cauchy cho 2 s : p-b, p-c ụ ố

)
(
)
(
)
)(
(

2 p b p c  p b  p c



a
c
p
b

p  

 2 ( )( ) (3)

+) D u “=” x y ra ấ ả  p bp c bc

V y t (2) suy ra trong (3) x y ra d u đ ng th c, t c là ta có b = c ậ ừ ả ấ ẳ ứ ứ  ABC cân t i A.ạ
NX: N u không áp d ng BĐT thì t (2) ế ụ ừ  4(p-b)(p-c)=a2

2
)
2

4 a c b a b c  a







  







  


 a2(c b)2 a2

b
c
b

c   
 ( )2 0

Bài t p t luy nậ ự ệ

BT1. Cho ABC th a: ỏ 2

3
)
cos(
)
sin(
)

sin(BC  CA  AB 

(1). Tam giác ABC là tam
giác gì ?

BT2. Cho ABC th a mãn h th cỏ ệ ứ

tan tan ( ) tan

A B
a B b A a b 

và C≠ 900 (1) CM ABC là tam giác cân.

BT3. Cho ABC tho mãn h th c:ả ệ ứ 4(sinB2sinC)3(cosB2cosC)15 (1)
CM ABC cân.

BT4. Cho ABC tho mãn đi u ki n ả ề ệ 2

cos
2
sin

sin A B  c

. CM ABC cân.

BT5. CM đi u ki n c n và đ đ ề ệ ầ ủ ểABC cân là cos

15
cos
2
2
cos

2  

B
A

, bi t C = 120ế 0

Chủ đề 2: NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

b ng s đo c a hai góc cịn l i. T xa x a Pitago đã phát hi n m t d u hi u đ nh n d ng ằ ố ủ ạ ừ ư ệ ộ ấ ệ ể ậ ạ
tam giác vuông là đ nh lý Pitago. Trong ph n này chúng tôi xin cung c p m t s d u hi u ị ầ ấ ộ ố ấ ệ
đ nh n bi t tam giác vuông.ể ậ ế

Đ nh n d ng tam giác vuông ta thể ậ ạ ường đ a v m t s d u hi u sau đây:ư ề ộ ố ấ ệ
1. sinA = 1 2. cosA = 0 3. sin2A = 0

4. cos2A = -1 5. tan 2 1

A

6. tanA = cotanB
7. sinA=Sin(B-C) 8. a2 = b2 + c2

LO I I:S D NG PHẠ Ử Ụ ƯƠNG PHÁP BI N Đ I TẾ Ổ ƯƠNG ĐƯƠNG

Ví d 5.ụ Ch ng minh r ng trong ứ ằ ABC tho mãn: ả sin 22 Asin 22 Bsin 22 C2 (1) thì
ABC vng.

Ta có: sin2A + sin2B +sin2C =2+2cosA.cosB.cosC

T (1) suy ra cosA.cosB.cosC =0 ừ 

BC
0

cos
0
cos

0
cos

A
C

B
A















vng

Ví d 6.ụ Cho tam giác ABC thoã mãn h th c rệ ứ c = r + ra + rb (2) v i rớ a là bán kính đường

trịn bàng ti p.Ch ng minh r ng ế ứ ằ ABC vuông.

Gi i: ả +) Ta có S = pr

S
r

p
 

và S = (p-a) ra a
S
r

p a

 



+) Khi đó (2) tương đương v i ớ p a
S

 = p c

S
b
p

S
P
S






c
p
b
p
p
a

p     

 1 1 1 1

)
)(
(
)
(
)
)(
(
)
(

)
(

c
p
b
p

a
a

p
p

a
c

p
b
p

b
p
c
p
a
p
p

a
p
p


















)
)(

(
)
)(

(abc bc a  ac b ab c


2
2
2
2
2
2

2
2

2 ( ) ( ) ( ) 2

)

(bc  a a  b c  bc  b c  a  a b c



ABC vuông.

+) N u áp d ng h th c c b n trong tam giác, ta cóế ụ ệ ứ ơ ả

rc = ptg

, ( ) tan , tan , tan

2 2 a 2 b 2

C C A B

r  p c r p r b

T (2) ta đừ ược ptg 2 ( ) tan 2 tan 2 tan 2

C C A B

p c p p

   

tan tan tan

2 2 2

C A B

c p

  

(2’)

+) M t khác p = R(sinA+ sinB + sinC)=4Rcosặ 2cos2cos2

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

T (2) ta có 2RsinC.ừ

sin
2

tan 4 .cos .cos .cos .

2 2 2 2 cos cos

2 2

A B

C A B C

R

B C




2 2 2

sin cos tan 1

2 2 2

C C C

   

0
0

90
45

2
1
2
0

2       C

C
C

tg
C

tg

.ABC vuông.

Chú ý: Khi g p 1 bài tốn có ch a các y u t khác c nh và góc ta nên chuy n v bài ặ ứ ế ố ạ ể ề
toán có ch a góc ho c c nh đ gi i, khi đó có nhi u cơng c đ gi i h n.ứ ặ ạ ể ả ề ụ ể ả ơ

LO I II: S D NG B T Đ NG TH CẠ Ử Ụ Ấ Ẳ Ứ

Ví d 7.ụ Cho ABC có A, B nh n và tho mãn h th c sinọ ả ệ ứ 2A + sin2B =3 sinC . (1)
Ch ng minh r ng ứ ằ ABC vng.

Gi iả : +) Vì 0 < sinC ≤ 1 nên 3sinC sin2C.
T (1) ừ  sin2 Asin2 Bsin2Ca2b2 c2
2 2 2 2 2 cos 0









 a b a b ab C CosC  C 900.
+) N u C = 90ế 0

 A+ B = 900 sin2A+sin2B= sin2A+cos2A = 1.

+) V y n u ABC là tam giác vuông t i C thì thỗ mãn h th c đã cho.ậ ế ạ ệ ứ

+) N u C < 90ế 0. T gi thi t ta có ừ ả ế

3 sin

2
2
cos
1
2

2
cos
1

C
B

A







 1 - cos (A+B).cos(A-B) = 3 sinC 1cosC.cos(A B)3 sinC (3).

+) Ta có sinC < 1. M t khác do A, B, C nh n nên cosC > 0, cos(A-B) > 0, v y t (3) ta suy ra ặ ọ ậ ừ
đi u vơ lý. Do đó trề ường h p C < 90ợ 0 không x y ra. V y ABC là tam giác vuông t i C.ả ậ ạ

Nh n xétậ :

* N u C = 90ế 0 ta không th l i mà k t lu n ử ạ ế ậ

ABC vuông là khơng ch t chẽ. Vì ặ ABC ch a ư
ch c tho mãn (1).ắ ả

* N u xét trế ường h p C < 90ợ 0 ta đi đ n k t lu n lo i trế ế ậ ạ ường h p này. T đây ta ph i có C = ợ ừ ả

900, khơng c n th l i.ầ ử ạ

* Đi m quan tr ng c a bài t p này là ch v i a ể ọ ủ ậ ở ỗ ớ  R, 0 <a ≤1 thì ta có an > am , 1 < n < m,
n,m Q. T đ y bài tốn (1) có th m r ng n u sinừ ấ ể ở ộ ế 2A + sin2B = n sinC,n1 thì ABC
vng.

Bài t p t luy nậ ự ệ

Ch ng minh r ng ứ ằ ABC là tam giác vuông n u tho m t trong các đi u ki n sauế ả ộ ề ệ
Bài 1: cos2A + cos2B + cos2C = -1.

Bài 2: a) sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

b) sinA + sinB + sinC = 1- cosA + cosB + cosC.
Hướng d n: Ch ng minh vuông t i C.ẫ ứ ạ

Bài 3: B C

a
c

c
B
b

sin
sin

cos

cos   

Hướng d n: A p d ng đ nh lý hàm sinẫ ụ ị

Bài 4: r(sinA + sinB)= 2. .sin 2cos 2

B
A
B

c 

Hướng d n: Ta s d ng h th c c b nẫ ử ụ ệ ứ ơ ả

r = 4Rsin 2.sin 2.sin 2 vaøc2RsinC

C
B
A

Bài 5: r + ra + rb + rc = a + b + c

Áp d ng công th c lụ ứ ượng c b n r =ptgơ ả 2, ( ) 2

A
tg
a
p
r
A

a  

p = 4Rcos 2cos2cos 2

C
B
A

và đ nh hàm sin.ị

Hay có th áp d ng cơng th c S = rể ụ ứ c(p-c), S=rp.

Bài 6: 3cosB + 4sinB + 6sinC +8cosC =15 (6)

HD: Áp d ng BĐT Schwartz cho các c p (3,4), (cosB,sinB) và (6,8), (sinC,cosC).ụ ặ

Cách khác: Bài 6 có th v n d ng phép bi n đ i tể ậ ụ ế ổ ương đương và tính ch t b ch n c a ấ ị ặ ủ
hàm sinx, cosx.

(6) 5cos ) 15.

4
sin
5
3
(
10
)
cos
5
3
sin
5
4
(

5    

 B B C C

(6’)

Đ t ặ 5 sin ,0 90 .
3

,
cos
5

4 0





   

Thì t (6ừ ’) ta suy ra

5sin(B+) + 10cos(C-) = 15

ABC
C

B
C

B














 900

1
)
cos(

1
)
sin(




vuông.
Bài 7: sin3A + sin2B = 4sinAsinB. (7)

HD: Dùng công th c bi n đ i t ng thành tích cho v trái và tích thành t ng, rút g n ta ứ ế ổ ổ ế ổ ọ
được cos(A-B).(sinC-1) = cosC

 cos2(A-B).(sin2C-1) = 1 – sin2C.

 (1-sinC)[cos2(A-B)(1-sinC) - 1- sinC] = 0.

Đánh giá cos2(A-B)(1-sinC)- 1 – sinC < 0 T đó suy ra sinC = 1ừ

 C = 900

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

G i ý: Nh n xét v trí c a H và v n d ng t s lợ ậ ị ủ ậ ụ ỉ ố ượng giác c a ủ ABC đ đ a bài toán thành ể ư
bi u th c theo góc.ể ứ

Bài 9: ABC có đ c đi m gì n uặ ể ế
cosA (1 – sinB) = cosB.

G i ý: 1 – sinB và cosB cùng ch a nhân t chung là ợ ứ ử cos2 sin 2

B
B



.
Bài 10: ABC có đ c đi m gì n uặ ể ế

2sin2A – sin2B = sinC + sinC

HD: Dùng phương pháp đánh giá đ gi i.ể ả

BT6. Ch ng minh r ng n u tam giác ABC thoứ ằ ế ả

sin4A + 2sin4B+ 2sin4C = 2sin2A (sin2B + sin2C) (1). Ch ng minh ứ

ABC vuông cân.
Ch đ 3:NH N D NG TAM GIÁC Đ Uủ ề Ậ Ạ Ề

Trong m c này, m t s phụ ộ ố ương pháp hay s d ng đ nh n d ng tam giác đ u nhử ụ ể ậ ạ ề ư
Loại I:Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương

1/ Phương pháp s d ng 9 bài toán nh n d ng tam giác đ u.ử ụ ậ ạ ề

2/ Phương pháp s d ng m nh đ .ử ụ ệ ề 











n
i
A

A

A
n

n

,
1
,
0

0
...

2
1

 A1 = A2 = … =An = 0

3/ Nh n d ng tam giác đ u t m t h đi u ki n.ậ ạ ề ừ ộ ệ ề ệ
Loại II:Sử dụng bất đẳng thức.

LO I I:S D NG PHẠ Ử Ụ ƯƠNG PHÁP BI N Đ I TẾ Ổ ƯƠNG ĐƯƠNG
1. Phương pháp s d ng 9 bài toán c b n nh n d ng tam giác đ u.ử ụ ơ ả ậ ạ ề
*  ABC tho mãn các h th c sau thì ả ệ ứ  ABC là tam giác đ u.ề

a) cos A + cosB + cosC =2
3

f) cotgA + cotgB + cotgC = 3

b) sin 2
A

sin 2
B

sin 2

C
= 8

g) sinA + sinB + sinC = 2
3
3

c) cosA cosB cosC =18 h) cos 2

A

+ cos2

B

+ cos 2

C

= 2

3
3

d) sin2A + sin2B + sin2C = 4

i) sin 2

A

+ sin 2

B

+ sin 2

C
=2

e) tan 2 tan 2 tan 2 3

A B C

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Ví d 8.ụ Gi s ả ử ABC tho mãn đi u ki n: 2(acosA + bcosB + ccosC) = a + b + c. Ch ng ả ề ệ ứ
minh  ABC đ u.ề

Gi i: +) Áp d ng đ nh lý Sin ta có a=2RsinA , b = 2RsinB , c = 2RsinC ( v i R là bán kính ả ụ ị ớ
đường tròn ngo i ti p ạ ế  ABC), h th c đã cho tệ ứ ương đương v i:ớ

2sinA cosA + 2sinB cosB + 2sinCcosC = sinA + sinB + sinC
 sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC (*)

Tacó sin2A + sin2B + sin2C = 2sin(A + B)cos( A – B ) – 2sin( A + B)cos( A + B)
= 2sin (A + B)(cos(A + B) – cos (A + B)) = 4sinAsinBsinC.

Tacó sinA + sinB + sinC = 2sin 2 cos 2 2cos 2cos 2

B
A
C
B

A
B

A 





2 cos cos cos 4 cos cos cos .

2 2 2 2 2 2

C A B A B  A B C

    

 

( ) sin sin sin cos cos cos

2 2 2

8sin sin sin cos cos cos cos cos cos

2 2 2 2 2 2 2 2 2

A B C

A B C A B C A B C

  

 

1
sin sin sin

2 2 2 8

A B C

 

(d ng bài toán c b n). V y ạ ơ ả ậ  ABC đ u.ề
Ví d 9.ụ CMR n u A,B,C là ba góc c a m t tam giác tho mãnế ủ ộ ả


















3
cos
3
cos
3
cos
4

3
8
3
3
cos
3
cos
3

cos3 A 3 B 3C A B C

thì tam giác y đ uấ ề
H th c đã cho tệ ứ ương ng v iứ ớ

.
2
3
cos
cos

cos

2
3
3
cos
3
3
cos
4

3
cos
3
3
cos
4
3
cos
3
3
cos
4

3
cos
3
cos
3
cos
3
2
3
3
cos
4
3
cos
4
3
cos

3
3


























































C
B

A

C
C

B
B

A
A

C
B

A
C

B

A

( d ng bài toán c b n) ạ ơ ả
V y ậ  ABC đ u.ề

2. Phương pháp s d ng m nh đử ụ ệ ề

0
,

1
,
0

0
...

2
1
2



















n
i

n

A
A
A
n

i
A

A
A

A

Ví d 10.ụ Ch ng minh ứ ABC có hahbhc = 9r thì  ABC đ u ề

Ta có ha + hb + hc = 9r 

.
9
1
1
1
2
9
2
2
2

r
c
b
a
S
r
c

S
b

S
a

S















</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

















.
0
0
2
2
2
9
1
1
1
9
1
1
1
2
9

1
1
1
2
2
2
2
c
b
a
ca
a
c
bc
c
b
ab
b
a
c
a
a
c
b
c
c
b
a
b
b

a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
p
r
c
b
a
pr









































































V y ậ  ABC đ u.ề

Ví d 11.ụ CMR n u trong ế  ABC ta có r

p
A
c
C
b
B
a
C
c
B
b
A
a
9
2
sin
sin
sin
cos
cos
cos






( p: n a chu vi, R là bán kính đử ường trịn ngo i ti p ạ ế  ABC) thì  ABC là tam giác đ u.ề

Ta có: (*) 

R
p
R
a
c
R
c
b
R
b
a
C
C
R
B
B
R
A
A
R
9
2
2
.
2
.
2
.
cos

sin
2
cos
sin
2
cos
sin
2










(**).
9
2
sin
2
sin
2
sin
2 2
R
c
b
a
ca
bc
ab
C

B
A

R  








Ta có sin2A + sin2B + sin 2C = 4 sinAsinBsinC =4.2 .2 .2 2R3
abc
R
c
R
b
R
a


(**)  R

c
b
a
R
ca
bc

ab
abc
9
)
(





  (ab + bc+ ca) (a + b + c)=9abc
 a2b + bc2+ ab2 + ac2+ b2c+ a2c = 6abc

 b(a2+c2- 2ac) + a(b2+ c2 - 2bc) + c(a2 + b2 – 2ab)=0

 b(a - c)2 + a(b - c)2 + c(a - b)2 









0
0
0
b
a

c
b
c
a

 a=b=c .
V y ậ  ABC đ u.ề

LO I II: S D NG B T Đ NG TH CẠ Ử Ụ Ấ Ẳ Ứ

- T đi u ki n c a bài toán (thừ ề ệ ủ ường là các h th c, các b t đ ng th c)s d ng các phép ệ ứ ấ ẳ ứ ử ụ
bi n đ i lế ổ ượng giác đ d n đ n m t b t đ ng th c đ n gi n, có th đánh giá để ẫ ế ộ ấ ẳ ứ ơ ả ể ược đi u ề
ki n d u b ng x y ra.ệ ấ ằ ả

- Thi t l p m t h phế ậ ộ ệ ương trình xác đ nh m i quan h gi a các góc, các c nh c a tam giác,ị ố ệ ữ ạ ủ
qua đó nh n d ng đậ ạ ược tam giác.

Ví d 12.ụ Cho  ABC th a đi u ki n ỏ ề ệ cos cos cos sin 2sin 2sin 2
A B

A B C C

(*). Ch ng minh ứ
ABC đ u.ề

Gi i: +) T gi thi t suy ra ả ừ ả ế ABC nh n (cos A > 0, cos B > 0, cos C > 0)ọ

+) Ta có: cosA cosB =







1 cos( )



1
)

cos(
)
cos(
2
1
B
A
B
A
B

A     

=2(1 cos ) sin 2

1 C 2 C




V y 0 < cosA cosB ậ sin 2

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

+) Tương t ta cũng có ự 0 cos cos sin 2;0 cos cos sin 2

2 A C A B

C

B   



Suy ra

2
sin
2
sin
2
sin
cos

cos

cosA B C A B C

+) D u “=” x y ra khi và ch khiấ ả ỉ
2

cos cos

cos( )

cos cos cos( )

cos( )

sin

2 1

si
os cos

n 1

1
sin

A B

A B

B C B C

C A

C A B

C
A







 






 

 

 







 

 


 A = B = C

V y ậ ABC đ uề

Ví d 13.ụ Cho ABC th a đkỏ 












)
cos(
cos

cos

B
A

B

A
A
B

C O

Xác đ nh d ng c a ị ạ ủ ABC ?
T đi u ki n ừ ề ệ CBA900

,
0
sin
sin

0 0









 C B B C cosA0,cosB0
M t khác sin2A + Sin2B =2sin(A+B)cos(A-B)ặ

.
cos
cos

cos
sin
sin
cos

sin
sin

sin
2

cos
sin
2
cos
sin
2
)
sin(
2

2
sin
2
sin

)
cos(

B
A

B
C
B
A

C
A

C

B
B
A

A
B

A
B
A

B
A

















D u “=” x y ra khi và ch khi ấ ả ỉ 





C
B

A

sin
sin

0
cos

ho c SinA = SinB = SinCặ

V y ậ ABC vuông cân t i A ho c đ u.ạ ặ ề
Bài t p t luy nậ ự ệ

BT7. Cho  ABC đ u tho mãn h ng th c: ề ả ằ ứ a2b2 c2 4 3 và 
2

2 ( ) ( )

)

(a b b c c a

S     

. Ch ng minh ứ  ABC là tam giác đ u.ề

BT8. CMR n u trong ế  ABC ta có 2 ha 3
a

c
b  

thì  ABC đ uề

BT9. Cho  ABC tho ả 2







 a b

c
a
c

b
c
b

a

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

BT10.CMR ABC đ u n u ề ế sin 2

1
2
sin

2
sin

1
cos

C
B

A
C

B

A    

BT11.Cho ABC, tho ả

1
3

3 







 








 








 


c
b
a
b

c
a
a

c
b

(1)
CMR ABC đ u khi d u ”=” x y ra.ề ấ ả

BT12.Cho ABC th a ỏ sin sin sin 9 .

cos
cos

cos

R
c
b
a
C
c
B
b

A
a

C
c
B
b
A

a  









(1). CMR ABC đ u.ề

BT13.Cho ABC tho tanả 6 2
A

+ tan6 2

B

+ tan6 2

C
=9

. CMR ABC đ u.ề
BT14.Cho ABC tho 2(lả a + lb + lc) = 3(a + b + c)

CMR ABC đ u.ề

Nh n d ng tam giác đ u b ng cách s d ng bđt Jensenậ ạ ề ằ ử ụ

BT15.CMR  ABC tho ả

12
2
sin

1
2
sin

2
2






C
B

A

thì đ uề
BT16.Cho  ABC nh n tho mãn ọ ả

(tan tan tan )(cot cot cot ) (tan tan tan )(cot cot cot )

2 2 2 2 2 2

A B C A B C

A B C A B C     

Ch ng minh ứ  ABC đ u.ề

Chủ đề 4:NHẬN DẠNG TAM GIÁC KHÁC

Ví d 14.ụ Xác đ nh các góc c a ị ủ  ABC n u: ế 2

3
cos
sin

sinA B C

(1)

Cách 1: (1) 2

3
cos
2

cos
2
sin

2    

 A B A B C 0

2
3
2
cos
2
cos
2

cos    

 C C A B

0
2
1
2
cos
2
cos
2
2
cos

2 2






 C C A B

(1’)

Đ t t = ặ cos 2

2C

t  (0,1)

(1’) 2

1
2
cos
2
2 2





 t A Bt

= 0

Đ t ặ f(t) = 2
1
2
cos
2
2 2



 t A B
t

, t  (0,1)

Ta có: ’ = cos 2 1 0 ( ) 0
2








t
f
B

A

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

0
)
(t 

f 










0
)
2
(
2
a
b
f
a
b
t












1
2
cos
2
cos

2
1
2
cos

2 A B

B
A
C











1
2
cos
2
1
2
cos
B
A

C











0
2
60
2
0
B
A
C








 0
0

30
120
B
A
C

Ví d 15.ụ Cho  ABC tho b(aả 2-b2) = c(c2-a2). Nh n d ng tam giác này.ậ ạ
Ta có b(a2  b2)c(c2  a2) ba2  b3 c3  ca2

)
)(
(
)
(
)

( 2 3 3 2 2 2

c
bc
b
c
b
c
b
a
c
b
a
c

b        



2
2

2 b bc c
a   

0
2
2
2
2 60
2
1
cos
cos
.

2       




b c bc A b bc c A A
Bài này ta cũng có th bi n đ i nh sau:ể ế ổ ư



( 2 .cos )



)
cos
.
2
(
)
(
)

( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

A
bc
c
b
c
c
b
A
bc
c
b
b
a
c
c
b
a

b           

)
cos
2
)(
(
)
cos
.
(
)
cos
2

(c2 bc A c bc A b2 bc2 b2c bc2 b2c A

b       



60
2

cos   

 A A

.
Bài tập tự luyện

Bài 1: Tam giác ABC có đ c đi m gì n u:ẳ ể ế
sin6A + sin6B + sin6C = 0

HD: Dùng phép bi n đ i tế ổ ương đương chuy n v phể ề ương trình tích
Bài 2: Nh n dang tam giác ABC n u thoậ ế ả

3
cos
cos
cos
sin
sin
sin





C
B
A
C
B
A

(2)

Bài 3: Cho tam giác ABC có các c nh tho : ạ ả

2


x x

a , b2x1, cx21, xR. Hãy nh n d ng tam giác ABC.ậ ạ

HD: Xét đi u ki n c a x đ t n t i tam giácề ệ ủ ể ồ ạ

Bài 4: Nh n d ng tam giác ABC bi t: sin5A + sin5B + sin5C = 0ậ ạ ế
HD: Ta bi n đ i tế ổ ương đương đ ng th c trên v d ng:ẳ ứ ề ạ

0
2
5
cos
.
2
5
cos
.
2
5
cos

4 C A B

Bài 5: Tính các B và C của tam giác ABC biết:





cos 2 3 cos 2 cos 2 0

A B C  

M t s h th c l

ộ ố ệ ứ ượ

ng trong tam giác

1 2cos 2cos 2

4
cos
4
sin
sin

sin A B C  A C

2. sin2Asin2Bsin2C4sin A.sinB.sinC

3. sin2 Asin2 Bsin2C2(1cosA.cosB.cosC)

4. cos cos cos 1 4sin 2sin 2sin 2

C
B
A
C

B

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

5. tan AtanBtanCtan A.tanB.tanC (ABC không là tam giác vuông)
6. cot .cotA Bcot .cotB Ccot .cotC A1

7. tan 2.tan 2 tan 2.tan 2 tan 2.tan 2 1

A
C
C

B
B

A

8. tan 2 tan 2 tan 2 tan 2. tan 2. tan 2

C

Co
B
Co
A
Co
C
Co
B
Co
A

Co   

9. S

a
c
b
A
Co

4
tan

2
2
2






(Đ ng th c hàm Côsin suy r ng)ẳ ứ ộ

M t s b t đ ng th c l

ộ ố ấ ẳ

ứ ượ

ng trong tam giác:

1. 2

3
cos
cos

cosA B C

2. 8

1
2
sin
2
sin
2

sin A B C 

3. 8

1
cos
.

cos
.

cosA B C

4. 4

9
sin

sin

sin2 2 2




 B C

A

5. 2

3
3
sin
sin

sin A B C

6. 2

3
3
2
cos
2
cos
2

cosA B C 

7. 2

3
2
sin
2
sin
2

sin A B C 

8. tan 2 tan 2 tan 2  3

C
B

A

9. cotAcotBcotC 3

</div>

Đề thi thử THPT quốc gia





























































M t s h th c l

ộ ố ệ ứ ượ

ng trong tam giác

M t s b t đ ng th c l

ộ ố ấ ẳ

ứ ượ

ng trong tam giác:

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về