Tạp chí Toán học tuổi thơ kỳ số 145

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1></div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2></div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2

Lêi gi¶i.

KĨ EN CD (N BC), kĨ DK BE (K BC). Gải
F lộ giao ệiÓm cựa BE vộ DN, G lộ giao ệiÓm cựa
EN vộ CD. Ta cã CEN cẹn tỰi C nến EG GN.
Do ệã tam giịc DEN cẹn tỰi D (vừ cã ệđêng cao
ệăng thêi lộ ệđêng trung tuyạn) nến

Suy ra DN là tia phân giác của (1)
Gọi I là giao điểm của KE và CD.
Tam giác DEK cân tại E nên

Tam giác IEN cân tại I nên

Do ú IN là tia phân giác của (2)

Tõ (1) vộ (2), ta cã DN lộ ệđêng phẹn giịc trong vộ
IN lộ ệđêng phẹn giịc ngoội cựa tam giịc KDI nến
KN lộ ệđêng phẹn giịc ngoội cựa tam giịc KDI.
Suy ra

Ta l¹i cã

Suy ra
Do đó
Suy ra

NhẺn xĐt. Bội toịn nộy tđểng ệèi khã vộ viỷc vỳ
hừnh còng khềng ệển giờn vừ ngoội tÝnh
ệđĩc khị ệển giờn, ta chđa biạt sè ệo cịc gãc B

vộ C. Viỷc kĨ thếm DK BE lộm xuÊt hiỷn cịc
tam giịc cẹn BDK vộ EDK, viỷc kĨ thếm EN CD
lộ xuÊt hiỷn cịc tam giịc cẹn DNE vộ IEN. Tõ ệã,

biạt , ta tÝnh ệđĩc vộ

ệi ệạn mét phịt hiỷn quan trảng: Tam giịc KDI cã
N lộ giao ệiÓm cựa ệđêng phẹn giịc trong DN vộ
ệđêng phẹn giịc ngoội IN. ậã lộ ệiÓm mÊu chèt
ệÓ giời bội toịn nộy.

Bµi tËp

Bội 1. Cho ABC vuềng cẹn tỰi A, ệiÓm D thuéc
cỰnh AC sao cho Gải H lộ hừnh chiạu
vuềng gãc cựa C trến ệđêng thỬng BD. TÝnh
Bội 2. Cho ABC vuềng tỰi A, ệiÓm M
thuéc cỰnh BC sao cho AB BM AC CM. TÝnh
Bội 3.TÝnh sè ệo gãc A cựa ABC, biạt AB 4 cm,
AC 6 cm, ệđêng trung tuyạn AM 7 cm.

AMC.

o
B 60 ,

BAH.
o

ABD 35 .

2 3 2 3 1 2 3
D , D , E , E , I , I , I
1 1

D , E

o
A 96
o

C 12 .

o o o o

1 3 3 2

C K D D 54 24 24 6 .
o

1
B 2B 72 ;

o o o o

1 3

B 90 K 90 54 36 .

o

3 1 4

o o o

K K (180 K ) : 2
(180 72 ) : 2 54 .

o o o o

4 2

K 90 E 90 18 72

1 2 3

K K K .

KIC.

o o o o o

2 1 3 3

I I 90 E 90 30 60 I 60 .

o o

2 1 3 1

o

1 1 2

o o o o o

E E 18 E 90 I
90 (D E E )

90 (24 18 18 ) 30 .
KDC.

o o o

2 1 3 1 1 1 2

o o o o o

2

D D 24 D 90 F 90 (E D D )
90 (18 24 24 ) 24 D .

Tiạp theo kừ trđắc

Kẻ đường vng góc

ĐỂ TÍNH SỐ O GểC

NGND. Vũ Hữu Bình(Hà Nội)

Ví dụ 4.Cho tam gic ABC, cịc ệđêng phẹn giịc BE vộ CD. Biạt vộ TÝnh sè ệo
cịc gãc B vộ C cựa tam giịc ABC.

o
BED 18 .
o

CDE 24

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

3

8.Ta ệịnh sè cịc quờ bãng tõ 1 ệạn 7. ẻlẵn cẹn
thụ nhÊt, ệẳt quờ bãng sè 1 vộ sè 2 vộo hép thụ
nhÊt, quờ bãng sè 3 vộ sè 4 vộo hép thụ 2 vộ quờ
bãng sè 5, sè 6 vộ sè 7 vộo hép thụ 3. ậÌn ệá ẻ
hép thụ 3 khềng bẺt sịng. Xờy ra ba trđêng hĩp:

TH 1. Khơng có đèn nào bật sáng.

Khi đó một trong ba quả bóng số 5, số 6 và số 7
là quả nặng nhất. ởlần cân thứ hai để quả bóng
số 5 vào hộp thứ nhất, đặt quả bóng số 6 vào hộp
thứ 2 và đặt hai quả trong 5 quả còn lại vào hộp
thứ 3. Khi đó đèn đỏ ở hộp thứ 3 khơng bật sáng.
Nếu khơng có đèn nào bật sáng thì quả bóng số
7 là quả nặng nhất. Nếu đèn đỏ ở hộp thứ nhất bật
sáng thì quả số 6 là quả nặng nhất. Nếu đèn đỏ ở
hộp thứ hai bật sáng thì quả bóng số 5 là quả
nặng nhất.

TH 2. Đèn đỏ ở hộp thứ hai bật sáng.

Khi ệã mét trong hai quờ bãng sè 3 vộ sè 4 lộ quờ
nẳng nhÊt. ẻlẵn cẹn thụ hai ệÓ quờ bãng sè 3 vộo
hép thụ nhÊt, ệÓ quờ bãng sè 4 vộo hép thụ hai vộ
ệÓ hai quờ trong 5 quờ bãng cưn lỰi vộo hép thụ
ba. ậÌn ệá ẻ hép thụ nhÊt hoẳc hép thụ hai sỳ bẺt
sịng vộ quờ bãng nẳng nhÊt sỳ ệđĩc từm ra.

TH 3. Đèn đỏ ở hộp thứ hai bật sáng.

Tđểng tù nhđ trđêng hĩp 2. Quờ bãng nẳng nhÊt
lộ quờ sè 1 hoc số 2.

9.a) Ta có năm cách ghép ba hình TIN, LON, LIT,
LNT vµ NIL nhð sau:

b) Ta cã mét cách ghép ba hình ION nh sau:

10.Chú ý rằng A, B và D khác 0. Ta có
10A B A2C (1)

10D E CF (2)

10B G H I FG (3)

Tõ (1) ta cã, nÕu A 1 th× 10 10 B C 9 (vô lí).

Nếu A 2 thì 20 B 4C. Ta có B 4 và C 6
hoặc B 8 và C 7.

Nếu A 3 thì 30 B 9C. Ta cã B 6 vµ C 4.
NÕu A 4 th× 40 B 16C. Ta có B 8 và C 3.
Giả sử B 8 th× H I 7 9 16 vµ FG 7.9 63.
Tõ (3) suy ra 80 80 G H I FG 16 63

79 (loỰi). Ta xĐt hai trđêng hĩp sau
TH 1. B 4.

Khi đó A 2 và C 6. Từ (2) ta có 10D E 6F.
Từ đó E là số chẵn.

a) E 0.

Từ (2) thì F 5 và D 3, chỉ còn lại các chữ số
1, 7, 8 và 9. Từ (3) ta có 40 H I 4G. Do đó
G 8 và {H, I} {1, 7}.

b) E 8.

Tõ (2) th× F 3 và D 1, chỉ còn lại các chữ số 0,
5, 7 vµ 9. Tõ (3) ta cã 40 H I 2G 40 (lo¹i).

TH 2. B 6.

Khi đó A 3 và C 4. Từ (2) ta có 10D E 4F.
Từ đó E là số chẵn.

a) E 0.

Từ (2) thì F 5 và D 2, chỉ còn lại các chữ số 1,

7, 8 và 9. Tõ (3) ta cã 60 H I 4G 60 (loại).
b) E 2.

Từ (2) thì F 3 và D 1 hoặc F 8 và D 3, chỉ
còn lại các chữ số 1, 7, 8 và 9. Không thỏa mÃn vì
A 3.

c) E 8.

Tõ (2) ta cã hai khờ nẽng. Nạu F 2 vộ D 1, tõ
(3) ta cã 60 H I G 30 (loỰi). Giờ sỏ F 7
vộ D 2, chử cưn lỰi cịc chọ sè 1, 5, 8 vộ 9. Tõ (3)
ta cã 60 H I 6G. Khềng xờy ra trđêng hĩp
G 9 vừ D 1.

Do đó A 2, B 4, C 6, D 3, E 0, F 5, G 8,
{H, I} {1, 7} và J 9.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

4

Nhận xét.Bài toán sai ngay từ việc giải điều kiện
xác định của biểu thức: x 0, y 0.

Điều kiện đúng phải là: x 0, xy 0.
Lời giải đúng.ĐKXĐ: x 0, xy 0.

Khi x 0 th× A y 2014. Ta thấy A có thể nhỏ tùy
ý nên không tồn tại giá trị nhỏ nhất của A.

Nhn xt.Một số bn khềng từm ệóng chẫ sai
cựa lêi giời ệở cho. Mét sè bỰn tuy từm ệóng chẫ

sai lỰi mớc lẫi sỏa lêi giời chđa ệóng. Lđu ý rỪng
khi x 0, A khềng cã giị trỡ nhá nhÊt thừ ta khềng
cẵn xĐt trđêng hĩp x 0 nọa.

Anh KÝnh Lóp trao thđẻng kừ nộy cho cịc bỰn sau:

ậinh Thỡ Hăng Nhung, 9A1, THCS Lế Danh
Phđểng, Hđng Hộ, Thịi Bừnh;NguyÔn Vẽn Cao,
9B, THCS NguyÔn Thđĩng HiÒn, ụng Hưa; TỰ Lế
Ngảc Sịng, 8A, THPT chuyến Hộ Néi - Amsterdam,
Cẵu GiÊy, Hộ Néi.

Cịc bỰn sau còng cã lêi giời tèt, ệđĩc khen:

Vđểng Tiạn ậỰt, ậẳng Thanh Tỉng, 9B, THCS
NguyÔn Thđĩng HiÒn, ụng Hưa, Hộ Néi; Lế
Quang Trung, 9A4, THCS GiÊy Phong Chẹu, Phỉ
Ninh, Phó Thả; Lế Thỡ Dung, 9E1, THCS Vỵnh
Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc.

anh kÝnh lóp

NhẺn xĐt. Lêi giời ệở cho sai ẻ chẫ khỬng ệỡnh
MAC, MBD lộ nhọng tam giịc. ậiỊu nộy khềng
ệóng khi M thc ệđêng chĐo AC hoẳc M thuéc
ệđêng chĐo BD. Do ệã cịc khỬng ệỡnh MA MC

AC vµ MB MD BD lµ sai.

Hển nọa, ngay cờ khi P lắn hển mét hỪng sè thừ

cịng chđa thĨ kạt luẺn ệđĩc rỪng A khềng cã giị
trỡ nhá nhÊt.

Lời giải đúng.Ta có

MA MC AC vµ MB MD BD.
Suy ra P MA MB MC MD

(MA MC) (MB MD) AC BD.

P AC BD khi vộ chử khi M thuéc cịc ệoỰn
thỬng AC, BD hay M lộ giao ệiÓm cựa hai ệđêng
chĐo AC, BD.

VẺy P ệỰt giị trỡ nhá nhÊt lộ AC BD, ệỰt ệđĩc khi
vộ chử khi M lộ giao ệiÓm cựa AC vắi BD.

NhẺn xĐt.Hẵu hạt cịc bỰn ệỊu ệở “sỏa cho ệóng”
lêi giời sai ệở nếu nhđng chđa chử ra ệđĩc hạt ý
“sai ệẹu” cựa lêi giời ệã. Phẵn thđẻng kừ nộy gịc
lỰi kừ sau.

anh kÝnh lóp
Bội toịn.Cho hai ệđêng trưn (O) vộ (O’) cớt nhau tỰi A vộ D. Mét cịt tuyạn
(d) quay quanh A cớt (O) tỰi B vộ cớt (O’) tỰi C. Xịc ệỡnh vỡ trÝ cựa (d) ệÓ tững
AB AC lộ ln nhất.

Lời giải.

Ta thấy A nằm giữa B và C AB AC BC.

Vỳ ệđêng kÝnh AE cựa (O) vộ ờng kính AF ca (O).

Vì nên

Do ú E, D, F thng hng.

Mặt khác, vì nên tứ giác BCFE
là hình thang vuông tại B và C.

Do ú BC EF.

Mà EF cố định nên AB AC lớn nhất khi và chỉ
khi BC lớn nhất hay BC EF. Khi đó (d) // EF hay
d AD tại A.

Theo bạn bài giải trên đã hồn chỉnh chða?

NGUN §øC HảO

(GV. THCS Lam Sơn, Q. 6, TP. Hồ Chí Minh)

o
ABE ACF 90

o
ADE ADF 180 .
o

ADE ADF 90

(TTT2 sè 142)

ĐÃ HOÀN CHỈNH CHƯA?

CĨ CHĂNG ĐÃ NHẦM LẪN

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

5

(TTT2 số 143)
Nhận xét.Quy luật kì này không khó, hầu hết c¸c

bạn tìm đúng kết quả nhðng các bạn khơng nêu rõ
quy luật thành lời hoặc nêu chða chính xác.
Quy luật.

Bội 1.XĐt hai dởy sè: 1, 1, 2, 3, 5, 8, … (F)
2, 3, 5, 7, 10, 14, … (*)
Ta thÊy mẫi sè hỰng cựa dởy (*) bỪng sè hỰng
ẻ vỡ trÝ tđểng ụng cựa dởy (F) céng vắi sè thụ tù
cựa nã. Sè hỰng tiạp theo (sè hỰng thụ 7) cựa dởy
(F) lộ 13, do ệã sè hỰng tiạp theo cựa dởy (*) lộ
13 7 20.

Bài 2.Các phân số của dãy đều có tử số bằng 1,
mẫu của phân số thứ n bằng n! 1 (với n!
1.2.3...n, đọc là n giai thừa). Theo quy luật đó,
mẫu của phân số thứ 6 là 6! 1 721 và phân số
tiếp theo của dãy là .

Cịc bỰn ệđĩc trao thđẻng kừ nộy: NguyÔn TuÊn
Anh, 7A2, THCS Yến LỰc, Yến LỰc, Vỵnh Phóc;

Dđểng Trung Kiến, PhỰm ậục Dòng, 7C, THPT
chuyến Hộ Néi - Amsterdam; PhỰm Hoộng Hời,
6A8, THCS Yến Hưa, Cẵu GiÊy, Hộ Néi;NguyÔn
Vẽn Thanh Sển, 7/1, THCS NguyÔn Khuyạn, Hời
Chẹu,ậộ Nơng.

Cịc bỰn sau ệđĩc khen: NguyÔn Vẹn Hđểng, 6A,
THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến, Vỵnh Phóc;Trỡnh
Tỉng Huy, 8A4, THCS Trẵn ậẽng Ninh, TP. Nam
ậỡnh, Nam ậỡnh; ậđêng Minh Quẹn, 6C, THCS
BỰch Liếu, Yến Thộnh, Nghỷ An; Lý Thộnh
Trung, 9A4, THCS Phđắc Bừnh, TX. Phđắc Long,
Bừnh Phđắc; Lế Hoộng Mai Anh, 8A6, THCS
Thùc hộnh Sội Gưn, Q. 5, TP. H Chí Minh.

NGUYễN XUÂN BìNH

T DY S FIBONACCI

Chn mét hừnh ẻ dđắi ệĨ ệiỊn vộo chẫ trèng.

§inh Thu(sðu tÇm)

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

6

Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2008
có bài tốn bất đẳng thức sau

Bài toán 1. Cho x, y, z là các số thực không âm,
đôi một khác nhau. Chứng minh rằng

.

Bội toịn trến lộ mét bội bÊt ệỬng thục hay vộ khã
vộ chử cẵn dỉng kiạn thục THCS ệÓ giời. Trời qua
thêi gian, nhiÒu bội toịn lÊy ý tđẻng tđểng tù bội
toịn trến vÉn xuÊt hiỷn trong cịc kừ thi chản ệéi
tuyÓn hảc sinh giái. Trong quị trừnh giờng dỰy
chóng tềi ệở bớt gẳp nhọng bội toịn liến quan ệạn
bội toịn nộy vộ trẹn trảng giắi thiỷu cỉng bỰn ệảc.
Nhđng trđắc tiến chóng ta sỳ nãi ệạn phđểng
phịp tham sè hãa ệÓ giời bội toịn ệở trến.

Lêi giời.Vừ vai trư x, y, z lộ nhđ nhau nến khềng
mÊt tững quịt ta cã thÓ giờ sỏ x y z 0.
ậẳt x z a, y z b (a b 0). BÊt ệỬng thục
cẵn chụng minh tđểng ệđểng vắi

Dấu đẳng thức xảy ra khi

Bài toán 2. Cho x, y, z là các số thực đôi một khác
nhau. Chứng minh rằng

(Đề thi chọn đội tuyển Phú Thọ năm 2014)

Lời giải. Đặt x y a, y z b (a, b 0) thì bất
đẳng thức cần chứng minh trở thành

Dấu đẳng thức xảy ra khi a b x z 2y.
Bài tập

Bài 1. Cho x, y, z là các số thực không âm đôi một
phân biệt. Chứng minh rằng

(Đề thi chọn đội tuyển Đại học Sð phạm Hà Nội
năm 2015)

Bài 2.Cho x, y, z là các số thực đôi một phân biệt.
Chứng minh rằng

2 2 2

x y y z z x 9 _.

x y z
(x y) (y z) (z x)

2

2 2

2 2

2

2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

Ta cã (a b) (a b)

2 a b
a b

1

(a b) 8 8;

(a b)
a b 1 a_; b _2.

2

(a b) b a

1 1 a b a b

(a b) 3

a b (a b) b a

1 27

8 2 3 .

2 2

2 2 2 2

2

2 2 2 2 2

1 1 a b a b 27

(a b) 3 .

2
a b (a b) b a

2 2 2

2 2 2

(x y z xy yz zx)

1 1 1 _27.

4
(x y) (y z) (z x)

2 2

z 0

z 0 z 0

3 5

x y.

ab (a b) xy (x y)

2

2

2 2 2

2 2 2 2

2

2
2

2

1 1 1

Ta cã (3z 2z(a b) ab)

a b (a b)

1 1 1 a b ab

ab

b a

a b (a b) (a b)

(a b) ab ₂
ab _{(a b)}

(a b) ab

2 2 4.

ab _{(a b)}

2 2 2

2

2 2 2

1 1 1 _{((z a)(z b) z(z a)}
a b (a b)

z(z b)) 4

1 1 1 _(3z _{2z(a b) ab) 4.}
a b (a b)

2 2 2

1 1 1 4

xy yz zx
(x y) (y z) (z x)

XUNG QUANH BAØI TỐN

BẤT ĐẲNG THỨC

THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NAấM 2008

Kiu ỡnh minh

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

7

Câu 1.Tính giá trị cđa biĨu thøc:

a) A 2 5 8 ... 2012.

C©u 2.a) Tìm các số nguyên x, y biết 2x(3y 2) (3y 2) 55.

b) Chøng minh r»ng (víi n lµ số tự nhiên lớn hơn 2).

Câu 3. Cho biểu thức

a) Rót gän A.

b) Tìm số ngun n để A nhận giá trị là số nguyên.

c) Tìm số nguyên n để phân số A sau khi rút gọn ở phần a là phân số tối giản.

Cẹu 4. Từm sè nguyến tè cã hai chọ sè (a b 0), sao cho lộ sè chÝnh phđểng.
Cẹu 5. Cho nỏa mẳt phỬng bê AB chụa hai tia Ox vộ Oy (O nỪm giọa A vộ B).

a) VÏ tia OC t¹o víi tia OA mét gãc b»ng ao, tia OD là tia tạo với tia OC một góc bằng (a 10)ovà tạo
với tia OB một góc bằng (a 20)o. TÝnh ao.

b) TÝnh , biÕt vµ

c) Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với khi
Câu 6. Cho A 102014 102013 102012 102011 8.

a) Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 24.

b) Chụng minh rỪng A khềng phời lộ sè chÝnh phđểng.

o
AOC a .
xOD

o
BOy 48 .
o

AOx 22
xOy

ab ba
ab

2n 1 3n 5 4n 5

A .

n 3 n 3 n 3

2 2 2 2

1 1 1 _... 1 1
4

4 6 8 (2n)

1 1 1 1

b) B 1 1 1 ... 1 .

2 3 4 2014

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN

Thời gian làm bài:120 phút (không kể thời gian giao đề)

MÃ ĐỀ: RDKTH013

Bài 3. Cho x, y, z là các số khơng âm đơi một
phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 4.Cho x, y, z là các số thực đôi một phân biệt.
Chứng minh rằng

2 2

2

x y y z z x _1.

x z y x z y

1 1 1

A (x y z) .

x y y z z x

2 2 2

2 2 2

1 1 1 9

(x y z ) .

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

8

1.Gải sè cẵn từm lộ x. Ta xĐt hai trđêng hĩp sau:

TH 1. Chử cã mét phĐp nhẹn hoẳc chia. Vừ phĐp
nhẹn vộ chia lộ hai phĐp tÝnh ngđĩc lỰi cựa nhau
nến ta giờ sỏ chử cã phĐp nhẹn. Ta xĐt ba khờ
nẽng sau:

a) Nếu phép nhân là phép tính đầu tiên thì hai
phép tính còn lại là phép trừ.

Ta cú 3x 3 3 x, từ đó x 3.

b) Nếu phép nhân là phép tính xuất hiện thứ hai
thì phép tính đầu tiên khơng thể là phép cộng. Do
đó phép tính đầu tiên là phép trừ.

Nếu phép tính thứ ba là phép cộng thì 3(x 3) 3 x,
từ đó x 3.

Nếu phép tính thứ ba là phép trừ thì 3(x 3) 3 x,
từ đó x 6.

c) Nếu phép nhân là phép tính xuất hiện thứ ba thì
hai phép tính còn lại phải là phép trõ.

Ta có 3(x 3 3) x, từ đó x 9.
TH 2. Chỉ có một phép cộng hoặc trừ.

Vừ phĐp céng vộ trõ lộ hai phĐp tÝnh ngđĩc lỰi cựa

nhau nến ta giờ sỏ chử cã phĐp trõ. Ta xĐt ba khờ
nẽng sau:

a) NÕu phÐp trõ lµ phÐp tÝnh đầu tiên thì hai phép
tính còn lại là phép nhân.

Ta có 3(3(x 3)) x, từ đó

b) Nạu phĐp trõ lộ phĐp tÝnh xuÊt hiỷn thụ hai thừ
phĐp tÝnh ệẵu tiến khềng thÓ lộ phĐp chia. Do ệã
phĐp tÝnh ệẵu tiến lộ phĐp nhẹn, sau hai phĐp tÝnh
ta ệđĩc 3x 3. PhĐp tÝnh thụ ba phời lộ phĐp nhẹn,
tõ 3(3x 3) x, tõ ệã

c) NÕu phép trừ là phép tính xuất hiện thứ ba thì
hai phép tính còn lại phải là phép nhân.

Ta cú 3(3x) 3 x, t ú

Vậy các số cần tìm lµ vµ 9.

2.Chó ý rỪng tững tuữi cựa tịm ngđêi lộ 8 15 120.
Tững tuữi cựa hai ngđêi lắn tuữi thụ tđ vộ thụ nẽm
lộ 22. Ta cã ba cịch ệĨ biĨu diƠn 22 bỪng tững
cựa hai sè nguyến tè.

TH 1. Sè 22 11 11.

Vừ cã ba ngđêi 19 tuữi nến nhọng ngđêi cưn lỰi
ệÒu Ýt hển 11 tuữi. Tững tuữi cựa ba ngđêi trĨ nhÊt

lộ 120 2.11 3.19 41. Nhđng tững cựa ba sè
nguyến tè nhá hển 11 lắn nhÊt lộ 7 7 7 21.
Trđêng hĩp nộy khềng xờy ra.

TH 2. Sè 22 5 17.

Tuữi cựa bèn ngđêi trĨ nhÊt chử cã thÓ lộ 2, 3 vộ 5.
Vừ cã ba ngđêi 19 tuữi vộ mét ngđêi 17 tuữi nến
lộm tđểng tù nhđ trđêng hĩp 1 thừ trđêng hĩp nộy
khềng xờy ra.

TH 3. Sè 22 3 19.

Bèn ngđêi Ýt tuữi nhÊt chử cã thÓ 2 tuữi hoẳc 3 tuữi.
ậÓ tuữi cựa ngđêi lắn tuữi nhÊt lộ sè nguyến tè thừ
phời cã hai ngđêi 2 tuữi vộ hai ngđêi 3 tuữi.
Tuữi cựa ngđêi lắn tuữi nhÊt lắn nhÊt cã thÓ lộ
120 2.2 2.3 3.19 53.

3.Mẫi sè trong cịc hừnh lơc giịc ệỊu chử ệđĩc tÝnh
mét lẵn trõ ba sè ẻ ệửnh cựa tam giịc. ậÓ tững cịc
sè trến cịc cỰnh cựa tam giịc bỪng nhau vộ nhá
nhÊt thừ ba sè ẻ ệửnh lộ 1, 2 vộ 3.

Vừ 1 4 7 1 2 3 6 vộ 6 : 3 2 nến tững
nhá nhÊt lộ 19 2 17. Cịc sè ệđĩc ệiỊn nhđ sau:

§Ĩ tổng các số trên các cạnh của tam giác bằng
3 9 27_{, , ,3,6}

8 8 8

3
x .

8
9
x .

8
27

x .

8

DTH(Dịch và giíi thiƯu)

LỜI GIẢI ĐỀ THI OLYMPIC

TỐN HỌC TRẺ QUỐC TẾ TẠI ĐAØI LOAN

(TAIMC 2012)

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

9

nhau vộ lắn nhÊt thừ ba sè ẻ ệửnh lộ 7, 8 vộ 9.
Vừ 7 8 9 1 4 7 12 vộ 12 : 3 4 nến tững
lắn nhÊt lộ 19 4 23. Cịc sè ệđĩc ệiÒn nhđ sau:

4.Ta chia lộm ba trđêng hĩp sau:

TH 1. TÊt cả các điểm có màu giống nhau. Có
hai cách tô màu da cam hoặc xanh lá cây.

TH 2. Tất cả các điểm cùng màu đứng gần
nhau. Giả sử tất cả các điểm màu da cam đứng
bên trái các điểm màu xanh lá cây. Ta có 2011
cách tô màu cho 2011 điểm. Nếu các điểm màu
xanh lá cây ở bên trái ta cũng có 2011 cách tơ
màu.

TH 3. Cã hai ệiĨm nộo ệã cỉng mộu nhđng
khềng ệụng liỊn nhau. Giờ sỏ cã hai ệiĨm A vộ C
cỉng mộu da cam liến tiạp mộ giọa chóng cã Ýt
nhÊt mét ệiÓm mộu xanh lị cẹy. Khi ệã sè ệiÓm
mộu xanh lị cẹy nỪm giọa hai ệiÓm A vộ C lộ sè
chơn (vừ nạu ngđĩc lỰi sỳ tăn tỰi mét ệiÓm D mộu
xanh lị cẹy mộ AC CB). Khi ệã A hoẳc C lộ hai
ệiÓm ẻ ngoội nhÊt vộ giọa chóng lộ 2010 ệiĨm
mộu xanh lị cẹy. Cã hai cịch ệÓ tề mộu trong
trđêng hĩp nộy.

VËy sè cách tô màu là 2 4022 2 4026.
5.Gọi số cần tìm là , với a, b, c và d là các
chữ số và a khác 0.

Ta có 100ab 110ac 111ad 10bc 11bd cd
666. Do ệã d khịc 0. Chóng ta xĐt cịc trđêng
hĩp sau:

TH 1. ad 6.

Từ đó 111ad 666 và tất cả các số hạng khác
bằng 0, từ đó ta có b c 0. Ta có các số 1006,
2003, 3002 và 6001.

TH 2. ad 5.

Từ đó ta có 511b 551c 10bc 111 hoặc
155b 115c 10bc 111. Do đó b c 0 (loại).

TH 3. ad 4.

a) Nếu a 4 và d 1 thì 411b 441c 10bc 222.
Từ đó b c 0 (loại).

b) Nếu a 1 và d 4 thì 144b 114c 10bc 222.
Từ đó b 0 hoặc c 0 (loại).

c) NÕu a d 2 th× 222b 222c 10bc 222. Tõ

đó b 0 và c 1 hoặc b 1 và c 0. Ta có hai số
2012 hoặc 2102.

TH 4. ad 3.

a) Nếu a 3 và d 1 thì 311b 331c 10bc 333.
Từ đó b 1 hoặc c 1 (loại).

b) Nếu a 1 và d 3 thì 133b 113c 10bc 333.

Từ đó b c chia cho 10 dð 1 (loại).

TH 5. ad 2.

a) Nếu a 2 và d 1 thì 211b 221c 10bc 444.
Từ đó b c chia cho 10 dð 4 (loại).

b) Nếu a 1 và d 2 thì 122b 112c 10bc 444.
Từ đó b c chia cho 5 dð 2 (loại).

TH 6. ad 1.

Khi ệã a d 1 vộ 111b 111c 10bc 555. Tõ
ệã b 0 vộ c 5 hoẳc b 5 vộ c 0, tõ ệã ta ệđĩc
hai sè 1051 vộ 1501.

VËy c¸c sè cần tìm là 1006, 1051, 1501, 2003,
2012, 2102, 3002 vµ 6001.

6.Chó ý r»ng 8 7 1 (3 1)(1 1)

(1 1)(1 1)(1 1). Ta xĐt cịc trđêng hĩp sau:
TH 1. 2n p7vắi p lộ sè nguyến tè.

Tõ ệã p 2, nhđng 3n 3.26cã (1 1)(6 1) 14
đắc dđểng (loỰi).

TH 2. 2n p3.q víi p, q lµ số nguyên tố khác
nhau.

* Nu q 2 p. Nạu p 3 thừ 3n 34cã 4 1 5
đắc dđểng. Nạu p 3 thừ 3n 3q3cã (1 1)(3 1)

8 đắc dđểng.

* Nạu p 2 q. Nạu q 3 thừ 3n 22.32 cã
(2 1)(2 1) 9 đắc dđểng (loỰi). Nạu q 3 thừ
3n 22.3q cã (2 1)(1 1)(1 1) 12 đắc dđểng
(tháa mởn). Tõ ệã 12n 24.3q cã (4 1)(1 1)(1 1)

20 đắc dđểng.

TH 3. 2n pqr víi p, q và r là số nguyên tố khác
nhau.

Ta gi sỏ r 2 vộ q p. Nạu q 3 thừ 3n 33p cã
(2 1)(1 1) 6 đắc dđểng. Nạu q 3 thừ 3n 3pq
cã (1 1)(1 1)(1 1) 8 đắc dđểng (loỰi).
VẺy 12n có 20 c dng.

7.Ta chia hình tròn nh sau:
abcd

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

10

Câu 1.Vì (a b c)2 a2 b2 c2nên

ab bc ca a2 2bc a2 bc ca ab
(a b)(a c)

Chụng minh tđểng tù răi céng theo vạ ta ệđĩc

víi P a2(c b) b2(a c) c2(b a)
a2(c b) b2(a c) c2[(c b) (a c)]
(c b)(a2 c2) (a c)(b2 c2)

(c b)(a c)(a c b c)

(b c)(c a)(a b). Suy ra đpcm.
Câu 2.Điều kiÖn x 0, x 1. Ta cã

TH1.x 1.

TH2.(x 1)3 ( x)3 x 1 x
Kạt hĩp vắi ệiÒu kiỷn ta ệđĩc

C©u 3.

Tõ ệã nhẹn theo vạ ba phđểng trừnh ta ệđĩc
[(x 1)(y 1)(z 1)]2 722.

Tõ ệã từm ệđĩc hai cẳp nghiỷm (x; y; z) lộ
(2; 5; 3), ( 4; 7; 5).

Câu 4.Đặt z xy. Ta thấy

Ta có

(do ịp dông BậT AM - GM cho hai sè dđểng).
ậỬng thục xờy ra khi vộ chử khi

VËy tại

Câu 5.Vẽ EH AB (H AB).

Ta thấy EDA 90o ADC BCD.
1
x y .

2
min 19

P

3

1 1

z x y .

4 2

1 _4z 1

1 z z

1 16(1 z) 52 _z 1 23 16

1 z 9 9 16z 36z 9

1 16(1 z) 52 1 23.4 16

2 . .2 z.

1 z 9 9 16z 36 9

8 26 23 16 19

3 9 9 9 3

2 2

2 1 2 4x y 1

P

xy
x xy y

2 2 2

x y x y x y 1

0 z .

2 2 2 4

x xy y 17 (x 1)(y 1) 18
y yz z 23 (y 1)(z 1) 24
z zx x 11 (z 1)(x 1) 12.

1
x 1; .

2
1

x .

2

2 2 2 2

2 2

1 3 2 ₂ 1 _{1 1} 3 2

x 1 x 1

x (x 1) x (x 1)

(x 1)(1 x) x(x 1).
x (x 1)

2 2 2

2a 2b 2 c _{(a b)(b c)(c a)}P
a 2bc b 2ca c 2ab

2 2

2a _{(a b)(a c)}a .
a 2bc

Năm học 2014 - 2015

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

11

Bài 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức

a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa P.

c) XÐt biĨu thøc chøng tỏ 0 Q 2.
Bài 2: (4,5 điểm)

a) Không dùng máy tính hÃy so sánh
và

b) Tìm x, y, z, biết

4x2 2y2 2z2 4xy 2yz 2y 8z 10 0.
c) Giời phđểng trnh

Bài 3: (4,0 điểm)

a) Với Tính giá trị cđa

biĨu thøc

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) với x 1,
y 1 sao cho (3x 1) y đồng thời (3y 1) x.

Bµi 4: (6,0 ®iĨm)

Cho tam giịc ABC cã ba gãc nhản vắi cịc
ệđêng cao AD, BE, CF cớt nhau tỰi H.

a) Chứng minh rằng tam giác AEF đồng dạng với
tam giác ABC;

b) Chøng minh r»ng

S_DEF (1 cos2A cos2B cos2C)S_ABC.
c) Cho biÕt AH kHD. Chøng minh r»ng
tanB.tanC k 1.

d) Chứng minh rằng
Bài 5: (1,5 điểm)

Cho x, y là các số tự nhiên khác 0, tìm giá trị nhỏ
nhất cđa biĨu thøc A |36x 5y|.

HA HB HC _3.
BC AC AB

2
AEF

ABC

S _{cos A.}
S

3 2 2015

B (3x 8x 2) .
3

( 5 2) 17 5 38

x .

5 14 6 5

1 5 _4.

x 3 x 4
2014 2015.
2014 2015

2015 2014

2 x

Q ,

P

2 _{2 x 1}

x x 2x x

P .

x x 1 x x 1

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN LỚP 9

HUYỆN HOẰNG HÓA, THANH HOA

Năm học: 2014 - 2015

Thời gian làm bài:150 phót

Suy ra HDE BCD (g.g)
Tđểng tù HAE BCA (g.g)
Mộ BD 2BA nến HA 2HD.
Do ệã

VẺy EBD cã EH lộ ệđêng cao ệăng thêi lộ ệđêng
trung tuyạn nến lộ tam giịc cẹn.

Câu 6.Đặt OK x (cm), AO R (cm).
Theo định lí Pytago ta có

R2 162 x2 82 (32 x)2 x 13
R2 162 132 425 400 R 20.

Do ệã tÊm bừa sỳ cã cỰnh lắn hển 40 cm.
VẺy Nam khềng thÓ thiạt kạ ệđĩc.

1
HD AB BH AD.

3

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

12

Bội 1(143).Cho n lộ mét sè nguyến dđểng tháa
mởn n 1 vộ 2n 1 ệăng thêi lộ hai sè chÝnh
phđểng (Sè chÝnh phđểng lộ bừnh phđểng cựa mét
sè nguyến). Chụng minh rỪng n chia hạt cho 24.
Lêi giời. ậẳt n 1 k2, 2n 1 m2(k, m ).
Vừ 2n 1 lộ một số l nn m l số l.

Đặt m 2t 1 (t ).

Khi đó 2n 1 (2t 1)2 n 2t(2t 1).
Suy ra n chẵn. Do đó k lẻ.

Ta l¹i cã n k2 1 (k 1)(k 1) là tích của hai
số chẵn liên tiếp nên n chia hết cho 8. (1)

Mặt khác (n 1) (2n 1) 3n 2 k2 m2lµ
sè chia cho 3 dð 2.

Suy ra cả hai số k2và m2khi chia cho 3 đều dð 1.
Khi đó m2 k2 2n 1 (n 1) n chia hết cho
3. (2)

Tõ (1) vộ (2), kạt hĩp vắi (3, 8) 1, suy ra n 24.
NhẺn xĐt. ậẹy lộ mét bội toịn hay, khềng dÔ, ệưi
hái cịc bỰn phời cã kiạn thục sẹu vÒ tÝnh chÊt chia
hạt vộ sè chÝnh phđểng. RÊt nhiỊu bỰn tham gia
vộ giời ệóng. Tuy nhiến, nhiÒu bỰn cưn dội dưng,
thiạu cề ệảng trong trừnh bộy. ậẳc biỷt khen ngĩi
trđêng THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả cã
nhiỊu tẺp thĨ lắp tham gia. Cịc bỰn sau ệđĩc
khen: NguyÔn Hời Ly, 6A, THCS Hoộng Xuẹn
Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh;Lế Thỡ Vẹn Anh, NguyÔn
Tuỷ Minh, 7E, THCS Nhọ Bị Sủ, HoỪng Hãa,
Thanh Hãa; Ngun Thỉy Dđểng, 7A1, THCS
-THPT Hai Bộ Trđng, Phóc Yến, Vỵnh Phóc;ậinh
Thỡ Ngảc nh, 7A3; Ngun Hăng Khời, Trẵn Hời
Nam, Triỷu Hăng Ngảc, Vò Ngảc nh, 6A3, THCS
Lẹm Thao, Lẹm Thao; Bỉi Minh HoỰt, 6E, THCS
Vẽn Lang, TP. Viỷt Trừ, Phó Thả;TẺp thĨ lắp 7B;

Ngun Thỡ BÝch, NguyÔn Thỡ Thu HỪng, 7A,
THCS Nhẹn Nghỵa, Lý Nhẹn, Hộ Nam; Tền Nọ
Vẹn Nhi, 6D, THCS Lý NhẺt Quang, ậề Lđểng;

ậẳng Hăng Trđêng, 6C, THCS BỰch Liếu, Yến
Thộnh, Nghỷ An; NguyÔn Hoộng Giang, 7C,
THPT chuyến Hộ Néi - Amsterdam, Cẵu GiÊy, Hộ
Néi.

phùng kim dung
Bài 2(143). Tìm các bộ số nguyên tố thỏa mãn

tích của các số đó bằng 10 lần tổng của chúng.
Lời giải.Bộ số nguyên tố thỏa mãn đầu bài phải

cã sè 2 vµ 5.

Gọi (p₁, p₂,... , p_n) là bộ số nguyên tố còn lại thỏa
mãn đề bài, với p₁ p₂ ... p_n.

Ta cã 2.5.p₁p₂... p_n 10(p₁ p₂ ... p_n 7)
hay p₁p₂... p_n p₁ p₂ ... p_n 7. (1)
Víi a, b lµ hai sè nguyªn tè, ta cã
(a 1)(b 1) 1 ab a b.

Suy ra p₁p₂... p_n (p₁ p₂ ... p_n-1)p_n.
Do đó từ (1) suy ra

(p₁ p₂ ... p_n-1)p_n p₁ p₂ ... p_n 7
hay sp_n s p_n 7 (víi s p₁ p₂ ... p_n-1)

(s 1)(p_n 1) 8.

TH1. s 2. Khi ệã n 2 vộ p₁ 2. Thay vộo (1)
ệđĩc p₂ 9: loỰi.

TH2.s 2. Suy ra p_n 5.

XÐt p_n 5 s 3. Suy ra n 2 vµ p₁ {2, 3}.
Thư l¹i p₁ 3, p₂ 5 tháa m·n.

Xét p_n 3 s 5. Suy ra có năm bộ các số

(p₁, p₂,... , p_n-1) thỏa mãn là (2), (3), (2, 2), (2, 3),
(5). Thử lại đều không thỏa mãn.

XĐt p_n 2. Tõ (1) suy ra 2n 7 2n(loỰi).
Tãm lỰi bé sè nguyến tè cẵn từm lộ (2, 3, 5, 5).
NhẺn xĐt.NhiÒu bỰn kạt luẺn khềng cã bé sè nộo
tháa mởn ệÒ bội (!). Nguyến nhẹn lộ nhọng bỰn ệã
ệở ệảc sai ệÒ bội, coi bé sè nguyến tè lộ nhọng sè
khịc nhau. Cịc bỰn sau cã lêi giời tèt: Vị Huy
Hoộng, Ngun Thỡ Thờo Vẹn, NguyÔn Khịnh Ly,
NguyÔn Hđểng Giang, 6A1, THCS Sềng Lề, Sềng
Lề;TỰ Kim Thanh HiỊn, 6A4, THCS Yến LỰc, Yến
LỰc,Vỵnh Phóc; Ngun Thỉy Dđểng, 7A3, THCS
Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả;Vị Hoội Nam, 6C,
THCS BỰch Liếu, Yến Thộnh, Nghỷ An;NguyÔn
Vẽn Thanh Sển, 7/1, THCS NguyÔn Khuyạn, Hời
Chẹu,ậộ Nơng.

Hă quang vinh
Bội 3(143). Giời phng trnh

Lời giải.Ta thấy x thì
x2 x 2 0 vµ x2 x 2 0.
Ta cã (1) x2 x 2 (x2 x 2)2

2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

13

x4 2x3 4x2 5x 2 0

(x 1)(x3 x2 3x 2) 0.

Ta ệđĩc x 1 hoẳc x3 x2 3x 2 0. (2)
ậẳt Phđểng trừnh (2) trẻ thộnh

LỰi ệẳt y u v. Ta ệđĩc

Ta t×m hai sè u, v tháa m·n

Theo ệỡnh lÝ ViĐt ệờo, hai sè u3, v3lộ nghiỷm cựa
phđểng trừnh bẺc hai

Giời phđểng trừnh nộy ta cã hai nghiỷm lộ

VËy nªn

VẺy phđểng trừnh (1) cã hai nghiỷm lộ x 1 vộ

NhẺn xĐt. Cịc bỰn cã thÓ tù giời phđểng trừnh bẺc
ba dỰng x3 ax2 bx c 0 bỪng cịch ệẳt
ta ệđĩc phđểng trừnh bẺc ba khuyạt hỷ sè
cựa y2. Sau ệã lỰi ệẳt y u v vộ chản u, v nhđ
trong bội trến. Biạt u3 v3vộ u3v3, ta từm ệđĩc u, v.
Tõ ệã từm ệđĩc y, x.

Cịc bỰn sau ệẹy cã bội giời tèt: Ngun Thóy
HỪng, 9A; Trẵn Thỡ Thu Hộ, 9B, THCS Phó Phóc,
Lý Nhẹn, Hộ Nam; ậẫ Hoội Phđểng, 9C, THCS
Tuyạt Nghỵa, Quèc Oai; Phỉng Ngảc Anh, 9A9,
THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh, Hộ Nội; ng Quang

Anh, 8A, THCS Nguyễn Chích Đông Sơn, Thanh
Hóa; Tạ Anh Dũng, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm
Thao,Phú Thọ;Nguyễn Thị Viên, 9A, THCS Yên
Phong, Yên Phong, Bắc Ninh.

nguyễn anh dũng
Bi 4(143). Cho x, y vộ z lộ cịc sè thùc dng
thỏa mn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải. Với x, y 0 ta chứng minh bất đẳng thức

ThËt vËy, ta cã

ậỬng thục xờy ra khi x y.
Tđểng tù

Céng theo vÕ cđa (1), (2) vµ (3) suy ra
P 3(x y z).

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức cơ bản
ta suy ra

VẺy giị trỡ nhá nhÊt cựa P lộ 3, ệỰt ệđĩc khi vộ chử
khi

NhẺn xĐt.Bội toịn trến hay vộ tđểng ệèi khã, mÊu
chèt cựa bội toộn lộ viỷc phịt hiỷn ra bÊt ệỬng thục

(1). Cã rÊt nhiÒu bỰn tham gia giời bội, hẵu hạt cịc
bỰn giời ệóng. Nhọng bỰn sau ệẹy cã lêi giời ệóng
vộ ngớn gản: ậẳng Thanh Tỉng, 9B, THCS
NguyÔn Thđĩng HiỊn, ụng Hưa, Hộ Néi; Ngun
Thỡ BÝch HỪng, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong,
Bớc Ninh; Lế Thỡ Thựy, 8A, THCS Cao Xuẹn Huy,
DiÔn Chẹu, Nghỷ An; ậẫ Linh Chi, 9A2, THCS
GiÊy Phong Chẹu, Phỉ Ninh, Phó Thả; Bỉi Thỡ
LiÔu Dđểng, 8A4, THCS Yến LỰc, Yến LỰc;

Ngun ThÞ Mü Linh, 9A1, THCS L·ng C«ng,
S«ng L«, Vĩnh Phúc;Đặng Quang Anh, 8A, THCS
Nguyễn Chích, Đông Sơn, Thanh Hóa.

cao văn dũng
1

x y z .
3

1
P 3 x y z .

3
P 3( xy yz zx) 3.
x y z xy yz zx

2 2 7 11

2z 3zx 4x z x. (3)

6 6

2 2 7 11

2y 3yz 4z y z; (2)
6 6
2

23(x y) 0.

2

2 2

2 2 2 2

7 11
(1) 2x 3xy 4y x y

6 6

36(2x 3xy 4y ) 49x 154xy 121y

2 2 7 11

2x 3xy 4y x y. (1)

6 6

2 2

2z 3zx 4x .

2 2 2 2

P 2x 3xy 4y 2y 3yz 4z
xy yz zx 1.

a
x y ,

3

3 3

1 29 3 321 29 3 321

x 1 .

3 2 2

3 3

1 1 29 3 321 29 3 321

x y 1 .

3 3 2 2

3 3

1 29 3 321 29 3 321
y

3 2 2

1 29 3 321 2 29 3 321

X , X .

54 54

2 29 512

X X 0.

27 729

3 3 3 3

3 3

29 29

u v u v

27 27

8 512

uv u v .

9 729

3

3 3

8 29

(3) (u v) (u v) 0

3 27

29 8

u v (u v) 3uv 0.

27 3

3 2

3

1 1 1

y y 3 y 2 0

3 3 3

8 29

y y 0. (3)
3 27

1
x y .

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

14

Bài 5(143). Hãy mô tả một cách rõ ràng đồ thị
sau.

Lời giải.Hình vẽ thể hiện đồ thị G(V, E), trong đó:
- V gồm bốn đỉnh A, B, C, D.

- E gồm năm cạnh e₁ {A, B}, e₂ {B, C}, e₃ {C, D},
e₄ {B, D} vµ e₅ {A, C}.

NhËn xét. Các bạn sau có lời giải tốt hơn cả:

Nguyễn Văn Thanh Sơn, 7/1, THCS Nguyễn
Khuyến, Hải Châu, Đà Nẵng; Nguyễn Văn Đức,

6D, THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam, Cầu Giấy,
Hà Nội; Đặng Quang Anh, 8A, THCS Nguyễn
Chích, Đông Sơn, Thanh Hóa; Tạ Kim Thanh
Hiền, 6A4, THCS Yên Lạc, Yên Lạc; Đào Ngọc
Hải Đăng, 6A, THCS Lý Tự Trọng, Bình Xuyên,
Vĩnh Phúc;Bùi Minh Hoạt, 6E, THCS Văn Lang,
TP. ViƯt Tr×, Phó Thä.

TRỡNH HOộI DẩầNG
Bội 6(143).Cho tam giịc ABC vuềng cẹn tỰi A, néi
tiạp ệđêng trưn tẹm O. M lộ ệiÓm thay ệữi trến cung
nhá AB. Vỳ AD MC (D MC). Xịc ệỡnh vỡ trÝ cựa
M ệÓ tững MB MD ệỰt giị trỡ nhá nhÊt, lắn nhÊt.
Lêi giời. Gải (A) lộ ệđêng trưn tẹm A bịn kÝnh AB;
N, P theo thụ tù lộ giao ệiÓm thụ hai cựa CM, CA
vắi (A).

Ta thÊy

Do đó BMN vuông cân tại M.
Kết hợp với AD MC suy ra
MB MD MN MD ND

Vì M di động trên cung của (O) nên N di động
trên cung của (A). (2)

Tõ (1) vộ (2), kạt hĩp vắi CP lộ ệđêng kÝnh cựa (A)

vµ suy ra:

(MB MD) nhá nhÊt NC nhá nhÊt M trïng B;
(MB MD) lín nhÊt NC lín nhÊt M trïng A.
NhËn xÐt. 1) Bài toán này có nhiều bạn tham gia
giải, một số bạn cho lời giải quá dài, thậm chí có
bạn giải sai.

2) Cịc bỰn sau ệẹy cã lêi giời tđểng ệèi tèt: Trẵn

Quèc LẺp, 8A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó
Thả; NguyÔn Thỡ Viến, NguyÔn Thỡ BÝch HỪng,
9A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh;

ậẳng Quang Anh, 8A, THCS NguyÔn ChÝch, ậềng
Sển,Thanh Hãa;Bỉi Thỡ LiÔu Dđểng, 8A4, THCS
Yến LỰc, Yến LỰc; NguyÔn Lế Sển, THCS LÝ Tù
Trảng, Bừnh Xuyến, Vỵnh Phóc;Ngun Thỡ Thờo
Phđểng, Ngun Viỷt Hoộng, 9A, THCS ậục LÝ, LÝ
Nhẹn, Hộ Nam; NguyÔn Khờ NhẺt Long, 8A,
THCS ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt; ậẳng Thanh
Tỉng, 9B, THCS NguyÔn Thđĩng HiỊn, ụng Hưa,
Hộ Néi.

Ngun Minh Hµ

o o

NBC 90 45 BNC,
PB

AB

1NC. (1)
2

o o o o

BMN 180 BMC 180 90 90 .

o o

1 1

BNM BNC BAC .90 45

2 2

TỰ Kim Thanh HiỊn, 6A4; Bỉi Thỡ LiƠu Dđểng,
8A4, THCS Yến LỰc, Yến LỰc, Vỵnh Phóc;

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

15

LỚN HƠN, NHỎ HƠN

DAạY SOÁ LAỳ

(TTT2 sè 143)
Giờ sỏ 2015 sè thùc lộ a₁, a₂,... , a₂₀₁₅ ệđĩc sp

xếp theo thứ tự tăng dần a₁ a₂ ... a₂₀₁₅.
Theo gi¶ thiÕt ta cã

a₁ a₂ a₃ a₄ a₂₀₁₃ a₂₀₁₄ a₂₀₁₅.
Mà a₂₀₁₃ a₄nên a₁ a₂ a₃ a₂₀₁₄ a₂₀₁₅.
Với 5 số tùy ý khác nhau từ 2015 số đã cho là
a_m, a_n, a_p, a_q, a_rta có

a_m a_n a_p a₁ a₂ a₃, a₂₀₁₄ a₂₀₁₅ a_q a_r.

Do ệã a_m a_n a_p a_q a_r. Suy ra ệpcm.
NhẺn xĐt. Cịc bỰn sau giời tèt cã lẺp luẺn chẳt

chỳ, ngớn gản: Bỉi Thỡ Quúnh, 7A3, THCS Lẹm
Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; Ngun Lế Sển, 9A,
THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến; TỰ Nam Khịnh,
7E1, THCS Vỵnh Tờng, Vnh Tờng, Vnh Phúc;

Đỗ Tuấn Đạt, 7A2, THCS Hồng Bàng, Hồng
Bàng, Hải Phòng;Nguyễn Văn Thanh Sơn, 7/1,
THCS Nguyễn Khuyến, Hải Châu, Đà Nẵng.

ANh com pa
Bài toán. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH lµ

ệđêng cao, I lộ giao ệiĨm cựa ba ệđêng phẹn giịc
trong. Dùng IK BC.

B¹n Vui cho r»ng AH lớn hơn 2IK nhng nhỏ hơn 3IK.

kiến của bạn thế nào?

Phạm Tuấn Khải (Hà Nội)

phn số th nhất vi 7, nhẹn cờ tỏ sè vộ mÉu sè
cựa phẹn sè thụ hai vắi 5, ệđĩc vộ , tđểng
ụng;

Víi mÉu sè míi, chän béi chung nhá nhÊt (BCNN)
cđa c¸c mÉu sè. Cho , BCNN cđa 3 vµ 6
là 6 (không chọn 3 6 18), nên

Nhn xĐt. Cã rÊt nhiÒu bỰn gỏi bội dỡch vÒ Tưa

soỰn vộ ệÒu dỡch tđểng ệèi chÝnh xịc, cịc bỰn
sau ệđĩc thđẻng kừ nộy vừ cã bội dỡch sắm nhÊt vộ
sịt nhÊt: NguyÔn Ngảc Linh, 6A1, THCS Lẹm
Thao, Lẹm Thao, Phó Thả;Ngun Thỡ Minh Thu,
7A1, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh;

Bỉi Phđểng Anh, 6D, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh
Tđêng,Vỵnh Phóc;Ngun ậẳng Sển, 9A, THCS
Ngun Trởi, Nam Sịch, Hời Dđểng;Trỡnh Tỉng
Huy, 8A4, THCS Trẵn ậẽng Ninh, TP. Nam ậỡnh,
Nam ậỡnh; NguyÔn Xuẹn Thộnh ậỰt, 6D, THCS
Thỡ trÊn Gia Linh, Gia Linh, Quờng Trỡ;Vò HỰ Ly,
7A, THCS Nam Cao, Lý Nhẹn, Hộ Nam; Dđểng
Trung Kiến, 7C, THPT chuyến Hộ Néi - Amsterdam,
Cẵu GiÊy, Hộ Néi; Lý Thộnh Trung, 9A9, THCS
Phđắc Bừnh, TX. Phđắc Long, Bừnh Phđắc;

NguyÔn Thỡ Mai Anh, 6D, THCS ậẳng Thai Mai,
TP. Vinh, Nghỷ An; Lế Hoộng Mai Anh, 8A6,
Trung hảc Thùc hộnh Sội Gưn, Q. 5, TP. Hă ChÝ
Minh;ậinh Thỡ Hăng Nhung, 9A1, THCS Lế Danh
Phđểng, Hđng Hộ, Thịi Bừnh; Ngun Hun
Phđểng, 7C, THCS Lế Họu LẺp, HẺu Léc, Thanh
Hãa.

NguyÔn Ngäc Minh
2 1 2 2 1 4 1 5 .

3 6 3 2 6 6 6 6
2 1

3 6
21 25 46 .

35 35 35

25
35
21
35

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

16

au bữa trða, thám tử Sêlơccơc vừa

đặt mình trên chiếc tràng kỉ thì

chng điện thoại kêu vang. Bà

Luxia - bạn thời phổ thông của thám tử - nhờ

đến ngay nhà để tìm giúp kẻ đã lấy trộm

chiếc nhẫn quý giỏ.

Quên hết mệt mỏi, thám tử Sêlôccôc vội

vàng tới nhà bà Luxia.

- Cho ềng bỰn! May quị! Cã bỰn lộ thịm tỏ

nến nhọng lóc thạ nộy mắi cã ngđêi mộ nhê.

- Bộ mÊt chiạc nhÉn quý lớm hay sao mộ

gải tềi ệạn ngay thạ?

- ậóng vẺy. ậã lộ chiạc nhÉn kim cđểng tềi

ệđĩc bè mứ tẳng tõ thêi cưn hảc phữ thềng.

Tềi cÊt giọ rÊt cÈn thẺn vừ ệèi vắi tềi, nã lộ kử

vẺt thiếng liếng. Sịng nay, ệịm bỰn cò hứn

ệi ẽn sịng. Nghỵ ệẹy lộ dỡp cỉng nhau ền lỰi

những kỉ niệm thời học sinh nên tôi đã lấy

chiếc nhẫn ra eo.

- Bà cũng lÃng mạn ra phết nhỉ?

- Thỡ mi khi bạn cũ gặp nhau, cịn chuyện

gì vui hơn là ôn lại thời tuổi trẻ, đúng không

ông bạn của tôi?

- Bà kể tiếp đi!

- Khong 11 giờ tra ti mi vÒ tắi nhộ. ThÊy

hểi ệau ệẵu nến tềi thay quẵn ịo, thịo nhÉn

răi lến giđêng nỪm nghử. Răi tềi thiạp ệi lóc

nộo khềng biạt. Tửnh dẺy thừ chỬng thÊy cịi

nhÉn u na.

- Lúc bà về tới nhà và đi nằm thì trong nhà

có những ai?

- Cú cụ giỳp vic v đứa cháu họ.

- Cháu bà ở hẳn đây à?

-

õ

, tôi chỉ có một mình nên bảo nó ở đây

CHIEC NHẪN

biến mất

ậẳng Thỡ Hđêng

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

17

cho ệì buăn. Hềm qua, nã ệđĩc nghử hảc

nến lóc tềi vỊ nã vÉn ệang ẻ nhộ.

Sau ệã, thịm tỏ Sếlềccềc ệở gẳp riếng tõng

ngđêi trong nhộ. ậẵu tiến lộ bộ gióp viỷc

Bacbara.

- Trða nay, khi bà Luxia ngủ, bà đã làm

những việc gì?

- Tềi nÊu ẽn nhđ mải khi. Khoờng 11 giê rđìi,

tềi lến phưng ệỡnh mêi bộ chự dẺy ẽn cểm

nhđng thÊy bộ ngự ngon quị nến lỰi thềi.

- Thạ bộ ệở lộm gừ tiạp theo?

- Tôi tranh thủ đọc sách.

- Vậy ð? Tôi không ngờ là bà lại mê đọc

sách đến vậy.

- Ban đầu, bà chủ nhờ tôi đọc cho nghe.

Dần dần, tôi đâm ra mê sách.

- Tuyệt thật! Thế bà đang đọc cuốn gì?

- Tôi đang đọc “A-li-xơ ở xứ sở thần tiên”

của An-đec-xen.

- VẺy đ? Hềm nộo cho tềi mđĩn nhĐ. Nghe

nãi cuốn ó hay lm.

Tiếp theo, thám tử gặp Nina - cháu gái của

bà Luxia.

- Tra nay, khi b Luxia nm ngủ, cháu đã

làm gì, ở đâu?

- Dạ, cháu xem TV. Phim khoa học hay quá

nên cháu mải xem, chẳng biết là đã tới giờ

ăn trða.

- Phim nãi vÒ cịi gừ mộ hÊp dÉn thạ?

- VÒ hiỷn tđĩng quang hĩp Ự. Khềng ngê

mét sè ệéng vẺt còng cã khờ nẽng quang

hĩp. Tõ trđắc tắi giê chịu cụ tđẻng chử thùc

vẺt mắi cã khờ nẽng nộy.

- Thó vỡ quị nhử. Chớc chớn bịc sỳ phời

dộnh thêi gian xem phim khoa hảc mắi

ệđĩc.

Sau ệã, thịm tỏ Sếlềccềc nãi vắi bộ Luxia.

- Tềi phịt hiỷn ai lộ ngđêi ệịng nghi răi. TÊt

nhiến, ệÓ kạt luẺn chÝnh xịc thừ chóng ta

phời ệiỊu tra thếm.

* Cịc thịm tỏ Tuữi Hăng cã ệoịn ệđĩc ai lộ

kĨ khờ nghi khềng? Vừ sao?

Trêi ẹm u, lỰi gẵn tèi, ệở thạ, bãng ệÌn cưn

ệang háng. VẺy mộ anh Giền vÉn ngăi bến

mịy khẹu may quẵn ịo, lỰi cưn thỉa ệđĩc cờ

khuyạt nọa! Siếu quị... hãa dỰi răi anh Giền ểi!

TÊt cờ cịc thịm tỏ Tuữi Hăng ệÒu phịt hiỷn

ra ệiÒu về lÝ trong lêi nãi cựa vĩ anh Giền vộ

ệÒu kạt luẺn Giền chÝnh lộ kĨ khờ nghi.

Nhọng hiÓu biạt thùc tạ hộng ngộy, tđẻng

rỪng nhá nhẳt, nhđng thùc ra lỰi về cỉng thiạt

thùc, ệóng khềng cịc bỰn?

Phẵn thđẻng ệđĩc trao cho:

Lế Hoộng Long

,

6C, THCS Phong Chẹu, TX. Phó Thả,

Phó

Thả

;

ậẫ ậục MỰnh

, 6D, THCS Vỵnh Tđêng,

Vỵnh Tđêng,

Vỵnh Phóc

;

NguyÔn Thanh Bừnh

,

6C, THCS Tẹn Bừnh, TX. Tam ậiỷp,

Ninh

Bừnh

;

ậinh Thỡ HuyÒn Trang

, 7A, THCS Nam

Cao, Lý Nhẹn,

Hộ Nam

;

Lế Hoộng Mai Anh

,

8A6, TH Thùc hộnh Sội Gưn, Q.5,

TP. H

Chí Minh

.

Thám tử Sêlôccôc

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19></div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

19

5. Decimals

In the decimal system, the position of the period
or decimal point determines the place value of the
digits. For example, the digits in the number
6,556.154 have the following place values.

Some examples:

Sometimes decimals are expressed as the product
of a number with only one digit to the left of the
decimal point and a power of 10. This is called

scientific notation. For example, 154 can be
written as 1.54 102and 0.0154 can be written as
1.54 10 2. When a number is expressed in
scientific notation, the exponent of the 10 indicates
the number of places that the decimal point is to

be moved in the number that is to be multiplied by
a power of 10 in order to obtain the product. The
decimal point is moved to the right if the exponent is
positive and to the left if the exponent is negative.
For example, 6.056 104 is equal to 60,560 and
1.54 10 4 is equal to 0.000154.

6. Maths terms

decimals số thập phân (khái niệm)

decimal số thập phân

decimal system hệ thập phân, hệ cơ số 10

position vÞ trÝ

decimal point dÊu thẺp phẹn (dÊu chÊm (.),
tđểng ệđểng dÊu phÈy (,)
trong cịch viạt cựa Viỷt Nam)

detemines xỏc nh

place value giá trị theo vị trí

digit chữ số

expressed as c biểu diễn nh l

left bên trái

scientific notation dạng khoa häc, kÝ hiƯu khoa häc

standard form d¹ng khoa häc

exponent lịy thõa

moved ệđĩc di chun

order thø tù, trËt tù

positive dđểng

negative ©m

Nhiỷm vô cựa bỰn.BỰn cẵn dỡch ệoỰn trến theo
cịc tõ vùng ệđĩc gĩi ý sịt nghỵa trong bội. Bội
dỡch tèt gỏi sắm sỳ cã phẵn thđẻng. Chê bội dỡch
cựa bỰn.

1 5 4 154

0.154

10 100 1,000 1,000

0 1 5 4 154

0.0154

10 100 1,000 10,000 10,000
5 6 556

5.56 5

10 100 100

DECIMALS

Vị Kim Thđy

(Tiạp theo kừ trđắc)

ARITHMETIC

(TTT2 sè 143)
Ph©n sè

Trong phẹn sè , n lộ tỏ sè vộ d lộ mÉu sè. MÉu
sè cựa mét phẹn sè khềng bao giê bỪng 0, vừ phĐp
chia cho 0 lộ khềng cã nghỵa. Hai phẹn sè gải lộ
tđểng ệđểng nạu chóng biĨu diƠn cỉng mét sè. VÝ
dô vộ lộ tđểng ệđểng vừ chóng cỉng biĨu
diƠn sè . Trong mẫi trđêng hĩp phẹn sè ệđĩc rót
gản vỊ dỰng tèi giờn bỪng cịch chia cờ tỏ sè vộ
mÉu sè cho đắc chung ln nhất ca chúng (CLN).

ƯCLN của 4 và 18 là 2 và ƯCLN của 6 và 27 là 3.
Cộng và trừ phân số

Hai phn số có cng mẫu sè cã thÓ céng hoẳc
trõ bỪng cịch thùc hiỷn phĐp tÝnh ệưi hái vắi tỏ sè
vộ giọ nguyến mÉu sè. VÝ dô, vộ
Nạu hai phẹn sè khềng cỉng mÉu thừ ta chóng
thộnh phẹn sè tđểng ệđểng vắi cỉng mÉu sè. VÝ
dơ, ệĨ céng vộ , ta nhẹn tỏ sè vộ mÉu sè cựa

(Xem tiÕp trang 15)

5
7
3
5
5 2 5 2 3.

7 7 7 7

3 4 3 4 7

5 5 5 5

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

20

Kì 17

H·y thay c¸c chữ cái bởi các chữ số. Các chữ
khác nhau biểu diễn các số khác nhau. Lời giải
cần có lập luận l«gic.

Trđểng Cềng Thộnh(Sđu tẵm)

Các bạn sau giải đúng thế cờ kì 68:

Trần

Thế Trung

, 7A, THCS Đặng Thai Mai, TP. Vinh,

Nghệ An

;

Trịnh Hoàng Anh

, 6D, THCS Xuân

Diệu, ThÞ trÊn NghÌn, Can Léc,

Hµ TÜnh

;

Hoộng ậẳng Viỷt Anh

, 7A, THCS Lế Vẽn

Thỡnh, Gia Bừnh,

Bớc Ninh

;

ậẫ ậục MỰnh

,

6D, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng,

Vỵnh

Phóc

;

Ngun ThuẺn Hđng

, 8C8, THCS Chu

Vẽn An, Ngề Qun,

Hời Phưng

.

Lª thanh tó

Đen đi trước tìm cách thắng.

LÊ THANH TÚ

(TTT2 sè 143)

hộ vẽn Vị Hoộng Lẹm, héi viến Héi nhộ vẽn Hời Phưng, vèn lộ mét thẵy giịo dỰy

khoa Toịn ậỰi hảc Sđ phỰm Hộ Néi nẽm 1958, ềng ệở dỰy hảc tỰi Bớc Giang,

Hời Phưng vộ AlgĐrie. Tõ nẽm 1981 ệạn nay, 45 cuèn sịch cựa ềng ệở ệđĩc xuÊt bờn.

Trong ệã, 28 cuèn lộ cịc sịch tham khờo mền toịn dộnh cho bẺc tõ tiÓu hảc ệạn THPT.

17 cuèn sịch cưn lỰi lộ nhọng truyỷn ngớn vộ bót ký. Trong bót phịp cựa ềng cã sù hưa

quyỷn giọa tđ duy khoa hảc chÝnh xịc vộ tđ duy nghỷ thuẺt tinh tạ.

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

21

Nhận xét. Bài tốn này khó, khơng có võ sĩ nào
giải tốt. Do đó khơng có võ sĩ nào đăng quang
trong trận đấu này.

Trđắc hạt xin phịt biÓu vộ khềng chụng minh mét
bữ ệÒ quen thuéc.

Bữ ệÒ. Nạu cịc ệđêng trưn (O; R) vộ (O’; R’) tiạp
xóc ngoội vắi nhau vộ TT’ lộ tiạp tuyạn chung
ngoội cựa chóng thừ

Trở lại giải bài toán thách đấu.

Trong lêi giời nộy, kÝ hiỷu d(X, YZ) chử khoờng
cịch tõ ệiÓm X tắi ệđêng thỬng YZ.

Gải T lộ tiạp ệiÓm cựa (O) vộ (J); F lộ giao ệiÓm
cựa BC vộ tiạp tuyạn cựa (J) kĨ tõ E (khịc EC); G
lộ giao ệiÓm cựa TF vộ AD; M, N theo thụ tù lộ tiạp
ệiÓm cựa (J) vộ EF, BC; P lộ giao ệiÓm thụ hai cựa
TM vộ (O); Q, S theo thụ tù lộ tiạp ệiÓm cựa (O)
vộ AD, BC; K, L theo thụ tù lộ tiạp ệiÓm cựa CE vộ
(O), (J); R, r lộ bịn kÝnh cựa (O) vộ bịn kÝnh cựa
cịc ệđêng trưn (I), (J); CL CN x.

Ta thÊy EF // CD // OQ // JN và GP // EF.
Vậy GP // JN hoặc GP trùng JN. (1)
Mà T, N, Q thẳng hàng nên

Kết hợp với suy ra

d(T, PG) d(T, JN) d(T, EF). (2)

Tõ (1) vµ (2), chó ý r»ng T, GP, JN cùng thuộc một
nửa mặt phẳng bờ EF, suy ra GP vµ JN trïng
nhau.

Điều đó có nghĩa là GN // QS.

Chú ý rằng OPGQ là hình vng, theo bổ đề trên,
ta có

VËy R 4r.

Từ đó, chú ý rằng JNFM là hình vng, suy ra
EC EK KL LC EQ SN LC

SF SN LC 2SN FN LC 2R r x

KÕt hỵp víi

theo định lí Pythagoras, suy ra

VËy 6AD 6BC 6(BN NC)

ngun minh hµ
1

6 2R R 7.2R 7AB.
3

2 2

2

7_{R x} _2R 1_{R x} _x 1_R.

4 4 3

o 1

EFC 90 , EF 2R, FC R x,
4

1 7

2R R x R x.

4 4

R OP QG SN 2 Rr .
OP OQ R 1,

JM JM r

d(T, PG) TP OP OQ TQ d(T, JN) .
d(T, EF) TM JM JN TN d(T, EF)
TT’ 2 RR’.

Ngđêi thịch ệÊu:Vi Quèc Dòng, ậỰi hảc Thịi
Nguyến.

Bội toịn thịch ệÊu:Cho tam giịc ABC. Gải O,
I thụ tù lộ tẹm cịc ệđêng trưn ngoỰi tiạp vộ néi
tiạp tam giịc. Gải M, N lẵn lđĩt lộ tẹm cịc ệđêng
trưn bộng tiạp gãc A, gãc B cựa tam giịc ABC.

Gải K lộ tẹm ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc
IMN, Q lộ ệiÓm ệèi xụng vắi K qua ệđêng thỬng
MN. Chụng minh rỪng O lộ trung ệiÓm IQ.
XuÊt xụ: Sịng tịc.

Thêi hỰn: Trđắc ngộy 08.4.2015 theo dÊu bđu
ệiỷn.

KẾT QUẢ TRẬN ĐẤU THỨ MỘT TRĂM HAI MƯƠI BA

(TTT2 sè 143)

TRẬN ĐẤU THỨ MỘT TRĂM HAI MƯƠI LĂM

ậảc lỰi cho ệóng:Tến vâ sỵ ệẽng quang trong
trẺn ệÊu thụ mét trẽm hai mđểi hai (TTT2 sè
142) lộ NguyÔn Khớc TrÝ.

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

22

ĐƯỜNG ĐỐI TRUNG

VAỉ ẹIEM LễMOAN CUA TAM GIAC

ThS.Lê Thị Ngọc Thúy

(Khoa T nhiên, Cao đẳng Sð phạm Nghệ An)

1. ậđêng ệèi trung

ậỡnh nghỵa 1. Giờ sỏ AM lộ ệđêng trung tuyạn cựa
tam giịc ABC vộ E lộ ệiÓm trến cỰnh BC sao cho
. Khi ệã ệđêng thỬng AE ệđĩc gải lộ
ệđêng ệèi trung ụng vắi ệửnh A cựa tam giịc ABC.
Gải AD lộ ệđêng phẹn giịc cựa gãc A. Ta thÊy AE,
AM ệèi xụng nhau qua AD hay AD lộ tia phẹn giịc
cựa gãc EAM.

Râ rộng mét tam giịc cã ba ệđêng ệèi trung ụng
vắi ba ệửnh cựa nã.

KỴ EH AB, EK AC, DI AB, DJ AC, MP AB,

MQ AC (h×nh vÏ). Ta cã mét sè kÕt qu¶ sau:
KÕt qu¶ 1.

Chøng minh. Ta thÊy EH // DI nªn .

Tđểng tù .

Chó ý r»ng DI DJ vµ ta suy ra

Mẳt khịc, vừ AEH AMQ nến
Tđểng tù

Chó ý r»ng S_AMB S_AMC, suy ra

Tõ (1) vµ (2) suy ra .

Chó ý.Ta cịng chụng minh ệđĩc nạu ệiĨm E nỪm
trến cỰnh BC sao cho thừ AE lộ ệđêng
ệèi trung cựa ABC.

KÕt qu¶ 2.

Chó ý.Ta cịng chụng minh ệđĩc nạu ệiÓm E nỪm
trến cỰnh BC sao cho vắi H, K lộ chẹn
ệđêng vuềng gãc hỰ tõ E xuèng AB vộ AC thừ AE
lộ ệđêng ệèi trung cựa ABC.

Kạt quờ 3. Ba ệđêng ệèi trung cựa tam giịc ABC
ệăng quy tỰi mét ệiÓm.

Chụng minh. Giờ sỏ hai ệđêng ệèi trung AE vộ
BF cựa tam giịc ABC cớt nhau tỰi M. Gải H, I, K
lộ chẹn ệđêng vuềng gãc hỰ tõ M xuèng BC, CA,
AB. Qua M dùng cịc ệđêng thỬng song song vắi
BC, CA vộ AB cớt BC, CA, AB tỰi A₁, A₂, B₁, B₂,
C₁, C₂.

Theo kÕt qu¶ 2, ta cã

.

Suy ra nến CM lộ ệđêng ệèi
trung cựa CA₁B₂.

Do ệã CM còng lộ ệđêng ệèi trung cựa ABC.
2. ậiÓm Lểmoan

ậỡnh nghỵa 2. Giao ệiÓm ba ệđêng ệèi trung cựa
tam giịc ABC gải lộ ệiÓm Lểmoan cựa tam giịc ệã.
Kạt quờ 4. ậiÓm M lộ ệiÓm Lểmoan cựa ABC

1
2
A C
MH BC

MI AC B C

2 1

1 2

AC BC

MK AB MK_, BA

MI AB AC MH BA BC
EH AB ,
EK AC
EH AB .

EK AC
2
2
EB AB
EC AC
2
2
BE AB
CE AC
AMC
AMB
2.S

EH MQ MQ.AC AB_. _.AB AB_{. (2)}
EK MP MP.AB AC 2.S AC AC

EK MP .
AE AM

EH MQ .
AE AM
BE AB EH_. _{. (1)}

CE AC EK

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

23

nạu vộ chử nạu , trong ệã H, I, K
lộ chẹn ệđêng vuềng gãc hỰ tõ M xng cỰnh BC,
CA, AB.

Bài tốn 1. Tìm một điểm M trong tam giác ABC
sao cho x2 y2 z2 đạt giá trị nhỏ nhất, trong đó
x, y, z là các khoảng cách từ M xuống các cạnh
BC, CA và AB.

Lời giải. Gọi a, b, c là độ dài của các cạnh BC,
CA, AB và S là diện tích tam giác ABC.

Tõ S S_MBC S_MCA S_MAB 2S ax by cz.
Mµ (ax by cz)2 (a2 b2 c2)(x2 y2 z2)
(theo BĐT Bunhiacôpxki) nên

.

Đẳng thức xảy xa nếu và chỉ nếu hay
M là điểm Lơmoan của ABC.

Vậy GTNN của x2 y2 z2là

Bài toán 2.Trong hình vẽ trên ở kết quả 3, chứng
minh rằng:

a) B₁A₂ B₂C₁ C₂A₁.

b) 6 ệiÓm A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂ nỪm trến cỉng
mét ệđêng trưn.

c) ậđêng trưn ngoỰi tiạp lôc giịc A₁A₂B₁B₂C₁C₂
cã tẹm lộ trung ệiÓm cựa OM, trong ệã O lộ tẹm
ệđêng trưn ngoỰi tiạp ABC.

Lêi giời. a) Gải T lộ giao ệiÓm cựa AM vắi C₁B₂;
T₁vộ T₂lộ chẹn ệđêng vuềng gãc hỰ tõ T xuèng
AB vộ AC.

V× AC₁MB₂ là hình bình hành nên
TT₁.AC₁ TT₂.AB₂.

Do ú

Ta ệđĩc AB₂C₁ ABC nến
Tđểng tù

Mà tứ giác A₂B₁B₂C₁ là hình thang nên là hình
thang cân. Từ đó A₂B₁ B₂C₁.

Tđểng tù A₂B₁ C₂A₁nến B₁A₂ B₂C₁ C₂A₁.
b) Vừ tụ giịc A₂B₁B₂C₁lộ hừnh thang cẹn nến lộ tụ
giịc néi tiạp.

LẺp luẺn tiạp, ta suy ra A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂nỪm
trến cỉng mét ệđêng trưn.

c) Vừ nến B₂C₁ song song vắi tiạp
tuyạn kĨ tỰi A cựa ệđêng trưn ngoỰi tiạp ABC.

Tđểng tù A₂B₁ song song vắi tiạp tuyạn kĨ tỰi C
cựa ệđêng trưn ngoỰi tiạp ABC.

Vừ tẹm ệđêng trưn ệi qua sịu ệiÓm A₁, B₁, C₁, A₂,
B₂, C₂ nỪm trến giao ệiÓm cịc ệđêng trung trùc
cựa B₂C₁vộ A₂B₁nến tẹm ệđêng trưn ệi qua sịu
ệiÓm A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂lộ trung ệiÓm cựa MO.
Bội toịn 3.Chụng minh rỪng:

a)

b) A₁A₂: B₁B₂: C₁C₂ a3: b3: c3.

Lêi giời. a) Gải h_a, h_b, h_c lộ cịc ệđêng cao cựa
ABC hỰ tõ cịc ệửnh A, B, C.

Theo định lí Talét, ta có

Tđểng tù Suy ra

b) Vì nên

.

Mà nên

Chng minh tđểng tù ta suy ra
A₁A₂: B₁B₂: C₁C₂ a3 : b3 : c3.
Bội tẺp

Bội 1.Cho ABC. Mét ệđêng trưn tỉy ý ệi qua B, C
cớt hai cỰnh AB vộ AC tỰi D vộ E. Chụng minh trung
tuyạn AN cựa ADE lộ ệđêng ệèi trung cựa ABC.
Bội 2. Cho ABC. Tiạp tuyạn tỰi B vộ C cựa
ệđêng trưn néi tiạp ABC cớt nhau tỰi P. Chụng
minh AP lộ ệđêng ệèi trung cựa ABC.

1 2 1 2

3 3

A A B B_: _1.

a b

a b
x y
1 2 1 2

3 3

A A B B_: x _: y x b
2aS 2bS y a

a b

1 2 1 2

3 3

A A x _,B B y

2aS 2bS

a b

1 2 1 2 1 2

A A B B C C _{ax by cz 2S 1.}

a b c 2S 2S

1 2 1 2

B B by_;C C cz_.

b 2S c 2S

1 2

a a

A A x ax _{ax .}

a h ah 2S

1 2 1 2 1 2
A A B B C C _1.

a b c

2 1

AB C ABC

1 2 2 1 1 2

CB A CBA AB C CB A .
2 1

AB C ABC.

2 1

1 2

AB TT _{MK AB .}
AC TT MI AC

2
2 4S2 2.
a b c

x y z
a b c
2

2 2 2

2 4S2 2
x y z

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

24

SHORT ANSWER PROBLEMS

21. In the diagram below, ABCD is a square, E is a point on AD and F a point on AB such that
DE 2AE and AF 2BF. What is the ratio of the area of triangle CEF to that of square ABCD?

22.Consider the following pattern:

Find Y₁₉₉.

23.The first four digits of an eight-digit perfect square are 2012. Find its square root.

24.Peter arranges 5 poker cards on the table as shown in Figure 1. Then he rotates one of them 180o.
Now the five cards are as shown in Figure 2. Which card, A, B, C, D or E, has been rotated?

25.When a two-digit number is divided by the sum of its digits, what is the largest possible remainder?

9th International Mathematics and Science

Olympiad (IMSO) for Primary School 2012

City Montessori Inter College,

RDSO Campus, Manak Nagar, Lucknow, India

27 Oct - 2 Nov 2012

Vũ Đô Quan(Su tầm và giíi thiƯu)

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

25

Bµi 25NS.Ta cã

4x4 8x3 36x2 3y2 6x2y2 4x 19 0
(2x2 1)[2(x 1)2 3(7 y2)] 0

Tõ ệã phđểng trừnh cã nghiỷm nguyến (x, y) lộ
(2, 1); (2, 1); ( 4, 1), ( 4, 1).

NhẺn xĐt. Cịc bỰn sau cã lêi giời ệóng cho bội
toịn trến: NguyÔn Thỡ Thờo Vy, 8A, THCS ậẳng
Thai Mai, TP. Vinh, Nghỷ An;NguyÔn Hđểng Mai,
8A4, THCS GiÊy Phong Chẹu, Phỉ Ninh; Ngun
Thỉy Dđểng, 7A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao,
Phó Thả; ậinh Thỡ Hăng Nhung, 9A1, THCS Lế
Danh Phđểng, Hđng Hộ, Thịi Bừnh; Trẵn Nhđ
Quúnh, NguyÔn Thỡ Hoộng Cóc, 8D, THCS Nhọ
Bị Sủ, Thỡ trÊn Bót Sển, HoỪng Hãa, Thanh Hãa;

Ngun ThÞ BÝch H»ng, 9A, THCS Yên Phong,
Yên Phong, Bắc Ninh.

Bài 26NS.Vì (x 1)2 4x nên

Mà x y 3 x 1 4 y

NhẺn xĐt. Cịc bỰn sau cã lêi giời ệóng cho bội
toịn trến: Ngun Thờo Chi,Trẵn Thỡ Thu Hun,
8A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; ậẫ
Thỡ Thu Phđểng, 9A1, THCS Yến LỰc, Yến LỰc,
Vỵnh Phóc;ậinh Thỡ Hăng Nhung, 9A1, THCS Lế
Danh Phđểng, Hđng Hộ, Thịi Bừnh;NguyÔn Thỡ
BÝch HỪng, 9A, THCS Yn Phong, Yn Phong,

Bắc Ninh;Nguyễn Thị Thảo Vy, 8A, THCS Đặng
Thai Mai, TP. Vinh, Nghệ An.

Bi 27NS. Do sơ xuất đề bài đã in thiếu: K là trung
điểm của CD, thành thật xin lỗi bạn đọc.

Gải M’, N’ lẵn lđĩt lộ trung ệiÓm cựa BC, BD.
Ta cã MKNB l hnh bnh hnh nn

Đặt

Ta có

Kết hợp víi th× MM’K KN’N

NhẺn xĐt. Chử cã bỰn ậẫ Thỡ Thu Phđểng, 9A1,
THCS Yến LỰc, Yến LỰc, Vỵnh Phóc cã lêi giời
ệóng cho bội toịn trến.

Cịc bỰn sau ệđĩc khen kừ nộy: ậẫ Thỡ Thu
Phđểng, 9A1, THCS Yến LỰc, Yến LỰc, Vỵnh
Phóc;ậinh Thỡ Hăng Nhung, 9A1, THCS Lế Danh
Phđểng, Hđng Hộ, Thịi Bừnh; NguyÔn Thỡ BÝch
HỪng, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc
Ninh;NguyÔn Thỡ Thờo Vy, 8A, THCS ậẳng Thai
Mai, TP. Vinh, Nghỷ An.

nh cịc bỰn ệđĩc khen ẻ bừa 2.

Ngun Ngäc H©n
o

o o

MKN MKN (MKM NKN)

KND (NKN NNK) KND (180 KNN)
BNN (BNK KND) 180 90 .

’ ’ ’ ’

’ ’ ’ ’ ’

’ ’ ’

MMK NNK’ ’

MM NK .
MK NN’’ ’’

MM CM cot BCcot BC
MK’’ BN’ ’ BD BDtan

o
1

MCB MAB CAB 90
2

BC

NK MB ₂ BC _.

BD

NN ND.tan _{tan .} BD.tan
2

’ ’
’ ’

NDB NAB.

MMK NNK.’ ’

2

1 3 x 1 3 x 3 x _{3 x ;}
x 4 y xy (4 y)y _{4 (y 2)} 4

3 y 1 y 4 7 x 3 6
3(y 1)

2 2 2 y 1 7 x

3 x 6 7 x 6 2 4

A ( ) .

6 7 x 6 7 x 3 3
x 1 4 ₁ 1 4 1 3 x_.

x x 1 x x 1 x x 1

Bội 1NS.Từm cịc nghiỷm nguyến dđểng cựa phđểng trừnh

lđu lý tđẻng(GV. THCS Vẽn Lang, TP. Viỷt Trừ, Phó Thả)

Bội 2NS.Cho cịc sè thùc dđểng a, b, c tháa mởn bc 8ac 27ab abc.
Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa biÓu thc: P a2 b2 c2 729.

tạ minh hiếu(GV. THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc)

Bi 3NS. Cho tam gic nhn ABC néi tiạp ệđêng trưn (O). Vỳ ệđêng
kÝnh AD cựa ệđêng trưn. ậđêng thỬng qua D song song vắi AC cớt AB
tỰi M, ệđêng thỬng qua D song song vắi AB cớt AC tỰi N. Gải K lộ trung ệiÓm cựa BC, I lộ tẹm ệđêng
trưn ngoỰi tiạp tam giịc AMN. Chụng minh rỪng AI // DK.

nguyễn đức tấn (TP. Hồ Chí Minh)

x 2y 1 y 2x 1 2xy.

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

26

Viỷc giời bội toịn bỪng nhiÒu cịch lộ mét trong
nhọng phđểng phịp hảc tẺp hiỷu quờ. Ta hởy
cỉng giời bội toịn sau.

Bài tốn.Cho hình vng ABCD. Trên cạnh CD lấy
điểm M sao cho CM 2DM. AM cắt BD tại E. Gọi
N là trung điểm của BC. Chứng minh AM EN.
Lời giải.Ta sẽ chứng minh tứ giác ABNE nội tiếp.
Mà ABN 90onên AEN 90o hay AM EN.
Cách 1.Đặt AB 6a. Khi đó CM 4a, DM 2a,
NB NC 3a. Theo định lí Pytago ta có

Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho
BK DM 2a. Suy ra NK 5a.

Ta có ABK ADM (c.g.c)
AK AM và BAK DAM.
Do đó KAM BAD 90o.

Mặt khác, ta có NAK NAM (c.c.c)

NAK NAM.

Do ú NAM 45o.

Mà NBD 45onên NAM NBD.

Vậy tứ gi¸c ABNE néi tiÕp.

Cịch 2.Gải O lộ tẹm hừnh vuềng. Ta tÝnh ệđĩc

Suy ra AOE ABN (c.g.c)

AEO ANB.

Do đó tứ giác ABNE nội tiếp.

Cịch 3.Gải F lộ giao ệiĨm cựa AN vắi BD.
ịp dơng ệỡnh lÝ Pytago vộ ệỡnh lÝ TalĐt, ta tÝnh ệđĩc
BD, AN, DN, BF, AF, NF.

Tõ ệã tÝnh ệđĩc EF vộ suy ra
Suy ra AFE BFN (c.g.c)

FAE FBN. Do đó tứ giác ABNE nội tiếp.
Cách 4.Dựng EI BC.

Vì ED EO và EI // ON nên IC IN.
Do đó ENC cân tại E ENC ECN.
Mặt khác, ta có EBC EBA (c.g.c)

ECB EAB. Do đó ENC EAB.
Vậy tứ giác ABNE nội tip.

Chú ý. Từ cách 4, ENC cân t¹i E, ta cã thĨ
chøng minh tiÕp nhð sau.

C¸ch 5.Ta suy ra

ENI AMD. Do ệã tụ giịc EMCN néi tiạp.
Mộ MCN 90onến MEN 90ohay AM EN.
Cịch 6.Ta tÝnh ệđĩc EN, EA vộ AN.

Suy ra EN2 EA2 AN2 nªn AEN 90o hay
AM EN.

EI AD 3.
IN DM

AF BF.
FE FN
AO AB 2

OE BN

1 1 1 1

DE DB DO AO OE OA.

4 2 2 2

2 2

MN CN CM 5a.

GIẢI BÀI TỐN

BẰNG NHIỀU CÁCH

Phan Đình ánh

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

27

ó khng phi l chic l trĨ nhÊt trến cẹy
bộng mứ. Nã nhó lến tõ ệẵu xuẹn nhđ
bao anh chỡ em khịc... Tõ hềm trêi
chuyÓn sang ệềng ệạn nay, nã thÊy rÊt nhiỊu anh
chỡ em cựa mừnh ệở chun mộu, ban ệẵu lộ ệá,
răi sau lộ mộu huyạt dô sÉm. Chử nhọng chiạc lị
cựa cẹy sao ệen bến cỰnh lộ vÉn cụ xanh, xanh y
nhđ hăi mỉa hỰ vẺy. Chiạc lị bộng thđêng nhừn lị
sao ệen vộ ao đắc mừnh còng ệđĩc xanh biạc nhđ
thạ.

Khi nhọng cển giã lỰnh trộn vÒ, chiạc lị bộng thÊy
anh chỡ em cựa mừnh cụ run rÈy răi rông dẵn, rông
dẵn. Cho ệạn mét hềm, trến cẹy mứ chử cưn duy
nhÊt mét mừnh nã. Nhừn sang bến cỰnh, thÊy lị
sao ệen vÉn ẻ yến trến cộnh, chiạc lị bộng lỰi ao
đắc mừnh cịng ệự sục mỰnh ệĨ khềng bỡ rơng. Răi
nã thẵm thi ệua vắi lị sao ệen. Nã sỳ cè hạt sục
ệĨ khềng bỡ rơng trđắc lị sao ệen. Nã chẽm chử
hót nhùa tõ cẹy mứ khề cỪn, cẵn mÉn hót hểi Èm

tõ nhọng giảt sđểng ệếm hiạm hoi... Nã lộm tÊt cờ
chử ệÓ cè gớng ệđĩc sèng trến cộnh lẹu nhđ cịc
bỰn sao ệen.

Mét hềm, hừnh nhđ ệở cuèi ệềng, trêi buèt giị, giã

bÊc thữi ộo ộo. Chiạc lị bộng cờm thÊy mừnh ệở
kiỷt sục. Nã ệở chuyÓn sang mộu ệá nẹu. Cuèng
nã hừnh nhđ khề lớm răi, chỬng cưn mÊy sục bịm
vộo cộnh nọa. Cã lỳ chử mét con ruăi ệẺu vộo
còng ệự lộm nã rểi. Chiạc lị bộng buăn bở nghỵ
ệạn giẹy phót lừa cộnh... Chĩt nã nhừn sang cẹy
răi hai chiạc, ba chiạc... VẺy lộ ệở cã nhọng chiạc
lị sao ệen rểi trđắc nã! VẺy lộ nã ệở khềng thua
lị sao ệen! VẺy lộ lưng khịt khao ệđĩc sèng cựa
nã ệở ệđĩc ệÒn ệịp! Lị bộng mửm cđêi răi vui vĨ
bay theo lộn giã cỉng mÊy chiạc l sao en...

Nguyễn Văn Linh

(8A, THCS Quang Trung, TP. Thanh Hóa,
Thanh Hóa)

C

hieỏc

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

28

Điều lệ cuộc thi đăng ở TTT2 số 140, 144. Câu hỏi đăng trên các số
tạp chí trong năm 2015.

Câu 7.Bạn hÃy liệt kê tôn giáo chính của các quốc gia trong ASEAN.
Câu 8.Bạn hÃy cho biết hồ nào lớn nhất Đông Nam á? Hồ này thuộc
quốc gia nào và có diện tích bao nhiêu ki l« mÐt vu«ng?

Cẹu 9.BỰn hởy cho biạt ệửnh nói nộo cao nhÊt ậềng Nam ị? Nói nộy
thuéc quèc gia nộo vộ cao bao nhiếu mĐt so vắi mùc nđắc biĨn?

BTC

CÂU HỎI KÌ 3

C©u 1. Khi gia nhËp ASEAN, ViƯt Nam trở thành
thành viên thứ bảy của hiệp hội này.

Cõu 2.Tên thủ đô của 10 quốc gia trong ASEAN
là: Ban-đa Xe-ri Be-ga-oan (tên tiếng Anh là
Bandar Seri Begawan) của Bru-nây (Brunei),
Phnôm Pênh (Phnom Penh) của Campuchia
(Cambodia), Gia-các-ta (Jakarta) của In-đô-nê-xi-a
(Indonesia), Viêng Chăn (Vientiane) của Lào
(Laos), Ku-a-la Lăm-pơ (Kuala Lumpur) và
Putrajaya (thủ đơ hành chính) của Ma-lai-xi-a
(Malaysia), Yangon và Nây-pi-đơ (Naypyidaw) (thủ
đơ hành chính) của My-an-ma (Myanmar), Ma-ni-la
(Manila) của Phi-lip-pin (Philippines), Singapore
City của Xin-ga-po (Singapore), Băng Cốc
(Bangkok) của Thái Lan (Thailand), Hà Nội
(Hanoi) của Việt Nam (Vietnam).

Câu 3. Diện tích của 10 quốc gia trong ASEAN,
theo thứ tự từ nhỏ đến lớn, đơn vị là ki lô mét
vuông: 707,1 (Singapore), 5765 (Brunei), 181035
(Cambodia), 236800 (Laos), 300000 (Philippines),

329847 (Malaysia), 331690 (Vietnam), 513115
(Thailand), 676578 (Myanmar), 1904569

(Indonesia).

NhẺn xĐt.Cịc bỰn sau ệđĩc khen kừ nộy: NguyÔn
Minh TrÝ, 6A2, Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh;

Lế ậục Thịi, 7A2, THCS Yến LỰc, Yến LỰc, Vỵnh
Phóc;Ngun ậẳng Sển, 9A, THCS Ngun Trởi,
Nam Sịch, Hời Dđểng; Ngun Vị Hộ, 6A3,
THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả.

BTC

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

29

Vui cười

Đi học về, con trai hăm

hở khoe:

- Sáng nay kiểm tra học kì,

con khơng hề nhìn bài của bạn, mẹ ạ.

- Thế mới đúng chứ! Kiểm tra môn gì

vậy con?

- Dạ, mơn thể dục.

- Trời!!!

Chị kiểm tra bài em:

- Theo em thì câu “Nước đến chân mới

nhảy” ý nói gì?

Em đang mải nghĩ đến mấy trị chơi,

giật mình đáp:

- Dạ... chắc câu này chê trách những

người không chịu nghe dự báo thời tiết ạ.

Chị: - Hả???

Tổ trưởng hỏi cả tổ:

- Tổ mình có nhiều bạn hay ngủ gật.

Bạn nào có sáng kiến gì để không bao

giờ chúng ta phải nghe thấy từ “ngủ

gật”nữa?

Tí nhanh nhảu:

- Dễ cực! Chỉ cần dùng một từ khác là

xong.

Các bạn nhao nhao:

- Cậu nói chẳng ai hiểu gì cả.

- Có gì mà khó hiểu? Thay từ ngủ gật

bằng một từ khác, ví dụ như “mỉm

cười” chẳng hạn. Khi đó, ai hay “ngủ

gật” sẽ bị nói là hay “mỉm cười”.

Cả tổ cười bị.

VŨ HOÀNG NAM

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

30

Năm 25.Bắt đầu thời kì đấu tranh chống ách
đơ hộ nhà Đơng Hán.

Nẽm 905. Khóc Thõa Dơ khẻi nghỵa dùng
qun tù chự cho ất nc.

Năm 1005.Lê Hoàn mất.

Nm 1075.Nc ta m khoa thi ệẵu tiến, Lế
Vẽn Thỡnh ệẫ ệẵu kừ nộy.

Lý Thđêng Kiỷt dứp quẹn Chiếm Thộnh ẻ biến
giắi.

Nẽm 1195.TriÒu ệừnh nhộ Lý tữ chục thi Tam
giịo chản ngđêi ra lộm quan.

Năm 1255. Có chức quan coi sóc vic ờ
iu (Chỏnh phú s H ờ).

Năm 1285. Hội nghị Diên Hồng chuẩn bị
chống quân Nguyên Mông lần 2.

Qun Trn rót vỊ Thiến Trđêng (nay lộ Nam
ậỡnh). Trẵn Hđng ậỰo nãi vắi vua: Bỷ hỰ muèn
hộng hởy chĐm ệẵu tềi ệi ệở.

Trẵn Bừnh Trảng nãi vắi giẳc khi bỡ dô dẫ: Ta thộ
lộm quũ nđắc Nam chụ khềng thÌm lộm vđểng
ệÊt Bớc.

Chiạn thớng Tẹy Kạt, Hộm Tỏ, Chđểng Dđểng.
9.6.1285 giời phãng Thẽng Long, ệỰi thớng quẹn
Nguyến Mềng lẵn 2. Thoịt Hoan chui èng ệăng
bá chỰy vÒ biến giắi. 24.6.1285 Toa ậề bỡ chĐm
ệẵu ẻ Thiến Trđêng - Thiến MỰc (Nam ậỡnh).
9.7.1285 vua vÒ lỰi Thng Long.

Năm 1425. Đinh Lễ chỉ huy quân Lam Sơn
hạ thành Diễn Châu, vây thành Tây Đô.

Nm 1455.Phan Phu Tiờn bắt đầu soạn Đại
Việt sử kí giai đoạn từ Trần Thỏi Tụng n ht
thi kỡ thuc Minh.

Năm 1505.Vua Lê Uy Mục lên ngôi.

Nm 1515.Phng Chng khi ngha Tam
o.

Năm 1525. Đạo Thiên Chúa bắt đầu truyền
bá ở Việt Nam.

Nm 1615.Chọ quèc ngọ hừnh thộnh do cịc
giịo sỵ Bă ậộo Nha vắi sù gióp ệì cựa ngđêi
Viỷt vỉng Bỉi Chu, Nam nh, Pht Dim, Ninh

Bình và Nghệ An... sáng tạo ra.

Nẽm 1625. Quẹn Trỡnh ệịnh Cao BỪng, bớt
ệđĩc MỰc KÝnh Cung. MỰc KÝnh Khoan hng
qun Trnh.

Năm 1635. Chúa Nguyễn Phúc Lan kế vị
Nguyễn Phúc Nguyên.

Nm 1655.Bt đầu cuộc chiến Lê - Nguyễn.
Quân Nguyễn và Trịnh tranh giành đất vùng
Nam Ngh An.

Năm 1765. Chúa Nguyễn Phúc Thuần kế vị
Nguyễn Phúc Kho¸t.

Năm 1775. Nạn đói ở Huế và Quảng Nam.
Qn Trịnh chiếm Phú Xuân. Nguyễn Phỳc
Thun chy vo Qung Nam.

Năm 1785. Nguyễn Huệ thắng quân Xiêm
trận Rạch Gầm - Xoài Mót.

Nẽm 1825. Phịp trừnh quèc thđ vộ muèn
thềng thđểng vắi Viỷt Nam. TriÒu ệừnh Nguyễn
từ chối.

Năm 1835.Năm sinh nhà thơ Nguyễn Khuyến,
sinh tại ýYên, Nam Định.

Nm 1855. Cao B Qut lnh tụ khi ngha
M Lđểng hy sinh.

Năm 1865. Triều đình tổ chức thi Võ. Từ đây
3 năm một lần thi Hội Võ và Đình Võ.

Vâ Duy Dđểng ẻ Nam Kỳ khi ngha chống
Php v triều nh.

Năm 1875.Nguyễn Hữu Huân hi sinh.

Nm 1885.Sự bin Kinh thnh Hu. Bớt ệẵu
phong trộo Cẵn Vđểng. ậăng Khịnh nhẺp
trđêng thi Hộ Néi vộ Nam ậỡnh thi tỰi Nam ậỡnh
gải lộ trđêng Hộ Nam. Trđêng nộy tăn tỰi ệạn
khãa thi 1915.

Khởi nghĩa Hóc Mơn do Quản Hớn lãnh đạo.
Pháp đánh chiếm Lạng Sơn.

Nẽm 1895. Phịp phị bá thộnh Nam ậỡnh,
thộnh lắn thụ 3 sau Huạ, Hộ Néi, chử giọ lỰi cét
cê vộ chia thộnh phè thộnh 10 phè 40 ệđêng.
Nẽm sinh nhộ thể ịNam Trẵn TuÊn Khời, quế
Nam ậỡnh.

NHỮNG NĂM LẺ 5

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

31

Hỏi:

Khi gửi bài tham gia mục Giải toán qua

th thì em phải dán phiếu đăng kí dự thi vào

đâu ạ?

Một bạn quên ghi tên

Đáp:

Phiếu đăng kí dự thi

Cắt ra rồi dán lại

Vo ngay góc phong b

Th l xong ệẽng kÝ

Bớt ệẵu ệđĩc dù thi.

Hỏi:

Anh cho em hỏi ở TTT2 đã bao giờ có

mục thơ hay truyện ngắn chða ạ?

Ngun Thu Lan

(6C, THCS Ngun Cao, Q Vâ, B¾c Ninh)

Đáp:

Thnh thong cũng có th

i khi có ng truyn

Nhng v lộ bịo toịn

Nến khềng cã chẫ nhiÒu

Thđêng chử gản Ýt cẹu

Hĩp tđ duy dẹn toịn.

Hỏi:

Nếu ở chuyên mục Giải tốn qua thð có

những bài liên quan tới kiến thức em chða học

đến thì em có phải làm khơng ạ?

Mét bạn quên ghi tên

Đáp:

Dần dần em sẽ giỏi lên

c thm ệĨ hiĨu nhiỊu hển mẫi ngộy

Răi em sỳ giời ệđĩc bội

Tù hảc sịch bịo ệđêng ngoội nến ệi.

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

32

Bài 1(145). Tìm số d khi chia 499

cho 21.

lê bá hoàng

(Phòng Giáo dục - Đào tạo Hồng Lĩnh,
Hà Tĩnh)

Bài 2(145).Cho tam giác ABC vuông
cân tại A. Lấy điểm M bên trong tam
giác sao cho

Chøng minh r»ng BM BA.

nguyÔn khánh nguyên

(GV. THCS Hồng Bàng, Hải Phòng)

o
MBA MCB 30 .

Bội 3(145).Giời hỷ phđểng trừnh

l¹i quang thä

(Phưng Giịo dơc - ậộo tỰo Tam Dđểng, Vỵnh Phóc)

Bội 4(145). Cho a, b lộ cịc sè thùc dđểng.
Chụng minh rỪng

ng« văn thái

(GV. THPT Phạm Quang Thẩm, Vũ Th, Thái Bình)

Bài 5(145). Cho A là tập hợp gồm 5 phần tử là những số
nguyên. Kí hiệu S {x y| x, y A}. BiÕt r»ng S cã 9 phần tử.
Chứng minh rằng tổng các phần tử của A chia hÕt cho 5.

trỡnh hoội dđểng

(GV. THCS Gi¶ng Vâ, Ba Đình, Hà Nội)

Bi 6(145).Cho tam gic ABC. Trn cnh AB lÊy hai ệiÓm D,
E sao cho AD BE vộ D nỪm giọa A, E. ậđêng thỬng qua E
song song vắi AC cớt CB vộ CD tđểng ụng tỰi M, N. Chụng
minh rỪng

thịi nhẺt phđĩng

(GV. THCS NguyÔn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh,
Khánh Hòa)

2
ME _{CD .}
MN CN

5 5

3

2 2

a b _{a b.}
2
a b

4 4 3 3 2 2

x y 1

x y x y x y .

1(145).Find the remainder when 499is divided by 21.

2(145). Let ABC be a right isosceles triangle with the right angle at A. Let M be a point inside the
triangle such that MBA MCB 30o. Prove that BM BA.

3(145).Solve the following simultaneous equations

4(145).Letaand bbe positive real numbers. Prove that
5(145).LetAbe a set of 5 integers. Denote

S {x y| x, y A}. Given that S has 9
elements, prove that the sum of the
elements of Ais divisible by 5.

6(145). Given a triangle ABC. Let D andE

be two points on ABsuch that AD BEand

D is between A and E. The line passing
throughEand parallel to ACintersects the
linesCBandCDatMandN, respectively.
Prove that ME CD 2.

MN CN

5 5

3

2 2 ₂ .

a b a b

a b

4 4 3 3 2 2

1

.

x y

x y x y x y

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34></div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35></div>

<!--links-->