Tạp chí Toán học tuổi thơ kỳ số 142

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1></div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2></div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2

Trong chđểng trừnh hừnh hảc lắp 7 hảc sinh ệở
ệđĩc hảc vÒ cịc ệđêng cao trong tam giịc. Bội
viạt nộy chóng tềi xin ệđa ra mét sè bội toịn hay
cã liến quan ệạn ệđêng cao trong tam giịc.
1. Bội toịn sỏ dông ệỡnh lÝ Ta-lĐt, hỷ quờ cựa
ệỡnh lÝ Ta-lĐt, tÝnh chÊt ệđêng phẹn giịc cựa
tam giịc, tam giịc ệăng dỰng

Bội toịn 1.Cho tam giịc nhản ABC, cịc ệđêng
cao AD, BE, CF cớt nhau tỰi H.

Chøng minh r»ng
a) AE.AC AF.AB;

b) AEF ABC;

c) AH.DH BH.EH CH.FH;
d) EH là tia phân gi¸c cđa

e) H lộ giao ệiÓm ba ệđêng phẹn giịc cựa tam
giịc DEF;

f) KH.AD AK.HD, víi K lµ giao điểm của AH và EF.
Lời giải

a) Ta có AEB AFC (g.g)
AE.AC AF.AB.

b) Vì nên EAF BAC (c.g.c).
c) Ta cã AEH BDH

EH.BH DH.AH. (1)
Tđểng tù DH.AH FH.CH. (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra AH.DH BH.EH CH.FH.

d) Tõ AEF ABC (3)

Tđểng tù (4)

Tõ (3) vµ (4), suy ra (5)

nến EH lộ tia phẹn giịc cựa
e) Chụng minh tđểng tù phẵn d ta cã FH lộ tia
phẹn giịc cựa cựa gãc Do ệã H lộ giao ệiÓm
ba ệđêng phẹn giịc trong cựa DEF.

f) Ta cã EH lộ ệđêng phẹn giịc trong vộ EA lộ
ệđêng phẹn giịc ngoội ti nh E ca EKD nn

KH.AD AK.HD.

2. Bài toán sử dụng công thức tính diện tích
tam giác

Bi ton 2. Cho tam giịc nhản ABC cã BC a,
AC b, AB c vộ ệé dội ba ệđêng cao tđểng ụng
lộ h_a, h_b, h_c. Gải khoờng cịch tõ O ệạn BC, CA,
AB lẵn lđĩt lộ x, y, z.

Chøng minh rằng
Lời giải

Ta có

Từ (1) và (2) suy ra

BOC ABC BOC

a ABC

2S 2S S

x _: _{. (3)}

h a a S

ABC

ABC 1 a a 2S

S a.h h . (2)

2 a

BOC

BOC 1 2S

S ax x . (1)

2 a

a b c

x y _{z 1.}

h h h

HK AK
HD AD

DFE.

DEF.
FEH DEH

AEF DEC.
ABC DEC.

AEF ABC.
EH AH
DH BH
AE AB

AF AC
AE AB
AF AC

DEF;

MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN N

ng cao trong tam giỏc

phạm đăng thuộc

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

3

Tđểng tù ta cã

Céng theo vÕ cđa (3), (4) vµ (5) ta cã

3. Bài tốn sử dụng định lí Py-ta-go

Bội toịn 3. Cho tam giịc nhản ABC, ệđêng cao
BK. Chụng minh rỪng BC2 AB2 AC2 2AC.AK.
Lêi giời

áp dụng định lí Py-ta-go ta có

BC2 BK2 KC2 AB2 AK2 KC2
AB2 (KC2 AK2)

AB2 (KC AK)(KC AK)
AB2 AC(AC AK AK)
AB2 AC(AC 2AK)
AB2 AC2 2AC.AK.

4. Bội toịn sỏ dông tử sè lđĩng giịc cựa gãc
nhản, cịc hỷ thục liến hỷ giọa cỰnh vộ gãc
trong tam giịc vuềng

Bội toịn 4.Cho tam giịc nhản ABC. Gải H lộ trùc
tẹm, kĨ ệđêng cao AD cựa tam giịc ABC. Chụng
minh rng

Lời giải

Ta có

Từ (1) và (2) suy ra (3)

Vì nên DBH DAC

BD.CD AD.DH. (4)
Từ (3) vµ (4) suy ra

5. Bội toịn sỏ tÝnh chÊt ệđêng trung tuyạn
trong tam giịc vuềng

Bội toịn 5.Cho tam giịc nhản ABC, cịc ệđêng cao
AD, BE, CF cớt nhau tỰi H. Gải M, N, P, Q, R, I lẵn
lđĩt lộ trung ệiÓm cựa AB, AC, BC, AH, BH, CH.
Chụng minh rỪng 9 ệiÓm D, E, F, M, N, P, Q, R vộ I
cỉng nỪm trến mét ệđêng trưn (ệđêng trưn ầ-le).
Lêi giời

Ta cã cịc tụ giịc MNIR, MQIP lộ cịc hừnh chọ
nhẺt nến 6 ệiÓm M, N, P, Q, R, I cỉng nỪm trến
ệđêng trưn tẹm O lộ giao ệiÓm cựa MI, PQ vộ NR.
Suy ra MI PQ NR vộ OM ON OP OQ

OR OI.

Do đó

VẺy 9 ệiĨm D, E, F, M, N, P, Q, R vộ I cỉng nỪm
trến mét ệđêng trưn.

Bµi tËp

Bội 1.Cho tam giịc ABC, cịc ệđêng cao AD, BE,
CF cớt nhau tỰi H. Gải M, N, P, Q theo thụ tù lộ
hừnh chiạu vuềng gãc cựa D xuèng BA, BE, CF,
CA. Chụng minh rỪng

a) MN EF;

b) C¸c điểm M, N, P, Q thẳng hàng.

Bi 2.Cho tam gic ABC cã cịc ệđêng
cao BE, CF, biạt BC a . TÝnh EF.

o
A 45 ,

1 1

OF OM OI MI; OD OP OQ PQ.

2 2

1

OE ON OR NR;

2
2
AD AD
tanB.tanC .
AD.DH HD
BD DH
AD DC
CAD HBD
2
AD
tanB.tanC .
BD.CD
AD AD

tanB . (1); tanC . (2)

BD CD

AD
tanB.tanC .

HD

BOC AOC AOB

a b c ABC ABC ABC

BOC AOC AOB ABC

ABC ABC

S S S

x y z

h h h S S S

S S S S _1.

S S

AOC AOB

b ABC c ABC

S S

y _{. (4);} z _{. (5)}

h S h S

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

4

NhẺn xĐt.ậẹy thùc chÊt lộ bội toịn từm tẺp giị trỡ
cựa hộm sè f(x) |x2 3| |5 x2|. Nhọng giị trỡ
cựa a sao cho a 3 nỪm ngoội tẺp giị trỡ nộy thừ
phđểng trừnh về nghiỷm. Trong lêi giời ệở cho sai

ẻ chẫ f(x) 0, nhđng khềng cã giị trỡ nộo cựa x ệÓ
f(x) 0, tục lộ từm sai GTNN cựa f(x). ậa sè cịc
bỰn từm ra GTNN cựa f(x) lộ 2, tõ ệã suy ra a 5
thừ phđểng trừnh về nghiỷm. NhiÒu bỰn chử nếu ra
ý kiạn khềng ệăng ý vắi lêi giời ệở cho nhđng
khềng chử ra chẫ sai mẳc dỉ ệđa ra ệđĩc lêi giời
ệóng. Cịc bỰn nến nhắ cã hai yếu cẵu cựa
chuyến mơc lộ: Sai ẻ ệẹu? Sỏa cho ệóng.
Lêi giời ệóng. Ta cã

f(x) |x2 3| |5 x2| |x2 3 5 x2| 2.
f(x) 2 khi vµ chØ khi x2 3 vµ 5 x2cïng dÊu

Khi x2 3 hoặc x2 5 thì f(x) |2x2 8| nên có
thể đạt giá trị lớn tùy ý.

VẺy phđểng trừnh về nghiỷm khi vộ chử khi
a 3 2 hay a 5.

Chú ý: Đặt x2 t 0. Các bạn có thể vẽ đồ thị của
hàm số f(t) để quan sát một cách trực quan kết
quả của bài toán này.

Cịc bỰn ệđĩc nhẺn giời kừ nộy: ậẺu Anh Kiến, 8A,

THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu, Nghỷ An;Phan
Trẵn Hđắng, 9A, THCS Quịch Xuẹn Kú, Hoộn
Lởo, Bè TrỰch, Quờng Bừnh;Ngun Trung Dịng,
8A, THCS Lế Vẽn Thỡnh, Gia Bừnh, Bớc Ninh;Lế
Ngảc Hoa, 7E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng,

Vỵnh Phóc.

anh kính lúP

2 3 x 5

3 x 5

5 x 3.

Bài toán.Tìm giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức
Lời giải.ĐKXĐ: x 0, y 0.

Ta có

Vậy A_min 2015 khi x y 9.

Các bạn có nhận xét gì về lời giải trên, phải chăng đã nhầm lẫn?

Ngun trọng thọ

(GV. THCS Nguyễn TrÃi, Nghi Xuân, Hà Tĩnh)

x y 0

A 2015 x y 9 : tháa m·n.

x 3 0

2 2

A ( x y) ( x 3) 2015 2015.

A (x y 2 xy) (x 6 x 9) 2015
A 2x y 2 xy 6 x 2024.

(TTT2 sè 139)

CÓ CHĂNG ĐÃ NHẦM LẪN?

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

5

Ngun Tn Anh

(HS. 10A1, THPT Phơ Dơc, Quỳnh Phụ, Thái Bình)

(TTT2 s 140)
Nhn xột.Quy lut c hai bài kì này đều quá dễ.

Tất cả các bài gửi đều cho đáp án đúng. Chỉ có ít
bạn lập luận chặt chẽ quy luật cả hai bài.

Quy luẺt. Bội 1.Mẫi sè, kĨ tõ sè thụ hai bỪng sè
ệụng liỊn trđắc nã céng vắi 9. VẺy sè cưn thiạu
cẵn ệiÒn vộo dởy 6 15 24 33 42 lộ 51.

Bội 2.Cã nhiÒu quy luẺt, trong mẫi hừnh, sè trong
ề vuềng ẻ gãc dđắi bến phời bỪng sè ẻ gãc trến
bến trịi nhẹn vắi 9; hoẳc bỪng sè ẻ gãc dđắi bến
trịi nhẹn vắi 3; hoẳc bỪng sè ẻ gãc trến bến phời
chia cho 3. Theo mét trong cịc quy luẺt ệã thừ sè

cẵn ệiÒn lộ 63.

Xin trao thđẻng cho cịc bỰn phịt hiỷn ra nhiỊu
quy luẺt: Ngun Phđểng Thờo, NguyÔn Họu
Trung Kiến, 7A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao,
Phó Thả; PhỰm Thỡ Phđểng Linh, 6E2, THCS
Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phúc; on

Hoàng Đức, 7A, THCS Phan Đình Phùng, Đông
Hà, Quảng Trị; Nguyễn Duy Minh Hoàng, 7C,
THCS Cao Xu©n Huy, DiƠn Ch©u, NghƯ An.

ngun Xu©n Bình

ẹIEN SO COỉN THIEU

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

6

Bài toán 1.Cho a, b 0. Chøng minh r»ng

Chøng minh.HiĨn nhiªn ta cã

XÐt hiÖu

Suy ra ệpcm. ậỬng thục xờy ra khi vộ chử khi a b.
Bội toịn tững quịt. Vắi sè nguyến dđểng n 1
vộ n sè thùc khềng ẹm a₁, a₂,... , a_n, ta cã

Chøng minh.Ta chØ cÇn chøng minh

BĐT này đúng do áp dụng BĐT AM - GM cho n s
thc khụng õm

Suy ra đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a₁ a₂ ... a_n.
Bài toán 2.Cho a, b 0. Chứng minh rằng
Chứng minh.Ta cã

BậT nộy ệóng do ịp dơng BậT AM - GM cho hai
sè dđểng a 1 vộ b 1.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b.
Mặt khác

BT ny ỳng do ỏp dng BT AM - GM cho hai
s khụng õm a, b.

Đẳng thức xảy ra khi vµ chØ khi a b.

Bội toịn tững quịt. Vắi sè nguyến dđểng n 1
vộ n sè thùc khềng ẹm a₁, a₂,... , a_n, ta cã

Chøng minh.Ta cã

BĐT này đúng do áp dụng BĐT AM - GM cho n số
thực không âm a₁ 1, a₂ 1,..., a_n 1.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a₁ a₂ .... a_n.
Mặt khác

BT ny ỳng do ta ỏp dụng BĐT AM - GM rồi

cộng theo vế hai kết quả lại:

Nhận xét.Từ BĐT AM - GM, chúng ta đã tìm cách
làm chặt hơn bằng hai bài tốn trên. Các bạn hãy
tìm thêm các cách khác để làm chặt hơn những
BĐT đã biết nhé.

1 2 n 1 2 n

n

1 2 n 1 2 n

n

1 2 n 1 2 n

a _. a _... a 1 a a _... a _;

a 1 a 1 a 1 n a 1 a 1 a 1

1 _. 1 _... 1 1 1 1 _... 1 _.

a 1 a 1 a 1 n a 1 a 1 a 1

n ₁ ₂ _n n _{1 2} _n

n ₁ ₂ _n n _{1 2} _n

1 2 n

n n

1 2 n 1 2 n

(a 1)(a 1)...(a 1) 1 a a ...a
(a 1)(a 1)...(a 1) a a ...a 1

a _. a _... a 1 _. 1 _... 1 _1.
a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1

1 2 n _{n 1}

2 n

1 2 n

n 1 2 n

a a ... a _{(a 1)(a} _{1)...(a 1) 1}
n

(a 1) (a 1) ... (a 1)
n

(a 1)(a 1)...(a 1).

1 2 n _{n 1}

2 n

n 1 2 n

a a ... a _{(a 1)(a} _{1)...(a 1) 1}
n

a a ...a .

2
(a 1)(b 1) ab 1

(a 1)(b 1) ( ab 1) a b 2 ab.
(a 1)(b 1) 1 ab

a b _{(a 1)(b 1) 1} a b 2 _{(a 1)(b 1)}

2 2

(a 1) (b 1) _{(a 1)(b 1).}
2

a b _{(a 1)(b 1) 1} _ab.
2

1 2 2 3 n 1

a a , a a ,... , a a .

1 2 n n _{1 2} _n

2 2 2

1 2 2 3 n 1

1 2 2 3 _{n 1 n}

1 2 n
a a ... a _{a a ...a}

n

1 ( a a ) ( a a ) ... ( a a )
2n

a a a a ... a a _{a a ...a .}
n

1 2 n n _{1 2} _n

2 2 2

1 2 2 3 n 1

n 1 2 n

a a ... a _{a a ...a}
n

1 ( a a ) ( a a ) ... ( a a )
2n

a a ...a .

2 2 2

1_{( a} _b) 1_{( a} _b) 1_{( a} _b) _0.

2 4 4

2
a b _ab 1_{( a} _b)

2 4

2
1

ab ( a b) ab.

4

2

a b _ab 1_{( a} _b) _ab.

2 4

LÀM CHẶT HƠN

bất đẳng thức AM - GM

nguyễn đức tấn(TP. Hồ Chí Minh)

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

7

C©u 1. TÝnh

a) A 150 (100 99 98 97 … 3 2 1);
b) B 1 3 32 33 ... 3200;

c)

Câu 2. a) So sánh vµ .

b) Chøng tá r»ng: NÕu 9x 5y chia hÕt cho 17 th×
2x 3y chia hÕt cho 17.

Câu 3. a) Tìm x, biết

b) Tỡm s tự nhiên n để có giá tr ln
nht.

Câu 4.1. Cho và là hai góc kề bù. Biết
a) Tính số đo và .

b) Gải Om lộ tia phẹn giịc cựa TÝnh sè ệo
2. Cho 2015 ệđêng thỬng, trong ệã hai ệđêng
thỬng bÊt kừ nộo còng cớt nhau vộ khềng cã ba
ệđêng thỬng nộo cỉng ệi qua mét ệiÓm. TÝnh sè
giao ệiÓm cựa cịc ờng thng ó.

Câu 5.Cho a, b là hai số nguyên, a và b nguyên tố
cùng nhau. Chứng minh rằng là phân số tối
giản.

8a 3b
5a 2b
xOm.

yOz.
yOz

xOz
yOz 4xOz.

yOz
xOz

15
A

n 9
15 _3x 4 17_.

2 3 4

55
66
66
55

2013 2013 2013 _... 2013

2 3 4 2014

C _{2013 2012 2011} ₁ .

...

1 2 3 2013

ẹEÀ THI HOẽC SINH GIỎI LễÙP 6 CẤP HUYỆN

Thời gian làm bài:90 phút (không kể thời gian giao đề)

MÃ ĐỀ: RDKTH012

Bội 3.Cho tam giịc nhản ABC cã cịc ệđêng cao
BE vộ CF. Gải P lộ chẹn ệđêng vuềng gãc kĨ tõ E
ệạn AB, Q lộ chẹn ệđêng vuềng gãc kĨ tõ F ệạn
AC. Chụng minh rỪng PQ BC.

Bội 4.Cho tam giịc ABC. Gải H lộ trùc tẹm, G lộ
trảng tẹm, M lộ trung ệiÓm cỰnh BC, N lộ trung
ệiÓm cỰnh AC cựa tam giịc ệã. Cịc ệđêng trung
trùc cựa AC vộ BC cớt nhau tỰi O. Chụng minh
rỪng H, G, O thỬng hộng (ậđêng thỬng ầ-le)
Bội 5.Cho tam giịc nhản ABC néi tiạp ệđêng trưn
(O) ệđêng kÝnh BON. Gải H lộ trùc tẹm cựa tam giịc
ABC, ệđêng thỬng BH cớt ệđêng trưn (O) tỰi M.
a) Chụng minh rỪng

b) Gäi I là trung điểm AC. Chứng minh rằng H, I,
N thẳng hµng.

c) Chụng minh rỪng BH 2IO vộ tam giịc CHM cẹn.
Bội 6. Cho tam giịc nhản ABC, cịc ệđêng cao
AD, BE, CF cớt nhau tỰi H. Chụng minh rỪng

Bội 7.Cịc ệđêng cao kĨ tõ A vộ B cựa tam giịc nhản
ABC cớt nhau tỰi H vộ cớt ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam
giịc ABC lẵn lđĩt tỰi D vộ E. Chụng minh rỪng
a) CD CE;

b) BHD c©n;
c) CD CH.

Bội 8. Cho tam giịc nhản ABC, cịc ệđêng cao
AD, BE, CF cớt nhau tỰi H.

Chøng minh r»ng

a) AB2 HC2 BC2 HA2 CA2 HB2;
b) BC.HA AB.HC AC.HB 4S_ABC.

Bội 9. Cho tam giịc nhản ABC, cịc ệđêng cao
AD, BE, CF cớt nhau tỰi H. Gải K, M, N theo thụ
tù lộ trung ệiÓm cựa cịc ệoỰn thỬng AH, BH, CH.
Chụng minh rỪng KMN ABC.

HD HE HF 1._{AD BE CF}

ABM NBC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

8

B. Đề thi đồng đội

1.Hởy ệẳt mét cẳp dÊu ngoẳc vộo phĐp tÝnh sau
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2. Sao cho dÊu
ngoẳc ẻ bến trịi ệụng ngay trđắc sè 2 vộ dÊu
ngoẳc ẻ bến phời ệụng ngay sau sè 2. Xịc ệỡnh
giị trỡ lắn nhÊt cã thÓ cựa biĨu thục nhẺn ệđĩc.
(Japan ệỊ nghỡ)

2.Hởy chia 18 sè 1, 2, 3, ..., 18 thộnh chÝn cẳp sè
sao cho tững hai sè trong mẫi cẳp sè ệã lộ bừnh
phđểng cựa mét sè nguyến. (Bulgaria ệÒ nghỡ)
3.Trong hừnh vỳ dđắi ệẹy cho mét tam giịc vuềng
cẹn ệđĩc chia thộnh 4 hừnh tam giịc vuềng cẹn vộ
cịc hừnh vuềng. ậé dội cỰnh cựa cịc hừnh vuềng
lộ cịc sè nguyến dđểng. Mđêi hừnh vuềng nhá
nhÊt cã ệé dội cỰnh lộ 1 cm. Hởy tÝnh tững diỷn
tÝch 4 tam giịc vuềng cẹn ệđĩc tề mộu theo cm2.
(Philippine ệỊ nghỡ)

4.Mỗi gia đình trong 5 gia đình sống ở trong các
căn hộ số 2, 3, 4, 6 và 12 trong tịa nhà nhận ni
5 con mèo, tuổi của 5 con mèo đó là 1, 2, 3, 4 và
6. Số nhà của các gia đình là số chia hết cho số
tuổi của con mèo mà gia đình đó nhận nuôi. Số tất
cả các cách nhận nuôi mèo là bao nhiêu?

(Canada đề nghị)

5.Cịc sè nguyến dđểng 1, 2, 3, ..., 2014 ệđĩc viạt
liÒn nhau tỰo thộnh mét sè 12345678...20132014.
Mét sè cã 7 chọ sè chia hạt cho 11 cã ệđĩc bỪng
cịch xãa ệi cịc chọ sè ệỪng trđắc vộ cịc chọ sè

ệỪng sau sè ệã trong sè trến. Xịc ệỡnh giị trỡ nhá
nhÊt cã thÓ cựa sè cã 7 chọ sè ệã, biạt sè ệã cã
chọ sè tẺn cỉng bến trịi khịc 0. (China ệÒ nghỡ)
6. Trong hừnh vỳ sau hừnh lđắi lôc giịc ệÒu cã
ệđĩc bỪng cịch nèi 19 chÊm trong mét lđắi tam
giịc ệÒu.

(a) Hởy xịc ệỡnh sè cịc tam giịc ệÒu cã ệé dội
cỰnh khịc nhau vộ cã ệửnh lộ ba chÊm trong sè 19
chÊm ệở cho. Hởy vỳ mét tam giịc ệÒu cho mẫi
kÝch thđắc ệã.

(b) Hởy xịc ệỡnh sè tam giịc ệÒu cựa mẫi kÝch
thđắc cỰnh ệã. (Philippine ệÒ nghỡ)

7.Cịc ệéi A, B, C, D vộ E thi ệÊu vắi mẫi ệéi khịc
trong cịc ệéi ệã duy nhÊt mét trẺn. ậéi thớng
ệđĩc 3 ệiÓm, ệéi hưa ệđĩc 1 ệiÓm vộ ệéi thua
ệđĩc 0 ệiÓm. Khi cịc trẺn ệÊu kạt thóc khềng cã
hai ệéi nộo cã sè ệiÓm bỪng nhau. ậéi A ệđĩc
ệiÓm cao nhÊt mẳc dỉ ệéi A thua ệéi B. ậéi B vộ
ệéi C khềng bỡ thua trẺn nộo nhđng ệéi C ệđĩc Ýt
ệiÓm hển ệéi D. Hái ệéi E ệđĩc bao nhiếu ệiĨm?

(Singapore ệỊ nghỡ)

8.P là điểm nằm trong hình vng ABCD có cạnh
dài 8 cm. Tính giá trị lớn nhất có thể của diện tích,
theo cm2của tam giác có diện tích bé nhất trong
các tam giác PAB, PBC, PCD, PDA, PAC v
PBD? (Japan ngh)

DTH(Dịch và giới thiu)

THI OLYMPIC

TỐN HỌC TRẺ QUỐC TẾ TẠI HÀN QUỐC

(KIMC 2014)

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

9

9.Cho dởy sè găm 2014 sè cã hai chọ sè mộ mẫi
sè lộ béi cựa 19 hoẳc 23, vộ chọ sè hộng chôc cựa
bÊt kừ sè nộo trong cịc sè ệã kÓ tõ sè hỰng thụ hai
cựa dởy sè ệã còng bỪng chọ sè hộng ệển vỡ cựa
sè hỰng ệụng trđắc nã. Nạu sè hỰng cuèi cỉng
cựa dởy sè ệã lộ 23 thừ sè hỰng ệẵu tiến cựa dởy
sè ệã lộ sè nộo? (Bulgaria ệÒ nghỡ)

10. Cã 10 ệăng tiÒn xu thẺt cã khèi lđĩng gièng
nhau. Cã mét ệăng tiÒn xu giờ cã khèi lđĩng nẳng
hển khèi lđĩng ệăng xu thẺt vộ mét ệăng xu giờ
khịc cã khèi lđĩng bĐ hển khèi lđĩng ệăng xu
thẺt. Hởy giời thÝch tỰi sao chử bèn lẵn cẹn bỰn cã
thÓ xịc ệỡnh ệđĩc tững khèi lđĩng cựa hai ệăng
tiÒn xu giờ lắn hển, bỪng hay nhá hển tững khèi

lđĩng cựa hai ệăng xu thẺt. (Canada ệÒ nghỡ)

12.

Let the four given points be P, Q, R, S in order.
Observe that PR is horizontal with length 29.
Hence if we draw a vertical line segment from
Q to meet the square at T, the length of QT will
be 29 as well (think of rotation everything by
90o). Thus T has coordinates (42, 14). With
coordinates of S and T, we know that AD has
slope 0.5 while BA and CD have slope –2. We
can then find that the equations of AD, AB
and CD are x 2y 14 0, y 2x 89, and
y 2x 147 respectively.

Solving the first two equations gives the coordinates
of A to be (38.4, 12.2), while solving the first and
third equations gives the coordinates of D to be
(61.8, 23.8). It follows that the area of ABCD is
AD2 (61.6 38.4)2 (23.8 12.2)2 672.8.

Kì sau đăng tiếp

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

10

Câu 1: a) Đặt a 15m, b 15n, víi (m, n) 1.
Suy ra BCNN(m, n) 20.

Ta ệđĩc (m; n) (1; 20), (20; 1), (4; 5), (5; 4).
Tõ ệã (a; b) (15; 300), (300; 15), (60; 75), (75; 60).

b) Ta cã 143 11.13 13.11 1.143 143.1.
Vắi x, y , (x 1)(2y 5) 143 thừ x 1 vộ
2y 5 lộ nhọng đắc sè cựa 143.

Ta từm ệđĩc (x; y) (10; 9), (12; 8), (0; 74), (142; 3).
Cẹu 2:a) Ta cã 3S 32 33 34 ... 3101.
Suy ra 3S S 3101 3.

Do đó 2S 3 3101.

b) Ta cã S (3 32 33 34) (35 36 37 38)
... (397 398 399 3100)

120(1 34 ... 396).

VËy chữ số tận cùng của S là 0.

Câu 3:a) Ta cã

Víi n , A khi vµ chØ khi 2n 3 ¦(5) hay
2n 3 {5; 1; 1; 5}.

Từ đó n {1; 1; 2; 4}.
b) Với n 1 thì 2n 3 1

Víi n 2 th× 2n 3 1 (2n 3) 1

VËy 3 A 7.

A 3 t¹i n 1, A 7 t¹i n 2.

Vậy n 2 thì A đạt GTLN, n 1 thỡ A t GTNN.

Câu 4: a) Vì O nằm giữa A và B nên
Suy ra

Ta tính c

Vậy OD là tia phân giác của góc COE.

b) Ta có

Ta thấy tia OD nằm giữa hai tia OA, OB.
Suy ra tia OD nằm giữa hai tia OM, OK.
Do đó MOK MOD DOK 71 .o

o o

MOD 49 , DOK 22 .

o o o

EOD 44 , DOC 44 , EOC 88
EOC

EOD DOC .

2

AOE AOD AOC.

o
AOC AOB BOC 142 .

o
AOB 180

1 _{1 A 2} 5 _7.

(2n 3) 2n 3

5

A 2 3.

2n 3

1 ₁

2n 3

4n 1 4n 6 5 5

A 2 .

2n 3 2n 3 2n 3

Năm học 2013 - 2014 Môn: Toán lớp 6

THI GIAO LU HSG

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

11

Câu 5: Đặt

(vi m, n l nhng số nguyn dng).

Vì nên 9 n 32.

Vì m2tận cùng là: 0; 1; 4; 5; 6; 9 nªn
d {8; 9; 2; 3; 4; 7}.

Mµ n2tËn cïng lµ: 0; 1; 4; 5; 6; 9 nªn d {4; 9}.
TH1.d 4. Suy ra n tËn cïng lµ: 2; 8.

Suy ra n {12; 18; 22; 28}.
NÕu n 12 th×

Suy ra Do ệã m tẺn cỉng lộ 4
hoẳc 6 vộ 1400 m2 1600 37 m 40: loỰi.
Cịc trđêng hĩp n {18; 22; 28} còng bỡ loỰi.
TH2.d 9. Suy ra n tẺn cỉng lộ: 3; 7.
Suy ra n {13, 17; 23; 27}.

NÕu n 13 th×

Suy ra Do đó m tận cùng là 1
hoặc 9 và 1600 m2 1700 40 m 42.

Suy ra m 41, tháa m·n.

Cịc trđêng hĩp n {17; 23; 29} ều b loi.
Vy

Câu 6:Giả sử a b c.

Suy ra a b c 3c hay abc 3c ab 3.
Do đó (a; b) là (1; 1), (1; 2), (1; 3).

TH1.(a; b) lộ (1; 1). Ta ệđĩc 2 c c: loỰi.
TH2.(a; b) lộ (1; 2).

Ta ệđĩc 3 c 2c nến c 3: tháa mởn.
TH3.(a; b) lộ (1; 3).

Ta ệđĩc 4 c 3c nến c 2: loỰi.
VẺy (a; b; c) (1; 2; 3) vộ cịc hoịn vỡ.

abcd 1609.

abcd 1609 :
2

m 16c9 72.

abd 169.
2

m 14c4 72.
abd 144.
99 abd 1000

2 2

abcd 72 m , abd n
Bài 1.(1 điểm)Cho a 0 vµ
Chøng minh r»ng

Bội 2.(2,5 ệiĨm)Giời phđểng trừnh vộ hỷ phđểng
trừnh sau:

Bài 3.(2,5 điểm)a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh
của một tam giác thỏa mãn a b c 2. Chứng
minh rằng

b) Cho ba sè dđểng a, b, c. Chụng minh rỪng

Bội 4.(2 ệiÓm)Cho tam giịc ABC ệÒu néi tiạp
ệđêng trưn (O; R). Gải M lộ ệiÓm bÊt kừ thuéc
cung nhá BC, D lộ giao ệiÓm cựa MA vộ BC.

Chøng minh r»ng:
a) MA MB MC

c) MA2 MB2 MC2 6R2
d) MA4 MB4 MC4 18R4.

Bội 4. (2 ệiÓm)Cho tam giịc ABC cã ba ệđêng
cao AM, BN, CP cớt nhau tỰi H vộ néi tiạp ệđêng
trưn ệđêng kÝnh AK.

a) Chứng minh rằng PN vng góc với AK.
b) Cho BC cố định, A di chyển trên cung lớn BC.
Xác định vị trí của A để chu vi tam giác MNP đạt
giá trị lớn nhất.

MD MD

b) 1

MB MC

3 3 3

3 a 3 3 b 3 3 c 3 1.

a (b c) b (c a) c (a b)

2 2 2

52 a b c 2abc 2.
27

2 2

1 1

a) x 1 x

x x

(x y)(xy y 5) 8
b)

x y x(y 1) 3.

4 2

a 1 _2.

a a 1 a
2

4a a 2 2 0.

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG TOÁN LỚP 9

TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN I NGHA, TP. H CH MINH

Năm học: 2014 - 2015

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

12

Bội 1(140).Từm hai sè nguyến dđểng a vộ b ệÓ
nhẺn giị trỡ nguyến.

Lêi giời. Vừ a, b lộ cịc sè nguyến dđểng nến
a 1; b 1. Suy ra 0 Q 3.

ậÓ Q nhẺn giị trỡ nguyến thừ Q {1; 2; 3}.
+ Vắi Q 1, ta ệđĩc (a 1)(b 2) 2.

Do a, b * nến

a 1 1, b 2 2 hc a 1 2, b 2 1
hay (a; b) (2; 4), (3; 3).

+ Vắi Q 2, ta ệđĩc (2a 1)(b 1) 1.
Do a, b * nến

2a 1 b 1 1 hay (a; b) (1; 2).

+ Vắi Q 3, ta ệđĩc 2a(b 1) b(a 1) 0.
Do a, b * nến

b 1 a 1 0 hay (a; b) (1; 1).
Vậy để Q nhận giá trị nguyên thì
(a; b) (1; 2); (2; 4); (1; 1); (3; 3).

Nhận xét. Đây là một bài tốn khơng xa lạ với
các bạn nên khá nhiều bạn tham gia giải bài và
nhiều bạn giải theo cách của đáp án trên. Một số
bạn mắc sai lầm khi cho rằng để Q thì
Một số bạn sử dụng tính chất chia
hết trong tập hợp số nguyên để giải. Tuy nhiên
cách này dễ mắc thiếu sót trong lập luận hoặc dài
dòng.

Cịc em sau cã lêi giời tèt, trừnh bộy râ rộng:
Phỉng Quèc Lẹm, ậinh Vẽn Hiạu, 6E1; NguyÔn
Hời Yạn, 6D, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng; TỰ
Kim Thanh HiÒn, 6A4, THCS Yến LỰc, Yến LỰc,

Vỵnh Phóc; Trẵn Thỡ Kim Oanh, PhỰm Yạn Nhi,
6A, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh;
Phan ậục ậỰt, 7D, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn
Chẹu, Nghỷ An; NguyÔn Thỉy Dđểng, Bỉi Thỡ
Quúnh, NguyÔn Tỉng Lẹm, NguyÔn Họu Trung
Kiến, 7A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả;
Ngun Thỡ Bờo Dđểng, 6A4, THCS Cẵu GiÊy;
Ngun Vị Hỉng, 7E, THPT chuyến Hộ Néi
-Amsterdam, Cẵu GiÊy, Hộ Néi.

phïng kim dung

Bội 2(140).Từm tÊt cờ cịc sè nguyến dđểng khềng
thĨ biĨu diƠn dđắi dỰng tững cựa hai hĩp sè.
Lêi giời. Ta thÊy 4 lộ hĩp sè chơn nhá nhÊt, 9 lộ
hĩp sè lĨ nhá nhÊt.

Giờ sỏ a lộ sè nguyến dđểng khềng biĨu diƠn
ệđĩc dđắi dỰng tững cựa hai hp số.

+ Xét a là số chẵn, a 2k (k *).
Ta cã a 4 2(k 2).

Suy ra nÕu k 2 1 hay k 3 thì 2(k 2) là hợp
số: loại.

Thử lại ta thÊy a {2, 4, 6} tháa m·n.
+ XÐt a là số lẻ, a 2k 1 (k *).
Ta cã a 9 2(k 4).

Suy ra nÕu k 4 1 hay k 5 th× 2(k 4) là hợp
số: loại.

Th li ta thấy a {1, 3, 5, 7, 9, 11} tháa mởn.
Tãm lỰi, cã 9 sè nguyến dđểng tháa mởn ệÒ bội
lộ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11.

NhẺn xĐt.Cịc bỰn sau cã lêi giời tèt: NguyÔn Thỡ
Bờo Dđểng, 6A4, THCS Cẵu GiÊy, Cẵu GiÊy, Hộ
Néi; TỰ Nam Khịnh, 7E1, THCS Vỵnh Tđêng,
Vỵnh Tđêng; TỰ Kim Thanh HiÒn, 6A4, THCS Yến
LỰc, Yến LỰc, Vỵnh Phóc; Ngun Thỉy Dđểng,
7A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả.

Hå quang vinh

Bội 3(140). Từm tÊt cờ cịc cẳp sè nguyến dđểng
(m, n) tháa mn 10m 8n 2m2. (1)

Lời giải.(Theo lời giải của tác gi¶)

Bổ đề:Ta có 2k 2k 3 (2), với mọi số nguyên k 3.
Thật vậy, hiển nhiên (2) đúng với k 4.

Giả sử (2) đúng với k 4, 5,... , i.
Ta có 2i 1 2.2i 2.(2i 3) 4i 6

(2i 5) (2i 1) 2i 5 2(i 1) 3.
Do đó (2) đúng với k i 1.

Theo nguyên lí quy nạp, (2) đúng với mọi số
nguyên k 3.

Trë l¹i bài toán.

Xt m 1. Thay vo (1), ta ệđĩc n 1.

Khi m 1, ta thÊy 10m 8nchia hết cho 4. Suy ra
m là số chẵn.

Do ệã tăn tỰi cịc sè nguyến dđểng k, t (t lĨ) tháa
mởn m 2kt.

Thay vộo (1) ta ệđĩc 102 tk 23n 22k 1 2t . (3)
1 _,1 _.

a b

1 2
Q

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

13

Ta xĐt cịc trđêng hĩp theo k.

TH1.k 3.

+ NÕu 3n 2k 1 th× chia hÕt cho
22k 2(v× 2kt 2k 2k 3 theo (2)).

Mẳt khịc vừ t lộ sè nguyến dđểng lĨ nến 22k 1t2

khềng chia hạt cho 22k 2. VẺy (3) khềng tháa
mởn.

+ NÕu 3n 2k 1 th× 2kt 2k 3 3n nên
và 22k 1t2 cùng chia hết cho 23n 1. Mà 23nkhông
chia hết cho 23k 1 nên (3) không thỏa m·n.
+ XÐt 3n 2k 1.

Tõ (3) suy ra

Vừ t lộ sè nguyến dđểng lĨ nến 1 t2 khềng chia
hạt cho 4.

Suy ra 22k 1(1 t2) kh«ng chia hết cho 22k 3.
Mặt khác, vì 2kt 2k 2k 3 nên chia hết
cho 22k 3. Vậy (4) không thỏa mÃn.

Nh vậy với k 3 thì (3) không thỏa m·n.
TH2.k 1. (3) trë thµnh 102t 23n 8t2. (5)
+ XÐt t 1. Tõ (5) suy ra 23n 92: loại.

+ Xét t 3 và n 1. Suy ra 102t 23nchia hết cho 16.
Mà 8t2 không chia hết cho 16 nên (5) không thỏa
mÃn.

+ Xét t 3 và n 1. (5) trở thành 102t 8(1 t2):
loại vì 102t chia hết cho 32 còn 8(1 t2) không
chia hết cho 32.

Nh vậy với k 1 thì (3) không thỏa mÃn.

TH3.k 2. (3) trở thành 104t 23n 32t2. (6)
+ XÐt t 1. Tõ (6) ta có 23n 9968: loại.

+ Xét t 3 và n 1. Ta cã 104t 23nchia hÕt cho
64 cßn 32t2 không chia hết cho 64: loại.

+ Xét t 3 vµ n 1. (6) trë thµnh 104t 8 32t2:
loại vì 104t 8 không chia hết cho 16 còn 32t2chia
hÕt cho 16.

Nhð vËy víi k 2 th× (3) không thỏa mÃn.
TH4.k 3. (3) trở thành 108t 23n 128t2. (7)
Nếu n 2 thì 108t 23nkhông chia hết cho 128.
Mà 128t2chia hết cho 128: loại.

Nếu n 3 thì 108t 23nchia hết cho 256. Mà 128t2
không chia hết cho 256: loại.

Nh vậy với k 3 thì (3) không tháa m·n.
VËy (m; n) (1; 1).

NhẺn xĐt. ậẹy lộ bội toịn khã, phời xĐt nhiÒu
trđêng hĩp, chự yạu dùa trến tÝnh chia hạt. Cịc bỰn
gỏi bội giời ệÒu cã ệịp sè ệóng. Trong bội giời ệở
sỏ dơng tÝnh chÊt: “Nạu t lộ sè nguyến lĨ thừ t2chia

cho 4 dð 1”. Do đó 1 t2 khơng chia hết cho 4.
Các bạn sau đây có kết quả tốt: Tạ Lê Ngọc Sáng,
8A, THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam, Cầu Giấy,
Hà Nội; Nguyễn Hoàng Huy, 9A2, THCS Trần

Đăng Ninh, TP. Nam Định, Nam Định; Nguyễn
Tuấn Anh, Lê Long Vũ, 9A5, THCS Nguyễn Đăng
Đạo, TP. Bắc Ninh, Bắc Ninh.

Ngun Anh Dịng

Bµi 4(140).Cho x, y và z là các số thực thuộc khoảng
(0, 1) và thỏa mÃn xyz (1 x)(1 y)(1 z).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải. Từ giả thiết suy ra
Mà x, y, z (0, 1) nªn

ịp dơng bÊt ệỬng thục AM - GM cho 2 sè dđểng
ta cã

Do đó

(do ịp dơng bÊt ệỬng thục AM - GM cho 2 số
dng v (*)).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vy P t giỏ trị nhỏ nhất là

NhẺn xĐt. ậẹy lộ bội toịn hay vộ tđểng ệèi khã.
Mét sè bỰn quến ghi tến vộ ệỡa chử. Nhọng bỰn
sau ệẹy cã lêi giời ệóng vộ ngớn gản: TỰ Lế Ngảc
Sịng, ậộo ậục Minh, Chu Xuẹn Bịch, Cao
Quang Minh, 8A; ậoộn Ngảc Hiạu, 9B, THPT

chuyến Hộ Néi - Amsterdam, Cẵu GiÊy, Hộ Néi;

15.
2
x, y, z (0, 1)

xyz (1 x)(1 y)(1 z) ₁

x y z .

x y z ₂

1 1 1

x , y , z

4x 4y 4z

1 1 1 3 1 1 1

x y z

4x 4y 4z 4 x y z

1 1 1 3 15

2 x. 2 y. 2 z. .6 .

4x 4y 4z 4 2

1 1 1
P x y z

x y z

3
1 1 1 3
x y z

1 1 1

1 1 1 1

x y z 27

1 1 1 6. (*)
x y z

1 _{1 0,} 1 _{1 0,}1 _{1 0.}

x y z

1 ₁ 1 ₁ 1 _{1 1.}

x y z

1 1 1
P x y z .

x y z

k

2 t
10

k

2 t 2k 1 2

10 2 (1 t ). (4)

k

2 t

10

k

2 t 3n

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

14

Lế ậừnh Linh, NguyÔn Thỡ HỪng, 9B, THCS Lý
NhẺt Quang, ậề Lđểng; Lế Thỡ Thựy, 8A, THCS
Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu, Nghỷ An; NguyÔn
Thạ Hộ, 8A1, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc
Ninh;ậẫ Linh Chi, 9A2, THCS GiÊy Phong Chẹu,
Phỉ Ninh, Phó Thả; Ngun Hoộng Huy, 9A2,
THCS Trẵn ậẽng Ninh, TP. Nam ậỡnh, Nam ậỡnh;

PhỰm Hă Thờo Nguyến, 8C8, THCS Nguyễn
Nghim, TP. Qung Ngi, Qung Ngi

cao văn dũng

Bi 5(140).Cho đồ thị M có số đỉnh V, số cạnh E
và số miền R. Khi đó ta có cơng thức Euler nhð
sau: V E R 2.

Bạn hãy kiểm chứng cơng thức trên qua các hình
đồ thị sau:

Lời giải. a) ở hình a ta thấy số đỉnh V là 4, số
cạnh E là 4 và số miền R là 2 nên

V E R 4 4 2 2.

Công thức Euler đúng với đồ thị này.

b)ởhình b, đồ thị có số đỉnh là 5, số cạnh là 5 và
số miền là 2 nên

V E R 5 5 2 2.

Cơng thức Euler đúng với đồ thị này.

c)ởhình c, đồ thị có số đỉnh là 5, số cạnh là 6 và
số miền là 3 nên

V E R 5 6 3 2.

Công thức Euler đúng với đồ thị này.

d)ởhình d, đồ thị có số đỉnh là 6, số cạnh là 7 và
số miền là 3 nên

V E R 6 7 3 2.

Công thức Euler đúng với đồ thị này.

e)ởhình e, đồ thị có số đỉnh là 6, số cạnh là 8 và
số miền là 4 nên

V E R 6 8 4 2.

Công thức Euler đúng với đồ thị này.

Vậy công thức Euler đúng với các đồ thị đã cho.
Nhận xét. Đây là bài tốn mang tính giới thiệu
cơng thức Euler trong lí thuyết đồ thị hữu hạn. Các
bạn sau đây có lời giải tốt: Cao Thị Vân Anh, 8A,
THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An; Tạ
Lê Ngọc Sáng, Chu Xuân Bách, 8A, THPT
chuyên Hà Nội - Amsterdam, Cầu Giấy, Hà Nội;
Nguyễn Trung Dũng, 8A, THCS Lê Văn Thịnh, Gia
Bình,Bắc Ninh;Tạ Kim Thanh Hiền, 6A4, THCS
Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Nguyễn Thuận
Hðng, 8C, THCS Chu Văn An, Ngơ Quyền, Hải
Phịng.

TRỡNH Hoội Dđểng

Bội 6(140).Cho tam giịc ABC khềng cẹn, I lộ giao
ệiÓm ba ệđêng phẹn giịc trong. Dùng ID BC
(D BC), IO AD (O AD). Chụng minh rỪng
OD lộ tia phẹn giịc cựa gãc BOC.

Lêi gi¶i. Gäi E, F theo thø tù là tiếp điểm của (I)
và AB, AC; P, Q theo thứ tự là các điểm thuộc các
tia OE, OF sao cho BP // CQ // AD; K là giao điểm
của AD và PQ.

Vì nên tứ giác AEOF nội tiếp.
Kết hợp víi AE AF, BP // AO // CQ, ta cã

Từ đó, chú ý rằng BP // AO // CQ, EA FA, suy

Tõ (1) vµ (2) suy ra OPB OQC (c.g.c).
VËy

(®pcm).

Nhận xét.Bài tốn này có thể giải bằng kiến thức
lớp 8, tuy nhiên sẽ dài hơn lời giải trên. Tiếc là
không có bạn nào giải đúng bài tốn này.

ngun minh hµ
o

180 COQ QOA COD

o

BOD 180 BOP POA

OP KP DB EB EB FA PB OA

ra . .

OQ KQ DC FC EA FC OA QC
PB . (2)

QC

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

15

ChØ dïng 10 chữ số giống
nhau và những dấu phÐp tÝnh,
dÊu ngc, em h·y viÕt biĨu
thøc cã kÕt qu¶ b»ng 2014.

ngun ệục trđêng

(GV. THCS Đa Tốn, Gia Lâm,
Hà Nội)

DNG 10 CH S GING NHAU

BẠN TỐN NĨI ĐÚNG KHƠNG?

(TTT2 sè 140)
Ta chän a 0, b n672, c 2n672, víi n 2015.

Khi đó 2a b n672 (n336)2, 2b c (2n336)2v
2c a (2n336)2, tha món iu kin (*).

Mặt khác ta cã

(a b)(b c)(c a) ( n672)( n672)(2n672)
2n2016.

V× n 2015 nên 2n2016 20152014.
Vậy (a b)(b c)(c a) 20152014.

Vì n là số nguyên bất kì thỏa mÃn n 2015 nên có

vô số bộ ba số nguyên (a; b; c) thỏa mÃn điều kiện
bài toán.

Vy bn Toỏn núi ỳng.

NhẺn xĐt.Mét sè bỰn ệở giời bội toịn theo hđắng
từm nhọng bé ba sè (a; b; c) tháa mởn (*). ậiỊu ệã
lộ rÊt khã vộ cịng khềng ệi ệóng hđắng cựa ệÒ
bội. Mét sè bỰn khịc thừ từm cịch chản nhọng bé
ba sè (a; b; c) thÝch hĩp nhđng ệở chản khềng
ệóng. Phẵn thđẻng kừ nộy gịc lỰi sè sau.

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

16

S

áng nay, thám tử Sêlôccôc dậy sớm

để tới nhà ông Ben nhð đã hẹn. Đêm

qua, ông Ben gọi điện nhờ thám tử

điều tra giúp vụ mất trộm tại nhà riêng. Khi

thám tử tới nơi, ông Ben đã chờ sẵn ở cổng

với vẻ lo lắng và sốt ruột.

Råi chða kịp chào hỏi, ông than thở:

- Kh quỏ! Tụi va rút tiền ở ngân hàng về

thì mất ln. Chắc kẻ gian đã biết kế hoạch

của tôi nên mới ra tay nhanh nhð thế.

- Có lẽ vậy... Mà thơi, ơng bình tĩnh kể lại

mọi chuyện xem nào!

- Vẹng. Chuyỷn lộ thạ nộy. ChiỊu qua, tềi tắi

ngẹn hộng rót sè tiỊn khị lắn. Mải khi anh

Bềp thđêng lịi xe cho tềi nhđng hềm qua tềi

tù lịi vừ anh ta bỡ mỷt. VÒ tắi nhộ, tềi cÊt vộo

tự răi ệi tẺp thĨ dơc. Trđắc khi ngự, tềi ệỡnh

cho tiỊn vộo cẳp ệĨ sịng hềm sau mang ệi

thì... Trời ơi! Tồn bộ số tiền đã khơng cánh

mà bay.

- Khoờng 45 phót. Tềi ệi lóc hển 5 giê, vỊ

nhộ, tớm xong lộ gẵn 6 rđìi. Gẵn 7 giê tềi

ẽn cểm răi xem TV ẻ phưng khịch.

- Từ lúc ông mang tiền về cho tới đêm, có ai

tới nhà khơng?

- Khềng. Nhộ tềi hẵu nhđ lóc nộo cịng chử

cã tềi, anh lịi xe vộ hai ngđêi gióp viỷc.

- Hai ngđêi ệã lộ ai, lộm nhọng viỷc gừ?

- ậã lộ bộ Mari - néi trĩ vộ anh Giền - bờo

vỷ kiếm lộm vđên vộ sỏa chọa lẳt vẳt.

- ThẺt lộ khã ệÓ nghi hả vừ tềi thÊy cờ 3

ngđêi ệÒu tỏ tạ.

- Mét mÊt mđêi ngê... Tềi cẵn gẳp tõng

ngđêi ệÓ kiÓm tra xem cã gừ ệịng nghi

VUẽ MAT TIEN

nh ụng Ben

Tạ Khắc Thắng

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

17

khềng - thịm tỏ nãi răi quờ quyạt yếu cẵu

ềng Ben gi 3 ngời trong nh ti.

Đầu tiên là anh Andy - l¸i xe.

- Chiều qua, từ 5 giờ tới 6 giờ, anh đã làm

gì, ở đâu?

- Tềi bỡ mỷt nến chử nỪm trong phưng. Ngự

mét lóc răi tềi xem TV. Lẹu lớm răi tềi mắi

xem ệđĩc mét bé phim trản vứn. RÊt hay

thịm tỏ Ự.

- ThÕ µ? Anh xem phim g× vËy?

- Phim khoa học về lồi sẻ nhà. Lồi chim

bé nhỏ đó khơng ngờ lại sinh sống rất đơng

ở những vùng hoang mạc khô cằn.

- ThẺt đ? SĨ nhộ hãa ra tội giái hển ta tđẻng

nhử.

TiÕp theo lµ bµ Mari:

- Chiều tối qua, bà đã làm gì trong lúc ụng

Ben i tp th dc?

- Thì vẫn nh mọi ngày... Tôi nấu ăn, dọn

dẹp. Hôm qua cậu Andy kêu mệt nên tôi

nấu món súp gà mà cậu ấy a thích. Cả nhà

ai cũng khen ngon.

Cuối cùng là anh Giôn:

- Anh ó lm gì, ở đâu trong lúc ơng Ben đi

tËp thĨ dơc?

- Tềi tớm răi xem TV ệĩi ềng chự vÒ ẽn cểm.

Giê ệã tềi thđêng rẫi rởi mộ.

- Anh cã nhắ ệở xem chđểng trừnh gừ khềng?

- Tềi xem chđểng trừnh “Thiến nhiến kừ thó”,

nãi vỊ hiỷn tđĩng di cđ cựa loội cua. ậóng

lộ kừ thó thẺt!

- VẺy đ? Cã lỳ hềm nộo tềi còng phời dộnh

thêi gian xem phim khoa hảc mắi ệđĩc.

Sau khi hái chuyỷn cờ 3 ngđêi, thịm tỏ

Sếlềccềc nói vi ng Ben:

- Tôi tìm ra kẻ khả nghi råi.

* Theo các bạn, thám tử đã nghi ai? Vỡ

sao?

Không tặng sao biết là xoài?

Sêlôccôc thật tinh nhanh

Nghi ngay thự phỰm - mêi anh vÒ ệăn!

ậã lộ cẹu trờ lêi bỪng thể cựa bỰn Thịi Lam

Giang

(Hộ Tỵnh) vộ còng chÝnh lộ ệịp ịn cựa

cẹu hái kừ trđắc. Hẵu hạt cịc bỰn ệỊu ệđa ra

ệịp ịn ệóng, tuy nhiến, vÉn cưn mét sè bỰn

cã lỳ do chđa cÈn thẺn nến ệở trờ lêi sai.

Phẵn thđẻng ệđĩc gỏi tắi:

NguyÔn MỰnh

Tiỷc, 6A3, THCS Yến Phong, Yến Phong,

Bớc Ninh

;

NguyÔn Thỉy Linh, 6A8, THCS

Lđểng Khịnh Thiỷn, Kiạn An,

Hời Phưng

;

Trẵn Thu Thờo, 6C, THCS Hưa Hiạu 2,

TX. Th¸i Hòa,

Nghệ An

;

Thái Lam Giang,

6B, THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ;

Ngô

Minh Châu, 6C, THCS Xuân Diệu, thị trấn

Nghèn, Can Lộc,

Hà Tĩnh

.

Thám tử Sêlôccôc

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19></div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

19

Vị Kim Thđy

If heat causes temperature change,

Q C

mc

m: mass

c: specific heat capacity

J/(gC); J/(gK)

C: heat capacity

J/C; J/K

, t, T: temperature

C; K

Pt mc

Question 1.

12000 J of heat energy raises

the temperature of a 2 kg block of a metal

from 20

o

C to 30

o

C.

What is the specific heat capacity of the

metal?

A. 200 J/(kg

o

C)

D. 600 J/(kg

o

C)

B. 300 J/(kg

o

C)

E. 1200 J/(kg

o

C)

C. 400 J/(kg

o

C)

Question 2.

Heat energy is supplied at the

same rate to 100 g of paraffin and 100 g of

water in similar containers. The temperature

of paraffin rises faster. This is because the

paraffin

A. is more dense than water.

B. is less dense than water.

C. evaporates less readily than water.

D. has a smaller specific heat capacity than

water.

E. has a larger specific heat capacity than

water.

Question 3.

It takes 2 minutes to raise the

temperature of 1.7 kg of water by 40

o

C using

a 2.5 kW heater.

Assuming there are no heat losses, how long

would it take to raise the temperature of

170 kg of water by the same amount using a

5.0 kW of heater?

A. 4 minutes

D. 200 minutes

B. 80 minutes

E. 400 minutes

C. 100 minutes

Physics Terms

thermal

thc vỊ nhiƯt,

vỊ h¬i nãng

heat capacity

nhiƯt dung

specific heat capacity

nhiƯt dung riªng

expansion

sù në, sù gi·n në

heat

nhiÖt

raise

nâng lên

supply

cung cấp

copper

đồng đỏ

density

mật độ,

khối lng ring

property

c iểm, tính chất

Answer.

Chờ các bạn gửi về.

Energy

Power

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

20

Kỡ 15

HÃy thay các chữ cái bởi các chữ số. Các chữ khác nhau biểu diễn các

số khác nhau. Lời giải cần có lập luận lôgic.

Trng Cng Thộnh(Sđu tẵm)

Đánh số cột từ 1 đến 5 tính từ phải qua trái.
Từ cột 4 và 5 suy ra M 1và S {8, 9} .
TH1.S 8.

Tõ cét 4 vµ 5 suy ra O 0.
Vì

8999 1099 10098
nên N 0: loại (vì O 0).
TH2. S 9.

Vì

9999 1999 11998 và O 1 (vì M 1)
nên O 0.

Ta cã

ëcét 3 ta thÊy N E 1 vµ E 8.

ëcét 2 ta thÊy phÐp céng nhớ 1 sang cột 3.
Ta xét hai khả năng sau.

+ Cét 1 céng kh«ng nhí.

Khi ệã N R 10 E. Kạt hĩp vắi N E 1 ta

ệđĩc R 9: loỰi vừ S 9.

+ Cét 1 céng cã nhí.

Khi ệã N R 1 10 E hay N R 9 E. Kạt
hĩp vắi N E 1 ta ệđĩc R 8vộ E 7.

ëcét 1 ta có D E 10 Y.
Vì Y 0 và Y 1 nªn D E 11.

Mộ D 8 vộ E 7 nến (D, E) (7; 5), (7; 6).
Thỏ lỰi ta ệđĩc (D, E) (7; 5) vộ Y 2, N 6.
VẺy

NhẺn xĐt. Cịc bỰn sau cã lêi giời ệóng vộ trừnh
bộy gản: KhuÊt Bờo Chẹu, 8A, THCS ThỰch ThÊt,
ThỰch ThÊt; Trỡnh ậục Viỷt, 8A, THPT chuyến Hộ
Néi - Amsterdam, Hộ Néi; Hoộng Thạ Sển,
NguyÔn Phđểng Thờo Vy, 8A1, THCS Hăng
Bộng, Hăng Bộng, Hi Phng;

Hoàng nguyên linh

MONEY SEND MORE
MONEY SEND MORE

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

21

Vừ d₁₅lộ đắc cựa n nến tăn tỰi d_i *, i {1, 2, ... , k}
sao cho d₁₅d_i n.

Thay vộo ệiÒu kiỷn i) n d₁₃ d₁₄ d₁₅ta ệđĩc
(d_i 1)d₁₅ d₁₃ d₁₄

0 (d_i 1)d₁₅ d₁₃ d₁₄ 2d₁₅
0 d_i 1 2 d_i 2.

Vậy i 2 (vì d₁ 1) và 2d₁₅ n.
Do đó d₁₆ n hay k 16.

Suy ra n 2d₁₅ d₃d₁₄ d₄d₁₃hay
2(d₁₃ d₁₄) d₃d₁₄ d₄d₁₃. (1)
Đặt d (d₁₃, d₁₄).

Khi đó, tồn tại p, q *, (p, q) 1 sao cho
d₁₃ dp và d₁₄ dq.

Thay vộo (1) ta ệđĩc

2d(p q) dqd₃ dpd₄hay 2(p q) qd₃ pd₄.
Suy ra

Vì d₁₃ d₁₄nên p q.

Suy ra 0 q(d₃ 2) 2p 2q 0 d₃ 2 2
d₃ 3. Do đó 2(p q) 3q nên q 2p.
Suy ra d₄ 6.

Tõ ii) (d₅ 1)3 d₁₅ 1, ta cã

2(d₅ 1)3 2(d₁₅ 1) n 2.

Suy ra

Mµ n 3 (vì d₃ 3) nên d₅ 3 n 9.
Mà d₅ 6 d₄ nên d₅ 9.

Do ú d₁₅ 1 (d₅ 1)3 1000 d₁₅ 999.
Vậy n 2d₁₅ 1998.

Thư l¹i tháa m·n.

Nhận xét.Đây là một bài tốn khó và hay. Võ sĩ
Đặng Quang Anh, 8A, THCS Nguyễn Chích, Đơng
Sơn,Thanh Hóa đã giải đúng đáp số với lời giải
ngắn gọn nhất. Võ sĩ Anh xứng đáng đăng quang
trong trận đấu này.

lê đức thuận

3 2

5 5 5

2(d 3d 3d ) n.

3
4
2p q(d 2)
2q p(d 2).

Ngđêi thịch ệÊu:NguyÔn Duy Liến, GV. THPT chuyến Vỵnh Phóc.

Bội toịn thịch ệÊu: Cho sè nguyến dđểng a₁. Ta lẺp cịc sè nguyến dđểng a₂, a₃,... , a₂₀₁₅ tháa
mởn vắi mẫi n 1, 2,... , 2014. Hái trong 2015 sè nguyến dđểng ệở cho, cã nhiÒu
nhÊt bao nhiếu sè chÝnh phđểng?

XuÊt xø: S¸ng t¸c.

Thêi hỰn:Trđắc ngộy 08.01.2015 theo dÊu bđu ệiỷn.
3

n 1 n

a a 2013,

TRẬN ĐẤU THỨ MỘT TRĂM HAI MƯƠI

(TTT2 sè 140)

TRẬN ĐẤU THỨ MỘT TRĂM HAI MƯƠI HAI

TỰ Kim Thanh HiÒn, 6A4, THCS Yến LỰc, Yến
LỰc, Vỵnh Phóc;Ngun Thỡ Bờo Dđểng, 6A4,
THCS Cẵu GiÊy; Ngun Vị Hỉng, 7E; TỰ Lế
Ngảc Sịng, Chu Xuẹn Bịch, 8A, THPT chuyến

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

22

Nẽm 1840, giịo sđ C. L. Lehmus (1780 - 1863),
ngđêi Berlin ệở hái céng sù cựa mừnh lộ Jacob
Steiner, nhộ hừnh hảc ngđêi Thơy Sỵ, vỊ chụng
minh ệỡnh lÝ sau.

ậỡnh lÝ Steiner - Lehmus. Nạu hai ệđêng phẹn

giịc trong cựa mét tam giịc bỪng nhau thừ ệã lộ
tam giịc cẹn.

Sau khi ệđĩc Lehmus ệẳt cẹu hái, Steiner ệở tù
mừnh từm ra chụng minh cựa ệỡnh lÝ vộ ệở cềng bè
vộo nẽm 1844. Sau ệã, Lehmus còng ệở chụng
minh ệđĩc ệỡnh lÝ nộy vộo nẽm 1850 mét cịch ệéc
lẺp. Tõ ệã trẻ ệi, ệỡnh lÝ nộy ệở thu hót rÊt nhiỊu nhộ
toịn hảc chuyến vộ khềng chuyến. Theo thèng kế
cựa K. R. S. Sastry, hiỷn cho ệạn nay ệở cã trến 80
chụng minh cựa ệỡnh lÝ Steiner - Lehmus.

Sau ệẹy lộ mét cịch chụng minh ệỡnh lÝ nộy bỪng
phđểng phịp phờn chụng.

Chụng minh. Giờ sỏ ABC cã hai ệđêng phẹn
giịc BE, CF tháa mởn BE CF. Ta sỳ chụng minh
AB AC. ThẺt vẺy, giờ sỏ AB AC (trđêng hĩp
AB AC chụng minh tđểng tù).

Suy ra

XÐt hai tam gi¸c CBE và BCF, ta có
cạnh BC chung, BE CF,

CE BF. (1)

Dựng hình bình hành EBFG.

Ta có FG BE CF FGC cân tại F

Mà nên

EC EG.

Mà EG BF nên EC BF: mâu thuẫn víi (1).
VËy AB AC.

NhẺn xĐt. Trong tam giịc còng cã mét sè tÝnh
chÊt tđểng tù ệỡnh lÝ trến. Sau ệẹy lộ mét sè vÝ dô.
TÝnh chÊt 1. Nạu hai ệđêng cao cựa mét tam giịc
bỪng nhau thừ ệã lộ tam giịc cn.

Nhận xét.Tính chất này có chứng minh xuất phát
từ hệ thøc ah_a bh_b ch_c.

TÝnh chÊt 2. Nạu hai ệđêng trung tuyạn cựa mét
tam giịc bỪng nhau thừ ệã lộ tam gic cn.

Nhận xét.Tính chất này chứng minh dựa theo công
thøc

Bẹy giê ta xĐt khịi niỷm sau. Cho tam giịc ABC
cã I lộ tẹm ệđêng trưn néi tiạp tam giịc. ậđêng
trưn (I) tiạp xóc vắi cịc cỰnh BC, CA, AB thụ tù tỰi
D, E, F. Khi ệã AD, BE, CF ệăng quy tỰi mét ệiÓm,
gải lộ ệiÓm Gergonne. Cịc ệoỰn thỬng AD, BE,
CF gải lộ cịc cevian Gergonne.

Tính chất 3. Nếu hai cevian Gergonne của một

tam giác bằng nhau thì đó là tam giác cân.
Chứng minh. Xét ABC có các đoạn thẳng
cevian Gergonne thỏa mãn BE CF. Ta chng
minh AB AC.

Đặt a BC, b CA, c AB, s a b c.
2

2 2 2

2

a 2(c b ) a

m .

4
EGC ECG

B C

FGE FCE

2 2
FGC FCG.

CBE BCF

C B

C B .

2 2

ĐỊNH LÍ STEINER - LEHMUS

VÀ TƯƠNG TỰ

NGUN NGäC GIANG

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

23

Ta chụng minh ệđĩc BF s b, CE s c.

Giờ sỏ AB AC (trđêng hĩp AB AC chụng minh
tđểng tù). (2)

XÐt hai tam giác AEB và AFC, ta có
AE AF, EB FC, AB AC

Dựng hình bình hành EBFG.

Vì FG BE CF nên FGC cân tại F.
Suy ra

Mà

EC EG hay s c s b c b: m©u thuÉn
víi (2).

VËy AB AC.

Nhận xét. Các bạn hãy tìm thêm những cách
khác chng minh nh lớ Steiner - Lehmus v

giải các bµi tËp sau.
Bµi tËp

Bội 1. Cho tam giịc ABC. Trến ệđêng phẹn giịc
cựa gãc A lÊy mét ệiÓm D. KĐo dội BD cớt cỰnh
AC ẻ M. KĐo dội CD cớt cỰnh AB ẻ N. Biạt MB CN.
Chụng minh AB AC.

(Thi hảc sinh giái toịn cÊp II toộn quèc, 1979)
NhẺn xĐt. Bội toịn nộy lộ trđêng hĩp riếng cựa
ệỡnh lÝ Steiner - Lehmus khi D lộ giao cựa ba
ệđêng phẹn giịc cựa ABC.

Bội 2. a) Chụng minh rỪng cịc ệđêng thỬng ệi
qua ệửnh cựa tam giịc vộ tiạp ệiÓm cựa cỰnh ệèi
diỷn vắi ệđêng trưn bộng tiạp, ệăng quy tỰi mét
ệiÓm gải lộ ệiÓm Nagel.

b) Cịc ệoỰn thỬng nèi ệửnh vắi tiạp ệiÓm cựa cỰnh
ệèi diỷn vắi ệđêng trưn bộng tiạp gải lộ cịc cevian
Nagel. Chụng minh rỪng nạu hai cevian Nagel cựa
tam giịc bỪng nhau thừ tam giịc lộ tam giịc cẹn.
Bội 3. Cịc phẹn giịc ngoội cựa gãc B vộ C cớt
phẵn kĐo dội cựa cevian Gergonne AD tỰi cịc
ệiÓm E vộ F tđểng ụng. Biạt BE CF. Chụng minh
ABC lộ tam giịc cẹn.

Bội 4.Gải M, N tđểng ụng lộ giao ệiÓm cựa cevian
Gergonne AD vắi BI, CI. Biạt BM CN. Chụng
minh ABC lộ tam giịc cẹn.

FGE FBE FCE EGC ECG
FGC FCG.

AEB AFC ABE ACF.

Chử cã mét bỰn giời ệóng thạ cê kừ 65:
Dđểng Lẹm Anh, 8A1, THCS Yến Phong, Yến
Phong,Bớc Ninh.

Lª thanh tó

Trắng đi trước chiếu hết sau 2 nước.

LÊ THANH TUÙ

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

24

INTERNATIONAL

MATHEMATICAL OLYMPIAD

Outline of Solutions

1.Note that we have and so a : b : c
1 : 8 : 5. Hence b 8a and c 5a. It follows that

2.The common difference may range from 4 to –4.
There are 7 numbers with common difference 1
(namely, 123, 234, …, 789), and 5, 3, 1 numbers
with common difference 2, 3, 4 respectively. It is
then easy to see that there are 8, 6, 4, 2 numbers
with common difference –1, –2, –3, –4 respectively
(the reverse of those numbers with common
difference 1, 2, 3, 4, as well as those ending with
0). Finally there are 9 numbers with common
difference 0 (namely, 111, 222, …, 999). Hence
the answer is 7 5 3 1 8 6 4 2 9
45.

3.Computing the first few terms gives

It is thus reasonable to guess that

and this indeed is true (and can be verified
algebraically). Thus we need only consider the
fractional part of

Since the above sum becomes

Which is the answer to the question.
4.Since x, y, z are non negative we have

Solving the quadratic inequality (subject to x, y,
z and hence their sum being non negative) gives
Equality is possible when x y 0 and
It follows that the minimum value of x y z is

Remark. Intuitively, since the coefficient of z is
greater than the coefficients of x and y, making z
relatively big and x, y relatively small could
reduce the value of x y z. As x, y, z are
non-negative it would be natural to explore the
case x y 0.

5. Since 22 20 32 74 and there is exactly
one winner each day, we know that the ‘certain
number’ of days in the question is 74. Hence
there are 74 22 52 days on which Peter did
not win – he either lost the game (L), or he did not
play (N). These must be equal in number (i.e. 26

3 _{22 .}
2

3 22

z .

2

3 22

x y z .

2

2 2 2

2

13 x y z x 2y 3z
4

(x y z) 3(x y z).

1 1 1 1 _... 1 1

1 2 2 3 2012 2013

1 1 _2012.

1 2013 2013

1 1 _{1 ,}

k(k 1) k k 1

1 1 _... 1 _.

1 2 2 3 2012 2013

2 2

1 1 1

1 1

k (k 1)
k (k 1)

2 2

2 2

2 2

1 1 3 1

1 1 ,

2 1 2

1 2

1 1 7 1

1 1 ,

6 2 3

2 3

1 1 13 1

1 1 .

12 3 4

3 4

3 3

3

3 3

(a b c) (a 8a 5a)

d 14 2744.

a a

3 3

3 3 3

1 8 5

a b c

Phùng Kim Dung (Su tầm và giới thiệu)

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

25

each), since if we denote each of the 52 days in
which Peter did not win by L or N and list them in
order, each L must be followed by an N (except

possibly the rightmost L) and each N must be
preceded by an L (except possibly the first N).
Hence the answer is 22 26 48.

6.As there are no two consecutive 1’s, each term
in the sum is either equal to 4 (if both multiplicands
are 2) or 2 (if the two multiplicands are 1 and 2).
Note that the positions of the 1’s are 1, 3, 6, 10,
..., the triangular numbers. As the 62nd triangular
number is while the 63rd is
1953 63 2016, exactly 62 of out the first 2014
terms of the sequence are 1 (and the rest are 2).
In other words exactly 123 terms in the sum
are 2 while the rest is 4 (the number 123 comes
from 62 2 1, as a₁ only appears in the term
a₁a₂, while each other a_i that is equal to 1
appears in two terms, for instance a₃appears in
both a₃a₄ and a₄a₅). It follows that the answer
is 4 2013 2 123 7806.

7. Let a, b, c, d be among the positive integers.
Then both a c d and b c d are divisible by
39, and so is their difference a b. It follows that
any two of the integers are congruent modulo 39.
Since 2013 39 51 24, at most 52 integers
can be chosen. Indeed, if we choose the 52
integers in the set {13, 52, 91, …, 2002}, then the
sum of any three is divisible by 39 (as each one
is congruent to 13 modulo 39). It follows that the
answer is 52.

8.

Rewrite into the

form

If we consider the three points A(–2, 1), B(x,
0) and P(4, –3), then the first term is the distance
between A and P while the second is the distance
between P and B. The minimum of the sum this
occurs when A, P, B are collinear, and the
minimum sum is equal to the distance between A
and B, which is

9.Rewrite the equation as 10x3 x3 3x2 3x
1 (x 1)3. This gives , or

It follows that the answer is 100 10 9 119.
10.The two 0’s must not be at the beginning or
end. Hence there are ways to fix the
positions of the 0’s. It remains to permute the
remaining six digits, of which two are the same
(1, 1, 2, 3, 5, 8). There are such
per-mutations. However, since only 4 of the 6
digits are odd, only two-thirds of these will
eventually end up with an odd number. Hence
the answer is

11.Considering the sum of roots gives. Hence

As is a root of the equation, we have
8 3 2012 2013 0

and so

Likewise we have

and and thus the answer is

2012 2013 2012 2013 2012 2013

8 8 8

2012( _{) 6039 6039 .}

8 8

3 2012 2013
8

3 2012 2013
8
3 2012 2013 .

8

3 3 3

3 3 3 3 3 3

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) .

2

15 360 3600.
3
6! 360
2!
6
2
C 15

3 3 3 3

3 1 100 10 1 100 10 1

x .

10 1 9

10 1

3
x 1 ₁₀

x

2
2

( 2 4) 1 ( 3) 2 13.

2 2 2 2

(x 2) (0 1) (x 4) (0 3) .

2 2

x 4x 5 x 8x 25

62 63 1953
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

26

Bµi 3.

Mét hừnh lẺp phđểng cã cỰnh dội 5 cm bỡ cớt ệi
hai hừnh hép chọ nhẺt cã kÝch thđắc 3 cm, 1 cm,

5 cm vộ mét hừnh hép chọ nhẺt cã kÝch thđắc
1 cm, 1 cm, 5 cm nhđ hừnh vỳ. ThÓ tÝch cựa hừnh
cưn lỰi lộ bao nhiếu?

Bội 4.Cho phĐp toịn * ệđĩc ệỡnh nghỵa nhđ sau:
Tính 96*2014.

Bài 5.HÃy viết số 10962014 thành tổng các số

tự nhiên liên tiếp mà số số hạng là ít nhất.

Nguyễn Ngäc Minh (Hµ Néi)
xy * abcd (xy d) (x a b c) (y a d c).

Kì 5

Bội 1. Cã bao nhiếu đắc sè cựa sè
19 28 37 46 55 64 73 82 91
lộ lẺp phđểng cựa mét sè tù nhiến?

Bội 2.Mét nỏa sè ề vuềng cựa mét bộn cê 8 8
ệđĩc tề mộu nhđ hừnh vỳ. Cã bao nhiếu hừnh
vuềng 4 4 cã 75% sè ề vuềng ệđĩc tề mộu?

Bài 1. Ta chia các phân số đã cho thành các
nhóm nhð sau:

Trong nhãm thụ k cã k phẹn sè, cịc phẹn sè trong
nhãm ệã ệÒu cã tững cựa tỏ vộ mÉu bỪng k 1 vộ
cịc phẹn sè ệÒu ệđĩc viạt vắi mÉu sè tẽng dẵn.
Giờ sỏ phẹn sè thụ 2014 thuéc nhãm thụ n thừ ta
cã 1 2 3 ... n 2014

n(n 1) 4028 n 63.
Mà 1 2 3 ... 62 1953.

Vậy phân số thứ 2014 là phân số thứ 2014 1953
61 của nhóm thứ 63. Đó là phân số

Bài 2. Ta có

Vậy [A] 200.

Bài 3. Có 14 tập hợp.
Bài 4. Ta có

Bài 5.

Ta có diện tích phần tô màu là

Cc bỰn sau cã lêi giời ệóng vộ ệđĩc thđẻng kừ
nộy: PhỰm Thỡ KiÒu Trang, 6A2, THCS Yến LỰc,
Yến LỰc, Vỵnh Phóc; Lế Thanh Phđểng, 7A,
THCS ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt, Hộ Néi.

Ngun Ngäc H©n

2
BCD 1

S S 10 5 25 (cm ).
2

3 3 3 3 3 3

2 2

S (1 2 ... 15 ) (1 2 ... 5 )
15(15 1) 5(5 1) _14175.

2 2

1 1

5. A 201.

1005 201

1 1 1 1

Mµ ...

2005 2006 2007 2014

2 2 2 2 2

2006 2008 2010 2012 2014

1 1 1 1 1

1003 1007 1005 1004 1006

1 1 1 _... 1 5 5

2005 2006 2007 2014 2005 2010
401.402 A A 200,7.

803

3 .

61
1 2 1_{; , ; , , ;...}3 2 1
1 1 2 1 2 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

27

Bội 22NS.Giời phđểng trừnh nghiỷm nguyến

x3 4y3 x2y 14.

cao minh quang

(GV. THPT Ngun BØnh Khiªm, Vĩnh Long)
Bài 23NS. Cho các số thùc x, y, z, t tháa m·n
0 y x 4; x y 7; 2 z 3 t. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức

Đoàn cát nhơn

(GV. THCS Nhn Lộc, An Nhn, Bừnh ậỡnh)
Bội 24NS.Cho tam giịc nhản ABC néi tiạp ệđêng
trưn tẹm O bịn kÝnh R. M lộ trung ệiÓm BC, AM
cớt ệđêng trưn (O) tỰi F khịc A. Goi r lộ bịn kÝnh
ệđêng trưn néi tiạp tam gic ABC. Chng minh
rng

nguyễn khánh nguyên

(GV. THCS Hồng Bàng, Hải Phòng)
AF 2 2rR.

2 2

1 2

2z t

z t

M .

x y

Bµi 16NS. Ta cã x5 27y3 2x x5 27y3 2x
x(x4 2) 27y3 x4(x4 2) (3xy)3

(x4)2 2x4 1 (3xy)3 1

(x4 1)2 (u 1)(u2 u 1) (Vắi u 3xy).
Mộ (u 1, u2 u 1) 1 nến u 1 vộ u2 u 1
lộ hai sè chÝnh phđểng.

Đặt u2 u 1 k2 (k ). Suy ra u 0 và k 1.
Do đó 3xy 0 x y 0.

Nhận xét. Bài tốn này khơng có bạn nào giải
đúng.

Bài 17NS.áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có

Các bạn sau có lời giải đúng bài toán trên:

Nguyễn Thị Hồng Huế, 9A, THCS Yên Phong,
Yên Phong, Bắc Ninh; Đỗ Linh Chi, Phùng Hải
Yến, 9A2, THCS Giấy Phong Châu, Phù Ninh,
Phú Thọ;Tạ Bảo Anh Ngọc, 8E, THCS Đặng Thai
Mai, TP. Vinh, Ngh An.

Bài18NS.Ta có

Vì S_ABK S_ADK S_BDK S_ABDnªn

NhẺn xĐt. Cịc bỰn sau giời ệóng bội toịn trến:
Ngun Thỡ Hăng Huạ, 9A, THCS Yến Phong,
Yến Phong, Bớc Ninh; TỰ Bờo Anh Ngảc, 8E,
THCS ậẳng Thai Mai, TP. Vinh; NguyÔn Thỡ
HỪng, 9B, THCS Lý NhẺt Quang, ậề Lđểng,
Nghỷ An; ậẫ Linh Chi, Phỉng Hời Yạn, 9A2,
THCS GiÊy Phong Chẹu, Phỉ Ninh, Phó Thả.
Cịc bỰn sau ệđĩc khen kừ nộy: NguyÔn Thỡ Hăng
Huạ, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc
Ninh; TỰ Bờo Anh Ngảc, 8E, THCS ậẳng Thai
Mai, TP. Vinh, Nghỷ An; Phỉng Hời Yạn, 9A2,
THCS GiÊy Phong Chẹu, Phỉ Ninh, Phó Thả.

nh cịc bỰn ệđĩc khen ẻ bừa 4.

Ngun Ngäc H©n

KN ₁ KM ₁ DN DK AK AM ₀

DN AM DN AM

DK AK 2.
DN AM

ABK BDK ADK

ABD ABD BDK

S KN_;S KM_;S _1.

S DN S AM S

2 2 2 1 1 1

1 a 1 b 1 c a b c

ab bc ca a b c.

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

28

15.10.2014 này Toán học & Tuổi trẻ tròn 50 tuổi.

Ti cn nhắ lẵn ệẵu tiến trềng thÊy tê bịo Toịn hảc & Tuữi trĨ (THTT) lộ nẽm 1968 khi mừnh ệang
ẻ nểi sể tịn. Tê bịo 16 trang in giÊy ệen, khữ 19 27 bộy bịn ẻ quẵy bịo chĩ ViỊng (Mủ Léc,
Nam ậỡnh) ệở hÊp dÉn, hót hăn bản trĨ con lắp 6 chóng tềi dỉ nã rÊt khã. Cịc chuyến môc Nãi
chuyỷn vắi cịc bỰn trĨ yếu toịn, Giời bội kừ trđắc, ậÒ ra kừ nộy, Giời trÝ toịn hảc, Toịn hảc vộ ậêi
sèngbao giê còng ệđĩc tềi ệảc trđắc mẫi khi cẵm ệạn tê bịo. Răi chê ệĩi sè bịo sau ra. Cã khi
phời ệi nhiÒu lẵn mắi mua ệđĩc tê bịo mắi. Hai nẽm sau, tềi vộ mét sè bỰn ệđĩc hảc lắp chuyến
Toịn cựa Bé tỰi khèi Chuyến toịn ậHSP Vinh dộnh cho hảc sinh cịc tửnh tõ Nam Hộ (nay lộ Nam
ậỡnh, Hộ Nam) vộo ệạn Vỵnh Linh (lóc ệã lộ ệẳc khu). Theo cịc anh chỡ lắp trến, chóng tềi cịng
cã phong trộo chĐp Tõ ệiÓn toịn hảc Nga - Viỷt vộ giời cịc bội trến bịo THTT. Chóng tềi rÊt phơc

nhọng ai nhiỊu lẵn ệđĩc nếu tến trong mơc Giời bội kừ trđắc vộ ngđìng mé nhọng bỰn ệđĩc giời

cuéc thi cờ nẽmhaycuéc thi ệẳc biỷt kử niỷm ngộy thộnh lẺp bịo. Hăi Êy, khi hảc ẻ Khèi Chuyến
nểi sể tịn, ệÓ mua ệđĩc tê bịo, chóng tềi phời ệi xe ệỰp cờ chôc km ra thỡ trÊn Cẵu Giịt, Quúnh
Lđu, Nghỷ An.

Cịc bỰn trĨ bẹy giê, ngăi trđắc mịy tÝnh còng cã thÓ ệảc ệđĩc THTT chớc sỳ khã hiÓu ệđĩc niỊm
vui cựa chóng tềi khi cẵm tê bịo 2 thịng mắi ra mét kừ cưn thểm mỉi mùc in. Cuéc sèng thùc ra
ệở tiạn bđắc dội. THTT hềm nay ệở dộy gÊp ệềi trđắc, cã bừa 4 mộu, giÊy in trớng vộ trừnh bộy ệứp
ra hộng thịng. THTT cã thếm cịc chuyến môc mắi nhđ ChuÈn bỡ thi vộo ậỰi hảc, Cẹu lỰc bé, Nhừn
ra thạ giắi, Toịn hảc muền mộu, Tiạn tắi kừ thi Olympic...

Tềi còng khềng nghỵ rỪng ệạn 23.4.1990 mừnh lỰi vÒ lộm viỷc ẻ tê bịo danh tiạng Êy vộ gớn bã
suèt 17 nẽm cho ệạn 5.9.2007 sang lộm Toịn Tuữi thể vèn còng tõ THTT tịch ra. Lóc 1990 ệã
THTT chỰm ệịy chử cưn 1500 bờn/kừ. Tềi ngăi viạt tay ệỡa chử gỏi bịo ệạn nhiỊu nểi ệĨ mải ngđêi
biạt ệạn THTT vÉn cưn vộ sỳ ệữi mắi. Thạ lộ ệở 24 nẽm răi tềi gớn bã cuéc ệêi mừnh vắi nhọng tê
bịo toịn. Cịc bỰn trĨ ngộy nay thẺt hỰnh phóc vắi về vộn sịch, bịo giÊy vộ nhiỊu sịch, bịo trến
mỰng ệĨ tham khờo. BỰn hởy nhắ trong rõng sịch Êy THTT vÉn lộ mét trong nhọng cẹy ệỰi thơ.

TỐN HỌC & TUỔI TR

50 MUỉA THU

Nhân kỉ niệm 50 năm Toán học & Tuổi trẻ 15.10.1964

tiền thân của Toán Tuổi thơ

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

29

K

hi chuyÓn sang chểi cho cẹu lỰc bé

Real Madrid nẽm 2003, Beckham

ệở khoịc trến mừnh chiạc ịo sè 23.

ậẹy lộ con sè thùc sù Ên tđĩng vộ gẹy tư mư

cho nhiÒu ngđêi. Cã ngđêi tin rỪng vừ anh yếu

thÝch cẵu thự bãng rữ nhộ nghÒ Mủ Michael

Jordan (mẳc sè ịo 23). 23 cịng lộ sè cẳp

nhiƠm sớc thÓ cựa con ngđêi. ậẳc biỷt hển

nọa, 23 lộ mét sè nguyến tè. Chóng ta thỏ

xem sè ịo cựa nhọng cẵu thự quan trảng mộ

chự tỡch Florentino PĐrez xẹy dùng trong ệéi

bãng nộy vộo thêi ệiÓm ệã: Carlos sè 3,

Zidane sè 5, Raul sè 7, Ronaldo sè 11. ậẹy

ệÒu lộ nhọng sè nguyến tè. Sè 23 lỰi cưn lộ

sè nguyến tè ghĐp tõ hai sè nguyến tè 2 vộ

3, ệăng thêi lộ sè nguyến tè ghĐp nhá nhÊt.

Chóng ta biạt ệạn sè nguyến tè ghĐp tiạp

theo lộ: 37, 53, 73...

Vừ sao anh khềng chản nhọng sè nguyến tè

khịc hển nhđ 13, 17, 19? Ta thỏ lÝ giời.

ChỬng hỰn sè 13 khềng ệđĩc chản cã thÓ lộ

do quan niỷm ệã lộ sè khềng may mớn. Hay

nhđ sè 17, sè nộy gớn vắi vưng ệêi cựa ve

sẵu. ậẹy lộ loội cền trỉng Èn trong lưng ệÊt

17 nẽm. Sau ệã nã xuÊt hiỷn trong tèi ệa sịu

tuẵn răi bỡ chạt. Sù kừ lỰ nộy ệđĩc dù ệoịn lộ

do mét sè loỰi kĨ thỉ cựa ve sẵu cã chu kừ

khịc 17 nẽm vộ viỷc Èn trong lưng ệÊt vộ

xuÊt hiỷn trẻ lỰi sau 17 nẽm nộy cựa ve sẵu

lộ gióp nã trịnh bỡ ẽn thỡt, nhỪm bờo toộn nưi

gièng.

Tõ thêi Hy LỰp cữ ệỰi, loội ngđêi ệở biạt rỪng

cã về sè sè nguyến tè. Nhđng viỷc phẹn bè

sè nguyến tè nhđ thạ nộo cho ệạn ngộy nay

vÉn cưn lộ ệiÒu bÝ Èn. ậạn nay, vÉn chđa cã

mét mề hừnh nộo cã thĨ mề tờ, biĨu diƠn gióp

chóng ta dù ệoịn ệđĩc nhọng sè nguyến tè

tiạp theo.

Tuy bÝ Èn, sè nguyến tè ệở ệãng gãp vai trư

quan trảng cuéc sèng hiỷn ệỰi. ChỬng hỰn

nã gióp mở hãa cịc tội khoờn nhỪm gióp

ệđĩc bờo mẺt tèt nhÊt. Cịng gièng nhđ ệĨ

mẻ mét kĐt sớt vắi mở sè, ta cẵn thỏ hạt cịc

khờ nẽng cựa nã. Còng vẺy, nạu muèn mẻ

mét mở khãa tội khoờn, ta cẵn phời thỏ hạt

cịc trđêng hĩp. Vắi viỷc sỏ dông sè nguyến

tè lộm mở khãa, vắi tèc ệé cựa mịy tÝnh hiỷn

tỰi, cã thÓ phời cẵn hộng tử nẽm mắi mẻ ệđĩc

mở khãa. ậã lộ mét trong nhọng ụng dông to

lắn cựa sè nguyến tè.

Dù không rõ lí do việc Beckham chọn áo số

23 nhðng đó cũng là điều thú vị.

DAVID BECKHAM

với

số

áo

REAL

MADRID

ở

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

30

A

i cịng biạt, nhọng gừ thc vỊ vua thừ

gớn vắi chọ Ngù: giđêng Ngù, ịo

Ngù.

ẻ

thộnh phè Nam ậỡnh cưn cã

phè Bạn Ngù xđa vèn lộ bạn tộu cựa Vua mẫi

khi ệi tuẵn giị Bớc Hộ ệở ghĐ vộo. Nhđng,

nhọng sờn vẺt mang biạu, tẳng vua thừ phời

gải lộ Tiạn. Hời Dđểng cã vời Tiạn, Hđng Yến

cã nhởn Tiạn, Thịi Bừnh cã mớm Tiạn, Hộ Néi

cã chim Tiạn... Riếng cã chuèi vỉng Nam

ậỡnh, Hộ Nam lỰi gải lộ chuèi Ngù. TỰi sao lỰi

nhđ thạ? Gẵn ệẹy cã ngđêi muèn ệữi gải lộ

chuèi Ngù ậỰi Hoộng nhđng sè ệềng ngđêi tõ

hiÓu lỡch sỏ, tõng mế chuèi Ngù vÉn gải chuèi

Ngù Nam ậỡnh. Cã mét giai thoỰi rỪng khi

thuyÒn vua ghĐ vÒ vỉng ệÊt Thiến Trđêng,

mét gia ệừnh lởo nềng nghÌo ệở mang nời

chuèi vđên nhộ ra tiạn vua Trẵn. Vua ẽn thÊy

ngon ệở thđẻng cho gia ệừnh nả vộ khuyến

mải ngđêi nhẹn réng gièng chuèi nộy. Nạu

vẺy phời gải lộ chuèi Tiạn chụ. ThẺt ra, vÊn ệÒ

khềng phời nhđ vẺy. Cho ệạn bẹy giê chuèi

Ngù ệđĩc trăng ẻ Lý Nhẹn (Hộ Nam), Mủ Léc

(Nam ậỡnh) cho ệạn tẺn Hời HẺu (Nam ậỡnh).

ậẹy vèn lộ ệÊt thang méc cựa nhộ Trẵn, ệÊt

khẻi nghiỷp cựa nhộ Trẵn. Nhđ vẺy chuèi Ngù

vèn ệđĩc trăng trến ệÊt quế cựa Vua Trẵn.

Ngay tõ nhá Vua Trẵn ệở ệđĩc ẽn thụ chuèi

nhá, xinh, ngảt, thểm ệẳc biỷt nộy. Bẻi thạ gải

lộ chuèi Ngù theo nghỵa trăng trến ệÊt Vua,

Vua dỉng trùc tiạp, khềng phời tõ vỉng miỊn

nộo cóng tiạn cờ. Ngđêi Nam ậỡnh tù hộo nãi:

ậảc thể Xđểng, ẽn chuèi Ngù. ậÊy lộ hai mãn

ẽn tinh thẵn vộ vẺt chÊt nữi tiạng cựa vỉng

ệÊt nộy. Sau nộy mắi cã thếm bịnh ệẺu xanh

Hanh Tô, phẻ bư hả Că, Giao Cỉ, bịnh gai bộ

Thi, bịnh nhởn Hời HẺu, nem thÝnh Giao

Thựy... Mét nhộ thể nữi tiạng ệở viạt: Chuèi

ngù thểm hđểng vộng rùc chĩ Răng. Cho ệạn

tẺn 1890 toộn bé vỉng ệÊt nộy vÉn thuéc trÊn

Nam ậỡnh. Sau ệã mét phẵn ệÊt thuéc Hộ

Néi, mét phẵn thuéc Nam ậỡnh ệđĩc tịch ra

vộ hĩp thộnh tửnh mắi cã tến lộ Hộ Nam (chọ

Hộ lÊy tõ Hộ Néi, chọ Nam lÊy tõ Nam ậỡnh).

VẺy gải chuèi Ngù Nam ậỡnh vừ lỳ thụ nhÊt lộ

vèn trăng trến ệÊt Nam ậỡnh. Ngộy nay vỉng

Mủ Phóc, Mủ Trung ngoỰi thộnh Nam ậỡnh

cưn nhiÒu gia ệừnh cã trăng chuèi nộy. Thụ

hai lộ cho tắi thêi BỰch Thịi Bđẻi thừ chuèi

ngù cã mẳt ẻ Hộ Néi còng nhê bẻi cã tộu

sềng cựa nhộ tđ sờn nộy chẻ lến. Ngđêi ta chử

biạt chuèi ngù ệạn Nam ậỡnh lộ thÊy vộ nã

ệạn Hộ Néi tõ Nam ậỡnh. Hển 70 nẽm sau,

Nam ậỡnh, Hộ Nam lỰi lộ mét tửnh Nam Hộ

(1964). Chuèi ngù tõ chĩ Răng chuyÓn dẵn

sang chĩ nhá Lý Thđêng Kiỷt gẵn dèc Lư

Trẹu ệẵu ệđêng Hđng Yến, Nam ậỡnh. VÉn

khềng ai mang chuèi vÒ Phự Lý bịn cờ. Mn

mua chi Ngù vÉn phời vỊ Nam ậỡnh. Chử

hai chơc nẽm nay mét Ýt gia ệừnh mắi thẽm dư

ệđa chuèi ệạn mét hđắng xuÊt vắi tến gải ậỰi

Hoộng lộ nểi trăng nhiÒu hển cờ. Bờy trẽm

nẽm mang tến vỉng ệÊt Nam thừ nay thay

bỪng tến khịc thẺt khềng dƠ. Nãi chi Ngù

ậỰi Hoộng nhiỊu ngđêi lỰi ngội ngỰi chờ hiÓu

cã phời lộ chuèi xđa Vua ngù. ậÊy lộ cẽn

nguyến thđểng hiỷu chuèi Ngù Nam ậỡnh.

24.11.2014

Taïi sao gọi là

Tại sao gọi là

CHUỐI NGỰ NAM ĐỊNH?

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

31

Hái:

Anh Phã ểi! Trến tỰp chÝ Toịn hảc vộ

Tuữi trĨ cã cuéc thi Giời Toịn vộ VẺt lÝ diÔn ra

hộng nẽm. VẺy trến Toịn Tuữi thể cã cuéc thi

no tng tự khng ?

Nguyễn Dng Hong Anh

(7C, THCS Văn Lang, Việt Trì, Phú Thọ)

Đáp:

Chc em cha xem k

Ton Tui thể chóng mừnh

Thi giời toịn qua thđ

Tõ hai nghừn linh bờy

Mẫi nẽm ệÒu tững kạt

Trao thđẻng ệở sịu lẵn

Em cã thÓ bớt ệẵu

Dù thi tõ sè tắi.

Hái:

Em muèn gỏi bội giời qua email ệđĩc

khềng hờ anh Phã?

Ngun Ngäc Mai

(6A1, THCS FPT, CÇu Giấy, Hà Nội)

Đáp:

Riờng thi gii toỏn

Cuc thi chớnh ca nm

Em phải gửi phong bì

Dán phiếu để dự thi

Quy chế đề ra thế.

Hái:

Anh Phã ểi! Chuyến mơc “Thi ra ệỊ kiĨm

tra, ệÒ thi toịn” cã phời chử dộnh cho cịc thẵy

cề giịo khềng Ự? TỰi sao hảc sinh bản em

khềng c tham gia ?

on Hng Lam

(Quờn ghi a ch)

Đáp:

ề thi cho hảc sinh

Hảc trư ra sao ệđĩc

Thềi em chê kiạn thục

BỪng thẵy cề bẹy giê

Ra ệỊ cho lắp sau

Khi m×nh thành nhà giáo.

Hi:

Anh Phú i! Em cú th ỏnh mỏy nhng

bi gi v tũa son khụng ?

Nguyễn Gia Bảo

(THCS Thị trấn Chờ, Yên Phong, Bắc Ninh)

Đáp:

Quỏ tt ch cũn gỡ

Ch viết hay chữ in

Miễn là bài làm đúng

Riêng giải toán qua thð

Phải dán ngồi đăng kí

Phiếu tham dự cuộc thi.

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

32

Bội 1(142).Từm tÊt cờ cịc sè nguyến dđểng n biạt rỪng n céng vắi tững cịc chọ
sè cựa nã bỪng 2013.

LỰi quang thả (Phưng Giịo dôc vộ ậộo tỰo Tam Dđểng, Vỵnh Phóc)
Bội 2(142). Cho cịc sè nguyến dđểng a, b, c, d, e, g tháa mởn a2 b2 c2
d2 e2 g2. Hái tững a b c d e g lộ hĩp sè hay sè nguyến tè?

nguyÔn ệƠ (Hời Phưng)
Bội 3(142).Giời phđểng trừnh

cao vẽn dịng (GV. THPT Hộ Néi - Amsterdam)
Bội 4(142).Cho a, b vộ c lộ cịc sè thùc dđểng tháa mởn a b c 1. Chụng minh rỪng

Kiều đình Minh

(GV. THPT chuyến Hỉng Vđểng, Phó Thả)
Bội 5(142).Tõ vÝ dơ ẻ hừnh vỳ bến phời, hởy nếu
mét ệỡnh nghỵa vÒ ệă thỡ cã chó thÝch.

vị kim thđy

Bội 6(142).Cho tam giịc ABC vuềng tỰi A, ệđêng cao AH. Vỳ ệđêng trưn tẹm H, bịn kÝnh HA. D lộ mét
ệiÓm di chuyÓn trến ệđêng trưn sao cho D khềng thuéc ệđêng thỬng BC. E, F tđểng ụng lộ trung ệiÓm
cựa DB, DC. Chụng minh rỪng ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc DEF luền luền ệi qua mét ệiĨm cè ệỡnh.

t¹ thËp (TP. Hå ChÝ Minh)
2ab 2 2bc 2 2ca 2 1 1 1 1_{4 a b c} 15 .₄

a b b c c a

2

21 7x 12

3x 10x 3 2 x 3x 4.

x 1 2(x x)

1(142).Find all positive integers nsuch that the sum of nand its digits equals 2013.

2(142). Given positive integers a, b, c, d, e, and g such that a2 b2 c2 d2 e2 g2. Determine
whether the sum a b c d e gis a composite number or a prime number.

3(142).Solve the following equation

4(142).Leta, b, and cbe positive real numbers such that a b c 1. Prove that

5(142).Given the example
in the figure on the right,
provide a definition of a

graph with references to
the example.

6(142).Given the triangle
ABChaving a right angle
at A and the height AH.
Draw a circle taking Has

the center and HAas the radius. The point Dmoves on the circle such that it
is not on the line BC. The points E and F are the midpoints of DB and DC
respectively. Prove that the circumcircle of the triangle DEF always passes
through a fixed point.

2ab 2 2bc 2 2ca 2 1 1 1 1₄ _{a b c} 15.₄

a b b c c a

2

21 72 1

3 10 3 2 3 4.

1 2( )

x

x x x x

x x x

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34></div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35></div>

<!--links-->