Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (238.13 KB, 6 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO </b>
<b>GIA LAI </b>
<b>ĐỀ CHÍNH THỨC </b>
<b>ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH </b>
<b>MƠN: TỐN LỚP 9 </b>
<b>NĂM HỌC : 2018-2019 </b>
<b>Câu 1. Từ các chữ số </b>0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4
chữ số đơi một khác nhau lớn hơn 2019.
<b>Câu 2. a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên </b><i>n</i>,số <i>A</i>3<i>n</i>3 15<i>n</i> chia hết cho 18
b) Một đoàn học sinh tham quan quảng trường Đại đồn kết tỉnh Gia Lai. Nếu mỗi ơ tơ
chở 12 người thì thừa 1 người. Nếu bớt đi 1 ơ tơ thì số học sinh của đồn được chia
đều cho các ơ tơ cịn lại. Hỏi có bao nhiêu học sinh đi tham quan và có bao nhiêu ô tô?
Biết rằng mỗi ô tô chở không quá 16 người.
<b>Câu 3. 1) Một cây nến hình lăng trụ đứng đáy lục giác đều có chiều cao và độ dài cạnh </b>
đáy lần lượt là 20 cm và 1 cm. Người ta xếp cây nến trên vào 1 cái hộp có dạng hình
hộp chữ nhật sao cho cây nến nằm khít trong hộp. Tính thể tích cái hộp
2) Cho đường trịn
, , ,
<i>IA IB IC ID</i>
a) Chứng minh rằng bốn điểm <i>M N P Q</i>, , , cùng thuộc một đường tròn
b) Giả sử các dây cung <i>AB</i>và <i>CD</i>thay đổi vng góc với nhau tại I. Xác định vị trí
các dây cung <i>AB</i>và <i>CD</i>sao cho tứ giác <i>MNPQ</i>có diện tích lớn nhất.
<b>Câu 4. </b>
a) Giải hệ phương trình
3
2
4 3
1 4 2 5 2 1 5
5 10
<i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y y</i>
<sub> </sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
b) Cho , ,<i>x y z</i>0thỏa mãn <i>x</i>2 <i>y</i>2<i>z</i>2 2<i>xyz</i>1.
Tìm GTLN của <i>P</i><i>xy</i> <i>yz</i><i>zx</i>2<i>xyz</i>
<b>ĐÁP ÁN </b>
<b>Câu 1. </b>
Gọi số cần lập có dạng <i>abcd</i> 2019với <i>a b c d</i>, , , ;2 <i>a</i> 9,0<i>b c d</i>, , 9
Xét <i>a</i>2nếu <i>b</i>0thì ta có các số từ 2031 đến 2098. Có 7 cách chọn c, có 7 cách
chọn .<i>d</i> Do đó có 7.7 49 số thỏa mãn. Nếu <i>b</i>0thì có các số từ 2103đến 2198. Có 8
cách chọn b, 8 cách chọn c và 7 cách chọn d. Do đó có 8.8.7448số thỏa mãn
Xét <i>a</i>3thì có các số từ 3012 đến 9876, có 7 cách chọn a, 9 cách chọn b , 8 cách chọn
c và 7 cách chịn d, do đó có: 7.9.8.73528số thỏa mãn
Vậy có tất cả 49 448 3528 4025số thỏa mãn bài toán
<b>Câu 2. </b>
a) Ta có: <i>A</i>3<i>n</i>3 3<i>n</i>18<i>n</i>3
b) Gọi số ô tô là .<i>a</i> ĐK: <i>a</i> ,<i>a</i>1.Vì bớt đi 1 ơ tơ thì số học sinh của đồn được
chia đều cho các ơ tơ cịn lại, nghĩa là
13 <i>a</i> 1 <i>a</i> 1 <i>U</i>(13) 1;13 <i>a</i> 2;14
Với <i>a</i>2thì số học sinh là 25 em, khi bớt đi 1 ơ tơ thì cịn 1 xe chở 25 em (quá 16
em) vô lý
<b>Câu 3. </b>
1) Ta có đáy cây nến nội tiếp hình chữ nhật ABCD như hình vẽ. Khi đó <i>ABCD</i>là
mặt đáy hình hộp chữ nhật có chiêu cao bằng chiều cao cây nến <i>h</i>20<i>cm</i>
Ta có: <i>BC</i><i>EF</i> 2<i>EH</i> 2<i>KE</i>.sin<i>EKH</i> 2.1.sin 600 3
2 2.1 2
<i>AN</i> <i>KM</i> <i>MI</i>
Vậy thể tích cái hộp là <i>AB BC h</i>. . 40 3(<i>cm</i>3)
2)
a) Ta có <i>MI</i> <i>MA QI</i>, <i>QD</i>nên <i>MQ</i>là đường trung bình <i>AID</i><i>MQ</i>/ /<i>AD</i>
Tương tự <i>NP</i>là đường trung bình <i>BIC</i><i>NP</i>/ /<i>BC</i>
Do đó <i>NMQ</i><i>BAD</i><i>NPQ</i>nên tứ giác <i>MPNQ</i>nội tiếp
b) Kẻ <i>OH</i> <i>AB</i>tại H và <i>OK</i> <i>CD</i>tại K
Ta có <i>AB</i><i>CD</i><i>OHIK</i>là hình chữ nhật
Do đó 2 2
4 4 4 2
<i>AB</i> <i>CD</i> <i>BH</i> <i>CK</i> <i>R</i> <i>OH</i> <i>R</i> <i>OK</i> <i>R</i> <i>OI</i>
Diện tích tứ giác <i>MPNQ</i>là
2 <sub>2</sub> <sub>2</sub>
. . 2
2 8 16 4
<i>AB</i> <i>CD</i>
<i>MN PQ</i> <sub></sub> <i>AB CD</i> <sub></sub> <sub></sub> <i>R</i> <i>OI</i>
khơng đổi
GTLN của diện tích tứ giác <i>MPNQ</i>là
2 2
2
4
<i>R</i> <i>OI</i>
, khi đó <i>AB</i><i>CD</i>
<b>Câu 4. </b>
a) ĐKXĐ: <i><sub>x</sub></i> <sub>1;</sub><i><sub>y</sub></i><sub>2;</sub>
Từ phương trình 5<i>x</i>4
3 2
5<i>x</i> <i>x</i> 2<i>y</i> <i>x x</i> 2<i>y</i> 0 <i>x x</i> 2<i>y</i> 5<i>x</i> 1 0
Xét <i>x</i>0thay vào phương trình thứ nhất ta được 4 2 <i>y</i> 4 2 <i>y</i> 4
2 2
8 2 16 4<i>y</i> 16 4 <i>y</i> 2 <i>y</i> 0(<i>tmdk</i>)
Xét 2<i>y</i> <i>x</i>thay vào phương trình thứ nhất ta được
1 4 1 4 5
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
Đặt
2
5
1 4 0 1 4 .
2
<i>t</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>t</i> <i>x</i> <i>x</i>
Ta có phương trình: 2
2 15 0 5 3 0 3
<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>
0 0
1 4 2 3 0 <sub>3</sub>
3
2
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>y</i>
Vậy phương trình có nghiệm
b) Theo nguyên lý Dirichle thì trong 3 số 2<i>x</i>1;2<i>y</i>1;2<i>z</i>1bao giờ cũng tồn tại ít
nhất 2 số cùng dấu. Giả sử 2<i>x</i>1;2<i>y</i>1cùng dấu. Khi đó
2
<i>z</i>
<i>z x</i> <i>y</i> <i>xyz</i>
Từ giả thiết <i>x</i>2 <i>y</i>2 <i>z</i>2 2<i>xyz</i> 1 1 <i>z</i>2 <i>x</i>2 <i>y</i>2 2<i>xyz</i>
2 2 2 1 .
2
<i>xy</i> <i>xyz</i> <i>xy z</i> <i>xy</i>
Do đó 2 1 1
2 2 2
<i>z</i> <i>z</i>
<i>P</i><i>xy</i><i>yz</i><i>zx</i> <i>xyz</i>
Vậy <i>GTLN</i>của P là 1.
2 Đạt được khi và chỉ khi
1
2
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<b>Câu 5. </b>
- Nếu chỉ có 2 số dư giống nhau. Khi đó phải có 3 số chia cho 3 có số dư lần lượt
là 0,1,2 nên tổng của chúng chia hết cho 3
- Nếu có ít nhất 3 số dư giống nhau. Khi đó tổng của chúng luôn chia hết cho 3
Ta chia 17 số có trong khoảng từ 1 đến 907 thành 3 nhóm: Nhóm I gồm 5 số, nhóm II
gồm 5 số và nhóm III gồm 7 số. Mỗi nhóm ln tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 3.
Giả sử tổng của 3 số đó ở mỗi nhóm lần lượt là 3 ,3 ,3<i>a b c a b c</i>