Một số bài toán về ứng dụng bổ đề hình bình hành

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (191.39 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề Hình học lớp 9

MỘT SỐ BÀI TỐN ỨNG DỤNG BỔ ĐỀ VỀ HÌNH BÌNH HÀNH

thuvientoan.net

I. Mở đầu

Trong chương trình Trung học cơ sở, cụ thể là mơn Hình học lớp 9, chắc hẳn bạn đọc đã quen thuộc với bài toán
sau:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn

 

O có , H là trực tâm. Vẽ đường kính AD Chứng minh rằng BHCD .
là hình bình hành.

Nhận xét đây là bài tốn q quen thuộc, có thể các bạn đã biết được nhiều cách chứng minh, tuy nhiên việc áp
dụng nó vào các bài tốn khác khơng hẳn là dễ. Trong chuyên đề này, thuvientoan.net xin giới thiệu đến các bạn
một số bài tốn hình học áp dụng bổ đề quen thuộc này.

II. Chứng minh bổ đề

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn

 

O có , H là trực tâm. Vẽ đường kính AD Chứng minh rằng BHCD .
là hình bình hành.

Chứng minh.

Do ADlà đường kính của

 

O nên ACD90 .0
Suy ra DCAC mà BH AC. Nên BHAC.

Tương tự ta cũng chứng minh được CHDB.

Từ đó suy ra tứ giác BHCD là hình bình hành.

Nhận xét: Khi đó gọi M là trung điểm của BC ta cũng có M là trung điểm HD.

III. Bài toán áp dụng

Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn

 

O có , H là trực tâm, M là trung điểm của BC Đường thẳng .
qua H vng góc với HM cắt AB AC, tại E D, . Chứng minh H là trung điểm của DE .

Lời giải

Vẽ đường kính AK. Khi đó H M K, , thẳng hàng.
Các tứ giác HDBK HECK, nội tiếp.

Khi đó KDHKBH và KEHKCH.

Tứ giác HKBC là hình bình hành nên KBHKCH.
Do đó KDHKEH. Suy ra tam giác KDE cân tại K.
Do vậy H là trung điểm của đoạn thẳng DE.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn

 

O đường cao , BD CE, cắt nhau tại H Đường tròn ngoại tiếp .
tam giác AED cắt

 

O tại P Gọi . M là trung điểm BC Chứng minh . P H M, , thẳng hàng.

Lời giải

Ta có ADH AEH900 nên tứ giác AEHD nội tiếp đường tròn đường kính AH.
Suy ra đường trịn ngoại tiếp tam giác AED cũng chính là đường trịn đường kính AH.
Suy ra APH 90 .0

Gọi K là giao điểm của PH và

 

O suy ra APK900 hay AK là đường kính của

 

O .
Theo bổ đề trên ta có H M K, , thẳng hàng, suy ra P H M, , thẳng hàng.

Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC có ABAC, nội tiếp đường tròn

 

O Gọi . H là trực tâm của tam giác ABC .
Gọi M là trung điểm BC, đường thẳng OM cắt các đường thẳng AB AC, lần lượt là tại P Q, . Gọi N là 
trung điểm PQ. Chứng minh hai đường thẳng HM và AN cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn

 

O .

Lời giải

Ta có AQPMQC (hai góc đối đỉnh).
Mà OM BC nên OMAH hay OQ AH .

Suy ra MQCDAC. Mà DACSBC nên AQPSBC. Hay AQPHBC.

Chứng minh tương tự ta cũng chứng minh được APQHCB. Do đó AQPHBC.

Mà M là trung điểm của BC N, là trung điểm của PQ và BC PQ, là hai cạnh tương ứng nên BHM QAN.

Suy ra BMHQNA.

D

P

E

M

H

K

O

C

B

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Gọi E là giao điểm của MH và AN.

Ta có MEN1800EMNENM1800EMNBMH1800BMN90 .0
Kẻ đường kính AXcủa đường trịn

 

O .Từ đó suy ra tứ giác BHCX là hình bình hành.
Suy ra M H X, , thẳng hàng.

Mà MEN900 suy ra XEA90 .0
Do đó E thuộc đường tròn

 

O .

Bài 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn

 

O có , H là trực tâm, G là trọng tâm. 
a) Chứng minh G H O, , thẳng hàng.

b) Chứng minh GH2GO.

Lời giải

Vẽ đường kính AD, khi đó ta có tứ giác BHCD là hình bình hành.
Gọi M là trung điểm của BC, suy ra M cũng là trung điểm của HD.
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên AG2GM.

Tam giác AHD có AM là trung tuyến và AG2GM nên G cũng là trọng
tâm tam giác AHD.

Mà HO là trung tuyến của tam giác AHD nên G thuộc HO và GH 2GO.

Nhận xét: Đường thẳng này đi qua H G O, , còn gọi là đường thẳng Euler
của tam giác ABC.

Trong chuyên đề tiếp theo, chúng ta sẽ tiếp túc khai thác một số tính chất của đường thẳng Euler! 
E

N
P

Q

M
H

X
O

C
B

A

G

M
F