skkn một số phương pháp rèn luyện kỹ năng ôn tập chương 1 giải tích lớp 12

MÔ TẢ GIẢI PHÁP
Mã số: … … … …
1. Tên sáng kiến: Một số phương pháp rèn luyện kĩ năng ôn tập chương 1 giải tích lớp 12.

(Nguyễn Văn Tâm, Nguyễn Hữu Thái, Nguyễn Hữu Thi,
Phạm Thị Hoàng Hoa, @THPT Ngô Văn Cấn)
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: chuyên mơn tốn trường THPT
3. Mơ tả bản chất sáng kiến:
3.1. Tình trạng giải pháp đã biết:
Trong các hoạt động của nhà trường, hoạt động dạy và học là một trong những hoạt động quan
trọng nhất góp phần then chốt cho sự thành công của một đơn vị trường. Tuy nhiên sự thành cơng
đó cần có sự phối hợp tốt giữa giáo viên và học sinh, nhưng có nhiều hạn chế trong hoạt động dạy
và học dẫn đến kết quả dạy và học chưa cao. Xét ở một góc độ nhỏ trong quá trình dạy và học về
chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, tôi nhận thấy học sinh chưa nắm
được các dạng và phương pháp giải một số bài toán cơ bản ở chương này; về dạng toán tự luận của
chương này đã nhiều, khi chuyển sang thi trắc nghiệm lại nhiều hơn, đòi hỏi thời gian giải một bài
tập phải ngắn, nhanh gọn, chính xác, bên cạnh đó học sinh đã quen với cách làm tự luận nên khi
chuyển sang trắc nghiệm thì học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi học chương này.
3.2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:
Mục tiêu của giải pháp là giúp học sinh nắm được hệ thống các dạng bài toán cơ bản, quan
trọng thường gặp ở chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. Nắm vững
phương pháp giải của từng dạng, hiểu được khi gặp dạng nào thì giải bằng cách nào là hợp lí, nhanh
gọn, biết kết hợp nhuần nhuyễn giữa giải tay và giải toán với hỗ trợ của MTBT, sử dụng thành thạo
các cơng thức, cách tính nhanh nhằm đạt kết quả cao nhất . Sau đây tơi xin trình bày sơ lược các
dạng cũng như phương pháp giải các dạng toán cơ bản, trọng tâm ở chương này.
Khi giảng dạy chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, trước tiên tôi
dạy cho học sinh nắm định nghĩa, tính chất và định lí quan trọng ở chương, đồng thời để học sinh
nắm các dạng toán cơ bản, trọng tâm của chương, đầu tiên tôi giúp học sinh nắm sơ đồ tư duy như
sau:

1

SƠ ĐỒ TƯ DUY

1. Sự đồng
biến, nghịch
biến của hàm
số

2. Cực trị của
hàm số

Tìm
khoảng
đơn điệu
của hàm
số

Tìm điểm
cực trị của
hàm số

Tìm m để
hàm số
đơn điệu
trên ¡ ,

trên từng
khoảng
xác định

Tìm m để
hàm số có
cực,
cực
trị,3 3
điểm cực
trị

Tìm m để
hàm số
đạt cực trị
tại x0
Tìm m để
hàm số có
cực trị
thỏa điều
kiện

3.Giá trị lớn
nhất và giá trị
nhỏ nhất của
hàm số

4. Đường
tiệm cận

Tìm
GTLN,GT
NN của

hàm số
trên
khoảng

Tìm
tiệm
cận
đứng,
ngang
của đồ
thị
hàm số

( a; b )

Tìm
GTLN,GT
NN của
hàm số
trên đoạn

[ a; b ]

Tìm m để
hàm số
đạt
GTLN,
GTNN
đoạn

[ a; b ]

Bằng C

2

Tìm
tiệm
cận
đứng,
ngang
của đồ
thị
hàm số
thỏa
điều
kiện

5. Khảo sát sự biến
thiên và vẽ đồ thị
của hàm số

Các bài toán về
dạng đồ thị hàm
số
Các bài toán về
BBT của hàm số
Các bài toán về
tiếp tuyến
Các bài toán về

tương giao của
đồ thị


Sau khi giúp học sinh nắm sơ đồ tư duy các dạng tốn cơ bản, tơi hướng dẫn bài tập tương ứng
theo thứ tự của sơ đồ để giúp học sinh dễ hiểu.
Dạng 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Loại 1:Tìm khoảng đơn điệu của hàm số.
Phương pháp: Giáo viên giới thiệu sơ lược phương pháp giải như sau:
Cách 1:
+ Bước 1: Tính y′ và giải phương trình y′ = 0 tìm nghiệm.
+ Bước 2: Lập bảng biến thiên.
+ Bước 3: Căn cứ vào bảng biến thiên ta kết luận các khoảng đơn điệu.
Cách 2:
+ Bước 1: Bấm shift →

d
d
→
( f ( x) )
dx
dx

x= x

+ Bước 2: Bấm calc → x ta chọn giá trị của x thuộc các khoảng của đáp án.
. Nếu kết quả âm thì kết luận nghịch biến
. Nếu kết quả dương thì kết luận đồng biến
Cách 3:
+ Bước 1: Bấm mode → 7 → f ( x) = ... nhập đề

+ Bước 2: Chọn giá trị ta chia thành 2 đoạn để tăng tính chính xác của việc chọn đáp án:
Đoạn 1: * Start → ta chọn giá trị nhỏ hơn các giá trị nhỏ nhất trong các giá trị ở các đáp án 5
đơn vị, ví dụ giá trị a
* End → ta chọn giá trị lớn nhất trong các giá trị ở các đáp án, ví dụ b
* Riêng Step → ta chọn theo các cách như sau:
Cách 1: Step =

b−a
19

Cách 2: Step = 0, 2 hoặc Step = 0,5
Đoạn 2: * Start → ta chọn giá trị lớn nhất trong các giá trị ở các đáp án, ví dụ b
* End → ta chọn giá trị lớn hơn giá trị đã chọn ở Start 5 đơn vị, ví dụ c
* Riêng Step → ta chọn theo các cách như sau:
Cách 1: Step =

c−b
19
3


Cách 2: Step = 0, 2 hoặc Step = 0,5
Ta cũng có thể chọn Start bằng giá tri nhỏ hơn giá trị nhỏ nhất 3 đơn vị, End bằng giá tri lớn
hơn giá trị lớn nhất 3 đơn vị và Step = 0,5 , tùy theo từng bài sau cho máy tính khơng báo
dịng chữ: Insufficient MEM (số giá trị vượt quá quy định của máy)
+ Bước 3: Dò bảng xem ở các khoảng đáp án thì giá trị của f(x) tăng hay giảm trong khoảng,
nếu tăng là đồng biến và ngược lại.
1
3

Câu 1: Khoảng nghịch biến của hàm số y = x 3 − x 2 − 3 x là:
A. ( − ∞ ; − 1)

B. (-1 ; 3)

C.

( 3 ; + ∞)

D.

( − ∞ ; − 1) ∪ ( 3 ; + ∞ )

Cách 1:
+ y′ = x 2 − 2 x − 3 , y′ = 0 ⇔ x = −1, x = 3
+ Lập bảng biến thiên
x −∞
y′
y

−1
0

+

−

− ∞Z

]

+∞

3
0

+
Z

+∞

+ Kết luận khoảng nghịch biến: ( −1;3)
Cách 2:
+ Bước 1: Bấm shift →

d
d 1 3

2
→
 x − x − 3x ÷
dx
dx  3
 x= x

+ Bước 2: Bấm calc → x
A. Chọn x = −2 . KQ: 5 nên loại A

B. Chọn x = 2 . KQ: -3 nên chọn B

C. Chọn x = 5 . KQ: 12 nên loại C

D. Đáp án D chứa cả A và C nên bị loại

Cách 3:
1
3

+ Bước 1: Bấm mode → 7 → f ( x) = x 3 − x 2 − 3 x
+ Bước 2: Start = − 4
End =6
Step =0,5

+ Bước 3: Dò bảng
B. Trong khoảng ( −1;3) thì f ( x) < 0

A. Tại x = −1.5 thì f ( x) = 1.125 > 0 nên loại A
nên chọn B
4


C. Trong khoảng ( 3 ; + ∞ ) thì f ( x) > 0 khi x ≥ 5 nên loại C

D. Đáp án D chứa cả A và C nên

bị loại
Phân tích: Câu này có thể sử dụng cách 1 sẽ đơn giản và nhanh hơn, phù hợp với học sinh trung
bình yếu.
1
3

Câu 2. Các khoảng đồng biến của hàm số y = x 3 − 3x 2 + 9 x là:
B. ( −∞;3] ; [ 3; +∞ )

A. ( −∞;3) ; ( 3; +∞ )

C. ( −∞;3]

D. ( 3; +∞ ) .

Cách 1:
+ y′ = x 2 − 6 x + 9 , y′ = 0 ⇔ x = 3
+ Lập bảng biến thiên
x

−∞

+∞

3

y′

+

y

−∞ Z

+

0

+∞

+ Kết luận khoảng đồng biến: ( −∞;3] ; [ 3; +∞ ) nên chọn B
Phân tích: Câu này có thể sử dụng cách 1 sẽ đơn giản và nhanh hơn, phù hợp với học sinh trung
bình yếu. Giáo viên cũng lưu ý khó khăn khi dùng cách 1 là học sinh xét dấu sai vì qn định lí dấu
tam thức bậc hai, khi tam thức bậc hai có nghiệm kép thì dấu tam thức sẽ cùng dấu với a . Khó khăn
thứ 2 học sinh vấp phải là khơng nhớ định lí mở rộng f ( x) ≥ 0, f ( x) ≤ 0 ( ∀x ∈ K ) thì hàm số đồng
biến, nghịch biến trên K, lúc đó sẽ chọn đáp án A.
Câu 3. Hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 1 đồng biến trên các khoảng:
A. ( −∞;0 )

B. ( 0; +∞ )

C. ( −1;0 ) và ( 1; +∞ )

Cách 1:
+ y′ = 4 x 3 − 4 x , y′ = 0 ⇔ x = ±1, x = 0
+ Lập bảng biến thiên
x − ∞ −1
0
1
y′
− 0 + 0 − 0
y

+∞]

Z

]

+∞
+
Z +∞

+ Kết luận khoảng đồng biến: ( −1;0 ) và ( 1; +∞ ) nên chọn C
Phân tích:
A. Trong khoảng ( −∞;0 ) chứa ( −∞; −1) nghịch biến nên loại A
5

1
D.  ; +∞ ÷
2




B. Trong khoảng ( 0; +∞ ) chứa ( 0;1) nghịch biến nên loại B
C. Trong khoảng ( −1;0 ) và ( 1; +∞ ) , f ( x) > 0 nên chọn C
1



1 

D. Trong khoảng  ; +∞ ÷ chứa  ;1 ÷ nghịch biến nên loại D
2


2 
Câu này ta nên sử dụng cách 1 sẽ đơn giản và nhanh hơn, phù hợp với học sinh trung bình yếu.
Giáo viên cũng lưu ý khó khăn khi dùng cách 1 là học sinh xét dấu sai. Khó khăn khi sử dụng cách
2, 3 là các đáp án vừa chứa khoảng đồng biến, nghịch biến, nên rất khó chọn các giá trị để thử và
cũng sẽ mất nhiều thời gian hơn và khả năng sai sót rất lớn.
Câu 4. Hàm số y = − x 4 − 2 x 2 + 3 nghịch biến trên các khoảng:
A. ( −∞;0 )

B. ( −1; +∞ )

C. ( −2;3)

D. ( 1; +∞ )

Cách 1:
+ y′ = −4 x 3 − 4 x , y′ = 0 ⇔ x = 0
+ Lập bảng biến thiên
x −∞
0
+∞
y′
+ 0 −
y −∞ Z

] −∞

+ Kết luận khoảng nghịch biến: ( 1; +∞ ) nên chọn D
Phân tích: Phân tích tương tự câu 3. Câu này ta nên sử dụng cách 1 sẽ đơn giản và nhanh hơn, phù
hợp với học sinh trung bình yếu. Giáo viên cũng lưu ý khó khăn khi dùng cách 1 là học sinh xét dấu

sai. Khó khăn khi sử dụng cách 2, 3 là các đáp án vừa chứa khoảng đồng biến, nghịch biến, nên khó
chọn các giá trị để thử và cũng sẽ mất nhiều thời gian hơn.
Câu 5. Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số y =

2x + 1
là đúng?
x +1

A. Hàm số luôn đồng biến trên R.
B. Hàm số luôn nghịch biến trên R \ {−1}
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( − ∞ ; − 1) và ( − 1; + ∞ )
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( − ∞ ; − 1) và ( − 1; + ∞ )
Cách 1:
+ y′ =

1

( x + 1)

2

> 0, ∀x ≠ −1

6


+ Lập bảng biến thiên
x −∞
−1
y′

+
||
y 2 Z +∞

+∞
+

|| − ∞ Z 2

+ Kết luận khoảng đồng biến: ( − ∞ ; − 1) và ( − 1; + ∞ ) nên chọn C
Phân tích:
A. Hàm số khơng xác định trên R nên không thể đồng biến trên R , loại A
B. Ta cũng không kết luận ở dạng R \ {−1} nên loại B
C. Trong khoảng ( −∞ ; − 1) và ( −1; + ∞ ) , f ′( x) > 0, ∀x ≠ −1 nên chọn C
Câu này có thể sử dụng cách 1 sẽ đơn giản và nhanh hơn, phù hợp với học sinh trung bình yếu.
Giáo viên cũng lưu ý khó khăn khi dùng cách 1 là học sinh xét dấu sai. Bên cạnh đó cũng có thể sử
dụng cách 2 cũng nhanh và đơn giản, cách làm như sau:
+ Bước 1: Bấm Shift →

d  2x +1 

÷
dx  x + 1  x = x

+ Bước 2: Calc → x = − 8, −4,12,.. thì y′ >0 , do đó chọn C
Câu 6: Khoảng đồng biến của hàm số y = 2 x − x 2 là:
A.

( − ∞ ;1)

B. ( 0;1)

C.

Cách 1:
+ y′ =

1− x
2x − x2

, y′ = 0 ⇔ x = 1

+ Lập bảng biến thiên
x −∞ 0 1
2 +∞
y′
|+ 0 − |
y

|Z

] |

+ Kết luận khoảng đồng biến: ( 0;1) nên chọn B
Cách 2:
+ Bước 1: Bấm Shift →

d
dx

(

2x − x2

)

x= x

+ Bước 2:
A. Calc → x = − 8, −1 thì KQ: Math ERROR nên loại A
B. Calc → x = 0.1;0.9 thì KQ: y′ > 0 nên chọn B
7

( 1; 2 )

D. (1; + ∞ )


C. Calc → x =1.5 thì KQ: y′ < 0 nên loại C
D. Đáp án C sai nên D cũng sai
Phân tích: Câu này có thể sử dụng cách 1 nhưng học sinh sẽ gặp khó khăn ở chỗ: tính đạo hàm,
giải phương trình y′ = 0 và khơng biết xét dấu ở bảng biến thiên. Do đó câu dạng này tôi thường
hướng dẫn học sinh cách 2 cũng nhanh và đơn giản.
Câu 7. Trong các hàm số sau , hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng (1 ; 3) ?
A. y =

x−3
x −1

B. y =

x 2 − 4x + 8
x−2

C. y = 2 x 2 − x 4

D. y = x 2 − 4 x + 5

Cách 2:Hướng dẫn cách 2
A. + Bấm Shift →

d  x −3

÷
dx  x − 1  x = x

+ Calc → x =1.1; 2.5; 2.9 thì KQ: y′ > 0 nên chọn A
B. + Bấm Shift →

d  x2 − 4 x + 8 

÷
dx  x − 2  x = x

+ Calc → x = 2.5 thì KQ: −15 nên loại B, hay x = 2 thì hàm số không xác định nên loại B
C. + Bấm Shift →

d
2 x2 − x4
dx

(

)

x= x

+ Calc → x =2.9 thì KQ: y′ < 0 nên loại C
D. + Bấm Shift →

d 2
x − 4x + 5
dx

(

)

x= x

+ Calc → x =2.9 thì KQ: y′ < 0 nên loại D
Phân tích: Câu này có thể sử dụng cách 2 vì các cách còn lại sẽ rất lâu và mất nhiều thời gian. Do
đó câu dạng này tơi thường hướng dẫn học sinh cách 2 cũng nhanh và đơn giản.
Loại 2: Tìm m để hàm số đơn điệu trên ¡ , trên từng khoảng xác định
Phương pháp: Giáo viên giới thiệu sơ lược phương pháp giải như sau:
Cách 1:

8

ax + b 
d
; x ≠ − ÷
cx + d 
c
ad − cb
+ B1: Tính y′ = f ′( x, m) =
.
(cx + d ) 2

Đối với hàm nhất biến: y =

Đối với hàm bậc 3 y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0)
+ B1: Tính y′ = 3ax 2 + 2bx + c .
* Hàm số đ biến trên R

* Hàm số đ biến trên các khoảng xác

⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ 3ax 2 + 2bx + c ≥ 0, ∀x ∈ R
a > 0
⇔
(I )
∆ (∆′) ≤ 0

định ⇔ y′ > 0, ∀x ≠

(Giải hệ bpt tìm m).

* Hàm số nbiến trên R

⇔

⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ 3ax 2 + 2bx + c ≤ 0, ∀x ∈ R
a < 0
⇔
( II )
∆ (∆′) ≤ 0

ad − cb
−d
> 0, ∀x ≠
2
(cx + d )
c

⇔ ad − cb > 0 ( I ) (Giải bpt tìm m).

(Giải hệ bpt tìm m).

+ B2: K luận : Vậy m ∈ [

]

−d
c

* Hàm số n biến các khoảng xác định

thì hs……

⇔ y′ < 0, ∀x ≠
⇔

−d
c

ad − cb
−d
< 0, ∀x ≠
2
(cx + d )
c

⇔ ad − cb < 0 ( II )

(Giải bpt tìm m).

+ B2: K luận : Vậy m ∈ (

) thì hs……

Cách 2: Dùng cho hàm bậc 3
+ Bước 1: Tính y′
* Hàm số đồng biến trên R ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ R
* Hàm số nghịch biến trên R ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ R
+ Bước 2: Lấy giá trị m của đáp án thế vào y′ và giải bất phương trình tương ứng y′ ≥ 0, y′ ≤ 0
nếu kết quả là: All real number thì đúng và chọn giá trị m trên.
Câu 7. Giá trị của m để hàm số y =
A. m ≥ 1

B. m ≤ −

1 3
x – 2mx2 + (m + 3)x – 5 + m đồng biến trên R là:
3
3
4

C. −

3
≤ m ≤1
4

Cách 1:
+ y′ = x 2 − 4mx + m + 3
+ Hàm số đồng biến trên R ⇔ y′ ≥ 0 ⇔ x 2 − 4mx + m + 3 ≥ 0
1 > 0
3
⇔ 2
⇔ m ∈ − ≤ m ≤ 1 , Chọn C
4
 4m − m − 3 ≤ 0
9

D. −

3
< m <1
4

Cách 2: dùng cho máy VN
+ Bước 1: Tính y′ = x 2 − 4mx + m + 3 . Vào chế độ giải bất phương trình
+ Bước 2: Nhập giá trị và thế m ở đáp án, nếu kết quả All real number thì đúng , chọn C
Phân tích: Câu này có thể sử dụng cách 1 sẽ đơn giản và nhanh hơn, phù hợp với học sinh trung
bình yếu.
Câu 8. Tìm m để hàm số y =
A. m ≥ 3

mx + 3
giảm trên từng khoảng xác định của nó?
x+2

B. m ≤ 3

2

C. m > 3

2

D. m < 3

2

2

Giải
+ Tính y′ =

2m − 3

( x + 2)

2

+ Hàm số giảm trên từng khoảng xác định của nó
⇔ y′ < 0, ∀x ≠ −2 ⇔

2m − 3

( x + 2)

2

< 0, ∀x ≠ −2 ⇔ 2m − 3 < 0 ⇔ m <

3
2 Chọn D

Phân tích: Cách trên đơn giản nên dùng
Dạng 2. Cực trị của hàm số
Phương pháp: Giáo viên giới thiệu sơ lược phương pháp giải như sau:
Dấu hiệu 1: Khi x qua x0 mà y′ đổi dấu ( theo hướng từ trái sang phải) từ :
* (+ ) → (−) : x0 là điểm cực đại của hàm số.

* (−) → (+ ) : x0 là điểm cực tiểu của hàm số.

Quy tắc 1:

+ Bước 1: Tính y′ . Giải pt y′ = 0 tìm các nghiệm xi ( i =1,2,…) hoặc các điểm x j mà
y ′ không xác định.

+ Bước 2: Lập bảng biến thiên.
+ Bước 3: Kết luận, căn cứ vào bảng biến thiên ta kết luận cực trị của hàm số ( dựa
vào dấu hiệu 1 ).
Dấu hiệu 2 : *

f ′( x0 ) = 0 
 ⇒ x0 là điểm cực tiểu.
f ′′( x0 ) > 0 

*

f ′( x0 ) = 0 
 ⇒ x0 là điểm cực đại.
f ′′( x0 ) < 0 

Quy tắc 2:
+ Bước 1: Tính y′ . Giải pt y′ = 0 tìm các nghiệm xi ( i=1,2,…)
+ Bước 2: Tính y′′
10


+ Bước 3: Tính y′′( xi ) và dùng dấu hiệu 2 để kết luận xi là điểm cực đại hay cực tiểu.
Loại 1: Tìm điểm cực trị của hàm số
Câu 1. Điểm cực tiểu của hàm số y = - x3 + 3x + 4 là:
A. x = - 1

B. x = 1

C. x = -3

D. x = 3

Cách 1: Áp dụng quy tắc 1
+ Bước 1: y′ = −3 x 2 + 3, y′ = 0 ⇔ −3 x 2 + 3 = 0 ⇔ x = ±1
+ Bước 2: Lập bảng biến thiên
x − ∞ −1
1 +∞
y′
− 0 + 0 −
y + ∞]

Z

] −∞

+ Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên, dấu hiệu 1 kết luận, chọn A
Cách 2: Áp dụng quy tắc 2
+ Bước 1: Tính y′ = −3 x 2 + 3, y′ = 0 ⇔ −3x 2 + 3 = 0 ⇔ x = ±1
+ Bước 2: Tính y ′′ = −6 x và y′′ ( −1) = 6 > 0 ⇒ x = −1 là điểm cực tiểu. Chọn A
y ′′ ( 1) = −6 < 0 ⇒ x = 1 là điểm cực đại

Cách 3: Sử dụng MTBT
+ Bước 1: Bấm Shift →

d
− x 3 + 3x + 4 )
(

dx

x=x

+ Bước 2: Phân tích đáp án
 x = −2 ⇒ KQ : −9
nên x = −1 là điểm cực tiểu , chọn A
 x = 0 ⇒ KQ : 3

A. x = −1 ta bấm Calc → 

 x = 0 ⇒ KQ : 3

Calc
→
B. x = 1 ta bấm

15 nên x = 1 là điểm cực đại (loại B)
x = 1.5 ⇒ KQ : −

4

 x = −4 ⇒ KQ : −45
nên x = −3 không là điểm cực trị (loại C)
 x = −2 ⇒ KQ : −9

C. x = −3 ta bấm Calc → 

 x = 2 ⇒ KQ : −9
nên x = 3 không là điểm cực trị (loại D)

 x = 4 ⇒ KQ : −45

D. x = 3 ta bấm Calc → 

11


Phân tích: Với loại này tơi thấy cách 1 là đơn giản dễ làm phù hợp với học sinh yếu kém lớp tôi
dạy, nên tôi chọn. Cách 3 cũng nhanh nhưng đòi hỏi học sinh phải rèn luyện kĩ năng bấm máy
nhanh.
Câu 2. Điểm cực đại của hàm số y =
A. x = 0

1 4
x − 2 x 2 − 3 là :
2

B. x = ± 2

C. x = − 2

D. x = 2

Cách 1: Áp dụng quy tắc 1
+ Bước 1: y′ = 2 x 3 − 4 x, y′ = 0 ⇔ x = ± 2 , x = 0
+ Bước 2: Tương tự câu 2, lập bảng biến thiên và ta chọn B
Câu 3. Tìm giá trị cực đại của hàm số y = x 3 − 3x + 2
A. 4

B. 1

C. 0

D. −1

Cách 1: Áp dụng quy tắc 1
Bước 1: y′ = 3x 2 − 3, y′ = 0 ⇔ x = ±1
Bước 2: Tương tự câu 2, lập bảng biến thiên và ta chọn A
x − ∞ −1
1 +∞
y′
+ 0 − 0 +
y + ∞ Z 4]

Câu 4: Hàm số y =
A. A ( 2;2 )

0 Z −∞
x 2 − 2x + 2
đạt cực trị tại điểm
x −1

B. B ( 0;1)

C. C ( 0;2 )

D. D ( 2; −2 )

Cách 3: Sử dụng MTBT
d  x 2 − 2x + 2 

+ Bước 1: Bấm Shift → 
÷ và calc → x giá trị x ở đáp án nếu bằng 0 ta chọn, thử
dx 
x −1  x=x

4 đáp án thỏa.
+ Bước 2: Bấm

x 2 − 2x + 2
→ calc → x giá trị x ở đáp án nếu bằng gía trị y tương ứng ta chọn, ở
x −1

bước này ta loại B, C, D nên chọn A
Câu 5. Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 cực trị:
A. y = x4 – 2x2 – 1

B. y = x4 + 2x2

C. y = 2x4 + 4x2 – 4

D. y = - x4 – 2x2 – 1

Phân tích: Loại này tơi cung cấp cho học sinh kiến thức hàm bậc 4 nếu có: a.b < 0 thì hàm số có 3
cực trị
12


Áp dụng tính chất trên ta chọn A
Loại 2: Tìm m để hàm số có cực trị, 3 điểm cực trị
Giáo viên sơ lượt phương pháp giải.

3
2
Hàm bậc 3. y = ax + bx + cx + d (a ¹ 0)

+ Bước 1: Tính y¢= 3ax2 + 2bx + c .
+ Bước 2: Hàm số có cực trị ( hai cực trị ) ⇔ PT y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
ìï a ¹ 0
ï
→ giải bpt tìm m.
Û PT : 3ax2 + 2bx + c = 0 có hai nghim phõn bit ớù
ùợ D y > 0
4
2
Hm bậc 4. y = ax + bx + c (a ¹ 0)
3
2
+ Bước 1: Tính y¢= 4ax3 + 2bx .Cho: y¢= 0 Û 4ax + 2bx = 0 Û 2x(2ax + b) = 0(1)

éx = 0
Û ê
ê2ax2 + b = 0
ê
ë

(2)

¢)
+ Bước 2: Tính D(2) ( hoặc D(2)

+ Bước 3: Hàm số có 3 cực trị Û PT (1) có 3 nghiệm phân biệt

Û PT (2) có 2 nghiệm phân biệt x ¹ 0
ïì D(2) > 0
Û ïí
Û
ïï g(0) ¹ 0
ùợ

. <0
ùỡù ab
ớ
gii tỡm m.
ùù b ạ 0
ợ

Cõu 6. Cho hàm số y = x3 – mx2 + 3x + 1. Hàm số có cực đại và cực tiểu khi :
A. -3 < m < 3

B. m ≥ 3

C. m < -3

D. m < - 3 hoặc m > 3

Phân tích: Dạng bài này có thể áp dụng cách giải như sau
Cách 1:
+ Bước 1: Tính y¢= 3x2 - 2mx + 3 .
+ Bước 2: Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ 3x2 − 2mx + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ m< −3 hoặc m> 3 nên chọn D.

Cách 2:

+ Bước 1: Tính y¢= 3x2 - 2mx + 3 .
+ Bước 2: Bấm Mode ® 5 ® 3 và nhập số như sau:
A. −3 < m < 3 thế m = 1 thì phương trình vơ nghiệm nên loại A
B.

m≥3

thế m = 3 thì phương trình có nghiệm kép nên loại B
13


C. m < −3 thế m = −4 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
D. m > 3 thế m = 4 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.Vậy chọn D.
Câu 7. Hàm số y = mx4 + 2(m – 2)x2 – 1 có 3 cực trị khi:
A. m < 2

B. m > 0

C. 0 < m < 2

D. 0 ≤ m ≤ 2

Giải
Phân tích: Dạng bài này có thể áp dụng cơng thức trên như sau
ìï ab
. <0
ï
Û
Hàm số có 3 cực trị íï b ¹ 0
ợù

ỡù 2m( m - 2) < 0 ỡù m ẻ ( 0;2)
ï
Û íï
Û m Ỵ ( 0;2) chọn C
í
ïï m - 2 ạ 0
ùù m ạ 2
ợ
ợ

4
2
2
2
Cõu 8 : Hm số y = ( m − 1) x + ( m − 2m ) x + m có 3 cực trị khi m thỏa

A. m < −1 ∨ 1 < m < 0

B. −1 < m < 1 ∨ m > 2

C. m < 0 ∨ 1 < m < 2

D. 0 < m < 1 ∨ m > 2

Giải
Phân tích: Dạng bài này có thể áp dụng cơng thức trên như sau
Hàm số có 3 cực trị
ìï ab
. <0

Û ùớ

ùù b ạ 0
ợ

ùỡù ( m - 1) ( m2 - 2m) < 0 ỡù m ẻ ( - Ơ ;0) ẩ ( 1;2)
ớù
m ẻ ( - Ơ ;0) È ( 1;2) Chọn C
íï 2
ïï m - 2m ¹ 0
ïï m ¹ 0, m ¹ 2
ỵ
ïỵ

Loại 3: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x0
1. Dạng 1: Định giá trị của tham số m để hàm số đạt cực trị tại x0 :
Phương pháp 1:
+ Bước1: Tính y′ .
+ Bước2: Hàm số đạt cực trị (CĐ,CT) tại x0 ⇒ y′ ( x0 ) = 0 → giải PT tìm m.
+ Bước 3: (Thử lại) Với từng giá trị m vừa tìm được ta thay m vào y′ . Cho y′ = 0 tìm
nghiệm và lập BBT kiểm tra hàm số có đạt cực trị (CĐ ,CT) đúng như u cầu bài tốn
khơng. Nếu m thỏa đúng thì nhận ngược lại loại.
+ Bước 4:Kết luận giá trị m thỏa điều kiện.
Phương pháp 2:
+ Bước1: Tính y′ và y′′
+ Bước 2: Hàm số đạt cực trị cực trị (CĐ,CT) tại x0 ⇒ y′ ( x0 ) = 0 → giải PT tìm m.
+ Bước 3: (Thử lại) Với từng giá trị m vừa tìm được ta thay m vào y′′ ⇒ y′′( x0 )

14

* Nếu y′′( x0 ) > 0 thì h số đạt CT tại x = x0 kiểm tra có đúng như u cầu bài tốn khơng.
Nếu m thỏa thì nhận ngược lại loại.
* Nếu y′′( x0 ) < 0 thì h số đạt CĐ tại x = x0 kiểm tra có đúng như u cầu bài tốn khơng.
Nếu m thỏa thì nhận ngược lại loại.
+ Bước 4: Kết luận giá trị m thỏa điều kiện.
Câu 9. Giá trị của m để hàm số y =
A. m = 2

1 3
x − ( m − 1) x 2 + ( m 2 − 3m + 2 ) x + 5 đạt cực đại tại x = 0?
3

B. m = 1

C. m = 1 hoặc m = 2

D. m = 6

Giải
Phân tích: Dạng bài này có thể giải theo phương pháp nêu trên, nhưng sẽ rất lâu nên tôi đề cử cách
giải như sau:
+ Bc 1: Bm Shift đ

dổ
1
ử
ỗ x3 - ( m - 1) x2 + ( m2 - 3m + 2) x + 5ữ
ữ
ỗ

ứ
dx ố3
x=x

+ Bc 2: Kim tra hm s đạt cực trị với giá trị m nào
Bấm Calc ® x = 0, m = 1,2 thì kết quả 0, có nghĩa với m = 1,2 thì hàm số đạt cực trị tại x = 0,
Calc ® x = 0, m = 6 thì kết quả 20 nên loại D

+ Bước 3: Kiểm tra hàm số đạt cực đại với giá trị m nào
Bấm Calc ® x = 0 - 0.001, m = 1thì kết quả
Calc ® x = 0 + 0.001, m = 2 thì kết quả

1
>0
10000
1
> 0 , khi đó với m = 1 thì hàm số khơng
1000000

đạt cực đại tại x = 0, nên loại m = 1
Bấm Calc ® x = 0 - 0.001, m = 2 thì kết quả 2.001.10- 3 > 0
Calc ® x = 0 + 0.001, m = 2 thì kết quả - 1.999.10- 3 < 0 , khi đó với m = 2 thì hàm số đạt

cực đại tại x = 0, nên chọn m = 2 Chọn A
Các bài tập tương tự
Câu 10: Giá trị của m để hàm số y = − x 3 − 2 x 2 + mx đạt cực tiểu tại x = - 1 là .
A. m = −1

B. m ≠ −1

C. m > −1

D. m < −1

Câu 11 : Tìm m để hàm số y = x3 + mx2 + (m2 + m - 21)x + 3 đạt cực tiểu tại x = 1.
A. m = - 6.

B. m = 9 v m = - 2.

C. m = 3.

D. m = 3 v m = - 6.

Câu 12 : Tìm m để hàm số y = mx4 - 2(2m - 1)x2 + 3 + 2m đạt cực tiểu tại x = 1.
A. m = - 2.

B. m = - 1.

C. m = 2.
15

D. m = 1.


Loại 4: Tìm m để hàm số có cực trị thỏa điều kiện
Câu 13. Tìm m để hàm số y = x 4 − 2(m + 1) x 2 + m có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của tam giác
vuông.
A. m = 3

C. m = 0

B. m = 1

D. m = 2

Giải
Phân tích: Dạng bài này có thể áp dụng cơng thức như sau
Hàm số có 3 cực trị tạo thành 3 đỉnh của tam giác vuông
3

3

Û b3 + 8a = 0 Û [- 2( m + 1) ] + 8 = 0 Û ( m + 1) = 1

⇔ m = 0 Chọn C

Câu 14. Tìm m để hàm số y = − x 4 + 2(m + 1) x 2 + 1 có 3 điểm cực trị A,B,C lập thành tam giác đều.
A. m = 3 3 − 1

C. m = 3 3 + 1

B. m = 3 − 1

D. m = 3 3

Giải
Phân tích: Dạng bài này có thể áp dụng cơng thức như sau
Hàm số có 3 cực trị tạo thành 3 đỉnh của tam giác đều
3

3

Û b3 + 24a = 0 Û [2(m + 1)] - 24 = 0 Û ( m + 1) = 3
Û m = 3 3 - 1 Chọn A

Câu 15. Đồ thị hàm số y = x3 – ( 3m + 1)x2 + ( m2 + 3m + 2)x + 3 có điểm cực tiểu và điểm cực đại
nằm về hai phía của trục tung khi :
A. 1 < m < 2

B. 2 < m < 3

C. – 2 < m < - 1

D. – 3 < m < - 2

Giải
Tính y¢= 3x2 - 2( 3m + 1) x + m2 + 3m + 2
. < 0 Û 3( m2 + 3m + 2) < 0 Û m Ỵ ( - 2;- 1) Chọn C
Theo đề bài ta có: ac

Dạng 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Loại 1: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn [ a; b ]
Cách 1:
+ B1: Tính y′ cho y′ = 0 giải phương trình tìm nghiệm x1, x2, . , xi ,.., xn thuộc
[a,b]. hoặc các điểm xj thuộc [a,b] mà y’ không xác định .
+ B2: Tính giá trị : f(x1), f(x2 ) ,. .., f(a), f(b)
+ B3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số vừa tính trên và
kết luận:
16

f (x)
1) Số lớn nhất là : M = max
[a,b]

2) Số nhỏ nhất là :

m = min f (x)
[a,b]

f (x) = f (b) và
* Chú ý: + Nếu trên [a;b] mà y = f (x) đồng biến thì : max
[a,b]

min f (x) = f (a)
[a,b]

f (x) = f (a) và
+ Nếu trên [a;b] mà y = f (x) nghịch biến thì : max
[a,b]
min f (x) = f (b)
[a,b]

Cách 2:
+ Bước 1: Bấm Mode → 7 → f(x) = ...
+ Bước 2: Chọn Start = a và End = b , Step =

b−a
19

+ Bước 3: Dị bảng tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất ở cột F ( X )
Câu 1: Tìm M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 3 − 3x 2 − 9 x + 35
trên [ −4; 4] .
A. M = 40; m = −41

B. M = 15; m = −41

C. M = 40; m = 8

D. M = 40; m = −8.

Phân tích: Trong bài thi trắc nghiệm dạng bài này nên sử dụng cách 2 là hợp lí nên thường tơi dạy
cách 2
+ Bước 1: Bấm Mode → 7 → f(x) = x3 − 3 x 2 − 9 x + 35
+ Bước 2: Start = −4 và End = 4 , Step =

4 − (−4)
19

+ Bước 3: Dò bảng ta chọn A
Câu 2 :Cho hsố y =
A. min y =
[ −1;2]

x +1
. Chọn phương án đúng trong các phương án sau:
2x −1

1
2

y=0
B. max
[ −1;0]

C. min y =
[ 3;5]

Phân tích: tương tự câu 1
+ Bước 1: Bấm Mode → 7 → f(x) =

x +1
2x −1

+ Bước 2: Chọn Start và End , Step theo từng đáp án
+ Bước 3: Dò bảng

17

11
4

D. max y =
[ −1;1]

1
2


1

2

y = 0 đúng nên chọn B
B. max
[ −1;0]

11
sai vì giá trị nhỏ nhất là 0.6666
4

D. max y =

A. min y = sai vì giá trị nhỏ nhất là -9
[ −1;2]

C. min y =
[ 3;5]

Câu 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 x + 1 +
A.

26
5

B.

[ −1;1]

1
sai vì giá trị lớn nhất là 10

2

1
trên đoạn [1 ; 2] bằng .
2x + 1

10
3

C.

14
3

D.

24
5

Phân tích: tương tự câu 1
+ Bước 1: Bấm Mode → 7 → f(x) = 2 x + 1 +

1
2x +1

+ Bước 2: Chọn Start = 1 và End = 2 , Step =

2 −1
19

+ Bước 3: Dò bảng và chọn B
Câu 4: Giá trị lớn nhất của hàm số y =
A. 0

x 2 − 3x
trên đoạn [ 0 ; 3 ] bằng.
x +1

B. 1

C. 2

D. 3

Phân tích: tương tự câu 1
+ Bước 1: Bấm Mode → 7 → f(x) =

x 2 − 3x
x +1

+ Bước 2: Chọn Start = 0 và End = 3 , Step =

3−0
19

+ Bước 3: Dò bảng và chọn A
Câu 5: Giá trị lớn nhất của hàm số y = | x 2 − 4 x − 5 | trên đoạn [-2 ; 6] bằng.
A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

Phân tích: tương tự câu 1, nhưng cau này giáo viên lưu ý phím Shift → hyp để nhập hàm số
+ Bước 1: Bấm Mode → 7 → f(x) = | x 2 − 4 x − 5 |
+ Bước 2: Chọn Start = −2 và End = 6 , Step =

6 − ( −2 )
19

+ Bước 3: Dò bảng và chọn C
Loại 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên khoảng ( a; b )
Cách 1:
+ Bước 1: Tính y¢cho y¢= 0 tìm nghiệm
18


+ Bước 2: Lập bảng biến thiên trên ( a; b )
x −∞ a
y′
+

b +∞

x0
0

−

Z f ( x0 ) ]

y

Hoặc

x −∞
y′

a
−
]

y

x0
0

b

+∞

+

f ( x0 ) Z

f (x)
+ Nếu trên ( a; b ) hàm số chỉ có duy nhất một cực đại thì f (x0) = max
(a,b)

f (x)
+ Nếu trên ( a; b ) hàm số chỉ có duy nhất một cực tiểu thì f (x0) = min
(a,b)
+ Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên và chọn đáp án
* Chú ý: Nếu trên khoảng ( a; b ) hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến thì khơng có GTLN và
GTNNù
Cách 2:
+ Bước 1: Bấm Mode → 7 → f(x) = ...
+ Bước 2: Chọn Start = a và End = b , Step =

b−a
19

+ Bước 3: Dị bảng tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất ở cột F ( X )
Lưu ý:
+ Trường hợp trên khoảng ( a; b ) ta không chọn giá trị của F ( X ) tại a và b
+ Ở bước 2 trong trường hợp đề bài khơng nêu khoảng thì ta sẽ tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
trên tập xác định của hàm số đã cho, nếu chưa xác định được tập xác định của hàm số thì ta có thể
chọn như sau:
Đoạn 1 chọn [ −15;0] : Start = −15 và End = 0 ; Step =
Đoạn 2 chọn [ 0;15] : Start = 0 và End = 15 ; Step =

15
19

15
19

Câu 1. Trên khoảng ( 0 ; + ∞ ) thì hàm số y = - x3+3x+1 có:
y = −1

A. (min
0; +∞ )

y =3
B. (min
0; +∞ )

y =3
C. (max
0; +∞ )

Phân tích: Loại câu này tơi hướng dẫn học sinh 2 cách giải
Cách 1:
+ Bước 1: Tính y¢= - 3x2+3 cho y¢= 0 Û x = ±1
+ Bước 2: Lập bảng biến thiên trên ( 0 ; + ∞ )
19

y = −1
D. (max
0; +∞ )


x − ∞ −1 0
y′
− 0 +

1
+∞
+ 0 −

y

Z 3 ]

Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên và phương pháp nêu trên ta chọn C
Cách 2:
+ Bước 1: Bấm Mode → 7 → f(x) = − x3 +3x+1
+ Bước 2: Chọn Start = 0 và End = 15 , Step =

15 − 0
19

+ Bước 3: Dò bảng ta thấy đáp án đúng nhất là giá trị lớn nhất là 2.9 nên chọn C
Lưu ý: Lí do chọn khoảng ( 0;15 ) là ý muốn tìm khoảng chứa nghiệm của phương trình y¢= 0
nhưng cũng vừa đủ để máy tính được. Ta cũng có thể chọn khoảng lớn hơn, nhưng để máy tính
được, thơng thường nghiệm của phương trình y¢= 0 cũng không quá lớn và ta không lấy giá trị
f(0).
x2 + x − 3
Câu 2. Cho hàm số y =
, trên khoảng (-1;+ ∞ ) hàm số có:
x +1

A. GTLN

B. GTNN

C. Khơng có GTLN và GTNN

D. có GTLN và GTNN

Phân tích: Loại câu này tơi hướng dẫn học sinh 2 cách giải
Cách 1:
+ Bước 1: Tính y¢=

x2 + 2x + 4
cho y¢= 0 Û x2 + 2x + 4 = 0 vô nghiệm
2
( x + 1)

+ Bước 2: Lập bảng biến thiên trên ( −1; + ∞ )
x − ∞ −1
y′

+∞
+
Z

y

+ Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên và chú ý đã nêu ở cách 1 nên ta chọn C
 π π
;  bằng.
 2 2

Câu 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin 3 x − cos 2 x + sin x + 2 trên khoảng  −
A.

23
27

B.

1
27

C. 5

D. 1

Phân tích: Loại câu này tơi hướng dẫn học sinh 2 cách giải
Cách 1:
+ Bước 1: y = sin 3 x + 2sin 2 x + sin x + 1 . Đặt t = sin x thì y = t 3 + 2t 2 + t + 1 ; t Ỵ ( - 1;1)
20


+ Bước 2: Bấm Shift → Mode → 4 để mở chế độ Radian. Bấm Mode → 7 → f(x) = x3 + 2 x 2 + x + 1
+ Bước 3: Chọn Start = −1 và End = 1 , Step =

1 − ( −1)
19

+ Bước 4: Dò bảng giá trị nhỏ nhất là 0.853 nên chọn A
Cách 2:
+ Bước 1: Bấm Shift → Mode → 4 để mở chế độ Radian .
Bấm Mode → 7 → f(x) = sin 3 x − cos 2 x + sin x + 2
+ Bước 2: Chọn Start = −

π
π
π

và End = , Step =
2
2
19

+ Bước 3: Dò bảng giá trị nhỏ nhất là 0.856 nên chọn A
Lưu ý: Trong cách giải 1 trên ta không lấy ta không lấy giá trị tại f ( −1) và f ( 1) và cách 2 ta không
 π
π 
lấy ta không lấy giá trị tại f  − ÷và f  ÷
 2
2
 π π
 là:
 2 2

Câu 4. GTLN của hàm số y = 3sin x − 4sin 3 x trên khoảng  − ;
A. −1

B. 1

C. 3

D. 7

Cách 2: Tương tự câu 3
+ Bước 1: Bấm Shift → Mode → 4 để mở chế độ Radian .
Bấm Mode → 7 → f(x) = 3sin x − 4sin 3 x
+ Bước 2: Chọn Start = −

π
π
π
và End = , Step =
2
2
19

+ Bước 3: Dò bảng giá trị nhỏ nhất là 0.986 nên chọn B
 π
π 
Lưu ý: Trong cách giải trên ta không lấy ta không lấy giá trị tại f  − ÷và f  ÷
 2
2

Câu 5. GTNN và GTLN của hàm số y = x +

4 − x 2 là:

A. miny = - 2, maxy = 2

C. miny = - 2 2 , maxy = 2

B. miny = 2, maxy = 2 2

D. miny = - 2, maxy = 2 2

Phân tích: Loại này ta cần tìm điều kiện của hàm số
2
Điều kiện: 4 − x ≥ 0 ⇒ x ∈ [ −2; 2 ]

+ Bước 1: Bấm Mode → 7 → f(x) = x + 4 − x 2
21


+ Bước 2: Chọn Start = −2 và End = 2 , Step =

4
19

+ Bước 3: Dò bảng giá trị chọn D
Câu 6.GTLN của hàm số y = x + 1 + 7 − x bằng:
A. 4

B. 2

C. 1/2

D. 6

Phân tích: Loại này ta cần tìm điều kiện của hàm số
x +1 ≥ 0
Điều kiện: 7 − x ≥ 0 ⇔ x ∈ [ −1;7]


+ Bước 1: Bấm Mode → 7 → f(x) = x + 1 + 7 − x
+ Bước 2: Chọn Start = −1 và End = 7 , Step =

8
19

+ Bước 3: Dò bảng giá trị ta có giá trị lớn nhất 3.98 nên chọn A
Câu 7. GTNN và GTLN của hàm số y = 3 + x + 6 − x −

( 3 + x )( 6 − x ) là:

A. miny = 3, maxy = 3 2

C. miny = -

9

B. miny = 3 2 - 2 , maxy = 3

9
, maxy = 3
2

D. miny = 0, maxy = 3 2

Bài tập tương tự.
Câu 8. Giá trị lớn nhất của hàm số y = − x 2 + 4 x là
A. 0

B. 4

C. -2

D. 2

2
3

D. 2

Câu 9. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = − x 2 + x là
A. 0

B.

3
2

C.

Câu 10. Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y = 2sin2x – cosx + 1
23
A. Maxy = 25, miny = 0 B. Maxy =
, miny = 0 C. Maxy = 25, miny = -1
8

8

8

miny = 0
Phân tích: Loại này ta cần phân tích: y = - 2 cos 2 x - cos x + 3
Cách 1:
+ Bước 1: Bấm Shift → Mode → 4 để mở chế độ Radian .
Bấm Mode → 7 → f(x) = - 2 cos 2 x - cos x + 3

22

D. Maxy =

27
,
8


π
19

+ Bước 2: Chọn Start = 0 và End = π , Step =

+ Bước 3: Dò bảng giá trị nhỏ nhất là 0 và giá trị lơn nhất là 3.124 nên chọn A
Lưu ý: Trong cách giải trên ta đưa về cùng hàm lượng giác để chọn đoạn thích hợp, ví dụ hàm chỉ
 π π
có hàm sin ta chọn đoạn  − ;  , hàm chỉ có hàm cos ta chọn [ 0; π ]
 2 2

Cách 2:
+ Bước 1: Từ y = - 2 cos 2 x - cos x + 3 ta đặt t = cos x, t ∈ [ −1;1] ta được: y = - 2t 2 - t + 3
Bấm Mode → 7 → f(x) = - 2t 2 - t + 3
+ Bước 2: Chọn Start = −1 và End = 1 , Step =

2
19

+ Bước 3: Dò bảng giá trị nhỏ nhất là 0 và giá trị lơn nhất là 3.124 nên chọn A
2

Câu 11. GTLN và GTNN của hàm số y = f ( x ) = sin x − 2 cos x + 2 lần lượt là

A. 4 và 1

B. 3 và 0

C. 4 và 0

D. 1 và 0

Loại 3: Tìm m để hàm số đạt GTLN,GTNN đoạn [ a; b ] Bằng C
Câu 12. Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 6 , giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [ 0;3] bằng 2 khi
A. m=

31
27

B. m = 1

C. m = 2

D. m >

3
2

Phân tích: Loại này ta sử dụng MTBT, trước hết ta thử những giá trị m nguyên.
+ Bước 1: Bấm Mode → 7 → f(x) = x3 − 3x 2 + 6 do thế m = 1 ở đáp án vào
+ Bước 2: Chọn Start = 0 và End = 3 , Step =

3
19

+ Bước 3: Dò bảng giá trị nhỏ nhất là 2.0084 thì ta nhận, chọn B. Các đáp án không đúng
Câu 13. Cho hàm số y = − x 3 − 3mx 2 + 2 , giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [ 0;3] bằng 2 khi:
A. m=

31
27

B. m ≥ 0

C. m = −1

D. m > −

3
2

Phân tích: Tương tự câu 1, trước hết ta thử những giá trị m nguyên.
+ Bước 1: Bấm Mode → 7 → f(x) = − x3 + 3 x 2 + 2 do thế m = -1 ở đáp án vào
+ Bước 2: Chọn Start = 0 và End = 3 , Step =

3
19

+ Bước 3: Dò bảng giá trị nhỏ nhất là 2 thì ta nhận, chọn C. Các đáp án không đúng
23

Câu14. Hàm số y =

2x − m
đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [ 0;1] bằng 1 khi
x +1

B. m = 0

A . m =1

C. m = −1

D. m = 2

Phân tích: Tương tự câu 1, trước hết ta thử những giá trị m nguyên.
+ Bước 1: Bấm Mode → 7 → f(x) = y =

2x
do thế m = 0 ở đáp án vào
x +1

+ Bước 2: Chọn Start = 0 và End = 1 , Step =

1
19

+ Bước 3: Dị bảng giá trị nhỏ nhất là 2 thì ta nhận, chọn B. Các đáp án không đúng
Bài tập tương tự
Câu 15. Cho hàm số y =

x+m
với m là tham số thực khác –1. Giá trị lớn nhất của m để hàm số có
x +1

giá trị nhỏ nhất trên [0; 3] bằng –2 là
B. m = −2

A . m = −1

C. m = 0

D. m = 1

3
2
2
Câu 16. Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + ( m + 1) x + m − 2 trên [ 0; 2] bằng 7

A. m = ±3

B. m = ±1

C. m = ± 7

D. m = ± 2

Dạng 4. Đường tiệm cận
Loại 1: Tìm tiệm cận đứng, ngang của đồ thị hàm số
1) Tiệm cận đứng:
Cách 1 : Áp dụng định nghĩa.

f ( x) = +∞ hoặc lim f ( x) = −∞
a) Nếu xlim
→x
x→x
0

+

0

f ( x ) = +∞ hoặc lim f ( x ) = −∞
b) Nếu xlim
→x
x→ x

+

0

−

0

−

Nếu một trong 4 điều kiện trên thỏa thì đường thẳng có phương trình x = x0 là tiệm cận đứng
của đồ thị hàm số.
Chú ý 1 : Nghiệm x = x0 là nghiệm của mẫu nhưng khơng là nghiệm của tử số thì đường
thẳng x = x0 là tiệm cận đứng.
Cách 2 : sử dụng máy tính.

+ Bước 1 : Bấm f ( x)
+ Bước 2 :
f ( x) ta bấm f ( x) và nút Calc → x = x + 10−7
* Để tính xlim
0
→x
0

+

f ( x ) ta bấm f ( x) và nút Calc → x = x − 10−7
* Để tính xlim
0
→x
0

−

24


2) Tiệm cận ngang:
Cách 1 : Áp dụng định nghĩa.
f ( x) = y0 hoặc lim f ( x) = y0 thì đường thẳng có phương trình: y = y0 là tiệm cân ngang
Nếu xlim
→+∞
x →−∞

của đồ thị hàm số.
Chú ý2 :

* Hàm đa thức khơng có tiệm cận.
* Hàm phân thức : y =

ax + b
có:
cx + d
d
c

+ Tiệm cận đứng: x = −
* Hàm phân thức : y =

a
c

ax 2 + bx + c
có:
dx + e

+ Tiệm cận đứng: x = −
* Hàm phân thức : y =

+ Tiệm cận ngang: y =

e
d

. + Khơng có tiệm cận ngang.

ax 2 + bx + c

có:
dx 2 + ex + f

+ Tiệm cận đứng: nghiệm của mẫu nhưng không là nghiệm tử
a
.
d

+ Tiệm cận ngang: y =
* Hàm phân thức : y =

ax + b
có:
cx + dx + e
2

+ Tiệm cận đứng: nghiệm của mẫu nhưng không là nghiệm tử
+ Tiệm cận ngang: y = 0 .
* Hàm số khác thì áp dụng 2 định nghĩa trên.
Cách 2 : Sử dụng máy tính.
+ Bước 1 : Bấm f ( x)
+ Bước 2 :
f ( x) ta bấm f ( x) và nút Calc → x = −107
* Để tính xlim
→−∞
f ( x) ta bấm f ( x) và nút Calc → x = 107
* Để tính xlim
→+∞

Câu 1: Đồ thị hàm số y = x 4 − 2x 2 + 5 có bao nhiêu đường tiệm cận ?

A. 0

B. 1

C. 2

Áp dụng chú ý 2, chọn A
25

D. 3