§5 ĐẠO HÀM CẤP HAI
Kiểm tra bài cũ
Bài 2 Tìm
Bài 1
d (s inx)
d (cos x )
Tìm vi phân của hàm số
y = sinx - xcosx
Giải
Ta có
y’= cosx-coxs + xsinx
xsinx
Do đó dy=(xsinx)dx
Giải
Ta có
=
d (s inx) (s inx) ' dx
d (cos x) (cos x) ' dx
cos x
c otx
s inx
§5 ĐẠO HÀM CẤP HAI
I. ĐỊNH NGHĨA
Tính y’ và đạo hàm của y’ biết
3
2
x
5
x
4x
a. y =
Giải
Ta có
2
3
x
10 x 4
y’ =
(y’)’= 6x - 10
b. y = sinx
Giải
Ta có
y’ = cos x
(y’)’ = - sinx
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểmx � a, b
. Khi đó hệ thức y’ = f’(x) xác định một hàm số
mới trên khoảng (a, b). Nếu hàm số y’ = f’(x)lại có
đạo hàm tại mọi x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo
hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x
Kí hiệu y’’ hoặc f’’(x)
Chú ý
Đạo hàm cấp ba kí hiệu là y’’’hoặc f’’’(x) hoặc f(3)(x)
Đạo hàm cấp n – 1 kí hiệu là f(n- 1)(x) (n �, n �4)
Đạo hàm cầp n của f(x) kí hiệu là y(n) hoặc f(n)(x)
f
n
x
f
( n 1)
x
'
Ví dụ: Cho y = x5
a. Hãy điền vào bảng sau
y’
y’’
5x
4
20x3
y’’’
y(4)
y(5)
60x2
120x
120
b. Tính y100
c. Bắt đầu từ n bằng bao nhiêu thì yn bằng 0
Giải
y100 = 0;
n=6
y(6)
0
Câu hỏi trắc nghiệm
Hãy điền đúng sai vào ô trống
a) y = sinx có y’’ = sinx
S
b) y = sinx có y’’ = -sinx
Đ
c) y = sinx có y(3) = cosx
S
d) y = sinx có y(3) = -cosx
Đ
II. Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI
Hđ 2: Ta có: v(t) = s’ = gt
Với t0 = 4s thì v(4) = 4.g = 4.9,8 = 39,2 m/s
Với t1 = 4,1s thì v(4,1) = 4.g = 4,1.9,8 = 40,18 m/s
1 2 1
g (t t )
v v(t1 ) v(t2 ) 2 1 0 1
g t1 t0 �39,69
t
t1 t0
t1 t0
2
Xét chuyển động xác định bởi phương trình s = f(t),
trong đó s = f(t) là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai
Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là v(t) = f ’(t)
Lấy số gia t tại t thì v(t) có số gia tương ứng là v
Tỉ số
v
t
được gọi là gia tốc trung bình
của chuyển động trong khoảng thời gian
Nếu tồn tại
v
v '(t ) lim
(t )
t �0 t
t
Ta gọi v '(t ) (t )
là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t
Vì v(t) =
Nên (t ) f ''(t )
1. Ý nghĩa cơ học
Đạo hàm cấp hai f ’’(t) là gia tốc tức thời của
chuyển động s = f(t) tại thời điểm t
HĐ 3 Tính gia tốc tức thời của sự rơi tự do
1 2
s gt
2
Giải
Vì đạo hàm cấp hai f ’’(t) là gia tốc tức thời của
chuyển động s = f(t) tại thời điểm t
Nên ta có s’ = gt suy ra s’’ = g
2. Ví dụ:
Xét chuyển động có phương trình
S(t) = Asin t (A; là những hằng số)
Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động
Giải
Gọi v(t) là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời
điểm t, ta có
'
A cos(t )
�
A
sin
t
v(t) = s’(t) = �
�
�
Vậy gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là
(t ) s (t ) v (t ) A sin t
''
'
2
Tóm tắt bài học
1. Đạo hàm cấp 1, 2, 3,
4, …, n
Kí hiệu
y’, y’’,y’’’,y4 , .... , y(n)
2. Phương trình chuyển động
Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là
v(t) = f ’(t)
Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là
(t ) f ''(t )
Bài tập
Bài tập 1 Tính f ’’(x) biết
a. f(x) = (2x – 3)5
b. f(x) = 3x2 + 3x
Giải
a. f ’(x) = 5.2(2x-3)4 = 10 (2x-3)4
Suy ra f ’’(x) = 80(2x – 3)3
b. f ’(x) = 6x +3
Suy ra f ’’(x) = 6
Bài tập 2 Tính f ’’(3) của bài 1a
Ta có: f ’’(x) = 80(2x – 3)3
Suy ra f’’(3) = 80.(2.3- 3)3 = 80.27 = 2160