Bai tap rut gon can thuc bac hai

BÀI TẬP CĂN THỨC BẬC HAI
Bài tập 1.Thực hiện phép tính.

 2 3 

a)

22

23

(3 2 ) 2

 2


 2 



b)

( a )2

( a )3

 3 a 

c)

 2 

 2 

2 a 
2 3 

d)

( b)2

( b )3

 b 

e)

0,09

2

f)

1 6

2

4

2

1
4

2 2

2

Với a  0

2

1  3 

2

3 b 

Với b  0

2

1
0,04
2

0,0001

7
9

2


2


 2 


2

0,0144

2

3 1 11

1
5 2 25

.
Bài tập 2.Thực hiện phép tính.
a)

c)

28,9.490

e)

3 4.(8) 2

d)

0,001.250

f)

5a 2 với a  0

3. 27

b)

7 . 63

c)

2. 8

e)

2 3 (2 6  3  1)

h)



3 2. 3 2

2

b)

2

e)





3  1

25.36

b)

12,1.360
Bài tập 3.Thực hiện phép tính.
a)
d)
g)

10  1. 10  1
Bài tập 4.Thực hiện phép tính.
a)
d)






3  1
2 1



2 1

f)



i)

2

c)

2

f)

2  3 . 2  3 
5  2 6 . 5  2 6 
 3  5 . 3  5 



 
3  1
. 3  1
2 1. 2 1

Bài tập 5.Thực hiện phép tính.
a)
d)

3 2  2 3 
 5  2 2

b)

2

e)

2

3 2  2 3 
 5  2 2

c)

2

f)

2

3 2  2 3 . 3 2  2 3 
 5  2 2 . 5  2 2 

Bài tập 6.Thực hiện phép tính.
a)
b)

2,25

169
196

5



3  3 5 : 15
Bài tập 7.Thực hiện phép tính.

4,41
0,0625

2

27
3

2
18



18  3 32  6 2 : 2

1





a)
d)
g)


3

27  3 2  2 6 : 3 3

 
2

3 1  1

2

62 5  62 5

j)

94 5  94 5

b)




e)
h)


2  1

2

3 1 
2



2

c)

2

f)

1  3 

1  2 

2



2 1

2

3  5  10  2  3  5
4  15  10  6  4  15

l)

42 3  42 3

 

2 1 

74 3  74 3

i)

4 7  4 7

k)



Bài tập 8.Thực hiện phép tính.
a)

3 8

b)



32 5

c)

2
50
5

 2 75





2

18 2  3





2

51 3
4



1  x 3

8

1  2 

5

x  43 1  x 5

0,4  2,5
2

15. 27 . 180

12  27
12  27  108

20  5
5  80  125

20
5
75  48  300
20  2 45  3 80  320

1
 200
2

 2
3

. 6

 3

2


50 . 2

2,5. 40
5  3 2.

5
5

3

với x >

2  3. 2  3

 20  45  5 . 5
2  5 2  5 
 75  243 - 48 : 3

8  18  50

8  18  6



với 1 < x < 4

2 8

3  27  8  2

`

2

3

505  a 
Bài tập 9.Thực hiện phép tính.
2 8

 18 - 8 :



x3 1  3

2

d)

1
a 2 b với a# 0, b>0
a

5 7 - 7 5  2 70
35
8  18  50
2 1 2 1







4
4 3
 12 
3
3 4
 2

3

. 6

 3

2


32 . 54
4  15 . 4  15

5  3 2

 2 5  2 45  125  : 5


1
2 1

1 
4 



2  3 1 2  3
15

28 :

20

 10  6 4 


15



7



12  15 27 : 5 3

2  5 8  2 50
45  80  105

3
1
1


4
3
12
32  50  98  72
5  3.

5 3

1
1
48  3 75  27  10 1
3
3
3
1
1

2
20
60
15
8. 18. 98
6  2 5. 6  2 5

2  5 

2



2  5 

2

 1 1

5 4

5

 5  2 20  4 5  5  : 2 5



2


15
3 20

3 3
3
15  6
;
2 5
1

3 1

2 2

;
2 1
3
4

5 2
6 2

3 2 2 3
;
2 3

1
3 1

2  5 

2



62

2  5  - 2  5 



2

2  5 

2

42 3 

1
1





. 5
5 3
 5 3

42 3

3,5  6  3,5  6

2

2  12  18  128



2

3 2 



32



2

2 3  2 3

3 5  3 2 5

2006  2 2005 

1003  2005  1003  2005

2006  2 2005

8  2 15  8  2 15

8  60  8  60

4  15  4  15

17  1 2 2  9  4 2

16  2 63  16  6 7

8  63  8  3 7

13  30 2  9  4 2
5  3  29  12 5
Bài tập 10.Khử mẫu số trong các căn thức sau:
a)
3
3 1
m  n  2 1 2
2

4
2
m n
2 3

b)

11
120
Bài tập 11.Trục căn thức ở mẫu:
a)
3
11

5

b)
c)

1
3 2
1

13

13
168

2 3

x 1

2
2

b

x2 1

2 1

3 2

2 1

3 1

1
2 3  2.

+

2 3

52 6

3 1

52 6

3 1

2 3

2 3  2 3

2 3

2 3  2 3

Bài tập 13.Rút gọn biểu thức:
a)
3 8  4 18  2 50
b)

x
2x
x


2
9
8

7
48

a

Bài tập 12.Rút gọn biểu thức:

a)
2 3
2 3
2 3

1
với m<3
3m

2 3

2 3

1 2  3

b)

7

m  3

a b 1
2

a 3b 
9ab 3 (a,b>0)
b a a
3b
Bài tập 14.Thực hiện phép tính:
a)

b)
3 1
3 1

3 1
3 1



2 3  2 3
2 3  2 3

5 12  2 75  5 48



28  2 3  7

3 1
3 1





7  84

3 1

c)

17  4 9  4 5

3 1

3


d)

e)
f)
1
1
1  2 1  2 
2 3
2 3




 : 72
2 3
3 1
2  2 3
1  2 1  2 
2 2 3
Bài tập 15.Đơn giản biểu thức:
a)
b)

c)
7  48
7  48
2 3  2 3
d)
e)
f)
4 x  4 xy  y
m  n   2 mn
5  24  5  24
Bài tập 16.Rút gọn biểu thức:
a)
1
1
1
1


 ... 
1 2
2 3
3 4
99  100
b)
1
1
1
1



 ... 
2 2 3 2 2 3 4 3 3 4
100 99  99 100
c)
1
1
1
1


 ... 
1 2
2 3
3 4
99  100
Bài tập 17.Thực hiện phép tính:
a)
8  32  72
6 12  20  2 27  125
3 112  7 216  4 54  2 252  3 96
b) 2 5  125  80
3 2  8  50  4 32
2 18  3 80  5 147  5 245  3 98
c)

27  2 3  2 48  3 75

3 2  4 18  32  50

2 3  75  2 12  147

d)

20  2 45  3 80  125
6 12  20  2 27  125
4 24  2 54  3 6  150
Bài tập 18: Rút gọn biểu thức:
1  a a
 1  a 
 a a  a a
 a +
A1= 
A2= 1 
 KQ: 1+ a
 + 1 
 KQ: 1- a
a 1  
a 1
 1 a
  1 a 

x x  y y
  x y
 xy   
A3= 
 KQ: x  y
  x  y 
 x  y

a a  b b


 ab  : a  b 
A4= 
 a b

KQ: 1.


b  ab   a
b
a  b


A5=  a 
:
a  b   ab
ab  a
ab 

KQ: b  a

A6=

 x y
x x  y y  ( x  y )2
A7= 

.
x  y  x x  y y
 x  y

xy
KQ:
x  xy  y
Bài tập 19. Cho biểu thức:

y  xy  
y
x  y
x
B1=  x 


:

x  y   xy  y
xy  x
xy 

a)Rút gọn biểu thức B1.
b)Tính giá trị của biểu thức B1 biết x=3,
y= 4 + 2 3

2 b
a b

a  b 1
a b
b
b 





a  ab
2 ab  a  ab a  ab 
1
KQ:
a
 x  2 x 1  x  2 x 1 
. 2 x  1
A8= 
 x  2 x  1  x  2 x  1 
KQ: x>2, A= 2 x  2
1KQ:
a) y  x ;
b) 1.

4


Bài tập 20. Cho biểu thức:
2 x 9
x  3 2 x 1
B2=


x5 x 6
x  2 3 x
a)Rút gọn B2.

b)Tìm x để B2<1.

KQ:

Bài tập 21. Cho biểu thức:

KQ:
2a  2 a  2
a)
;
a

a a 1 a a 1 
1  a  1
a  1

 1 




a a
a a 
a  a 1
a  1
a)Rút gọn B3.
b)Tìm a để B2=7.
Bài tập 22. Cho biểu thức:
1
1

ab

 
B4= 

: 1 


a  ab 
ab
 a  ab
a)Rút gọn B4.
b)Tính giá trị của B4 khi a= 5 + 4 2 ,
b=2+6 2.

B3=

a)

x 1

;
x 3
b) 0 < x < 9.

b) GPTBH ta được a=4;

Bài tập 23 . Cho biểu thức:
15 x  11 3 x  2 2 x  3
B5=



x  2 x  3 1 x
3 x
a)Rút gọn B5.
1
b)Tìm giá trị của x khi B5 = .
2
Bài tập 24 . Cho biểu thức:

x   x 3
x2
x 2 
B6= 1 


:

 1  x   x  2 3  x x  5 x  6
a)Rút gọn B6.
b)Tìm x để B6 < 0.

KQ:
25 x
a)
;
x 3
1
b) x =
.

121

Bài tập 25 . Cho biểu thức:
 x 2
x  2  x 2  2x  1
B7= 

.
x

1
2
x

2
x

1


a)Rút gọn B7.
b)Chứng minh với 0 < x < 1 thì B7 > 0.
c)Tính số trị của B7 khi x= 0,16.

KQ:
a) -3x - 3;

1
.
4

KQ:
a)

x 2

1 x
b) .

;

b)
c)

5


Bài tập 26 . Cho biểu thức:
 x y
x 3  y 3  ( x  y ) 2  xy
:

B8= 
yx 
x y
 x  y

a)Xác định x,y để B8 tồn tại;
b)Rút gọn B8;
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của B8;

d)So sánh B8 và B8 ;
e)Tính số trị của B8 khi x = 1,8; y = 0,2.

KQ:
xy

b)

x  xy  y
c) B8 = 0;
d) B8 < B8 ;
e)

;

Bài tập 27 . Cho biểu thức:
B9= x  4 x  4  x  4 x  4
a)Rút gọn B9;
b)Tìm x để N=4.
Bài tập 28 . Cho biểu thức:
B10=
 2 x  1  x 2 x x  x  x   ( x  x )(1  x ) 
=1- 


.
1

x
1


x
x
2 x 1



a)Tìm x để B10 có nghĩa;
b) Rút gọn B10.

KQ:
a)
;

Bài tập 29 . Cho biểu thức:
 a
1  a  a a  a 
B11= 




a 1 
 2 2 a  a 1
a)Rút gọn B11;
b) Tìm giá trị của a để B10 = -4.

KQ:
a) -2 a ;
b) a = 4.

Bài tập 30 . Cho biểu thức:
 a 1

a 1
1 
B 12 = 

 4 a  a 

a 1
a
 a 1

a)Rút gọn B 12 ;

KQ:
a) 4a ;
12
b)
;
2 6
1
c) 0 < a < .
4

9

b) Tìm giá trị của B 12 biết a =
c)Tìm giá trị của a để

2 6
B12  B12 .

;

1

b)

.

1 x  x

Bài tập 31 . Cho biểu thức:
x
1 
 x  1 x  1  2
B 13 = 

: 2




 x  1 x  1   x  1 x  1 x  1
a)Rút gọn B 13 ;

KQ:

b) Tìm giá trị của B 13 biết x = 3  8 ;

c) GPTBH ta được x 1 =

c)Tìm giá trị của x khi B 13 =

4x
;
1 x2
b) -2;

a)

1
5

, x2= - 5.

5.

6


Bài tập 32 . Cho biểu thức:
 a a  1 a a  1 a  2
B14= 

:
a a  a2
a a

a)Rút gọn B14;
b)Với giá trị nguyên nào của a thì B14  Z.

KQ:
2a  4
a)
;
a2
b)
;

Bài tập 33. Cho biểu thức:


x   1
2 x
B15= 1 

:

 x  1   x  1 x x  x  x  1
a)Rút gọn B15;
b) Tìm giá trị của x sao cho B15 >3;
c)Tìm giá trị của x khi B15 = 7.
Bài tập 34 . Cho biểu thức:

KQ:
x  x 1
a)
;

x 1
b) ( x  1) 2  3  0x ;
c) Không tồn tại x TMBT.

B16=

1



1

3



x 1  x
x 1  x
a)Rút gọn B16;
b) Tìm giá trị của x sao cho B16 =4;
c)Tìm x  Z  để B16  Z 

x x
x 1

KQ:
a) -2 x  1 ;
b); Không tồn tại x TMBT;
c) …

Bài tập 35 . Cho biểu thức:
2a  a 2  a  2 a  2
4a 2 
B17=




a  3 a  2 a  2 4  a2 
a)Rút gọn B17;
b) Tìm giá trị của a sao cho B17 =1;
c)Khi nào B17 có giá trị dương, âm.

KQ:
4a 2
a)
;
a3

Bài tập 36 . Cho biểu thức:


a
a  
a
a a
B18= 


:


 a  b b  a   a  b a  b  2 ab 
a)Rút gọn B18;
a 1
b) Biết rằng khi  thì B18 =1, hãy tìm các giá trị a, b.
b 4

KQ:
 a b
a)
;
a( a  b)
b)a=4, b=36.

Bài tập 37 . Cho biểu thức:
 a  a   a  a  1 a
B19 = 
 1.1 
:
a 1 1 a
 a 1  
a)Rút gọn B19;
b) Tính giá trị của biểu thức B19
biết a = 27 + 10 2 .

KQ:
a) ( a  1) 2 ;

b)Giải PTBH được a=

3
, a=-1;
4

b) 38 + 12 2 .

7


Bài tập 38 . Cho biểu thức:
a 3  a 2 b  ab 2  b 3
B20 = 3
a  a 2 b  ab 2  b 3
a)Rút gọn B20;
b) Tìm tỉ số giữa a và b để sao cho B20 =

1
.
2

Bài tập 39 . Cho biểu thức:
1  
1  x2

B21 =  x  3 
: x  1 
:

x  1 
x  1

x

a)Rút gọn B21;
b)Tính giá trị của B21 khi x = 6  20 ;
c) Tìm x  Z để B21  Z
Bài tập 40 . Cho biểu thức:
x2
5
1
B22 =
 2

x3 x  x6 2 x
a)Rút gọn B22;
2
b)Tính giá trị của B22 khi x =
2 3
c) Tìm x  Z để B22  Z.
Bài tập 41 . Cho biểu thức:
 1  x 2

x(1  x 2 ) 2  1  x 3


B23 =
:

x
 x 


2
1 x
 1  x

 1  x
a)Rút gọn B23;
b)Tính giá trị của B23 khi x = 3  2 2 ;
c) Tìm giá trị của x để 3.B23=1.

Bài tập 42 . Cho biểu thức:
2  x
4x 2
2  x  x 2  3x
 2

B24 = 
: 2
3
 2  x x  4 2  x  2x  x
a)Rút gọn B24;
b)Tính giá trị của B24 khi x = x  5  2 .

KQ:
ab
a)
;
ab
a
b)  3 .
b

KQ:
x2
a)
;
x2
5 1
b)
;
53
c)…
KQ:
x4
a)
;
x2
2 3 1
b)
;
3
c)…
KQ:
a)
b)

x
;
1  x2
2 1

;

42 2
c)GPTBH x1 

3 5
3 5
.
; x2 
2
2

KQ:
4x 2
a)
x3

4x
;
1 x2
4( 3  1)

Bài tập 43 . Cho biểu thức:
x
2 
 x  1 x  1  1
B25 = 

:

 2



 x  1 x  1   x  1 1  x x  1
a)Rút gọn B25;

a)

b)Tính giá trị của B25 khi x = 4  2 3 ;
c)Tìm x để B25 = -3.

c) GPTBH x1 

b)

32 3
2  13
2  13
; x2 
3
3

8


x x

Bài tập 44 . Cho biểu thức:
 x 1
1
8 x   3 x  2



B26 = 
 : 1 

 3 x  1 3 x  1 9 x  1  3 x  1 
a)Rút gọn B26;
b)Tính giá trị của B26 khi x =6+2 5 ;
6
c)Tìm x để B25 = .
5

a)

Bài tập 45 . Cho biểu thức:
 x2
x 1
x  1
B27 = 1: 



x 1 
x x 1 x  x 1
a)Rút gọn B27;
b)Chứng minh B27 >3 với mọi x>0; x khác 1.

a)

Bài tập 46 . Cho biểu thức:

1   1
1 
1
 1
B28 = 

:




1  x 1  x  1  x 1  x  x  1
a)Rút gọn B28;
b)Tính giá trị của B28 khi x =1+ 2 ;
3
c)Tìm x để B28 = .
2
Bài tập 47 . Cho biểu thức:
 x  1 x  1 x 2  4 x  1 x  2003


B29 = 
.
x
x2 1 
 x 1 x 1
a)Rút gọn B29;
b) Tìm x  Z để B29  Z.
Bài tập 48 . Cho biểu thức:

KQ:
2x  1
a)
;
x( x  1)

b)

3 x 1
73 5

;

3 52

c) GPTBH x1  4; x 2 

x  x 1

9
25

;

x
b)…..

b)

2 2 3

(1  2 )( 2  2)

c)GPTBH ta được: x=1 và x= 

;

2
3

KQ:
x  2003
a)
;
x
b) x=2003 và x = -2003
KQ : A1  a  a

 a 2
a  2 
2
A1  

:
2

 a  1 a  2 a  1  (1  a )

a)Rút gọn ;

b)Tìm Max A

Bài tập 49 . Cho biểu thức:


a  1
2 a
 :

A2  1 



 a 1  a 1 a a  a  a 1

KQ : A2 

a  a 1
a 1

a) Rút gọn
b) Tìm a sao cho A2 > 1
c) Tính A2 với a  19  8 3
Bài tập 50 . Cho biểu thức:
KQ : A3 

xy
x  xy  y

9

x  0
 x y
x xy y x xy y

:
A3  

Víi y  0
 x y

x  y  x  y  2 xy
x  y


a)Rút gọn
b)Chứng minh: 0
A3 )

Bài tập 51 . Cho biểu thức:

KQ : A4 

2 x 2 x
4 x 
x 3
A4  



:

 2 x 2 x x4 2 x  x

4x
x 3

a) Rút gọn
b) Tìm x để A4 > 0
c) Tìm x để A4 = 1
Bài tập 52 . Cho biểu thức:
A5 

KQ : A5  x  1  2

x3
x 1  2

a) Rút gọn
b) Tìm Min A5
Bài tập 53 . Cho biểu thức:
 x 1
1
8 x   3 x 2
 : 1 

A6  





 3 x 1 3 x  1 9x 1   3 x  1 

KQ : A6 

x x
3 x 1

a) Rút gọn
b) Tìm x để A6 

6
5

Bài tập 54 . Cho biểu thức:
 x3 x   9 x
A7  
 1 :

 x9
  x x 6

x 3

x 2

x  2

x  3 

KQ : A7 

3
x 2

KQ : A8 

5
x 3

a) Rút gọn
b) Tìm x để A7 <1
c) Tìm x Z để A7  Z
Bài tập 55 . Cho biểu thức:
 x5 x

25  x
A8  
 1:

x

25
x

2
x

15




x 3

x 5

x 5

x  3 

a) Rút gọn
b) Tìm x Z để A8  Z
Bài tập 56 . Cho biểu thức:

KQ : A9  y  x

10



y  xy  
x
 :
A9   x 




x  y   xy  y


y
x  y 

xy  x
xy 

a) Rút gọn
b) Tính giá trị của A9 với x  3 , y  4  2 3
Bài tập 57 . Cho biểu thức:

KQ : A10 

a a 7
1   a 2
a 2 2 a 
 :

A10  






a

4
a


4
a

2
a

2
a

2




a9
6 a

a) Rút gọn
1
A10

b) So sánh A10 Víi

Bài tập 58 Rút gọn các biểu thức sau:

20  45  3 18  72 .
b/ ( 28  2 3  7 ) 7  84 .
a/

c/





2

6  5  120 .

 1
d / 
 2

1
3

2
2

2 

4
5

 1
2 0 0  :
 8

Giải:

2 2. 5  3 2. 5  3 3 2 .2  6 2.2

20  45  3 18  72 =

a/

= 2 5 3 5 9 2 6 2
=
b/





28  2 3  7

2  3

7  84 = 22.7. 7  2 3. 7  7. 7  22.21.
=
=

c/





2

6  5  120
=

1
d / 
2

1
3

2
2

1
 
4

2 

=

2.7  2 21  7  2 21

14  7  2  2  21  21 .

6  2 30  5  2 2.30

6  5  2 30  2 30  11 .

2 

3
2

5  (9  6) 2  15 2  5 .

4
5

 1 1
2 0 0  :  
 8 2

2
3

2
2
2

2 

4
5

 1
1 0 2 .2  :
 8


2  8 2  .8  2 2  1 2 2  6 4 2  5 4 2


11


Bài tập 59: Rút gọn các biểu thức sau:
1
1

a/ A 
5 3
5 3
42 3
6 2

b/ B 

1
2
2


2 3
6 3 3

c/ C 

Giải:

1
1



5 3
5 3

a/ A 



  5  3
3  5  3 

5 3 



5

5  3  5  3 2 3

 3
53
2


42 3
6 2

b/ B 

2

2

 3   2 3  1   3 1
2  3  1
2  3  1



3 1

2
c/ C 





3 1



3 1

2







3 1

1
2

2
2

1
2
2
1
1
2





3
2 3
6 3 3 2 3
3 3 1



 3  1  2  2  3 

3  3  1 2  3 
2  3  2
2 34


3  3  1 2  3 
3  3  1 2  3 
2. 3  3  1
2 3  3  1
3  3  1 3  3




 1
3  3  1
3
3
3  3  1 3  1
3







 

3 1  2  3

3
3

Bài tập 60 Chứng minh các đẳng thức sau:
a/ 2 2
b/
c/



 

3  2  1 2 2



2

2 6 9

2 3  2 3  6
4

2  5 

2



4

2  5 

2

8

Giải:

12


a/ 2 2



 

3  2  1 2 2



2

2 6 9

BĐVT ta có :



2 2

 

3  2  1 2 2



2

 2 6  2 6  4 2  1  4 2  8  2 6  9  VP

Vậy đẳng thức đó được chứng minh.
b/ 2  3  2  3  6
BĐVT ta có :
2
2 3  2 3 
3  1  3 1


2 3  2 3
2



42 3  42 3

2





2

3 1 





2

3 1

2

3 1  3 1 2 3

 6  VP
2
2



2



Vậy đẳng thức đó được chứng minh.
4

c/



2 5



2

4





2 5



8

2

BĐVT ta có :
4

2  5 
2



4



2

2  5 
2



2 5



2 5

2

22



2  5

2

52

2



22
2

2  5
2  5  2  2  5  2
2

52
 5  2 5  2 

2 5 42 5 4
 8  VP
54
Vậy đẳng thức đó được chứng minh.
Bài tập 61 So sánh ( khơng dùng bảng số hay máy tính bỏ túi )
a/ 2  3 và 10
b/ 2003  2005 và 2 2004


c/ 5 3 và 3 5
Giải:
a/ 2  3 và 10

Ta có:
Và



2 3

 10 



2

 2  3  2 6  5  2 6  5  24

2

 10  5  5  5  25

Vỡ 24 < 25 =>

24 <

25 => 5  24  5  25
Hay

b/



2

2 3

   10 

2

 2  3  10

2003  2005 và 2 2004

13




Ta có:



2003  2005

2

 2003  2005  2 2003.2005

 4008  2



Và 2 2004



2

 2004  1 2004  1  4008  2

20042  1

 4.2004  2.2004  2 20042

20042  1  20042  20042  1  20042
Vỡ  4008  2 20042  1  4008  2 20042


c/



2

2003  2005

5 3 và

Ta có:
Và

  2

2004



2

 2003  2005  2 2004

3 5

52.3 

5 3

32.5 

3 5

Vỡ 75 > 45 =>

75
45

75  45 

75 

45  5 3  3 5

1 
a 1
 1

Bài tập 62 Cho biểu thức M  
với a >0 và a  1
:
a 1  a  2 a  1
a a
a/ Rút gọn biểu thức M.
b/ So sánh giá trị của M với 1.
Giải: Đkxđ: a >0 và a  1

a/



1 
a 1
 1
M 

:


 a  a a 1 a  2 a 1
1 a
a





a 1

b/ Ta có M 


.



a 1

2

a 1

a 1
a

 1

1





a a 1



1  a  a  1 
a  a  1 a  1
2


1
a

, vì a > 0 =>

a  0 =>

1
a 1

:

a 1





a 1

2

a 1
a
1
a

 0 nên 1 

1
a

1

Vậ̣y M < 1.
Bài tập 63 Cho biểu thức


1
x  3  2
x  2

P  



2x  x 
 x  x 1 x 1  2  2  x
a/ Tìm điề̀u kiệ̣n để̉ P có́ nghĩ̃a.
b/ Rút gọn biểu thức P.
c/ Tính giá trị của P với

Giải:

x  3 2 2 .




a/ Biểu thức P có́ nghĩ̃a khi và̀ chỉ̉ khi : 




x  0
x 1  0
2 

x  0

x 1 

2  0

14


x
x

 
x

 x

 0
1

x  1

 x  2
 2
x  3

 3
b/ Đkxđ : x  1; x  2; x  3


P  






1
x 



x 1



x 1 

x  x 1

x  x 1




 
2  

x3





x  x 1



 

2
x

2

x  3








2


x  1  2  2  x

x 1  2

x 1  2



2

2 x  x 

x 







2 x 

x 2
x





 x  x  1  x  3 x  1  2  2 x  x  2


.
x  1  2
x 2 x
 x   x  1




x  x  1 x  3  x  1 

x  x 1
x3


 








  x1  

P

x  3 2 2 
2





2 1

2 1















x  2 . 1
x



2



2 1 vào biểu thức P 

2

2



2   2  x
. x 2  x


x  x 1  x 1  2 .

c/ Thay



2

2 1




2 1

2 x
x

2 x
, ta có:
x

2

2 1 
2 1

1
2 1

 2 1

Bài tập 64 Cho biểu thức

A

2x
x  1 3  11x


với x   3
x  3 3  x x2  9

a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tìm x để A < 2.
c/ Tìm x nguyên để A nguyên.
Giải:
a/ Đkxđ:

A

x  3

2x
x  1 3  11x
2x
x 1
3  11x

 2




x  3 3  x x  9 x  3 x  3 x  3x  3

2 xx  3  x  1x  3  3  11x 2 x 2  6 x  x 2  3x  x  3  3  11x


x  3x  3
x  3x  3


3x 2  9 x
3xx  3
3x


x  3x  3 x  3x  3 x  3

15


3x
3x
3 x  2 x  3 
2
20
0
x3
x3
x3
3x
b/ Ta có A 

, A < 2 tức là̀
3x  2 x  6
x6
x3

0
 0 (*)
x3
x3
x  6  0
Dễ thấ́y x + 6 > x – 3 vì vậ̣y Bấ́t phương trì̀nh (*) có́ nghiệ̣m khi 
x  3  0

 6  x  3
Vậy với

 6  x  3 thì A < 2.

3x
9
9
 3
 
   x  3  U (9 )
x3
x3
x3
Mà U ( 9 )   1;  3 ;  9  nên ta có́ :

c/ Ta có A 

 x – 3 = - 1 <= > x = 2 ( tm đkxđ )
 x – 3 = 1 < => x = 4 ( tm đkxđ )
 x – 3 = - 3 <= > x = 0 ( tm đkxđ )
 x – 3 = 3 < = > x = 6 ( tm đkxđ )
 x – 3 = - 9 <=> x = - 6 ( tm đkxđ )
 x – 3 = 9 <= > x = 12 ( tm đkxđ )
Vậ̣y với x = - 6; 0; 2; 4; 6; 12 thì̀ A nhậ̣n giá́ trị ̣nguyên.
Bài tập 65 Cho biểu thức

 2x  1
 1  x3
x
 với x  0 và x  1
.
B  


x
 1 x
3

x

x

1
 x 1



a/ Rút gọn B;
b/ Tìm x để B = 3.
Giải: Đkxđ : x  0 và x  1


 1  x3

.

x

3


 x 1 x  x 1  1 x


2x  1  x x  1  x  1 x  x  1

.
 x
x 1. x  x 1 
x 1

 2x  1

a/ B  








x





2x  1  x  x







x 1. x  x 1
x  x 1



  

.1  2 x  x 



x 1. x 


x  1



2

. x 1 

b/ Ta có B  x 1 và B = 3, tức là̀
Vậy với x = 16 thì̀ B = 3.

x 1

x  1  3  x  4  x  16

( t/m đkxđ)

Bài tập 66 Cho biểu thức

16


 1
 x3  y x  x y  y 3

1
2

1
1
.
A  

  :
với x > 0 , y > 0


x y 
x
y
x

y

x3 y  xy3

a/ Rút gọn A;
b/ Biết xy = 16. Tìm cá́ c giá́ trị ̣củ̉ a x, y để̉ A có́ giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
Giải: Đkxđ : x > 0 , y > 0

 1
1 
2
A


.


a/
y  x 
 x

y



1 1
 :
x y 

 x y
2
x  y 

.

:


xy
xy
x

y



 2

x  y 


:
 xy

xy






x  y
xy


b/ Ta có 




2



x 3 y  xy 3









x  y x  xy  y  xy x  y



xy x  y







xy x  y 

x 

y

x 



xy

y

.

2

y   0 


x

x 

y

xy



Vậy min A = 1 khi

xy

2

x  y 2

x



Do đó́ A 

y3

y x  y 

x

xy

.

x3  y x  x y 



xy

y2

2

16
16

xy  0

xy .

 1 ( vì xy = 16 )

 x  y
 x  y  4.

 xy  16

Bai 67 :
P = 14  6 5  14  6 5 .

x 2
x  2  x 1
2) Cho biểu thức : Q = 

.
 x  2 x  1 x  1 
x


a) Đơn giản biểu thức Q.
b) Tìm x để Q > - Q.
c) Tìm số ngun x để Q có giá trị nguyên.
1) Đơn giản biểu thức :

Hướng dẫn :
1. P = 6
2. a) ĐKXĐ : x > 0 ; x  1. Biểu thức rút gọn : Q =

2
.
x 1

b) Q > - Q  x > 1.
c) x = 2;3 thì Q  Z
Bài 68 : Cho biểu thức P =

1
x 1



x
x x

17


a) Rút gọn biểu thức sau P.
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x =

1
2

.

Hướng dẫn :
x 1
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x  1. Biểu thức rút gọn : P =
.
1 x
1

b) Với x =
thì P = - 3 – 2 2 .
2
Bai 69 : Cho biểu thức : A =

x x 1 x 1

x 1
x 1

a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =

1
4

c) Tìm x để A < 0.
d) Tìm x để A = A.
Hướng dẫn :
x
a) ĐKXĐ : x  0, x  1. Biểu thức rút gọn : A =
.
x 1
1
b) Với x = thì A = - 1.
4
c) Với 0  x < 1 thì A < 0.
d) Với x > 1 thì A = A.
1 
3 

 1
Bai 70 : Cho biểu thức : A = 

 1

a  3
a
 a3
a) Rút gọn biểu thức sau A.
1
b) Xác định a để biểu thức A > .
2
Hướng dẫn :
2
a) ĐKXĐ : a > 0 và a  9. Biểu thức rút gọn : A =
.
a 3
1
b) Với 0 < a < 1 thì biểu thức A > .
2
 x  1 x  1 x 2  4x  1  x  2003
Bai 71 : Cho biểu thức:
A= 
.


.
x2  1 
x
 x 1 x 1

1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa.
2) Rút gọn A.
3) Với x  Z ? để A  Z ?
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : x ≠ 0 ; x ≠  1.
x  2003
b) Biểu thức rút gọn : A =
với x ≠ 0 ; x ≠  1.
x
c) x = - 2003 ; 2003 thì A  Z .

18






 x x 1 x x  1 2 x  2 x  1
A= 
.

 :
 x x
x

1
x

x




Bai 72 : Cho biểu thức:

a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0.
c) Tìm x ngun để A có giá trị nguyên.
Hướng dẫn :
x 1
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x ≠ 1. Biểu thức rút gọn : A =
.
x 1
b) Với 0 < x < 1 thì A < 0.
c) x = 4;9 thì A  Z.
Bai 73 : Cho biểu thức:

 x2
x
1  x 1
A= 


:
 x x  1 x  x  1 1  x 
2



a) Rút gọn biểu thức A.

b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2.
Hướng dẫn :
2
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x ≠ 1. Biểu thức rút gọn : A =
x  x 1
b) Ta xét hai trường hợp :
2
+) A > 0 
> 0 luôn đúng với x > 0 ; x ≠ 1 (1)
x  x 1
2
+) A < 2 
< 2  2( x  x  1 ) > 2  x  x > 0 đúng vì theo gt thì x > 0. (2)
x  x 1
Từ (1) và (2) suy ra 0 < A < 2(đpcm).
Bai 74 : Cho biểu thức: P =

a3
a2



a 1
a2



4 a4
(a  0; a  4)
4 a

a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P với a = 9.

Hướng dẫn :
4
a) ĐKXĐ : a  0, a  4. Biểu thức rút gọn : P =
a 2
b) Ta thấy a = 9  ĐKXĐ . Suy ra P = 4
 a a   a a 
Bai 75 : Cho biểu thức:
N = 1
 1


a  1  
a  1 

1) Rút gọn biểu thức N.
2) Tìm giá trị của a để N = -2004.
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : a  0, a  1. Biểu thức rút gọn : N = 1 – a .
b) Ta thấy a = - 2004  ĐKXĐ . Suy ra N = 2005.

19


Bai 76 : Cho biểu thức P 

x x  26 x  19 2 x



x 2 x  3
x1

x3
x3

a. Rút gọn P.
b. Tính giá trị của P khi x  7  4 3
c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
Hướng dẫn :
x  16
a ) ĐKXĐ : x  0, x  1. Biểu thức rút gọn : P 
x3
b) Ta thấy x  7  4 3  ĐKXĐ . Suy ra P 

103 3 3
22

c) Pmin=4 khi x=4.
 2 x

Bai 77 : Cho biểu thức P  
 x 3

x
x 3



3x  3   2 x  2 
:
 1
x  9   x  3


1
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
2
Hướng dẫn :
3
a. ) ĐKXĐ : x  0, x  9. Biểu thức rút gọn : P 
x3
1
b. Với 0  x  9 thì P  
2
c. Pmin= -1 khi x = 0
 a 1

a 1
1 

 4 a  .  a 
Bài 78: Cho A= 
 với x>0 ,x  1
a 1
a
 a 1


a. Rút gọn A

b. Tìm x để P  

a. Rút gọn P.





b. Tính A với a = 4  15 .



10  6 .

4  15



( KQ : A= 4a )
 x3 x   9 x
x 3
x 2
Bài 79: Cho A= 

1
:





 với x  0 , x  9, x  4 .
 x9
  x x 6
x

2
x

3

 

a. Rút gọn A.
b. x= ? Thì A < 1.
c. Tìm x  Z để A  Z
3
(KQ : A=
)
x 2
15 x  11 3 x  2 2 x  3


với x  0 , x  1.
x  2 x  3 1 x
x 3
a. Rút gọn A.
b. Tìm GTLN của A.
1

c. Tìm x để A =
2
25 x
2
d. CMR : A  .
(KQ: A =
)
3
x 3

Bài 80: Cho A =

20


Bài 81: Cho A =

x2
x 1
1


x x 1 x  x 1 1 x

với x  0 , x  1.

a . Rút gọn A.
b. Tìm GTLN của A .

( KQ : A =

x
)
x  x 1

1
3
2


với x  0 , x  1.
x 1 x x 1 x  x 1

Bài 82: Cho A =
a . Rút gọn A.
b. CMR :

0  A 1

( KQ :

x
)
x  x 1

A=

 x  5 x   25  x
x 3
x 5

Bài 83: Cho A = 
 x  25  1 :  x  2 x  15  x  5  x  3 

 

a. Rút gọn A.
b. Tìm x  Z để A  Z
5
( KQ :
A=
)
x 3

2 a 9
a  3 2 a 1


a 5 a 6
a  2 3 a
a. Rút gọn A.
b. Tìm a để A < 1

Bài 84: Cho A =

c. Tìm a  Z để A  Z

với a  0 , a  9 , a  4.

( KQ : A =

a 1
)
a 3

 x x 7
1   x 2
x 2 2 x 
Bài 85: Cho A= 

:




 với x > 0 , x  4.
 x4
x  2   x  2
x  2 x  4 

a. Rút gọn A.
x9
1
b. So sánh A với
( KQ : A =
)
A
6 x
3
3
 x y

x  y 

:
Bài 86: Cho A =

 x y
yx 


a. Rút gọn A.

b. CMR : A  0

( KQ :



x y



2

 xy

với x  0 , y  0, x  y

x y

A=

xy
x  xy  y

)

x x 1 x x 1 
1   x 1
x 1 

 x 


 . 
x x
x x 
x   x 1
x  1 
a. Rút gọn A.

Bài 87 : Cho A =

Với x > 0 , x  1.

21




)

2 x  x 1
b. Tìm x để A = 6

( KQ : A =

x



x 4
3   x 2
x 
Bài 88 : Cho A = 

: 


 x x 2
x 2 
x
x  2 


a. Rút gọn A
b. Tính A với x = 6  2 5
(KQ:
A = 1 x )





với x > 0 , x  4.

1   1
1 
1
 1
Bài 89: Cho A= 


với x > 0 , x  1.
:

 1 x 1 x   1 x 1 x  2 x
a. Rút gọn A
3
b. Tính A với x = 6  2 5
(KQ:
A=
)
2 x
 2x  1
1  
x4 
Bài 90 : Cho A=  3
với x  0 , x  1.

: 1 



  x  x  1 
x

1
x

1


a. Rút gọn A.
x
b. Tìm x  Z để A  Z
(KQ:
A=
)
x 3
 1
  1
2 x 2
2 
Bài 91: Cho A= 
với x  0 , x  1.

:



 x  1 x x  x  x  1   x  1 x  1 



a. Rút gọn A.
b. Tìm x  Z để A  Z
x 1
c. Tìm x để A đạt GTNN .
(KQ:
A=
)
x 1
 2 x
x
3x  3   2 x  2 
Bài 92 : Cho A = 


 1 với x  0 , x  9
 : 
 x 3
x

9
x

3
x

3

 


.
a. Rút gọn A.
1
b. Tìm x để A < 2
3
( KQ : A =
)
a 3
 x 1
x 1 8 x   x  x  3
1 
Bài 93 : Cho A = 



 : 
 với x  0 , x  1.
x  1 x 1   x 1
x  1 
 x 1
a. Rút gọn A
4 x
b. Tính A với x = 6  2 5
(KQ:
A=
)
x4
c . CMR : A  1
Bài 94 :

1 
x 1
 1
Cho A = 

:
x 1  x  2 x  1
 x x

với x > 0 , x  1.

22


a. Rút gọn A

(KQ:

A=

x 1
)
x

b.So sánh A với 1
 x 1
1
8 x   3 x 2
1



Cho A = 
 : 1 
 Với x  0, x 
9
 3 x 1 3 x 1 9x 1   3 x  1 
a. Rút gọn A.
6
b. Tìm x để A =
5
c. Tìm x để A < 1.
x x
( KQ : A =
)
3 x 1
 x 2
x  2  x2  2 x  1
Bài96: Cho A = 
với x  0 , x  1.

 .
2
 x 1 x  2 x 1 
a. Rút gọn A.
b. CMR nếu 0 < x < 1 thì A > 0
c. Tính A khi x =3+2 2
d. Tìm GTLN của A
(KQ:
A = x (1  x ) )

Bài 95:

 x2
x
1  x 1
Bài 97 : Cho A = 


 :
2
x
x

1
x

x

1
1

x



với x  0 , x  1.

a. Rút gọn A.
b. CMR nếu x  0 , x  1 thì A > 0 , (KQ:

Bài 98 :

4
1  x2 x

Cho A = 1 

:
x 1 x 1  x 1


A=

2
)
x  x 1

với x > 0 , x  1, x  4.

a. Rút gọn
b. Tìm x để A =

1
2

 x 1 x  2 x  3   x  3
2 
Bài 99 : Cho A = 

 : 

 với x  0 , x  1.
 x 1 
x

1
x

1
x

1




a. Rút gọn A.
b. Tính A khi x= 0,36
c. Tìm x  Z để A  Z

x   x 3
x 2
x 2 
Bài 100 : Cho A= 1 
với x  0 , x  9 , x  4.
:




 1  x   x  2 3  x x  5 x  6 


 

a. Rút gọn A.
b. Tìm x  Z để A  Z
x 2
c. Tìm x để A < 0
(KQ:
A=
)
x 1

23


24