Bồi dưỡng Toán Đại 8

Kính Thầy giáo, Cô giáo giảng dạy bộ môn Toán cấp THCS trong toàn huyện !
Nhằm giúp qúy Thầy giáo, cô giáo có một tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi,
học sinh năng khiếu bộ môn toán của cấp Trung học cơ sở phù hợp, bộ phận
chuyên môn Phòng GD&ĐT Quế Sơn trên cơ sở tham khảo ý kiến của các thầy cô
giáo có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy bộ môn, biên soạn bộ tài liệu “ Tài
liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Bộ môn Toán - Cấp THCS”. “Tài liệu bồi dưỡng học
sinh giỏi môn Đại số 8 “ là tập tài liệu trong bộ tài liệu nói trên.
Tập tài liệu là những bài tập định hướng cho các mục nội dung đã nêu ở
chương trình. Mỗi nội dung có thể có một số dạng bài tập khác nhau, mỗi dạng
bài tập có thể có một hoặc nhiều bài tập đại diện cho dạng. Giáo viên cần chọn
những kiến thức cơ bản và cụ thể nhất (theo từng đề mục đã nêu ở chương trình)
để cung cấp kiến thức cho các em. Đi nhanh các kiến thức đã trình bày ở chương
trình chính khóa, các kiến thức nâng cao được trình bày ngắn gọn . Cho học sinh
làm bài tập để trình bày phương pháp giải là phương pháp nên được dùng. Các
bài tập trong tài liệu giúp giáo viên chọn bài tập tương tự tạo thành lớp bài toán
cho dạng cần giảng.
Hầu hết các kiến thức đại số, các phương pháp giải toán cấp THCS đều rơi
vào chương trình Đại số 8, . Vì vậy, nhìn chung chương trình tương đối nặng, cần
có sự đầu tư thích đáng về thời gian cho phân môn này. So với chương trình trước
đây, chương trình này đã cắt bỏmột số kiến thức nâng cao (Định lý Bơdu , lược
đồ Hoocnơ ..) do tính phức tạp của nó cũng như ứng dụng không nhiều. Tuy vậy,
một số dạng toán thường gặp (bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, bài
toán cực trị, giải phương trình ...) thì trình bày kỹ hơn. Lượng bài tập cho dạng
không thể hiện tính quan trọng của dạng, một số đề mục quan trọng cần chọn
nhiều bài tập nhưng kiểu bài tập khá rõ thì chỉ trình bày một bài đại diện .
Có lẽ tập tài liệu chưa đáp ứng một cách đầy đủ những yêu cầu của quí
thầy giáo, cô giáo. Bộ phận chuyên môn Phòng GD&ĐT Quế Sơn rất mong nhận
được những ý kiến đóng góp chân thành để có thể sửa chữa bổ sung những gì còn
thiếu sót.
Hy vọng tập tài liệu giúp ích phần nào đó trong công tác bồi dưỡng học

sinh giỏi bộ môn Toán của quý thầy cô.
Bộ phận chuyên môn THCS.
PHẦN I : ĐỊNH HƯỚNG NỘI DUNG VÀ BÀI TẬP ĐẠI DIỆN
I. Phép nhân và phép chia đa thức :
1. Nhân hai đa thức:
1

- Thực hành nhân hai đa thức với nhau : (Giáo viên tự chọn bài tập )
Giáo viên cần chọn các bài tập rèn luyện kỹ năng nhân hai đa thức để trình bày
cho phần này. Trong thực hành giải toán, việc nhân hai hai đa thức không sắp xếp
cũng rất quan trọng. Sắp xếp các hạng tử theo thứ tự các biến là cần thiết cho việc
nhận ra các hạng tử đồng dạng.
- Bài tập chứng minh sử dụng phép nhân đa thức :
Bài toán 1 :
Cho ba số a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c = abc. Chứng minh rằng :
a(b
2
-1)(c
2
-1) + b(a
2
-1)(c
2
-1) + c(a
2
-1)(b
2
-1) = 4abc.
Đề thi HSG cấp tỉnh năn học 95-96
2. Các hằng đẳng thức đáng nhớ :

Các hằng đẳng thức đã được trình bày ở chương trình chính khóa thật ra là
dạng đặc biệt của bốn hằng đẳng thức sau. Các hằng đẳng thức dạng an - bn ; a
2k+1
+ b
2k+1
thường được áp dụng ở dạng tổng quát để giải toán. Các hằng đẳng thức
dạng ( a
1
+ a
2
+ ....... + an )
2
và (a+b)
n
thường được áp dụng với n không quá lớn
để giải toán. Giáo viên cần biết điều này để chọn bài tập cho thích hợp.
Hệ số của lũy thừa một nhị thức xác định bằng công thức tổ hợp ( Cnk) là
khó đối với học sinh nên xác định bày tam giác Pascal là thích hợp hơn cả.
- Hằng đẳng thức an -bn :
Bài toán 2 :
Chứng minh : (1+x)(1+x
2
) (1+x
4
) (1+x
8
) (1+x
16
) = 1+x+x
2

+ ......x
31
Bài toán 3 :
Cho P = x
5
- x
4
-x
3
-x
2
-x-2. Tính P tại x = 2.
- Hằng đẳng thức a
2k+1
+b
2k+1
Bài toán 4 :
Cho P = 2
34
+ 1. Chứng minh P không phải là số nguyên tố.
- Hằng đẳng thức (a
1
+a
2
+ ..........+ an)
2

Bài toán 5 :
Rút gọn biểu thức P = (a+b-c)
2

+(a-b+c)
2
-2(b-c)
2
Bài toán 6 :
Chứng minh (a+b+c)
2
+a
2
+b
2
+c
2
= (a+b)
2
+ (c+b)
2
+(c+a)
2
.
- Tam giác Pascal và hằng đẳng thức (a +b)
n
.
Bài toán 7 :
Tìm tổng các hệ số của đa thức có được khi khai triễn (4a-3)
4
.
3. Phân tích đa thức thành nhân tử :
- Phương pháp nhóm các số hạng - Đặt nhân tử chung :
2

Cần chọn các bài tập có số hạng tử nhiều để rèn luyện kỹ năng nhận định trong
việc nhóm các số hạng.
Bài toán 8 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
P = (x-y)
3
+ (y-z)
3
+ (z-x)
3
Q = a
2
c +a
2
b

+ abc+ b
2
a +b
2
c+abc+c
2
a+c
2
b.
- Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ :
Bên cạnh việc chọn các bài tập nâng cao theo các hướng cần chú trọng việc
chọn các bài tập trong đó các hằng đẳng thức mới được trình bày được vận dụng
nhiều.

Bài toán 9 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
P = (x+y)
5
- x
5
-y
5
.
.....
- Phương pháp tách - Thêm bớt các hạng tử :
Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử giúp học sinh trình bày việc giải
phương trình, bất phương trình tích dạng tam thức . Hướng dẫn học sinh phân tích
tam thức bậc hai “bằng phương pháp nhẩm nghiệm” là việc cần làm. Việc tách,
phân tích tam thức bậc hai có thể trình bày theo hướng sau : Tam thức bậc hai P =
x
2
+bx+c = x
2
+ (b
1
+b
2
)x + b
1
b
2
(Như vậy số b (hoặc -b) được tách thành b
1
+b

2
sao cho b
1
.b
2
= c ).
P = x
2
+ b
1
x

+ b
2
x + b
1
b
2
.
= x(x+b
1
) + b
2
(x+b
1
)
= (x+b
1
)(x+ b
2

)
Trường hợp a =/=1 thực hiện đặt nhân tử chung a để được dạng tam thức có a = 1.
Bài toán 10 :
Phân tích các đa thức thành nhân tử :
a. A = x
2
+ x + 1/4
b. B = x
2
+ 7x + 12
c. C = x
2
+ x - 12
Bài toán 11:
d. P = x
3
- 7x - 6
e. Q = a
3
+ b
3
+c
3
-3abc
Các bài toán thêm bớt sau cũng rất thường gặp :
- Thêm bớt để được một tổng bình phương :
Bài toán 12 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
P = x
4

+ 4
Q = x
4
+ x
2
+ 1
(Đề thi cấp tỉnh vòng 1 - Năm 1994-1995)
3

Q = a
16
+ a
8
b
8
+ b
16
.
- Thêm bớt để đặt nhân tử chung a
2
+a

+ 1.
Bài toán 13 :
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
P = x
8
+ x
7
+ 1.

Q = x
8
+ x + 1.
M = x
10
+ x
5
+ 1.
Nhận xét : Các đa thức dạng x
3n+2
+ x
3m + 1
+ 1 đều có thể phân tích bằng cách thêm
bớt để đặt nhân tử chung là x
2
+x+1.
Có thể chứng minh trong trường hợp tổng quát như sau :
x
3n+1
+ x
3m+2
+1 = x
3n+1
+ x
3m+2
+x
2
-x
2
+x-x+1

= x( (x
3
)
n
- 1) + x
2
( (x
3
)
m
- 1) + x
2
+ x + 1.
= xP(x)(x
3
-1)+ x
2
Q(x)(x
3
-1) +x
2
+x+1.
= xP(x)(x-1)(x
2
+x+1) + x
2
Q(x)(x-1)(x
2
+x+1) + x
2

+x+1
= (x
2
+x+1)(xP(x)(x-1)+x
2
Q(x)(x-1) +1)
Bài toán14 :
Cho P(x) = x
1994
+ x
1993
+ 1. Chứng minh P(x) chia hết cho x
2
+x+1.
Đề thi HSG cấp tỉnh năm 93-94
- Phương pháp đặt ẩn phụ :
Bài toán 15 :
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
P = (x
2
+ x)
2
- 2(x
2
+ x) - 15.
Q = (x
8
+8x+7)( x
8
+8x+15) + 15

M = (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) -24
Một số phương pháp phân tích khác như phương pháp hệ số bất định,
phương pháp xét giá trị riêng ... do tính phức tạp của phương pháp và việc áp
dụng các phương pháp này trong giải toán ở trường THCS là không nhiều nên
không được trình bày ở đây. Giáo viên, nếu có đều kiện có thể trình bày nhưng ở
mức độ đơn giản.
4. Chia đa thức :
Các bài tập phần này chủ yếu áp dụng định nghĩa phép chia có dư và định
nghĩa hai đa thức bằng nhau .
- Thực hành phép chia hai đa thức :
Chia đa thức được sử dụng khá nhiều trong giải toán. Giáo viên cần chon
nhiều bài tập rèn luyện khả năng chia cho học sinh. Sau phần này học sinh phải
thực hiện phép chia hai đa thức như chia hai số thông thường.
- Tìm phần dư trong phép chia phân thức :
Bài toán 16 :
Tìm phần dư trong phép chia 1+x+x
2
+.......x
1999
cho 1-x
2
.
4

- Tìm đa thức f(x) khi phần dư của phép chia f(x) cho các đa thức khác nhau
Bài toán 17 :
Khi chia đa thức f(x) cho x-2 thì dư 5; cho x-3 dư 7 và chia cho
(x-2)(x-3) thì được thương là x
2
-1 và có dư . Xác định f(x).

- Tìm giá trị của tham số để một đa thức chia hết cho một đa thức :
Bài toán18:
Tìm a (b...) để x
4
-9x
3
+21x
2
+x+a chia hết cho x
2
-x-2.
5. Bài tập tổng hợp về biến đổi biểu thức đại số :
Làm quen với một số dạng toán, nâng cao kỹ năng thực hiện các phép toán
trên đa thức, đặc biệt là kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử là mục tiêu
chính của phần này .
- Bài tập chứng minh đẳng thức :
Bài toán 19 :
Chứng minh rằng nếu a
3
+b
3
+c
3
= 3abc thì :
hoặc a+b+c = 0 hoặc a=b=c.
Bài toán 20:
Cho x+y = 1. Chứng minh rằng : x
3
+ y
3

= 1 - 3xy.
Bài toán 21:
Chứng minh rằng nếu a+b+c+d = 0 thì :
a
3
+b
3
+c
3
+d
3
= 3(ac-bd)(b+d)
- Bài toán cực trị :
Các bài tập cực trị phần này chủ yếu áp dụng kiến thức A
2k
≥ 0 (k N ).
Bài toán 22:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
f(x,y) = x
2
+ 2y
2
- 2xy -4y + 5
Bài toán 23 :
Cho A = x
2
- 4xy + 5y
2
+10x-22y+30
Tìm x,y để A đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài toán 24 :
Cho biểu thức P = a
3
+b
3
+c
3
+ a
2
(b+c)+b
2
(c+a)+c
2
(a+b)
a. Phân tích P thành nhân tử.
b. Cho a+b+c = 1. Tiìm giá trị lớn nhất của P.
5

Bài toán 25 :
Cho M = x
2
+y
2
+ 2z
2
+ t
2
. Tìm giá trị nhỏ nhất của M biết rằng :
x
2

- y
2
+ t
2
= 21
và x
2
+ 3y
2
+ 4z
2
=101
Bài toán 26 :
Cho x,y,t là ba số thực thỏa mãn điều kiện :
x + 2y - t = 4
2x + y + t =11
Tiìm giá trị nhỏ nhất của P = x
2
+ y
2
+ t
2
.
(Đề thi HSG tỉnh vòng 1 năm 94-95)
II. Phân thức đại số :
1. Tập xác định của phân thức đại số :
Khi chọn bài tập cho phần này giáo viên cần chú ý chọn các bài tập để tập
xác định có thể là toàn trục số; tập rỗng ...
2. Rút gọn phân thức :
- Bài tập thực hành rút gọn phân thức (Giáo viên tự chọn bài tập )

- Các bài toán cực trị liên quan đến phân thức
Bài toán 27 :
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :
y = 1
x
2
+ x + 1
Bài toán 28 :
Tìm giá trị lớn nhất của tỷ số giữa một số nguyên dương có ba chữ số và
tổng các chữ số của nó.
Đề đề nghị tạp chí THPT số 25
Bài toán 29 :
Cho M = x
2
+ z
2
+ y
2
+ z
2
2x
2
-z
2
2y
2
-z
2
Trong đó x,y,z là các biến khác 0 thỏa :
1/x

2
+ 1/y
2
= 2/z
2
.
Hỏi rằng biểu thức M có thể lấy giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu ?
(Đề thi cấp tỉnh vòng 1 - Năm 96-97)
3. Cộng trừ phân thức :
Bài toán 30 :
Rút gọn các biểu thức sau (với a,b,c đôi một khác nhau ):
a. A = 1 + 1 + 1
6

(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b)
b. A = a + b + c
(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b)
c. B= b+c + c+a + a+b
(a-b)(a-c) (b-c)(b-a) (c-a)(c-b)
Ngoài các bài tập công trừ phân thức bình thường cần chú ý một số bài tập
cộng trừ phân thức đặc biệt cũng như thực hiện tính biểu thức chứa phân thức
cùng với điều kiện của biến.
- Thực hiện tính biểu thức chứa phân thức cùng với quan hệ của biến
Bài toán 31 :
Cho xyz=1. Thực hiện tính :
P = 1 + 1 + 1
1+ x + xy 1 + y + yz 1+ z + xz
Đề thi HSG tỉnh năm 1998-1999
- Dạng cộng trừ phân thức thực hiện việc nhóm hợp lý các phân thức :
Bài toán 32 :

Thực hiện tính :
P = 1 + 1 + 2 + 4 + 8
1- x 1+x 1 + x
2
1+ x
4
1+ x
8
- Dạng sai phân :
Bài toán 33 :
Thực hiện tính :
P = 1 + 1 + 1 + 1 + 1
x(x+1) (x+1)(x+2) (x+2)(x+3) (x+3)(x+4) (x+4)(x+5)
- Bài tập tách tử thức để được bài toán đơn giản.
Bài toán 34 :
Thực hiện tính các tổng sau :
a. S = a + x + a+y + a+z
x(x-y)(x-z) y(y-z)(y-x) z(z-x)(z-y)
b. P = 4a
2
-1 + 4b
2
-1 + 4c
2
-1
7

(a-b)(a-c) (b-c)(b-a) (c-a)(c-b)
4. Nhân chia phân thức.
- Bài tập thực hành nhân chia phân thức.

Bài toán 35 :
Cho n là số tự nhiên, n >1. Tính theo n biểu thức
A = ( 1- 1/2)(1-1/3)(1-1/4)....(1-1/(n+1)).
- Bài tập chứng minh đẳng thức bằng các phép cộng , trừ, nhân , chia phân thức.
Bài toán 36:
Chứng minh rằng : a+b+c = abc và 1/a+1/b+1/c = 2 thì :
1/a
2
+ 1/b
2
+ 1/c
2
= 2
- Bài tập áp dụng dãy tỷ số bằng nhau :
Bài toán 37 :
Chứng minh rằng a/b = c/d thì :
((a-b)/(c-d))
4
= (a
4
+ b
4
)(c
4
+d
4
)
Đề thi HSG Miền Bắc 1969-1970
Bài toán 38 :
Chứng minh rằng nếu a/b=c/d thì :

a
2
+b
2
= a
b
2
+ d
2
d
III. Phương trình :
1. Phương trình tương đương - Biến đổi tương đương các phương trình
Giáo viên chọn giải một số phương trình để học sinh thấy rõ đâu là phương trình
tương đương và đâu là phương trình hệ quả.
2. Phương trình bậc nhất một ẩn- Phương trình bậc nhất chứa tham số - Giải
và biện luận.
Bài toán 39:
Giải và biện luận phương trình sau :
a
2
x = a(x+b) - b (x là ẩn; a,b là tham số )
Bài toán 40 :
Giải phương trình sau :
x-b-c + x-c-a + x-b-a = 3
a b c
3. Phương trình tích.
- Phương trình dạng tam thức :
Do học sinh chưa được học phần căn thức nên các phương trình được chọn
ở phần này phải có nghiệm hữu tỷ. Giải được phương trình dạng này giúp ích rất
8

nhiều cho việc giải các dạng phương trình khác vì vậy cần chọn nhiều bài tập cho
phần này nhằm rèn luyện kỹ năng “giải phương trình bậc hai bằng cách phân tích
thành tích hai nhị thức bậc nhất”.
Bài toán 41 :
a. x
2
+ 7x + 12 = 0
b. x
2
+ x - 12 = 0
c. 2x
2
+ 2x + 1/2 = 0
.......
- Phương trình tích dạng thông thường :
Khi cho các bài tập phần này cần chú ý: Các phương trình dạng f(x) = 0 thì
f(x) phải phân tích được thành tích các nhị thức bậc nhất với hệ số hữu tỷ
( thường là hệ số nguyên). hoặc tam thức bậc hai có nghiệm hữu tỷ.
Bài toán 42 :
Giải các phương trình sau :
a. xy + 1 = x + y.
b. x
3
- x
2
-4x + 4 = 0
c. ....
5. Phương trình chứa ẩn ở mẫu.
Bài toán 43 :

Giải các phương trình sau :
a. (x + 2)/(x
2
-1) - 1 /(2x+2) = 1/2
b. 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5/6
x(x+1) (x+1)(x+2) (x+2)(x+3) (x+3)(x+4) (x+4)(x+5)
6. Phương trình chứa giá trị tuyệt đối.
- Dạng | f(x) | = A ( A là hằng số ).
Bài toán 44 :
Giải các phương trình sau :
a. | 2x -3 | = 7
b. | x
2
- 5x + 9| = 0
- Dạng | f(x) | = g(x)
Bài toán 45 :
Giải các phương trình sau :
a. | x-3| = x +1
b. |2x -3| = x
2
-x -1
- Dạng | f(x) | = | g(x) |
Bài toán 46 :
Giải các phương trình sau :
a. | 3x-2| = | 2x+1|
b. |x
2
+ 2x + 2| = | x
2
-x-8|

9

- Dạng a|f(x) | + b|g(x)| + c|h(x)| + d = 0
Bài toán 47 :
Giải các phương trình sau :
a. 2|x+2| - |x| = 3
b. 2x - 3|x-1| + (x-3)/|x-3| = 0
- Dạng áp dụng | A| + |B| ≥ |A+B|
Bài toán 48 :
Giải các phương trình sau :
a. |x-3| + |x-7| = 4
b. |x-1| + |x-2| +|2x-3| +|4x-13| = 7
7. Giải phương trình bằng phương pháp ẩn phụ :
Phương pháp ẩn phụ là phương phương pháp rất hay được dùng khi giải
phương trình. Ngoài ý nghĩa gọn gàn khi trình bày, với một số bài toán phương
pháp ẩn phụ được xem là cứu cánh. Ngoài các dạng thông thường (sau khi đặt ẩn
phụ phương trình được đưa về dạng phương trình đã biết với một ẩn số ) , một số
phương trình, sau khi đặt ẩn phụ chúng ta được phương trình mới với nhiều
ẩn(thường là hai ). Sau đây một số bài toán thuộc dạng thứ hai này.
Bài toán 49:
Giải các phương trình sau :
a. ( 2x
2
- 3x + 1)(2x
2
+ 5x + 1) = 9x
2
.
b. 2x + 13x = 6
2x

2
- 5x +3 2x
2
+ x + 3
Đề thi cấp tỉnh - Vòng 1 năm 94-95
8. Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
( Giáo viên tự chọn một số bài toán nâng cao cho loại toán này ).
IV.Bất phương trình
1. Bất phương trình bậc nhất.
( Giáo viên tự chọn giải một số bài tập )
2. Bảng tích các dấu và giải một số bất phương trình bậc cao đơn giản.
Bài toán 50:
Tìm x biết :
- Tích của nó với b thì nhỏ hơn (lớn hơn) b và b < 0 ( hoặc b > 0)
- x nhỏ (lớn hơn ) hơn bình phương của nó.
- x nhỏ hơn (lớn hơn ) nghịch đảo của nó.
..........
(Phần này giáo viên có thể thay đổi quan hệ để có các bài tập khác nhau.
Tuy nhiên cũng cần chọn các quan hệ thương gặp trong việc giải toán sau này )
10

V. Chuyên đề bất đẳng thức - Một số phương pháp chứng minh .
1. Định nghĩa - Tính chất.
Chọn giải một số bài tập luyện tập về định nghĩa cũng như tính chất. Một số tính
chất hay áp dụng như tính bắt cầu; nhân hai vế BĐT với số âm ....cần chú trọng.
2. Chứng minh bất đẳng thức nhờ sử dụng bất đẳng thức A
2
≥ 0.
Bài toán 51 :
Chứng minh các bất đẳng thức sau :

a. (1/2)(a
2
+ b
2
+c
2
) - (ab + ac+bc ) ≥ 0
b. 3( x
2
+ y
2
+ z
2
) ≥ (x+y+z)
2
c. 3y
2
+ x
2
+ 2xy + 2x+ 6y + 3 ≥ 0
d. a
2
+ b
2
+c
2
+ d
2
+1 ≥ a+b+c+d
3. Bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacôpski .

Do căn bậc hai chưa được trình bày nên hai bất đẳng thức này không được
trình bày dưới dạng chuẩn của nó mà chỉ được trình bày ở dạng tương tự để học
sinh làm quen. Ở chương trình đại số 9 hai bất đẳng thức được trình bày một lần
nữa với việc thực hiện giải các bài toán bất đẳng thức chứa căn thức.
- Bất đẳng thức Côsi :
Bất đẳng thức này được trình bày dưới dạng :
a
1
2
+ a
2
2
+ ....an
2
≥ n|a
1
a
2
...an |
Bài toán 52 :
Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a. a
2
+ b
2
+ 1 ≥ ab + a + b.
b. a
4
+ b
4

+ 2 ≥ 4ab
c. (a
2
+ b
2
)c + (b
2
+c
2
)a + (c
2
+a
2
)b ≥ 6abc
d. a
2
+ b
2
+ c
2
. ≤ 3/2
1+ a
4
1+ b
4
1+ c
4
- Bất đẳng thức Bunhiacôpski :
Bất đẳng thức này được trình bày dưới dạng :
(a

1
2
+ a
2
2
+ ....an
2
)(b
1
2
+b
2
2
+....+bn
2
) ≥ (a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ ...+anbn)
2

Bài toán 53 :
a. Cho ba số a,b,c. Chứng minh (a
2
+b

2
+c
2
)( 1/a
2
+ 1/b
2
+1/c
2
) ≥ 9
b. Cho a + 4b = 1. Chứng minh rằng a
2
+ 4b
2
≥ 0.2
c. Chứng minh 38c bằng bất đẳng thức Bunhiacôpski.
- Bài toán cực trị dựa vào hai bất đẳng thức này :
Bài toán 54 :
Cho f(x) = x
6
+ x
2
+ 2
x
2
Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x)
11

Bài toán 55 :
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = xy+zt nếu :

x
2
+ y
2
< 2 và y
2
+ t
2
< 8
4. Một vài bất đẳng thức “không thuộc dạng thông thường”.
- Phương pháp làm trội :
Bài toán 56 : Cho bốn số x,y,z,t không âm. Chứng minh :
3/4 < x + y + z + t < 5/2
x+ y + z y + z +t x + z+ t t+ x+ y
- Cùng với quan hệ đặc biệt của biến :
Bài toán 57 :
Cho ba số x
1
; x
2
; x
3
không âm và có tổng không quá 0.5.
Chứng minh rằng : (1-x
1
)(1-x
2
)(1-x
3
) ≥ 0.5.

Bài toán 58:
Cho ba số thực a,b,c thỏa : a+b+c ≥ abc. Chứng minh rằng :
a
2
+ b
2
+ c
2
≥ abc

5. Vận dụng bất đẳng thức để giải phương trình
Một số phương trình có thể thực hiện giải bằng cách sử dụng bất đẳng thức
( trường hợp xảy ra dấu “=”), vận dụng bất đẳng thức để giải toán nêu hai dạng
phương trình có thể giải cách trên.
- Sử dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối để giải phương trình
Để giải các bài tập dạng này, các kiến thức thức thường được sử dụng là : |a| ≥ 0 ;
| a | = | -a | ; | a | + | b | ≥ |a +b | ; | a | - | b | ≤ | a - b | . Giáo viên cần chọn các
dạng các bài tập có sử dụng các kiến thức trên.
Bài toán 59:
Giải các phương trình sau :
a. | x
2
+1| + |x
2
-9| = 10.
b. | x-1| + |x-7| = 2-x
2
+4x
c. 6x-x
2

-2 = |x-1| + |x-2|+ | 2x-3| + |4x-13|
- Sử dụng các bất đẳng thức khác để giải phương trình.
Bài toán 60:
Giải các phương trình sau :
a. x
2
+ y
2
+ z
2
+ t
2
= x(y+z+t)
b.(x
2
+ 1)(y
2
+ 4)(z
2
+9) = 48xyz (Với x >0; y>0; x>0 )
12