Sử dụng phương pháp hàm green để giải một số bài toán truyền nhiệt

..

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN VẬT LÝ
-----oOo-----

VÕ THỊ CẨM LOAN
Lớp DH5L

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGÀNH VẬT LÝ

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM
GREEN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
TRUYỀN NHIỆT

Giảng viên hướng dẫn: Th.S HỒ XUÂN HUY

Long Xuyên, 5-2008


LỜI CẢM ƠN
********
Trước tiên cho tôi được gởi lời cảm ơn chân thành
nhất tới Ban Giám Hiệu Trường Đại Học An Giang,
Ban Chủ Nhiệm Khoa sư Phạm, hội Đồng Khoa Học và
Đào Tạo Khoa sư Phạm Trường Đại Học An Giang, đã
tạo điều kiện để tơi được làm khố luận, đã quan tâm và
đơn đốc tơi trong q trình làm khoá luận này.
Xin cảm ơn sâu sắc nhất tới các thầy cô trong Tổ

Bộ Môn Vật Lý. Đặt biệt là giáo viên hướng dẫn Thạc
Sĩ Hồ Xuân Huy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tơi
hồn thành khố luận này.


MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU .......................................................................................Trang 1
1. Lý do chọn đề tài...................................................................................Trang 1
2. Mục đích nghiên cứu.............................................................................Trang 1
3. Đối tượng nghiên cứu ...........................................................................Trang 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................Trang 1
5. Phương pháp nghiên cứu.......................................................................Trang 2
6. Giả thuyết khoa học ..............................................................................Trang 2
7. Phạm vi nghiên cứu...............................................................................Trang 2
8. Đóng góp của khóa luận........................................................................Trang 2
9. Cấu trúc khóa luận ................................................................................Trang 2
PHẦN II: NỘI DUNG..................................................................................Trang 3
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI .............................................Trang 3
1.1 Lý luận về bài tập vật lý......................................................................Trang 3
1.2 Bài toán biên .......................................................................................Trang 6
1.3 Khái niệm toán tử, hàm riêng, trị riêng ...............................................Trang 8
1.4 Phương pháp tách biến ......................................................................Trang 11
1.5 Phương pháp biến thiên tham số .......................................................Trang 15
CHƯƠNG II: XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN ....................Trang 17
2.1 Khái niệm hàm Green, tính đối xứng của hàm Green.......................Trang 17
2.2 Xây dựng phương pháp hàm Green ..................................................Trang 20
2.3 Hàm riêng, trị riêng cho hàm Green .................................................Trang 21
2.4 Hàm điều hòa. Biễu diễn Green ........................................................Trang 23
CHƯƠNG III: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN ĐỂ
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRUYẾN NHIỆT .....................................Trang 27

3.1 Thiết lập phương trình truyền nhiệt ..................................................Trang 27
3.2 Bài tốn biên phụ thuộc thời gian .....................................................Trang 30
3.2.1 Phương pháp tách biến Fourier cho bài toán truyền nhiệt .............Trang 30
3.2.2 Phương pháp hàm Green cho bài toán truyền nhiệt .......................Trang 33
3.2.3 Bài tốn truyền nhiệt trong miền trịn ............................................Trang 35
3.3 Bài toán biên truyền nhiệt dừng ........................................................Trang 38
PHẦN III: KẾT LUẬN..............................................................................Trang 45
PHỤ LỤC 1...................................................................................................Trang 46
PHỤ LỤC 2...................................................................................................Trang 48



PHẦN I: MỞ ĐẦU
1.

Lý do chọn đề tài

Phương pháp toán lý là một học phần rất quan trọng trong chương trình đào tạo
giáo viên THPT. Giúp cho sinh viên làm quen dần với phương pháp toán học hiện đại
trong vật lý, hiểu rõ hơn bản chất của quá trình truyền sóng và q trình truyền nhiệt
trong vật chất. Học phần này có liên quan đến nhiều mơn học khác: điện và từ, điện
động lực, nhiệt động lực, vật lý thống kê, cơ học lượng tử,… Việc nghiên cứu học phần
này là cơ sở nghiên cứu các mơn học khác. Vì thế việc nghiên cứu nó gặp nhiều khó
khăn. Bên cạnh đó học phần này có nhiều dạng bài tập, mỗi dạng lại có nhiều phương
pháp giải địi hỏi sinh viên phải lựa chọn phương pháp giải phù hợp với mỗi dạng.
Cụ thể là bài tập phần truyền nhiệt có các phương pháp giải như: phương pháp
tách biến Fourier, phương pháp biến đổi Laplace, phương pháp hàm Green, hàm Bessel
... Mỗi phương pháp đều có ưu điểm và hạn chế riêng.
Đối với một số dạng bài tập nhiều chiều, khi giải bằng phương pháp biến đổi
Fourier, phương trình Laplace, ... thì việc tìm nghiệm gặp khó khăn và giải rất phức tạp,

trong khi đó nếu dùng phương pháp hàm Green thì việc tìm nghiệm của bài tốn là đơn
giản hơn nhiều, phương pháp hàm Green là phương pháp không giải trực tiếp phương
trình vi phân mà tìm hàm Green thơng qua việc giải phương trình khác để tìm hàm
Green. Rồi biểu diễn nghiệm cần tìm thơng qua hàm Green. Phương pháp hàm Green là
một phương pháp khó, tuy nhiên nó lại được áp dụng hiệu quả vào việc giải các bài tốn
biên nhiều chiều. Nhưng các sách lý thuyết thường khơng đề cặp đến phương pháp này,
hoặc đề cặp quá ít, làm cho sinh viên gặp khó khăn trong việc áp dụng phương pháp này
vào bài tập. Yêu cầu bổ sung một phương pháp giải hiệu quả cho bài toán truyền nhiệt
là rất cần thiết.
Với những lý do trên chúng tôi chọn đề tài : “Sử dụng phương pháp hàm Green
để giải một số bài tốn truyền nhiệt”.
2.

Mục đích nghiên cứu
•

Tìm hiểu các bài tốn truyền nhiệt.

•

Cơ sở tốn học cho phương pháp hàm Green.

•

Dùng phương pháp hàm Green để tìm nghiệm của bài tốn truyền

nhiệt.
3.

4.

Đối tượng nghiên cứu
•

Cơ sở lý luận về bài tập vật lý.

•

Cơ sở tốn học cho phương pháp hàm Green.

•

Các bài tập truyền nhiệt .

Nhiệm vụ nghiên cứu
•

Nghiên cứu cơ sở tốn học cho việc xây dựng hàm Green.

•
Xây dựng phương pháp hàm Green để tìm nghiệm của bài tốn
truyền nhiệt.
•

Giải một số bài tốn truyền nhiệt bằng phương pháp hàm Green.

- 1-


5.

Phương pháp nghiên cứu

6.

•

Đọc sách và tham khảo tài liệu.

•

Phương pháp tốn học.

•

Phương pháp phân tích.

•

Phương pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên.

Giả thuyết khoa học

Nếu dùng phương pháp hàm Green thì có thể tìm được nghiệm của bài tốn truyền
nhiệt.
7.

Phạm vi nghiên cứu
•

8.

Các bài tốn truyền nhiệt ứng với các điều kiện biên.

Đóng góp của khóa luận
•

Có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên.

•
Góp phần nâng cao kết quả học tập học phần phương pháp toán
lý cho sinh viên.
9.

Cấu trúc của khoá luận: gồm
Phần I: Mở đầu.
Phần II : Nội dung nghiên cứu.
Chương I: Cơ sở lý luận của đề tài.
Chương II: Xây dựng phương pháp hàm Green.
Chương III: Sử dụng phương pháp hàm Green để giải một số bài

toán truyền nhiệt.
Phần III: Kết luận

- 2-


PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
1.1 LÝ LUẬN VỀ BÀI TẬP VẬT LÝ:

1.1.1

Khái niệm về bài tập vật lý

Bài tập vật lý là một yêu cầu đặt ra cho người học, được người học giải
quyết dựa trên cơ sở các lập luận logic, nhờ các phép tính tốn, các thí
nghiệm, dựa trên các kiến thức về khái niệm, định luật và các thuyết vật lý.
1.1.2

Vai trò và tác dụng của bài tập vật lý

Xét về mặt phát triển tính tự lực của người học và nhất là rèn luyện kỷ
năng vận dụng kiến thức đã lĩnh hội được thì vai trị của bài tập vật lý trong
q trình học tập có một giá trị rất lớn. Bài tập vật lý được sử dụng ở nhiều
khâu trong quá trình dạy học.
- Bài tập là một phương tiện nghiên cứu hiện tượng vật lý. Trong quá trình
dạy học vật lý người học được làm quen với bản chất của các hiện tượng vật
lý bằng nhiều cách khác nhau như: Kể chuyện, biểu diễn thí nghiệm, làm bài
thí nghiệm, tiến hành tham quan. Ở đây tính tích cực của người học và do đó
chiều sâu và độ vững chắc của kiến thức sẽ lớn nhất khi “tình huống có vấn
đề” được tạo ra, trong nhiều trường hợp nhờ tình huống này có thể làm xuất
hiện một kiểu bài tập mà trong quá trình giải người học sẽ phát hiện lại quy
luật vật lý chứ không phải tiếp thu quy luật dưới hình thức có sẵn.
- Bài tập là một phương tiện hình thành các khái niệm. Bằng cách dựa vào
các kiến thức hiện có của người học, trong q trình làm bài tập, ta có thể
cho người học phân tích các hiện tượng vật lý đang được nghiên cứu, hình
thành các khái niệm về các hiện tượng vật lý và các đại lượng vật lý.
- Bài tập là một phương tiện phát triển tư duy vật lý cho người học. việc
giải bài tập làm phát triển tư duy logic, sự nhanh trí. Trong q trình tư duy
có sự phân tích và tổng hợp mối liên hệ giữa các hiện tượng, các đại lượng

vật lý đặc trưng cho chúng.
- Bài tập là một phương tiện rèn luyện kỷ năng vận dụng các kiến thức của
người học vào thực tiễn. Đối với việc giáo dục kỹ thuật tổng hợp bài tập vật
lý có ý nghĩa rất lớn. Những bài tập này là một trong những phương tiện
thuận lợi để người học liên hệ lý thuyết với thực hành, học tập với đời sống.
Nội dung của bài tập phải đảm bảo các yêu cầu sau:
+ Nội dung của bài tập phải gắn với tài liệu thuộc chương trình đang học.
+ Hiện tượng đang được nghiên cứu phải được áp dụng phổ biến trong
thực tiển.
+ Bài tập đưa ra phải là những vấn đề gần với thực tế.
+ Không những nội dung mà cịn hình thức của bài tập cũng phải gắn với
các điều kiện thường gặp trong cuộc sống. Trong các bài tập đó khơng có
sẵn dữ kiện mà phải tìm dữ kiện cần thiết ở các sơ đồ, bản vẽ kỷ thuật, ở các
sách báo tra cứu hoặc từ thí nghiệm.

- 3-


- Bài tập về hiện tượng vật lý trong sinh hoạt hằng ngày cũng có một ý
nghĩa to lớn. Chúng giúp cho người học nhìn thấy khoa học vật lý xung
quanh chúng ta, bồi dưỡng cho người học khả năng quan sát. Với các bài tập
này, trong quá trình giải, người học sẽ có được kỷ năng, kỷ xảo vận dụng
các kiến thức của mình để phân tích các hiện tượng vật lý khác nhau trong
tự nhiên, trong kỷ thuật và trong đời sống, đặc biệt có những bài tập khi giải
đòi hỏi người học phải sử dụng kinh nghiệm trong lao động, sinh hoạt và sử
dụng những kết quả quan sát thực tế hằng ngày.
- Bài tập vật lý là một phương tiện để giáo dục người học, nhờ bài tập vật
lý ta có thể giới thiệu cho người học biết sự xuất hiện những tư tưởng, quan
điểm tiên tiến, hiện đại, những phát minh, những thành tựu của nền khoa
học trong và ngoài nước. Tác dụng giáo dục của bài tập vật lý còn thể hiện ở

chổ: chúng là phương tiện hiệu quả để rèn luyện đức tính kiên trì, vượt khó,
ý chí và nhân cách của người học. Việc giải bài tập vật lý có thể mang đến
cho người học niềm phấn khởi sáng tạo, tăng thêm sự u thích bộ mơn,
tăng cường hứng thú học tập.
- Bài tập vật lý cũng là phương tiện kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức
và kỷ năng, kỷ xảo của người học. Đồng thời nó cũng là cơng cụ giúp người
học ôn tập, đào sâu, mở rộng kiến thức.
1.1.3 Cơ sở định hướng giải bài tập vật lý
1.1.3.1 Hoạt động giải bài tập vật lý
− Mục tiêu cần đạt tới khi giải một bài tốn vật lý là tìm được
câu trả lời đúng đắn, giải đáp được vấn đề đặt ra một cách có căn cứ
khoa học chặt chẽ. Q trình giải một bài tốn thực chất là tìm hiểu
điều kiện của bài toán, xem xét hiện tượng vật lý được đề cập và dựa
trên kiến thức vật lý tốn để nghĩ tới mối liên hệ có thể có của cái đã
cho và cái cần tìm sao cho có thể thấy được cái phải tìm có mối liên hệ
trực tiếp hoặc gián tiếp với cái đã cho, từ đó đi đến chỉ rõ được mối
liên hệ tường minh trực tiếp của cái phải tìm chỉ với cái đã biết nghĩa
là đã tìm được lời giải đáp cho bài tốn đặt ra.
− Hoạt động giải bài tốn vật lý có hai phần việc cơ bản quan
trọng là:
1. Việc xác lập các mối liên hệ cơ bản cụ thể dựa trên sự vận
dụng kiến thức vật lý vào điều kiện cụ thể của bài toán đã cho.
2. Sự tiếp tục luận giải, tính tốn đi từ mối liên hệ đã xác lập
được đến kết luận cuối cùng của việc giải đáp vấn đề được đặt ra trong
bài toán đã cho.
− Sự nắm vững lời giải của một bài toán vật lý phải thể hiện ở
khả năng trả lời được câu hỏi: việc giải bài toán này cần xác lập được
mối liên hệ nào? Sự xác lập các mối liên hệ cơ bản này dựa trên sự
vận dụng kiến thức vật lý nào? Vào điều kiện cụ thể nào của bài toán?
− Đối với bài tập định tính, ta khơng phải tính tốn phức tạp

nhưng vẫn cần có suy luận logic từng bước để đi đến kết luận cuối
cùng.

- 4-


1.1.3.2 Phương pháp giải bài tập vật lý
Xét về tính chất của các thao tác tư duy khi giải các bài tập
vật lý người ta thường sử dụng hai phương pháp sau:
− Phương pháp phân tích: theo phương pháp này điểm xuất
phát là các đại lượng cần tìm. Người giải phải tìm xem đại lượng chưa
biết này có liên quan gì tới đại lượng vật lý khác, và khi biết được sự
liên hệ này thì biểu diễn nó thành những công thức tương ứng, cứ làm
như thế cho đến khi nào biểu diễn được hồn tồn đại lượng cần tìm
bằng những đại lượng đã biết thì bài tốn đã được giải xong. Như vậy,
phương pháp này thực chất là đi phân tích một bài tốn phức tạp thành
những bài tập đơn giản hơn, rồi dựa vào những quy tắc tìm lời giải mà
lần lượt giải các bài tập đơn giản này, từ đó đi đến lời giải cho bài tốn
phức tạp trên.
− Phương pháp tổng hợp: theo phương pháp này suy luận
khơng bắt đầu từ đại lượng cần tìm mà bắt đầu từ đại lượng đã biết, nó
nêu trong đề bài. Dùng công thức liên hệ các đại lượng này với các đại
lượng chưa biết, ta đi dần đến công thức cuối cùng, trong đó chỉ có
một đại lượng chưa biết là đại lượng cần tìm.
Nhìn chung, việc giải bài tập vật lý phải dùng chung hai phương
pháp phân tích và tổng hợp. Phép giải bắt đầu bằng phân tích các điều
kiện của bài toán để hiểu đề bài và phải có sự tổng hợp kèm theo ngay
để kiểm tra lại mức độ đúng đắn của các sự phân tích ấy. Muốn lập kế
hoạch giải phải đi sâu phân tích nội dung vật lý của bài tập, tổng hợp
những dữ kiện đã cho với những quy luật vật lý đã biết ta mới xây

dựng được lời giải và kết quả cuối cùng.
1.1.3.3 Các bước chung của giải bài toán vật lý
Từ phân tích về thực chất hoạt động giải bài tốn, ta có đưa ra
một cách khái qt các bước chung của tiến trình giải của một bài tốn
vật lý và các hoạt động chính trong các bước, đó là:
Bước 1:
− Tìm hiểu đề bài
− Đọc ghi ngắn gọn các dữ liệu xuất phát và cái phải tìm.
− Mơ tả lại tình huống đã nêu trong đề bài, vẽ hình minh họa.
− Nếu đề bài yêu cầu thì phải dùng đồ thị hoặc làm thí nghiệm
để thu được các dữ liệu cần thiết.
Bước 2: Xác lập những mối liên hệ cơ bản của các dữ liệu xuất
phát và cái phải tìm.
− Đối chiếu với các dữ liệu xuất phát và cái phải tìm, xem xét
bản chất vật lý của những tình huống đã cho để nghĩ đến các kiến
thức, các định luật, các cơng thức có liên quan.
− Xác lập các mối liên hệ cơ bản, cụ thể của các dữ liệu xuất
phát và của cái phải tìm

- 5-


− Tìm kiếm lựa chọn các mối liên hệ tối thiểu cần thiết sao cho
thấy được mối liên hệ của cái phải tìm với các dữ liệu xuất phát, từ đó
có thể rút ra được cái cần tìm.
Bước 3: Rút ra kết quả cần tìm.
Từ các mối liên hệ cần thiết đã xác lập, tiếp tục luận giải, tính
tốn để rút ra kết quả cần tìm.
Bước 4: Kiểm tra xác nhận kết quả, để có thể xác nhận kết quả
cần tìm cần kiểm tra lại việc giải theo một hoặc một số cách sau:

− Kiểm tra xem có tính tốn đúng chưa.
− Kiểm tra xem thứ nguyên có phù hợp khơng.
− Giải bài tốn theo cách khác xem có cùng kết quả không.
Tuy nhiên, trong nhiều bài tập không nhất thiết phải tách bạch
một cách cứng nhắc giữa bước 2 và bước 3. Tùy từng bài tốn mà ta
có thể kết hợp hai bước đó thành một trong tiến trình luận giải.
1.1.3.4 Lựa chọn bài tập vật lý
Vấn đề lựa chọn bài tập vật lý góp phần khơng nhỏ vào việc
nâng cao chất lượng học tập môn vật lý của người học và việc lựa
chọn bài tập phải thỏa mãn các yêu cầu sau:
− Các bài tập phải đi từ dễ đến khó, đơn giản đến phức tạp, giúp
người học nắm được phương pháp giải các bài tập điển hình.
− Hệ thống bài tập cần bao gồm nhiều thể loại bài tập
− Lựa chọn các bài tập nhằm kích thích hứng thú học tập và
phát triển tư duy của người học.
− Các bài tập nhằm cũng cố, bổ sung và hoàn thiện tri thức cụ
thể đã học, cung cấp cho người học những hiểu biết về thực tế, kỹ
thuật có liên quan với kiến thức lý thuyết.
− Lựa chọn các bài tập điển hình nhằm hướng dẫn cho người
học vận dụng kiến thức đã học để giải những loại bài tập cơ bản, hình
thành phương pháp chung để giải các loại bài tập đó.
− Lựa chọn các bài tập sao cho có thể kiểm tra được mức độ
nắm vững tri thức của người học.
1.2 Bài tốn biên
Xét phương trình vi phân tuyến tính có dạng

L( y ) = a 0 ( x)

dny
d n −1 y

dy
+
a
(
x
)
+ ... + a n −1 ( x) + a n ( x) y = F ( x) (1.2.1)
1
n
n −1
dx
dx
dx

Trong đó: a0(x), a1(x),…,an(x) là các hàm liên tục trong khoảng a ≤ x ≤ b và
a 0 ( x) ≠ 0 trong khoảng a ≤ x ≤ b .Cách chung để giải phương trình (1.2.1) là: trước hết
giải phương trình thuần nhất cấp n là L(y)=0, thu được một tập nghiệm cơ bản {y1(x),
y2(x),…, yn(x)}, nghiệm tổng quát yc của phương trình thuần nhất là một tổ hợp tuyến
tính của tập nghiệm cơ bản:

- 6-


yc = C1y1(x)+C2y2(x)+…+Cnyn(x),

(1.2.2)

trong đó: C1, C2, …, Cn là các hằng số tùy ý.
Tiếp theo tìm bất cứ nghiệm riêng yp nào của phương trình vi phân khơng thuần
nhất L(y) = F(x). Để giải phương trình này, ta thường dùng phương pháp hệ số bất định

hoặc phương pháp biến thiên hằng số để tìm nghiệm riêng . Khi đó nghiệm tổng quát
của phương trình (1.2.1) sẽ là y = yc + yp.
Trong các bài toán ứng dụng , nghiệm phương trình vi phân (1.2.1) địi hỏi phải
thỏa mãn các điều kiện bổ sung nào đó. Số điều kiện này trong hầu hết các ứng dụng
bằng cấp cao nhất của phương trình.Ví dụ, đối với phương trình vi phân cấp 2:
a 0 ( x)

dy
d2y
+ a1 ( x) + a 2 ( x) = 0 ,
2
dx
dx

a≤ x≤b

(1.2.3)

bị lệ thuộc bởi điều kiện bổ sung tại x = a có dạng :

y (a) = α , y / (a ) = β , với α , β là các hằng số.
Phương trình vi phân với điều kiện bổ sung được xem như là một bài toán cho
trước giá trị ban đầu. Bài toán giá trị ban đầu thường có nghiệm duy nhất. Khi phương
trình vi phân (1.2.3) bị hạn chế bởi hai điểm khác nhau, tức là x = a và x = b phương
trình có dạng :
⎧⎪c11 y (a ) + c12 y / (a ) = α , c112 + c122 ≠ 0
⎨
2
2
⎪⎩c 21 y (a ) + c 22 y / (a ) = β , c 21

+ c 22
≠0

(1.2.4)

Trong đó: c11 , c12 , c 21 , c 22 , α và β là các hằng số
Điều kịên bổ sung (1.2.4) được gọi là điều kiện biên .
Phương trình vi phân (1.2.3) với điều kiện biên (1.2.4) được gọi là bài toán biên .
Nghiệm của bài toán biên phụ thuộc vào điều kiện biên . Bài tốn biên khơng chỉ có
một nghiệm mà nó có vơ số nghiệm. Điều kiện biên có dạng
⎧⎪c11 y (a ) + c12 y / (a ) + c13 y (b) + c14 y / (b) = α
⎨
⎪⎩c 21 y (b) + c 22 y / (b) + c 23 y (a ) + c 24 y / (a ) = β
Trong đó: cij , i= 1,2, j=1,2,3,4 và α , β là các hằng số; được gọi là điều kiện biên
hỗn hợp.
Bài toán biên hỗn hợp thường khó giải. Xét phương trình tuyến tính cấp 1:

L ( y) =

dy
+ p( x )y = q( x ).
dx

(1.2.5)

Để giải phương trình (1.2.5), trước hết giải phương trình thuần nhất:

L(y) =
dạng:

dy
+ p( x ) y = 0
dx

(1.2.6)

Để thu được nghiệm tổng quát yc. Ta có thể tách biến phương trình (1.2.6) có

- 7-


dy
= − p( x )dx
y

(1.2.7)

Đặt:
x

P ( x) = ∫ p (ξ )dξ với
0

dP
= p( x )
dx

(1.2.8)

Tích phân (1.2.7) thu được

ln y = − P ( x) + C
⇒ e ln y = e − P ( x )+C = e − P ( x ) e C ⇒ y = C1e − P ( x ) , C1 = e C
Vậy nghiệm tổng quát của (1.2.6) là y C = C1e − P ( x )
Dùng phương pháp biến thiên hằng số và giả thiết một nghiệm riêng có dạng
y p = u ( x)e − P ( x ) , trong đó C1 ở trong nghiệm tổng quát đã được thay thế bằng hàm chưa
biết u(x), nghiệm giả định này có đạo hàm là
dy p
dx

= u ( x)e − P ( x ) (− p ( x)) +

Thay yp và
dy p
dx

dy p
dx

du − P ( x )
e
dx

vào phương trình khơng thuần nhất (1.2.5) ta có
x

+ p ( x) y p = q ( x) ⇒

du − P ( x )
e
= q ( x) ⇒ u = u ( x) = ∫ q (ξ )e P (ξ ) dξ .

dx
0

Suy ra nghiệm riêng
x

y p = e − P ( x ) ∫ q (ξ )e P (ξ ) dξ .
0

Nghiệm tổng qt của phương trình (1.2.5) có dạng
x
⎡
⎤
y = yC + y p = e− P ( x ) ⎢C1 + ∫ q(ξ )e P (ξ ) dξ ⎥
0
⎣
⎦

(1.2.9)

1.3 Khái niệm toán tử, hàm riêng, trị riêng:
1.3.1.Toán tử:

Toán tử là một qui tắc toán học dùng để biến đổi một hàm này sang
hàm khác có cùng bản chất:
^

Aψ = ϕ

(1.3.1)

^

Trong đó tốn tử A được kí hiệu bằng chữ có mũ, cịn qui tắc tác
^

dụng của nó được viết dưới dạng một phép nhân ψ với A và được gọi là
^

“toán tử A tác dụng lên hàm ψ cho hàm

ϕ”
- 8-


Để làm sáng tỏ ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Toán tử toạ độ hay toán tử nhân
^

^

A=x=x
^

ϕ ( x ) = xψ ( x ) = xψ ( x ) (1.3.2)
Ví dụ 2: Tốn tử vi phân
^

d
d

A=
= ,
dx dx
^

^

d
d
ϕ ( x) = ψ ( x) = ψ ( x)
dx
dx

(1.3.3)

Ví dụ 3: Tốn tử Laplace:

∂2
∂2
∂2
∇ = 2 + 2 + 2
∂x
∂y
∂z
2

∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ
ϕ ( x) = ∇ ψ ( x) = 2 + 2 + 2
∂x
∂y

∂z
2

(1.3.4)

Vì các hàm ψ và ϕ ở trong biểu thức (1.3.1) nói chung là những hàm phức
cho nên các tốn tử trong trường hợp tổng quát cũng là những toán tử phức.
Trong số tất cả những tốn tử có thể có ta chỉ xét một lớp quan trọng những
tốn tử, đó là những tốn tử tuyến tính.
^

sau:

Tóan tử A được gọi là một tốn tử tuyến tính nếu nó thoả mãn đòi hỏi

^

^

^

A ( C1ψ 1 + C2ψ 2 ) = C1 Aψ 1 + C2 Aψ 2

(1.3.5)

trong đó ψ 1 ,ψ 2 là hai hằng số tuỳ ý, còn C1 , C2 là những hằng số phức tuỳ
ý.
^

Từ định nghĩa (1.3.5) ta thấy tính chất tuyến tính của tốn tử A

biểu thị nguyên lí chồng chất trạng thái. Thật vậy theo định nghĩa về tốn tử
(1.3.1) ta có:
^

^

Aψ 1 = ϕ1 , Aψ 2 = ϕ2 , nên (3.5) trở thành:
^

^

^

C1 Aψ 1 + C2 Aψ 2 = C1ϕ1 + C2ϕ2 = A ( C1ψ 1 + C2ψ 2 ) = ϕ

- 9-


Nghĩa là ϕ là tổ hợp tuyến tính của hai hàm ϕ1 ,ϕ2 . Hay nói cách
khác, kết quả tác dụng của một tốn tử tuyến tính lên một hàm là tổ hợp
tuyến tính của hai hàm ψ 1 ,ψ 2 thì bằng tổ hợp của những kết quả tác dụng
của tốn tử đó lên mỗi hàm riêng biệt.
^

d
2
và ∇ trong các thí dụ (1), (2),
Rõ ràng rằng các tốn tử x ;
dx
^

(3) là những tốn tử tuyến tính. Cịn toán tử chứa tác dụng lấy căn số (hay
toán tử
) khơng phải là tốn tử tuyến tính. Tất cả các tốn tử dùng trong
phương trình vật lý tốn là những tốn tử tuyến tính ; do đó về sau này khi
nói đến tốn tử là ta ngụ ý nói đến các tốn tử tuyến tính.
1.3.2 Hàm riêng, trị riêng và phương trình trị riêng của tốn tử.

Nói chung khi cho toán tử A tác dụng lên hàm Ψ (x ) thì ta được hàm
số ϕ ( x ) ≠ ψ (x ) . (Với (x ) là tập hợp biến số nào đó). Nhưng cũng có trường
hợp ta lại được chính hàm số đó nhân thêm với một hằng số. Tức là:
^

A Ψ (x ) = A Ψ (x )
^

Khi đó ta nói Ψ ( x ) là hàm riêng của tốn tử A và phương trình trên
^

gọi là phương trình trị riêng của tốn tử A . cịn A được gọi là trị riêng ứng
^

với hàm riêng Ψ ( x ) của tốn tử A .
Một tốn tử có thể có nhiều hàm riêng và mỗi hàm riêng thì ứng với
một trị riêng ( cũng có thể có trường hợp một trị riêng ứng với nhiều hàm
riêng, trường hợp này gọi là trị riêng có suy biến), nên ta đánh chỉ số để
phân biệt các phương trình trị riêng và được viết như sau:
^

A u n (x ) = An u n (x )

Trong đó u ( x ) là hàm riêng ứng với trị riêng An (n = 1;2;3;4;5…). Số
trị riêng có thể có là hữu hạn hay vơ hạn; có thể là gián đoạn hay liên tục.
Để tìm hàm riêng và trị riêng của một tốn tử, ta phải giải phương
trình trị riêng của một tốn tử đó.
^

Thí dụ: Cho tốn tử A = − i

∂
. Hãy tìm hàm riêng và trị riêng của
∂(x )

^

tốn tử A , biết rằng hàm riêng tuần hoàn trong khoảng (0, L ) .
^

Gọi An và u n (x ) là trị riêng và hàm riêng tương ứng của toán tử A
^

thì phương trình trị riêng của tốn tử A là:

- 10-


−i

∂u n
= An u n ( ta không viết đối số tọa độ để khỏi rờm rà)
∂ (x )

∂u n
= iAn ∂x
un

⇒ ln u n = iAn x = ln C.

⇒u n = Ce iAn x Với C là hằng số được xác định từ điều kiện chuẩn hóa.
Vì hàm số tuần hoàn trong khoảng (0, L ) nên ta có u n (0 ) = u n (L ) . Tức
là:

C = Ce iAn L ⇒ e iAn L = 1
⇒ cos( An L ) = 1
⇒ An L = 2nπ
Từ đó ta được An =

2nπ
. ( n= 0;2;3;…).
L

Ta thấy A n có giá trị gián đoạn theo số nguyên n.
Còn hàm riêng tương ứng với A n là: u n ( x ) = Ce

ìnπ
x
L

.

1.4. Phương pháp tách biến

Phương pháp tách biến nhằm xây dựng một nghiệm µ của phương trình đạo hàm
riêng cho trước thơng qua các hàm có biến số ít hơn. Nói cách khác, ta phỏng đốn rằng
µ có thể được viết dưới dạng tổng hoặc tích của các hàm có biến số ít hơn và tách
nhau, thay nó vào phương trình đạo hàm riêng để chọn các hàm đó phải đảm bảo µ
thực sự là nghiệm phương trình. Kỹ thuật này sẽ được minh họa trong các ví dụ sau.
Ví dụ 1: Cho U ⊂ ℜ n là một miền bị chặn với biên trơn. Ta xét bài toán giá trị
biên-ban đầu đối với phương trình truyền nhiệt

⎧ µ t − ∆µ = 0
⎪
⎨µ = 0
à = g


trong U ì (0, )
trờn U × [0, ∞ )

(1.4.1)

trênU × {t = 0}

Ở đây g: U → ℜ là hàm cho trước. Ta giả định tồn tại một nghiệm có dạng

µ (x, t ) = v(t )w(x ) ( x ∈ U ; t ≥ 0) ;

(1.4.2 )

Có nghĩa là, ta xem nghiệm của (1.4.1) như là tích của hai hàm số với các biến

x = ( x1,......., xn ) ∈ U

[

]

và biến t ∈ 0, T tách ra với nhau.

Bây giờ ta đi tìm v và w. Để làm điều đó ta tính

- 11-


µt ( x, t ) = v , (t )w(x ) , ∆µ (x, t ) = v(t )∆w(x )
Từ đó

0 = µt ( x , t ) − ∆µ ( x , t ) = v , (t )w( x ) −v ( t ) ∆w ( x )
Nếu và chỉ nếu
v , (t ) ∆w(x )
=
v(t )
w(x )

(1.4.3)

Với mọi x ∈ U và t >0 sao cho v (t ) , w (t ) ≠ 0. Chú ý rằng vế trái của (1.4.3) chỉ
phụ thuộc vào t và vế phải chỉ phụ thuộc vào x. Điều này chỉ xảy ra khi chúng là hằng
số, tức là:

v , (t )

∆w( x )
=µ=
v(t )
w( x )

( t ≥ 0, x ∈ U ).

Khi đó

v / = µν

(1.4.4)

∆ w = µw

(1.4.5)

Ta giải các phương trình này để tìm các hàm chưa biết w,v và hằng số µ .
Trước hết, để ý rằng, nếu µ đã biết, nghiệm của (1.4.4) là v=de µt với d là hằng
số tùy ý. Vì thế, ta chỉ cần nghiên cứu phương trình (1.4.5).
Ta nói rằng λ là một giá trị riêng của toán tử - ∆ trong U ( với điều kiện biên
bằng 0) nếu tồn tại một hàm w ≠ 0 thõa mãn

⎧− ∆w = λw
⎨
⎩w = 0

trong U
trên ∂U .

Ta gọi hàm w là hàm riêng tương ứng, ta đặt µ = −λ để tìm

µ = −de − λt w

(1.4.6)

Thỏa mãn

⎧ µ t − à = 0

à = 0

trong U ì (0, )

(1.4.7)

trờn U ì [0, )

vi iu kin ban u à (.,0 ) = dw . Do đó hàm µ được xác định bởi (1.4.6) thỏa
mãn (1.4.1), với điều kiện g = dw . Tổng quát hơn, nếu

w1 ,......, wn

λ1 ,....., λn

là các giá trị riêng ,

là các hàm riêng tương ứng và d 1 ,...., d m là các hằng số, thì

- 12-

m

µ = ∑ d k e − λ wk
k

t

(1.4.8)

k =1

∞

µ (.,0) = µ = ∑ d k wk

Thỏa mãn các điều kiện ban đầu

. Nếu ta có thể tìm

k =1

∞

được

m, w1 ,..... v.v. sao cho

∑d w

k

k =1

k

=g

trong U

(1.4.9)

Với các hằng số thích hợp d1 , d 2 ,....... khi đó
∞

µ = ∑ d k e − λ wk
k

t

(1.4.10)

k =1

Sẽ là nghiệm của bài tốn (1.4.1).
Đây là một cơng thức biểu diễn nghiệm rất đẹp, nhưng nó dựa vào:
Khả năng tìm các giá trị riêng, các hàm riêng và các hằng số thỏa mãn (1.4.9)
Chuỗi (1.4.10) hội tụ theo một nghĩa thích hợp nào đó.
Ví dụ 2: Tiếp theo ta sử dụng kỹ thuật tách biến để tìm nghiệm của phương trình
mơi trường tổ ong.

n
µt − ∆ (µ γ ) = 0 trong ì (0, )

(1.4.11)

Trong ú nghim à ≥ 0 và γ > 1 là hằng số. Đây là một phương trình khuếch tán
phi tuyến, với tốc độ khuếch tán của mật độ µ phụ thuộc vào chính µ .

Như ở ví dụ trứơc, ta tìm một nghiệm dạng

(x ∈ ℜ ; t ≥ 0)

µ (x, t ) = v(t )w(x )

n

(1.4.12)

Thế vào (1.6.11) , ta được

v , (t )
∆wγ ( x )
µ
=
=
γ
w( x )
v(t )
Với hằng số µ nào đó và với

(1.4.13)

∀x ∈ ℜ n , t ≥ 0

sao cho

w(x ), v(t ) ≠ 0.

Ta giải phương trình vi phân thường đối với v và tìm được
1

v = ((1 − γ )µt + λ )1− λ , với hằng số

λ>0

nào đó.Để tìm w ta xét phương trình

đạo hàm riêng

( )

∆ wγ = uw

(1.4.14)

Ta dự đoán rằng nghiệm w có dạng

w= x

α

với hằng số α sẽ được xác định

sau. Khi đó

- 13-


( )

uw − ∆ wγ = u x − αγ (αγ = n − 2 ) x
α

αλ − 2

(1.4.15)

Vì vậy, để (1.4.14) thỏa mãn trong ℜn , trước hết ta địi hỏi rằng α = αγ − 2 và từ
đó

α=

2
γ −1

(1.4.16)

Tiếp theo, từ (1.4.15) dễ thấy rằng cần đặt

µ = αγ (αγ + n − 2 ) > 0

(1.4.17)

Tóm lại, với mỗi λ > 0 hàm
1

µ = ((1 − γ )ut + λ )1−γ x

α

Thỏa mãn phương trình (1.4.11) , các tham số α , µ được xác định bởi (1.4.16),
(1.4.17).
Trong các ví dụ trên, sự tách biến được thực hiện dựa vào tính thuần nhất phi
tuyến tương thích với hàm µ có dạng tích (1.4.12). Ở trường hợp khác, ta sẽ tìm
nghiệm, trong đó các biến được tách dưới dạng một tổng các hàm số.
Ví dụ 3: Xét phương trình Hamilton- Jacobi.

µt + H (Du ) = 0 trong n ì (0, )

(1.4.18)

V tỡm mt nghim à cú dạng

µ (x, t ) = v(t ) + w(x )

( x ∈ ℜ n , t ≥ 0).

Khi đó

0 = µt (x, t ) + H (Du (x, t )) = v , (t ) + H (Dw(x ))

Nếu và chỉ nếu

H (Dw( x )) = −v , (t ) (x ∈ ℜn , t > 0),

Với hằng số µ nào đó. Vì thế, nếu

H (Dw) = µ
Với

µ ∈ R,

thì

µ ( x, t ) = w( x ) − ut + b
Sẽ thõa mãn µt t = H (Du ) = 0 với hằng số b nào đó. Đặc biệt, nếu chọn

w( x ) = a.x với a ∈ ℜ n và đặt µ = H (a ) , tìm được nghiệm

µ = a.x − H (a )t = b .
Dựa vào tích phân đầy đủ và hàm bao tìm được nghiệm.

- 14-


1.5. Phương pháp biến thiên tham số:

d 2u
= f ( x ) , ta xét bài toán
Để trực tiếp thu được nghiệm của phương trình
dx 2

khơng thuần nhất tổng qt:

L (u ) = f ( x )
Xác định trong khoảng a L là tốn tử Sturm –Liouville có dạng

L=

d ⎛ du ⎞
⎜ p ⎟ + q.
dx ⎝ dx ⎠

Khi p = 1, q = 0 ta được toán tử của phương trình truyền nhiệt trong trạng thái
dừng

d 2u
L= 2
dx
Phương trình vi phân thường khơng thuần nhất ln có thể giải bằng phương pháp
biến thiên tham số, nếu biết hai nghiệm của phương trình khơng thuần nhất u1 ( x ) và

u2 ( x ) . Theo phương pháp biến thiên tham số, nghiệm riêng của phương trình

L (u) = f ( x ) được tìm dưới dạng

u = u1v1 + u2 v2
Khi đó v1 và v2 là hàm phụ thuộc vào x chưa được xác định. Phương trình vi
phân gốc có một hàm chưa biết, vì rằng có một bậc tự do thêm vào là du/dx. Nếu

v1 và

v2 là hằng số thì
du
du
du
= v1 1 + v2 2
dx
dx
dx
Vì v1 và v2 không phải là hằng số nên

u1

dv1
dv
+ u2 2 = 0
dx
dx

Vi phân

L (u) = f ( x ) được thoã mãn nếu

dv1 du1 dv2 du2
p
+
p
= f ( x ).
dx dx dx dx
Phương pháp biến thiên tham số tạo ra hai phương trình vi phân cho các hàm

chưa biết

dv1 / dx

và là:

- 15-


dv1
=
dx

− fu2
− fu2
=
;
du1 ⎞
c
⎛ du2
− u2
p ⎜ u1
⎟
dx ⎠
⎝ dx
− fu1
− fu1
dv2
=
=

du ⎞
dx
c
⎛ du
p ⎜ u1 2 − u2 1 ⎟
dx ⎠
⎝ dx

Trong đó
và

u2 .

du ⎞
⎛ du
c = p ⎜ u1 2 − u2 1 ⎟
dx ⎠
⎝ dx

, hằng số c tuỳ thuộc vào việc lựa chọn u1

Nghiệm tổng quát L (u) = f ( x ) được cho bởi u = u1v1 + u2 v2 , ở đây
được xác định bởi tích phân của

dv1 / dx

v1 và v2

và dv2 / dx ở trên.

Ta định nghĩa Wronskian w là đại lượng

W = u1

du2
du
− u2 1
dx
dx

Nó thoả mãn phương trình vi phân cơ bản

d 2u
d 2u
du ⎞
dW
dp / dx ⎛ du2
dp / dx
= u1 22 − u2 21 = −
− u2 1 ⎟ = −
W
⎜ u1
dx
dx
dx
p ⎝ dx
dx ⎠
p
Trong đó, các phương trình vi phân thuần nhất L (u1 ) = 0 và L (u2 ) = 0 được
dùng đến. Giải phương trình trên suy ra

W = c/ p

hay là pW = c .

Tiểu kết :

Trong chương này chúng tôi đã nêu lên khái niệm về bài tập vật lý, tầm quan
trọng của bài tập vật lý. Trình bày các cơ sở toán học cơ bản, cần thiết cho việc xây
dựng phương pháp hàm Green.

- 16-


CHƯƠNG II: XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP
HÀM GREEN
2.1. Khái niệm hàm Green. Tính đối xứng của hàm Green

Để đưa vào khái niệm hàm Green, chúng ta bắt đầu với các toán tử vi phân cấp 2
có dạng đồng nhất với hàm Green. Mọi tốn tử vi phân cấp 2 có dạng

Lx ( y ) = a0 ( x)

d2y
dy
+ a1 ( x) + a 2 ( x) y (2.1.1)
2
dx
dx

Các toán tử liên hợp đồng dạng với nó là:

d2
d
L ( y ) = 2 [a 0 ( x) y ] − [a1 ( x) y ] + a 2 ( x) y
dx
dx
2
d y
dy
⇒ L*x ( y ) = a 0 ( x) 2 + [2a 0/ ( x) − a1 ( x)] + a 2 ( x) y (2.1.2)
dx
dx
*
x

Cho hai hàm u(x) và v(x) là hai hàm liên tục tùy ý cùng với đạo hàm cấp 1 và cấp
2 của nó. Dùng hai toán tử (2.1.1) và (2.1.2) để xác định đồng nhất thức Lagrange của
hai hàm u(x) và v(x) như sau

vL x (u ) − uL*x (v) =

d
[ P (u , v)] ( 2.1.3)
dx

du
dv
⎡
⎤ ⎡

⎤
+ a1 ( x)u ⎥ v − ⎢a 0 ( x ) + a 0/ ( x)v ⎥u ( 2.1.4)
Trong đó P (u , v) = ⎢a 0 ( x )
dx
dx
⎣
⎦ ⎣
⎦
Được gọi là hàm song tuyến.
Đồng nhất thức Lagrange của 2 hàm khả vi u(x) và v(x) được xác định trên miền
I = {x / a ≤ x ≤ b}. Tích phân đồng nhất thức (2.1.3) ta có đồng nhất thức các hàm
Green.
b

∫ [vL (u) − uL (v)]dx = [P(u, v)] , (2.1.5)
*
x

x

b
a

a

Trong đó

[P(u, v)]ba

= [a 0 (b)u / (b) + a1 (b)u (b)]v (b) − [a 0 (b)v / (b) + a 0/ (b)v(b)]u (b) −

− [a 0 (a )u / (a ) + a1 (a )u (a )]v(a ) − [a 0 (a )v / (a ) + a 0/ (a )v(a )]u (a )
Định nghĩa tích hàm của đồng nhất thức Green:
b

(v, Lx (u )) = ∫ vLx (u )dx. (2.1.6)
a

Tích phân từng phần tích hàm thu được

(v, L x (u )) = (u , L*x (v)) + các hạng thức trên biên.

- 17-


Sử dụng đồng nhất thức Green cho thích hợp để tìm nghiệm phương trình với biên
ở hai điểm như sau

⎧ Lx ( y ) = f ( x);
(2.1.7)
⎨
⎩ B1 ( y ) = g1 ; B2 ( y ) = g 2
Trong đó: Lx là tốn tử tuyến tính cho bởi (2.1.1); g1; g2 là các hằng số và B1, B2
là các tốn tử biên tuyến tính dạng Robin:

⎡ dy ( x)
⎤
B1 ( y ) = ⎢α 1
+ β1 y ( x)⎥ ;
dx

⎣
⎦ x=a
(2.1.8)
⎡ dy ( x)
⎤
B2 ( y ) = ⎢α 2
+ β 2 y ( x)⎥
dx
⎣
⎦ x =b
Sử dụng đồng nhất thức Green để giải bài toán biên Dirichlet

L x ( y ) = f ( x );

(2.1.9)

B1 ( y ) = y(a) = 0, B2 ( y ) = y(b) = 0 (2.1.10)
Để giải phương trình này, đổi biến x trong phương trình (2.1.1) và (2.1.5) thành
biến mới ξ và viết đồng nhất thức Green theo biến mới
b

∫ [v(ξ ) Lξ (u) − u(ξ ) Lξ (v)]dξ = [P(u(ξ ), v(ξ ))] , (2.1.11)
*

b
a

a

Trong phương trình (2.1.11), biến ξ được dùng như một biến giả của phép lấy

tích phân và vì thế các tốn tử Lξ và L*ξ là toán tử đạo hàm đối với ξ .
Để giải phương trình (2.1.9) với điều kiện (2.1.10), đặt u( ξ ) = y( ξ ) là nghiệm
của phương trình (2.1.9) với x thay bằng ξ và u thay bằng y trong đồng nhất thức
Green. Như vậy, đồng nhất thức Green (2.1.11) thay Lξ ( y ) = f (ξ ) ta có
b

b

a

a

b
*
∫ v(ξ ) f (ξ )dξ −∫ y(ξ ) Lξ (v)dξ = [ P( y(ξ ), v(ξ ))]a (2.1.12)

Trong đó:

[P( y, v)]ba

= [a 0 (b) y / (b) + a1 (b) y (b)]v(b) − [a 0 (b)v / (b) + a 0/ (b)v(b)] y (b) −

− [a 0 (a ) y / (a ) + a1 (a ) y (a )]v(a ) − [a 0 (a )v / (a ) + a 0/ (a )v(a )] y (a )
(2.1.13)
Chọn v( ξ ) = G*( ξ ;x) là hàm Green thỏa mãn điều kiện

L*ξ (G * (ξ ; x)) = δ ( x − ξ ), a ≤ ξ ≤ b, (2.1.14)
Nó là phương trình liên hợp với đạo hàm trong L*ξ (đạo hàm theo biến ξ ),

δ ( x − ξ ) là hàm Delta Dirac có tính chất

- 18-


ξ = x +ε

∫ y(ξ )δ (ξ − x)dξ = y( x)

(2.1.15)

ξ = x −ε

Thay v( ξ )=G*( ξ ;x) vào đồng nhất thức Green (2.1.12),rút gọn thành
b

∫G

*

(ξ ; x) f (ξ )d (ξ ) − y ( x) = P( y (b), G * (b; x)) − P( y (a),G * (a; x)) (2.1.16)

a

Nghiệm y(x) trong bài toán (2.1.9) có thể thu được bằng kết quả của tích phân
(2.1.16) . Chúng ta sẽ nghiên cứu kỹ hơn tích phân (2.1.16). Hàm f( ξ ) đã cho từ
phương trình (2.1.9), hàm G*( ξ ;x) thu được từ việc giải phương trình (2.1.14) có dạng
L*ξ (G * (ξ ; x )) = δ ( x − ξ ). Theo điều kiện (2.1.10) ta có

P[ y (ξ ), G * (ξ ; x)]ba = [a 0 (b) y / (b)]G * (b; x) − [a 0 (a ) y / (a )]G * (a; x)
B1* [G * ] = G * (ξ ; x)

ξ =b

= 0, B2* [G * ] = G * (ξ ; x)

ξ =a

=0

(2.1.17)

Điều kiện biên này được gọi là điều kiện biên liên hợp. Từ đó ta có nghiệm của
(2.1.16) là
b

y ( x) = ∫ G * (ξ ; x) f (ξ )dξ

(2.1.18)

a

Trong đó G*( ξ ;x) là hàm Green thỏa mãn phương trình

L*ξ (G * (ξ ; x)) = δ ( x − ξ ), a ≤ ξ ≤ b , với các điều kiện biên
B1* [G * ] = G * (a; x) = 0, B2* [G * ] = G * (b; x ) = 0 (2.1.19)
Như vậy, để tìm nghiệm của phương trình (2.1.9), ta đi tìm hàm Green G*( ξ ;x) .
Đó chính là phương pháp tìm nghiệm mới, được gọi là phương pháp hàm Green.
Nhằm mục đích xây dựng phương pháp hàm Green ta đưa ra 2 hàm Green G và
hàm Green liên kết G* thỏa mãn các toán tử Lx và L*x cho bởi phươnng trình (2.1.20) và
(2.1.21) sau:

Lx G ( x; ξ ) = δ ( x − ξ ), a ≤ x ≤ b

(2.1.20)

L*x G * ( x; ξ ) = δ ( x − ξ ), a ≤ x ≤ b

(2.1.21)

Với các điều kiện biên

B1* [G * ] = G * (a; x) = 0, B2* [G * ] = G * (b; x) = 0
Trong các phương trình trên, các vi phân lấy theo biến x các tốn tử
( Lx, B1, B2) có dạng liên hợp của nó là ( L*x , B1* , B2* ), điều kiện biên liên hợp được
*

chọn là P (G , G )

b
a

= 0 . Hàm Green cho bởi phương trình (2.1.20) và (2.1.21) thỏa

mãn quan hệ đối xứng
G*(x; ξ ) = G( ξ ;x)

(2.1.22)

- 19-

Để chứng minh tính đối xứng trên, nhân phương trình (2.1.20) với G*(x;t) và sau
đó thay biến ξ trong phương trình (2.1.21) bằng biến t, rồi nhân phương trình (2.1.21)
với G*(x; ξ ) ta thu được:

G ( x; t ) Lx G ( x; ξ ) = δ ( x − ξ )
G ( x; ξ ) L*x G * ( x; t ) = δ ( x − t )

(2.1.23)

Trừ hai phương trình trên và sau đó tích phân từ a đến b ta thu được đồng nhất
thức Green
*

P[G, G ]

b
a

b

= ∫ [G * ( x; t ) L x (G ( x; ξ )) − G * ( x; ξ ) L*x (G * ( x; t ))] =
a

b

= ∫ [G * ( x; t )δ ( x − ξ ) − G ( x; ξ )δ ( x − t )] =G * (ξ ; t ) − G * (t ; ξ ) = 0 (2.1.24)
a

Từ đó suy ra (2.1.22), và gọi là tính chất đối xứng của hàm Green. Như vậy

nghiệm của bài toán Dirichlet (2.1.18) có dạng
b

b

y ( x) = ∫ G (ξ ; x) f (ξ )dξ = ∫ G ( x; ξ ) f ( x)dx (2.1.25)
*

a

a

2.2. Xây dựng phương pháp hàm Green

Xét phương trình truyền nhiệt tổng qt có nguồn nhiệt, điều kiện biên thuần nhất:
2
⎧ ∂u
2 ∂ u
+ Q( x , t )
⎪ =a
∂x 2
⎪⎪ ∂t
⎨u(0, t ) = 0, u(l, t ) = 0
⎪u( x , 0) = ϕ ( x )
⎪
⎪⎩

0< x(2.1)

Bước 1: Áp dụng phương pháp tách biến Fourier và phương pháp mở rộng hàm
riêng ta chọn nghiệm có dạng
∞

u ( x, t ) = ∑ u n (t ) sin
n =1
∞

Q ( x, t ) = ∑ q n (t ) sin
n =1

nπx
l
nπx
l

Bước 2: Thay vào phương trình (2.1), tìm nghiệm:
2

du n (t ) ⎛ nπa ⎞
+⎜
⎟ u n (t ) = q n (t ) .
Phương trình truyền nhiệt
dt
⎝ l ⎠
Nghiệm có dạng :

- 20-

2

un (t ) = un (0)e

⎛ nπa ⎞
−⎜
⎟ t
⎝ l ⎠

2

+e

2

⎛ nπa ⎞ t
−⎜
⎟ t
⎝ l ⎠

∫ q (τ )e
n

⎛ nπa ⎞
⎜
⎟ t
⎝ l ⎠

dτ

0

Dựa vào điều kiện ban đầu tìm hàm un(0)
∞

ϕ ( x) = ∑ u n (0) sin
n =1

nπx
l

2
nπξ
ϕ (ξ ) sin
dξ
∫
l 0
l
l

⇒ u n ( 0) =
∞

Q ( x, t ) = ∑ q n (t ) sin
n =1

nπx
l

2

nπξ
dξ
Q(ξ ,τ ) sin
∫
l
l 0
l

⇒ q n (t ) =

Cuối cùng ta thu được
nπa
⎡⎛ 2 l
⎞ −⎛⎜⎝ l ⎞⎟⎠
nπξ
u ( x, t ) = ∑ ⎢⎜⎜ ∫ ϕ (ξ ) sin
dξ ⎟⎟e
l
1 ⎢⎝ l 0
⎠
⎣
∞

2

+e

2

t

⎛ nπa ⎞ t
−⎜
⎟ t
⎝ l ⎠

⎛2 l
⎞ ⎛⎜⎝
nπξ
∫0 ⎜⎜⎝ l ∫0 Q(ξ ,τ ) sin l dξ ⎟⎟⎠e

2

nπa ⎞
⎟ t
l ⎠

⎤
nπx
dτ ⎥ sin
l
⎥
⎦

Đổi thứ tự giữa tổng và tích phân ta thu được
⎛ nπa ⎞
⎛ ∞ 2
n πξ
n π x −⎜⎝ l ⎟⎠
⎜

u ( x , t ) = ∫ ϕ (ξ ) ∑ sin
sin
e
⎜ n =1 l
l
l
0
⎝
l

⎛ nπa ⎞
⎛ ∞ 2
n πξ
n π x −⎜⎝ l ⎟⎠
⎜
sin
e
+ ∫ ∫ Q (ξ , τ ) ∑ sin
⎜ n =1 l
l
l
0 0
⎝
l t

2

t

2

(t − τ )

⎞
⎟dξ +
⎟
⎠
⎞
⎟ d τd ξ
⎟
⎠

Bước 3: Đưa ra hàm Green
2

⎛ nπa ⎞
⎟ (t −τ )
l ⎠

2
nπξ
nπx −⎜⎝
G ( x, t ; ξ ,τ ) = ∑ sin
sin
e
l
l
n =1 l
∞

Như vậy để tìm nghiệm của phương trình ta đi tìm hàm Green. Đó chính là
phương pháp tìm nghiệm mới được gọi là phương pháp hàm Green.
2.3 Hàm riêng, trị riêng cho hàm Green

Xét phương trình vi phân khơng thuần nhất Sturm_ Liouville tổng quát:
L(u) = f(x)

- 21-