VDC CHỦ đề 3 ỨNG DỤNG của TÍCH PHÂN

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
LỚP 12 HK2

CHỦ ĐỀ 3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

1. Cơ sở lý thuyết
Định lí 1. Diện tích hình phẳng

 y = f1 ( x )

 y = f2 ( x )
Hình phẳng giới hạn bởi các đường 
( trong đó f1 ( x ) , f 2 ( x ) liên tục trên đoạn  a; b  ),
 x=a
 x = b
b

thì diện tích S được tính theo cơng thức S =  f1 ( x ) − f 2 ( x ) dx .
a

Định lí 2. Thể tích khối trịn xoay

 y = f ( x)

 y = Ox
Quay quanh trục Ox: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 
(trong đó f ( x ) liên tục
x = a
x = b


trên đoạn  a; b  ) quay quanh trục Ox , ta được khối trịn xoay. Thể tích V x của khối trịn xoay được
b

tính theo cơng thức Vx =   f 2 ( x ) dx .
a

x = f ( y)

 x = Oy
Quay quanh trục Oy: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 
(trong đó f ( y ) liên tục
y = a
y = b


trên đoạn  a; b  ) quay quanh trục Oy , ta được khối trịn xoay. Thể tích V y của khối trịn xoay được
b

tính theo cơng thức Vy =   f 2 ( y ) dx .
a

Ngồi ra, ta có thể dùng tích phân để giải những bài tốn thực tế khác.

2. Các dạng tốn
Dạng 1. Tính diện tích hình phẳng
Vấn đề 1.
Đề bài cho hai đường y = f1 ( x ) , y = f 2 ( x ) (có
thể có thêm x = a, x = b ).

Phương pháp giải:

- Bước 1: giải phương trình hồnh độ giao
điểm f1 ( x ) = f 2 ( x ) tìm ra nghiệm lớn nhất và
nhỏ nhất x = a, x = b . Nếu đề bài cho sẵn

1


TOP 1 MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT
x = a, x = b thì khơng cần giải phương trình

hồnh độ giao điểm nữa.
- Bước 2: áp dụng cơng thức tính diện tích hình
phẳng.
Ví dụ 1. (THPT Quốc Gia 2018) Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2 x ,
y = 0 , x = 0 x = 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2

2

A. S =  2 x dx .
0

2

2

B. S =   22 x dx .

D. S =   2 x dx .

C. S =  22 x dx .

0

0

0
2

2

0

0

Hướng dẫn giải. Áp dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng ta có S =  2 x dx =  2 x dx (do
2 x  0, x   0;2 ). Chọn A.

Ví dụ 2. (THPT Quốc Gia 2019) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên

. Gọi S là diện tích hình phẳng

giới hạn bởi các đường y = f ( x ) , y = 0 , x = −1 và x = 4 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
y

4
-1

1

O

4

A. S = −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx .
−1

C. S =

x

1

B. S =

4

−1

1

4

−1

1

1

1

 f ( x ) dx −  f ( x ) dx .
1
1

 f ( x ) dx +  f ( x ) dx .

−1

Hướng dẫn giải. Ta có diện tích hình phẳng cần tìm S =
1

4

−1

1

=

1
4

1

4

−1

−1

1

 f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx

 f ( x ) dx −  f ( x ) dx . Chọn B.

Ví dụ 3. Hình phẳng ( H ) giới hạn bởi parabol y =
Diện tích của hình phẳng ( H ) bằng
A.

4

D. S = −  f ( x ) dx −  f ( x ) dx .

(

2 4 + 3

).

3
Phân tích. Các bước giải:

B.

4 + 3
.
6

Bước 1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm
nhất a, b .

2

x2
x2
và đường cong có phương trình y = 4 −
.
12
4

C.

4−

4 3 +
.
6

D.

4 + 3
.
3

x2 x2
tìm ra hai nghiệm lớn nhất và nhỏ
=

4 12


NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
LỚP 12 HK2

b

Bước 2: diện tích cần tính là

x2

 12 −

4−

a

x2
dx .
4
4−

Hướng dẫn giải. Phương trình hồnh độ giao điểm là
2 3

Diện tích hình phẳng ( H ) là S =



4−

−2 3

kết quả 9.53.. 

(

2 4 + 3
3

x2
x4
x2 x2
 x = 2 3 .
 4−
=
=
4 144
4 12

x2 x2
−
dx . Ta chỉ cần bấm máy tính tích phân này đươc
4 12

) . Chọn A.
y

O

x

Ví dụ 4. Cho hình thang cong ( H ) giới hạn bởi các đường
y = e x , y = 0 , x = 0 , x = ln8 . Đường thẳng x = k

y

( 0  k  ln 8)

chia ( H ) thành hai phần có diện tích là S1 và S 2 . Tìm k để
S1 = S 2 .

9
.
2

B. k = ln 4 .

2
ln 4 .
3

D. k = ln5 .

A. k = ln
C. k =

1

Hướng dẫn giải. Ta có S1 + S2 =

 e dx = ( e ) 0

ln 8

x

x

ln 8

=7;

0

S1 =  e x dx = ( e x ) = e k − 1 .
k

0

k

0

O

7
7
9

 ek − 1 =  k = ln .Chọn B.
2
2
2
Ví dụ 6. Cho hàm số f liên tục trên đoạn

k

x

ln(8)

Mà S1 = S2  S1 =

y

 −6;5 , có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa

3

đường trịn như hình vẽ. Tính giá trị
5

I =   f ( x ) + 2 dx .
−6

A. I = 2 + 35 .
C. I = 2 + 33 .

B. I = 2 + 34 .

D. I = 2 + 32 .

-6
-4

5

O

x

-1

3


TOP 1 MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT
1
khi − 6  x  −2
2 x + 2


Hướng dẫn giải. Ta có f ( x ) = 1 + 4 − x 2 khi − 2  x  2 .
2
1
 x−
khi 2  x  5
3
 3
5

I =   f ( x ) + 2 dx =
−6

5

5

−6

−6

 f ( x ) dx + 2  dx

−2

(

)

−2
2
5
1
1

2
=   x + 2  dx +  1 + 4 − x 2 dx +   x −  dx + 22
3


−6  2
−2
2 3

(

5

)

2
x
1

1
=  x 2 + 2 x  + J +  x 2 −  + 22 = J + 28 . Tính J =  1 + 4 − x 2 dx . Đặt x = 2sin t
32
4
 −6
3
−2

 dx = 2cos tdt . Đổi cận: Khi x = −2 thì t = −

 (1 +
2

J=

−2

)




2

; khi x = 2 thì t =


2

. Khi đó:



2

2

4 − x dx = 4 + 4  cos tdt = 4 + 2  (1 + cos 2t ) dt = 4 + 2 . Vậy I = 32 + 2 . Chọn D.
2

2

−



2

−



2

Vấn đề 2. Đề bài cho ba đường y = f1 ( x ) ,
y = f 2 ( x ) , y = f3 ( x ) .

Phương pháp giải:
- Bước 1: giải 3 phương trình hồnh độ giao
điểm f1 ( x ) = f 2 ( x ) , f1 ( x ) = f 3 ( x ) ,
f 2 ( x ) = f 3 ( x ) mỗi phương trình tìm ra

nghiệm lớn nhất và nhỏ nhất x = a, x = b .
Bước 2: vẽ hình và sẻ hình ra để áp dụng cơng
thức tính diện tích hình phẳng.
1
4
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 , y = − x + và trục hồnh.
3
3
343
11
39
61
A.
.

B.
.
C.
.
D.
.
162
6
3
2
Phân tích. Bài tốn này cho tới ba đường y là
y
1
4
2
y = x , y = − x + và y = 0 nên bắt buộc phải vẽ
3
3
hình mới tính được. Các cơng thức ở trên chỉ dùng
để tính hai đường y .
Hướng dẫn giải. Phương trình hồnh độ giao điểm
1
4
1
4
4
O
1
của các đường y = x 2 , y = − x + là x 2 = − x +
3

3
3
3
2
x = 1
 3x 2 + x − 4 = 0  
. Hoành độ giao điểm
x = − 4

3
1
4
của đường thẳng y = − x + với trục hoành là x = 4 .
3
3

4

x


NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
LỚP 12 HK2
Hồnh độ giao điểm của parabol y = x 2 với trục hoành là x = 0 . Ta sẽ chia hình ra làm hai phần
1
4
4
 1
như hình vẽ để áp dụng cơng thức diện tích hình phẳng: S =  x 2 d x +   − x +  d x
3

0
1 3

1

4

11
x3
4 
 1
+  − x 2 + x  = . Chọn A.
6
3 0  6
3 1

=

Ví dụ 2. Cho parabol ( P ) : y = x 2 + 4 và hai tiếp tuyến của ( P ) tại

y

các điểm M ( −1;5 ) và N ( 2;8 ) . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

( P)

và hai tiếp tuyến đó bằng

13
9

.
B.
.
4
4
21
7
C. .
D.
.
4
4
Hướng dẫn giải. Phương trình tiếp tuyến tại M ( −1;5 ) là

A.

d1 : y = −2 x + 3 . Phương trình tiếp tuyến tại N ( 2;8 ) là d 2 : y = 4 x .

Phương trình hồnh độ giao điểm của d1 và d 2 : −2x + 3 = 4x
1
2
2
1
9
 x = . Vậy S =  x 2 + 4 + 2 x − 3 dx +  x 2 + 4 − 4 x dx = .
2
4
1
−1
2

O

x

Chọn A.

Dạng 2. Tính thể tích khối trịn xoay
Vấn đề 1. Đề bài cho hai đường y cụ thể là
y = f1 ( x ) ,

y = f2 ( x )

( có thể có thêm

x = a, x = b ).

Phương pháp giải:
- Bước 1: giải phương trình hồnh độ giao
điểm f1 ( x ) = f 2 ( x ) tìm ra nghiệm lớn nhất và
nhỏ nhất x = a, x = b nếu đề bài không cho.
- Bước 2: áp dụng cơng thức tính diện tích hình
phẳng.

Ví dụ 1. Kí hiệu ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2( x − 1)e x , trục tung và trục hồnh.
Tính thể tích V của khối trịn xoay thu được khi quay hình ( H ) xung quanh trục Ox
B. V = ( 4 − 2e )  .

A. V = 4 − 2e .

C. V = e 2 − 5 .

D. V = ( e 2 − 5 )  .

Hướng dẫn giải. Phương trình hồnh độ giao điểm 2 ( x − 1) e x = 0  x = 1 . Thể tích của khối trịn
xoay thu được khi quay hình ( H ) xung quanh trục Ox là:
V =    2 ( x − 1) e x  dx = 4  ( x − 1) e 2 x dx =  ( e 2 − 5) ( bấm máy tính ra gần đúng rồi so với 4 đáp án
1

2

0

1

2

0

đề bài cho ). Chọn D.
Ví dụ 2. (THPT Quốc Gia 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = 2 + sin x , trục
hoành và các đường thẳng x = 0 , x =  . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quay quanh trục
hồnh có thể tích V bằng bao nhiêu?

5


TOP 1 MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT
B. V = 2 ( + 1) .

A. V = 2 2 .

Hướng dẫn giải. Ta có phương trình


V =

(

)

C. V = 2 .

D. V = 2 ( + 1) .

2 + sin x = 0 vô nghiệm nên:





2 + sin x dx =   ( 2 + sin x ) dx =  ( 2 x − cos x ) 0 = 2 ( + 1) . Chọn B.
2

0

0

Ví dụ 3. Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = x 2 + 3 , y = 0 , x = 0 , x = 2 . Gọi V là thể
tích của khối trịn xoay được tạo thành khi quay ( H ) xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào dưới đây

đúng?
B. V =   ( x 2 + 3) dx .

A. V =   ( x 2 + 3) dx .
2

2

2

0

0

C. V =  ( x + 3) dx .
2

D. V =  ( x 2 + 3) dx .
2

2

2

0

0

Hướng dẫn giải. Thể tích của khối trịn xoay được tạo thành khi quay ( H ) xung quanh trục Ox là:
V =   ( x 2 + 3) dx . Chọn C.

2

2

0

Ví dụ 4. ( Tham khảo THPT Quốc Gia 2017) Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt
phẳng x = 1 và x = 3 , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có
hồnh độ x ( 1  x  3 ) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và 3 x 2 − 2 .
124
124
A. V = 32 + 2 15 .
B. V =
.
C. V =
D. V = (32 + 2 15) .
3
3
Hướng dẫn giải. Diện tích thiết diện là: S ( x) = 3 x. 3 x 2 − 2 suy ra thể tích vật thể là:
3

V =  3x. 3x 2 − 2dx =
1

124
.
3

Công thức: Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = a, x = b khi cắt vật thể
bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x   a; b  và diện tích thiết diện

b

là S ( x ) là V =  S ( x ) dx .
a

Vấn đề 2. Đề bài cho ba đường y cụ thể là
y = f1 ( x ) , y = f 2 ( x ) , y = f 3 ( x ) .

Phương pháp giải:
- Bước 1: giải 3 phương trình hồnh độ giao
điểm f1 ( x ) = f 2 ( x ) , f1 ( x ) = f 3 ( x ) ,
f 2 ( x ) = f 3 ( x ) mỗi phương trình tìm ra

nghiệm lớn nhất và nhỏ nhất x = a, x = b .
Bước 2: vẽ hình và sẻ hình ra để áp dụng cơng
thức tính diện tích hình phẳng.
Ví dụ 1. Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x + y − 2 = 0 ; y = x ; y = 0
quay quanh trục Ox bằng
6
5
A. .
B.
.
5
6

C.

2
.

3

Hướng dẫn giải. Hình phẳng đã cho được chia làm 2 phần sau:
6

D.

5
.
6


NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
LỚP 12 HK2

y

O

x

1

Phần 1 : Hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x ; y = 0 ; x = 0 ; x = 1 .
1

Khi quay trục Ox phần 1 ta được khối trịn xoay có thể tích V1 =   x dx =  .
0

x2

2

1
0

=


2

.

Phần 2 : Hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2 − x ; y = 0 ; x = 1 ; x = 2 .
Khi quay trục Ox phần 2 ta được khối tròn xoay có thể tích
2

V2 =   ( 2 − x ) dx =  .
2

1

( x − 2)
3

3

2

=


3

1

. Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính là V = V1 + V2 =

5
. Chọn D.
6

Ví dụ 2. Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo bởi phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn
bởi các đường y = 0 , y = x , y = x − 2 .
16
8
A.
.
B.
.
3
3

C. 10

D. 8 .

.
y

0 = x  x = 0


Hướng dẫn giải. Ta có: 0 = x − 2  x = 2

 x = x−2 x=4

Dựa vào hồnh độ giao điểm của ba đường ta có diện
tích hình phẳng gồm hai phần. Phần thứ nhất giới hạn
bởi y = x , y = 0 và x = 0; x = 2 . Phần thứ hai giới

O

4

2

x

hạn bởi y = x , y = x − 2 và x = 2; x = 4 . Thể tích vật
thể bằng:
2

V =

( x ) dx +   ( x − 2)
4

2

0

2

2

2

4

0

2

(

− x dx =   xdx +   x − ( x − 2 )
2

2

)

4

2
 x 2 ( x − 2 )3 
x2
16
 =
+  −
.

dx = 


2 0
3 
3
 2
2

Chọn B.
Ví dụ 3. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số y = x , cung trịn có phương trình
y = 6 − x2

(−

6x 6

)

y

và trục hồnh (phần

tơ đậm trong hình vẽ bên). Tính thể tích V của vật
thể trịn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng D
quanh trục Ox .
22
A. V = 8 6 − 2 .
B. V = 8 6 +

.
3
22
22
C. V = 8 6 −
.
D. V = 4 6 +
.
3
3

- 6

O

x

6

7


TOP 1 MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT
Hướng dẫn giải.
Cách 1. Cung tròn khi quay quanh Ox tạo thành một khối cầu có thể tích
3
4
V =  6 = 8 6 . Thể tích nửa khối cầu là V1 = 4 6 . Xét phương trình: x = 6 − x 2
3


x  0
 2
 x = 2 . Thể tích khối trịn xoay có được khi quay hình phẳng ( H ) giới hạn bởi

x + x − 6 = 0

( )

đồ thị các hàm số y = x , cung trịn có phương trình y = 6 − x 2 , và hai đường thẳng x = 0, x = 2
22
. Vậy thể tích vật thể trịn xoay cần tìm là
3

quanh Ox là V2 =   ( 6 − x 2 − x ) dx =
2

0

22
. Chọn D.
3
Cách 2. Cung tròn khi quay quanh Ox tạo thành một khối cầu có thể tích
3

4
x  0
V1 =  6 = 8 6 . Xét phương trình: x = 6 − x 2   2
 x=2.
3


x + x − 6 = 0
V = V1 + V2 = 4 6 +

( )

Thể tích khối trịn xoay có được khi quay hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x ,
cung

trịn

có

phương

y = 6 − x2

trình

và

đường

y=0

thẳng

quanh

Ox

là

12 6 − 28
22
 = 4 6 −
. Vậy thể tích vật thể trịn xoay cần tìm là
V2 =   xdx +   ( 6 − x 2 ) dx = 2 +
3
3
0
2
2

6

22
22 

. Chọn D.
V = V1 − V2 = 8 6 −  4 6 −
 = 4 6 +
3
3 


Ví dụ 4. Thể tích V của khối trịn xoay được sinh
ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn

( C ) : x 2 + ( y − 3)

2

y

= 1 xung quanh trục hoành là

A. V = 6 .
B. V = 6 3 .
C. V = 3 2 .
D. V = 6 2 .

3

Hướng dẫn giải. ( C ) : x 2 + ( y − 3) = 1
2

 ( y − 3) = 1 − x 2  y = 3  1 − x 2 .
2

( y − 3)

2

O

= 1 − x 2  0  −1  x  1 . Thể tích của khối

trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới
hạn bởi đường trịn ( C ) : x 2 + ( y − 3) = 1 xung
2

quanh trục hoành là
1

(

V =   3 + 1 − x2
−1

8

) dx −   (3 −
2

1

−1

1 − x2

) dx = 6
2

2

. Chọn D.

x

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
LỚP 12 HK2

Dạng 3. Ứng dụng tích phân để xử lí các bài tốn hàm số
Vấn đề. Cho đồ thị của y = f ( x ) hoặc

Phương pháp giải:
- Bước 1: tính x1 , x2 ,..., xn g ' ( x ) .

y = f  ( x ) . Hỏi các tính chất của hàm g ( x )

- Bước 2: giải g ' ( x ) = 0 tìm ra các nghiệm

liên quan đến hàm y = f ( x ) .

x1 , x2 ,..., xn .
- Bước 3: sử dụng tích phân để so sánh các giá
trị g ( x1 ) , g ( x1 ) ,..., g ( xn ) sau đó kết luận theo
u cầu đề bài.
y

Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R có đồ thị
y = f  ( x ) cho như hình bên. Đặt g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1) .
2

4

Mệnh đề nào dưới đây đúng.
A. min g ( x ) = g (1) .
 −3;3

2

B. max g ( x ) = g (1) .
 −3;3

C. max g ( x ) = g ( 3) .

-3

 −3;3

O

D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của g ( x ) trên đoạn  −3;3 .
Hướng dẫn giải. Ta có g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1)

1

3

x

1

3

x

2

-2
y

 g  ( x ) = 2 f  ( x ) − ( 2 x + 2 ) = 0  f  ( x ) = x + 1 . Quan sát trên

đồ thị ta có hồnh độ giao điểm của f  ( x ) và y = x + 1 trên

4

khoảng ( −3;3) là x = 1 . Vậy ta so sánh các giá trị g ( −3) ,
g (1) , g ( 3) . Xét

1

1

−3

−3

 g  ( x )dx = 2   f  ( x ) − ( x + 1)dx  0

2

 g (1) − g ( −3)  0  g (1)  g ( −3) .

Tương tự xét

3

3

1

1

 g  ( x )dx = 2  f  ( x ) − ( x + 1)dx  0

-3
O

 g ( 3) − g (1)  0  g ( 3)  g (1) .

Xét

3

1

3

−3

−3

1

 g  ( x )dx = 2   f  ( x ) − ( x + 1)dx + 2  f  ( x ) − ( x + 1)dx  0

-2

 g ( 3) − g ( −3)  0  g ( 3)  g ( −3) . Do đó ta có
y

g (1)  g ( 3)  g ( −3) . Vậy max g ( x ) = g (1) . Chọn B.

3

 −3;3

Ví dụ 2. (THPT Quốc Gia 2017) Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị
y = f ( x ) của hàm số như hình bên dưới . Đặt g ( x ) = 2 f ( x ) + x 2 .
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. g (1)  g ( 3)  g ( −3) .

1

3
x

O

-3
-1

B. g (1)  g ( −3)  g ( 3) .
C. g ( −3)  g ( 3)  g ( −1) .

-3

9


TOP 1 MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT
D. g ( 3)  g ( −3)  g (1) .
Hướng dẫn giải. Ta có g  ( x ) = 2 f  ( x ) + 2 x  g  ( x ) = 0  x  −3;1;3 .
Từ đồ thị của y = f  ( x ) ta có bảng biến thiên của hàm g ( x ) .
−

x
g( x )

−3

+

1

−

0

+

0

g ( − 3)

g ( x)

+

3

−

0

g ( 3)
g (1)

−

−

−3 ( − g  ( x ) ) dx  1 g  ( x ) dx  1 g  ( x ) dx  1 g  ( x ) dx
 g ( −3) − g (1)  g ( 3) − g (1)  g ( −3)  g ( 3) . Vậy ta có g ( −3)  g ( 3)  g (1) . Chọn A.
y
Ví dụ 3. Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f  ( x )
2
như hình bên. Đặt g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1) . Mệnh đề nào dưới
4
Suy ra g ( 3)  g (1) . Kết hợp với BBT ta có:

1

−3

3

3

đây đúng ?
A. g ( 3)  g ( −3)  g (1) .
B. g ( −3)  g ( 3)  g (1) .

2

C. g (1)  g ( −3)  g ( 3) .
D. g (1)  g ( 3)  g ( −3) .

-3

x = 1
.
g( x ) = 0  f ( x ) = x + 1  
 x = 3
Bảng biến thiên
−3
x
−
g( x )
0
−

g ( x)

1

O

Hướng dẫn giải. Ta có g  ( x ) = 2 f  ( x ) − 2 ( x + 1) ,

3

x

3

x

-2

+

−1
0

+

3

−

0

+

g (1)

+

+

g ( −3 )

g ( 3)

Suy ra g ( −3)  g (1) và g ( 3)  g (1) .
y

Dựa vào hình vẽ, ta thấy diện tích của phần S1 lớn hơn phần
S 2 , nghĩa là
1

4

3

  f  ( x ) − ( x + 1) dx   ( x + 1) − f  ( x ) dx  0 ,

−3

1

1

3

−3

1

hay

  f  ( x ) − ( x + 1) dx +   f  ( x ) − ( x + 1) dx  0 ,

2

3

suy ra

  f  ( x ) − ( x + 1) dx  0 .

-3

−3

Từ đó:

O

g ( 3) − g ( −3) =

3

3

−3

−3

 g  ( x ) dx = 2   f  ( x ) − ( x + 1) dx  0 .

Vậy g (1)  g ( 3)  g ( −3) . Chọn D.
10

1

-2


NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
LỚP 12 HK2

Dạng 4. Một số bài tốn thực tế
Vấn đề 1. Ứng dụng tích phân tích diện tích,
thể tích các vật thể thực tế.

Phương pháp giải:
- Bước 1: dựng một hệ trục gắn vào vật thể để
dễ tính tốn.
- Bước 2: tính tọa độ các điểm đặc biệt, viết
phương trình hàm số biểu diễn các đường.
- Bước 3: áp dụng cơng thức tính diện tích, thể
tích để giải quyết bài tốn.

Ví dụ 1. Ơng An có một mảnh vườn hình elip có độ
dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m.

Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và
8m
nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình
vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/ 1m 2 .
Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên
dải đất đó ? (Số tiền được làm trịn đến hàng nghìn)
A. 7.862.000 đồng.
B. 7.653.000 đồng.
C. 7.128.000 đồng.
D. 7.826.000 đồng.
Hướng dẫn giải. Chọn hệ trục Oxy có gốc tọa độ tại tâm của Elip khi đó Elip này có phương trình

x2
 y = 5 1−
2
2
4
x2
x
y
64
. Diện tích cần tính S = 2  5 1 − dx  76.529 .
+
=1 

2
64
64 25
−4
 y = −5 1 − x


64
Do đó số tiền cần là 76.529*100  7.653 triệu đồng. Chọn B.
Ví dụ 2. Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn 28cm , trục nhỏ 25cm .
Biết cứ 1000cm 3 dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20000 đồng. Hỏi từ quả dưa hấu trên có thể thu
được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết rằng bề dày vỏ dưa không đáng kể.
A. 183000 đồng.
B. 180000 đồng.
C. 185000 đồng.
D. 190000 đồng.
Hướng dẫn giải. Đường elip có trục lớn 28cm , trục nhỏ 25cm có phương trình
x2
y2
 25 
+
= 1  y2 =  
2
2
14
 2 
 25 
 
2
 
2

2


x2 

25
x2
.1 − 2   y = 
1 − 2 . Do đó thể tích quả dưa là
2
14
 14 

2 14
2
 25

x2 
x2 
x3 
 25 
 25  
V =  
1 − 2  dx =    .  1 − 2  dx =    . x −


14 
3.142  −14
 2  −14  14 
 2  
−14  2
14

14

8750 .20000
 25  56 8750
 183259 đồng. Chọn A.
=  . =
cm3 . Do đó tiền bán nước thu được là
3.1000
2
3
3
 
4
Chú ý: diện tích elip là S elip =  ab , thể tích elip khi quay quanh trục lớn là V =  a.b 2 , thể
3
4 2
tích elip khi quay quanh trục bé là V =  a .b .
3
2

11


TOP 1 MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT
Vấn đề 2. Ứng dụng tích phân giải bài tốn
liên quan đến chuyển động.

Phương pháp giải: cần biết các công thức
- Quãng đường vật di chuyển từ thời điểm
t = a đến t = b với vận tốc v ( t ) là
b

s =  v ( t ) dt .
a

- Nguyên hàm của gia tốc chính là vận tốc.
Ví dụ 1. Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt
đầu phóng nhanh với vận tốc tăng liên tục được
biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol có hình
bên. Biết rằng sau 10s thì xe đạt đến vận tốc cao
nhất 50 m/s và bắt đầu giảm tốc. Hỏi từ lúc bắt đầu

v(m)
50

đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì xe đã đi được quãng
đường bao nhiêu mét?
1000
1100
m.
m.
A.
B.
3
3
10
O
t(s)
1400
m.
C.
D. 300 m .

3
Hướng dẫn giải. Quãng đường xe đi được chính bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và
trục Ox . Gọi ( P ) : y = ax 2 + bx + c . Do ( P ) qua gốc tọa độ nên c = 0 .
 −b
b = 10
10
 2a = 10
b = −20a
1000

 1 2


Đỉnh ( P ) là I (10;50 ) nên 
.
 2
1 . Ta có   − x + 10 x  dx =

a
=
−
3
2
b
=
−
200
a




0


−
= 50
2

 4a
1000
m . Chọn A.
Vậy quãng đường xe đi được bằng
3
Ví dụ 2. Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là
a ( t ) = t 2 + 3t . Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 6 giây kể từ khi vật bắt đầu

tăng tốc.
A. 136m .

B. 126m .

C. 276m .

D. 216m .
t 3 3t 2
+C .
Hướng dẫn giải. Ta có v ( 0 ) = 10 m/s và v ( t ) =  a ( t ) dt =  ( t + 3t ) dt = +
3
2
6

t 3 3t 2
+ 10 . Vậy quãng đường vật đi được là S =  v ( t ) dt
Mà v ( 0 ) = 10  C = 10  v ( t ) = +
3
2
0
2

6

6
1
3
1

1

=   t 3 + t 2 + 10  dt =  t 4 + t 3 + 10t  = 276 m . Chọn C.
12
2
3
2

0


0

Ví dụ 3. Một ơ tơ bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v1 ( t ) = 7t ( m/ s ) . Đi được 5s ,
người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với

gia tốc a = −70

( m/ s ) . Tính qng đường
2

S đi được của ơ tơ từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến

khi dừng hẳn.
A. S = 96, 25 ( m ) .

B. S = 87,5 ( m ) .

C. S = 94 ( m ) .

D. S = 95,7 ( m ) .

12


NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
LỚP 12 HK2

Hướng dẫn giải. Chọn gốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu đi. Sau 5s ô tô đạt vận tốc là
v ( 5 ) = 35 ( m/s ) . Sau khi phanh vận tốc ô tô là v ( t ) = 35 − 70 ( t − 5 ) . Ô tô dừng tại thời điểm t = 5,5s .
5

5,5

0

5

Quãng đường ô tô đi được là S =  7tdt +

 35 − 70 ( t − 5) dt = 96,25 ( m ) . Chọn A.

Ví dụ 4. Để đảm bảo an tồn khi lưu thơng trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau
tối thiểu 1m . Một ô tô A đang chạy với vận tốc 16 m/s bỗng gặp ô tô B đang dừng đèn đỏ nên ô tô

A hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi công thức v A ( t ) = 16 − 4t
(đơn vị tính bằng m/s ), thời gian tính bằng giây. Hỏi rằng để có 2 ơ tơ A và B đạt khoảng cách an
tồn khi dừng lại thì ơ tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng ít nhất là bao nhiêu ?
A. 33 .
B. 12 .
C. 31 .
D. 32 .
Hướng dẫn giải. Ta có: v A ( 0 ) = 16 m/s . Khi xe A dừng hẳn: v A ( t ) = 0  t = 4s .
4

Quãng đường từ lúc xe A hãm phanh đến lúc dừng hẳn là s =  (16 − 4t ) dt = 32 m .
0

Do các xe phải cách nhau tối thiểu 1m để đảm bảo an tồn nên khi dừng lại ơ tơ A phải hãm phanh
khi cách ơ tơ B một khoảng ít nhất là 33m . Chọn A.

3. Bài tập rèn luyện
Mức độ 1 - 2
Câu 1. Cho hình ( H ) giới hạn bởi các đường y = − x 2 + 2 x , trục hồnh. Quay hình phẳng ( H ) quanh
trục Ox ta được khối trịn xoay có thể tích là:
16

496
32
4
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
15
15
15
3
Câu 2. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn  a; b  . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

( a  b ) . Thể tích khối tròn xoay tạo thành

số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b
khi quay D quanh trục hoành được tính theo cơng thức.
b

b

A. V =   f 2 ( x ) dx .

B. V = 2  f 2 ( x ) dx .

a

a

b

b

D. V =  2  f ( x ) dx .

C. V =  2  f 2 ( x ) dx .
a

a

Câu 3. Viết cơng thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục Ox
và các đường thẳng x = a, x = b ( a  b ) .
b

b

A.

 f ( x ) dx .
a

B.

2
 f ( x ) dx .
a

b

C.

 f ( x ) dx .
a

b

D.   f ( x ) dx .
a

Câu 4. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 , trục hoành Ox , các đường
thẳng x = 1 , x = 2 là
7
8
A. S = .
B. S = .
C. S = 7 .
D. S = 8 .
3
3
Câu 5. Diện tích hình phẳng giới hạn bới hai đường thẳng x = 0 , x = π , đồ thị hàm số y = cos x và
trục Ox là
13


TOP 1 MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT
π

π

π

D. S =   cos x dx .

0

0

0

π

C. S =  cos x dx .

B. S =  cos 2 x dx .

A. S =  cos x dx .

0

Câu 6. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e x , y = 2 , x = 0 , x = 1 .
A. S = 4ln 2 + e − 5 .
B. S = 4ln 2 + e − 6 .
Câu 7. Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị
của hai hàm số f1 ( x ) và f 2 ( x ) liên tục trên đoạn

 a; b 

D. S = e − 3 .

C. S = e 2 − 7 .
y

f2(x)

và hai đường thẳng x = a , x = b (tham

khảo hình vẽ dưới). Cơng thức tính diện tích của
hình ( H ) là
b

A. S =  f1 ( x ) − f 2 ( x ) dx .
a
b

B S =  ( f1 ( x ) − f 2 ( x ) ) dx .

a c1

c2

b

x

a

b

C. S =  f1 ( x ) + f 2 ( x ) dx .

f1(x)

a
b

b

a

a

D. S =  f 2 ( x ) dx −  f1 ( x ) dx .
Câu 8. Viết cơng thức tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vng góc với
trục Ox tại các điểm x = a , x = b ( a  b ) có diện tích thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vng góc với
trục Ox tại điểm có hồnh độ x

(a  x  b)

là S ( x ) .

a

B. V =   S ( x ) dx .

b

C. V =   S 2 ( x ) dx .

b

a

a

A. V =  S ( x ) dx .

D. V =  S ( x ) dx .
a

Câu 9. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đồ thị như hình

y

bên. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho
và trục Ox . Quay hình phẳng D quanh trục Ox ta được khối
trịn xoay có thể tích V được xác định theo cơng thức
3

b

b

3

A. V =    f ( x )  dx .
2

1

B. V =

2
13
 f ( x )  dx .

31
3

1

O

3

x

C. V =  2   f ( x )  dx .
2

1
y

3

D. V =   f ( x )  dx .
2

y=f(x)

1

Câu 10. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

và có đồ thị

như hình vẽ bên. Hình phẳng được đánh dấu trong hình vẽ
bên có diện tích là
b

A.

c

 f ( x ) dx −  f ( x ) dx .
a

B.

b
b

c

C. −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx .
a

14

b

D.

b

c

a

b

 f ( x ) dx +  f ( x ) dx .
b

b

a

c

 f ( x ) dx −  f ( x ) dx .

b
a

O

c

x


NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
LỚP 12 HK2
Câu 11. Diện tích của hình phẳng ( H ) được giới hạn

y

bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường
thẳng x = a , x = b

( a  b ) (phần tô đậm trong hình vẽ)

tính theo cơng thức:
c

b

a

a

c

b

c

b

a

c

b

C. S =

 f ( x ) dx

C:y=f(x)

B. S = −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx .

A. S =  f ( x ) dx .
.

c

a

O

b

x

D. S =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx .

a

1
và các đường thẳng y = 0 , x = 1 ,
x
x = 4 . Thể tích V của khối trịn xoay sinh ra khi cho hình phẳng ( H ) quay quanh trục Ox .

Câu 12. Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y =

3
3
.
C.
D. 2ln 2 .
−1 .
4
4
Câu 13. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2 − x 2 và y = x bằng
11
9
3
A.
.
B. 3 .
C. .
D. .
2
2

6
Câu 14. Tính diện tích S của hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đường cong y = − x 3 + 12 x và y = − x 2 .

A. 2 ln 2 .

B.

343
397
937
793
B. S =
C. S =
D. S =
12
12
4
4
Câu 15. Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = x 2 , y = 2 x . Thể tích của khối trịn xoay

A. S =

được tạo thành khi quay ( H ) xung quanh trục Ox bằng:
16
32
64
21
.
B.
.

C.
.
D.
.
15
15
15
15
Câu 16. Tính thể tích khối trịn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = 3 x − x 2 và trục hoành, quanh trục hồnh.
85
81
41
8
A.
(đvtt).
B.
(đvtt).
C.
(đvtt).
D.
(đvtt).
10
10
7
7
Câu 17. Tìm cơng thức tính thể tích của khối trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol
( P ) : y = x 2 và đường thẳng d : y = 2 x quay xung quanh trục Ox .

A.

A.   ( x 2 − 2 x ) dx .
2

0

2

2

2

0

0

B.   4 x 2dx −   x 4dx .

2

2

0

0

C.   4 x 2dx +   x 4dx .

D.   ( 2 x − x 2 ) dx .
2

0

Câu 18. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = 2 + cos x , trục hoành và các đường thẳng

x = 0 , x = . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hồnh có thể tích V bằng bao nhiêu?
2
A. V =  − 1 .
B. V =  + 1 .
C. V =  ( − 1) .
D. V =  ( + 1) .
Câu 19. Tính thể tích V của vật thể trịn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
1
y = , y = 0 , x = 1 , x = a , ( a  1) quay xung quanh trục Ox .
x
 1
 1
 1
 1
A. V = 1 −  .
B. V = 1 −   .
C. V = 1 +   .
D. V = 1 +  .
a
 a
 a
 a

Câu 20. Bạn Minh ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới và vận tốc chuyển động của máy bay là
v ( t ) = 3t 2 + 5 (m/s) . Tính quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 .

15


TOP 1 MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT
A. 246 m .

B. 252 m .

C. 1134 m .

D. 966 m .
x −1
Câu 21. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( H ) : y =
và các trục tọa độ.
x +1
Khi đó giá trị của S bằng
A. S = ln 2 − 1 .
B. S = 2ln 2 − 1 .
C. S = 2ln 2 + 1 .
D. S = ln 2 + 1 .
Câu 22. Một ô tô đang chạy với tốc độ 10 ( m s ) thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ơ tơ chuyển
động chậm dần đều với v ( t ) = −5t + 10 ( m s ) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc
bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tơ cịn di chuyển bao nhiêu mét.
A. 8m .
B. 10 m .
C. 5m .
D. 20 m .
và thỏa mãn f ( 0 )  0  f ( −1) . Gọi S là diện tích hình

Câu 23. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x ) , y = 0 , x = −1 và x = 1 . Xét các mệnh đề sau
0



1. S =

−1

3. S =

1

f ( x ) dx +  f ( x ) dx .

2. S =

1

4. S =

1

 f ( x ) dx

.

−1

−1

Số mệnh đề đúng là
A. 1 .

 f ( x ) dx .

−1

0

 f ( x ) dx .

1

B. 4 .

C. 2 .

D. 3 .
x2 y 2
+
= 1 . Hình phẳng ( H ) giới
Câu 24. Trong hệ trục tọa độ Oxy cho elip ( E ) có phương trình
25 9
hạn bởi nửa elip nằm trên trục hồnh và trục hồnh. Quay hình ( H ) xung quanh trục Ox ta được
khối trịn xoay, tính thể tích khối trịn xoay đó:
1188
1416
.

.
D.
25
25
Câu 25. Thể tích của khối trịn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ

A. V = 60 .

B. 30 .

C.

thị hàm số y = x e x , trục hoành và đường thẳng x = 1 là:


1
1
A. ( e 2 + 1) .
B. ( e 2 + 1) .
C. ( e 4 − 1) .
D. ( e 4 − 1) .
4
4
4
4
Câu 26. Tính thể tích V của vật trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường
y = x2 ; y =

x quanh trục Ox .

9
3
.
B. V =
.
10
10
Câu 27. Cho hình ( H ) giới hạn bởi trục hoành,

A. V =

đồ thị của một Parabol và một đường thẳng
tiếp xúc với Parabol đó tại điểm A ( 2;4 ) , như

C. V =


10

D. V =

.

7
10

.

y

4

hình vẽ bên. Thể tích vật thể trịn xoay tạo bởi
khi hình ( H ) quay quanh trục Ox bằng
2

16
32
A.
.
B.
.
1
O
15
5
2
2
22
C.
.
D.
.
3
5
Câu 28. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 3 , trục hoành và hai đường

thẳng x = −1 , x = 2 biết rằng mỗi đơn vị dài trên các trục tọa độ là 2 cm .
16

x


NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
LỚP 12 HK2

A. 15 (cm 2 ) .
Câu 29. Cho

15
17
C.
(cm 2 ) .
(cm 2 ) .
4
4
là hình phẳng giới hạn bởi parabol

(H )

y = 3 x 2 , cung trịn có phương trình y = 4 − x 2

4 + 3
.
12

B.

4 − 3
.

6

y

(với

0  x  2 ) và trục hồnh (phần tơ đậm trong hình vẽ). Diện
tích của ( H ) bằng
A.

D. 17 (cm 2 ) .

B.

2

O

4 + 2 3 − 3
C.
.
6

1

x

2

5 3 − 2

.
3
Câu 30. Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái xe đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô
chuyển động chậm dần đều với vận tốc v ( t ) = −4t + 20 ( m/s ) , trong đó t là khoảng thời gian tính

D.

bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ơ tơ cịn di chuyển
được bao nhiêu mét?
A. 150 mét.
B. 5 mét.
C. 50 mét.
D. 100 mét.
Câu 31. Người ta trồng hoa vào phần đất được tô màu đen được giới hạn bởi cạnh AB , CD đường
trung bình MN của mảnh đất hình chữ nhật ABCD và một đường cong hình sin (như hình vẽ).
Biết AB = 2 ( m ) , AD = 2 ( m ) . Tính diện tích phần còn lại.

A. 4 − 1 .

A

B

M

N

D

C

B. 4 ( − 1) .

C. 4 − 2 .

D. 4 − 3 .

Câu 32. Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng Parabol, chiều rộng 8m , chiều cao
12,5 m . Diện tích của cổng là:

A. 100 ( m 2 ) .

B. 200 ( m 2 ) .

100 2
200 2
D.
(m ) .
(m ) .
3
3
Câu 33. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị các hàm số y = ln x , y = 1 ,
y =1− x .

C.

3
1
1
3

.
B. S = e − .
C. S = e + .
D. S = e + .
2
2
2
2
Câu 34. Một ôto đang chuyển động đều với vận tốc 20 ( m/s ) rồi hãm phanh chuyển động chậm

A. S = e −

dần đều với vận tốc v ( t ) = −2t + 20 ( m/s ) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc
bắt đầu hãm phanh. Tính qng đường mà ơto đi được trong 15 giây cuối cùng đến khi dừng hẳn.
A. 100 ( m ) .
B. 75 ( m ) .
C. 200 ( m ) .
D. 125 ( m ) .

17


TOP 1 MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 35. Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = 4 − x 2 , y = 2 , y = x có diện tích là

S = a + b. . Chọn kết quả đúng:
A. a  1 , b  1 .
B. a + b  1 .
C. a + 2b = 3 .
D. a 2 + 4b 2  5 .

Câu 36. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y = sin x , y = cos x và các đường thẳng
x = 0 , x =  bằng ?
A. 2 .
B. 2 2 .
C. −2 2 .
Câu 37. Tính diện tích S của miền hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị của hàm số f ( x ) = ax 3 + bx 2 + c , các đường

D. 3 2 .
y
3

thẳng x = −1 , x = 2 và trục hồnh (miền tơ đen) cho
trong hình dưới đây.
1
52
51
A. S =
.
B. S =
.
8
8
50
53
O
2
-1
x
C. S =

.
D. S =
.
8
8
Câu 38. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( P ) : y = x 2 − 4 x + 5 và các tiếp tuyến của ( P )
tại A (1;2 ) và B ( 4;5 ) .
9
9
5
4
.
B. .
C. .
D. .
8
9
4
2
Câu 39. Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc v0 = 15m / s thì tăng tốc với gia tốc

A.

a ( t ) = t 2 + 4t ( m / s 2 ) . Tính qng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ

lúc bắt đầu tăng vận tốc.
A. 70, 25m .

B. 68, 25m .
C. 67, 25m .

D. 69,75m .
Câu 40. Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2, 25 mét,
chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Vậy số tiền bác
Năm phải trả là:
A. 33750000 đồng.
B. 3750000 đồng.
C. 12750000 đồng.
D. 6750000 đồng.
Câu 41. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = e x −1 , các trục tọa độ và phần đường thẳng
y = 2 − x với x  1 . Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay

D

quanh trục hoành.

 ( 5e − 3)
1 e −1
1 e2 − 1
1 e −1
+
.
.
B. V =
.
C. V = +
D. V = +
.
2
2
3 2e

2 2e 2
2
e
6e
Câu 42. Một ô tô chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v ( t ) = 7t ( m/s ) . Đi được 5 ( s ) người lái
A. V =

2

2

xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc
a = −35

( m/s ) . Tính qng đường của ơ tơ đi được từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng
2

hẳn?
A. 87.5 mét.
B. 96.5 mét.
C. 102.5 mét.
D. 105 mét.
Câu 43. Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = 4 − x 2 , trục hoành và
25
đường thẳng x = −2 , x = m , ( −2  m  2 ) . Tìm số giá trị của tham số m để S =
.
3
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .

D. 1 .

18


NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
LỚP 12 HK2

Câu 44. Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho parabol

( P ) : y = x2

và hai đường thẳng y = a , y = b

(0  a  b)

(hình vẽ). Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi
parabol ( P ) và đường thẳng y = a (phần tô đen); ( S 2 )
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

( P)

và

đường thẳng y = b (phần gạch chéo). Với điều kiện nào
sau đây của a và b thì S1 = S 2 ?
A. b = 3 4a .

B. b = 3 2a .

C. b = 3 3a .
D. b = 3 6a .
Câu 45. Cho hai đường tròn ( O1 ;5 ) và ( O2 ;3) cắt nhau
tại hai điểm A , B sao cho AB là một đường kính của
đường trịn ( O2 ;3) . Gọi ( D ) là hình phẳng được giới
hạn bởi hai đường trịn (ở ngồi đường trịn lớn, phần
được gạch chéo như hình vẽ). Quay ( D ) quanh trục
O1O2 ta được một khối trịn xoay. Tính thể tích V của

khối trịn xoay được tạo thành.

68
.
3
14
40
C. V =
.
D. V =
.
3
3
Câu 46. Trong đợt hội trại “Khi tôi 18 ” được tổ chức tại trường
THPT X, Đồn trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bày
trên một pano có dạng parabol như hình vẽ. Biết rằng Đồn
trường sẽ u cầu các lớp gửi hình dự thi và dán lên khu vực
hình chữ nhật ABCD , phần cịn lại sẽ được trang trí hoa văn

A. V = 36 .

B. V =

2

cho phù hợp. Chi phí dán hoa văn là 200.000 đồng cho một m
bảng. Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hồn tất hoa văn trên pano
sẽ là bao nhiêu (làm tròn đến hàng nghìn)?
A. 900.000 đồng.
B. 1.232.000 đồng.
C. 902.000 đồng.
D. 1.230.000 đồng.
Câu 47. Cho khối trụ có hai đáy là hai hình tròn ( O; R ) và ( O '; R ) , OO ' = 4R . Trên đường tròn ( O; R )
lấy hai điểm A , B sao cho AB = a 3 . Mặt phẳng ( P ) đi qua A, B cắt đoạn OO ' và tạo với đáy
một góc 600 , ( P ) cắt khối trụ theo thiết diện là một phần của elip. Diện tích thiết diện đó bằng
 4
 2
 2
 4
3 2
3 2
3 2
3 2
A. 
B. 
C. 
D. 
+
−
+
−

 R .
 R .
 R .
 R .
3
2
3
4
3
4
3
2








Câu 48. Cho parabol ( P ) : y = x 2 và một đường thẳng d thay đổi cắt ( P ) tại hai điểm A , B sao cho

AB = 2018 . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P ) và đường thẳng d . Tìm giá trị lớn nhất
S max của S .

A. Smax =

20183 + 1
.
6

B. Smax =

20183
.
3

C. Smax =

20183 − 1
.
6

D. Smax =

20183
.
6

19


TOP 1 MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT
x2
,
4

Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi ( H1 ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y =

x2

2
, x = −4 , x = 4 và hình ( H 2 ) là hình gồm các điểm ( x; y ) thỏa: x 2 + y 2  16 , x 2 + ( y − 2 )  4 ,
4

y=−

x2 + ( y + 2)  4 .
2

y

y
4

4

2

O

-4

4

O

x

-4

4

x

-2

-4

-4

Cho ( H1 ) và ( H 2 ) quay quanh trục Oy ta được các vật thể có thể tích lần lượt là V1 , V2 . Đẳng thức
nào sau đây đúng?
1
2
B. V1 = V2 .
C. V1 = 2V2 .
D. V1 = V2
2
3
Câu 50. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x − 1 và nửa trên của đường tròn

A. V1 = V2 .

x 2 + y 2 = 1 bằng?

A.


4

−

1
.
2

B.

 −1
2

.

C.


2

−1 .

D.


4

−1 .

Học sinh điền đáp án vào bảng sau
1.
11.

21.
31.
41.

2.
12.
22.
32.
42.

3.
13.
23.
33.
43.

4.
14.
24.
34.
44.

Mức điểm 8+: được 10 điểm cộng.
Mức điểm 9+: được 15 điểm cộng.
Mức điểm 9,5+: được 20 điểm cộng.

20

5.
15.

25.
35.
45.

6.
16.
26.
36.
46.

7.
17.
27.
37.
47.

8.
18.
28.
38.
48.

9.
19.
29.
39.
49.

10.
20.

30.
40.
50.


NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
LỚP 12 HK2

TÌM ĐỌC

21