Rèn kĩ năng chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh lớp 9 trường phổ thông thực hành chất lượng cao nguyễn tất thành

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (442.53 KB, 47 trang )

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HỊA BÌNH
TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM
-----------------------------

Giảng viên: Bùi Thị Dần
f

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
“Rèn kĩ năng chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh lớp 9 trường Phổ
thông thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành

Hịa Bình, tháng 6 năm 2020
CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ CƯƠNG ĐỀ TÀI
1

THCS
HS
GV
SGK
SBT
GT
KL
CM

Trung học cơ sở
Học sinh
Giáo viên
Sách giáo khoa
Sách bài tập
Giả thiết

Kết luận
Chứng minh

2

MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Tốn học có vai trò quan trọng trong đời sống, trong khoa học và cơng
nghê. Viêc nắm vững các kiến thức tốn học giúp cho học sinh có cơ sơ
nghiên cứu các bộ môn khoa học khác, đồng thời có thể hoạt động có hiêu
quả trong mọi lĩnh vực của đời sống.
Trong nhà trường THCS có thể nói mơn tốn là mợt trong những môn
học giữ một vị trí hết sức quan trọng. Bởi lẽ, tốn học là mợt bợ mơn khoa
học tự nhiên mang tính trừa tượng cao, tính logíc đồng thời môn tốn còn là
bợ mơn cơng cụ hỗ trợ cho các môn học khác, có tính thực tiễn. Những tri
thức và kĩ năng toán học cùng với những phương pháp làm viêc trong tốn
học trở thành cơng cụ để học tập những mơn khoa học khác.
Trong chương trình tốn THCS, mơn hình học là rất quan trọng và rất
cần thiết cấu thành nên chương trình toán học ở THCS cùng với môn số học
và đại số. Môn hình học là môn học rèn luyên cho học sinh khả năng đo đạc,
tính toán, suy luận logíc, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Tuy nhiên,
môn hình học có tính trừu tượng cao, nhiều học sinh luôn coi là môn học khó,
chỉ có một bộ phận học sinh khá, giỏi, những em có óc tưởng tượng phong
phú, tư duy nhạy bén tỏ ra thích thú khi học hình, số học sinh còn lại thường
“sợ” nó. Vì vậy, muốn học tốt môn học này không những đòi hỏi học sinh
phải có các kĩ năng đo đạc và tính tốn như các mơn học khác mà còn phải có
kĩ năng vẽ hình, khả năng tư duy hình khối, khả năng phân tích tìm lời giải
bài toán và khả năng khai thác các cách giải và phát triển bài tốn theo mợt
cách có hê thống.

Trong chương trình Hình học 9, trước một lượng kiến thức tương đối
mới về đường tròn và một lượng lớn các bài toán về đường tròn, các em
thường lúng túng, không biết bắt đầu từ đâu và làm như thế nào. Điều đó đã
dẫn đến một số thực trạng là có không ít học sinh lớp 9 chỉ chuyên tâm vào
học môn đại số và bỏ mặc môn hình học.
3

Với tầm quan trọng như vậy, để khắc phục tình trạng trên và giúp các
em có cái nhìn đúng đắn về viêc học bộ môn hình học, tôi chọn nghiên cứu đề
tài: “Rèn kĩ năng chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh lớp 9 trường
Phổ thông thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành” với mong muốn
góp phần nâng cao hiêu quả, chất lượng trong dạy học môn hình học lớp 9
của trường.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Phát triển kĩ năng chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh lớp 9
trường Phổ thông thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành.
3. KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
3.1. Khách thể nghiên cứu:
Hoạt động học tập môn hình học của học sinh lớp 9 trường Phổ thông
thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành.
3.2. Đối tượng nghiên cứu:
Biên pháp phát triển kĩ năng chứng minh tứ giác nội tiếp của học sinh
lớp 9 trường Phổ thông thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành.
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu các tài liêu có liên quan đến vấn đề nghiên cứu của đề tài
như các sách giáo khoa và sách bài tập hình học 9, sách liên quan đến phát
triển năng lực cho cho học sinh, các bài báo liên quan đến chứng minh tứ giác
nội tiếp của học sinh, mạng internet.
- Tìm hiểu thực trạng về kĩ năng chứng minh hình học của học sinh lớp

9 trường Phổ thông thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành thuộc trường
CĐSP Hòa Bình.
.

- Thiết kế tài liêu, giáo án và thực hành các giáo án các bài có liên quan

đến tứ giác nội tiếp.
5. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu học sinh được nghiên cứu tài liêu, làm bài tập, đề xuất bài tập thì
sẽ dần hình thành kĩ năng chứng minh cho bản thân.
4

6. GIỚI HẠN VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Lí thuyết và bài tập liên quan đến đường tròn thuộc chương trình sách
giáo khoa hình học lớp 9.
- Đề tài này chỉ nghiên cứu trên đối tượng học sinh lớp 9 trường phổ
thông thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành thuộc trường CĐSP Hòa
Bình.
Đề tài được tiến hành trong 1 năm học: Từ tháng 8 năm 2019 đến tháng
5 năm 2020.
7. CÁCH TIẾP CẬN, PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
7.1. Cách tiếp cận
Nghiên cứu tài liêu liên quan đến lí thuyết và bài tập về đường tròn. Tìm
hiểu thực trạng viêc dạy học hình học ở của học sinh lớp 9 trường Phổ thông
thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành. Tìm hiểu sách giáo khoa và
sách bài tập hình học lớp 9 và các sách về phương pháp dạy học nhằm phát
huy năng lực của học sinh.
7.2. Phương pháp nghiên cứu
7.2.1. Các phương pháp nghiên cứu lí luận

Tổng quan các tài liêu về chứng minh hình học phương pháp giảng dạy
nhằm phát triển năng lực người học.
Sử dụng phối hợp một số phương pháp như phân tích, đánh giá, tổng
hợp, khái quát hóa,… trong nghiên cứu.
7.2.2. Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn
Tìm hiểu thực trạng về viêc dạy và học hình học của trường Phổ thông
thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành và kĩ năng chứng minh hình học
của học sinh lớp 9.
Phương pháp quan sát: Quan sát các hoạt động dạy học hình học của
giáo viên và học sinh để có những điều chỉnh kịp thời trong quá trình học tập và
giảng dạy.

5

Phương pháp thực nghiêm: Giáo viên thiết kế tài liêu, các bài giảng và
thực hiên. Học sinh nghiên cứu tài liêu, thực hành giải toán và đề xuất bài
toán nhằm nâng cao kĩ năng chứng minh tứ giác nội tiếp cho bản thân.
8. Đóng góp của đề tài
8.1. Những đóng góp về lý luận
Đưa ra được tài liêu về chứng minh tứ giác nội tiếp, góp phần hê thống
các kiến thức về đường tròn và các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp
nhằm nâng cao kĩ năng chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh lớp 9.
8.2. Những đóng góp về mặt thực tiễn
Tìm hiểu thực trạng về viêc dạy và học hình học của trường Phổ thông
thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành và kĩ năng chứng minh hình học
của học sinh lớp 9 đề từ đó có những phương án thiết kế tài liêu, giáo án và
giảng dạy phù hợp với điều kiên nhà trường nhằm phát triển kĩ chứng minh tứ
giác nội tiếp của người học.
9. Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và kiến nghị, tài liêu tham khảo đề tài
chia làm 2 chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn của vấn đề nghiên cứu
Chương 2: Rèn kĩ năng chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh lớp 9

6

Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.1. Lịch sử nghiên cứu vấn đề
Hiên nay có nhiều tác giả đã viết các tài liêu tham khảo về vấn đề tứ
giác nội tiếp học như:
Bùi Văn Tuyên, Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9, NXB
Giáo dục, 2005. Trong tài liêu này, tác giả giúp người đọc tiếp cận bài tốn tứ
giác nợi tiếp theo các hướng: Đưa ra một số phương pháp chứng minh tứ giác
nội tiếp và ứng dụng của tứ giác nội tiếp trong chứng minh hình học.
Vũ Hữu Bình, Một số vấn đề phát triển hình học 9, NXB Giáo dục,
2002. Ở đây, tác giả đưa ra phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp bằng
cách sử dụng các hê thức lượng trong tam giác.
Nguyễn Ngọc Đạm - Nguyễn Viêt - Vũ Dương Thuỵ, Toán nâng cao
và các chuyên đề hình học 9, NXB Giáo dục, 2006. Trong ćn sách này, các
tác giả giới thiêu về tứ giác nội tiếp theo hướng đưa ra một số kiến thức cần
nhớ và các ví dụ minh họa. Trong tài liêu này, các tác giả chưa chia nhỏ các
dạng kiến thức cần áp dụng và các ví dụ đi kèm các dạng kiến thức đó cũng
như các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp.
1.2. Cơ sở lí luận của đề tài
Trong các bài toán về đường tròn ở lớp 9, đa số có chứng minh tứ giác
nội tiếp hoặc sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng
nhau, bù nhau, tính số đo góc, chứng minh đẳng thức, chứng minh tỉ lê thức,

chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn, … Để chứng minh tứ giác
nội tiếp đòi hỏi phải có kiến thức chắc chắn về quỹ tích cung chứa góc, quan
hê giữa góc và đường tròn, định lí đảo về tứ giác nội tiếp, … Đặc biêt phải
biết hê thống các kiến thức trên lại với nhau sau khi học xong chương “ Góc
và đường tròn” của hình học 9. Đây là viêc làm hết sức quan trọng của giáo
viên đối với học sinh.

7

Trên thực tế ngồi cách chứng minh tứ giác nợi tiếp rất cơ bản thể hiên
ở định lí đảo “ Tứ giác nợi tiếp ” Trang 88 SGK Tốn 9 tập 2 thì SGK đã chia
nhỏ để hình thành bốn dấu hiêu nhận biết tứ giác nội tiếp. Tuy nhiên chưa đặt
các dấu hiêu thành một hê thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp
một đường tròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểu cơ sở của dấu hiêu.
Dẫn đến học sinh rất lúng túng khi tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp một
đường tròn.
Với học sinh lớp 9 đây là dạng toán mới lạ nhưng lại hết sức quan
trọng.
Để nghiên cứu và viết về đề tài này tôi đã căn cứ vào những cơ sở lí luận
khoa học sau:
1.2.1. Phương pháp phân tích – tổng hợp
Để chứng minh các bài toán trong đề tài, tác giả dùng phương pháp phân
tích – tổng hợp
Giả sử A là giả thiết của bài toán, B là kết luận của bài toán: Để chứng
minh A  B, ta chứng minh rằng A  A1  A2  ...  B.
Các quan hê kéo theo nói trên được trình bày dưới dạng: A 1  A2 (lí do)
hoặc: (lí do) A1  A2.
Trong quá trình tìm lời giải bài toán, ta thường:
a - Khai thác giả thiết của bài toán : Từ A  A1, từ A1  A2 ,....Và cuối

cùng suy ra Am.
b - Phân tích đi lên từ kết luận của bài toán: Để chứng minh B ta có thể
chứng minh B1 , để chứng minh B1 ta có thể chứng minh B2,…, cuối cùng ta
có thể chứng minh Bn.
Nếu chứng minh được Am  Bn thì bài toán chứng minh A  B được
chứng minh với sơ đồ sau: A  A1  A2  … Am  Bn  …. B2  B1
 B.

8

1.2.2. Một số phương pháp chứng minh hai góc bằng nhau
Phương pháp 1: Sử dụng tính chất của hai góc đồng vị (hay so le) tạo
bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song.
Phương pháp 2: Áp dụng định lí góc có cạnh tương ứng song song hay
vuông góc.
Phương pháp 3: Sử dụng tính chất về góc tương ứng của hai tam giác
đồng dạng.
Phương pháp 4: Áp dụng tính chất góc nội tiếp, góc giữa một tia tiếp
tuyến và mợt dây cung, …
Ngồi ra ta còn có thể sử dụng phương pháp bắc cầu, cùng phụ, cùng bù
để chứng minh hai góc bằng nhau.
1.2.3. Các bài toán cơ bản về quỹ tích cung chứa góc
�  900 , trong đó AB là
Bài toán 1: Quỹ tích các điểm M sao cho AMB

một đoạn cho trước là đường tròn đường kính AB.
Bài toán 2: Quỹ tích các điểm M tạo với hai mút của đoạn thẳng AB cho
�
trước một AMB

có số đo không đổi bằng  (0o <  < 180o) là hai cung tròn

đối xứng nhau qua AB gọi là cung chứa góc  dựng trên đoạn AB.
1.2.4. Định lí thuận, đảo về “Tứ giác nội tiếp một đường trịn”
Định lí: Trong mợt tứ giác nợi tiếp, tổng sớ đo hai góc đới nhau bằng
1800.
Định lí đảo: Nếu mợt tứ giác có tổng 2 góc đối nhau bằng 1800 thì tứ
giác đó nội tiếp được đường tròn.
1.2.5. Tính chất của tam giác đồng dạng
Hai tam giác đồng dạng có các góc tương ứng bằng nhau.
1.2.6. Định nghĩa tứ giác nội tiếp
Định nghĩa: Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm
trên đường tròn đó.

9

1.3. Cơ sở thực tiễn của đề tài
Ở trường THCS dạy tốn là dạy hoạt đợng tốn học cho học sinh, trong
đó giải toán là đặc trưng chủ yếu của hoạt đợng tốn học của học sinh. Để rèn
lun kỹ năng giải tốn cho học sinh ngồi viêc trang bị tốt kiến thức cơ bản
cho học sinh giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh biết cách tổng hợp, phân
dạng, khai thác, mở rợng kết quả các bài tốn cơ bản để học sinh suy nghĩ tìm
tòi những kết quả mới sau mỗi bài toán. Nhưng thật tiếc là trong thực tế
chúng ta chưa làm được điều đó một cách thường xuyên.
Vì thời gian trên lớp học còn hạn chế nên viêc tổng hợp các kiến thức
một cách logic nhiều khi giáo viên chúng ta chưa làm được mà chủ yếu vẫn
chỉ dừng lại các kiến thức được trình bày theo mạch của sách giáo khoa. Điều
đó làm cho học sinh khó tìm được mối liên hê giữa các kiến thức đã học. Cho
nên khi bắt đầu giải một bài tốn mới học sinh khơng biết phải bắt đầu từ

đâu? cần vận dụng kiến thức nào? bài toán có liên quan đến những bài tốn
nào đã gặp? Hình học khơng đơn thuần “Chỉ vẽ hình là ra”. Nó cũng đòi hỏi
cần phải có suy luận, phân tích, tưởng tượng - đức tính cần có của người làm
toán.
Trong quá trình dạy tốn, tơi thấy rằng viêc tổng hợp các kiến thức một
cách logic cho học sinh là một phương pháp khoa học và hiêu quả. Viêc làm
này giúp cho HS không lúng túng trước một vấn đề cần giải quyết do đó nó
củng cố cho học sinh lòng tin vào khả năng giải tốn của mình. Chỉ vậy thơi,
chúng ta đã nhen nhóm lên trong các em mợt tình u tốn học, một môn học
được coi là quá khô khan.
Tìm hiểu qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy bản thân chúng tôi thấy
học sinh có lỗ hổng ngay từ khi tiếp cận với bài tập chứng minh hình ở lớp 9.
Qua gần gũi tìm hiểu thì các em cho biết: Các em chỉ rập khuôn, máy
móc những vấn đề các thầy cô nêu trên lớp, nhiều khi học một cách thụ động
chưa biết cách tư duy để tạo cho mình một sáng tạo trong cách giải mợt bài
tốn nào đó, chưa chú tâm trong viêc giải quyết bài tập và không có phương
10

pháp giải quyết các bài toán Hình học nhất là toán chứng minh. Để chứng
minh bài toán hình yêu cầu lượng kiến thức vận dụng nhiều, đa phần là kiến
thức cũ, khó nhớ.
- Khi thăm dò khảo sát thái độ học môn Hình của học sinh lớp 9 năm
học 2019 - 2020, đã cho thấy: Thực tế, học sinh học phân môn hình học còn
yếu về mọi mặt, tỉ lê học sinh khá giỏi bợ mơn tốn hình trong các trường còn
hạn chế, khả năng chứng minh và tư duy sáng tạo của học sinh còn yếu nên số
học sinh yếu kém chiếm tỉ lê cao số HS yêu thích môn hình còn ít.
Trước thực trạng trên, đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp
dạy và học sao cho phù hợp, từ đó đã thúc giục bản thân tôi tìm hiểu và thực
hiên đề tài này.

11

Chương 2
RÈN KĨ NĂNG CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP
2.1. Cung cấp các kiến thức liên quan đến tứ giác nội tiếp
Trên cơ sở định nghĩa và định lí thuận đảo về tứ giác nợi tiếp trong sách
giáo khoa tốn 9 tập 2, tác giả xây dựng tài liêu về tứ giác nội tiếp để cung
cấp cho học sinh để học sinh có thể tự mình nghiên cứu và hình thành cho bản
thân một cái nhìn bao quát và sâu sắc về tứ giác nội tiếp. (Nội dung tài liêu
này là phần phụ lục)
2.2. Củng cố các kiến thức liên quan đến tứ giác nội tiếp
Để áp dụng các các tính chất và dấu hiêu nhận biết tứ giác nội tiếp, ngoài
viêc yêu cầu HS giải các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập toán 9,
giáo viên có thể đưa ra một số bài tập vận dụng như sau để HS tự giải hoặc
hướng dẫn các em trong các giờ tăng cường.
Bài toán 1: Cho hình vẽ bên,
có AC  BD tại O, OE  AB tại
E, OF  BC tại F, OG  DC tại
G, OH  AD tại H.
Hãy tìm các tứ giác nội tiếp
trong hình vẽ bên.
Chứng minh:
* Các tứ giác nội tiếp vì có hai góc đối là góc vuông là:
AEOH, BFOE, CGOF, DHOG.
* Các tứ giác nợi tiếp vì có góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh
đối diên là:
AEFC, AHGC, BEHD, BFGD.
Thật vậy: Xét tứ giác AEFC:

�  EOB
�
Ta có: EAC
(cùng phụ với �
ABO )
�  EOB
�
� )
(hai góc nội tiếp cùng chắn EB
BEF

12

�  BEF
� � tứ giác AEFC nội tiếp.
� EAC

Đối với các tứ giác AHGC, BEHD, BFGD chứng minh tương tự.
* Tứ giác EFGH nội tiếp vì có tổng hai góc đối bằng 1800
Thật vậy,
Ta có:

�  OAH
�
� )
(hai góc nội tiếp cùng chắn OH
OEH
�  HOD
�

(vì cùng phụ với �
OAH
AOH )
�  HGD
�
� )
(hai góc nội tiếp cùng chắn HD
HOD

�  HGD
� .
� OEH
�  FGC
�
Chứng minh tương tự ta được: OEF
�  OEF
�  HGD
�  FGC
�
Từ đó: OEH
�  HGD
�  FGC
�
� FEH
�  FGC
�  HFG
�  1800 � FEH
�  HGF
�  1800
Mặt khác: HGD

Vậy tứ giác EFGH nợi tiếp.
/
Bài tốn 2: Cho hai đường tròn  O  và  O  cắt nhau ở A và B. Tiếp
/
tuyến tại A của đường tròn  O  cắt  O  ở M. Tiếp tuyến tại A của đường tròn

O 
/

gặp  O  tại N. Lấy điểm E đối xứng với A qua B. Chứng minh tứ giác

AMEN nội tiếp một đường tròn.
Phân tích:
Chứng minh tứ giác ANEM
nợi tiếp mợt đường tròn (1)
mà ta thấy E đối xứng với A
qua B nên là tâm của đường
tròn ngoại tiếp tứ giác ANEM
nằm trên đường trung trực của
đoạn AE, và như thế tâm của
đường tròn này cũng nằm trên
13

trung trực của các đoạn thẳng nào? (Đoạn AN và AM ).
Vậy để chứng minh (1) ta có thể dùng phương pháp 1 nhằm sử dụng tính
chất của đường trung trực của một đoạn thẳng.
Hướng dẫn:
Gọi I là giao hai trung trực của AN và AM thì:

 1 � IA  IN  IE  IM  2  .
Thật vậy: OI // AO / (cùng vuông góc với AN ) và OA // IO / (cùng
vuông

góc

với

AM)

� AOIO /

là

hình

bình

hành

� /  OAO
� /  OBO
� / � OIBO / là tứ giác nội tiếp (theo dấu hiệu 4) nhưng
� OIO

chứng minh được KH là đường trung trực của AB (K là giao điểm của AI và
OO / ) � IB là đường trung trực của AE � IA  IN  IE  IM .

Bài toán 3: Trên  O, R  lấy 2 điểm A, B sao cho AB  2 R. Gọi giao điểm

của các tiếp tuyến của  O  tại A, B là P. Qua A, B kẻ dây AC, BD song song
với nhau, gọi giao điểm của các dây AD, BC là Q. Chứng minh tứ giác AQBP
nợi tiếp được.
Phân tích:
Để chứng minh tứ giácAAQBP nội tiếp (1)
0
�
Ta có thể chứng minh: � �
APB
P  AQB  180

(2) C

O
Q

Thật vậy, theo giả thiết có
B
�  OBP
� D 1800
OAP

 Tứ giác AOBP nội tiếp
��
APB  �
AQB  1800
AQB  �
AOB  3 .
Vậy để chứng minh ( 2 ) ta chứng minh: �

Chứng minh (3) có nhiều cách.

14

Chẳng hạn AC // BD (gt) nên hai cung AB và CD bằng nhau
�
AQB  �
AOB (cùng bằng số đo cung AB của  O  ) � (3) được chứng minh
� (2) � (1).

Bài toán 4: Cho tam giác ABC vuông ở A. Kẻ đường cao AH. Gọi I, K
tương ứng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABH và ACH. Đường thẳng IK
cắt AC tại N. Chứng minh tứ giác HCNK nợi tiếp được.
Phân tích: Từ giả thiết dễ thấy

A

� �
HIK
A  900 (1)

Giả sử tứ giác HCNK nội tiếp thì
R

�  NCH
�
K
(2)
1

thế thì HIK và ABC đồng dạng (3)
Chứng minh (3): HAB và HCA
đồng dạng 

K

I

M
B

N

1

S

C

H

HA AB

(4)
HC AC

Chứng minh HAS và HCR đồng dạng 
Từ (4) và (5) 

HA HI

(5)
HC HK

HI HK

(6)
AB AC

Từ (1) và (6)  (3)  (2)  Tứ giác HCNK nội tiếp.
Cách khác: Chứng minh CHˆ K  ANˆ K 45 0
Trên cạnh AB kấy điểm M/,

A

trên cạnh AC lấy N/
sao cho AM/ = AN/ = AH

R

Gọi I/, K/ là giao điểm của M/N/
với phân giác các góc BAH, CAH

I/

M/
B

AI / M / AI / H (c.g.c)

 AHˆ I /  AMˆ / I / 45 0  I I/
Chứng minh tương tự K K/
15

S

K/

N/

1

H

C

suy ra M M/, N N/  AHˆ K  ANˆ K 45 0  tứ giác HCNK nội tiếp.
Trong mỗi bài toán nêu trên còn có những cách giải khác nữa nhưng có
thể nói vẫn là sử dụng một trong 5 dấu hiêu đã nêu trên. Ở đây, với mỗi bài
tôi chỉ trình bày từ một đến hai cách vì mục đích làm sáng tỏ viêc phân tích
theo định hướng thích hợp để chứng minh tứ giác nội tiếp.
Bài tốn 5:
(Trích đề thi vào trường Hồng Văn Thụ năm học 2016-2017)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB  2 R có Bx là tiếp tuyến với
nửa đường tròn và C là điểm chính giữa của cung AB. Lấy điểm D tùy ý trên
cung BC (D khác C, D khác B). Các tia AC, AD cắt tia Bx theo thứ tự tại E và
F.
1) Chứng minh rằng: FB 2  FD.FA

2) Chứng minh rằng: Tứ giác CDFE là tứ giác nội tiếp.
3) Khi AD là phân giác của góc BAC, hãy tính diên tích của tứ giác
CDFE theo R.
Đáp án

Ý

Nội dung

Điểm
X

E

C
D

A

F

B

O

Bx  AB ( Tính chất của tiếp tuyến) � �
ABF  900

1

0,25

�
ADB  900 (Vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) � BD  FA

Trong tam giác ABF vuông tại B, có BD là đường cao, ta có:
FB 2  FD.FA

16

0,25

2

�  CBA
� ( vì là góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Ta có CDA

0,25

�  CBA
� ( vì cùng phụ với EBC
�
)
FEC
�  CDA
�
� CEF
�  CDF

�  1800 � CDF
�  CEF
�  1800 � tứ giác CDFE nội tiếp.
CDA

3

0,25

2

S
�AC �
Ta có ADC : AEF ( g .g ) � ADC  � �
S AEF �AF �

0,25

�  1 BC
�  450 � AC  R 2
CAB
2
ABE vuông cân tại B nên AB = BE
� AE  2. AB  2.BE  2 2 R

AF là phân giác của tam giác ABE nên ta có
FE AE

 2 � FE  2.BF
FB AB

Mà BF  FE  2 R � BF 
S AEF 

0,25

2R
2 2R
; FE 
1 2
1 2

1
2 2R2
FE. AB 
2
1 2

S ADC
(1  2)2
1
2R 4  2

� S ADC  R 2
Tính được AF 
�
S AEF 2(4  2 2)
2
1 2
� SCDFE  S AEF  S ADC

(3 2  1).R 2

2(1  2)

0,25
0,25

Bài tốn 6:
(Trích đề thi vào trường Hoàng Văn Thụ năm học 2018-2019)
Cho đường tròn (O) đường kính AB , điểm I nằm giữa hai điểm A và O
( I khác A và O ). Kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại I , đường thẳng này
cắt đường tròn (O) tại M và N . Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng BM
và AN , qua S kẻ đường thẳng song song với MN , đường thẳng này cắt các
đường thẳng AB và AM lần lượt tại K và H .
1) Chứng minh rằng tứ giác SKAM nội tiếp.
2) Chứng minh rằng SA.SN  SB.SM
3) Chứng minh rằng KM là tiếp tuyến của đường tròn (O) .
17

4) Chứng minh rằng 3 điểm H , N , B thẳng hàng.
Đáp án

Phần, ý

Nội dung

�  900 , SMA
� �

Xét tứ giác SKAM có SKA
AMB  900

1

�  SMA
�  1800
� SKA

2

vậy tứ giác SKAM nội tiếp đương tròn đường kính SA.
Xét tam SAB và SMN có góc S$ chung, có góc

Điểm

1,0

1,0

�  SNM
�  1 sd �
SBA
AM
2
SA SM

� SA.SN  SB.SN .
SB SN
�  MNA

�  1 sd �
�  NSK
� ( slt )
AM ; MNA
Ta có MBA
2

Vậy SAB : SMN (g-g) �
3

0,5

�  KSA
�  1 sd KA
� . Suy ra �
�  OMB
�
Lại có KMA
KMA  MBA
2

�  OMA
�  900 � KMA
�  OMA
�  900 chứng tỏ KM là tiếp
Mà OMB

4

tuyến của (O)

�  KAH
�
Chỉ ra SAK
suy ra tam giác SAH cân tại A do đó H
đối xứng với S qua BK.
Mặt khác N đối xứng với M qua BK
Mà S, M, B thẳng hàng
Suy ra H, N, B thẳng hàng.
Bài tốn 7:
(Trích đề thi vào trường Hoàng Văn Thụ năm học 2012-2013)
18

0,5

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán
kính R. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác cắt nhau tại H. Chứng minh
rằng:
a) Tứ giác BCEF nội tiếp được.
b) EF vuông góc với AO.
c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC bằng R.
Đáp án:

a

1,0

A

1

E

O

F
H

B

C

D

A'

a) Theo giả thiết ta có E, F cùng nhìn BC dưới một góc vuông
b

nên BCEF là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi A’ đối xứng với A qua O.

0,5

�' AC  A
�' BC (Cùng chắn cung �
Ta có A
A' C )
�
�  1800  FEC

�
ABC  E
1

c

�' AC  E
�A
�' BC  ABC
�  900 nên AO  EF
Do đó A
1
Chứng minh được BHCA’ là hình bình hành
Suy ra VBHC VCA ' B Do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp

0,5
0,5
0,5

tam giác BHC bằng R
Bài toán 8:
(Trích đề thi vào lớp CLC trường Dân tộc nội trú tỉnh Hịa Bình năm học
2016-2017)
Cho đường tròn tâm O nội tiếp tứ giác ABCD với BA  BC ; DA  DC .
Đường tròn (O) tiếp xúc với các cạnh AB, BC và AD lần lượt tại các điểm

19

tương ứng là K, M và N. Đường chéo AC cắt đoạn thẳng MN tại L. Chứng

minh rằng các điểm A, K, L và N nằm trên một đường tròn.
Đáp án:
Phần

Nội dung
I

Điểm

E

A
J
P
O
K
B

M

C

H
F

1

�  AJE
�  900 (gt) � Tứ giác AIEJ nội tiếp (dhnb)
Vì AIE

0,5
0,5

2

�  EMC
�  900 (gt) � Tứ giác JECM nội tiếp (dhnb)
Vì EJC
�  BCE
� ( Cùng bù với BAE
� )
Vì ABCE nội tiếp � IAE

0,25

�  IJE
� ( Hai góc nội tiếp cùng
Vì tứ giác AIEJ nội tiếp � IAE

0,25

�  IJE
�
chắn cung IE) � BCE
�  IJE
�  1800 � I; J; M thẳng
Mà tứ giác JECM nội tiếp � MJE

hàng.

CM tương tự ta có M; H; K thẳng hàng.
�  CEM
�
Mà CMJE nội tiếp � CJM

0,25

�  CAF
� ( Cùng chắn cung FC) �
Vì CEAF nội tiếp � CEF

0,25

�  CAF
� � JM // AF
CJM

Mặt khác: EF là đường kính, EF  BC
�  FC
� � FAB
�  FAC
�
� FB
� HAF=KAF(ch-gn) � AH = AK � AHK là tam giác cân.
� AF  HK mà JM // AF � JM  HK .

20

3

c 3
Kẻ BP  AC, P �AC � BP  ABsin A 
;

0,5

2

AP  ABcosA 

c
c
� PC  b 
2
2

Áp dụng định lí Pitago trong PBC vuông tại P ta có:

0,5

2

2
� c � 3c
 b 2  c 2  bc
BC = PC + PB = �b  �
2
4
�

�

2

2

2

� BC  b 2  c 2  bc

2.3. Thiết kế và thực hiện một số tiết dạy về tứ giác nội tiếp
Ngày kí duyệt:

/

/2020
Tiết 48: TỨ GIÁC NỘI TIẾP

I. Mục tiêu
1. Kiến thức
- Phát biểu được khái niêm tứ giác nội tiếp đường tròn, tính chất về góc của
tứ giác nội tiếp.
- Nêu được điều kiên để một tứ giác nội tiếp.
- Áp dụng được kiến thức về tứ giác nội tiếp vào làm một số bài tâp cơ bản.
2. Kỹ năng
- Thành thạo kĩ năng vẽ hình.
- Vẽ hình chính xác, cẩn thận, trình bày bài khoa học, rõ ràng.
3. Thái độ
- Nghiêm túc và hứng thú học tập.
4. Định hướng năng lực

- Tự chủ và tự học, giao tiếp và hợp tác, giải quyết vấn đề và sáng tạo.
- Thu nhận thơng tin tốn học, chế biến thơng tin tốn học, lưu trữ thơng tin
tốn học, vận dụng toán học vào giải quyết vấn đề.
II. Chuẩn bị
- Gv: Thước, compa, thước đo góc, bảng phụ, phấn màu, bút dạ
- Hs: Thước, compa, thước đo góc

21

III. Tiến trình dạy học:
1. Ổn định: (1 phút)
2. Kiểm tra bài cũ: (Kết hợp trong bài)
3. Bài mới
Hoạt động khởi động
Quan sát hình vẽ sau để trả lời câu hỏi:

I

I

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Quan sát hình vẽ và tìm điểm khác biêt giữa tứ giác ABCD ở hình 1 và tứ
giác MNPQ ở hình 2, hình 3? Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về các tứ giác có 4
đỉnh cùng nằm trên mợt đường tròn.

Hoạt động hình thành kiến thức

Hoạt động của Gv

Hoạt động của Hs
1. Khái niệm tứ giác nội tiếp

Nội dung

- Mục tiêu: HS nhận biết được tứ giác nội tiếp từ trực quan, phân biêt được sự khác
nhau giữa 2 loại tứ giác.
- Phương pháp: Nêu vấn đề, phát vấn, trực quan.
-Treo bảng phụ, cho hs phát

I. Khái niệm tứ giác nội tiếp

hiên sự khác nhau giữa 2 loại - Quan sát bảng

B

tứ giác (có 4 đỉnh cùng nằm phụ.
O

trên một đường tròn và không

A

cùng …)

C

D

- GV tổ chức cho HS làm viêc

VD: Tứ giác ABCD là tứ giác

theo nhóm bàn.

- GV hướng dẫn HS tìm hiểu - Phân biêt sự nội tiếp (O).

22

khái niêm tứ giác nội tiếp theo khác nhau giữa Khái niêm: Tứ giác ABCD nội
hình vẽ.

hai loại tứ giác.

+ C1: Quan sát hình trên ta

tiếp đường tròn (O)  4 đỉnh
A, B, C, D cùng  (O)

thấy có nhận xét gì về các - HS quan sát và
đỉnh của tứ giác với đường tiến
tròn?

hành

hoạt

động theo nhóm.

+ C2: Trong hai hình trên có
điểm gì giống và khác nhau? - Học sinh hoạt
các đỉnh của tứ giác có vị trí động cá nhân,
thế nào so với đường tròn?

thảo luận nhóm.

* Hoạt động: thực hiên nhiêm - Các nhóm tự
vụ

thảo

luận,

kết

luận.
- GV giới thiêu tứ giác nội *
tiếp.

Hoạt

động:

Báo cáo kết quả

? Vậy tứ giác như thế nào thực hiện nhiệm

được gọi là tứ giác nội tiếp?

vụ

Gv giới thiêu định nghĩa và - Đại diên một
cho hs phát biểu lại

nhóm báo cáo kết

GV chốt kiến thức

quả.
- Các nhóm còn
lại nhận xét, đánh
giá.
- Hs chú ý lắng
nghe và phát biểu
2. Định lí

- Mục tiêu: HS nêu được nội dung định lí, nhận xét được bài làm của bạn.
- Phương pháp: Nêu vấn đề, phát vấn.
* Hoạt động: chuyển giao * Hoạt
nhiệm vụ
ˆ
Tổng số đo của ABC

động: 2. Định lí

Thực hiện nhiệm
và vụ

23

ˆ
bằng bao nhiêu? từ đó - Học sinh hoạt
ADC

rút ra kết luận gì về tổng số đo động cá nhân.
hai góc đối trong một tứ giác - Học sinh tiến
nội tiếp?

hành thảo luận

- Gv gọi Hs nhận xét

nhóm.
Hs nhận xét và bổ

B

sung (Nếu cần)
O
A

- Gọi 1 hs lên bảng c/m.

-Hs lên bảng c/m.

C

(Cả lớp làm vào vở)

D

- Gv gọi Hs nhận xét

- Nhận xét. Bổ
sung.

Tứ giác ABCD nội
tiếp (O).
�  1800
KL �
AC
Chứng minh: Theo t/c của góc
nội tiếp, ta có:

�+C
� = 1 ( BCD
� + BAD
� )
A
2
0
1
= .360 =1800
2

-Treo bảng phụ ghi nội dung - Quan sát đề bài.

bài 53 tr 89 SGK

- hs lên bảng làm
Bài 53

bài.

0
0
- hs dưới lớp làm Với 0 <  < 180 .

- Gọi hs lên bảng điền.

vào vở.
Gọi Hs nhận xét

- Quan sát bài làm
trên bảng, nhận

Góc
�
A
�
B
�
C

1
800
700

1000

xét.
2
750
1050
1050

�
D

1100

750

3
600
1200

4
1060
650
740

5
950
820
850

1800– 

1150

980



24

3. Định lí đảo
- Mục tiêu: HS phát biểu được mênh đề đảo của định lí, nêu được cách chứng minh
định lí.
- Phương pháp: Nêu vấn đề, phát vấn, hoạt động nhóm.
- Phát biểu mênh đề đảo - Hs phát biểu
3. Định lí đảo
của đl? GV giới thiêu -1 hs nêu gt – kl.

B

“mênh đề đảo đó đúng…”

- Nhận xét.

- Nêu GT – KL của đl đảo?

-Thảo luận theo nhóm.

m

- Cho hs thảo luận theo - Phân công nhiêm vụ
nhóm, chứng minh định lí

O
A

từng thành viên trong
D

-Theo dõi độ tích cực của nhóm.
hs khi làm bài.

C

- Hs: Trình bày lời giải

- Gv: Yêu cầu các nhóm của nhóm mình trên
trình bày lời giải trên bảng bảng phụ .

Chứng minh
SGK

phụ
Gv yêu cầu Hs nhận xét - Hs nhận xét.
chéo bài nhau. GV đánh giá Hs chú ý lắng nghe và
và chốt kiến thức

ghi bài

* Định lí đảo được công

nhận và từ nay vận dụng để
khẳng định tứ giác nội tiếp
và giải các bài toán liên
quan.
Hoạt động 4: Luyện tập– Vận dụng
- Mục tiêu: HS vận dụng được kiến thức đã học làm bài tập.
- Phương pháp: Nêu vấn đề, phát vấn.
Câu 1.
1.1 Tứ giác ABCD có là tứ giác nội tiếp

1.2 Hãy kể tên các tứ giác nội tiếp trong hình

không?

sau?

25

Rèn kĩ năng chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh lớp 9 trường phổ thông thực hành chất lượng cao nguyễn tất thành

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về