Tim hieu sau hon ve dinh ly Pitagodoc

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Tìm hiểu sâu hơn về định lý Pitago: các cách biểu diễn và
chứng minh - Bài 5

Ngày gửi bài: 29/11/2007
Số lượt đọc: 2590

<i>Viết Thị Thu Hiền, </i>
<b>Bài 5: Một số cách chứng minh định lý Pitago (tiếp theo)</b>
<b>Cách chứng minh của Leonardo da Vinci</b>

Leonardo da Vinci (1452 – 1519) là một họa sĩ lớn , một kỹ
sư, và là một nhà phát minh lớn người Ý trong thời kỳ phục
hưng. Ông nổi tiếng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, và là tác
giả của bức họa nổi tiếng nàng Mona Lisa. Ông cũng được tín
nhiệm trong cách chứng minh định lý Pitago dưới đây.

<b>Dựng hình và kiểm tra</b>

1. Vẽ một tam giác vng và các hình vng trên hai cạnh bên của nó.
(Trong hình này bạn khơng phải vẽ hình vng trên cạnh huyền).

2. Bạn hãy nối hai đỉnh của hai hình vng để vẽ được một tam giác vng
thứ hai bằng với tam giác vuông ABC ban đầu.

3. Hãy vẽ một đoạn thẳng đi qua tâm của hình này, đó chính là đoạn thẳng đi
qua C và nối hai điỉnh xa nhất của 2 hình vng (là đường nét đứt trên hình
<i>bên).</i>

4. Hãy vẽ trung điểm D của đoạn này.

5. Quan sát hình chúng ta thấy rằng: đây chính là đoạn thẳng chia hình thành

2 phần đối xứng nhau . Chọn tất cả các đoạn thẳng và các điểm nằm ở một
phía của đường thẳng này, và tạo một nút hoạt động Hide/Show để làm ẩn
/hiện phần hình được đánh dấu này.

Đặt lại tên cho nút này là Hide Reflection.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

7. Đánh dấu điểm D làm điểm tâm và quay toàn bộ hình này 180o
quanh điểm D .

Như vậy chúng ta đã tạo ra một đa giác mới có diện tích đúng
bằng diện tích của đa giác ban dầu.

8. Chọn đánh dấu tất cả các đối tượng ( đoạn thẳng và điểm) của
phần hình tạo được do xoay một nửa hình ban đầu và tạo1 nút hoạt động
nữa. Đặt tên cho nút này là Hide Rotation (xem hình bên dưới).

9. Vẽ đoạn A’B, và đoạn B’A. Như vậy chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy tứ
giác BA’B’A chính là hình vng trên cạnh c

10. Tơ màu cho diện tích của hình tứ giác BA’B’A và hai tam giác vng
liền kề nó.

11. Đánh dấu đoạn A’B, và đoạn B’A, và diện tích của 3 đa giác ( gồm 2
tam giác vng và 1 hình tứ giác), và tạo thêm 1 nút hoạt động . Có tên là
<i>Hide c Squared.</i>

Nhận xét: Từ các bước dựng hìnhnhư trên, chúng ta có thể hình dung được
cách chứng minh định lý của Leonardo da Vinci:

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

+ Khi xoay 1 nửa đa giác trên quanh điểm tâm D của đường phân cách

180o_{cho ta một đa giác mới có diện tích đúng bằng diện tích đa giác ba}
đầu.

+ Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích tứ giác BA’B’A = (a2_{+ b}2_{+ 2ab) –}
2ab = a2_{+ b}2₍₁₎

cho ta hình vng BA’B’A. (Vì AB song+ Việc nối A với B’, B với A’

song và bằng A’B’ ; A’B và AB’ cũng song song và bằng nhau ). Tứ giác
diện tích của hình vng nàyBA’B’A chính là hình vng có cạnh là c là c2

(2)

Tử (1) và (2) ta có được c2_{= a}2_{+ b}2_{. Có nghĩa là định lý Pitago được chứng}
minh.

12. Hãy thử kích vào các nút Hide, sau đó lại kích lại vào chúng. Như vậy
bạn sẽ thấy được sự biến đổi của các bước làm trên : từ 1 hình gồm 2 tam
giác vng và 2 hình vng trên 2 cạnh bên biến đổi thành hình gồm 2 tam
giác vng và 1 hình vng trên cạnh huyền của chúng. ( mà diện tích của
tồn bộ hình khơng đổi). Đây chính là cách chứng minh định lý của daVinci.
<b>Cách chứng minh định lý cuả 1 tổng thống</b>

James A. Garfield đã khám phá ra một cách chứng minh định lý Pitago vào
năm 1876, một vài năm trước khi ông ta trở tổng thống Hoa Kỳ. Một điều
thú vị là trong ngành tốn học khơng chỉ có một người trở thành tổng thống.
Trước Garfield là ông Abraham Lincoln, là một thành viên của tổ chức
Euclid là một trong những tác giả của những cuốn sách có sức thuyết phục
nhất. Ơng vừa là một luật sư vừa là một nhà chính trị. Cách chứng minh của
Garfield được minh họa với một hình tương dối đơn giản: là một hình thang.

<b>Dựng hình và kiểm tra .</b>

1. Vẽ một tam giác vuông ABC và đặt tên các đỉnh như hình bên.

2. Đánh dấu điểm B làm tâm và quay cạnh c và điểm A theo B một góc 90o_.
( sau bước này ta được hình bên)

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

cạnh b.

4. Sử dụng cơng cụ <b>Ray</b> để kéo dài đoạn CB. Và vẽ điểm giao D cỉa của tia
này với đường thẳng đi qua A’.

5. Làm ẩn đi tia và đường thẳng đi và thay vào đó là đoạn BD và DA’.
Như vậy ta có tứ giác ACDA’ là 1 hình thang vng vì :

+ DA’ và CA song song( do cách dựng ở bước 3)

+ Góc ACB vng( do ABC là tam giác vng ban đầu) góc CDA’ vng.

6. Tơ màu đa giác theo 3 tam giác vng bên trong nó.

7. Hãy đo độ dài cạnh a, b, c.Và bạn có thể sử dụng kết quả đo lường này để
tính tốn diện tích của 3 tam giác và tổng của chúng :

+ Đo độ dài các cạnh bằng cách : length<i><b>di chuột đến cạnh đó và kích </b></i>

<i><b>chuột phải</b></i>

<i>+ Đo diện tích tam giác : chọn Area</i><i><b>kích chuột phải lên tam giác đó</b></i>

<i>+ Tính tổng các tam giác : Calculate.</i><i><b>chọn menu Measure </b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

các tính tốn của bạn đă làm là đúng.

- Trong cách chứng minh này từ cách dựng hình như trên ,
chúng ta tính được diện tích hình thang ACDA’ theo 2 cách :
<i>Cách1: Tính theo 3 tham số a, b, c (dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích hình </i>
<i>thang bằng tổng diện tích 3 tam giác vng trong đó 2 tam giác vng màu </i>
<i>đỏ có diện tích bằng nhau do tính chất của phép quay) thì ta có :</i>

Dt = 2*ab /2 + c*c /2 (1)

<i>Cách 2: tính theo 2 tham số a. b(dựa vào cơng thức tính diện tích hình </i>
<i>thang):</i>

Dt = (a+ b) *(a+b)/2 (2)

Từ (1) và(2) ta có Dt =ab+ c2/2 = (a+b)2/2  c2 = a2 + b2. chính là điều phải

chứng minh.

<b>Cách chứng minh định lý Pitago của Perigal</b>

- Có nhiều cách chứng minh định lý Pitagocó nguồn gốc từ cổ xưa, nhưng
lại được chứng minh lại bởi những người khơng biết đến nguồn gốc cổ xưa
của nó. Đây là một cách chứng minh mà được ’ khám phá’ ra bởi nhà toán
học Henry Perigal vào năm 1873, nhưng cách chứng minh này lại được biết
đến là cách chứng minh của nhà toán học người A- rập Tâbit ibn Qorra.a
cách đó hàng nghìn năm.

<b>Dựng hình và kiểm tra</b>
1. Vẽ một hình vng CADE.

2. Vẽ một hình vng nhỏ hơn sát ngay hình vng CADE vừa vẽ sao cho 2
hình vng này có chung một đỉnh( là A) và đỉnh thứ hai của hình vng
hình vng nhỏ tạo được là hình vngnhỏ nằm trên cạnh DA( đỉnh G)

AGFB. Đặt tên cho độ dài cạnh của 2 hình vng này lần lượt là b, a .
(hình bên minh họa cho bước 1 – 2).

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Cách làm như sau :

--> Chọn ( theo thứ tự) điểm A và điểm B, sau đó chọn <b>Mark </b>
<b>Vector</b> từ menu <b>Transform</b>. Sau đó chọn chọn điểm C và
chọn <b>Translate</b> từ menu <b>Transform.</b>

4. Vẽ đoạn thẳng EC’ và C’F.

5. Tô màu cho miền trong các đa giác là tam giác ( tam giác ECC’, và tam
giác C’FB).

<b>Nhận xét</b>: Chúng ta bắt đầu dựng hình với 2 hình vng liền kề với nhau, và
bên trong của hình này chúng ta dựng hai tam giác vng :

+ Trong tam giác vng ECC’ ta có cạnh EC là cạnh hình vng lớn nên có
độ dài là b ; cạnh CC’ là kết quả của việc dịch chuyển điểm C theo vectơ AB
nên CC’ dài bằng đoạn AB có độ dài là a.

+ Trong tam giác C’FB ta có cạnh FB là cạnh của hình vng nhỏ, nên có độ
dài là a. Cạnh C’B có độ dài bằng b ( Vì đoạn CC’ dài bằng đoạn AB).

--> Như vậy 2 tam giác vuông ECC’ và C’FB là 2 tam giác có diện tích bằng
nhau là (a*b) /2.

<i>Gọi độ dài cạnh huyền cuả tam giác vuông này là c.</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

7. Đánh dấu điểm E làm tâm và quay điểm C’ một góc 90o_{để tạo thành hình}
vng EC’FC’’.

<b>Nhận xét:</b>

- Vì EC là cạnh của tam giác vng ECC’ nên hình vng EC’FC’’ có diện
tích là c2_.

Vì tam giác vng ECC’ được di chuyển thành tam giác C’’GF : góc ECC’
= góc C’’GF( = 90o ).

<i>Cạnh CC’ = cạnh GF( = a).</i>
<i>Cạnh CE = cạnh GC’’( =b). </i>

Diện tích tam giác ECC’’= diện tích tam giác C’’GB.

Tương tự ta có : Diện tích tam giác C’BF = diện tích tam giác EDC’’.
Vậy ta có diện tích của tứ giác EC’FC’’ băng tổng diện hai hình vng có
cạnh b, a ban đầu. Nên diện tích EC’FC’’ = a2_{+ b}2_{. Đồng thời vì EC’FC’’}
cũng là hình vng có độ dài cạnh bằng độ dài cạnh huyền cuả tam giác
vng có các cạnh bên là b, a( dựng hình bước 7). Nên diện tích của hình
vng EC’FC’’= c2_{. Hay trong 1 tam giác vng có c}2_{= a}2_{+ b}2_{(c là cạnh}
<i>huyền, a,b là 2 cạnh bên).</i>

</div>

<!--links-->