Mỗi tuần 1 đề luyện thi ĐH_Đề số 1 và hướng dẫn giải

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH
423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11
1
Website: www.truonglangtoi.wordpress.com
ĐỀ SỐ 1
I. Phần chung

Câu 1 (2đ).
Cho hàm số:
()
24
1
x
yC
x
−
=
+

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2. Tìm trên
()
C
hai điểm đối xứng qua đường thẳng
MN
với
( )( )
3; 0 , 1; 1MN− −−
.
Câu 2 (2đ).
1. Giải phương trình:

4
137
4cos cos2 cos4 cos
242
x
xx x−− + =

2. Giải phương trình:
3.2 3 2 1
xx
x x=++

Câu 3 (1đ).
Tính tích phân:
2
0
1sin
.
1cos
x
x
Iedx
x
π
+
⎛⎞
=
⎜⎟
+
⎝⎠

∫

Câu 4 (1đ).
Tính thể tích hình chóp
.
S ABC
biết

n
n
n
00 0
, , , 60 , 90 , 120SA a SB b SC c ASB BSC CSA=== = = =
.
Câu 5 (1đ).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
222
222
log 1 log 1 log 1Ax y z= ++ ++ +
trong đó

,,x yz
là các số thực dương thỏa
.. 8x yz=
.
II. Phần riêng (Thí sinh chỉ làm một trong hai phần).

A. THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN.

Câu 6a (1đ).

1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc
Oxy
, cho 2 đường thẳng
()
1
:10dxy++=
và

()
2
:2 1 0dxy−−=
. Lập phương trình qua
( )
1;1M
cắt
( ) ( )
12
,dd
tương ứng tại
,
AB
sao
cho
20MA MB+=
JJJG JJJG G
.
2. Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )

P
có phương trình

2210x yz+−+=
và hai điểm
( ) ( )
1;7; 1 , 4; 2;0AB−
. Lập phương trình
()
d
là hình chiếu
vuông góc của đường thẳng
AB
lên mặt phẳng
( )
P
.
Câu 7a (1đ).
Kí hiệu
12
,x x
là nghiệm phức của phương trình bậc hai
2
2210xx− +=
. Tính giá trị các số
phức
2
1
1
x

và
2
2
1
x
.
B. THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO.
Câu 6b (1đ).

1.Cho đường tròn có phương trình
( )
22
2230x yxy C+−−−=
và điểm
()
0; 2M
. Viết
phương trình đường thẳng qua
( )
0; 2M
cắt đường tròn tại hai điểm
A
và
B
sao cho
AB
có
độ dài ngắn nhất.
Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH
423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11

2
Website: www.truonglangtoi.wordpress.com
2. Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc
Oxyz
, cho 3 điểm

()( )()
1; 0; 0 , 0; 2;0 , 0; 0;3AB C
. Tìm tọa độ trực tâm của
ABC
Δ
.
Câu 7b (1đ).
Tìm các giá trị
x
biết trong khai triển Newton
()
()
lg 10 3
2lg3
5
22
x
n
x
−
−
⎛⎞
+
⎜⎟

⎝⎠
số hạng thứ 6 bằng
21 và
13 2
2
nn n
CC C
+=
.
HẾT
HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1.
1)
1.

Hàm số có tập xác định
{ }
\1D
=−
\
.
2.

Sự biến thiên của hàm số.
a)

Giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực và các đường tiệm cận.
Ta có
1

lim
x
y
−
→−
=−∞
và
1
lim
x
y
+
→−
=+∞
. Do đó, đường thẳng x = - 1 là tiệm cận đứng của đồ thị
hàm số đã cho .
Ta có
lim lim 2
xx
yy
→+∞ →−∞
==
nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho
b)

Bảng biến thiên
Ta có
()
2
6

0
1
yxD
x
−
′
=<∀∈
+

x

−∞

+∞
y’

−

−




y

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
( )
;1
−∞−
và

( )
1;
− +∞

3.

Đồ thị
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;-4) và cắt trục hoành tại (2;0)
2

+∞

2
−∞
2

-1
Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH
423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11
3
Website: www.truonglangtoi.wordpress.com
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8

-20 -15 -10 -5 5 10 15 20
y


Nhận xét:
Đồ thị hàm số nhận giao điểm điểm
( )
1; 2
−
của hai tiệm cận làm tâm đối xứng

2)
Phương trình đường thẳng đi qua M(-3;0) và N(-1;-1) là
13
22
yx
= −−
.
Gọi I(a;b) là điểm thuộc đường thẳng MN, ta có
13
22
ba
= −− (1). Ta tìm đường thẳng qua I
vuông góc với MN cắt (C) tại A và B sao cho I là trung điểm của AB.
Phương trình đường thẳng (d) qua I vuông góc với MN là:
( )
2yxab
= −+

Hoành độ của A, B là nghiệm của phương trình:

()
() ()
2
24
2
1
22 2 40 1
x
xa b
x
xabxab x
−
−+=
+
⇔−−−++=≠−

Ta có
22
24
AB
I
xx ab
xa
+−+
=⇔=
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ
13
1

22
22
4
ba
a
ab b
a
⎧
=− −
⎪
=
⎧
⎪
⇔
⎨⎨
−=−
⎩
⎪
=
⎪
⎩

Suy ra phương trình đường thẳng (d):
24yx= −

Từ đó tìm được tọa độ hai điểm là A(2;0) và B(0;-4)
Nhận xét:
Bài này nếu ta gọi A(a,b); B(m,n) ngay từ đầu thì theo đề bài ta tìm được 4 phương trình có
ẩn lần lượt là a, b, m, n và sau đó giải ra. Nhưng cách này khá dài dòng.

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH
423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11
4
Website: www.truonglangtoi.wordpress.com
Câu 2
1)
Ta có

()
() ()
()
() ()
()
() ()
()
4
2
2
22
137
4cos cos 2 cos 4 cos
242
1cos2
137
4 cos 2 2cos 2 1 cos
22 42
137
1 cos 2 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos

242
3
cos 2 cos 2
4
x
xx x
x
x
xx
x
xxxx
x
x
−− + =
⎛+ ⎞
⇔−−−+=
⎜⎟
⎝⎠
⇔+ + − − ++ =
⇔+=

Ta có:

() ()
()
()
()
()
()
cos 2 1

3
cos 1
4
cos 2 1
3
cos 2 cos 2 8
3
8
4
cos 1
4
3
xx
x
x
xk k
x
x
xxmm
x
l
xl
π
π
π
⎫
≤∀
⎪
⎬
≤∀

⎪
⎭
⎧= ∈
=
⎧
⎪⎪
⇒+=⇔ ⇔ ⇔= ∈
⎨⎨
=
=∈
⎪⎪
⎩
⎩
]
]
]

2)
Ta có
()
3.2 321 32121
xx x
x xxx=++⇔ −= +
(1)
Ta thấy
1
2
x =
không phải là nghiệm của phương trình (1)
Với

1
2
x ≠ ta có:
()
21 21
13 3 0
21 21
xx
xx
xx
++
⇔= ⇔− =
−−

Đặt
()
21 3
332
21 21
xx
x
fx
x x
+
=− =−−
−−

Ta có
()
()

2
61
3ln3 0
2
21
x
fx x
x
′
=+ > ∀≠
−

Do đó hàm số tăng trên các khoảng
;
2
1
⎛⎞
−∞
⎜⎟
⎝⎠
và
1
;
2
⎛⎞
+∞
⎜⎟
⎝⎠

Vậy do đó

()
0
fx=
có nhiều nhất 1 nghiệm trên từng khoảng
;
2
1
⎛⎞
−∞
⎜⎟
⎝⎠
và
1
;
2
⎛⎞
+∞
⎜⎟
⎝⎠

Ta thấy
1x =
và
1x =−
là nghiệm của
( )
0
fx
=
.

Vậy phương trình có hai nghiệm là
1x =
và
1x = −

Nhận xét:
Thường thì khi chứng minh hàm đồng biến (hoặc nghịch biến) thì hs kết luận phương
trình có duy nhất nghiệm và chỉ ra
1x =
là nghiệm. Bài toán trên cho ta thấy là hàm số đồng biến
trên từng khoảng xác định
thì ứng với mỗi khoảng ta phải xét riêng.

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH
423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11
5
Website: www.truonglangtoi.wordpress.com
Câu 3
2
0
1sin
.
1cos
x
x
Iedx
x
π
+
⎛⎞

=
⎜⎟
+
⎝⎠
∫

Ta có
2
22
2
2
sin cos 2sin cos sin cos
1sin 1 1
2222 22
1tan
1cos 2 2 2
2cos cos
22
xxxx xx
x x
xx
x
⎛⎞
++ +
⎜⎟
+
⎛⎞
===+
⎜⎟
⎜⎟

+
⎝⎠
⎜⎟
⎝⎠

Do đó:

2
22
2
00
0
2
2
00
11
1 tan 1 tan 2 tan
22 2 22
1
1tan tan
22 2
xx
xx
xxx
Iedx edx
xx
edx edx
ππ
π
π

⎛⎞ ⎛ ⎞
=+ =+ +
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎛⎞
=+ +
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
∫∫

Đặt
2
1
1tan
tan
22
2
x
x
ue
du e
x
x
dv dx
v
⎧
=
⎧
=

⎪⎪
⇒
⎨⎨
⎛⎞
=+
=
⎜⎟
⎪⎪
⎩
⎝⎠
⎩
.
Suy ra:
22
2
00
0
0
22
tan tan tan
222
tan tan 0. tan
44
xxx
xxx
Ie edxedx
eee
ππ
π
ππ

ππ
⎛⎞
=−+
⎜⎟
⎝⎠
=−=
∫∫

Câu 4
Cách 1:Phương pháp vectơ

S
A
C
B
D