Mỗi tuần 1 đề luyện thi ĐH_Đề số 2 và hướng dẫn giải

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH
423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11
1
Website: www.truonglangtoi.wordpress.com
ĐỀ SỐ 2

I. Phần chung

Câu 1 (2đ).
Cho hàm số:
()
21
1
x
yC
x
−
=
−

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2. Goi
I
là giao điểm hai tiệm cận của
( )
C
. Tìm điểm
M
thuộc
( )
C

sao cho tiếp tuyến
của
()
C
tại
M
vuông góc với đường thẳng
MI
.
Câu 2 (2đ).
1. Giải phương trình:
3
cos cos cos sin 2 0
26 3 2 2 6
xx
xx
ππ π π
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
−+ −+ −+ −=
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

2. Giải phương trình:
4
22
112xx xx−−+++=

Câu 3 (1đ).
Trong không gian cho hình chóp
.SABCD

có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh
n
0
,60a ABC =
,
chiều cao
SO
của hình chóp bằng
3
2
a
, trong đó
O
là giao điểm của hai đường chéo

,AC BD
. Gọi M là trung điểm của
( )
,ADP
là mặt phẳng chứa
BM
và song song với
SA

cắt
SC
tại
K

. Tính thể tích khối chóp
.KBCDM
.
Câu 4 (1đ).

()
H
là hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( ) ( ) ( )
2
:11,: 4Cx y dy x= −+ =−+
. Tính thể
tích của khối tròn xoay do hình phẳng
( )
H
tạo ra khi
( )
H
quay quanh trục
Oy
.
Câu 5 (1đ).
Cho các số
,,
x yz là các số dương thỏa
222
1xyz+ +=
. Chứng minh rằng:

22 22 2 2

33
2
xyz
yzxzxy
++≥
+++

II. Phần riêng (Thí sinh chỉ làm một trong hai phần).

A. THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN.

Câu 6a (1đ).
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc
Oxy
, cho đường tròn
( )
C
có tâm
O
bán kính

5R
=
và điểm
()
2; 6
M
. Viết phương trình đường thẳng qua
M
cắt

()
C
tại 2 điểm
,AB

sao cho
OAB
Δ
có diện tích lớn nhất.
2. Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
P
có phương trình

30x yz
+++=
và hai điểm
( )
0;1; 2
A
. Tìm tọa độ '
A
đối xứng với
A
qua
()
P
.

Câu 7a (1đ).
Từ các số
1, 2, 3, 4, 5, 6
thiết lập tất cả các số có
6
chữ số khác nhau. Hỏi trong các số đã
thiết lập được có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và
6
không đứng cạnh nhau.
B. THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO.
Câu 6b (1đ).

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH
423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11
2
Website: www.truonglangtoi.wordpress.com
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc
Oxy
, cho
ABCΔ
có đỉnh
()
4;3
C
. Biết đường
phân giác trong
()
:250
AD x y
+−=

và trung tuyến
( )
: 4 13 10 0
AM x y
+ −=
. Tìm tọa độ
đỉnh
B
.
2. Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc
Oxyz
, cho hai đường thẳng :

() ( )
1
23 8
:104
xt
ytt
zt
=− +
⎧
⎪
Δ=−+ ∈
⎨
⎪
=
⎩
\
và

()
2
32
:
221
x yz− +
Δ ==
−

Viết phương trình đường thẳng
( )
d
song song với trục
Oz
và cắt cả hai đường thẳng

()()
12
,
ΔΔ
.
Câu 7b (1đ).
Tìm
a
để hệ sau có nghiệm
()
()
2
4
22

345
1log log 1
x
x
ax x
⎧
⎪
−≥
⎨
⎪
+−≥ +
⎩
.

Hướng dẫn giải

Câu 1.
1.
()
21
1
x
yC
x
−
=
−

1. Tập xác định
{ }

\1D =
\

2. Sự biến thiên của hàm số
Ta có
1
lim
x
y
−
→
=−∞
và
1
lim
x
y
+
→
=+∞
. Do đó, đường thẳng
1x =
là tiệm cận đứng của đồ thị
hàm số đã cho .
Ta có
lim lim 2
xx
yy
→+∞ →−∞
==

nên đường thẳng
2y =
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã
cho
a)

Bảng biến thiên
Ta có
()
2
1
0
1
yxD
x
−
′
=<∀∈
−


x

−∞

+∞

y’

−

−




y

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
( )
;1−∞ và
( )
1; +∞
3. Đồ thị của hàm số
2

+∞

2
−∞
2

1
Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH
423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11
3
Website: www.truonglangtoi.wordpress.com
8
6
4

2
-2
-4
-6
-10 -5 5 10 15
y
x



2. Tọa độ điểm I giao điểm của hai tiệm cận là
( )
1; 2I

Gọi
()
,M ab
là điểm thuộc đồ thị cần tìm. Ta có
21
1
a
b
a
−
=
−

( )
1, 2ab
≠ ≠

Phương trình tiếp tuyến tại điểm
()
()
2
121
:
1
1
a
My xa
a
a
− −
=−+
−
−

Phương trình đường thẳng
11
:
12
x y
MI
ab
− −
=
− −
hay
()

2
11
1
b
yx
a
−
= −+
−

Tiếp tuyến tại M vuông góc với MI nên ta có:

()
()
()
()
3
2
4
12 1
.112
11
1
11
01
23
b
ab
aa
a

a
ab
ab
−−
=− ⇔ − = − =
− −
−
⇔− =
=⇒=
⎡
⇔
⎢
=⇒=
⎣

Vậy có hai điểm cần tìm là
()
1
0;1M
và
( )
2
2;3M

Câu 2:
1. Giải phương trình:
()
3
cos cos cos sin 2 0 1
26 3 2 2 6

xx
xx
ππ π π
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
−+ −+ −+ −=
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

Ta có
2
sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 4
632 33 62
x
xx x x
πππ ππ π
⎛⎞⎛ ⎞ ⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞
−= +−=− += − = −
⎜⎟⎜ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟
⎝⎠⎝ ⎠ ⎝⎠⎝ ⎠⎝⎠


()
1 cos cos 2 cos 3 cos 4 0
26 26 26 26
xx x x
ππ π π
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
⇔−+ −+ −+ −=
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟

⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦⎣⎦⎣⎦

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH
423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11
4
Website: www.truonglangtoi.wordpress.com
Đặt
26
x
t
π
=−
. Khi đó phương trình trở thành

()
()
cos cos2 cos3 cos 4 0
37
2cos cos 2cos cos 0
22 22
37
2cos cos cos 0
22 2
5
4cos .cos .cos 0
22
5
5

cos 0
22
2
cos 0 , ,
2
cos 0
2
22
2
55
2
21
tttt
tt tt
tt t
tt
t
t
tk
ttl klm
t
t
m
k
t
tl
tm
π
π
π

π
π
π
ππ
π
π
π
+++=
⇔+=
⎛⎞
⇔+=
⎜⎟
⎝⎠
⇔=
⎡
=+
⎡
⎢
=
⎢
⎢
⎢
⎢
⇔=⇔=+ ∈
⎢
⎢
⎢
⎢
=
⎢

⎢
=+
⎣
⎢
⎣
⎡
=+
⎢
⎢
⎢
=+
⎢
=+
⎣
]
⎢
⎢
⎢

Với
2114
25 15 5
kk
tx
π πππ
=+ ⇒= +

Với
4
2

23
tlx l
π π
π π
=+⇒= +

Với
() ()
21 42
3
tm x m
π
π π
=+⇒=++


2. Giải phương trình:
4
22
112xx xx−−+++=

Điều kiện:
2
2
1
10
1
1
1
0

x
x
x
x
xx
x
⎧
≤−
⎡
⎧
−≥
⎪⎪
⎢
⇔⇔≥
≥
⎨⎨
⎣
≥−
⎪
⎪
⎩
≥
⎩

Với điều kiện trên ta có:

4
222
111xx xx xx++>+−≥+−
(do

1x ≥
)

(
)
(
)
Cauchy
44
22 22
8
VT 1 1 2. 1 1 2xx xx xx xx>− −++ − ≥ − − + −=

Suy ra phương trình vô nghiệm.
Câu 3:

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH
423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11
5
Website: www.truonglangtoi.wordpress.com
I
K
N
M
O
C
A
D
B
S

Gọi
NBMAC
=∩
. Ta có
N
là trọng tâm của tam giác ABD.
Kẻ
()
//NK SA K SC∈
. Qua
K
kẻ
( )
//KI SO I AC∈
. Suy ra
()
KI ABCD⊥
. Vậy

.
1
..
3
K BCDM BCMD
VKIS
=

Ta có:
SOC

Δ
đồng dạng
KIC
Δ
, suy ra
()
1
KI CK
SO CS
=

Và
KNCΔ
đồng dạng
SACΔ
, suy ra
()
2
CK CN
CS CA
=


() ( )
12&
ta có
1
2
3
223

CO CO
KI CN CO ON
SO CA CO CO
+
+
== = =
do
N
là trọng tâm
ABD
Δ



2233
.
3323
aa
KI SO
⇒= = =
.
Ta có
ADC
Δ
đều, suy ra
CM AD⊥
và
3
2
a

CM =
. Suy ra diện tích hình thang
BCDM
là:

()
2
11333
..
22228
BCDM
aaa
SDMBCCMa
⎛⎞
=+ =+ =
⎜⎟
⎝⎠

Thể tích cần tìm:
()
23
.
11333
.. . .
33388
K BCDM BCMD
aa a
VKIS dvtt== =

Câu 4.

Ta có

() ()( )
() ()
2
2
:1122
:4 4
Cxfy y y y
dy x xgy y
==−+=−+
=− + ⇒ = = −

Phương trình tung độ giao điểm: