LÍ THUYẾT LỰA CHỌN DANH MỤC TỐI ƯU

LÍ THUYẾT LỰA CHỌN DANH MỤC TỐI ƯU
I. PHƯƠNG PHÁP MARKOVITZ
1. Mục tiêu của nhà đầu tư
.1. Mục tiêu “lí tưởng”
Xét N tài sản rủi ro có lợi suất kí hiệu là
i
r
(i=1.N)
Danh mục P có tỉ trọng:










=
N
P
w
w
w ......
1
Người ta dùng thước đo rủi ro của danh mục là
P
σ
. Bàì toán lựa chọn danh
mục “tối ưu lí tưởng”:

Xác định danh mục P sao cho



→
→
min
max
2
P
P
r
σ
.
Đây là bài toán đa mục tiêu và để giải được cần đánh đổi hai mục tiêu này
đưa về bài toán 1 mục tiêu và nhiều ràng buộc.
.2. Mục tiêu tối ưu Pareto
Thiết lập hai bài toán tương ứng hai mục tiêu:
Bài toán 1: Cho
0
2
0
2
>=
σσ
P
, tìm danh mục P để
→
P
r

max.
Bài toán 2: Cho
fP
rrr
>=
0
, tìm danh mục P để
→
2
P
σ
min.
Tương ứng sẽ có hai bài toán tối ưu:
Xác định










=
N
w
w
w ...
1

sao cho
w
Vww
rw
N
i
i
T
N
i
ii









=
=
→
∑
∑
=
=
1
2
0

1
1
max
σ
Xác định










=
N
w
w
w ...
1
sao cho
w
Vww
rrw
N
i
i
T
N

i
ii









=
→
=
∑
∑
=
=
1
0
1
1
min
Vệ mặt lí thuyết hai bài toán 1 và 2 tương đương nhau theo nghĩa nghiệm
của bài toán 1 và trị tối ưu tương ứng khi thay vào bài toán 2 sẽ được trị tối ưu
của bài toán 2.
2. Phương pháp thiết lập danh mục tối ưu khi chỉ có tài sản rủi ro:
.1. Mô hình xác định tập danh mục biên duyên:
Xét thị trường gồm N loại tài sản rủi ro

i
r
: lợi suất của tài sản i (i = 1,...,N),

),(~
2
iii
rNr
σ
và độc lập tuyến tính.
V: ma trận hiệp phương sai của lợi suất của các tài sản (ma trận vuông, đối
xứng, xác định dương, không suy biến)
V
-1
: ma trận nghịch đảo của ma trận V (ma trận vuông, đối xứng, xác định
dương)
Bài toán: Chọn danh mục tối ưu với lợi suất kỳ vọng (
P
r
) đã được ấn định
trước
Bài toán xác định











=
N
w
w
w ...
1
sao cho:
w
Vww
rrw
N
i
i
T
N
i
ii









=
→

=
∑
∑
=
=
1
0
1
1
min
2
1

Ký hiệu:
AV =
−
]1.[].1[
1
; [1]: ma trận đơn vị, các thành phần đều là số 1

BVr =
−
]1.[.
1
;

CrVr =
−
..
1

.
D = AC – B
2
G =
)].(])1[([
1
11
rVBVC
D
−−
−
H =
])]1[()..([
1
11 −−
−
VBrVA
D

Nghiệm của bài toán:
0
HrGw +=
Danh mục P ứng với tỷ trọng w được gọi là danh mục biên duyên ứng với lợi
suất kỳ vọng
0
r
.
Kết luận:
- Các véctơ G, H do điều kiện thị trường quy định, không phụ thuộc vào
lựa chọn của nhà đầu tư.

- Với mỗi mức lợi suất ấn định trước luôn tồn tại duy nhất một danh mục
biên duyên tương ứng.
- Với mỗi danh mục biên duyên
)(
0
rw
đều có dạng w = G +
0
r
.H
Xét
),(
0
+∞−∞∈r
luôn tồn tại danh mục biên duyên tương ứng w. Tập hơp các
danh mục biên duyên này gọi là tập danh mục biên duyên.
.1. Cấu trúc tập danh mục biên duyên
Phương sai của danh mục biên duyên:

D
CrBrA
PP
P
+−
=
*.2.
2
2
σ
Biểu diễn hình học của tập danh mục biên duyên:

r
P
P Tập danh mục biên duyên

B/A MVP

1/A
σ
2
P
.1. Biên hiệu quả trong trường hợp không có tài sản phi rủi ro
Một danh mục biên duyên được gọi là hiệu quả nếu:

A
B
rr
MVPP
=>
với MVP là danh mục có phương sai nhỏ nhất.
Danh mục Q là danh mục biên duyên mà Q
≠
MVP hoặc là danh mục Q
không phải là danh mục hiệu quả thì Q được gọi là danh mục phi hiệu quả.
Biên hiệu quả: là tập hợp các danh mục hiệu quả và danh mục có phương sai
nhỏ nhất MVP. Phương trình đường biên hiệu quả (biên hiệu dụng):









≥
+−
=
A
B
D
CrBrA
r
P
PP
P
.2..
2
2
σ
Biểu diễn đường cong biên hiệu quả trên đồ thị:
r
P


Biên hiệu quả
B/A
MVP
1/
A

σ

P
3. Phương pháp thiết lập danh mục tối ưu khi có tài sản rủi ro và phi
rủi ro
Bài toán: Chọn danh mục tối ưu với lợi suất kỳ vọng (
0
r
) đã được ấn định
trước.
Bài toán xác định














=
f
N
w
w
w
w

...
1
sao cho
rww
Vww
rrwrw
N
i
ffi
T
N
i
ffii









=+
→
=+
∑
∑
=
=
1

0
1
1
min
2
1
trong đó
f
w
là tỷ trọng của tài sản phi rủi ro.
Trong trường hợp có tài sản phi rủi ro thì danh mục biên duyên được xác
định như sau:
w* =
])[()(
1
1
ffP
rrVrr
E
−−
−
trong đó,
AV =
−
]1.[].1[
1
; [1]: ma trận đơn vị, các thành phần đều là số 1.

BVr =
−

]1.[.
1
;

CrVr =
−
..
1
.
E =
CrBrA
ff
+− *2*
2
.1. Cấu trúc của tập danh mục biên duyên