SKKN phuong phap moi giai bai toan so sanh mot so voi nghiem cua tam thuc bac hai xep bac b thanh pho Ha noi

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (188.41 KB, 17 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

A.ĐẶT VẤN ĐỀ 
I.MỞ ĐẦU

Đối với chương trình mới đại số lớp 10 nhằm giảm tải nên học sinh chỉ được
học về “dấu của nhị thức bậc nhất” và “dấu của tam thức bậc hai”, khơng
được học “định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai” nên khi lên lớp 12 học
về giải tích lớp 12, việc giải các bài tốn tìm điều kiện để hàm số đồng biến
, nghịch biến trên một khoảng K cho trước thường gây lúng túng và khó
khăn cho học sinh khi làm bài . Nhiệm vụ của người giáo viên là giúp học
sinh biết liên hệ , phân tích tổng hợp để biết cách quy bài toán chưa biết cách
giải về bài toán quen thuộc đã biết cách giải .

Để góp phần giúp học sinh thực hiện tốt hơn việc giải các bài toán liên quan
đến bài toán “so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai” và có
phương pháp giải toán mới theo tinh thần đổi mới của sách giáo khoa tôi đã
chọn đề tài với nội dung “ Phương pháp mới để giải bài toán so sánh một 
số với các nghiệm của tam thức bậc hai “ .

II.VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU
1.Cơ sở thực tiễn của đề tài.

Trong chương trình tốn THPT các bài toán liên quan đến so sánh một số
với các nghiệm của tam thức bậc hai chiếm một vị trí rất quan trọng . Chẳng
hạn như các bài tốn “Tìm điều kiện để hàm số đồng biến , nghịch biến trên
một khoảng cho trước” , ”Tìm điều kiện để phương trình , bất phương trình
có nghiệm trong một khoảng cho trước” ,…rất hay gặp trong các bài kiểm
tra, các bài thi tốt nghiệp và thi Đại học_Cao đẳng.Trong khi theo chương
trình sách giáo khoa mới học sinh chỉ được học kiến thức về dấu của tam
thức bậc hai chứ không được học định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai.
Như vậy thực tiễn đặt ra là phải có cách nhìn nhận và tiếp cận mới để đưa
việc giải các bài toán so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai về

bài toán xét dấu của tam thức bậc hai mà học sinh đã biết cách giải .

Năm học 2008-2009 là năm đầu tiên sách giáo khoa lớp 12 theo chương
trình mới được sử dụng.Thơng qua việc trực tiếp giảng dạy và dự giờ đồng
nghiệp, tôi nhận thấy kiến thức về giải tích lớp 12 của học sinh còn hạn chế ,
các em rất lúng túng và gặp khó khăn khi giải những bài tốn tìm điều kiện
để hàm số đồng biến , nghịch biến trên một khoảng cho trước (mà dấu của
đạo hàm y’ phụ thuộc vào dấu của tam thức f( x ) ax2 bx c

   , a ≠0 ) .

Điều đó khiến tơi phải suy nghĩ và tìm tịi phương pháp giải mới phù hợp và
dễ hiểu đối với trình độ và kiến thức của học sinh .

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2.Mục đích của đề tài .

Đối với chương trình tốn Trung học phổ thơng thì các bài tập có liên quan
đến so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai chiếm một số lượng
lớn trải dài từ lớp 10 đến lớp 12.Trong khi đó phương pháp sử dụng “định lí
đảo về dấu của tam thức bậc hai” là một công cụ rất mạnh để giải quyết các
bài tốn này thì do giảm tải nên không được đưa vào sách giáo khoa.Điều
đó khiến cho khơng chỉ học sinh mà nhiều giáo viên cũng cảm thấy lúng
túng và khó khăn khi gặp các bài toán như vậy, họ chưa có cơng cụ hữu hiệu
để giải quyết một cách chung nhất cho các bài tập có liên quan đến so sánh
một số với các nghiệm của tam thức bậc hai . Đề tài này được viết ra với
mục đích nhằm giúp cho cả học sinh và giáo viên sẽ có một cách nhìn nhận
mới, một phương pháp mới giải quyết mọi vấn đề liên quan đến bài toán so
sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai mà khơng cần dùng “định
lí đảo về dấu của tam thức bậc hai” . Đây cũng là một vấn đề được đông đảo
học sinh , giáo viên quan tâm và mong muốn được giải quyết.

3.Lịch sử của đề tài .

Năm học 2008-2009 là năm học đầu tiên học sinh được học sách giáo khoa
lớp 12 theo chương trình mới. Nhằm thực hiện giảm tải nên chương trình đại
số 10 cắt bỏ phần kiến thức “định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai” .Ở các
năm học trước đó do sử dụng sách giáo khoa chương trình cũ có phần kiến
thức“định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai” nên giáo viên và học sinh đã
có cơng cụ hữu ích để giải các bài tốn có liên quan đến so sánh một số với
các nghiệm của tam thức bậc hai nên ít người nghĩ tới cần phải tìm một
phương pháp mới thay thế phương pháp sử dụng “định lí đảo về dấu của
tam thức bậc hai” vốn rất mạnh trong giải bài tập.Do đó bắt đầu sang năm
học 2008-2009 khi sử dụng sách giáo khoa theo chương trình mới nhiều giáo
viên và học sinh cũng đã cố gắng tìm tịi để tìm ra một phương pháp mới
thay thế phương pháp sử dụng “định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai”
nhưng cũng chưa có ai đưa ra một phương pháp chung , dễ hiểu và gần gũi
với người học . Chính vì vậy sau nhiều thời gian nghiên cứu và thử nghiệm
tôi xin mạnh dạn đưa ra phương pháp giải mới có thể góp phần hữu ích giúp
cho việc dạy và học toán được tốt hơn.

4.Phạm vi sử dụng đề tài .

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

5.Quá trình thực hiện nghiên cứu

Năm học 2008-2009 là năm đầu tiên sách giáo khoa lớp 12 theo chương
trình mới được sử dụng. Thông qua việc trực tiếp giảng dạy và dự giờ đồng
nghiệp, tơi nhận thấy kiến thức về giải tích lớp 12 của học sinh còn hạn chế,
các em rất lúng túng và gặp khó khăn khi giải những bài tốn tìm điều kiện
để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng cho trước (mà dấu của
đạo hàm y’ phụ thuộc vào dấu của tam thức f( x ) = ax2

+bx+c , a ≠0 ).

Điều đó khiến tơi phải suy nghĩ và tìm tịi phương pháp giải mới phù hợp và
dễ hiểu đối với trình độ và kiến thức của học sinh.

Từ vấn đề được đặt ra như trên, tôi đã mạnh dạn áp dụng, khai thác các bài
toán và cố gáng đưa bài toán phức tạp về bài toán đơn giản mà học sinh đã
biết cách giải trong các tiết học bài tập và tự chọn của môn học và đã thu
được một số kết quả như mong muốn.

6 Nhiệm vụ nghiên cứu.

- Nghiên cứu cơ sở lý luận lý thuyết về dấu của nhị thức bậc nhất và dấu
của tam thức bậc hai đại số 10 .

- Đề xuất một phương pháp giải mới nhằm giải quyết những bài toán liên
quan đến so sánh nghiệm của tam thức bậc hai mà không sử dụng định lí đảo
về dấu của tam thức bậc hai.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I.NỘI DUNG CẦN GIẢI QUYẾT.

Vấn đề cần giải quyết là hãy chỉ ra phương pháp giải các bài toán liên quan
đến so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai mà không sử dụng
phương pháp ”Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai”.

II.KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1.Định lí Viet

Nếu phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 ( a 0) (*) có hai nghiệm
2

1,x
x thì

S = x1+x2=−ba ,

p = x1.x2 ¿c
a .

Nhận xét :

Cho phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 ( a 0) có hai nghiệm x1,x2 (
x1≤ x2 ) .Đặt S = − b

a và P =
c

a .Khi đó :

+ Phương trình có hai nghiệm trái dấu x1<0<x2⇔ P <0.

+ Phương trình có hai nghiệm dương 0<x1≤ x2

Δ≥0

⇔ S > 0
P >0
+Phương trình có hai nghiệm âm x1≤ x2<0

Δ≥0

⇔ S < 0
P > 0

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

a > 0

∀x∈R ,ax2+bx+c>0 ⇔ Δ<¿ 0

0
, 2






x R ax bx c ⇔ a < 0

Δ<¿ 0
III.CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP.

1.DẠNG 1:

Tìm điều kiện để phương trình ax2+bx+c=0 (a0) có hai nghiệm x1,x2
thỏa mãn x1<α<x2 .

Cách giải :

Ta đặt t=x − α .Khi đó bài tốn dẫn đến tìm điều kiện để tam thức
g(t)=0 ( với g(t)=f(t+α) )có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn t1<0<t2

đã biết cách giải

Thí dụ 1 : Bài 58b (SGK Giải Tích 12 nâng cao,trang 56)
Cho hàm số y=2x −1

x+1 (H).

Với các giá trị nào của m, đường thẳng ( dm ) đi qua điểm A(-2;2) và có hệ

số góc m cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ
thị?

Lời giải:

TXĐ :D=R\{ −1 }.

Phương trình của đường thẳng ( dm ) đi qua điểm A(-2;2) và có hệ số góc 
m là : y=m(x+2)+2 .

Hoành độ giao điểm của đường thẳng ( dm ) và đồ thị (H) là nghiệm của

phương trình :

mx+2m+2=2x −1

x+1 ( x ≠ −1 )

⇔ (mx+2m+2)(x+1)=2x −1

⇔ mx2

+3 mx+2m+3=0 (1)

Hai nhánh của (H) nằm về hai bên của đường tiệm cận đứng x=−1 nên

đường thẳng ( dm ) cắt hai nhánh của (H) khi và chỉ khi phương trình (1) có

2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1<−1<x2 .

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

t −1¿2+3m(t −m 1)+2m+3=0

⇔ mt2+mt+3=0 (2)

Bài tốn đã cho trở thành tìm m để phương trình ( 2) có 2 nghiệm t1, t2

thỏa mãn t1<0<t2 hay 3m<0 ⇔ m<0 .

Vậy với m<0 đường thẳng ( dm ) đi qua điểm A(-2;2) và có hệ số góc 
m cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị.

2.DẠNG 2:

Tìm điều kiện để phương trình ax2+bx+c=0 (a0)có hai nghiệm x1,x2
thỏa mãn  x1x2 hoặc x1x2.

Cách giải :

Ta đặt t=x − α . Khi đó bài tốn dẫn đến tìm điều kiện để tam thức
g(t)=0 ( với g(t)=f(t+α) ) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn 0t1t2
hoặc (t1t2 0) đã biết cách giải .

Thí dụ 2 Bài 63c (SGK Giải Tích 12 nâng cao, trang 57).
Cho hàm số y= x+2

2x+1 (H)

Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng y=mx+m−1 cắt đường cong

(H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H).

Lời giải :

TXĐ D=R\{ −21 }

Hoành độ giao điểm của đường thẳng đã cho và đường cong (H) là nghiệm
của phương trình :

mx+m −1=¿ x+2

2x+1

⇔ (mx+m−1)(2x+1)=x+2

⇔ 2mx23(m1)x m  3 0 (1)

Hai nhánh của (H) nằm về hai bên của đường tiệm cận đứng x=−1
2 nên

đường thẳng đã cho cắt đường cong (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh
khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn

1 2

2 x x



 

hoặc 1 2

( )

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Đặt t=x+1

2 hay x=t −
1

2 phương trình (1) trở thành :

1 1

2 ( ) 3( 1)( ) 3 0

2 2

m t  m t m 

⇔

2 3

2 ( 3) 0

mt  m t 

(2)

Bài toán đã cho trở thành tìm m để phương trình ( 2) có 2 nghiệm t1, t2

thỏa mãn 0t1t2 hoặc t1t2 0

Tức là  0 (m 3)212m0 m3

⇔ ⇔ ⇔

P > 0 -m > 0 m0
Vậy m   ( ; 3) ( 3;0)  là các giá trị cần tìm .

3.DẠNG 3 
DẠNG 3.1

Tìm điều kiện để bất phương trình ax2bx c 0 (a0) trên khoảng( ; ).

Cách giải :

Xét hai trường hợp :

Trường hợp 1:

a0

 0

Trường hợp 2:

Phương trình ax2

+bx+c=0 (a0) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn
 x1x2 .

Ta đặt t=x − α .Khi đó bài tốn dẫn đến tìm điều kiện để tam thức

g(t)=0 ( với g(t)=f(t+α) ) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn t1t2 0.
 Với a>0 và  0

S  0

P 0

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Thí dụ 3. Cho hàm số

3 2

2 (3 ) 1

y x  x   m x m 

. Xác định m để hàm số 
đồng biến trên khoảng (3;) .

Lời giải :
TXĐ D=R.

Ta có y' 2 x2 4x m  3 .

Dấu của y’ phụ thuộc vào dấu của f x( ) 2 x2 4x 3 m .

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (3;) ⇔ f x( ) 0 ,  x (3;).

Xét hai trường hợp :

Trường hợp 1:

a0

 ' 0

⇔ 2>0 ⇔ m1 (a)
 2m -2 0

Trường hợp 2:

Phương trình 2x2 4x 3 m0 (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn
 x1x23 .

Đặt t= x-3 hay x=t+3. Phương trình (1) trở thành :
2(t3)2 4(t3) 3  m0

⇔ 2t2 8t 9 m 0

    (2) với a=2 >0

Phương trình (2) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn t1t2 0

 ' 0 2m 2 0 m1

⇔ S < 0 ⇔ - 4 < 0 ⇔ ⇔ 1m9 (b)
P  0 9-m0 m9

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

DẠNG 3.2

Tìm điều kiện để bất phương trình ax2bx c 0 (a0) trên khoảng ( ; )
.

Cách giải :

Xét hai trường hợp :

Trường hợp 1:

a0

 0

Trường hợp 2:

Phương trình ax2

+bx+c=0 (a0) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn
 x1x2 .

Ta đặt t=x − α .Khi đó bài tốn dẫn đến tìm điều kiện để tam thức

g(t)=0 ( với g(t)=f(t+α) ) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn t1t2 0.

a<0

 0
S  0

P 0

Thí dụ 4: Cho hàm số

3 2 2

2 ( 2 1) 2

y x  mx  m  m x m 

Xác định các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (2;).

Lời giải :
TXĐ D=R .

Ta có y'2x24mx m 22m1 .

Để hàm số nghịch biến trên khoảng (2;)thì y' 0 ,  x (2;)

Đặt f(x)= 2x24mx m 22m1 ta tìm m để f(x) 0, x (2;)

Ta có '=2m24m2>0 m.

Phương trình 2x24mx m 22m10 (1) có hai nghiệm x1,x2phân biệt

thỏa mãn x1x2 2 hay x1 2x2 2 0 .

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

⇔ 2t24(m 2)t m 210m 7 0 (2) với a=-2<0

Phương trình (2) có hai nghiệm t1, t2 phân biệt thỏa mãn t1t20
  ' 0 2m24m2>0 m m2

S  0 ⇔ 2(m 2) 0 ⇔

P 0 2(m210m 7) 0 m 5 3 2 ; m 5 3 2

⇔ m 5 3 2

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

4.DẠNG 4
 DẠNG 4.1

Tìm điều kiện để bất phương trình ax2bx c 0 (a0) trên khoảng( ; ) .

Cách giải :

Xét hai trường hợp :

Trường hợp 1:

a0

 0

Trường hợp 2:

Phương trình ax2+bx+c=0 (a0) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn
  x1x2 .

Ta đặt t=x − α .Khi đó bài tốn dẫn đến tìm điều kiện để tam thức

g(t)=0 ( với g(t)=f(t+α) ) có hai nghiệm t1, t2 phân biệt thỏa mãn

1 2

0 t t .

a>0
  0

S > 0
P 0
Thí dụ 5 :

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số

3 2

( 1) (3 1) 2
3

y x  m x  m x

đồng
biến trên khoảng ( ;1).

Lời giải :
TX Đ D=R .

Ta có y'x2 2(m1)x 3m1

Đặt f x( )x2 2(m1)x 3m1. Khi đó để hàm số đã cho đồng biến trên

khoảng ( ;1) thì f(x) 0 ,    x ( ;1)

Xét 2 trường hợp :

Trường hợp 1:

a0 a=1>0

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

 ' 0 m25m0
Trường hợp 2:

Phương trình x2 2(m1)x 3m 1 0 (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn
1 2

1x x

Ta đặt t x 1 hay x= t+1 .Khi đó phương trình (1) trở thành 
(t1)2 2(m1)(t1) 3 m 1 0

⇔ 2

2 5 0

t  mt m (2)

Để phương trình (2) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn 0 t1 t2 thì
 a>0 a=1>0 m0;m 5

 ' 0 ⇔ m2 5m0 ⇔ m0 ⇔ vô nghiệm

S > 0 m0 m0
 P  0 -5m  0

Vậy kết hợp cả hai trường hợp ta được 5m0thì hàm số đã cho dồng

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

DẠNG 4.2

Tìm điều kiện để bất phương trình ax2bx c 0 (a0) trên khoảng( ; ) .

Cách giải :

Xét hai trường hợp :

Trường hợp 1:

a0

 0

Trường hợp 2:

Phương trình ax2

+bx+c=0 (a0) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn
  x1x2 .

Ta đặt t=x − α .Khi đó bài tốn dẫn đến tìm điều kiện để tam thức

g(t)=0 ( với g(t)=f(t+α) ) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn 0 t1 t2.
 a0

 0

S > 0
P 0

Chú ý : Ta có thể chuyển dạng 4.2 về dạng 4.1 bằng cách đặt p(x)=-f(x)
Vì f x( )ax2bx c 0 (a0) trên khoảng ( ; ) nên p(x)0 trên khoảng

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

V.ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM

Trước khi cho học sinh áp dụng phương pháp giải mới thì kết quả học sinh hai lớp
12B1 và lớp 12B2 đạt được khi làm bài tốn liên quan đến tìm điều kiện để hàm số đồng
biến (hoặc nghịch biến) trên một khoảng K như sau .

LỚP Sỹ số Điểm

0 2

Điểm
3,4
Điểm
5;6
Điểm
7;8
Điểm

9;10
Điểm
5
Tỷ lệ
%

12B1 54 7 11 24 9 3 36 66,67

12B2 54 6 9 26 10 3 39 72,22

Sau khi cho học sinh áp dụng phương pháp giải mới thì kết quả học sinh hai
lớp 12B1 và lớp 12B2 đạt được khi làm bài toán liên quan đến tìm điều kiện
để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên một khoảng K như sau .

LỚP Sỹ số Điểm

0 2

Điểm
3,4
Điểm
5;6
Điểm
7;8
Điểm
9;10
Điểm
5
Tỷ lệ
%

12B1 54 0 4 17 22 11 50 92,6

12B2 54 0 2 19 20 13 52 96,3

So sánh kết quả hai lần khảo sát tôi thấy tỷ lệ học sinh làm được bài sau khi
áp dụng đề tài đã tăng nhiều hơn đáng kể , số điểm (9;10) cũng đã được tăng
lên rõ rệt . Đặc biệt là nhờ có cách tiếp cận làm bài mới học sinh cảm thấy
hứng thú hơn đối với môn học , các em khơng cịn thấy khó khăn hay lúng
túng khi gặp những bài tốn có liên quan đến so sánh một số với các nghiệm
của tam thức bậc hai nữa.

VI.LỢI ÍCH CỦA ĐỀ TÀI ĐỐI VỚI TOÁN THPT

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Đề tài đã nêu bật lên phương pháp giải toán theo tinh thần của chương trình
sách giáo khoa mới , góp phần đổi mới phương pháp dạy và học , phát huy
tính chủ động , tích cực của giáo viên và học sinh.Giúp học sinh biết cách
đưa bài toán phức tạp về bài toán đơn giản đã biết cách giải .

C. KẾT LUẬN

Thông qua đề tài trên , tôi muốn chia sẻ một số kinh nghiệm nhỏ của mình
về chun mơn đại số và giải tích tốn Trung học phổ thông , cụ thể là
phương pháp giải các bài toán liên quan đến “so sánh một số với các nghiệm
của tam thức bậc hai “ theo tinh thần đổi mới của sách giáo khoa.Do thời
gian và trình độ có hạn , dù rất cố gắng song cũng có thể vẫn cịn thiếu sót
rất mong nhận được sự trao đổi , chia sẻ của các thầy cô giáo, các đồng

nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn nữa , góp phần thúc đẩy cơng việc dạy
và học mơn tốn Trung học phổ thơng.

Hà Nội, ngày 20, tháng4, năm2009
Người viết

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

TÀI LIỆU THAM KHẢO

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17></div>